Capítulo IV. Movimento em duas e três dimensões

Transcrição

1 Fundamentos de Física Volume I Mecânica 8ª Edição Halliday, Resnick e Walker Capítulo IV Movimento em duas e três dimensões Resolvido por Nelson Poerschke *01. Um pósitron sofre um deslocamento r 2,0ı 3,0ȷ + 6,0k e termina com o vetor posição r 3,0ȷ 4,0k, em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron. r r ı ı r r 3,0ȷ 4,0k 2,0ı 3,0ȷ + 6,0k ( 2,0 m)ı + (6,0 m)ȷ (10 m)k *02. Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x -5,0 m; y 8,0 m; e z 0 m. Determine o vetor posição da semente. a) na notação de vetores unitários r xı + yȷ + zk ( 5,0 m)ı + (8,0 m)ȷ b) como um módulo r r ( 5,0 m) + (8,0 m) + (0 m) 9,4 m c) como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. Como z 0, observamos que o vetor encontra-se no plano xy. Logo, θ tan, 58, Mas verificamos que o vetor está no segundo quadrante, então o ângulo formado pelo vetor com o eixo x positivo é d) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a semente é transportada até as coordenadas (3,00 m, 0 m, 0 m), e) determine o seu deslocamento na notação de vetores unitários. r ( 5,0 m)ı + (8,0 m)ȷ

2 r (3,00 m)ı r r r (3,00 m)ı [( 5,0 m)ı + (8,0 m)ȷ ] (8,0 m)ı (8,0 m)ȷ e) determine o seu deslocamento como um módulo. r r (8,0 m) + ( 8,0 m) + (0 m) 11 m f) determine o seu deslocamento como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. θ tan, 45, Como o vetor encontra-se no quarto quadrante, o ângulo em relação ao eixo x positivo é 45, se medido no sentido horário, ou º, se medido no sentido anti-horário. *03. O vetor posição de um elétron é r (5,0 m)ı (3,0 m)ȷ + (2,0 m)k. a) Determine o módulo de r. r r (5,0 m) + ( 3,0 m) + (2,0 m) 6,2 m b) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. **04. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm da ponta até o eixo de rotação. O módulo e o ângulo do vetor deslocamento da sua ponta devem ser determinados para três intervalos de tempo. a) Determine o módulo do deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora. Considerando como eixo y positivo a direção do centro até 12 horas e x positivo a direção do centro até 3 horas teremos: Posição do ponteiro em 15 minutos é (0,10 m)ı. Posição do ponteiro em 30 minutos é ( 0,10 m)ȷ. r r r [( 0,10 m)ȷ ] [0,10 m)ı ] ( 0,10 m)ı (0,10 m)ȷ r r (0,10 m) + ( 0,10 m) 0,14 m

3 b) Determine o ângulo associado ao deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora. θ tan, 45, Como o vetor encontra-se no terceiro quadrante, o ângulo em relação ao eixo x positivo é , se medido no sentido horário, ou º, se medido no sentido anti-horário. c) Determine o módulo correspondente a meia hora seguinte. cheia. Estou considerando que o ponteiro parte da posição de 30 minutos até a posição de hora Posição do ponteiro em 30 minutos é ( 0,10 m)ȷ. Posição do ponteiro em hora cheia é (0,10 m)ȷ. r r r [(0,10 m)ȷ ] [ 0,10 m)ı ] (0,20 m)ȷ r 0,20 m d) Determine o ângulo correspondente a meia hora seguinte. Estou entendendo que o autor quer o ângulo formado a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário. θ tan, 90 d) Determine o módulo correspondente a hora seguinte. Em uma hora o ponteiro dos minutos realiza uma revolução, logo o vetor deslocamento, bem como o módulo do deslocamento é zero. e) Determine o módulo correspondente a hora seguinte. Como não há deslocamento, o ângulo é zero. *05. O vetor posição de um íon é, inicialmente, r 5,0ı 6,0ȷ + 2,0k, e 10 s depois passa a ser r 2,0ı + 8,0ȷ 2,0k, com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média v durante os 10 s? v,,, (,,, ),,, ( 0,70 m/s)ı + (1,4 m/s)ȷ (0,40 m/s)k Obs: Na versão do livro em português, r consta como r 2,0ı + 8,0ȷ 2,0k, o que inviabiliza a resposta que está no final do livro. Na versão em inglês, r é r 2,0ı + 8,0ȷ 2,0k o que torna a resposta correta.

4 *06. A posição de um elétron é dada por r 5,00tı 4,00t ȷ + 2,00k, com t em segundo e r em metros. a) Qual é a velocidade, v (t) do elétron na notação de vetores unitários? v 5,00tı 4,00t ȷ + 2,00k (5,00 m/s)ı (8,00t m/s)ȷ b) Quanto vale v (t) no instante t 2,00 s na notação de vetores unitários? v (2) (5,00 m/s)ı [8,00(2) m/s]ȷ (5,00 m/s)ı (16,0 m/s)ȷ c) Quanto vale v (t) no instante t 2,00 s como módulo? v v (5,00 m) + ( 16, 0 m) 16,8 m d) Quanto vale v (t) no instante t 2,00 s como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x? θ tan, 72,6 no sentido horário a partir do eixo x positivo., *07. Um trem com uma velocidade constante de 60,0 km/h se move na direção leste por 40,0 min, depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0 a leste com a direção norte por 20,0 min e, finalmente, na direção oeste por mais 50 min. Considerando leste no sentido positivo do eixo x e norte no sentido positivo do eixo y. a) Qual é o módulo da velocidade média do trem durante essa viagem. r (60 km/h) r (60 km/h) / / ı (40,0 km)ı 20,0 km r (20 km cos 50 )ı + (20 km sen 50 ) (12,8 km)ı + (15,3 km)ȷ r (60 km/h) / ı ( 50,0 km)ı r r + r + r (40,0 km)ı + (12,8 km)ı + (15,3 km)ȷ + ( 50,0 km)ı r (2,8 km)ı + (15,3 km)ȷ 40min + 20 min + 50 min 110 min 1,83 h v,, ı +, ȷ (1,53 km/h)ı + (8,36 km/h)ȷ, v (1,53 km/h) + (8,36 km/h) 8,50 km/h b) Qual é o ângulo da velocidade média do trem durante essa viagem. θ tan, / 79,6 medidos a norte do leste, /

5 **08. Um avião voa 483 km para leste, da cidade A para a cidade B, em 45 min, e depois 966 km para o sul, da cidade B para a cidade C, em 1,5 h. Para a viagem inteira determine: Considerando leste no sentido positivo do eixo x e norte no sentido positivo do eixo y. a) o módulo do deslocamento do avião. r (483 km)ı r ( 966 km)ȷ r r + r (483 km)ı (966 km)ȷ r (483 km) + ( 966 km) 1,08 10 km b) a direção do deslocamento do avião. θ tan 63,4 (63,4 a sul do leste ou 26,6 a leste do sul). c) o módulo da velocidade média. 0,75 h 1,5 h 2,25 h v, ı ȷ (215 km/h)ı (429 km/h)ȷ, v (215 km/h) + ( 429 km/h) 480 km/h d) a direção da velocidade média. θ tan 63,4 e) a velocidade média escalar média. S â, 644 km/h **09. A figura mostra os movimentos de um esquilo em um terreno plano, do ponto A (no instante t 0) para os pontos B(em t 5,00 min); C(em t 10,0 min) e, finalmente, D( em t 15,0 min). Considere as velocidades médias do esquilo do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidades médias determine:

6 v, [( ) ( ) ][( ) ( ) ] ( ) ( ) v, (0,05 m/s)ı (0,10 m/s)ȷ v, (0,05 m) + ( 0,10 m/s) 0,1118 m/s v, [( ) ( ) ][( ) ( ) ] (, ) (0,0083 m/s)ı v, 0,0083 m/s v, [( ) ( ) ][( ) ( ) ] ( ) ( ) v, (0,03 m/s)ı + (0,03 m/s)ȷ v, (0,03 m) + (0,03 m/s) 0,0471 m/s a) o módulo da que possui o menor módulo. v, 0,0083 m/s b) o ângulo da que possui o menor módulo. θ tan 0, c) o módulo da que possui o maior módulo. v, (0,05 m) + ( 0,10 m/s) 0,1118 m/s d) o ângulo da que possui o maior módulo. θ tan, / 63 (63 a sul do leste), / ***10. O vetor r 5,00tı + (et + ft )ȷ mostra a posição de uma partícula em função do tempo t. O vetor r está em metros, t está em segundos e e e f são constantes. A figura mostra o ângulo θ da direção do movimento da partícula em função de t (θ é medido a partir do semi-eixo x positivo).

7 a) Determine e indicando sua unidade. A posição da partícula é r 5,00tı + (et + ft )ȷ O movimento da partícula pode ser indicado pela derivada da posição. v (5,00tı + (et + ft )ȷ ) 5,00ı + (e + 2ft)ȷ θ tan (), Consultando o gráfico, verifica-se que θ 35, e t 0, então tan 35 (), e + 2f(0) 5,00 m/s(tan 35 ) e 3,5 m/s b) Determine f indicando sua unidade. Quando θ 0, t 14 s, então e + 2ft 0 f, / ( ) 0,125 m/s *11. Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por r ı + 4t ȷ + tk. a) Escreva a expressão para a sua velocidade em função do tempo. v ı + 4t ȷ + tk 8tȷ + k b) Escreva a expressão para a sua aceleração em função do tempo. a 8tȷ + k 8ȷ *12. A velocidade inicial de um próton é v 4,0ı 2,0ȷ + 3,0k; 4,0 s mais tarde, passa a ser v 2,0ı 2,0ȷ + 5,0k (em metros por segundo). Para esses 4,0 s, determine: a) Qual é a aceleração média do próton na notação de vetores unitários? a,,, /,,, /,,,, a ( 1,5 m/s )ı + (0,5 m/s )k b) Qual é o módulo da aceleração média do próton? a ( 1,5 m/s ) + (0,5 m/s ) 1,6 m/s c) Qual é o ângulo entre a aceleração média e o semi-eixo x positivo? θ tan, /, / 18 ou 162 (162, pois o vetor está no 2 quadrante).

