XX SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GRUPO X GRUPO DE ESTUDOS DE DESEMPENHO DE SISTEMAS ELÉTRICOS - GDS

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1 XX SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Versão 10 XXXYY 22 a 25 Novembro de 2009 Recife - PE GRUPO X GRUPO DE ESTUDOS DE DESEMPENHO DE SISTEMAS ELÉTRICOS - GDS USO DA FÓRMULA DE JORDAN NO CÁLCULO DA IMPEDÂNCIA DE SURTO DE TORRES Alberto R De Conti(*) Silvério Visacro LRC - NÚCLEO DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO EM DESCARGAS ATMOSFÉRICAS UFMG - UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS RESUMO Neste artigo, avalia-se o emprego de novas expressões deduzidas a partir da teoria proposta por Jordan para o cálculo da impedância de surto de torres Isso é feito com a análise da incidência de descargas atmosféricas em duas torres distintas Comparações com resultados obtidos com um modelo eletromagnético avançado e duas fórmulas tradicionalmente empregadas na literatura indicam a consistência da nova formulação Os resultados obtidos sugerem que a representação de torres como linhas de transmissão pode ser, em determinadas situações, suficientemente precisa no estudo da incidência direta de descargas atmosféricas, ao menos em uma perspectiva de engenharia PALAVRAS-CHAVE Descargas Atmosféricas, Transitórios Eletromagnéticos, Linhas de Transmissão, Torres, Impedância de Surto 10 - INTRODUÇÃO A resposta transitória de condutores verticais submetidos a ondas impulsivas de tensão e corrente vem há muitas décadas atraindo a atenção de engenheiros e cientistas Inicialmente, os principais trabalhos nesta área visavam determinar fórmulas que pudessem fornecer a impedância de surto de torres de transmissão Este é o caso, por exemplo, do trabalho de Jordan (1), que foi publicado em 1934 e, embora apresentasse um erro em seu desenvolvimento, permaneceu possivelmente como a principal referência na área até ser suplantado por novas teorias nos anos sessenta (2, 3) Com o advento de computadores com maior capacidade de processamento, modelos avançados baseados na solução numérica das equações de Maxwell passaram a ser utilizados com maior freqüência na análise de problemas envolvendo condutores verticais e na modelagem de torres de transmissão Por proporcionarem uma representação mais consistente dos fenômenos eletromagnéticos envolvidos e levarem a uma boa concordância com dados experimentais, tais modelos são hoje preferidos para a avaliação de transitórios eletromagnéticos em torres e condutores verticais (4, 5) No entanto, em uma perspectiva de engenharia, o uso de modelos simplificados ainda pode em muitos casos fornecer resultados suficientemente precisos na modelagem de torres, com a vantagem de requerer um esforço computacional significativamente menor se comparado com o emprego dos modelos mais avançados mencionados acima Exemplo disso pode ser encontrado no estudo recente da interação de descargas atmosféricas com torres de telecomunicações, em que modelos baseados na teoria de linhas de transmissão têm sido freqüentemente utilizados (6) (*) LRC/UFMG - Av Antônio Carlos, n 6627 Pampulha CEP Belo Horizonte, MG Brasil Tel: (31) Fax: (31) conti@cpdeeufmgbr

2 2 Neste artigo, avalia-se o cálculo da impedância de surto de torres e sua representação como linhas de transmissão verticais utilizando-se novas equações deduzidas a partir do desenvolvimento original de Jordan Essas equações, que são apresentadas em detalhe na Seção 2, permitem o cálculo das impedâncias próprias e mútuas de sistemas multicondutores verticais e possibilitam a representação simplificada de torres utilizando a teoria de linhas de transmissão O seu uso é investigado na Seção 3, onde se avalia, tendo como referência resultados obtidos com um modelo eletromagnético avançado, a incidência de descargas diretas em duas torres com configurações distintas Na Seção 4, faz-se uma comparação entre os resultados obtidos com as fórmulas propostas na Seção 2 e com o emprego das equações de Wagner e Hileman (2) e Sargent e Darveniza (3), que são tradicionalmente empregadas no cálculo da impedância