LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES

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1 NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES 1. INTRODUÇÃO Como pode um rebocador pequeno rebocar um navio muito mais pesado do que ele? Por que ele precisa de uma longa distância para parar o navio depois do início do movimento? Por que seu pé se machuca mais quando você chuta uma rocha do que quando chuta uma bola de futebol? Por que é mais difícil controlar um carro que se desloca sobre uma pista de gelo do que quando ele se desloca sobre uma pista de concreto seco? As respostas a essas e outras questões semelhantes nos conduzem ao estudo da dinâmica, a relação entre o movimento e a força que o produz. Nos capítulos anteriores, estudamos a cinemática, a linguagem para descrever o movimento. Agora estamos aptos a entender o que faz os corpos se moverem da maneira como eles o fazem. Neste capítulo, para analisarmos os princípios da dinâmica, usaremos as grandezas deslocamento, velocidade e aceleração juntamente com dois conceitos novos, força e massa. Esses princípios podem ser sintetizados em um conjunto de três afirmações conhecidas como leis de Newton do movimento. A primeira afirma que, quando a força resultante que atua sobre um corpo é igual a zero, o movimento do corpo não se altera. A segunda lei de Newton relaciona a força com a aceleração quando a força resultante que atua sobre um corpo não é igual a zero. A terceira lei é uma relação entre as forças de interação que um corpo exerce sobre os outros. Essas leis, baseadas em estudos experimentais do movimento de um corpo, são fundamentais sob dois aspectos. Em primeiro lugar, elas não podem ser deduzidas ou demonstradas a partir de outros princípios. Em segundo lugar, elas permitem nosso entendimento dos tipos mais comuns de movimento; elas são o fundamento da mecânica clássica (também conhecida como mecânica newtoniana). Contudo, as leis de Newton não são universais: elas necessitam de modificações para velocidades muito elevadas (próximas da velocidade da luz) e para dimensões muito pequenas (tal como no interior de um átomo). As leis do movimento foram claramente estabelecidas pela primeira vez por Sir Isaac Newton ( ), que as publicou em 1687 em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural). FIGURA 1 Capa da obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Muitos outros cientistas anteriores a Newton também contribuíram para os fundamentos da mecânica, incluindo Copérnico, Brahe, Kepler e especialmente Galileu Galilei ( ), que faleceu no mesmo ano do nascimento de Newton. Na verdade, de acordo com palavras do próprio Newton, "Se eu fui capaz de ver um pouco mais adiante do que outros homens, é porque eu montei nos ombros de gigantes". Agora é nossa vez de montarmos nos ombros de Newton e usar suas leis para entender como nosso mundo físico funciona. As leis de Newton podem ser enunciadas de modo muito simples, embora alguns estudantes tenham dificuldades para entendê las e utilizá las. A razão é que, antes de estudar física, durante anos você caminhou, jogou bola, empurrou caixas e fez dezenas de coisas que envolvem movimento. Durante esse período você desenvolveu um "senso comum", envolvendo ideias sobre o movimento e suas causas. Porém, muitas dessas ideias do "senso comum", embora possam funcionar em nossa vida diária, não se combinam com uma análise lógica nem com a experiência. Grande parte da tarefa deste capítulo e do restante de nosso estudo da física consiste em ajudar você a se convencer de que o "senso comum" deve ser substituído por outros tipos de análises.. FORÇA E INTERAÇÕES Na linguagem cotidiana, exercer uma força significa puxar ou empurrar. O conceito de força nos fornece uma descrição 1

2 quantitativa da interação entre dois corpos ou entre o corpo e seu ambiente. Quando você empurra um carro atolado na neve, você exerce uma força sobre ele. Uma locomotiva exerce uma força sobre o trem para puxar ou empurrar os vagões, um cabo de aço exerce uma força sobre a viga que ele sustenta em uma construção e assim por diante. Quando uma força envolve o contato direto entre dois corpos, ela é chamada de força de contato. Exemplos de força de contato são a força de puxar ou empurrar exercida pela sua mão, a força de puxar exercida por uma corda sobre um objeto no qual ela está presa e a força que o solo exerce sobre um jogador de futebol. Existem também forças, denominadas forças de longo alcance, que atuam mesmo quando os corpos estão muito afastados entre si. Você já deve ter sentido o efeito de forças de longo alcance ao brincar com um par de ímãs. A gravidade também é uma força de longo alcance: para manter a Terra em órbita, o Sol exerce uma atração gravitacional sobre a Terra, mesmo a uma distância de 150 milhões de quilômetros. A força é uma grandeza vetorial; você pode puxar ou empurrar um objeto em diferentes direções e sentidos. Logo, para descrever uma força, além da direção e do sentido, precisamos descrever seu módulo, que especifica "quanto" ou "a intensidade" com que a força puxa ou empurra. A unidade SI do módulo de uma força é o newton, abreviado por N. 3. PRIMEIRA LEI DE NEWTON Discutimos algumas propriedades das forças, mas até agora não dissemos nada sobre como as forças afetam o movimento. Para começar, vamos verificar o que ocorre quando a força resultante sobre um corpo é igual a zero. Quando um corpo está em repouso, e se nenhuma força resultante atua sobre ele (isto é, nenhuma força puxa ou empurra o corpo), você certamente concorda que esse corpo deve permanecer em repouso. Porém, o que ocorre quando o corpo está em movimento e a força resultante sobre ele é igual a zero? Para ver o que ocorre nesse caso, suponha que você jogue um disco de hóquei sobre o topo de uma mesa horizontal e com a mão aplique sobre ele uma força horizontal (Figura a). Depois que você parou de empurrar, o disco não continua a se mover indefinidamente; ele diminui de velocidade e para. Para que seu movimento continuasse, você teria de continuar a empurrar (ou seja, aplicar uma força). O "senso comum" levaria você a concluir que corpos em movimento devem parar e que seria necessário aplicar uma força para sustentar o movimento. Imagine agora que você empurre o disco de hóquei sobre um assoalho encerado recentemente (Figura b). Depois que você parar de empurrar, o disco percorrerá uma distância maior antes de parar. Coloque o em uma mesa com um colchão de ar, de modo que ele flutue dentro de uma camada de ar; nesse caso ele percorre uma distância muito maior (Figura c). Em cada caso, o atrito, uma força de interação entre a superfície do disco e a superfície sobre a qual ele desliza, é responsável pela diminuição da velocidade do disco; a diferença entre os três casos é o módulo da força de atrito. O assoalho encerado exerce uma força de atrito menor do que a força de atrito da superfície do topo da mesa, de modo que o disco percorre uma distância maior antes de parar. As moléculas de ar exercem a menor força de atrito entre as três. Caso fosse possível eliminar completamente o atrito, a velocidade do