8 *13. A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r (2,00t 5,00t)ı + (6,00 7,00t )ȷ, com r em metros e t em segundos. a) Na notação de vetores unitários, e para t 2,00 s calcule r. r (2,00t 5,00t)ı + (6,00 7,00t )ȷ, r (2,00 s) [2,00(2,00) 5,00(2,00)]ı + [(6,00 7,00(2,00) ]ȷ, r (2,00 s) (6,00 m)ı (106 m)ȷ b) Na notação de vetores unitários, e para t 2,00 s calcule v. v dr dt (2,00t 5,00t)ı + (6,00 7,00t )ȷ (6,00t 5,00)ı (28,0t )ȷ v (2,00 s) (6,00t 5,00)ı (28,0t )ȷ [6,00(2,00) 5,00]ı [28,0(2,00) ]ȷ v (2,00 s) (19,0 m/s)ı (224 m/s)ȷ c) Na notação de vetores unitários, e para t 2,00 s calcule a. a (6,00t 5,00)ı (28,0t )ȷ (12,0t)ı (84,0t )ȷ a (2,00 s) [12,0(2,00)ı ] [84,0(2,00) ]ȷ a (2,00 s) (24,0 m/s ı )ı (336 m/s )ȷ d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t 2,00 s? Então: A reta tangente à trajetória é encontrada derivando a posição. É a velocidade instantânea. θ tan / 85,2, / Analisando as componentes do vetor percebemos que o mesmo encontra-se no quarto quadrante, logo a resposta correta é: , *14. Em um certo instante um ciclista está 40,0 m a leste do mastro de um parque, indo para o sul com uma velocidade de 10,0 m/s. Após 30,0 s o ciclista está 40,0 m ao norte do mastro, dirigindo-se para leste com uma velocidade de 10,0 m/s. Para o ciclista, durante esse intervalo de 30,0 s, quais são: a) o módulo do deslocamento? r (40,0 m)ı r (40,0 m)ȷ r r r (40,0 m)ȷ (40,0 m)ı ( 40,0 m)ı + (40,0 m)ȷ r ( 40 m) + (40,0 m) 56,6 m

9 b) a direção do deslocamento? θ tan, 45,0 como o vetor encontra-se no segundo, quadrante, soma-se 180 o que dará a direção 135 a partir do semi-eixo x positivo. c) o módulo da velocidade média? t 30 s e r 56,6 m v, 1,89 m/s d) a direção da velocidade média? v (, ) (, ) ( 10 m/s)ȷ + (1,33 m/s)ȷ θ tan, / 45,0 como o vetor encontra-se no segundo, / quadrante, soma-se 180 o que dará a direção 135 a partir do semi-eixo x positivo. e) o módulo da aceleração média? a v v t (10 m/s)ı ( 10 m/s)ȷ 30 s (0,333 m/s )ı + (0,333 m/s )ȷ a (0,333 m/s ) + (0,333 m/s ) 0,471 m/s f) a direção da aceleração média? θ tan, / 45,0 como o vetor encontra-se no primeiro, / quadrante, este é o valor correto (45 a norte do leste, ou 45 a leste do norte). **15. Um carro se move sobre um plano xy com componentes da aceleração a 4,0 m/s e a 2,0 m/s. A velocidade inicial tem componentes v 8,0 m/s e v 12 m/s. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada y? Primeiramente temos que pensar que se a aceleração em y é negativa, vai chegar um momento em que a velocidade em y chegará a zero. Neste momento o carro atinge a maior coordenada y. Então v v + at t / / 6 s Como deduzimos anteriormente, na maior coordenada y a velocidade em y é zero, mas resta a velocidade em x. v v + a t v (8,0 m/s) + (4,0 m/s )(6,0 s) 32 m/s Portanto a velocidade do carro quando atinge y máximo é (32 m/s)ı.

10 **16. Um vento moderado acelera um seixo sobre um plano horizontal xy com uma aceleração constante a (5,00 m/s )ı + (7,00 m/s )ȷ. No instante t 0, a velocidade é (4,00 m/s)ı. a) Qual é o módulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x? Nós temos como dados, a aceleração, a velocidade inicial e o x. Como não temos o y, precisamos encontrar o tempo de deslocamento. x x v t + at 12,0 m (4,00 m/s)t + (5,00 m/s )t (5,00 m/s )t + (8,00 m/s)t 24,0 m x,±, valor depois de t 0. 1,53 s (descartamos o resultado negativo pois procuramos um Sabendo o tempo, usamos a seguinte equação: v v + at v (4,00 m/s)ı + (5,00 m/s )ı (1,53 s) + (7,00 m/s )ȷ (1,53 s) v (11,7 m/s)ı + (10,7 m/s)ȷ b) Qual é o ângulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x? θ tan, / 42,6 a norte do leste ou 47,4 a leste do norte, / **17. Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial v (3,00 m/s)ı e uma aceleração constante a ( 1,00 m/s )ı (0,500 m/s )ȷ. Quando ela atinge o valor máximo de sua coordenada x, quais são. a) a sua velocidade? Quando ela atinge o valor máximo na coordenada x, sua velocidade em x é zero. Logo v v + a t t 3,00 s é o tempo máximo, então, em y: (, /), / 3,00 s v v + a t v 0 + ( 0,500 m/s )(3,00 s) 1,5 m/s Em notação de vetor unitário, a velocidade da partícula é ( 1,5 m/s)ȷ

11 a) o seu vetor posição? Como começou na origem, a posição da partícula é dada para qualquer t. x x v t + at r v t + a t (3,00 m/s)ı (3,00 s) + [( 1,00 m/s )ı (0,500 m/s )ȷ ](3,00 s) r (9,00 m)ı (4,50 m)ı (2,25 m)ȷ (4,50 m)ı (2,25 m)ȷ **18. A velocidade v de uma partícula que se move no plano xy é dada por v (6,0t 4,0t )ı + 8,0ȷ, com v em metros e t(>0) em segundos. a) Qual é a aceleração no instante t 3,0 s? a [(6,0t 4,0t )ı + 8,0ȷ ] (6,0 8,0t)ı a (3,0 s) [6,0 8,0(3,0)]ı ( 18 m/s )ı b) Em que instante, se isso é possível, a aceleração é nula? (6,0 8,0t)ı 0 t, 0,75 s, A aceleração é igual a zero em t 0,75 s. c) Em que instante, se isso é possível, a velocidade é nula? Como a velocidade em y é constante em 8,0 m/s, a velocidade nunca será nula. d) Em que instante, se isso é possível, a velocidade escalar da partícula é igual a 10 m/s? Uma vez que a velocidade escalar é o módulo da velocidade, temos: v v (6,0t 4,0t ) + (8,0) 10 (6,0t 4,0t ) + (8,0) 100 (6,0t 4,0t ) (6,0t 4,0t ) 36 Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação e simplificando teremos: 6,0t 4,0t ±6,0 4,0t 6,0t ± 6,0 0 2,0t 3,0t ± 3,0 0 t,±(,)(±,) (,) 2,2 ou 0,69 Com a questão exige um resultado positivo (t > 0), a única resposta correta é t 2,2 s.

12 ***19. A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal xy é dada por a 3,0tı + 4,0tȷ, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t 0, o vetor posição r (20,0 m)ı + (40,0 m)ȷ indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade v (5,00 m/s)ı + (2,00 m/s)ȷ. Em t 4,00 s, determine: a) o vetor posição em termos de vetores unitários. v v + at a 3,0tı + 4,0tȷ v (5,00 m/s)ı + (2,00 m/s)ȷ. r (20,0 m)ı + (40,0 m)ȷ v (t) v + a dt (5,00ı ) + (2,00ȷ ) + (3tı + 4tȷ )dt 5,00 + t ı + (2,00 + 2t )ȷ r (t) r + v dt (20,0 m)ı + (40,0 m)ȷ + 5,00 + t ı + (2,00 + 2t )ȷ dt (20,0 m)ı + (40,0 m)ȷ + 5,00t + + 2,00t + t 20,0 m + 5,00t + ı + 40,0 m + 2,00t + t ȷ Em t 4,00 s, temos: r (t 4,00 s) 20,0 m + 5,00(4,00 s) + (72,0 m)ı + (90,7 m)ȷ (, ) ı + 40,0 m + 2,00(4,00 s) + (4,00 s) ȷ b) o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo x positivo. v (t 4,00s) 5,00 + (4,00 s) ı + (2,00 + 2(4,00 s) )ȷ (29,0 m/s)ı + (34,0 m/s)ȷ θ tan, / 49,5 a norte do leste, / ***20. Na figura a partícula A se move ao longo da reta y 30 m com uma velocidade constante v de módulo 3,0 m/s e paralela ao eixo x. No instante em que a partícula A passa pelo eixo y a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante a de módulo 0,40 m/s². Para que valor do ângulo θ entre a e o semi-eixo y positivo acontece uma colisão?

13 Podemos usar as equações para aceleração constante. y a t 30 m [(0,40 m/s )cos θ]t Depois, os movimentos de A e B devem coincidir. vt a t (3,0 m/s)t [(0,40 m/s )sen θ]t vt a t t Então, ligando as duas equações 30 m [(0,40 m/s )cos θ] Como sen θ 1 cos θ (, /) (, / ) (, /) (, / ) 30,, 1 cos θ, (,)() cosθ Usando Báskara cos θ,, (,)(,) θ cos 60 *21. Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está 45,0 m acima de um terreno plano, emergindo da arma com uma velocidade de 250 m/s. a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? Uma vez que o movimento horizontal não interfere no movimento vertical. y y v t + at 45,0 m (0)t + (9,80 m/s )t (, ) t 9,18, / s 3,03s b) A que distância horizontal do ponto de disparo ele se choca com o solo? Desconsiderando-se a desaceleração causada pela resistência do ar. x x v t x (250 m/s)(3,03 s) 758 m

14 solo? c) Qual é o módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o Como a componente vertical da velocidade inicial é zero. v v + at v 0 + (9,80 m/s )(3,03 s) 29,7 m/s *22. No Campeonato Mundial de Atletismo de 1991, em Tóquio, Mike Powell saltou 8,95 m, batendo por 5 cm um recorde de 23 anos para o salto em distância estabelecido por Bob Beamon. Suponha que a velocidade de Powell no início do salto era de 9,5 m/s (aproximadamente igual a de um velocista) e que g 9,8 m/s² em Tóquio. Calcule a diferença entre o alcance de Powell e o máximo alcance possível para uma partícula lançada com a mesma velocidade. Usando a equação para o alcance horizontal de um projétil. R sen 2θ R (,/), / sen 2θ 9,21 m 9,21 m 8,95 m 0,259 m *23. O recorde atual de salto de motocicleta é de 77,0 m, estabelecido por Jason Renie. Suponha que ele parta da rampa fazendo um ângulo de 12 com a horizontal e que as alturas no início e no final do salto sejam iguais. Determine a velocidade inicial, desprezando a resistência do ar. R sen 2θ v (, / )(, ) ( ) 43,1 m/s *24. Uma pequena bola rola horizontalmente até a borda de uma mesa de 1,20 m de altura e cai no chão. A bola chega ao chão a uma distância horizontal de 1,52 m da borda da mesa. a) Por quanto tempo a bola fica no ar? y y v t + at 1,20 m (0)t + (9,80 m/s )t (, ) t 0,245, / s 0,495 s b) Qual é a velocidade da bola no instante em que chega à borda da mesa? x x v t 1,52 m v (0,495 s) v,, 3,07 m/s *25. Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10 m/s em direção ao ponto P, o centro de um alvo de parede. Ele atinge o ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P, 0,19 s depois do arremesso. a) Qual é a distância PQ? y y gt y (9,8 m/s )(0,19 s) 0,18 m

