CONTABILIDADE ATUARIAL

Transcrição

1 CONTABILIDADE ATUARIAL Construção das tábuas de mortalidade Tábuas de Mortalidade Uma tábua de mortalidade se baseia em dados de nascimentos e mortes e nas idades ao morrer. A utilidade destes dados depende de que as estatísticas sejam exatas, representativas, comparáveis e adequadas. Quando a informação concernente a estas estatísticas de vida se dispõe em forma de tabela se obtém o que se chama uma tábua de mortalidade e dela se pode deduzir, por meio da teoria das probabilidades, a probabilidade de vida ou morte de uma pessoa. 1

2 Disposição da Tábua de Mortalidade - EXEMPLO American Experience Table. Coluna X Em termos gerais, é costume referir-se à idade pela letra X, isto é, considerando-se como uma idade qualquer; assim, quando falarmos de uma pessoa de idade X, queremos dizer uma pessoa de qualquer idade compreendida na coluna de idade da American Experience Table. Na sequência, nos referimos frequentemente a esta coluna como a coluna X. Coluna X = idade 2

3 O Símbolo lx Para maior conveniência e brevidade se usou a letra l para designar dados na coluna de pessoas vivas. Ainda, para maior comodidade se juntou à letra l pequenos sub-índices para designar os dados específicos nesta coluna. Assim, l 10 indica o número de pessoas vivas na idade de 10 anos, l 35 indica o número das que vivem na idade de 35 anos; l 95 o número das que vivem aos 95 anos. Posto que x pode aplicar-se a qualquer idade, Lx aplicar-se-á a qualquer dado na coluna de pessoas vivas ; chamaremos, pois, esta coluna de coluna l x O Símbolo dx dx o número de pessoas que morrem entre as idades de x e x+1 Na coluna (3) aparece o número de pessoas que morrem num período de doze meses, que começa na idade indicada na mesma linha na coluna (1). À frente do 10 da coluna de idade se encontra, na coluna de número de pessoas que morrem, o número 749. Isto quer dizer que, das pessoas iniciais houve 749 que morreram entre os 10 e os 11 anos. Da mesma maneira, à frente do 11 da coluna de idade aparece na coluna (3) a cifra 746, que é o número de pessoas que morreram entre os 11 e 12 anos. Estes dados formam todos parte da matéria-prima usada e se obterão dos dados originais apurados. Para facilitar a memorização dos símbolos se designa pela letra d o número de pessoas que morrem num dado ano. 3

4 O Símbolo qx qx representa a probabilidade de que uma pessoa de idade x morra antes de chegar a idade x + 1. Razão pela qual a coluna (4) de probabilidade anual de morrer se conhece com o nome de coluna q x, e q x designa um dado qualquer desta coluna. O Símbolo px px denota a probabilidade de que uma pessoa de idade x viva até chegar a idade x

5 Resumo dos Símbolos x - indica qualquer idade incluída na tábua de mortalidade. lx - indica o número de pessoas que chegam a idade x. dx - indica o número de pessoas que morrem entre as idades x e x + 1. px - indica a probabilidade de que uma pessoa de idade x viva um ano mais. qx - indica a probabilidade de que uma pessoa de idade x morra dentro de um ano. Resumo de fórmulas (189) lx + 1 = lx - dx Fórmula para o número de pessoas vivas na idade x + 1 (190) dx = lx - lx + 1 Fórmula para o número de pessoas que morrem na idade x (191) lx = dx + dx dx d(w) Fórmula para o número de pessoas vivas na idade x (192) lx - lx + n = d x + d x Fórmula para o número de pessoas que dx + n - 1 morrem entre os x e os x + n anos 5

6 11 1) Com auxílio da tábua American Experience, determinar a probabilidade de vida para a idade de 45 anos. Solução: Queremos obter p 45. Temos da tábua American Experience que A probabilidade de vida da idade de x anos é l 45 = e l 46 = Logo, p x = l l x+1 x p 45 = l l p 45 = ,98884 Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 30 anos? Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 40 anos? Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 80 anos? Quantas pessoas morreram com 39 anos? Quantas pessoas morreram com 57 anos? Quantas pessoas morreram antes de completar 6 anos? Quantas pessoas morreram entre 70 e 79 anos? Qual a probabilidade de um recém nascido viver até os 14 anos de idade? 6

7 13 Probabilidade de falecimento P = probabilidade Dx = óbitos Lx = sobreviventes P = dx lx Aos 36 anosp = 216 = 0, Das pessoas sobreviventes a chance de uma delas falecer é de 0,00229 Probabilidade de falecer daqui a 10 anos 14 P = probabilidade D = óbitos L = sobreviventes P = Lx (Lx 1). Lx Aos 36 anos P = ( ). = 0, Uma pessoa hoje com 36 anos tem a probabilidade de 0,02590 de vir a falecer daqui a 10 anos 7

8 Probabilidade de estar viva daqui a 10 anos 15 P = probabilidade D = óbitos L = sobreviventes P = Lx +1. Aos 36 anos P = = 0, Lx Uma pessoa hoje com 36 anos tem a probabilidade de 0,97410 de estar viva daqui a 10 anos Probabilidade de estar viva daqui a 10 anos 16 P = probabilidade D = óbitos L = sobreviventes Probabilidade de falecer = 0,02590 Probabilidade de estar vivar = 0,97410 Total = 1,