3 disco não diminuiria nunca e não precisaríamos de nenhuma força para mantê lo em movimento. Portanto, o "senso comum" de que seria necessário aplicar uma força para sustentar o movimento é incorreto. Experiências como as que acabamos de descrever mostram que, quando a força resultante é igual a zero, o corpo ou está em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante. FIGURA (a) O disco de hóquei recebe um impulso inicial, ele para em uma distância curta sobre a mesa. FIGURA (b) Em uma superfície encerada recentemente, a força de atrito diminui, e o disco percorre uma distância maior. FIGURA (c) Se ele se move em um colchão de ar sobre a mesa, a força de atrito é praticamente zero e ele se move com velocidade quase constante. Uma vez iniciado o movimento, não seria necessário nenhuma força resultante para mantê lo. Em outras palavras: Quando a força resultante sobre um corpo é igual a zero ele se move com velocidade constante (que pode ser nula) e aceleração nula. Este é o enunciado da primeira lei de Newton. A tendência de um corpo de se manter deslocando, uma vez iniciado o movimento, resulta de uma propriedade denominada inércia. A tendência de um corpo parado se manter em repouso é também decorrente da inércia. Você já deve ter visto a seguinte experiência. A louça apoiada em uma toalha de mesa não cai quando a toalha é puxada repentinamente. A força de atrito sobre a porcelana durante o intervalo de tempo muito curto não é suficiente para ela se mover, logo ela permanece praticamente em repouso. É relevante notar que na primeira lei de Newton o que importa é conhecer a força resultante. Por exemplo, um livro de física em repouso sobre uma mesa horizontal possui duas forças atuando sobre ele: uma força de cima para baixo oriunda da atração gravitacional que a Terra exerce sobre ele (uma força de longo alcance que atua sempre, independentemente da altura da mesa) e uma força de baixo para cima oriunda da reação de apoio da mesa (uma força de contato). A reação de apoio da mesa de baixo para cima é igual à força da gravidade de cima para baixo, de modo que a força resultante que atua sobre o livro (ou seja, a soma vetorial das duas forças) é igual a zero. De acordo com a primeira lei de Newton, se o livro está em repouso sobre a mesa ele deve permanecer em repouso. O mesmo princípio pode ser aplicado a um disco de hóquei se deslocando sobre uma superfície horizontal sem atrito: a soma vetorial da reação de apoio da superfície de baixo para cima e da força da gravidade de cima para baixo é igual a zero. Uma vez iniciado o movimento do disco, ele deve continuar com velocidade constante porque a força resultante atuando sobre ele é igual a zero. Quando não existe nenhuma força atuando sobre um corpo, ou quando existem diversas forças com uma soma vetorial (resultante) igual a zero, dizemos que o corpo está em equilíbrio. No equilíbrio, o corpo ou está em repouso ou está em movimento com velocidade constante. Para um corpo em equilíbrio, a força resultante é igual a zero: F=0 [1] 3.1 SISTEMAS DE REFERÊNCIA INERCIAL 3

4 Suponha que você esteja em um avião que acelera ao longo da pista de decolagem. Se você pudesse ficar em pé apoiado em patins ao longo do eixo no interior do avião, você se deslocaria para trás em relação ao avião à medida que o piloto acelerasse o avião. Ao contrário, durante a aterrissagem do avião, você começaria a se mover para trás até o avião parar: Tudo se passa como se a primeira lei de Newton não estivesse sendo obedecida; aparentemente não existe nenhuma força resultante atuando sobre você, embora sua velocidade esteja variando. O que existe de errado? O fato é que o avião está sendo acelerado em relação à Terra e este não é um sistema de referencia adequado para a aplicação da primeira lei de Newton. Essa lei vale para alguns sistemas de referência e não vale para outros. Um sistema de referência para o qual a primeira lei de Newton seja válida denomina se sistema de referência inercial. A Terra pode ser considerada aproximadamente um sistema de referência inercial, mas nesse caso não é. Como a primeira lei de newton é usada para definir um sistema de referência inercial, algumas vezes ela é chamada lei da inércia. A figura 3 mostra como usar a primeira lei de Newton para compreender o que ocorre você viaja em um veículo em aceleração. Na Figura 3a, o veículo está inicialmente em repouso. e a seguir começa a acelerar para a direita. Uma passageira sobre patins praticamente não possui nenhuma força resultante atuando sobre ela, visto que as rodas dos patins minimizam os efeitos do atrito, portanto, ela tende a permanecer em repouso em relação ao sistema de referência inercial da Terra, de acordo com a primeira lei de Newton. Como o veículo acelera para a frente, ela se move para trás em relação ao veículo. Analogamente, se o veículo está em movimento e diminui de velocidade, ela tende a continuar em movimento com velocidade constante em relação à Terra (Figura 3b). A passageira se move para a frente em relação ao veículo. Um veículo também acelera quando se move com velocidade constante mas faz uma curva (Figura 3c). Nesse caso, a passageira tende a continuar em movimento com velocidade constante em relação à Terra na mesma linha reta; em relação ao veículo, ela se move lateralmente para fora da curva. Em cada caso indicado na Figura 3, um observador fixo no sistema de referência do veículo poderia ser levado a concluir que existe uma força resultante atuando sobre a passageira em cada caso. Esta conclusão está errada: a força resultante sobre a passageira é nula. O erro do observador do veículo é que ele está tentando aplicar a primeira lei de Newton a um sistema de referência que não é inercial, para o qual não vale a primeira lei de Newton. Mencionamos somente um sistema de referência (aproximadamente) inercial: a superfície da Terra. Porém, existem muitos sistemas de referência inerciais. Caso você tenha um sistema de referência inercial A no qual seja válida a primeira lei de Newton, então qualquer outro sistema de referência B que se mova em relação a A com velocidade relativa constante v B/A também será um sistema de referência inercial. Para provar isso, usamos a Equação do capítulo anterior, que relaciona as velocidades relativas: v P/A v P/B v B/A Suponha que P seja um corpo que se desloca com velocidade constante v P/A em relação a um sistema de referência inercial A. Pela primeira lei de Newton, a força resultante sobre o corpo é igual a zero. A velocidade relativa de P em relação a outro sistema de referência B possui um valor diferente v P/B = v P/A v B/A. Porém, a velocidade relativa v B/A entre os dois sistemas é constante, então v P/B também é constante. Logo, o sistema de referência B também é inercial; a velocidade de P em relação a esse sistema é constante, a força resultante sobre P é nula e a primeira lei de Newton é válida em B. Observadores em B e em A não concordarão sobre a velocidade de P, mas concordarão que P se move com velocidade constante (aceleração nula) e que a força resultante sobre P é nula. FIGURA 3 Viajando em um veículo em aceleração, (a) Se você e o veículo estão inicialmente em repouso, você tende a permanecer em repouso quando o veículo acelera, (b) Se você e o veículo estão inicialmente em movimento, você tende a permanecer em movimento quando o veículo diminui de velocidade, (c) Você tende a continuar em linha reta quando o veículo faz uma curva. 4

5 FIGURA 4 Para o sistema de referência deste carro, tudo se passa como se uma força estivesse puxando os bonecos de teste para a frente quando o carro para repentinamente. Contudo, essa força não existe, os bonecos devem continuar a se mover para a frente em virtude da primeira lei de Newton. 4. SEGUNDA LEI DE NEWTON Ao discutirmos a primeira lei de Newton, vimos que quando não existe nenhuma força atuando sobre um corpo, ou quando a força resultante é igual a zero, o corpo se move com velocidade constante e aceleração nula. Na Figura 5a, um disco de hóquei está deslizando para a direita sobre uma pista de gelo, de modo que o atrito é desprezível. Não existe nenhuma força horizontal agindo sobre o disco; a reação de apoio da superfície de gelo de baixo para cima anula a força da gravidade de cima para baixo. Sendo assim, a força resultante sobre o disco F é igual a zero, a aceleração do disco é nula e ele se move com velocidade constante. Porém, o que ocorre quando a força resultante for diferente de zero? Na Figura 5b aplicamos uma força horizontal constante no mesmo sentido do deslocamento do disco de hóquei. Então, F é constante e possui a mesma direção e sentido de v. Verificamos que durante o tempo em que a força está atuando, a velocidade varia a uma taxa constante, ou seja, o disco se move com aceleração constante. A velocidade escalar do disco aumenta, de modo que F possuem a mesma direção e sentido. A Figura 5c mostra outra experiência, na qual invertemos o sentido da força sobre o disco de modo que F está orientada em sentido contrário ao de v. Também nesse caso, o disco possui uma aceleração; ele se move com velocidade decrescente para a direita. Caso a força para a esquerda continue a atuar, ele por fim irá parar e começará a se acelerar para a esquerda. A aceleração a nesse caso é para a esquerda, no mesmo sentido de F. Como no caso anterior, a experiência mostra que a aceleração é constante quando F é constante. Concluímos que a presença de uma força resultante que atua sobre um corpo produz uma aceleração no corpo. A força resultante e a aceleração possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Se o módulo da força resultante é constante, como nas Figuras 5b e 5c, então o módulo da aceleração também é constante. FIGURA 5 A aceleração de um corpo possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante que atua sobre o corpo (nesse caso, um disco de hóquei se movendo sobre uma pista de gelo), (a) Se F = 0, o disco está em equilíbrio; a aceleração é nula e a velocidade é constante, (b) Se F está orientada para a direita, a aceleração é para a direita, (c) Se F está orientada para a esquerda, a aceleração é para a esquerda. Essas conclusões sobre força resultante e aceleração também valem para um movimento em uma trajetória curva. Por exemplo, a Figura 6 mostra um disco de hóquei deslizando em um círculo horizontal sobre uma pista de gelo com atrito desprezível. Um fio ligado ao disco exerce sobre ele uma força de módulo constante orientada para o centro do círculo. O resultado é uma aceleração de módulo constante orientada para o interior do círculo. A velocidade escalar do disco é constante, logo identificamos um movimento circular uniforme, como foi discutido no capítulo anterior. 5

