ALGORITMOS E COMPLEXIDADE PROBLEMAS E ALGORITMOS

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1 ALGORITMOS E COMPLEXIDADE PROBLEMAS E ALGORITMOS Algoritmos e Complexidade 1

2 Plano Problemas e algoritmos. Estrutura de um algoritmo e dados manipulados. Métodos algorítmicos para resolução de problemas. Algoritmos: Pão de Ló de Alfeizerão; Soma de salários; Bubblesort; Torres de Hanoi; Tree sort; Merge sort; Rodovia mais barata; Caminho mais curto. Algoritmos e Complexidade 2

3 Um pouco de história Etimologia Algorismo Astrónomo matemático persa Abu Já Far Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi [Bagdad; ] corruptela de Al-Khowarizmi aquando da tradução europeia para o latim (século XII) do seu livro de Álgebra descrevendo processos para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números decimais. Algoritmos e Complexidade 3

4 Um pouco de história Algoritmo de Euclides - o primeiro algoritmo não trivial Professor, matemático e escritor de origem desconhecida Euclides de Alexandria [ ] Para calcular o máximo divisor comum entre dois números naturais, subtrair o menor ao maior até ficarem iguais. x y Definição 1: Algoritmos são prescrições de processos que quando executados permitem a resolução de problemas Algoritmos e Complexidade 4

5 Departamento de Ciências e Tecnologias da Informação Um algoritmo para um problema delicioso Receita do Pão de Ló de Alfeizerão Ingredientes: 100 grs de açúcar 6 gemas 2 ovos 50 grs de farinha Confecção: Batem-se os ovos inteiros com o açúcar até a mistura ficar esbranquiçada. Juntam-se as gemas desfeitas e bate-se tudo muito bem até ficar cremoso. Envolve-se a farinha bem peneirada. Deita-se a massa numa forma forrada com um papel grosso. Leva-se a cozer em forno quente até ficar cozido nas bordas. Retira-se do forno e desenforma-se. C Algoritmos utilizam instruções elementares de um conjunto pré-definido em função das capacidades/experiência de quem as lê e executa (hardware/cozinheiro experiente) C Programas são algoritmos que podem ser lidos e executados por computador C Uma vez que se pretende discutir problemas que podem ser resolvidos computacionalmente, vamos aqui considerar apenas algoritmos precisos cujas acções elementares podem ser definidas precisamente/sem ambiguidade e executadas em tempo finito por um computador. Algoritmos e Complexidade 5

6 Problemas, Algoritmos e Computadores Um problema, consistindo em: 1. Caracterização de uma colecção de entradas / inputs potenciais (possivelmente em número infinito); 2. Especificação das saídas/outputs desejados em função dos inputs. Definição 2: Um algoritmo é uma solução de um problema. É composto por instruções elementares de um conjunto pré-definido e deve ser capaz de produzir o outputs especificado para cada um dos inputs potenciais. Exemplo Problema: Dados x,y N (input), calcular mdc(x,y) (output) Problema Algorítmico Solução algorítmica Solução/Algoritmo: Subtrair o menor ao maior até ficarem iguais Algoritmos e Complexidade 6

7 Estrutura de um algoritmo As instruções elementares de um algoritmo podem ser organizadas por estruturas de controlo que especificam a ordem com que as instruções devem ser executadas. Sequência {A B D fazer A e de seguida fazer B e de seguida fazer D Alternativa if(q) A else B se Q então fazer A caso contrário fazer B Iteração while(q)a fazer A enquanto Q for( Subrotinas permite definir novas instruções Output subrotina(input parametro) Algoritmos e Complexidade 7

8 Dados manipulados por um algoritmo A informação manipulada por um algoritmo é guardada em variáveis estruturadas de diversas maneiras (Tipos). Números, caracteres, booleanos, palavras int, long, float, double, char, boolean, String Arrays combinando várias variáveis todas do mesmo tipo Registos/Objectos combinando variáveis de tipos diferentes + operações Xavier 600 Algoritmos e Complexidade 8

9 Dados manipulados por um algoritmo Pilhas (sequência de elementos com disciplina de acesso LIFO) Filas (sequência de elementos com disciplina de acesso FIFO) Árvores (elementos dispostos hierarquicamente) Algoritmos e Complexidade 9

10 Dados manipulados por um algoritmo Grafos (elementos dispostos em rede) Algoritmos e Complexidade 10

11 Exemplos de algoritmos Problema máximo divisor comum : Dados x,y N (input), calcular mdc(x,y) (output) Solução: int euclides(int x,int y){ while(x!= y){ if(x>y) x = x y; else y = y x; return x ; Algoritmos e Complexidade 11

12 Exemplos de algoritmos Problema soma dos n primeiros naturais : Dado n N (input), calcular n (output) Solução 1: int soma(int n){ int s = 0, i = 1; while(i <= n){ s = s + i; i = i + 1; return s; Algoritmos e Complexidade 12

13 Exemplos de algoritmos Problema soma dos n primeiros naturais : Dado n N (input), calcular n (output) Solução 2: Solução de Carl Friedrich Gauss [ ] = = = = = = 5x6/ = 100x101/2 int soma(int n){ return n*(n+1)/2; Algoritmos e Complexidade 13

14 Exemplos de algoritmos Problema soma de salários : Dado um array de n N empregados (input), calcular a soma dos seus salários (output) Solução : class Empregado{ String nome; float salário; Empregado(String nome, float salário){ this.nome = nome; this.salário = salário; float somasalarios(empregado[] empregados, int n){ float soma = 0; for(int i = 0; i < n; i = i +1) soma = soma + empregados[i].salário; return soma; Algoritmos e Complexidade 14

