Rotação Plástica em Vigas Fracamente Armadas

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1 Encontro Nacional BETÃO ESTRUTURAL - BE2012 FEUP, de outubro de 2012 Rotação Plástica em Vigas Fracamente Armadas José Santos 1 A. Abel Henriques 2 RESUMO Neste artigo é averiguado se os valores regulamentares do EC2 e MC2010 para a rotação plástica em vigas com baixa quantidade de armadura são adequados. Para esse fim: i) foi levada a cabo uma campanha experimental com ensaios até à rotura em vigas, com percentagens geométricas de armadura de 0.15% a 0.60%, e ii) são desenvolvidos modelos numéricos em elementos finitos para simular os mesmos ensaios recorrendo à análise não linear material. Os resultados obtidos indicam que os valores regulamentares podem ser demasiado otimistas quando é utilizada a armadura mínima de flexão. Por isso, foi sugerida a alteração da curva da rotação plástica do EC2 e MC2010. Palavras-chave: Ductilidade, Ensaios Experimentais, EC2, MC2010, Modelação Numérica 1. INTRODUÇÃO A ductilidade dos elementos estruturais de betão armado é um conceito básico no dimensionamento destes elementos. Caso não existisse ductilidade alguns dos pressupostos implicitamente utilizados no dimensionamento não seriam válidos [1]. Nas estruturas reticuladas de betão armado a ductilidade é normalmente conseguida à custa da formação de rótulas plásticas junto aos nós de ligação dos diversos elementos. Estas rótulas apresentam uma capacidade de rotação limitada visto que acima de certos níveis de deformação os materiais entram em rotura [2]. No caso das vigas ou lajes fracamente armadas (ρ<0.5%) a rotura em flexão é condicionada pelo rompimento dos varões de aço tracionados, pelo que a ductilidade dos mesmos e a sua aderência ao betão são dois parâmetros muito importantes na quantificação da capacidade de rotação destes elementos estruturais. O surgimento na última década dos varões de aço de ductilidade especial poderá ter provocado algum descuido na verificação da capacidade de rotação e ter levado à utilização de graus de redistribuição 1 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal. dec06002@fe.up.pt 2 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Departamento de Engenharia Civil, Porto, Portugal. aarh@fe.up.pt

2 Rotação Plástica em Vigas Fracamente Armadas de momentos demasiado elevados, que eventualmente estas vigas ou lajes possam não suportar. Por outro lado, estes varões apresentam uma configuração de nervuras diferente das anteriores, pelo que a aderência ao betão é diferente. Para além destes aspetos, a aderência dos varões de aço ao betão é ainda um tema que levanta diversas questões do ponto de vista científico, especialmente após a cedência das armaduras. Como estes varões têm uma ductilidade elevada, a aderência após a cedência influencia substancialmente a capacidade de rotação. Tendo em conta todas estas questões e considerando que tanto o Eurocódigo 2 (EC2) [3] como o Modelo Código 2010 (MC2010) [4] apresentam valores bastante elevados para a capacidade de rotação de vigas fracamente armadas, julga-se necessário averiguar se estes limites regulamentares são adequados. Este artigo tem como objetivo quantificar a rotação plástica em vigas com baixa quantidade de armadura, para averiguar se os valores regulamentares do EC2 e MC2010 são adequados. Para esse fim: i) foi levada a cabo uma campanha experimental com ensaios até à rotura em vigas, com percentagens geométricas de armadura de 0.15% a 0.60%, e ii) são desenvolvidos modelos numéricos em elementos finitos para simular os mesmos ensaios recorrendo à análise não linear material. 2. CAMPANHA EXPERIMENTAL A campanha experimental desenvolvida consistiu na elaboração e ensaio até à rotura de quatro vigas de betão armado com percentagens geométricas de armadura de tração (ρ) entre 0.15% e 0.60%. No Quadro 1 detalham-se as armaduras de tração utilizadas nas várias vigas. Foi utilizada uma armadura construtiva com 2φ6 (0.57cm 2 ) na parte comprimida. A armadura transversal consistiu em estribos de dois ramos φ8//0.20 (5.03cm 2 /m). O betão utilizado nas vigas apresentou uma resistência média à compressão, em cilindros normalizados, de 34MPa. Quadro 1. Vigas ensaiadas. Vigas Armadura A s [cm 2 ] ρ [%] V11 2Ø V12 4Ø V13 6Ø V14 8Ø As vigas possuíam um comprimento total de 2.9m, sendo a distância entre os apoios de L=2.7m, enquanto a secção transversal dessas vigas tinha largura b=0.30m e altura h=0.35m, sendo a altura útil d=0.32m (Fig. 1). O sistema estático utilizado consistiu em vigas simplesmente apoiadas, com uma carga única concentrada aplicada a meio vão numa largura de 0.10m. Os apoios, cujo eixo ficou a 0.10m da face, também apresentaram largura de 0.10m. Figura 1. Configuração dos ensaios, dimensões e secção transversal das vigas. A instrumentação utilizada consistiu em: i) uma célula carga incorporada no atuador hidráulico para medição da força aplicada, ii) um LVDT vertical a meio vão para medição da flecha, ii) dois LVDTs horizontais com campo de medição de 0.60m colocados a 1 cm da face superior e inferior para 2