6 FIGURA 6 Vista superior do movimento circular uniforme de um disco de hóquei em uma superfície horizontal sem atrito. Em qualquer ponto da trajetória, a aceleração a e força resultante F estão orientadas no mesmo sentido, para o centro do círculo. A Figura 7a mostra outra experiência para explorar a relação entre a aceleração e a força resultante que atua sobre um corpo. Aplicamos uma força horizontal constante sobre um disco de hóquei em uma superfície horizontal sem atrito, usando um dinamômetro(aparelho para medir forças) com a mola deformada de um mesmo valor. Tanto na Figura 5b quanto na Figura 5c, essa força horizontal é igual à força resultante que atua sobre o disco. Fazendo variar o módulo da força, a aceleração varia com a mesma proporção. Dobrando se a força resultante, a aceleração dobra (Figura 7b); usando se metade da força resultante, a aceleração se reduz à metade (Figura 7c) e assim por diante. Diversas experiências análogas mostram que a aceleração é diretamente proporcional ao módulo da força resultante que atua sobre o corpo. FIGURA 7 (a) A aceleração a é proporcional à força resultante F. (b) Dobrando se a força resultante, a aceleração dobra, (c) Usando se a metade da força resultante, a aceleração se reduz à metade. Para um dado corpo, a razão entre o módulo da força resultante F e o módulo da aceleração a = a é constante, independentemente do módulo da força resultante. Essa razão denomina se massa inercial do corpo, ou simplesmente massa, e será representada por m. Ou seja, m = F /a ou F ma [] A Equação () relaciona o módulo da força resultante que atua sobre o corpo com o módulo da aceleração que ela produz. Também vimos que a força resultante possui a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração, tanto no caso de uma trajetória retilínea quanto no caso de uma trajetória curvilínea. Newton sintetizou todas essas relações e resultados experimentais em uma única formulação denominada segunda lei de Newton: Quando uma força resultante externa atua sobre um corpo, ele se acelera. A aceleração possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante. O vetor força resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo vetor aceleração do corpo. Em símbolos F ma [3] Existem pelo menos quatro aspectos da segunda lei de Newton que necessitam de atenção especial. Primeiro, a Equação (3) é uma equação vetorial. Normalmente ela será usada mediante a forma dos componentes, escrevendo se separadamente uma equação para cada componente da força e a aceleração correspondente: F x ma x F y ma y F z maz [4] Esse conjunto de equações para cada componente é equivalente à Equação (3). Cada componente da força resultante é igual à massa vezes o componente correspondente da aceleração. Segundo, a segunda lei de Newton refere se a forças externas. Com isso queremos dizer que essas forças são exercidas por outros corpos existentes em suas vizinhanças. É impossível um corpo afetar seu próprio movimento exercendo uma força sobre si mesmo; se isso fosse possível, você poderia dar um pulo até o teto puxando seu cinto de baixo para cima! É por isso que somente forças externas são incluídas em todas as somas das forças indicadas nas Equações (3) e (4). Terceiro, as Equações (3) e (4) são válidas apenas quando a massa m é constante. É fácil imaginar sistemas que possuem 6

7 massas variáveis, como um caminhão tanque vazando líquido, um foguete se deslocando ou um vagão em movimento numa estrada de ferro sendo carregado com carvão. Porém tais sistemas são mais bem estudados mediante o conceito de momento linear; esse assunto será abordado posteriormente. Finalmente, a segunda lei de Newton é válida somente em sistemas de referência inerciais, como no caso da primeira lei de Newton. O projeto de uma motocicleta de alto desempenho depende fundamentalmente da segunda lei de Newton. Para maximizar a aceleração, o projetista deve fazer a motocicleta ser o mais leve possível (isto é, minimizar sua massa) e usar a máquina mais potente possível (isto é, maximizar a força motriz). 5. MASSA E PESO A massa mede quantitativamente a inércia, já discutida anteriormente. Quanto maior a massa, mais um corpo "resiste" a ser acelerado. Esse conceito pode ser facilmente relacionado com nossa experiência cotidiana. Se você bater em uma bola de tênis e depois arremessar com a mesma força uma bola de basquete, vai notar que a bola de basquete possui uma aceleração menor do que a da bola de tênis. Quando uma força produz uma aceleração grande, a massa do corpo é pequena; quando uma força produz uma aceleração pequena, a massa do corpo é grande. Efetivamente, a massa de um corpo depende do número de prótons, nêutrons e elétrons que ele contém. Esse não seria um bom modo para a definição de massa, visto que não existe nenhum método prático para se contar o número dessas partículas. Contudo, o conceito de massa fornece a maneira mais fundamental para se caracterizar a quantidade de matéria contida em um corpo. O peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Os termos massa e peso em geral são mal empregados e considerados sinônimos em nossa conversação cotidiana. É extremamente importante que você saiba a diferença entre estas duas grandezas físicas. A massa caracteriza a propriedade da inércia de um corpo. O peso de um corpo, por outro lado, é a força de atração gravitacional exercida pela Terra (ou qualquer outro corpo grande) sobre o corpo. A experiência cotidiana mostra que um corpo que possui massa grande também possui peso grande. É difícil lançar horizontalmente uma pedra grande porque ela possui massa grande, e é difícil levantá la porque ela possui peso grande. Na superfície da Lua, a dificuldade para lançar essa pedra horizontalmente seria a mesma, mas você poderia levantá la mais facilmente. Qualquer corpo de massa m deve possuir um peso com módulo w dado por w = mg (módulo do peso de um corpo de massa m) [5] O peso de um corpo é uma força, uma grandeza vetorial, de modo que podemos escrever a Equação (5) como uma equação vetorial: w mg [6] Lembre se de que g é o módulo de g, a aceleração da gravidade, logo g é sempre um número positivo. Portanto, w, dado pela Equação (5), é sempre um número positivo. ATENÇÃO As unidades SI de massa e de peso algumas vezes são mal empregadas em nossa vida diária. Expressões incorretas como "Esta caixa pesa 6 kg" são quase universalmente usadas. Essa frase significa que a massa da caixa, provavelmente determinada indiretamente por pesagem, é igual a 6 kg. Esse uso é tão arraigado que provavelmente não existe nenhuma esperança de alterá lo, porém você deve estar consciente de que o termo peso está sendo usado incorretamente no lugar de massa. Tome cuidado para evitar esse tipo de erro nos seus trabalhos! Em unidades SI, o peso (uma força) é medido em newtons, enquanto a massa é medida em quilogramas. FIGURA 8 Uma balança de braços iguais permite a determinação da massa de um corpo mediante comparação com um peso conhecido. 7