de surto de torres de transmissão A Seção 5 resume as principais conclusões deste trabalho 20 - CÁLCULO DA IMPEDÂNCIA DE SURTO DE CONDUTORES VERTICAIS COM A FÓRMULA DE JORDAN Em 1934 (1), Jordan propôs a seguinte expressão para o cálculo da impedância de surto de um condutor cilíndrico vertical sem perdas posicionado no nível do solo h r Z = 60ln (1) r h onde h é a altura do ponto mais alto do condutor em relação à superfície do solo e r é o raio do condutor Até meados dos anos sessenta, quando novas teorias foram propostas, por exemplo, por Wagner e Hileman (2) e Sargent e Darveniza (3), a fórmula proposta por Jordan era possivelmente a maior referência para o cálculo da impedância de surto de torres Contudo, Jordan cometeu um equívoco na dedução da equação (1) que só foi confirmado recentemente Este foi causado por um erro na aplicação do método das imagens na solução das equações obtidas para o potencial vetor magnético [ver (7) para maiores detalhes] Como conseqüência, a equação (1) subestima os valores de impedância de surto de condutores verticais Com a correção do erro cometido por Jordan em seu artigo original, obteve-se em (7) a equação 4h Z = 60 ln 1 (2) r onde h e r são definidos como na equação (1) A equação (2) é válida para um único condutor vertical No entanto, é muitas vezes necessário representar sistemas formados por muitos condutores verticais Este é, por exemplo, o caso de torres de transmissão e de telecomunicações Isso motivou a extensão da equação (2) para a avaliação da impedância de surto mútua de condutores verticais sem perdas com mesma altura h Para isso, calculou-se, utilizando o potencial vetor magnético, a queda de tensão no condutor vertical j causada pela corrente que circula no condutor i, obtendo-se, após manipulações matemáticas detalhadas em (7), a expressão 2 2 2h + 4h + d 2 ij d dij Zij 60ln d h 2 ij 4h = (3) onde Z ij é a impedância de surto mútua entre os condutores i e j, h é definido como nas equações (1) e (2), e d ij corresponde à distância entre os centros dos condutores i e j [a equação (3) é válida para d ij >> r i e d ij >> r j] Em um sistema formado por n condutores sem perdas, pode-se calcular as tensões e correntes resultantes com V1 Z V2 Z21 = Vn Zn,1 Z12 Z Zn, n 1 Z1, n I1 I2 Z n 1, n Z In (4) onde V i e I i são tensões e correntes no i-ésimo condutor vertical, Z é a impedância de surto própria de cada um dos condutores, calculada com a equação (2), e Z ij representa as impedâncias de surto mútuas calculadas com a equação (3) considerando o espaçamento d ij entre o i-ésimo e o j-ésimo condutor Se os n condutores verticais são interconectados no ponto de injeção de corrente, tem-se que, neste ponto, V = V 1 = V 2 = = V n e I = I 1 + I 2 +

3 3 + I n, onde I é a corrente total injetada Nesse caso, é possível representar todo o sistema por uma única linha de transmissão com impedância de surto equivalente Z eq dada por V Z + Z12 + Z Z1, n Zeq = = (5) I n No caso hipotético em que não há acoplamento eletromagnético entre os condutores, a equação (5) se reduz a Z eq=z/n, conforme esperado Em (7), as equações (2), (3) e (5) foram empregadas com sucesso no cálculo das correntes associadas à incidência de descargas atmosféricas na torre instalada na Estação do Morro do Cachimbo, que é dedicada à medição de parâmetros de descargas atmosféricas (8) Para isso, comparações foram feitas com resultados obtidos com o Modelo Eletromagnético Híbrido (HEM), apresentado em (4) Esse modelo, que vem sendo extensivamente empregado tanto na modelagem eletromagnética de componentes do sistema elétrico [aterramentos, linhas, torres, sistemas de proteção, etc (4, 7-10)] quanto na modelagem física das descargas atmosféricas (11), baseia-se na solução das equações de Maxwell com o auxílio dos potenciais escalar e vetor magnético, aplicada ao caso particular de sistemas que possam ser decompostos em um conjunto de condutores cujo comprimento é muito maior que seu raio Na seção a seguir, assim como em (7), o HEM é utilizado como referência em análises que ilustram a aplicação das equações (2), (3) e (5) no cálculo da impedância de surto