15 b) A que distância do alvo o dardo foi arremessado? Consideramos a velocidade constante e o sentido do eixo x positivo. x v t x (10 m/s)(0,19 s) 1,9 m *26. Na figura, uma pedra é lançada em um rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 m/s e um ângulo θ 60,0 com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50 s após o lançamento. Determine a) a altura h do rochedo? Fazendo y 0 e y h y y v t gt h y + (v senθ )t gt h (42,0 m sen60 )(5,50 s) (9,8 m/s )(5,50 s) h (42,0 m sen60 )(5,50 s) (9,8 m/s )(5,50 s) 51,8 m b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A? v v v cosθ v (v cosθ ) + (v senθ ) v (42,0cos60 ) + (42,0sen60 ) 27,4 m/s c) a máxima altura H alcançada acima do solo? Usamos as equações da aceleração constante, porém, substituímos a por g. v v + 2a(x x ) v (v senθ ) 2g(y y ) Usando v 0 e y H teremos: 0 (v senθ ) 2gH H ( ) (, ) (, / ) 67,5 m *27. Um certo avião tem uma velocidade de 290 km/h e está mergulhando com um ângulo θ 30,0 abaixo da horizontal quando o piloto libera um chamariz. A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o chamariz se choca com o solo é d 700 m.

16 a) Quanto tempo o chamariz passou no ar? Escolhemos a origem das coordenadas no nível do solo, imediatamente abaixo do ponto de lançamento. Assim, θ 30. A velocidade inicial do chamariz é a velocidade do avião no momento da liberação. v 290 km/h 80,6 m/s Vejamos que a componente horizontal da velocidade não possui aceleração, então x (v cosθ )t t b) De que altura foi lançado? (, /) (, ) 10,0 s Agora que sabemos o tempo que o chamariz permaneceu no ar depois que foi liberado: y y (v senθ )t gt 0 y (80,6 m/s)(sen 30,0 )(10,0 s) (9,80 m/s )(10,0s) y 403 m 490 m y 893 m *28. Uma pedra é lançada de uma catapulta no instante t 0, com uma velocidade inicial de módulo 20,0 m/s e um ângulo de 40,0 acima da horizontal. a) Qual é o módulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 1,10 s? x x v t x x (v cosθ )t x (20,0 m/s cos40,0 )(1,10 s) 16,9 m b) Qual é o módulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 1,10 s? y y v t gt y y (v senθ )t gt y (20,0 m/s sen40,0 )(1,10 s) (9,80 m/s )(1,10 s) 8,21 m

17 c) Qual é o módulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 1,80 s? x (20,0 m/s cos40,0 )(1,80 s) 27,6 m d) Qual é o módulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 1,80 s? y (20,0 m/s sen40,0 )(1,80 s) (9,80 m/s )(1,80 s) 7,26 m e) Qual é o módulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 5,00 s? Considerando que y está diminuindo conforme o tempo aumenta, presumimos que a pedra alcança o solo antes dos 5,00 s, então calculamos primeiro o tempo de deslocamento da pedra. y y (v senθ )t gt 0 (v senθ )t gt 0 2(v senθ )t gt 2(v senθ )t gt 2(v senθ ) 2(v senθ ) gt t ( ) t senθ ( /) sen40,0 2,62 s, / Em t 5,00 s a pedra já se encontra no solo desde t 2,62 s. x (20,0 m/s cos40,0 )(2,62 s) 40,1 m f) Qual é o módulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 5,00 s? Como a pedra já se encontra no solo desde t 2,62 s, a componente vertical é 0. **29. Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que está 10,0 m acima da superfície da água. a) A que distância horizontal da borda da plataforma está o mergulhador 0,800 s após o início do salto? Primeiramente organizamos nosso sistema de coordenadas colocando a origem na superfície da água, exatamente sob a borda da plataforma. Lembramos que os movimentos vertical e horizontal são independentes. x x v t x 0 (2,00 m/s)(0,800 s) 1,60 m x 1,60 m b) A que distância vertical acima da superfície da água está o mergulhador nesse instante?

18 Deduzimos que a velocidade vertical inicial é zero, porém temos a aceleração da gravidade. y y v t gt y 0 0 (9,80 m/s )(0,800) y 3,14 m (abaixo da barda da plataforma) Como o trampolim encontra-se 10,0 m acima da superfície da água, o mergulhador, em t 0,800 s está (10,0 m) (3,14 m) 6,86 m da superfície da água. c) A que distância horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge a água? Para isso precisamos saber o tempo que o mergulhador leva para atingir a água. y y v t gt t ) (,, / Sabendo o tempo podemos aplicar a equação diretamente. 1,43 s x x v t x 0 (2,00 m/s)(1,43 s) 2,86 m x 2,86 m **30. O trebuchet era uma máquina de arremesso construída para atacar as muralhas de um castelo durante um cerco. Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrubá-la. A máquina não era instalada perto da muralha, porque os operadores seriam um alvo fácil para as flechas disparadas do alto das muralhas do castelo. Em vez disso, o trebuchet era posicionada de tal forma que a pedra atingia a muralha na parte descendente da sua trajetória. Suponha que uma pedra seja lançada com uma velocidade v 28,0 m/s e um ângulo de 40,0. a) Qual é a velocidade da pedra se ela atinge a muralha no momento em que chega à altura máxima de sua trajetória parabólica? O módulo da velocidade é v (v ) + (v ), porém, quando a pedra atinge a altura máxima a velocidade vertical v é zero. Então v (v ) v v v cosθ (28,0 m/s)(cos40,0 ) 21,4 m/s b) Qual é a velocidade da pedra se ela atinge a muralha depois de cair metade da altura máxima sua trajetória parabólica? Usando o fato de que v 0 na altura máxima y, o tempo necessário para que a pedra atinja y é dada pela equação: v v senθ gt 0 v v senθ gt t Usando a equação a equação a seguir e substituindo t, temos

19 y y (v senθ )t gt y (v senθ ) y g Para encontrar o tempo da pedra desce ao máximo y y / 2, resolvemos a equação quadrática y y Escolhendo t temos (v senθ )t gt t ± ± v v cosθ (28,0 m/s)(cos40,0 ) 21,4 m/s v v senθ g ± Assim, a velocidade da pedra quando y v senθ (28,0 m/s)sen40,0 12,7 m/s v (v ) + (v ) (21,4 m/s) + ( 12,7 m/s) 24,9 m/s c) Qual é a diferença percentual entre as respostas dos itens (a) e (b)?, /, /, / 0,163 16,3% **31. Um avião, mergulhando com velocidade constante em um ângulo de 53,0 com a vertical, lança um projétil a uma altitude de 730 m. O projétil chega ao solo 5,00 s após o lançamento. Adotamos como origem das coordenadas o nível do solo exatamente abaixo do ponto de lançamento. a) Qual é a velocidade do avião? é: y y (v senθ )t gt m v (sen 37 )(5,00 s) (9,80 m/s )(5,00 s) v (, / )(, ) ( )(, ) 202 m/s b) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso? x x (v cosθ )t x (202 m/s)(cos 37 )(5,00 s) 806 m solo? c) Qual é a componente horizontal da velocidade do projétil no momento em que chega ao v v cosθ (202 m/s)(cos 37 ) 161 m/s

20 solo? d) Qual é a componente vertical da velocidade do projétil no momento em que chega ao v v senθ gt (202 m/s)(sen 37 ) (9,80 m/s )(5,00 s) 171 m/s **32. Durante uma partida de tênis, um jogador saca a 23,6 m/s, com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m de altura em relação à quadra. A rede está a 12,0 m de distância e tem 0,900 m de altura. Adotamos como origem das coordenadas o nível do solo exatamente abaixo do ponto que a bola deixa a raquete. a) A bola passa para o outro lado da quadra? Queremos saber qual a altura da bola quando x 12,0 m. x x (v cosθ )t 12,0 m (23,6 m/s)(cos0 )t t, (, /)(,) 0,508 s y y (v senθ )t gt y y gt y 2,37 m (9,80 m s)(0,508 s) 1,10 m altura. Sim, pois ela passa sobre a rede a uma altura de 1,10 m, enquanto a rede tem 0,900 m de b) Quando a bola chega a rede, qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede? 1,10 m 0,900 m 0,200 m c) Supondo que, nas mesmas condições, a bola deixe a raquete fazendo um ângulo de 5,00 abaixo da horizontal. Nesse caso a bola passaria para o outro lado da quadra? x x (v cosθ )t 12,0 m (23,6 m/s)(cos 5,00 )t t, (, /)(, ) 0,510 s y y (v senθ )t gt 0,046 m altura. y 2,37 m + [(23,6 m s)(sen 5,00 )(0,510 s)] (9,80 m s)(0,510 s) Não, pois ela passa chega à rede a 0,046 m acima do solo, enquanto a rede tem 0,90 m de d) Supondo que, nas mesmas condições, a bola deixe a raquete fazendo um ângulo de 5,00 abaixo da horizontal. Quando a bola chega a rede, qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede? 0,900 m 0,046 m 0,854 m

21 **33. Em uma cortada, um jogador de voleibol golpeia a bola com força, de cima para baixo, em direção à quadra adversária. É difícil controlar o ângulo de uma cortada. Suponha que uma bola seja cortada de uma altura de 2,30 m, com uma velocidade inicial de 20,0 m/s e um ângulo para baixo de 18,0. Se o ângulo para baixo diminuir para 8,00, a que distância adicional a bola atingirá a quadra adversária? Primeiro encontramos o tempo que a bola leva para atingir o chão. Supomos que o ângulo de 18,0 para baixo seja 18,0 abaixo da linha horizontal. y y (v senθ )t gt 0 2,30 m (20,0 m/s)(sen 18,0 )t (9,80 m/s )t (4,90 m s )t + (6,18 m s)t 2,30 m 0 t,(,) (,)(,) (,),,, Dessa forma a bola atingirá a quadra em x x (v cosθ )t 0,30 s x 0 (20,0 m/s)(cos 18,0 )(0,30 s) 5,71 m chamaremos de x Porém se o ângulo diminuir para 8,00 y y (v senθ )t gt 0 2,30 m (20,0 m/s)(sen 8,00 )t (9,80 m/s )t (4,90 m s )t + (2,78 m s)t 2,30 m 0 t,(,) (,)(,) (,),,, Dessa forma a bola atingirá a quadra em x x (v cosθ )t 0,46 s x 0 (20,0 m/s)(cos 8,00 )(0,46 s) 9,06 m chamaremos de x Daí concluímos que a distância adicional, caso o ângulo diminua de 18,0 para 8,00 é: x x x 9,06 m 5,71 m 3,35 m **34. Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de 45. No mesmo instante um jogador a 55,0 m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?