8 6. TERCEIRA LEI DE NEWTON Uma força atuando sobre um corpo é sempre o resultado de uma interação com outro corpo, de modo que as forças sempre ocorrem em pares. Quando você chuta uma bola, a força para a frente que seu pé exerce sobre ela faz a bola se mover ao longo da sua trajetória, porém você sente a força que a bola exerce sobre seu pé. Quando você chuta uma rocha, a dor que você sente decorre da força que a rocha exerce sobre seu pé. Nesses casos, a força que você exerce sobre o corpo é igual e contrária à força que o corpo exerce sobre você. A experiência mostra que, quando dois corpos interagem, as duas forças decorrentes da interação possuem sempre o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentidos contrários. Esse resultado denomina se terceira lei de Newton. Na Figura 9, F A/B é a força exercida pelo corpo A (primeiro índice inferior) sobre o corpo B (segundo índice inferior) e F B/A é a força exercida pelo corpo B (primeiro índice inferior) sobre o corpo A (segundo índice inferior). O enunciado matemático da terceira lei de Newton é FA/B FB/A [7] Expressa em palavras, Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B (uma "ação"), então o corpo B exerce uma força sobre o corpo A (uma "reação"). Essas duas forças têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem sentidos contrários. Essas duas forças atuam em corpos diferentes. Nesse enunciado, a "ação" e a "reação" são duas forças opostas; algumas vezes nos referimos a elas como um par de ação e reação. Isso não significa nenhuma relação de causa e efeito; qualquer uma das forças pode ser considerada como a "ação" ou como a "reação". Algumas vezes dizemos simplesmente que as forças são "iguais e contrárias", querendo dizer que elas têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem sentidos contrários. FIGURA 9 Quando um corpo A exerce uma força F A/B sobre um corpo B. então o corpo B exerce uma força F B, sobre o corpo A, que possui o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentido contrário: F A/B FB/A Enfatizamos que as duas forças na terceira lei de Newton atuam em corpos diferentes. Isso é importante na solução de problemas envolvendo a terceira lei de Newton ou a segunda lei de Newton, que dizem respeito a forças que atuam sobre um corpo. Por exemplo, a força resultante que atua sobre a bola de futebol americano da Figura 9 é a soma vetorial do peso da bola com a força F A/B que o pé exerce sobre a bola. Nessa soma você não deve incluir a força F B/A porque essa força é exercida sobre o pé e não sobre a bola. Na Figura 4.18, a ação e a reação são forças de contato que estão presentes somente enquanto os dois corpos se tocam. Porém a terceira lei de Newton também se aplica para as forças de longo alcance que não necessitam do contato físico entre os corpos, como no caso da atração gravitacional. Uma bola de pingue pongue exerce sobre a Terra uma força gravitacional de baixo para cima de mesmo módulo que a força gravitacional de cima para baixo exercida pela Terra sobre a bola. Quando você deixa a bola cair, a bola e a Terra se aproximam. O módulo da força resultante sobre cada um desses corpos é o mesmo, mas a aceleração da Terra é extremamente microscópica por causa de sua massa gigantesca. Outro exemplo da terceira lei de Newton é mostrado na Figura 10. A força o prego (a ação) é igual em módulo e oposta à força F mp exercida pelo martelo (m = martelo, p = prego) sobre F pm exercida pelo prego sobre o martelo (a reação). Essa última força para o movimento para frente do martelo quando ele bate no prego. Você pode experimentar a terceira lei diretamente se der um soco contra uma parede ou se chutar uma bola com o pé descalço. Você sente a força de volta em sua mão ou em seu pé. Você deve ser capaz de identificar as forças de ação e de reação nesses casos. FIGURA 10 A terceira lei de Newton: A força F mp exercida pelo martelo sobre o prego é igual em módulo e oposta em direção à força F pm exercida pelo prego sobre o martelo. 8

9 A Terra exerce uma força gravitacional F g sobre qualquer corpo. Se o corpo for um monitor de computador em repouso sobre uma mesa, como no desenho na Figura 11a (M = monitor, T = Terra, m = mesa), a força de reação é a força exercida pelo monitor sobre a Terra, dada por F Mt F tm. O monitor não se acelera, pois ele é segurado pela mesa. A mesa exerce sobre o monitor uma força para ciman FmM, chamada força normal. Essa força impede que o monitor caia da mesa; ela pode ter qualquer valor necessário, até o limite de quebrar a mesa. A partir da segunda lei de Newton, vemos que, como o monitor tem aceleração nula, segue se que N mg = 0, ou N = mg. A força normal equilibra a força gravitacional sobre o monitor, de forma que a força resultante sobre o monitor é nula. A reação a N é a força exercida para baixo pelo monitor sobre a mesa, F Mm F mm.observe que as forças agindo sobre o monitor são F g e N, como mostrado na Figura 11b. As duas forças de reação F mt ef são m exercidas sobre corpos diferentes do monitor. Lembre se, as duas forças em um par ação reação sempre agem sobre dois corpos diferentes. FIGURA 11 (a) Quando um monitor de computador está sobre uma mesa, várias forças estão agindo (M = monitor, T = terra, m = mesa). (b) O diagrama de corpo livre para o monitor. As forças agindo sobre o monitor são a força normal N FmM e a força gravitacional F g FTM. Estas são as únicas forças agindo sobre o monitor e as únicas forças que devem aparecer em um diagrama de corpo livre para o monitor. 7. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON As três leis de Newton contêm todos os princípios básicos necessários para a solução de uma grande variedade de problemas de mecânica. Estas leis possuem formas muito simples, mas sua aplicação em situações específicas pode apresentar desafios reais. Esta seção apresenta algumas técnicas úteis. Quando você usar a primeira lei de Newton, F=0, para uma situação de equilíbrio, ou a segunda lei de Newton, F=ma, para uma situação sem equilíbrio, você deve aplicá las a um corpo especificado. É absolutamente necessário definir logo de início o corpo sobre o qual você está falando. Isso pode parecer trivial, mas não é. Depois de escolher o corpo, você deve identificar as forças que atuam sobre ele. Não confunda as forças que atuam sobre esse corpo com as forças exercidas por ele sobre outros corpos. Somente as forças que atuam sobre o corpo entram no F. Para auxiliar a identificação das forças pertinentes, desenhe um diagrama do corpo livre. O que é isso? É um diagrama que mostra o corpo escolhido "livre" das suas vizinhanças, com vetores desenhados para mostrar o módulo, a direção e o sentido de todas as forças que atuam sobre o corpo. Já mostramos alguns diagramas do corpo livre nas Figuras 9, 10 e 11. Seja cuidadoso e não esqueça de incluir todas as forças que atuam sobre o corpo, tomando cuidado para não incluir as forças que esse corpo exerce sobre outros corpos. Em particular, as duas forças de um par de ação e reação nunca devem aparecer em um diagrama do corpo livre porque elas nunca atuam sobre o mesmo corpo. Além disso, as forças que um corpo exerce sobre si mesmo nunca devem aparecer porque forças internas não afetam o movimento do corpo. Exemplos: Uma velocista ganha uma grande aceleração para a frente quando ela começa uma competição pressionando para trás a cunha do bloco de partida. O bloco exerce sobre ela uma grande força de reação normal N. Essa força deve possuir um grande componente horizontal N x que acelera a velocista e um componente vertical N y menor. Caso esse componente vertical seja igual ao módulo do seu peso w, a componente da força resultante na vertical é nula e não existe aceleração ao longo da vertical. Quando submerso na água, o corpo de uma pessoa recebe uma força de empuxo B de baixo para cima. Essa força é equilibrada pelo peso da mergulhadora w. Nessas circunstâncias, o movimento da mergulhadora depende da força da água sobre ela, devida a correntes na água e à reação da força que a mergulhadora exerce sobre a água com o movimento das suas pernas e dos seus braços. 9

