Prova Modelo de Exame Nacional de Matemática A Prova 635 Ensino Secundário Julho de o Ano de Escolaridade

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1 Prova Modelo de Eame Nacional de Matemática A Prova 65 Ensino Secundário Julho de 00 o Ano de Escolaridade Simulação de Prova 65 Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 8 Páginas Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro e transferidor. Apresente apenas uma resposta para cada item. As cotações dos itens encontram-se no final da prova. A prova inclui um formulário. Nas respostas aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Escreva, na folha de Nas respostas aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. Itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final:, 7., 7. e 0 Estes itens estão assinalados no enunciado através de uma moldura que os rodeia. Dos restantes 5 itens da prova, apenas contribuem para a classificação final os 8 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página de 8

2 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência αr (α - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raio) Área de um polígono regular: Semiperímetro Apótema Área de um sector circular: αr (α - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raio) Área lateral de um cone: πrg (r - raio da base; g - geratriz) Área de uma superfície esférica: 4πr (r - raio) Volume de uma pirâmide: Área da base Altura Volume de um cone: Área da base Altura Volume de uma esfera: 4 πr (r - raio) Progressões: Soma dos n primeiros termos de uma progressão (u n ): Progressão aritmética: u + u n n Progressão geométrica: u rn r Trigonometria sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b Compleos ( ρe iθ ) n = ρ n e inθ n ρe iθ = n ρe i θ+kπ n (k {0,..., n } e n N) Regras de derivação (u + v) = u + v (uv) = u v + uv ( u v ) = u v uv v (u n ) = nu n u (n R) (sin u) = u cos u (cos u) = u sin u (tan u) = u cos u (e u ) = u e u (a u ) = u a u ln a (a R + \ {}) (ln u) = u u (log a u) = u u ln a (a R+ \ {}) Limites notáveis ( + n) n = e (n N) sin 0 = e = ln = 0 e = + (p R) p Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página de 8

3 . Na figura está representado um triângulo equilátero [ABC] e um quadrado [BCDE], ambos de lado a. E A D Qual dos seguintes é o valor de BA DC? B C (A) a (B) a (C) a (D) a. Resolva, em R e por processos analíticos, a equação: log 5 + log 8 + (log 4 ) = 0. No referencial o.n. y da figura estão representadas uma circunferência e uma reta r. y A r B Sabe-se que: o ponto A, centro da circunferência, tem coordenadas (, ) a reta r é tangente à circunferência no ponto B e é definida pela equação y + = 0.. Mostre que a reta AB é definida por + y = 5... Defina a circunferência por uma equação na forma ( a) + (y b) = c, com a, b N e c Z. Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página de 8

4 4. Em C, conjunto dos números compleos, considere a condição: z + z 0 z z = Arg (z) π 4 Em qual das opções seguintes está representada a região do plano compleo que verifica a condição? Im (z) Im (z) Re (z) Re (z) (A) (B) Im (z) Im (z) Re (z) Re (z) (C) (D) 5. Em C, conjunto dos números compleos, considere z = e i π e z = i. ( ) Determine w = z z π + ei na forma algébrica. i5 6. Sejam S n e S n+, respetivamente, a soma de todos os elementos de duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal. Qual dos seguintes é o valor de log S n log S n+? (A) (B) (C) (D) Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página 4 de 8

5 7. Na figura encontra-se representado geometricamente um cone e o plano α que contém a base do cone. V A B Sabe-se que: a reta AV contém a altura do cone e é definida por: (, y, z) = (, 4, 6) + k (, 4, ), k R A pertence ao plano z e o ponto V pertence ao plano y [AB] é um raio da base do cone o ponto B pertence à reta definida por: = y = 7.. Mostre que o plano α é definido por + 4y z + 6 = Seja θ a amplitude, em radianos, do ângulo AV B. Determine o valor de: ( ) π sin (θ 5π) cos + θ + tan (π θ) 8. Considere todos os números com cinco algarismos distintos formados a partir dos algarismos,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Escolhendo, ao acaso, um desses números, qual é a probabilidade do número escolhido começar por um algarismo ímpar ou terminar com um algarismo ímpar. (A) 5 6 (B) 6 (C) (D) 9. Seja Ω o espaço amostral (espaço de resultados) associado a uma certa eperiência aleatória. A e B são dois acontecimentos (A Ω e B Ω), tais que: A e B são independentes P (A) = 0, P ( ) A B = 0, 8 valor de P (B) é? (A) 5 7 (B) 7 (C) (D) Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página 5 de 8

6 0. No referencial o.n. y da figura estão representados uma reta r e seis triângulos isósceles. y r Tal como a figura sugere: a reta r interseta o eio no ponto de abcissa a reta r interseta o eio y no ponto de ordenada os vértices das bases dos triângulos pertencem ao eio e têm abcissas inteiras consecutivas, não negativas o restante vértice de cada um dos triângulos pertence à reta r João, seguindo esta regra de construção, desenhou mais alguns triângulos para além dos seis que já eistiam. No final, a soma das áreas de todos os triângulos era igual a 7, 5. Quantos triângulos desenhou o João?. A figura mostra a planificação de dois dados equilibrados, um dodecaédrico e outro cúbico, com as faces numeradas Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página 6 de 8

7 Tal como a figura sugere: as faces do dado dodecaédrico estão numeradas de a, estando os números pares desenhados a azul e os números ímpares desenhados a vermelho as faces do dado cúbico estão numeradas de a 6, estando os números pares desenhados a vermelho e os números ímpares desenhados a azul Considere a eperiência aleatória que consiste lançar uma vez cada um dos dados e assinalar a cor e o número marcado na face que fica voltada para cima... Determine a probabilidade da soma dos valores obtidos nos dois dados ser superior a 0. Apresente o valor pedido na forma de fração irredutível... Considere os acontecimentos: A: números obtidos nas faces voltadas para cima nos dois dados têm a mesma cor B: produto dos números obtidos é par Justifique que P ( B A ) =, numa composição, começando por eplicar o significado de P ( B A ) no conteto da situação descrita.. Na figura está representado um triângulo retângulo [ABC]. A B P C Considere que um ponto P move-se ao longo de [BC] nunca coincidindo com o ponto B nem com o ponto C. Sabe-se que: é a amplitude, em radianos, do ângulo BAP AB = a e BC = a, com a > 0 Qual das seguintes epressões dá, em função de e de a, a área do triângulo [AP C]? (A) a tan (B) a ( sin ) (C) a ( cos ) (D) a ( tan ). Seja g a função, de domínio R, definida por: g() = e + e se se < 0.. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, prove que g () = e. e.. Averigue a eistência de assintotas não verticais ao gráfico de g. Caso eista(m), defina-a(s) pela sua equação reduzida. Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página 7 de 8

8 4. No referencial o.n. y da figura encontra-se parcialmente representado o gráfico de h, primeira derivada da função h, de domínio R +. y h Atendendo aos dados da figura, qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) gráfico de h tem apenas um ponto de infleão (B) h tem dois mínimos relativos (C) h tem dois máimos relativos (D) h é estritamente crescente 5. Seja (a n ) a sucessão de termo geral a n = n e n + Qual é o valor de (a n )? ln (n) n. (A) (B) 0 (C) (D) + FIM Cotações As pontuações obtidas nas respostas a estes 4 itens da prova contribuem obrigatoriamente para a classificação final. Itens Subtotal Cotação (pontos) Destes 5 itens, contribuem para a classificação final da prova os 8 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação. Itens Subtotal Cotação (pontos) 8 6 pontos 8 Prova modelo n. o 7 Autor: Carlos Frias Página 8 de 8