22 Primeiro calculamos a distância que a bola percorrerá. R R sen 2θ (, /) sen 90,0 38,8 m, / Como o jogador se encontra a 55,0 m de x, e a bola se desloca 38,8 m a partir de x, o jogador deverá se deslocar 55,0 m 38,8 m 16,2 m. Agora teremos que calcular o tempo que a bola permanecerá viajando. Na verdade é o tempo que ela leva para subir até o máximo da altura e retornar até o solo. lançada. Então y y (v senθ )t gt y (v senθ )t gt, mas y 0, pois a bola voltará à mesma altura que foi 0 (v senθ )t gt (v senθ )t gt v senθ v senθ gt t (, ) (, ) 2,81 s Agora que sabemos a distância que o jogador terá que percorrer e o tempo: v r 16,2 m 5,77 m/s t 2,81 s **35. A velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima. Determine o ângulo de lançamento θ. Colocamos a origem das coordenadas no local de lançamento. Observamos que na altura máxima, v 0, o que determina que v v v. Nesse raciocínio, vemos que v 5v. Em seguida vemos que v cosθ v v. Logo: (5v)cosθ v θ cos cos 78,5 **36. Um arremessador de peso de nível olímpico é capaz de lançar o peso com uma velocidade inicial v 15,00 m/s de uma altura de 2,160 m. Que distância horizontal é coberta pelo peso se o ângulo de lançamento θ é: a) 45,00? Como as alturas inicial e final são diferentes, não podemos usar a equação de alcance horizontal.

23 Usaremos então a equação de movimento vertical para descobrir o tempo que o peso permanece no ar. y y (v senθ )t gt 0 2,160 m (15,00 m s)sen(45,00º)t (9,800 m s)t (4,900 m s )t (10,61 m s)t 2,160 m 0 t ±,±(,) (,)(,), Portanto a distância horizontal é: b) 42,00?,,, 2,352 s R (v 0 cosθ 0 )t (15,00 m s)cos45,00º(2,352 s) 24,95 m y y (v senθ )t gt 0 2,160 m (15,00 m s)sen(42,00º)t (9,800 m s)t (4,900 m s )t (10,04 m s)t 2,160 m 0 t ±,±(,) (,)(,), Portanto a distância horizontal é:,,, R (v 0 cosθ 0 )t (15,00 m s)cos42,00º(2,245 s) 25,02 m 2,245 s Obs: As respostas mostram que o ângulo de 45, que maximiza o alcance dos projéteis, não maximiza a distância horizontal qundo a altura inicial é diferente da altura final. **37. Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9,1 m, sua velocidade é v (7,6ı + 6,1ȷ )m/s, com ı na horizontal e ȷ para cima. a) Qual a altura máxima atingida pela bola? Designamos como: v velocidade de lançamento v v (7,6ı + 6,1ȷ )m/s v velocidade quando atinge a altura máxima v velocidade no instante em que retorna ao solo Primeiramente vamos encontrar a velocidade inicial: v v + 2a(x x ) v v 2g(y y ) (6,1 m s) v 2(9,8 m s )(9,1 m) v (6,1 m s) + 2(9,8 m s )(9,1 m) 15 m/s

24 Após termos encontrado a v e sabendo que v 0, usamos a mesma equação para encontrar h. v v + 2a(x x ) v v 2gh 0 (15 m s) 2(9,8 m s )h h ( ) 11 m (, ) b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola? Usando v para v senθ e v para v cosθ, temos: R (v cosθ )t R v t 0 (v senθ )t gt 0 v t gt v gt Eliminando t nas duas equações obtemos: R Como v v 7,6 m/s R (, )( ), / 23 m c) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que atinge o solo? Como v v 7,6 m/s e v v 15 m/s v (v ) + (v ) (7,6 m s) + ( 15 m s) 17 m/s solo? d) Qual é o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante em que atinge o θ tan 63, medidos no sentido horário a partir do semi-eixo x positivo, ou medidos no sentido anti-horário. **38. Você lança uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 25,0 m/s e um ângulo θ 40,0 acima da horizontal, conforme a figura. A parede está a uma distância d 22,0 m do ponto de lançamento da bola.

25 a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola atinge a parede? x x (v cosθ )t 22,0 m (25,0 m/s)(cos40,0 )(t) t, (, /)( ) 1,15 s y y (v senθ )t gt y 0 25,0 m s (sen40 )(1,15 s) (9,80 m s)(1,15 s) 12,0 m b) Qual é a componente horizontal da velocidade da bola ao atingir a parede? Como a bola não possui aceleração horizontal, v v, então se v v cosθ v v v cosθ v (25,0 m s)(cos40,0 ) 19,2 m/s c) Qual é a componente vertical da velocidade da bola ao atingir a parede? v v senθ gt v (25,0 m s)(sen40,0 ) (9,8 m/s )(1,15 s) 4,80 m/s d) Ao atingir a parede, ela já passou pelo ponto mais alto da trajetória? Como v > 0, a bola ainda não atingiu a altura máxima da trajetória. **39. Um rifle que atira balas a 460 m/s é apontado para um alvo situado a 45,7 m de distância. Se o centro do alvo está na mesma altura do rifle, para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala atinja o seu centro. A origem de coordenadas é no final do cano do rifle e o sentido do disparo é o mesmo sentido do semi-eixo x positivo. θ é o ângulo de disparo. Se o alvo está a uma distância d, então suas coordenadas são: x d e y 0. As equações do movimento do projétil são: d v cosθ e 0 v tsenθ gt. Eliminando t obtemos: 2v senθ cosθ gd 0. Usando a identidade trigonométrica senθ cosθ sen(2θ ), obtemos: 2v senθ cosθ gd 0 v sen(2θ ) gd sen(2θ ) sen(2θ ), (, ) ( /), / / 2,11 10 θ 0,0606 A altura adicional para a qual o rifle deve ser apontado é h dtanθ (45,7 m) tan(0,0606 ) 0,0484m ou 4,84 cm

26 **40. Uma bola de beisebol deixa a mão do lançador horizontalmente com uma velocidade de 161 km/h. A distância até o rebatedor é 18,3 m. a) Quanto tempo a bola leva para percorrer a primeira metade da distância? Adotamos o sentido do lançamento da bola no mesmo sentido do semi-eixo x positivo. Quando a bola deixa a mão do lançador v 0 e v v 44,7 m/s. Quando a a bola sai da mão do arremessador, a coordenada y é dada por y gt e a coordenada x é dada por x v t. Como há uma relação direta entre a distância horizontal e o tempo, significa que o tempo necessário para percorrer a metade da distância total é de metade do tempo total. Então: x v t t,, / A primeira metade da distância é percorrida em 0,409 s (para a distância total), 0,205 s b) Quanto tempo a bola leva para percorrer a segunda metade da distância? Como a segunda metade da distância é igual à primeira metade da distância, o tempo é o mesmo: 0,205 s c) Que distância a bola cai livremente durante a primeira metade? Como temos o tempo da primeira metade: y gt y (9,80 m s)(0,205 s) 0,205 m d) Que distância a bola cai livremente durante a segunda metade? y gt y (9,80 m s)(0,409 s) 0,820 m y y y 0,820 m ( 0,205 m) 0,615 m e) Porque as respostas dos itens c) e d) não são iguais? Porque existe uma aceleração constante e a velocidade inicial da segunda metade é igual à velocidade no final da primeira metade. **41. Na figura, uma bola é jogada para a esquerda a partir da extremidade esquerda de um terraço situado a uma altura h acima do solo. A bola chega ao solo 1,50 s depois, a uma distância d 25,0 m do edifício fazendo um ângulo θ 60,0 com a horizontal.

27 a) Determine o valor de h. Para determinar a altura, torna-se mais fácil inverter o movimento da bola. Então calcularemos o movimento como se a bola tivesse sido lançada do solo para o alto do edifício e da esquerda para a direita. x x (v cosθ )t 25,0 m (v cos60,0 )(1,50 s) v (, ), 33,3 m/s Determinada a velocidade inicial e tendo y 0, determinamos a altura: y y (v senθ )t gt y (33,3 m/s)(sen60,0 )(1,50 s) (9,80 m s)(1,50 s) 32,3 m b) Qual é o módulo da velocidade com a qual a bola foi lançada. v v v cosθ (33,3 m s)cos60,0 16,7m/s v v gt v senθ gt v [(33,3 m s)sen60,0 ] [(9,80 m s )(1,50 s)] 14,2 m/s v (v ) + (v ) (16,7 m/s) + (14,2 m/s) 21,9 m/s c) Qual é o ângulo da velocidade em relação à horizontal com o qual a bola foi lançada. θ tan, / 40,4, / **42. Uma bola de golfe recebe uma tacada no chão. A velocidade da bola em função do tempo é mostrada na figura, onde t 0 é o instante em que a bola foi golpeada. a) Que distância a bola percorre na horizontal antes de voltar ao nível do solo? No movimento horizontal não há aceleração, portanto, sempre que v 0, v v. Um gráfico apena com v seria representado por uma reta.