10 Um jogador de basquete pula empurrando seus pés contra o solo. As forças que atuam sobre ele são o seu peso w e a reação do solo que o empurra para cima. Quando o jogador está no ar, a única força que atua sobre ele é seu peso; sua aceleração é de cima para baixo, mesmo quando ele está subindo. Seu adversário está submetido ao seu próprio peso e à força normal N exercida sobre ele pelo solo. Nesta seção apresentamos algumas aplicações simples das leis de Newton para corpos que estão em equilíbrio (a = 0) ou que estão acelerando sob a ação de forças externas constantes. Vamos supor que os corpos se comportem como partículas de forma que não precisamos nos preocupar com movimento de rotação ou com outras complicações. Nesta seção também aplicaremos alguns modelos de simplificação adicionais. Desprezamos os efeitos do atrito para os problemas que envolvem movimento. Isso é equivalente a dizer que as superfícies são sem atrito. Normalmente desprezamos as massas de quaisquer cordas ou fios envolvidos no problema. Nessa aproximação, o módulo da força exercida em qualquer ponto ao longo de um fio é o mesmo em todos os pontos ao longo do fio. Quando se colocam os problemas, os termos leve e de massa desprezível são utilizados para indicar que uma massa é para ser desprezada quando você resolve o problema. Esses dois termos são sinônimos nesse contexto. Quando aplicamos as leis de Newton a um corpo, estamos interessados apenas nas forças externas que agem sobre o corpo. Por exemplo, na Figura 11 as únicas forças externas agindo sobre o monitor sãone F. As reações a essas forças, g F m ef, mt agem sobre a mesa e sobre a Terra, respectivamente, e não aparecem na segunda lei de Newton quando aplicada ao monitor. Não pode deixar de ser enfatizada a importância de desenhar um diagrama de corpo livre apropriado para garantir que você está considerando as forças corretas. Quando um corpo como um bloco está sendo puxado por uma corda ou um fio ligado a ele, a corda exerce uma força sobre o corpo. O módulo dessa força é chamado tensão na corda. Sua direção é ao longo da corda, afastando se do corpo. Considere uma caixa sendo puxada para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, como na Figura 1a. Suponha que você queira saber a aceleração da caixa e a força exercida pelo chão sobre ela. Em primeiro lugar, observe que a força horizontal sendo aplicada sobre a caixa atua por meio da corda. A força exercida pela corda sobre a caixa é representada pelo símbolo T e seu módulo é a tensão na corda. Como estamos interessados apenas no movimento da caixa, temos de ser capazes de identificar todas as forças externas agindo sobre ela. Essas forças estão ilustradas no diagrama de corpo livre na Figura 1b. Além da força T, o diagrama de corpo livre para a caixa inclui a força gravitacional F g e a força normal N exercida pelo chão sobre a caixa. As reações às forças que listamos a saber, a força exercida pela caixa sobre a corda, a força exercida pela caixa sobre a Terra, e a força exercida pela caixa sobre o chão não estão incluídas no diagrama de corpo livre, pois elas agem sobre outros corpos e não sobre a caixa. Aplicamos agora a segunda lei de Newton à caixa. Primeiro temos de escolher um sistema de coordenadas apropriado. Nesse caso é conveniente utilizar o sistema de coordenadas mostrado na Figura 1b, com o eixo x horizontal e o eixo y vertical. FIGURA 1 (a) Uma caixa sendo puxada para a direita sobre uma superfície sem atrito, (b) O diagrama de corpo livre que representa as forças externas sobre a caixa. 10

11 Podemos aplicar a segunda lei de Newton na direção x, na direção y, ou em ambas as direções, dependendo do que nos for pedido para encontrar no problema. Além disso, podemos ser capazes de utilizar as equações de movimento para a partícula com aceleração constante que discutimos no Capítulo 1. Contudo, você deve utilizar essas equações apenas quando a aceleração for constante, o que é o caso se a força resultante é constante. Por exemplo, se a força T na Figura 1 é constante, então a aceleração na direção x também é constante, pois a = T/m. Portanto, se precisarmos encontrar a posição ou velocidade da caixa em algum instante de tempo, poderemos usar as equações de movimento com aceleração constante. 8.LEI DE HOOKE Quando pensamos em algo elástico logo associamos em alguma coisa que pode ser esticada ou comprimida através da aplicação de uma força, por exemplo, uma mola. Roberth Hooke ( ) estudou cuidadosamente várias situações em que uma mola sofria deformações. Considere uma mola com seu comprimento natural L 0 fixada por uma das suas extremidades a um suporte como na figura 13. Ao aplicarmos uma força de intensidade F a mola distenderá passando a ter um comprimento L 1 ou L dependendo da intensidade da força. A diferença entre L 0 e L 1 ou L será a deformação x sofrida pela mola, ou seja, o quanto ela foi esticada. Vejam na figura 13 que ao acrescentarmos massas de diferentes pesos (forças) também temos uma mudança no alongamento da mola, e quanto maior a força aplicada (casos 1 e ) maior é o valor da deformação x (compare x 1 e x ). Isso mostra que há uma relação direta entre a força aplicada e a deformação sofrida pela mola. Hooke também estudou a deformação sofrida em várias molas diferentes (mais rígida ou menos rígida) ao acrescentar massas com o mesmo peso (compare L 1 e L 3 ). Ele conclui que o valor da distensão da mola também dependia do tipo de material da qual ela era feita, e quanto mais rígida fosse a mola maior deveria ser a força aplicada para produzirmos uma mesma deformação x (compare L 1 com L 3 ). FIGURA 13 (a) Várias situações de uma mola sofrendo deformações. A mola com o seu comprimento natural L 0 ; comprimento L 1 e L após aplicação da força F 1 e F (devido ao peso das massas de 100g e 50g); mola mais rígida após com o comprimento final L 3 após a aplicação da força F 1. (b) As forças que atuam no sistema massa mola. Experimentalmente sabemos (e a 3ª Lei de Newton confirma) que ao exercermos uma força sobre a mola puxando para baixo (pendurando os blocos) a mola exercerá uma força de intensidade oposta à força peso com o intuito de restaurar o seu estado relaxado (ou natural) em que se encontrava inicialmente. A esta força contrária, chamada muitas vezes de força restauradora, Hooke chamou de força elástica da mola. Assim, para pequenos valores de x comparando ao comprimento L 0 da mola, podemos escrever: F e = kx [8] sendo k a constante da mola cujo valor depende da mola usada e x a deformação da mola. Essa expressão é conhecida como a Lei de Hooke. Quando retiramos a força que causou a deformação à tendência da mola é voltar ao seu comprimento inicial, mas nem sempre isso ocorre. Pode acontecer de a mola ficar com um comprimento diferente de L 0 ao ser retirada a força (o bloco de massa), situação em que não se aplica a Lei de Hooke. Nos casos em que a mola volta a seu comprimento inicial ao ser retirada a força dizemos que ela obedece a Lei de Hooke e que a deformação é elástica. No caso real, a mola tem um comportamento elástico até um determinado valor x, que varia de acordo com a mola. Acima deste valor crítico ela passa a não obedecer a Lei de Hooke e dependendo da intensidade da força aplicada pode até se romper ( quebrar ). É por este motivo que a Lei de Hooke só é válida quando o valor de x (deformação quanto ela se esticou) for pequeno em comparação com L 0 (comprimento natural da mola). 9. FORÇAS DE ATRITO Nesta seção estudaremos o atrito, uma força importante em muitos aspectos de nossa vida cotidiana. O óleo no motor de um automóvel minimiza o atrito entre as partes móveis, porém se não fosse o atrito entre os pneus do carro e o solo, não poderíamos guiar um carro nem fazer curvas. O arraste do ar a força de atrito exercida pelo ar sobre um corpo que nele se move faz aumentar o consumo de combustível de um carro mas possibilita o uso do pára quedas. Sem o atrito, os pregos pulariam facilmente, os bulbos das lâmpadas seriam desenroscados sem nenhum esforço e caminhar seria impossível. Em nível microscópico, a força de atrito e a força normal decorrem de interações intermoleculares (fundamentalmente de 11