3 José Santos e A. Abel Henriques medição do encurtamento na zona comprimida e do alongamento na zona tracionada, respetivamente, iii) dois LVDTs colocados a 45º para o cálculo da distorção e, iv) diversos extensómetros do marca Vishay do tipo EP BT-120 colados nos varões na zona central da viga. Os dados foram recolhidos pelo próprio sistema de controlo do atuador hidráulico e por um data logger da marca DataTaker. Os ensaios foram realizados com controlo de deslocamento, a uma velocidade de 0.02mm/s. Na Fig. 2 é exibida uma das vigas com a sua instrumentação antes do ensaio. Figura 2. Aspecto de uma das vigas antes do ensaio. 3. RESULTADOS EXPERIMENTAIS Nas Figs 3 e 4 são exibidas as fendas observadas nas vigas V11 e V13 no decorrer do ensaio. À medida que a quantidade de armadura aumenta registou-se um número maior de fendas tendendo este valor a estabilizar a partir de ρ=0.45%. Nas vigas V13 e V14 o comprimento da rótula plástica ultrapassou os 60cm. O modo de rotura observado nas vigas V11 a V13 foi motivado pelo rompimento dos varões de aço tracionados, enquanto na viga V14 a rotura foi causada pela compressão do betão que levou ao seu destacamento superficial na zona adjacente à aplicação das cargas. Na Fig. 5 apresenta-se a rotação total registada nos ensaios na zona central da viga (rótula plástica), calculada a partir dos encurtamentos e alongamentos dos dois LVDTs horizontais. Verifica-se uma tendência para o aumento da rotação total com o aumento da quantidade de armadura até ρ=0.45%. Dado que os varões de aço utilizados não apresentavam patamar de cedência, não se registou nas curvas Força-Rotação total uma quebra nítida da rigidez no momento da cedência das armaduras. Figura 3. Aspeto da viga V11 junto à rotura. 3

4 Rotação Plástica em Vigas Fracamente Armadas Figura 4. Aspeto da viga V13 junto à rotura. Figura 5. Curvas experimentais Força Rotação total. 4. MODELAÇÃO NUMÉRICA A modelação numérica das vigas ensaiadas foi realizada através de modelos numéricos de elementos finitos em estado plano de tensão, no software Diana [5]. Na Fig. 6 apresentam-se os elementos principais da malha de elementos finitos os apoios e o carregamento. Designam-se por elementos principais os elementos iniciais de cada material que posteriormente são subdivididos em elementos de dimensão mais reduzida. Na Fig. 6 representa-se: i) a preto o betão, ii) a azul os varões de aço e os elementos de interface e, iii) a vermelho os estribos e os varões de compressão. A ligação entre o betão e os varões longitudinais tracionados é conseguida através de elementos de interface, conforme a ilustração da Fig. 7. Os elementos de interface (em estado plano de tensão) ligam a malha de elementos finitos de betão à malha do varão de aço (realizada através de elementos de treliça). As leis constitutivas implementadas neste elemento de interface simulam com rigor a aderência entre o betão e o aço, tendo sido aplicadas quatro formulações de aderência distintas: i) Proposto [6], ii) MC2010 [7], iii) MC90 [8], e iv) considerando a armadura embebida, sem a presença de elementos de interface. 4