15 Exemplos de algoritmos traço da execução: Xavier Maria Ana Gustavo soma = 0 i = 0 soma = 600 i = 1 soma = 900 i = 2 soma = 2400 i = 3 soma = 5900 i = 4 Algoritmos e Complexidade 15

16 Exemplos de algoritmos Problema ordenação : Dado um array de n N empregados (input), ordenar os empregados por nome (output) Solução: Empregado[] bublesort(empregado[] empregados, int n){ for(int i = 0; i < n-1; i = i +1){ for(int j = 0; j < n-1; j = j +1){ if(empregados[j].nome > empregados[j+1].nome){ Empregado aux = empregados[j]; empregados[j] = empregados[j+1]; empregados[j+1] = aux; return empregados; Algoritmos e Complexidade 16

17 Exemplos de algoritmos traço da execução: Xavier Maria Ana Gustavo Maria Xavier Ana Gustavo Maria Ana Xavier Gustavo Maria Ana Gustavo Xavier Ana Maria Gustavo Xavier Ana Gustavo Maria Xavier Algoritmos e Complexidade 17

18 Exemplos de algoritmos Problema Torres de Hanoi : Édouard Lucas, Nouveaux jeux scientifiques. La Nature, 17: , São dados n discos de diâmetro 1, 2,, n dispostos por ordem decrescente de diâmetro num de 3 postes. Pretende-se transferir todos os discos para um dos outros postes, respeitando as seguintes restrições: 1. apenas um disco pode ser movido de cada vez, 2. apenas se podem mover os discos do topo 3. nenhum disco pode ser colocado sobre outro menor. Algoritmos e Complexidade 18

19 Departamento de Ciências e Tecnologias da Informação Exemplos de algoritmos Solução: Algoritmos e Complexidade 19

20 Exemplos de algoritmos Solução: void Hanoi(int n, char posteinicial, char postefinal, char posteauxiliar){ if(n == 1) System.out.println(posteInicial + + postefinal); else{ Hanoi(n-1, posteinicial, posteauxiliar, postefinal); System.out.println(posteInicial + + postefinal); Hanoi(n-1, posteauxiliar, postefinal, posteinicial); Algoritmos e Complexidade 20

21 Exemplos de algoritmos traço da execução: Hanoi(3,A,B,C) Hanoi(2,A,C,B) Hanoi(2,C,B,A) Hanoi(1,A,B,C) Hanoi(1,B,C,A) Hanoi(1,C,A,B) Hanoi(1,A,B,C) A B A C B C A B C A C B A B Algoritmos e Complexidade 21

22 Departamento de Ciências e Tecnologias da Informação Exemplos de algoritmos Problema ordenação : Dado uma lista de n N números (input), ordenar os números por ordem crescente (output) Solução tree sort : Transformar a lista de input numa árvore binária de pesquisa e de seguida atravessar a árvore em travessia infixa. traço da execução: Algoritmos e Complexidade 22

23 Departamento de Ciências e Tecnologias da Informação Exemplos de algoritmos Solução merge sort : traço da execução: 1. Dividir a lista de input em duas metades (a esquerda e a direita); 2. ordenar a lista esquerda; 3. ordenar a lista direita; 4. juntar as duas listas para obter uma lista final ordenada. Algoritmos e Complexidade 23

24 Métodos algorítmicos para resolução de problemas Como encontrar soluções para problemas? Não existe uma receita fácil para o sucesso! Mas, alguns algoritmos seguem um padrão particular. Incrementais Incrementalmente exploram todos os elementos de uma estrutura de dados e constroem uma solução. Solução Incremental(Dados d){ resultado = valorinicial; for( cada x elemento de d ) actualiza(resultado); return resultado; Exemplos: soma de salários, ordenação tree sort Algoritmos e Complexidade 24

25 Métodos algorítmicos para resolução de problemas Dividir para conquistar Solução DividirparaConquistar(Prolema p){ if(fácil(p)) Resolver(p); else{ Dividir(p) em p1 e p2; sol1 = DividirparaConquistar(p1); sol1 = DividirparaConquistar(p2); solução = Combinar(p1,p2); return solução; Exemplos: Torres de Hanoi, ordenação merge sort Algoritmos e Complexidade 25

26 Métodos algorítmicos para resolução de problemas Gulosos A escolha óptima local conduz à escolha óptima global. Problema Rodovia mais barata : Dada uma rede de n N cidades com os preços de cada ligação (input), qual a rodovia mais barata unindo todas as cidades (output) Solução: 1. Escolhe-se a ligação mais barata ; 2. Enquanto houver ligações ainda por considerar 2.1 Escolhe-se a ligação que permitir estender a rodovia de modo mais barato e sem introduzir ciclos; Algoritmos e Complexidade 26

27 Métodos algorítmicos para resolução de problemas traço da execução: Algoritmos e Complexidade 27

28 Métodos algorítmicos para resolução de problemas Planeamento/Programação dinâmica A escolha óptima global é obtida considerando todas as combinações de: 1. decisões simples (locais); e 2. a escolha óptima global das restantes decisões. Problema Caminho mais Curto : Dada uma rede de n N cidades com os preços de cada ligação e duas cidades dessa rede (input), qual o caminho mais curto entre A e B. Solução: 1. Enquanto houver cidades X directamente ligadas a A 1.1 Calcular o comprimento do caminho mais curto de X a B 2.O caminho final A continua com a cidade X para a qual se tem o mínimo valor do comprimento de A a X + comprimento do caminho mais curto entre X e B Algoritmos e Complexidade 28