de torres e no estudo de sua interação com as descargas atmosféricas 30 - EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 31 Desempenho Transitório de uma Estrutura Elevada Atingida por Descargas Atmosféricas Nesta seção, avalia-se o desempenho transitório da estrutura metálica ilustrada na Figura 1-(a) quando atingida por uma descarga atmosférica Trata-se de uma torre com 102 m de altura formada por três condutores com espaçamento uniforme de 2 m e raio de 2 cm Com o objetivo de determinar as correntes no topo e na base da torre, simulações foram realizadas no ATP (Alternative Transients Program) e no HEM, que, conforme discutido na Seção 20, foi utilizado como referência para avaliar o modelo de torre proposto Nas simulações realizadas no HEM, considerou-se como entrada de dados essencialmente a distribuição de condutores ilustrada na Figura 1- (a) Por outro lado, nas simulações realizadas no ATP, representou-se a torre como uma linha de transmissão sem perdas com velocidade de propagação igual à velocidade da luz e impedância de surto dada pela equação (5) No caso em questão, como n = 3 e o espaçamento entre os condutores é uniforme, as impedâncias mútuas Z 12, Z 13 e Z 23 entre os condutores 1, 2 e 3 são iguais Representando cada uma dessas impedâncias mútuas como Z M, a equação (5) fornece Z eq = (Z + 2Z M)/3 350 Ω 3 m vista superior Z c =900 Ω h=102 m d 12 = 2 m 2 d 23 = d d 13 = d 12 raio = 2 cm I = 1 ka (t f /50 µs) Torre ATP: LT com impedância de surto Z eq =350 Ω e v= m/s; HEM: Configuração de condutores ilustrada na Figura 1 (a) (a) Características da torre (b) Circuito equivalente utilizado nas simulações FIGURA 1 Detalhes da simulação computacional realizada Nas simulações realizadas, os três pés da torre foram solidamente aterrados com impedâncias de valor ôhmico desprezível Considerou-se a injeção da corrente de descarga no topo da torre por meio de uma fonte de corrente ideal conectada em paralelo com uma resistência de 900 Ω, conforme ilustrado na Figura 1-(b) A resistência de 900 Ω destina-se a representar a impedância equivalente do canal de descarga (6) De forma a modelar de maneira aproximada a corrente de descarga, considerou-se uma forma de onda triangular com amplitude de 1 ka, tempo de frente t f, que foi variado nas análises realizadas, e tempo de meia onda de 50 µs A amplitude de 1 ka, embora muito inferior à amplitude típica de correntes de descargas atmosféricas, foi utilizada por conveniência Como o sistema estudado é, por hipótese, linear, resultados para correntes de descarga com amplitudes realísticas podem ser diretamente obtidos com a simples aplicação de um fator de escala

4 4 A Figura 2 ilustra as correntes calculadas no topo e na base da torre da Figura 1-(a) considerando a injeção de correntes de descarga com tempos de frente t f = τ, 2τ e 4τ, onde τ corresponde ao tempo de trânsito da torre da analisada Como τ = h/v = 102/( ) = 0,34 µs, os valores indicados correspondem a tempos de frente de 0,34, 0,68 e 1,36 µs, respectivamente Estes podem ser considerados representativos dos tempos de frente de descargas atmosféricas subsequentes (8) Analisando as formas de onda ilustradas na Figura 2, percebe-se um perfil oscilatório que decorre das sucessivas reflexões da onda de corrente injetada nos pontos de descontinuidade na base e no topo da torre Percebe-se também que o modelo simplificado de torre proposto na Seção 2 leva a resultados em excelente concordância com aqueles obtidos com o HEM se t f > τ Se no entanto o tempo de frente da corrente injetada for comparável ao tempo de trânsito da torre, como no caso ilustrado nas Figuras 2-(a) e -(d), as discrepâncias entre os resultados obtidos com os dois modelos tendem a ser relativamente mais significativas Isso ocorre porque a aproximação de linha de transmissão utilizada no ATP não é capaz de representar corretamente a real estrutura do campo eletromagnético associado à corrente que viaja na torre e às cargas ali depositadas, o que fica mais evidente no caso de correntes com tempos de frente comparáveis ou inferiores ao tempo de trânsito da torre Ainda assim, mesmo na