28 Observando o gráfico, verifica-se uma curva, onde a velocidade diminui, depois aumenta. Daí infere-se que v está variando. Conclui-se que em t 2,5 s, quando a velocidade muda o sentido, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória, quando v 0, logo, em t 2,5 s; v v : v (v ) + (v ) v (19 m/s) + (0) 19 m/s Até voltar ao nível do solo a bola permanece 5 s viajando. Então x x (v cosθ )t O ângulo do ponto de partida até voltar ao nível do solo é 0, e cos 0 1, logo x x v t x 0 (19 m s)(5 s) x 95 m b) Qual é a altura máxima atingida pela bola acima do solo? Como a velocidade inicial, de acordo com o gráfico é 31 m/s, e a velocidade horizontal calculada no item anterior é 19 m/s, a velocidade inicial vertical é v (v ) + (v ) 31 m/s (19 m/s) + (v ) (19 m/s) + (v ) (31 m s) (v ) (31 m s) (19 m/s) v (31 m s) (19 m/s) 24,5 m Tomando y 0: y y v + v t y (0 + 24,5 m s)(2,5 s) m **43. Na figura, uma bola é lançada com uma velocidade de 10,0 m/s e um ângulo de 50,0 com a horizontal. O ponto de lançamento fica na base de uma rampa de comprimento horizontal d 6,00 m e altura d 3,60 m. No topo da rampa está localizado um platô. a) A bola aterrissa na rampa ou no platô? Organizamos nossas coordenadas de modo que o ponto A(0, 0) esteja na bola antes de ser lançada e o ponto B(6,00, 3,60) seja a intersecção da rampa com o platô. A inclinação da rampa será: m,,,, 0,600 Deste modo, y mx 0,600x. Usando a equação da trajetória: y (tanθ )x y tan(50,0 ) x (, / ) ( ) (, ) (, ) x

29 0,600x tan(50,0 ) x (, / ) (, ) (, ) x 0,600 (, ) (, / ) (, ) (, ) 0,600 tan(50,0 ) (, / ) (, ) (, ) x (, / ) (, ) (, ) x tan(50,0 ) 0,600 (9,80 m s )x [tan(50,0 ) 0,600][2(10,0 m s) (cos50,0 ) ] x [(, ),][(, ) (, ) ] (, ) Logo a bola aterrissa na rampa. 4,99 m b) No momento em que bola aterrissa qual é o módulo do deslocamento da bola em relação ao ponto de lançamento? y mx y 0,600(4,99) 2,99 m r x + y (4,99 m) + (2,99 m) 5,82 m c) No momento em que bola aterrissa qual é o ângulo do deslocamento da bola em relação ao ponto de lançamento? θ tan, 31,0, Que é o mesmo ângulo da rampa tan (m). **44. Em 1939 ou 1940 Emanuel Zacchini levou seu número de bala humana a novas alturas. Depois de ser disparado por um canhão, passou por cima de três rodas-gigantes antes de cair em uma rede conforme mostrado na figura. a) Tratando Zacchini como uma partícula, determine a que distância vertical ele passou da primeira roda-gigante? Utilizaremos com origem das coordenadas a boca do canhão, assim x 0 e y 0. A distância entre a boca do canhão e a roda-gigante do meio é: x 23,0 m y (tanθ )x ( ) y tan 53,0 (23,0 m), (, ) 20,3 m (, ) (, )

30 Como a boca do canhão está 3,00 m acima da base da roda-gigante, temos que subtrair 3,00 m da altura da mesma. Então. 20,3 m (18,0 m 3,00 m) 5,30 m b) Se ele atingiu a altura máxima ao passar pela roda-gigante do meio, a que distância vertical passou dessa roda-gigante? x 23 m + 34,5 m y (tanθ )x ( ) 22,9 m (18,0 m 3,00 m) 7,90 m y tan 53,0 (34,5 m), (, ) 22,85 m (, ) (, ) c) A que distância do canhão devia estar posicionado o centro da rede (desprezando-se a resistência do ar)? Como y y 0, quero dizer a altura final é igual a altura de lançamento, podemos utilizar a equação do alcance horizontal: R sen 2θ R (, ), sen2(53,0 ) 68,9 m **45. Quando vê um inseto pousado em uma planta perto da superfície da água, o peixe-arqueiro coloca o focinho para fora e lança um jato de água na direção do inseto para derrubá-lo na água. Conforme a figura, embora o peixe veja o inseto na extremidade de um segmento de reta de comprimento d, que faz um ângulo φ com a superfície da água, o jato deve ser lançado com um ângulo diferente, θ, para que sua trajetória parabólica intercepte o inseto. Se φ 36,0, d 0,900 m, e a velocidade de lançamento é 3,56 m/s, qual deve ser o valor de θ para que o jato esteja no ponto mais alto da trajetória quando atinge o inseto? Com o peixe-arqueiro na origem, a posição do inseto é: x dcosφ (0,900 m) cos 36,0 0,728 m y dsenφ (0,900 m) sen 36,0 0,529 m Uma vez que, neste caso, y y y θ sen θ sen (, / )(, ) (, / ) θ sen (0,9045) 64,8

31 **46. Na figura uma bola é arremessada para o alto de um edifício, caindo 4,00 s depois a uma altura h 20,0 m acima da altura de lançamento. A trajetória da bola no final tem uma inclinação θ 60,0 em relação à horizontal. a) Determine a distância horizontal d coberta pela bola. Tomaremos nosso sistema de coordenadas, com a bola sendo atirada para a esquerda do alto do edifício. Assim, x positivo fica para a esquerda e o ângulo tomado no sentido horário. Temos, então: y 20,0 m, y 0, t 4,00s, h 20,0 m e θ 60,0 y y v t gt y y (v sen60,0 )t gt 0 20,0 m (v sen60,0 )(4,00 s) (9,80 m/s )(4,00 s) (v sen60,0 )(4,00 s) (9,80 m/s )(4,00 s) 20,0m (v sen60,0 ) (, / )(, ), (, ) v (, / )(, ), (, ), 16,9 m/s x 0 e x d Então: x x v t d (16,9 m s)cos60,0 (4,00 s) 33,7 m b) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? v v (16,9 m s)cos60,0 8,43 m/s v v (16,9 m s)sen60,0 (9,80 m s )(4,00 s) 24,6 m/s v v + v (8,43 m s) + ( 24,6 m/s) 26,0 m/s c) Qual é o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade inicial da bola? θ tan, / 71,1, / Ao revertermos o movimento, da esquerda para a direita, o ângulo é 71,1.

32 **47. Um rebatedor golpeia uma bola quando o centro da bola está a 1,22 m acima do solo. A bola deixa o taco do rebatedor fazendo um ângulo de 45º com o solo. Nesse lançamento a bola tem um alcance horizontal (distância até voltar à altura de lançamento) de 107 m. a) A bola conseguirá passar por um alambrado de 7,32 m de altura que está a uma distância horizontal de 97,5 m do ponto de lançamento? R sen 2θ v (, / )( ) x x (v cosθ )t t, (, ) 32,4 m/s 4,26 s y y (v senθ )t gt y y + (v senθ )t gt y 1,22 + (32,4 m s sen45 )(4,26 s) (9,80 m s)(4,26 s) 9,89 m Como a cerca possui 7,32 m de altura, a bola passará por cima dela. b) Qual é a distância entre o alto do alambrado e o centro da bola quando a mesma chega ao alambrado? 9,89 m 7,32 m 2,57 m **48. Alguns jogadores de basquetebol parecem flutuar no ar durante um salto em direção à cesta. A ilusão depende em boa parte da capacidade de um jogador experiente de trocar a bola de mão durante o salto, mas pode ser acentuada pelo fato de que o jogador percorre uma distância horizontal maior na parte superior do salto do que na parte inferior. Se um jogador salta com uma velocidade inicial v 7,00 m/s e um ângulo θ 35,0, que porcentagem do alcance do salto o jogador passa na parte superior do salto (entre a altura máxima e a metade da altura máxima)? Usando o fato de que v 0 em y e chamando t em y de t : 0 v v senθ gt t Substituindo t na equação: y y (v senθ )t gt teremos: y (v senθ ) Para resolver a metade de y : g 0,82 m y y (v senθ )t gt t é (± ) t t t é ( ) 0,707 70,7%

33 ***49. Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegar a uma encosta. Considere um salto no qual a velocidade inicial é v 10 m/s, o ângulo é θ 9,0, a pista antes do salto é aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de 11,3. A figura a mostra um pré-salto no qual o esquiador desce no início da encosta. A figura b mostra um salto que começa no momento em que o esquiador está chegando à encosta. Na figura a o esquiador desce aproximadamente na mesma altura em que começõu o salto. a) Qual o ângulo Φ entre a trajetória do esquiador e a encosta na situação da figura a? O esquiador salta para cima a um ângulo θ 9,0 (para cima em relação à horizontal) e, assim, regressa ao nível de lançamento com o seu vector de velocidade de 9,0 abaixo da horizontal. Como a superfície de neve faz um ângulo de α 11,3 (abaixo da horizontal), o ângulo entre a rampa e o vetor de velocidade é: Φ α θ 11,3 9,0 2,3 b) Na situação da figura b, o esquiador desce quantos metros abaixo da altura em que começou o salto? Fazendo x (d cos α) e y ( d sen α) (a borda da pista é a origem), temos: y (tanθ )x ( ) d senα (tanθ )(d cosα) ( ) ( ) d (cos a tanθ + sen a) d (cos a sen θ + cos θ sen a) d sen(θ + a) d ( ) (, ) (, / ) (, ) sen(9,0 + 11,3 ) 7,27m y d sen a (7,27 m)sen(11,3 ) 1,42 m salto. Respondendo à pergunta, o esquiador aterra 1,42 m abaixo da altura de onde iniciou o c) Na situação da figura b, qual é o valor de Φ? O tempo que o esquiador leva para aterrar é: t (, ) (, ) ( )(, ) 0,72 s

34 Precisamos saber as componentes da velocidade: v v cosθ (10 m s) cos(9,0 ) 9,9 m/s v v senθ gt (10 m s) sen(9,0 ) (9,8 m s )(0,72 s) 5,5 m/s Encontradas as componentes podemos calcular o ângulo da velocidade. θ tan, / 29,1 (abaixo da horizontal), / Φ é o ângulo formado entre a inclinação da encosta e a direção da velocidade do esquiador, então: Φ ( 29,1 ) ( 11,3 ) 17,8 (o valor negativo indica abaixo da horizontal) O módulo de Φ 17,8 ***50. Uma bola é lançada a partir do solo em direção a uma parede situada a uma distância x, conforme a figura a. A figura b mostra a componente v da velocidade da bola ao chegar à parede em função da distância x. Qual é o ângulo de lançamento? x x (v cosθ )t t v v senθ gt v v gt (substituindo t) v v g v v Uma vez que o declive do gráfico é: m 0,500, concluímos que: v 2g 19,6 m/s Conforme o gráfico, em x 0 m, a v 5,00 m s, então concluímos que v 5,00 m/s θ tan, / 14,3, / ***51. O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s. a) Qual é o menor ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado a 50 m da meta cujo travessão está 3,44 m acima do gramado?