12 natureza elétrica) entre duas superfícies rugosas nos pontos onde elas se tocam (Figura 14). A área efetiva de contato é geralmente muito menor do que a área total da superfície. À medida que um bloco desliza sobre um piso, ligações microscópicas se formam e se rompem, e o número total dessas ligações é variável; portanto, a força de atrito quando o bloco está em movimento não é rigorosamente constante. Alisar as superfícies em contato pode na verdade fazer aumentar o atrito, visto que mais moléculas se tornam aptas a formar ligações; juntar duas superfícies lisas de um mesmo metal pode produzir uma "solda a frio". Os óleos lubrificantes fazem diminuir o atrito porque uma película de óleo se forma entre as duas superfícies (como no caso do pistão e das paredes do cilindro no motor de um carro) impedindo as de entrar em contato efetivo. FIGURA 14 A força de atrito e a força normal decorrem de interações entre moléculas nos pontos mais elevados das superfícies de contato entre o bloco e o piso. Quando você tenta arrastar uma caixa cheia de livros, ela pode não se mover porque o solo exerce uma força igual e contrária. Essa força denomina se força de atrito estático f s. Na Figura 15a a caixa está em repouso equilibrada pela ação do peso w e pela força normal N exercida de baixo para cima pelo solo sobre a caixa, que possui o mesmo módulo do peso. Agora amarramos uma corda na caixa (Figura 15b) e aumentamos gradualmente a tensão T na corda. No início, a caixa permanece em repouso porque, à medida que T cresce, a força de atrito estático f s também cresce (permanecendo com o mesmo módulo de T). Em dado ponto, T torna se maior do que o máximo valor da força de atrito estático f s que a superfície pode exercer. Então a caixa "quebra o vínculo" (a tensão é capaz de quebrar as ligações moleculares entre as superfícies da caixa e do solo) e começa a deslizar. A Figura 15c mostra um diagrama das forças quando T atingiu esse valor crítico. Quando T supera esse valor, a caixa não está mais em equilíbrio. Para um dado par de superfícies, o valor máximo de f s depende da força normal. A experiência mostra que esse valor máximo (f s ) max é aproximadamente proporcional a reação normal; chamamos o fator de proporcionalidade de μ s (pronuncia se "mi, índice s") de coeficiente de atrito estático. Na Tabela 1 são apresentados alguns valores típicos de μ s. Em uma situação particular, a força de atrito estático pode ter qualquer valor entre zero (quando não existe nenhuma outra paralela à superfície) até um valor máximo dado por μ s N. Em símbolos, f s μ s N [9] Essa equação não é uma relação vetorial, e sim uma relação entre módulos de vetores. O sinal de igual só vale quando a força T, paralela à superfície, atingiu seu valor crítico e o movimento está na iminência de começar (Figura 15c). Quando T for menor do que esse valor (Figura 15b), o sinal da desigualdade é válido. Nesse caso é necessário usar a condição de equilíbrio ( F 0) para achar f s. Quando não existe nenhuma força aplicada (T = 0), como na Figura 15a, então também não existe nenhuma força de atrito estático (f s = 0). O tipo de atrito que atua quando um corpo está deslizando sobre uma superfície denomina se força de atrito cinético f c (Figura 15d). O adjetivo "cinético" e o índice inferior "c" ou "k" servem para você lembrar se de que existe um movimento relativo entre as duas superfícies. O módulo da força de atrito cinético geralmente cresce quando a força normal cresce. Para arrastar uma caixa cheia de livros você realiza uma força maior do que para arrastá la quando ela está vazia. Esse princípio também é usado no sistema de freio de um carro, quanto mais as pastilhas de freio forem comprimidas contra o disco de freio, maior é o efeito da freada. Em muitos casos verifica se experimentalmente que o módulo da força de atrito cinético f c é proporcional ao módulo N da força normal. Em tais casos, podemos escrever f c = μ c N (módulo da força de atrito cinético), [10] onde μ c (pronuncia se: "mi, índice c") possui um valor constante denominado coeficiente de atrito cinético. Quanto mais deslizante for uma superfície, menor é o seu coeficiente de atrito. Como se trata da razão entre duas grandezas, μ c é um número puro sem unidades. Logo que o deslizamento começa (Figura 15d), a força de atrito normalmente diminui; manter a caixa deslizando é mais fácil do que produzir o início do movimento. Portanto, o coeficiente de atrito cinético é geralmente menor do que o coeficiente de atrito estático para um dado par de superfícies, conforme mostra a Tabela 1. Quando para t = 0 começamos sem nenhuma força aplicada (T = 0) e gradualmente aumentamos a força, ocorrerá uma pequena variação da força de atrito, conforme indicado na Figura 17. 1

13 FIGURA 15 (a), (b), (c) Quando não existe movimento relativo entre as superfícies. O módulo da força de atrito estático f s é menor do que ou igual a μ s N. (d) Quando existe movimento relativo, o módulo da força de atrito cinético f c é igual a μ c N. Em alguns casos, as superfícies podem alternadamente aderir (atrito estático) e deslizar (atrito cinético). Essa é a causa daquele som horrível feito pelo giz quando ele é colocado numa posição errada ao escrevermos sobre o quadro negro. Outro fenômeno de aderência deslizamento é o ruído que o limpador de pára brisa faz quando o vidro está seco; ainda outro exemplo é o violento som produzido quando os pneus deslizam no asfalto. FIGURA 16 Em resposta a uma força aplicada externamente, a força de atrito aumenta até f s (max). Logo as superfícies começam a deslizar uma sobre a outra e a força de atrito diminui para um valor quase constante f c. A força de atrito cinética varia um pouco ao formasse e rompesse as uniões intermoleculares. A Tabela 5.1 mostra alguns valores típicos de μ c. Embora esses valores sejam dados com dois algarismos significativos, eles são apenas aproximados, visto que força de atrito cinético pode depender da velocidade do corpo em relação à superfície. Vamos ignorar esses efeitos : supor que μ c e f c sejam independentes da velocidade, de modo que podemos nos concentrar nos casos mais simples. Superfícies em contato μ s μ k Cobre sobre aço Aço sobre aço Alumínio sobre aço Borracha sobre concreto Madeira sobre madeira Madeira encerada sobre neve úmida Teflon sobre teflon Articulações sinoviais em humanos A Tabela 1 Fonte: Serway R. A.. Física. Editorial McGraw Hill. (199) 13

14 10. RESISTÊNCIA DE UM FLUIDO E VELOCIDADE TERMINAL Se você colocar sua mão para fora da janela de um carro que se move com alta velocidade, ficará convencido da existência da resistência de um fluido, a força que um fluido (um gás ou um líquido) exerce sobre o corpo que se move em seu seio. O corpo que se move exerce uma força sobre o fluido para afastá lo do seu caminho. Pela terceira lei de Newton o fluido exerce sobre o corpo uma força igual e contrária. A força da resistência de um fluido possui direção e sentido sempre contrários aos da direção e sentido da velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido. Compare esse comportamento com o da força de atrito cinético entre superfícies em contato, que normalmente não depende da velocidade. Para baixas velocidades, o módulo da força de resistência de um fluido é aproximadamente proporcional à velocidade do corpo v: f = kv (resistência de um fluido para baixas velocidades), [11] onde k é um fator de proporcionalidade que depende da forma e do tamanho do corpo e das propriedades do fluido. Quando o movimento ocorre no ar para velocidades de uma bola de tênis lançada ou para velocidades maiores que esta, a força é aproximadamente proporcional a v em vez de v. Ela é então chamada de arraste do ar, ou simplesmente arraste. Aviões, gotas de água caindo e carros que se movem com velocidades elevadas, todos sofrem a ação do arraste do ar. Nesse caso, a Equação (11) deve ser substituída por f = Dv (resistência de um fluido para altas velocidades). [1] Devido à dependência com v, o arraste do ar cresce rapidamente com a velocidade. O arraste do ar sobre um automóvel é desprezível para baixas velocidades, mas comparável com a resistência de rolamento quando o carro atinge a velocidade máxima permitida para uma auto estrada. O valor de D depende da forma e do tamanho do corpo e da densidade do ar. Convidamos você a mostrar que as unidades da constante k na Equação (11) são Ns/m ou kg/s e que as unidades da constante D na Equação (1) são Ns /m ou kg/m. Por causa dos efeitos da resistência do fluido, um objeto caindo em um fluido não terá aceleração constante. Para descrever seu movimento não podemos usar as fórmulas do movimento com aceleração constante deduzidas no Capítulo 1. Em vez disso, é necessário fazer nova solução, aplicando a segunda lei de Newton. Vamos considerar o seguinte caso. Você deixa cair uma pedra em um lago profundo e ela cai até o fundo. Nesse caso, a força de resistência do fluido é dada pela Equação (5.7). Qual é a aceleração, a velocidade e a posição da pedra em função do tempo? O diagrama do corpo livre está indicado na Figura 17. Consideramos o sentido positivo como de cima para baixo e desprezamos a força de empuxo da água. Não existe nenhum componente x, e a segunda lei de Newton fornece Fy mg ( kv) ma Quando a pedra começa o movimento v = 0, a força resistiva é nula, e a aceleração inicial é a = g. À medida que sua velocidade aumenta, a força resistiva também aumenta, até que finalmente ela se torna igual ao peso. Nesse instante, mg kv = 0, a aceleração se anula e não ocorrerá mais nenhum aumento de velocidade. A velocidade final v t, denominada velocidade terminal, é dada por mg kv t = 0 ou v t = mg/k (velocidade terminal, resistência do fluido f= kv). [13] FIGURA 17 Diagrama do corpo livre para um corpo caindo em um fluido. A Figura 18 mostra como a aceleração, a velocidade e a posição da pedra variam em função do tempo. À medida que o tempo passa, a aceleração tende a zero, e a velocidade tende ao valor v t (lembre se de que escolhemos o sentido positivo do eixo Oy como de cima para baixo). A inclinação do gráfico de y contra t tende a ficar constante à medida que a velocidade se torna constante. Para ver como os gráficos na Figura 18 foram deduzidos, devemos achar a relação entre velocidade e tempo durante o intervalo antes de o corpo atingir a velocidade terminal. Voltamos à segunda lei de Newton, que agora escrevemos na forma dv m mg kv dt Depois de reagrupar os termos e substituir mg/k por v t, integramos ambos os membros, notando que v = 0 quando t = 0: v dv k t dt 0 v v 0 t m e as integrais fornecem vt v k v (k/m)t ln t ou 1 e vt m vt e finalmente 14