5 José Santos e A. Abel Henriques Figura 6. Elementos principais da malha de elementos finitos das vigas ensaiadas. a) malha total b) betão c) elementos de interface d) varões Figura 7. Detalhe da ligação das armaduras ao betão com elementos de interface. O betão foi simulado com elementos de quatro nós de estado plano de tensão, com dimensões 0.01x0.01 m 2 e esquema de integração 2x2. Os estribos e os varões longitudinais de compressão foram simulados através de elementos de armadura embebidos do tipo barra. Os varões longitudinais tracionados e os elementos de interface foram simulados de acordo com o apresentado Fig. 7, com dimensões de 0.01 m (varões) e 0.01x0.001 m 2 (interface), e com um esquema de integração de 1x1. O carregamento foi implementado através de incrementos de deslocamento conforme indicado na Fig. 6. O método de resolução do sistema de equações utilizado foi o método secante designado por BFGS [5]. Para os critérios de convergência foram escolhidas as normas de força, energia e deslocamento. De modo a atingir a convergência mais rapidamente foi ainda selecionado o algoritmo designado por Line Search. Para o betão foram utilizados os seguintes parâmetros mecânicos: i) comportamento elástico: E = 24.6 GPa e ν = 0.2, ii) comportamento à tração: f ct = 2.6 MPa, G f = 138 N/m e a curva de amolecimento de Hordijk [5] e, iii) comportamento à compressão: c = 14.4 MPa (coesão), φ = 10º (ângulo de atrito), G C = N/m e a curva de endurecimento parabólica [5]. 5. RESULTADOS NUMÉRICOS Na Fig. 8 comparam-se as flechas últimas relativas. Com exceção de um caso, verificou-se que à medida que a percentagem geométrica de armadura diminui os resultados obtidos pelos diversos modelos numéricos tendem a sobrestimar consideravelmente a flecha última das vigas. O motivo desta disparidade nos resultados dos modelos numéricos está relacionado com o excesso de fendas verificadas nos modelos e com a excessiva abertura das fendas secundárias. Este facto pode ser constatado através da comparação dos mapas de fendilhação experimentais (Figs. 3 e 4) e numéricos (Figs. 9 e 10). Na viga V11, com uma percentagem geométrica de armadura pouco superior ao valor mínimo o modelo numérico MC90 conseguiu captar corretamente a existência de apenas uma fenda principal, mas depois não teve a capacidade de reduzir a aderência nessa zona de modo a permitir uma maior abertura de fenda e consequentemente uma maior capacidade de rotação disponível. Em contraponto, nos modelos Proposto e MC2010 para além da fenda a meio vão formaram-se mais duas fendas (uma à esquerda e outra à direita da fenda a meio a vão) com uma abertura muito mais elevada do que o observado nos ensaios experimentais, conforme exibido na Fig. 9. 5

6 Rotação Plástica em Vigas Fracamente Armadas Figura 8. Comparação relativa das flechas últimas obtidas para diferentes formulações da aderência. Figura 9. Mapa de fendilhação da viga V11 para a formulação de aderência designada por Proposto. Figura 10. Mapa de fendilhação da viga V13 para a formulação de aderência designada por Proposto. 6. DISCUSSÃO Nos ensaios experimentais verificou-se uma tendência para o aumento da rotação total com o aumento da quantidade de armadura até ρ=0.45%. Apesar da elevada dispersão de resultados normalmente registada neste tipo de ensaios, os valores adquiridos nestes ensaios experimentais são próximos dos obtidos por alguns autores [1-2], mesmo com varões de aço diferentes [9]. Na Fig. 11 comparam-se os resultados obtidos nos ensaios das vigas (devidamente escalados pela esbelteza do esforço transverso) com os valores limites definidos no EC2 [3]. Relativamente aos valores máximos da capacidade de rotação regulamentar e experimental verificou-se uma diferença assinalável, só justificável pelo facto da curva do EC2 ser uma curva correspondente a um valor característico mínimo, e tendo em conta a referida elevada dispersão registada neste tipo de ensaios. Quanto à posição relativa dos máximos das curvas regulamentar e experimental verificou-se que há uma translação entre estas. Supostamente o parâmetro x u /d seria calculado com os valores de cálculo das propriedades dos materiais, no entanto constata-se que para uma correta sintonia das curvas, os valores do parâmetro x u /d devem ser calculados com os valores médios das propriedades dos materiais. Verificou-se que para valores de ρ baixos a capacidade de rotação experimental foi inferior à estipulada pelo EC2. Para além disso, do ponto de vista dos autores, não se justifica que em vigas a curva regulamentar θ pl (x u /d) possa começar com um valor superior a zero, mesmo tendo em conta que o regulamento especifica valores mínimos de armadura para os elementos, e que portanto a rotura será sempre dúctil. Deste modo, propõe-se uma alteração ao primeiro troço da curva do EC2 conforme a Fig. 12, de modo a que a curva inicie em zero. 6