35 b) Qual é o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado a 50 m da meta cujo travessão está 3,44 m acima do gramado? A origem de coordenadas é no ponto em que a bola é chutada, então x 0 e y 0. Usamos x e y para representar as coordenadas da bola na trave, e tentar encontrar o ângulo de chute. x 50 m y 3,44 m x x v cosθ t t y y v sen θ t gt (mas t ), então, substituindo t y v sen θ g arrumando a equação y x lembremos que tan θ, então y x tan θ que pode ser escrito da seguinte forma teremos: y x tan θ Lembrando a identidade trigonométrica 1 + tan θ e substituindo na equação, y x tan θ (1 + tan θ ) y x tan θ tan θ Arrumando a equação obtemos uma equação quadrática: tan θ x tan θ + y + 0 Podemos ainda simplificar, fazendo: c, ( ) ( ) 19,6 m Temos assim uma equação do segundo grau mais enxuta: c tan θ x tan θ + y + c 0 tan θ ± () tan θ ±,, A resposta da letra a) é 31º A resposta da letra b) é 63 ±( ) (, )(,, ) (, ) 1,95 62,8 63 0,604 31,1 31

36 ***52. Uma bola é lançada a partir do solo com uma certa velocidade. A figura mostra o alcance R em função do ângulo de lançamento θ. O tempo do percurso depende do valor de θ ; seja t o maior valor possível para o tempo. Qual é a menor velocidade que a bola possui durante o percurso se θ é escolhido de tal forma que o tempo do percurso é, 0,5t. Para y 0, t, o que implica que para t quando θ 90. Assim, t senθ 30,0 Portanto, 0,5t está no ângulo θ 30,0. Uma vez que a menor velocidade ocorre no topo da trajetória, que é onde ela possui apenas a componente x da velocidade inicial (v cosθ v cos30,0, para t ), então é necessário concultar o gráfico, para encontrar a v a fim de que possamos completar a solução. No gráfico, R 240 m quando θ 45,0. R sen 2θ v (, / ), 48,5 m Para 0,5t, temos, lembrando que a menor velocidade ocorre no topo da trajetória, quando a mesma possui apenas a componente x: v v cosθ 48,5 m/s(cos30 ) 42,0 m/s ***53. Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com uma velocidade de 1,52 m/s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro? Designamos h como a altura de um degrau e w como a sua largura. Para cair um degrau a bola deve cair de uma altura nh e viajar horizontalmente entre (n 1)w e w Tomamos como origem de um sistema de coordenadas o ponto onde a bola deixa a parte superior da escada, e escolhemos o eixo y positivo para cima. As coordenadas da bola em função do tempo t são dadas por: x v t e y gt (pois v 0). Nós igualamos y nh e calculamos o tempo para atingir uma etapa n: y gt nh gt t

37 Como x v t, e t, substituímos t e obtemos: x v (1,52 m/s)(,) (0,309 m) n, O método consiste em testar valores de n até encontrar um que: (n 1) < < n Para tanto começamos com n 1 x (0,309 m) n x (0,309 m) 1 0,309 m (n 1) < < n, (1 1) < < 1 (1 1) < 1,52 < 1 (falso), n 2 x (0,309 m) n x (0,309 m) 2 0,437 m (n 1) < < n, (2 1) < < 2 (2 1) < 2,15 < 2 (falso), n 3 x (0,309 m) n x (0,309 m) 3 0,535 m (n 1) < < n, (3 1) < < 3 (3 1) < 2,64 < 3 (verdadeiro), Concluímos que a bola cairá no 3 degrau. ***54. Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-se 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente em relação ao ponto de lançamento. a) Qual é a componente horizontal da velocidade inicial do projétil? x v t v 20 m/s b) Qual é a componente vertical da velocidade inicial do projétil? v t gt v, ( ) 36 m/s c) Qual é o deslocamento horizontal em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em relação ao solo? Em y, temos v 0, logo v 0 v v gt t /, / x x v t x (20 m/s)(3,68 s) 74 m 3,68 s

38 ***55. Na figura uma bola de beisebol é golpeada a uma altura h 1,00 m e apanhada na mesma altura. Deslocando-se paralelamente a um muro, ela passa pelo alto do muro 1,00 s após ter sido golpeada e, novamente, 4,00 s depois, quando está descendo, em posições separadas por uma distância D 50,0 m. a) Qual é a distância horizontal percorrida pela bola do instante em que foi golpeada até ser apanhada? Colocamos y h 1,00 m onde a bola é rebatida, bem como x Colocamos y e y h (altura da parede) x é o ponto onde a bola se eleva acima da parede e x quando volta abaixo da parede y 1,00 m x onde a bola é apanhada Sabendo que v é constante, temos x x 50,0 m v (4,00 s), logo v,, 12,5 m/s Como o percurso total da bola levou 1 s até a parede e depois 1 seg da parede até ser apanhada, temos: 1,00 s + 4,00 s + 1,00s 6,00 s Como a velocidade horizontal é constante, podemos usar v v v v v Então x x R v t (12,5 m/s)(6,00 s) 75,0 m b) Qual é o módulo da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada? Nos falta calculat a v Aplicando a equação y y v t gt y y v t gt como ambos possuem a mesma altura y y 0 v gt (9,80 m s)4,00 s 19,6 m/s

39 Esta é a velocidade com que a bola passou pelos pontos em que a trajetória corta a linha formada pelo topo do muro. Podemos dizer que: v v gt o que dá v v + gt O tempo da rebatida até a bolo chegar à altura do muro é 1,00 s, então v 19,6 m s + (9,8 m s )(1,00 s) 29,4 m/s Então temos, finalmente: v v ı + v ȷ (12,5 m/s)ı + (29,4 m/s)ȷ Cujo módulo é: v (12,5 m/s) +(29,4 m/s) 34,9 m/s c) Qual é o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada? θ tan, / 67,0, / d) Qual é a altura do muro? y y v t gt h y + v t gt h 1,00 m + 29,4 m/s(1,00 s) (9,8 m s)(1,00 s) 25,5 m *56. Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular uniforme de período T 2,0 s e raio r 3,00 m. No instante t sua aceleração é a (6,00 m s )ı + ( 4,00 m s )ȷ. Nesse instante, quais são os valores de a) v a? Durante o movimento circular uniforme, o vetor da velocidade é perpendicular ao vetor da aceleração, logo v a 0 b) r a? O vetor da aceleração em todo instante possui o sentido do centro da circunferência, enquanto o raio possui sentido contrário. O ângulo formado entre r e a é 180, logo r a 0

40 *57. Em um parque de diversões uma mulher passeia em uma roda-gigante com 15 m de raio, completando cinco voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto. a) Qual é o período do movimento? Um período corresponde a uma volta completa. 5 voltas por minuto representa T 12 s º b) Qual é o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais alto? Como uma volta representa a distância de 2πR e v ( ) 7,85 m/s O módulo da aceleração é: a (, /) 4,1 m/s c) Qual é o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais alto? O vetor da aceleração centrípeta aponta para baixo, para o centro da órbita. d) Qual é o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais baixo? Como não houve modificação do raio nem da velocidade, a aceleração centrípeta é a mesma 4,1 m/s². e) Qual é o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais baixo? O vetor da aceleração centrípeta aponta para cima, para o centro da órbita. *58. Qual é o módulo da aceleração centrípeta de um velocista que corre a 10 m/s ao fazer uma curva com 25 m de raio? a ( /) 4,0 m/s *59. Quando uma grande estrela se torna uma supernova seu núcleo pode ser tão comprimido que ela se transforma em uma estrela de nêutrons, com um raio de cerca de 20 km. Se uma estrela de nêutrons completa uma revolução a cada segundo, a) Qual é o módulo da velocidade de uma partícula situada no equador da estrela? v ( ) 1,3 10 m/s b) Qual é o módulo da aceleração centrípeta da partícula situada no equador da estrela? a, / 7,9 m/s

41 c) Se a estrela de nêutrons gira mais depressa, as respostas dos itens a) e b) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas? Se a estrela gira mais depressa, o período diminui logo a velocidade aumenta. Aumentando a velocidade, a aceleração aumenta. Os itens das letras a) e b) aumentam. *60. Um satélite se move em uma órbita circular, 640 km acima da superfície da Terra, com um período de 98,0 min. a) Qual é a velocidade do satélite? Somamos ao raio da Terra, mais 640 km. R 6,37 10 m + 6,4 10 7,01 10 m v (, ) 7,49 10 m/s, a) Qual é o módulo da aceleração centrípeta? a, /, 8,00 m/s *61. Um carrossel de um parque de diversões gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. Um homem em pé na borda do carrossel tem uma velocidade escalar constante de 3,66 m/s e uma aceleração centrípeta a de módulo 1,83 m/s². O vetor posição r indica sua posição em relação ao eixo do carrossel. Primeiramente colocamos nosso sistema de coordenadas de modo que a origem deste sistema esteja no eixo vertical do carrossel, o sentido positivo do eixo x aponte para o leste enquanto o sentido negativo do eixo y aponte para o sul. a) Qual é o módulo de r? a r (, / ), /² 7,32 m b) Qual é o sentido de r quando a aponta para o leste? O sentido da aceleração centrípeta é sempre contrário ao sentido do vetor posição, logo, respondendo à questão, r aponta para oeste. c) Qual é o sentido de r quando a aponta para o sul? O sentido da aceleração centrípeta é sempre contrário ao sentido do vetor posição, logo, respondendo à questão, r aponta para norte. *62. Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto. Considere um ponto situado na extremidade de uma das pás, que descreve uma circunferência com 0,15 m de raio. a) Que distância este ponto percorre em uma revolução? c 2πr 2π(0,15 m) 0,94 m

42 b) Qual é a velocidade desse ponto? T v,, 0,05 s/rev 18,8 m/s c) Qual o módulo da aceleração? a (, /), 2,36 10 m/s d) Qual é o período do movimento? T 0,050 s **63. Uma bolsa a 2,00 m do centro e uma carteira a 3,00 m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Elas estão na mesma linha radial. Em um certo instante a aceleração da bolsa é (2,00 m s )ı + (4,00 m s )ȷ. Qual é a aceleração da carteira neste instante, em termos de vetores unitários? Como o período de um movimento circular uniforme é T, em que r é o raio e v é a velocidade, a aceleração centrípeta pode ser escrita como: a Com base nessa expressão, verificamos que o único valor variável entre a bolsa e a carteira é o módulo do seu raio. Então a razão do raio é: 1,5 a 1,50[(2,00 m s )ı + (4,00 m s )ȷ ] (3,00 m s )ı + (6,00 m s )ȷ **64. Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas xy horizontal, com velocidade escalar constante. No instante t 4,00 s ela está no ponto (5,00 m, 6,00 m) com velocidade (3,00 m/s)ȷ e aceleração no sentido positivo de x. No instante t 10,0 s ela tem uma velocidade ( 3,00 m/s)ı e uma aceleração no sentido positivo de y. a) Qual é a coordenada x do centro da trajetória circular se a diferença t t é menor que um período?