condição ilustrada nas Figuras 2-(a) e -(d), em que t f = τ = 0,34 µs, os erros observados nos valores de pico calculados são inferiores a 5% Como a concordância entre as correntes calculadas no ATP e no HEM aumenta à medida que t f cresce em relação a τ, é razoável supor que o modelo proposto na Seção 2 forneça resultados ainda mais precisos quando aplicado na modelagem da incidência de primeiras descargas de retorno em torres Nesse caso específico, que é avaliado na seção 32, o tempo de trânsito da torre é normalmente muito menor do que o tempo de frente associado à corrente de descarga FIGURA 2 Correntes no topo e na base da torre da Figura 1-(a) para a injeção correntes de descarga com diferentes tempos de frente t f, de acordo com o diagrama esquemático da Figura 1-(b) Como uma análise final, vale observar que as oscilações observadas na Figura 3 se tornam cada vez menos visíveis à medida que t f cresce em comparação ao tempo de trânsito da torre De fato, se t f >> τ, a torre se comporta como um objeto eletricamente curto e, como conseqüência, a corrente na base se torna essencialmente igual à corrente no topo As diferenças observadas entre as correntes calculadas na base e no topo da torre também tendem a ser reduzidas caso se utilize um modelo de canal de descarga mais complexo do que a simples resistência de 900 Ω aqui considerada, conforme sugerido nas análises apresentadas em (9) 32 Desempenho Transitório de uma Torre de Transmissão Atingida por Descargas Atmosféricas Nesta seção, avalia-se o desempenho transitório da torre de transmissão ilustrada na Figura 3-(a) quando atingida por uma descarga atmosférica Trata-se de uma torre tipicamente utilizada em linhas de transmissão de 138 kv, com 39,8 m de altura e cuja base forma um quadrado com 36 m 2 de área Em (10), essa torre foi avaliada em detalhe em simulações computacionais com o modelo HEM Aqui, algumas dessas simulações são reproduzidas no ATP utilizando o modelo proposto na Seção 2 Como entrada de dados no HEM, considerou-se basicamente a distribuição de condutores ilustrada na Figura 3- (a), acrescida de um cabo pára-raios no topo da torre (os cabos fase não foram incluídos por simplicidade) Nas simulações realizadas no ATP, dividiu-se a porção inferior da torre em 3 linhas de transmissão com comprimento total de 11 m cada e o topo da torre em uma única linha com comprimento de 6,8 m, conforme ilustrado na Figura

5 5 3-(b) Isso foi feito porque, diferentemente do caso avaliado na Seção 31, a torre da Figura 3-(a) se torna mais estreita à medida que se afasta da superfície do solo e, como resultado, tem-se uma variação da impedância de surto mútua com a altura Dada a simetria do problema, foram consideradas linhas de transmissão com quatro condutores cada Nesse caso, n = 4 e a impedância equivalente de cada segmento de torre k dada pela equação (5) reduz-se a Z eq(k) = (Z + 2Z 12 + Z 13)/4, seguindo a numeração de condutores mostrada na Figura 3-(a) Considerando o espaçamento médio d ij entre os condutores de cada um dos segmentos de torre e as alturas h = 11, 22, 33 e 39,8 m, as equações (2), (3) e (5) foram empregadas no cálculo Z eq(k) Incertezas surgiram na determinação do raio r a ser utilizado na equação (2) Isto porque a configuração real da torre ilustrada na Figura 3-(a) consiste na associação de inúmeros condutores de seção transversal não circular Nas simulações realizadas com o HEM, atribuiu-se a cada um desses condutores um raio de 3,5 cm Como nas simulações realizadas no ATP apenas 4 condutores paralelos são utilizados para representar a torre como um todo, variou-se r entre 2 cm e 6,5 cm na equação (2) Os valores de impedância de surto equivalentes obtidos para cada segmento de torre simulado no ATP estão listados na Tabela 1 Percebe-se que os valores de Z eq(k) obtidos apresentam uma variação máxima da ordem de 12% no caso do segmento de torre 1, que é aquele mais próximo ao solo, e de 6% no caso do segmento de torre 4, que é aquele mais alto, para uma variação de aproximadamente três vezes em r vista lateral base da torre I = 1 ka (5/50 µs) h=39,8 m 0,6 m 0,8 m 6 m 6,8 m 6 m 33 