9 Probabilidade de falecer entre duas idades 17 P = probabilidade D = óbitos L = sobreviventes P = (Lx+n) (Lx +n+x). Lx Aos 36 anos P = = 0,07527 entre 50 e 60 anos Uma pessoa hoje com 36 anos tem a probabilidade de 0,07527 de vir a falecer entre 50 e 60 anos. 18 E X E R C Í C I O S 9

10 19 EXERCÍCIOS (l) a coluna sobreviventes inicia com um valor base ou (d) A coluna Óbitos é conseguida através dos registros em cartórios em comparação com os dados fornecidos pelos hospitais. l d = (l) + 1ano 20 EXERCÍCIOS TÁBUA MORTALIDADE IBGE A tabela mostra sobreviventes com 10 (dez) anos e com 25 óbitos com 10 (dez) anos logo teremos sobreviventes com 11 (onze) anos; - A tabela mostra sobreviventes com 61 (sessenta e um) anos e com 1038 (mil e trinta e oito) óbitos com 61 (sessenta e um) anos logo teremos sobreviventes com 62 (sessenta e dois) anos; - A tabela mostra sobreviventes com 70 (setenta) anos e com 1835 (mil oitocentos e trinta e cinco) óbitos com 70 (setenta) anos logo teremos sobreviventes com 71 (setenta e um) anos; 10

11 21 EXERCÍCIOS TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011 Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 30 anos? Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 40 anos? Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 80 anos? Quantas pessoas morreram com 39 anos? Quantas pessoas morreram com 57 anos? Quantas pessoas morreram antes de completar 6 anos? Quantas pessoas morreram entre 70 e 79 anos? Qual a probabilidade de um recém nascido viver até os 14 anos de idade? 22 EXERCÍCIOS TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011 Qual a probabilidade de um jovem com 17 anos completos não sobreviver aos 40 anos? Qual a probabilidade de um jovem com 17 anos viver até os 40 anos? 0,95790 = probabilidade de estar vivo 0,04210 = probabilidade de falecer 1,00000 = 11

12 23 EXERCÍCIOS TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011 Qual a probabilidade de um indivíduo de 55 anos vir a falecer antes de alcançar a idade de 62 anos? Qual a probabilidade deste indivíduo de 55 anos ter de uma vida feliz ate alcançar a idade de 62 anos? 0,92944 = probabilidade de estar vivo 0,07056 = probabilidade de falecer 1,00000 = 24 EXERCÍCIOS TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011 Qual a probabilidade de um indivíduo de 41 anos vir a falecer entre a idade de 59 e 68 anos? Qual a probabilidade de um indivíduo de 20 anos vir a falecer entre a idade de 40 e 60 anos? 12

13 25 EXERCÍCIOS TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011 Qual a probabilidade de um individuo de 60 anos: Atingir com vida a idade de 78 anos Atingir com vida a idade de 75 anos Atingir com vida a idade de 65 anos Falecer com 63 anos Falecer com 68 anos Falecer com idade entre 60 e 79 anos Falecer com idade entre 62 e 79 anos 26 EXERCÍCIOS Tábua de Mortalidade CSO-58 Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 30 anos? Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 40 anos? Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 80 anos? Quantas pessoas morreram com 39 anos? Quantas pessoas morreram com 57 anos? Quantas pessoas morreram antes de completar 6 anos? Quantas pessoas morreram entre 70 e 79 anos? Qual a probabilidade de um recém nascido viver até os 14 anos de idade? 13

14 27 EXERCÍCIOS Tábua de Mortalidade CSO-58 Qual a probabilidade de uma pessoa de 25 anos falecer antes de atingir a idade de 70 anos? Antonio tem 40 anos. Calcule a probabilidade de Antonio chegar com vida aos 65 anos Qual a probabilidade de uma pessoa com 35 anos falecer com 36 anos? 28 EXERCÍCIOS Tábua de Mortalidade CSO-58 Qual a probabilidade de uma pessoa de 50 anos falecer entre as idades de 65 e 85 anos? Qual a probabilidade deste indivíduo de 55 anos ter de uma vida feliz ate alcançar a idade de 62 anos? 0,92944 = probabilidade de estar vivo 0,07056 = probabilidade de falecer 1,00000 = 14

15 29 EXERCÍCIOS Tábua de Mortalidade CSO-58 Qual a probabilidade de um indivíduo de 41 anos vir a falecer entre a idade de 59 e 68 anos? Qual a probabilidade de um indivíduo de 20 anos vir a falecer entre a idade de 40 e 60 anos? 30 EXERCÍCIOS Tábua de Mortalidade CSO-58 Qual a probabilidade de um individuo de 60 anos: Atingir com vida a idade de 78 anos Atingir com vida a idade de 75 anos Atingir com vida a idade de 65 anos Falecer com 63 anos Falecer com 68 anos Falecer com idade entre 60 e 79 anos Falecer com idade entre 62 e 79 anos 15