15 (k/m)t v v t[1 e ] [14] FIGURA 18 As curvas inferiores mostram os gráficos da aceleração, da velocidade e da posição em função do tempo para um corpo caindo em um fluido, supondo se a resistência do fluido proporcional a v. As curvas superiores mostram as grandezas correspondentes imaginando a inexistência da resistência do fluido. Note que v só se torna igual à velocidade terminal v t no limite quando t tende ao infinito; a pedra não atinge o valor limite em nenhum intervalo de tempo infinito. A derivada de v fornece a em função do tempo, e a integral de v fornece y em função do tempo. Deixamos para você a tarefa de completar as deduções; os resultados são a ge (k/m)t [15] m (k/m)t yvt t (1e ) k [16] Agora examine novamente a Figura 18 que mostra os gráficos das três últimas equações. Ao deduzirmos a velocidade terminal na Equação (13), admitimos que a resistência do fluido era proporcional à velocidade. Para um objeto caindo no ar com velocidade elevada, de modo que a resistência do fluido seja proporcional a v, como na Equação (1), convidamos você a provar que a velocidade terminal v t é dada por mg vt (velocidade terminal, resistência do fluido f= Dv ). [17] D EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01.Um cavalo puxa um trenó com força horizontal, fazendo o acelerar como na Figura abaixo. A terceira lei de Newton diz que o trenó exerce uma força de mesmo módulo e direção oposta sobre o cavalo. Em vista disso, como pode o trenó acelerar essas forças não se cancelam? Solução. Ao aplicar a terceira lei de Newton, é importante lembrar que as forças envolvidas agem sobre corpos diferentes. Observe que a força exercida pelo cavalo age sobre o trenó, enquanto a força exercida pelo trenó age sobre o cavalo. Como essas forças agem sobre corpos diferentes, elas não se cancelam. As forças horizontais exercidas apenas sobre o trenó são a força para frente T exercida pelo cavalo e a força de atrito para trás f trenó entre o trenó e a superfície (Figura seguinte). 15

16 Quando T é maior do que f trenó, o trenó acelera para a direita. As forças horizontais exercidas apenas sobre o cavalo são a força de atrito para frente f cavalo exercida pelo chão e a força para trás T exercida pelo trenó (Figura). A resultante dessas duas forças faz que o cavalo acelere. Quando f cavalo é maior do que T, o cavalo acelera para a direita. As duas forças descritas no texto do problema agem sobre corpos diferentes, de forma que não se cancelam. Se consideramos o trenó e o cavalo como um sistema, as duas forças descritas são internas do sistema e, portanto, não podem afetar o movimento do sistema. 0.Na ausência de atrito do ar, afirma se que todos os corpos caem com a mesma aceleração. Um corpo mais pesado é puxado para a Terra com mais força do que um corpo leve. Por que o corpo mais pesado não cai mais rápido? É de fato verdade que o corpo mais pesado é puxado com força maior. A intensidade da força é determinada pela massa gravitacional do corpo. A resistência à força, e, portanto, à mudança no movimento do corpo, é representada pela massa inercial. Assim, se um corpo tem o dobro de massa de outro corpo, ele é puxado para a Terra com o dobro da força, mas ele também apresenta o dobro da resistência a ter seu movimento modificado. Esses fatores se cancelam, de forma que a mudança no movimento, a aceleração, é a mesma para todos os corpos, independentemente de suas massas. 03.Quando dois corpos com massas desiguais são pendurados verticalmente por uma polia leve, sem atrito, como na Figura (a), a montagem é chamada máquina de Atwood. Esse aparelho é utilizado algumas vezes em laboratório para medir a aceleração de queda livre. Calcule o módulo da aceleração dos dois corpos e a tensão no fio. Pense na representação mental sugerida pela Figura (a) enquanto um corpo sobe, o outro corpo desce. Como os corpos estão ligados por um fio inextensível, eles têm de ter o mesmo módulo de aceleração. Os corpos na máquina de Atwood estão sujeitos à força gravitacional assim como às forças exercidas pelos fios ligados a eles. Modelamos os corpos como partículas sob a ação de uma força resultante. Os diagramas de corpo livre para os dois corpos estão mostrados na Figura (b). 16

17 Duas forças agem em cada corpo: a força para cima T exercida pelo fio e a força gravitacional para baixo. Em um problema como este, no qual a polia é modelada como não tendo massa e sem atrito, a tensão no fio nos dois lados da polia é a mesma. Se a polia tem massa ou se está sujeita a uma força de atrito, as tensões nos dois lados não são as mesmas. Nesses tipos de problema envolvendo fios que passam por polias, temos de ser cuidadosos com a convenção de sinais. Observe que se m 1 sobe, então m desce. Assim, m 1 subindo e m descendo devem ser representados equivalentemente no que diz respeito à convenção de sinais. Podemos fazer isso definindo nossa convenção de sinais com a direção para cima como positiva para m 1 e a direção para baixo como positiva para m, como mostrado na Figura (a). Com essa convenção de sinais, o módulo da força resultante exercida sobre m 1 é dado por T m 1 g, enquanto o módulo da força resultante sobre m é dado por m g T. Escolhemos os sinais das forças de forma consistente com as escolhas da direção positiva para cada corpo. Quando a segunda lei de Newton é aplicada a m 1, encontramos Fy Tm1g ma 1 [1] Similarmente, para m encontramos Fy mgt ma [] Adicionando (1) a (), T se cancela e ficamos com m 1 g + m g = m 1 a + m a Dessa equação obtém se a aceleração a, m m 1 a g [3] m1 m Substituindo (3) em (1) encontramos mm 1 T g [4] m1 m Se m > m 1, a aceleração dada por (3) é positiva, isto é, m 1 sobe e m desce. Isso é consistente com a sua representação mental? Se m 1 > m, a aceleração é negativa e as massas se deslocam na direção oposta. Casos Especiais: Quando m 1 = m, (3) e (4) nos fornecem a = 0 e T = m 1 g = m g, como esperaríamos intuitivamente para o caso equilibrado. Também, se m >> m 1, a = g (um corpo em queda livre) e T = 0. Esperaríamos que m 1 tivesse pouco efeito para uma massa tão grande como m nesse caso, de forma que m está simplesmente caindo. Vemos assim que nossos resultados estão consistentes com nossas previsões intuitivas nessas duas situações limites. 04.Dois blocos de massas m 1 e m, com m 1 > m, são colocados em contato entre si sobre uma superfície horizontal sem atrito, como na Figura (a). Uma força horizontal constante F é aplicada a m 1 da forma mostrada na figura, a) Encontre o módulo da aceleração do sistema de dois blocos. b) Determine o módulo da força de contato entre os dois blocos. Os dois blocos têm de ter a mesma aceleração, pois estão em contato entre si e permanecem em contato entre si. Modelamos o sistema de dois blocos como uma partícula sob a ação de uma força resultante. Como F é a única força horizontal exercida sobre o sistema, temos F F (m m )a x(sistema) 1 a F [1] m m 1 A força de contato é interna do sistema de dois blocos. Assim, não podemos encontrar essa força modelando o sistema todo como uma partícula única. Precisamos agora tratar cada um dos dois blocos individualmente como uma partícula sob a ação de uma força resultante. Traçamos primeiro um diagrama de corpo livre para cada bloco, como mostrado nas Figuras (b) e (c), em que a força de contato é representada por P. 17