m m 3 Z pr Z eq(4) Z eq(3) Z eq(2) Z eq(1) Z pr =594 Ω Torre Z g ATP: 4 LT s com impedâncias de surto Z eq(1) < Z eq(2) < Z eq(3) < Z eq(4) e v=2, m/s; HEM: Configuração de condutores ilustrada na Figura 3 (a) (a) Características da torre (b) Circuito equivalente utilizado nas simulações FIGURA 3 Detalhes da simulação computacional realizada TABELA 1 Impedância de surto equivalente Z eq(k) de cada linha de transmissão k utilizada para representar a torre da Figura 3-(a) A última linha da tabela contém a impedância de surto total da torre inferida a partir das simulações no ATP Segmento de torre k r = 2,0 cm r = 3,5 cm r = 5,0 cm r = 6,5 cm 1 158,1 Ω 149,7 Ω 144,3 Ω 140,4 Ω 2 210,9 Ω 202,5 Ω 197,2 Ω 193,3 Ω 3 264,7 Ω 256,3 Ω 250,9 Ω 247,0 Ω 4 314,2 Ω 305,8 Ω 300,4 Ω 296,5 Ω Z eq(total) 228,8 Ω 220,5 Ω 215,0 Ω 210,0 Ω Nas simulações computacionais realizadas, foram consideradas impedâncias de pé de torre (Z g) de 0,25, 2,5, 7,5 e 12,5 Ω Por simplicidade, estas foram representadas como resistências concentradas Uma corrente impulsiva com forma de onda triangular e amplitude máxima de 1 ka foi injetada no topo da torre Assim como em (10), foram considerados tempos de frente e de meia onda de 5 µs e 50 µs, respectivamente O valor do tempo de frente escolhido é representativo dos tempos de frente tipicamente observados em primeiras descargas de retorno (8) Nas simulações realizadas no ATP, supôs-se uma velocidade de propagação de 85% da velocidade da luz Esse valor é sugerido pela metodologia do IEEE para o cálculo do desempenho de torres de transmissão frente a descargas atmosféricas (12) O uso de uma velocidade de propagação menor do que a velocidade da luz visa representar, de forma aproximada, o efeito da inclinação dos condutores e da presença de condutores transversais no tempo de trânsito total da torre Convém observar que, com v = 0,85c, a torre tem um tempo de trânsito τ = 0,156 µs, que é mais de trinta vezes menor do que o tempo de frente da onda de corrente injetada A Figura 4 ilustra as tensões calculadas no topo da torre para os diferentes valores de impedância de aterramento considerados Percebe-se que os valores pico das sobretensões resultantes dependem diretamente do valor de Z g De fato, como na grande maioria das condições práticas de interesse Z g é menor do que a impedância de surto da estrutura atingida, a ação do aterramento só não contribui para uma redução do valor de pico da sobretensão no topo da torre caso o tempo de frente da corrente injetada seja menor que 2τ (8) Na Figura 4, também estão ilustradas formas de onda de tensão calculadas com o ATP para o caso particular de condutores verticais com raio de 6,5 cm (ver Tabela 1) Como se vê, a concordância entre ambos os modelos é excelente, sendo verificadas diferenças desprezíveis nos valores de pico calculados Esse resultado corrobora as análises apresentadas na

6 6 Seção 31, que indicam que o modelo de torre proposto na Seção 2 se torna mais preciso à medida que o tempo de frente da corrente injetada aumenta em relação ao tempo de trânsito da torre FIGURA 4 Tensões no topo da torre ilustrada na Figura 3-(a) calculadas para diferentes impedâncias de aterramento de acordo com o diagrama esquemático da Figura 3-(b) Adaptado de (10) Embora não se tenha obtido diretamente das equações (2), (3) e (5) um valor de impedância de surto único que represente de forma equivalente a torre da Figura 3-(a), esse valor pode ser inferido, a partir dos resultados obtidos, como sendo igual a 210 Ω Esse valor, que corresponde ao caso em que r=6,5 cm, é apresentado na última linha da Tabela 1 juntamente com os valores inferidos para os casos em que r=2, 3,5 e 5 cm Como se vê na Tabela 1, a diferença máxima observada nos valores de impedância de surto totais inferidos é inferior a 9% Embora não estejam ilustradas na Figura 4, as tensões de pico no topo da torre calculadas para r=2, 3,5 e 5 cm apresentaram variações inferiores a 3% e a 8% para Z g=12,5 e 0,25 Ω, respectivamente, em comparação com os resultados obtidos com o HEM Esse conjunto de resultados sugere que a incerteza verificada na seleção dos raios dos