43 O fato de que a velocidade é no sentido y positivo e a aceleração é na direção x positivo em t 4,00 s significa que o movimento é para a direita. A posição corresponde à posição 09:00 horas. Por outro lado, a posição em t 10,0 s corresponde à posição de 6:00 horas uma vez que os pontos de velocidade na direcção x negativo e a aceleração é na direção y positivo. O intervalo de tempo t 10,0 s 4,00 s 6,00 s é igual a 3/4 de um período: 6,00 s (, ) T T 8,00 s T r (, /)(, ) 3,82m A coordenada x do centro da trajetória circular é: x 5,00 m + 3,82 m 8,82 m b) Qual é a coordenada y do centro da trajetória circular se a diferença t t é menor que um período? y 6,00 m **65. Em t 2,00 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido antihorário é (6,00 m s )ı + (4,00 m s )ȷ. Ela se move com velocidade escalar constante. Em t 5,00 s, sua aceleração é (4,00 m s )ı + ( 6,00 m s )ȷ. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t t é menor que um período? Primeiro, verificamos se a aceleração em t (que chamaremos de a ) é perpendicular à aceleração em t (que chamaremos de a ). Como a a 0 vamos verificar: a a [(6,00 m s )ı + (4,00 m s )ȷ ] [(4,00 m s )ı + ( 6,00 m s )ȷ ] (24,0 m s )ı (24,0 m s )ȷ 0 Provamos que as acelerações a e a são perpendiculares. Então um ângulo entre elas obrigatoriamente é 90 e o outro 270, o que nos leva a perceber que a partícula se desloca, em t t, ou 1 quarto de circunferência ou 3 quartos de circunferência. Um esboço rápido permite a conclusão de que, se a partícula se move para a esquerda (conforme enunciado) viaja três quartos da circunferência a partir da posição t para a posição t. t t 5,00 s 2,00 s 3,00 s

44 3,00 s (, ) T T 4,00 s a a + a (6,00 m s ) (4,00 m s ) 7,21 m/s Note que o módulo da aceleração centrípeta será o mesmo para qualquer ponto em que for calculado. O raio, então é: a r, (, ) 2,92 m **66. Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em um plano horizontal xy. Em um certo instante ela passa pelo ponto de coordenadas (4,00 m, 4,00 m) com velocidade ( 5,00ı ) m/s e uma aceleração de (12,5ȷ ) m/s². a) Qual é a coordenada x do centro da trajetória? Quando uma partícula viaja em movimento circular com velocidade constante, o vetor da aceleração centrípeta necessariamente aponta para o centro. Como no ponto (4,00 m, 4,00 m) a aceleração possui apenas a componente y, indica que a partícula está exatamente sobre um eixo paralelo ao eixo y que passa pelo centro da circunferência cortando o eixo x no valor 4,00 m. x (4,00 m)ı b) Qual é a coordenada y do centro da trajetória? Como a aceleração aponta para cima (y positivo), indica que a partícula está no sentido contrário, para baixo do centro da circunferência, então o ponto (4,00 m, 4,00 m) está a distância de um raio abaixo do centro da circunferência. v v + v ( 5,00ı ) + 0 5,00 m/s r (, ) 2,00m, / A coordenada y do centro é 2,00 m + 4,00 m (6,00 m)ȷ

45 ***67. Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com 1,5 m de raio 2,0 m acima do chão. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10 m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento? Para calcular a aceleração centrípeta da pedra, o que precisamos saber a sua velocidade durante o seu movimento circular. Esta é também a sua velocidade inicial no início dp vôo após arrebentar a corda. Tomando a direcção y para cima e colocando a origem no ponto em que a pedra deixa sua órbita circular, as coordenadas da pedra durante o seu movimento como um projéctil são dadas por: x v t e y gt (v 0) A pedra atinge o solo em x 10m e y 2,0 m y gt t x v t x v v x (10 m), (, ) 15,7 m/s Como v v do movimento circular, temos: a (, /), 163 m/s ***68. Um gato pula em um carrossel que está descrevendo um movimento circular uniforme. No instante t 2,00 s, a velocidade do gato é v (3,00 m/s)ı + (4,00 m s)ȷ, medidas em um sistema de coordenadas horizontal xy. No instante t 5,00 s, a velocidade é v ( 3,00 m/ s)ı + ( 4,00 m s)ȷ. a) Qual o módulo da aceleração centrípeta do gato? Notamos que, depois de três segundos terem se passado (t t 3,00 s) a velocidade se inverte. Infere-se que são necessários três segundos para atingir o lado oposto do círculo. Assim, T 2(3,00 s) 6,00 s. Sabendo que a, que v v + v, e que r, temos: a (, /) (, ), 5,24 m/s,

46 b) Qual a aceleração média do gato no intervalo de tempo t t, que é menor que um período? a (,, ) (,, ),, a ( 2,00m/s ) + (2,67m/s ) 3,33 m/s ( 2,00ı 2,67ȷ )m/s ) *69. Um cinegrafista está em uma picape que se move para oeste a 20 km/h enquanto filma um guepardo que também está se movendo para oeste 30 km/h mais depressa que a picape. De repente, o guepardo para, dá meia-volta e passa a correr a 45 km/h para leste, de acordo com a estimativa de um membro da equipe, agora nervoso, de pé na margem da estrada, no caminho do guepardo. A mudança de velocidade do animal leva 2,0 s. a) Qual é o módulo da aceleração do animal em relação ao cinegrafista? Usamos a direção leste no mesmo sentido de x positivo. 20 km/h 5,6 m/s; 30 km/h 8,3 m/s; 45 km/h 12,5 m/s A velocidade com que o guepardo se aproxima da picape, ao final dos dois segundos é: v v v (12,5 m/s)ı ( 5,6 m/s)ı (18,1 m/s)ı em relação à picape. Uma vez que a velocidade relativa do guepardo à picape, no início do intervalo de 2,0 s é ( 8,3 m / s)ı, o vector de aceleração (média) em relação ao operador de câmara (na picape) é: a (, /) (, /), (13 m/s )ı b) Qual é a orientação da aceleração do animal em relação ao cinegrafista? Conforme arbitramos no início do exercício, a direção leste no sentido de x positivo. (13 m/s )ı aponta para o leste c) Qual é o módulo da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe? A velocidade do guepardo no início do intervalo de 2,0 s era (conforme enunciado) 30 km/h mais rápido que a picape, que ia a 20 km/h, na direção oeste. Então Em relação ao solo, o guepardo se deslocava a uma velocidade de: ( 8,3 m s)ı + ( 5,6 m s)ı ( 13,9 m/s)ı Após o intervalo de dois segundos na mudança de direção, a aceleração média, em relação ao membro da equipe no solo, é: a (, /) (, /), (13 m s )ı a a + a (13 m s ) m s

47 d) Qual é a orientação da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe? Conforme arbitramos no início do exercício, a direção leste no sentido de x positivo. (13 m/s )ı aponta para o leste *70. Um barco está navegando rio acima, no sentido positivo de um eixo x, a 14 km/h em relação à água do rio. A água do rio está correndo a 9,0 km/h em relação à margem. a) Qual é o módulo da velocidade do barco em relação à margem? Em um sistema de coordenadas horizontais xy, onde o semi-eixo x positivo aponta para montante, temos: v /á 14 km h (3,9 m/s)ı v á/ 9,0 km h ( 2,5 m/s)ı A velocidade do barco/margem é: v v + v (3,9 m/s)ı + ( 2,5 m/s)ı (1,4 m/s)ı v (v ) + v (1,4 m/s) + 0 1,4 m/s b) Qual é a orientação da velocidade do barco em relação à margem? (1,4 m/s)ı está apontando para o sentido positivo do eixo x, ou seja, para montante. c) Uma criança no barco caminha da popa para a proa a 6,0 km/h em relação ao barco. Qual é o módulo da velocidade da criança em relação à margem? v / v (1,4 m/s)ı v ç/ v ( 1,7 m/s)ı v v + v (1,4 m/s)ı + ( 1,7 m/s)ı ( 0,3 m/s)ı v (v ) + v ( 0,3 m/s) + 0 0,3 m/s d) Uma criança no barco caminha da popa para a proa a 6,0 km/h em relação ao barco. Qual é a orientação da velocidade da criança em relação à margem? ( 0,3 m/s)ı aponta para o sentido negativo do eixo x, isto é para jusante. **71. Um homem de aparência suspeita corre o mais rápido que pode por uma esteira rolante, levando 2,50 s para ir de uma extremidade a outra. Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais rápido que pode, levando 10,0 s. Qual é a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira? Sabemos que v Mas a velocidade do homem em relação ao solo é:

48 v v + v, Quando ele retorna pelo mesmo caminho: v v v Logo:,,, 1,67,,,, *72. Um jogador de rúgbi corre com a bola em direção à meta do adversário no sentido positivo do eixo x. De acordo com as regras do jogo, ele pode passar a bola para um companheiro de equipe desde que a velocidade da bola em relação ao campo não possua uma componente x positiva. Suponha que o jogador esteja correndo com uma velocidade de 4,0 m/s em relação ao campo quando passa a bola com uma velocidade v em relação a ele mesmo. Se o módulo de v é 6,0 m/s, qual é o menor ângulo que ele deve fazer com a direção x para que o passe seja válido? Chamaremos a velocidade do jogador em relação ao campo de v. Chamaremos a velocidade relativa entre o jogador e a bola de v. Chamaremos a velocidade da bola em relação ao campo de v. A velocidade da bola em relação ao campo é dada por v v + v. O menor ângulo θ corresponde ao caso em que v v. Assim, θ 180 cos v 4,0 m/s 180 cos 131 v 6,0 m/s **73. Dois navios, A e B, deixam o porto ao mesmo tempo. O navio A navega para noroeste a 24 nós e o navio B navega a 28 nós em uma direção 40 a oeste do sul. a) Qual é o módulo da velocidade do navio A em relação ao navio B? v (v cos 135 )ı + (v sen 135 )ȷ (24 nós cos 135 )ı + (24 nós sen 135 )ȷ v ( 17 nós)ı + (17 nós)ȷ v (v cos 230 )ı + (v sen 230 )ȷ (28 nós cos 230 )ı + (28 nós sen 230 )ȷ v ( 18 nós)ı + (21 nós)ȷ v v v [( 17 nós)ı + (17 nós)ȷ ] [( 18 nós)ı (21 nós)ȷ ]