7 José Santos e A. Abel Henriques Figura 11. Capacidade de Rotação experimental versus EC2. Figura 12. Capacidade de Rotação proposta. Constatou-se que o valor definido pelo EC2 [3] para o comprimento da rótula plástica, de 1.2 vezes a altura da secção transversal, é inferior ao observado nas vigas com fendilhação totalmente desenvolvida (V13 e V14), mesmo descontando a largura do carregamento. No entanto, note-se que apesar da fendilhação se estender para além do valor indicado no EC2 não significa que em todo esse comprimento haja plastificação das armaduras, para que todo este comprimento possa ser considerado como rótula plástica. Deste modo, o valor indicado pelo EC2 parece ser adequado quando a fendilhação está totalmente desenvolvida. O excesso de fendas verificadas nos modelos numéricos devido à excessiva abertura das fendas secundárias está relacionado com o facto de que para muito baixas quantidades de armadura os modelos numéricos desenvolvidos são bastante dependentes das variáveis f ct, G f, f y, f u e f u /f y. Pequenas alterações nestas variáveis podem induzir grandes modificações na resposta última da estrutura. Assim, para baixas quantidades de armadura, os modelos numéricos detalhados desenvolvidos podem ser úteis para estimar algumas grandezas como a distância média entre fendas, mas não para estimar outras como a flecha última ou capacidade de rotação. Isto poderá explicar em parte por que motivo o EC2 e o MC2010 apresentam valores da capacidade de rotação demasiado elevados para muito baixas quantidades de armadura. 7

8 Rotação Plástica em Vigas Fracamente Armadas Nas vigas V11 e V13, o espaçamento médio entre fendas do modelo numérico (Figs. 9 e 10) foi bastante próximo do ocorrido nos ensaios experimentais (Figs. 3 e 4). Na viga V11 o espaçamento médio entre fendas do modelo numérico foi igual a 21 cm enquanto no ensaio experimental foi igual a 20 cm, por sua vez na viga V13 o espaçamento médio entre fendas do modelo numérico foi igual a 12 cm enquanto no ensaio experimental foi igual a 10 cm. CONCLUSÕES Os resultados obtidos para a rotação plástica em vigas fracamente armadas indicam que os valores regulamentares (EC2 e MC2010) podem ser demasiado otimistas quando é utilizada a armadura mínima de flexão e que este aspeto pode não ser adequadamente apreendido pelos modelos numéricos, que também tendem a originar resultados mais dúcteis do que o real. Deste modo, foi sugerida a alteração da curva da rotação plástica do EC2 e MC2010. AGRADECIMENTOS O primeiro autor agradece ao FSE - Fundo Social Europeu e à FCT - Fundação para a Ciência e a Tecnologia o apoio financeiro dado através bolsa SFRH/BD/30004/2006. REFERÊNCIAS [1] CEB - Ductility of reinforced concrete structures, Bulletin d'information , Lausanne: Comité Euro-International du Béton. [2] CEB - DUCTILITY - Reinforcement, Bulletin d'information , Lausanne: Comité Euro- International du Béton. [3] NP EN Eurocódigo 2: Projecto de estruturas de betão - Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios. 2010, IPQ - Insituto Português da Qualidade: Caparica, Portugal. [4] fib - Bulletin 56 - Model Code First complete draft, Volume , International Federation for Structural Concrete (fib): Lausanne, Switzerland. [5] Manie, J.; Kikstra, W. P. - DIANA-9.42 User's Manual - Material Library. 2010, TNO DIANA BV, Delft. [6] Santos, J.; Henriques, A. A. - FE modelling of bond-slip response including steel strains. Proceedings of: Bond in Concrete 2012: Bond, Anchorage, Detailing (4th International Symposium). 2012, Brescia, Itália. [7] fib - Bulletin 55 - Model Code First complete draft, Volume , International Federation for Structural Concrete (fib): Lausanne, Switzerland. [8] CEB - CEB-FIP Model Code 1990: Design code. 1991, Comité Euro-International du Béton: London. [9] Eifler, H.; Plauk, G. - Drehfähigkeit plastischer Gelenke in biegebeanspruchten Stahlbetonkonstruktionen. 1974, Bericht der Bundesanstalt für Materialprüfung (BAM) zum Forschungsvorhaben BAM: Vh : Berlin, pp