condutores no modelo de torre proposto tende a não afetar os resultados obtidos de forma significativa, pelo menos no caso avaliado 40 - COMPARAÇÃO COM FÓRMULAS TRADICIONALMENTE EMPREGADAS NO CÁLCULO DA IMPEDÂNCIA DE SURTO DE TORRES Nesta seção, os valores de impedância de surto obtidos para as torres das Figuras 1-(a) e 3-(a) com o emprego das fórmulas de Jordan (2) e (3) são comparados com os valores fornecidos por duas expressões freqüentemente utilizadas no cálculo da impedância de surto de torres de transmissão São elas a fórmula de Wagner e Hileman (2), 2h Z = 60ln 2 60 (6) r que supõe a representação da torre como um cilindro sólido com altura h e diâmetro da base 2r, e a fórmula de Sargent e Darveniza (3), 2 2 2( h + r ) Z = 30ln (7) 2 r que supõe a representação da torre como um cone sólido com altura h e diâmetro da base 2r Como as torres avaliadas nas Seções 31 e 32 possuem base triangular ou retangular, é necessário especificar um raio equivalente que possibilite o emprego das equações (6) e (7) De fato, isto constitui uma freqüente fonte de dúvidas quando do emprego de tais equações Aqui, adotou-se a hipótese usual de que o raio equivalente seja obtido a partir do círculo inscrito na figura geométrica que constitui a base da torre (12) Com isso, no caso da torre triangular da Figura 1-(a), tem-se um raio equivalente de 0,577 m, enquanto no caso da torre quadrada da Figura 3-(a) tem-se um raio equivalente de 3 m Os uso desses valores nas equações (6) e (7) resulta nas impedâncias de surto listadas na Tabela 2 Por conveniência, os valores de impedância de surto inferidos das análises realizadas com as novas fórmulas de Jordan nas Seções 31 e 32 (e que levam a resultados em concordância com aqueles obtidos com o HEM) também foram incluídos na tabela Percebe-se, a partir dos dados apresentados na Tabela 2, que as impedâncias de surto obtidas com a fórmula de Wagner e Hileman apresentam erros superiores a 10%, no caso da torre triangular da Figura 1-(a), e 30%, no caso da torre de transmissão da Figura 3- (a), em comparação com os valores obtidos com as fórmulas de Jordan corrigidas (e por conseguinte com o HEM) Embora os erros verificados com a fórmula de Sargent e Darveniza sejam relativamente menores, da ordem de 6% [torre da Figura 1-(a)] e 20% [torre da Figura 3-(a)], fica claro que o emprego das novas fórmulas de

7 7 Jordan (2) e (5) propostas em (7) levam a resultados sistematicamente mais consistentes no cálculo da impedância de surto de torres TABELA 2 Impedâncias de surto fornecidas por diferentes expressões Torre Jordan corrigida Wagner e Hileman Sargent e Darveniza [Equações (2) e (3)] [Equação (6)] [Equação (7)] Torre triangular Figura 1-(a) 350,0 Ω 312,9 Ω 331,3 Ω Torre de transmissão Figura 3-(a) 210,0 Ω 157,5 Ω 176,1 Ω 50 - CONCLUSÕES Neste artigo, avaliou-se a modelagem de torres utilizando duas novas fórmulas deduzidas a partir da teoria desenvolvida por Jordan A primeira permite o cálculo da impedância de surto própria de condutores verticais sem perdas, sem o erro contido no desenvolvimento original de Jordan, e a segunda permite o cálculo da impedância de surto mútua de dois condutores verticais com mesma altura O uso dessas fórmulas foi testado em análises que avaliaram a incidência de descargas atmosféricas em duas torres com características distintas Mostrou-se nessas análises que a representação das torres atingidas como linhas de transmissão verticais é capaz de levar a resultados em boa concordância com aqueles obtidos com um modelo eletromagnético mais consistente Ainda que essa concordância seja tanto melhor quanto maior for a relação t f/τ, onde t f é o tempo de frente da corrente de descarga e τ é o tempo de trânsito da torre atingida, resultados satisfatórios também foram obtidos mesmo para t f = τ em um dos casos analisados Isso sugere que a aplicação da teoria de linhas de transmissão na representação de torres de transmissão com as novas fórmulas de Jordan pode permitir uma análise consistente do caso mais crítico, que corresponde à incidência direta de primeiras descargas de retorno com amplitudes superiores a muitas