49 v (1,03 nó ı + 38,4 nós ȷ ) v (1,03 nó) +(38,4 nós) 38 nós b) Qual é a orientação da velocidade do navio A em relação ao navio B? θ tan, 88,5 (a norte do leste ou 1,5 a leste do norte), ó c) Após quanto tempo os navios estarão separados por 160 milhas marítimas? v 38 nós é a velocidade com que os navios se afastam um do outro. Para atingir a distância de 160 milhas entre eles, navegam durante: t, ó 4,2 h d) Qual será o curso de B (orientação do vetor posição de B) em relação a A nesse instante? A velocidade v é constante, portanto vetor r está na mesma direção que o vetor v. Temos ainda que v v (o vetor v é o inverso do vetor v ), logo o vetor r r, isto é, possuem orientação inversa, um em relação ao outro. Assim, podemos concluir que B em relação a A, orienta-se o inverso de A em relação a B, isto é a 1,5 a oeste do sul em relação a A. **74. Um avião leve atinge uma velocidade no ar de 500 km/h. O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao norte, mas descobre que deve direcionar o avião 20,0 a leste do norte para atingir seu destino. O avião chega em 2,00 h. a) Qual era o módulo da velocidade do vento? O destino é D 800 km ȷ. Os eixo se orientam em y positivo para o norte e x positivo para o leste. Como o avião chega ao destino em 2 h, conclui-se que a soma de seu vetor velocidade em relação ao solo com o vetor velocidade do vento em relação ao solo é de 400 km/h ȷ. Então v ã/ + v / 400 km/h ȷ v ã/ (500 km h cos70 )ı + (500 km h sen70 )ȷ v / (400 km h)ȷ [(500 km h cos70 )ı + (500 km h sen70 )ȷ ] v / (400 km h)ȷ [(171 km h)ı + (470 km h)ȷ ] v / (171 km h)ı (70 km h)ȷ v / ( 171 km h) +( 70 km h) 185 km/h

50 b) Qual era a orientação da velocidade do vento? θ tan / / 22,3 (a sul do oeste ou 67,7 a oeste do sul) **75. A neve está caindo verticalmente com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo, em relação à vertical, os flocos de neve parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um carro que viaja em uma estrada plana e retilínea a uma velocidade de 50 km/h? Consideramos o plano horizontal xy, onde o carro se desloca, com y positivo para cima e x positivo no sentido do deslocamento do carro. 50 km h 13,9 m/s v / ( 8,0 m s)ȷ v / (13,9 m/s)ı v / v / + v / ( 8,0 m s)ȷ + (13,9 m s)ı v / ( 13,9 m s)ı + ( 8,0 m s)ȷ θ tan, /, / 30 no sentido anti-horário a partir de x positivo. Como a questão pede o ângulo em relação à vertical, subtraímos 30 de 90 obtendo o ângulo de 60 em relação à vertical. **76. Depois de voar por 15 min em um vento de 42 km/h a um ângulo de 20 ao sul do leste, o piloto de um avião sobrevoa uma cidade que está a 55 km ao norte do ponto de partida. Qual é a velocidade escalar do avião em relação ao ar? v Ã/ v (55 km 15 min)ȷ (220 km/h)ȷ v / v (42 km h cos340 )ı + (42 km h sen 340 )ȷ v / v (39 km/h)ı (14 km h)ȷ v / v (39 km/h)ı (14 km h)ȷ v v Ã/ v (220 km/h)ȷ v (39 km/h)ı (14 km h)ȷ v [(39 km/h)ı (14 km h)ȷ ] + (220 km/h)ȷ v (39 km/h)ı + (234 km/h)ȷ v (39 km h) + (234 km h) 237 km/h **77. Um trem viaja para o sul a 30 m/s (em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento. As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de 70 com a vertical quando medidas por um observador estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo.

51 Considerando a direção sul coincidente com o sentido negativo do eixo y. Como as gotas de chuva caem verticalmente em relação ao comboio, a componente horizontal da velocidade de uma gota de chuva é igual à componente horizontal da velocidade do comboio, ou seja v ( 30 m/s)ȷ. Se v é a componente vertical da velocidade e θ é o ângulo entre a direção de movimento e a vertical, então tan θ. Assim v / ( 10,9 m/s)ȷ Logo, a velocidade de uma gota de chuva é: v v + v (30 m/s) + (10,9 m/s) 32 m s. **78. Um rio de 200 m de largura corre para leste com uma velocidade constante de 2,0 m/s. Um barco com uma velocidade de 8,0 m/s em relação à água parte da margem sul em uma direção 30 a oeste do norte. Determine: a) O módulo da velocidade do barco em relação à margem? Considerando plano horizontal xy com x positivo para leste e y positivo para norte. v (2,0 m/s)ı v / (8,0 m s cos 120 )ı + (8,0 m s sen120 )ȷ ( 4,0 m s)ı + (6,9 m s)ȷ v v / + v ( 4,0 m s)ı + (6,9 m s)ȷ + (2,0 m s)ı v ( 2,0 m s)ı + (6,9 m/s)ȷ 7,2 m/s v ( 2,0 m s) +(6,9 m s) 7,2 m/s b) A orientação da velocidade do barco em relação à margem? θ tan, / 74, / (observando que o vetor encontra-se no 2 quadrante, soma-se 180 ao resultado para obter-se 106 medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo). c) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio? y y v t y y (vsenθ)t

52 200 m (7,2 m s sen 106)t t, 29 s, / **79. Duas rodovias se cruzam, como mostra a figura. No instante indicado, um carro de polícia P está a uma distância d 800 m do cruzamento, movendo-se com uma velocidade escalar v 80 km/h. O motorista M está a uma distância d 600 m do cruzamento, movendo-se com uma velocidade escalar v 60 km/h. a) Qual é a velocidade do motorista em relação ao carro da polícia na notação de vetores unitários? v v v ( 60 km h)ȷ ( 80 km h)ı (80 km h)ı (60 km h)ȷ b) No instante mostrado na figura, qual é o ângulo entre a velocidade calculada no item a) e a reta que liga os dois carros? No cálculo de v encontramos o vetor velocidade de M para P. Este vetor é também a reta que liga os dois carros, portanto o ângulo entre a velocidade e esta reta é 0. c) Se os carros mantêm suas velocidades, as respostas dos itens a) e b) mudam quando os carros se aproximam da interseção? Não, pois as respostas acima referem-se à velocidade, como ela não se altera, as respostam permanecem iguais. **80. Na vista superior da figura, os jipes P e B se movem em linha reta em um terreno plano e passam ao lado de um guarda de fronteira estacionário A. Em relação ao guarda, o jipe B se move com uma velocidade escalar constante de 20,0 m/s e um ângulo θ 30,0. Também em relação ao guarda, P acelerou a partir do repouso a uma taxa constante de 0,400 m/s e um ângulo θ 60,0. Em um certo instante, durante a aceleração, P possui uma velocidade escalar de 40,0 m/s. Nesse instante quais são:

53 a) o módulo da velocidade de P em relação a B? v (40,0 m s) cos(60,0 ) + (40,0 m s)sen(60,0 ) (20,0 m s)ı + (34,6 m s)ȷ v (20,0 m s) cos(30,0 ) + (20,0 m s)sen(30,0 ) (17,3 m s)ı + (10,0 m s)ȷ v v v [(20,0 m s)ı + (34,6 m s)ȷ ] [(17,3 m s)ı + (10,0 m s)ȷ ] v (2,68 m s)ı + (24,6 m s)ȷ v (2,68 m s) + (24,6 m s) 24,8 m/s b) a orientação da velocidade de P em relação a B? θ tan, / 83,8 (a norte do leste ou 6,2 a leste do norte), / c) o módulo da aceleração de P em relação a B? B possui velocidade constante, logo não tem aceleração. Então a aceleração de P em relação à B é igual a aceleração de P em relação a A. a a 0,400 m/s d) a orientação da aceleração de P em relação a B? A aceleração de uma partícula, em relação a observadores em diferentes referenciais, com velocidade constante, é sempre a mesma. Portanto, a orientação da aceleração de P em relação a A é a mesma do enunciado: 60,0 a norte do leste. ***81. O navio A está 4,0 km ao norte e 2,5 km a leste do navio B. O navio A está viajando com uma velocidade de 22 km/h na direção sul; o navio B, com uma velocidade de 40 km/h em uma direção 37 ao norte do leste. a) Qual é a velocidade de A em relação a B em termos de vetores unitários, com ı apontando para o leste? Nossas coordenadas são escolhidos com x positivo sendo leste e y positivo sendo o norte. Nestes termos, o ângulo especificando a leste seria de 0 e o ângulo especificando sul seria 90 ou 270. Chamando a superfície de W, temos: v ( 22 km h)ȷ v (40 km h cos37 )ı + (40 km h sen37 )ȷ (32 km h)ı + (24 km h)ȷ v v v [( 22 km h)ȷ ] [(32 km h)i + (24 km h)j] v ( 32 km h)i (46 km h)j b) Escreva uma expressão (em termos de ı e ȷ ) para a posição de A em relação a B em função do tempo t, tomando t 0 como o instante em que os navios estão nas posições descritas.

54 Como a velocidade é constante, integramos suas componentes para obter a posição: r r v dt r r 2,5 + ( 32 km h)i dt + 4,0 + ( 46 km h)j dt r (2,5 32t)i + (4,0 46t)j Com o tempo em horas e as distâncias em quilômetros. c) Em que instante a separação entre os navios é mínima. r (2,5 32t) + (4,0 46t) 2 Derivamos esta equação para isolar t r (2,5 32t) + (4,0 46t) t 2 528t + 22, t 528t + 22,25 (3140t 528t + 22,25) 1 D 3140t 2 528t + 22, t2 528t + 22, D t 3140t 2 528t + 22, t2 528t + 22, (6280t 528) t 2 528t+22,25 (3140t 264) 3140t t 2 528t+22,25 t 0,084 h d) Qual é essa separação mínima. r (2,5 32t)i + (4,0 46t)j 0; isolando t, temos: r (t) [2,5 32(0,084)]i + [4,0 46(0,084)]j r (t) ( 0,188 km)i + (0,136 km)j r (t) ( 0,188 km) + (0,136 km) 2 0,232 km r 0,2 km ***82. Um rio de 200 m de largura corre com uma velocidade uniforme de 1,1 m/s através de uma floresta, na direção leste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0 m/s

55 em relação à água. Existe outra clareira na margem norte, 82 m rio acima a partir de um ponto da margem sul, exatamente em frente à clareira. a) Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte? Construímos um triângulo retângulo a partir da clareira, na margem sul, traçando uma linha de 200 m de comprimento, orientada para o norte (para cima no esboço) através do rio, e uma linha orientada a montante, para a esquerda em nosso esboço, ao longo da margem para uma distância (82 m) + (1,1 m/s)t. A hipotenusa deste triângulo também depende de t e da a velocidade do barco (em relação à água). (4,0)t (82 + 1,1t) (4,0)t (82 + 1,1t) 16t ,4t + 1,21t 14,8t 180,4t t ±,, ()(,)() (,) 62,6 s O ângulo, a oeste do norte é: θ tan (,),(,) 37 b) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira? Como calculado na letra anterior: t 62,6 s

56 L S - 328