dezenas de ka em algum ponto do sistema Isto porque tais descargas possuem tempo de frente que é usualmente muito superior ao tempo de trânsito típico de torres de transmissão, o que satisfaz à condição desejada t f >>τ Nos casos em que t f <<τ, no entanto, a representação de torres como linhas de transmissão verticais deve vista com cautela, sendo preferível para isso o emprego de modelos eletromagnéticos mais avançados Comparações com resultados obtidos com expressões analíticas previamente publicadas na literatura técnica também foram realizadas As diferenças observadas entre as impedâncias de surto obtidas com essas expressões e aquelas preditas pelas novas fórmulas de Jordan indicaram que o emprego destas últimas levam a resultados sistematicamente mais consistentes no cálculo da impedância de surto de torres 60 - AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer ao Dr Amilton Soares Jr pelas informações referentes à simulação da torre de 138 kv discutida na Seção 32 utilizando o HEM 70 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1) JORDAN, C A, Lightning computations for transmission lines with overhead ground wires, Part II - GENERAL ELECTRIC REVIEW, Vol 37, No 4, p , 1934 (2) WAGNER, C F, HILEMAN, A R, a new approach to the calculation of the lightning performance of transmission line iii a simplified method: stroke to tower AIEE TRANS POWER APPARATUS AND SYSTEMS, Vol 79, p , 1960 (3) SARGENT, M A, DARVENIZA, M, Tower surge impedance IEEE TRANS POWER APPARATUS AND SYSTEMS, Vol PAS-88, No 5, 1969 (4) VISACRO, S, SOARES J, A, HEM a model for simulation of lightning-related engineering problems IEEE TRANSACTIONS ON POWER DELIVERY, Vol 20, No 2, 2005

8 8 (5) BABA, Y, ISHII, M, Numerical electromagnetic field analysis on lightning surge response of tower with shield wire, IEEE TRANSACTIONS ON POWER DELIVERY, Vol 15, No 3, p , 2000 (6) BABA, Y, Rakov, V A, Lightning electromagnetic environment in the presence of a tall grounded strike object JOURNAL OF GEOPHYSICAL RESEARCH, Vol 110(D09108), doi:101029/2004jd005505, 1995 (7) DE CONTI, A, VISACRO, S, SOARES J, A, SCHROEDER, M A O, Revision, extension and validation of Jordan s formula to calculate the surge impedance of vertical conductors IEEE TRANSACTIONS ON ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY, Vol 48, No 3, p , 2006 (8) VISACRO, S, Descargas atmosféricas: uma abordagem de engenharia ARTLIBER EDITORA, Brasil, 2005 (9) VISACRO, S, SILVEIRA, F H, Lightning current waves measured at short instrumented towers: the influence of sensor position GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, Vol 32, L18804, 2005 (10) SOARES J, A, VISACRO, S, Simplified expressions for tower surge impedance based on application of a field-circuit modeling approach 27th INTERNATIONAL CONFERENCE ON LIGHTNING PROTECTION, Avignon, França, p , 2004 (11) SILVEIRA, F H, VISACRO, S The influence of attachment height on lightning-induced voltages IEEE TRANSACTIONS ON ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY, Vol 50, p , 2008 (12) IEEE Working Group Report - Estimating Lightning Performance of Transmission Lines II - Updates to Analytical Models IEEE TRANSACTIONS ON POWER DELIVERY, Vol 8, No 3, DADOS BIOGRÁFICOS Alberto Resende De Conti Nascido em Belo Horizonte, MG, em 3 de agosto de 1975 Bacharel (2000), Mestre (2001) e Doutor (2006) em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais, desenvolveu atividades de pós-doutorado na Universidade de Uppsala, Suécia É autor de mais de quarenta artigos técnicos publicados em periódicos e congressos internacionais e nacionais Suas áreas de interesse incluem o estudo dos problemas de interferência eletromagnética decorrentes da interação de descargas atmosféricas com sistemas elétricos de transmissão e distribuição, a modelagem computacional de componentes desses sistemas e o estudo de problemas de qualidade da energia, coordenação de isolamento e compatibilidade eletromagnética É atualmente pesquisador associado ao LRC (Núcleo de Desenvolvimento Científico e Tecnológico em Descargas Atmosféricas) da Universidade Federal de Minas Gerais