18 Vemos da Figura (c) que a única força horizontal agindo sobre m é a força de contato P 1 (a força exercida por m 1 sobre m ), que é direcionada para a direita. Aplicando a segunda lei de Newton a m obtém se Fx P1 ma [] Substituindo em () o valor da aceleração a dada por (1) obtém se m P1 ma F [3] m1 m 05.Apresenta se a seguir um método simples para medir os coeficientes de atrito. Suponha que um bloco seja colocado sobre uma superfície áspera inclinada em relação à horizontal, como mostrado na Figura abaixo. O ângulo do plano inclinado θ é aumentado até que o bloco inicie seu movimento, a) Como está relacionado o coeficiente de atrito estático com o ângulo crítico θ C no qual o bloco começa a se mover? b) Como podemos encontrar o coeficiente de atrito cinético? (a) As forças sobre o bloco, como mostrado na Figura, são a força gravitacional mg, a força normal N, e a força de atrito estático f s. Enquanto o bloco não está em movimento, essas forças estão equilibradas e o bloco está em equilíbrio. Escolhemos um sistema de coordenadas com o eixo x positivo, paralelo ao plano inclinado e apontando para baixo, e o eixo y positivo apontando para cima, perpendicular ao plano inclinado. Aplicando a segunda lei de Newton em forma de componentes para o bloco obtêm se Fx mgsenfs 0 [1] Fy Nmgcos 0 [] Essas equações são válidas para qualquer ângulo de inclinação θ. No ângulo crítico θ C no qual o bloco está na iminência de deslizar, a força de atrito tem seu valor máximo de módulo μ s N, assim reescrevemos (1) e () como mgsenθ C = μ s n [3] mgcosθ C = n [4] Dividindo (3) por (4), obtemos tg θ C = μ s Assim, o coeficiente de atrito estático é igual à tangente do ângulo em que o bloco começa a deslizar. (b) Uma vez que o bloco comece a se deslocar, o módulo da força de atrito é o valor cinético μ c N, que é menor que o valor da força de atrito estático. Como resultado disso, se o ângulo é mantido no valor crítico, o bloco acelera para baixo ao longo do plano inclinado. Para retornar à situação de equilíbrio na Equação (1), com f s substituído por f c o ângulo tem de ser reduzido para um valor θ' c tal que o bloco deslize pelo plano inclinado com uma velocidade escalar constante. Nessa situação, as Equações (3) e (4), com θ C substituído por θ' c e f S por f c, nos fornecem tg Θ c = μ c 06.Uma caixa de 10 kg é colocada sobre uma balança que está dentro de um elevador. O elevador parte do térreo acelera a uma taxa de m/s e ao parar no 10 andar ele desacelera com mesma taxa de m/s. Determine o peso da caixa e a leitura da balança a) quando o elevador está parado, b) quando o elevador está partindo do térreo e c) quando o elevador está parando no 10 andar. A primeira coisa a ser compreendida é que a balança marca a força que a caixa faz sobre ela; esta será a leitura da balança. Agora, a força que a caixa faz sobre a balança tem mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário à força que a balança faz sobre a caixa (Ação e reação). A Figura seguinte mostra um diagrama das forças que atuam na caixa. A componente normal (só tem ela) da força de contato é, justamente, a força que a balança faz sobre a caixa. Desta forma, nós precisamos, apenas, determinar o valor da normal para cada caso. Da ª lei de Newton temos: N P ma 18

19 (a) O peso da caixa é a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: P = mg = 98 N Quando o elevador está parado, a = 0. Então da ª Lei de Newton fica: N P = 0 N = P = 98 N que é a leitura da balança. Portanto a balança marcará 98 N. (b) O peso da caixa continua sendo a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: P = mg = 98 N Quando o elevador está partindo do térreo, a aceleração é para cima (Figura a). Assim, N P = ma Usando os valores do problema, encontramos: N =mg +ma N= m( g+ a) =10 (9,8 + ) N=118N Portanto a balança marcará 118 N. (c) O peso da caixa é sempre a força que a Terra faz sobre a caixa: P = mg = 98 N Quando o elevador está parando no 10 andar, a aceleração é para baixo (Figura b). Então, N P = ma Vetores que têm o mesmo sentido aparecem com o mesmo sinal na equação. É o que acontece, agora, com os vetores peso e aceleração. Usando os valores do problema, encontramos: N=m (g a ) = 10 (9,8 )N = 78N Portanto a balança marcará 78 N. 07.Nas academias de ginástica, usa se um aparelho chamado pressão com pernas (leg press), que tem a função de fortalecer a musculatura das pernas. Este aparelho possui uma parte móvel que desliza sobre um plano inclinado, fazendo um ângulo de 60 com a horizontal. Uma pessoa, usando o aparelho, empurra a parte móvel de massa igual 100 kg e a faz mover ao longo do plano, com velocidade constante como é mostrado na figura. Considere o coeficiente de atrito dinâmico entre o plano inclinado e a parte móvel 0,10 e a aceleração da gravitacional 10m/s². a) Faça o diagrama das forças que estão atuando sobre a parte móvel do aparelho identificando as. b) Determine a intensidade da força que pessoa está aplicando sobre a parte móvel do aparelho. P: peso da parte móvel P x : componente horizontal de P P y : componente vertical de P N: reação normal do apoio 19

20 F: força aplicada pela pessoa F at : força de atrito dinâmico entre as superfícies b) 910 N 08. Na figura, A é um bloco de 4,4 kg e B é um bloco de,6 kg. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre A e a mesa são 0,18 e 0,15. a) Determine a massa mínima do bloco C que deve ser colocada sobre A para evitar que ele deslize, b) O bloco C é repentinamente levantado. Qual é a aceleração do bloco A? a) Para que não exista movimento, a resultante de forças que atuam nos blocos devem ser nulas, e o atrito estático entre o bloco A e a mesa deve ser máximo: NTPA PC Fa 0 N P A P C = 0 e T F a = 0 T' PB 0 P B = T Como a corda que liga os blocos A e B tem massa desprezível, temos que T = T. Desse modo: T = F a = μ E N = μ E (P A + P C ) Por outro lado: P B = T = T logo P B = T = μ E (P A + P C ) ou seja: P C = P B /μ E P A = 66N b) NTPA Fa maa N P A = 0 e T F a = m A a T' PB mba' P B T = m B a Como a corda que liga os blocos A e B é inextensível, a = a, e desse modo: T μ C P A = m A a e P B T = m B a Somando essas duas equações, encontramos: P B μ C P A = (m A + m B )a PB CP A a g,8m/s PB PA 09. Uma curva circular de uma auto estrada é projetada considerando o tráfego de veículos a 60 km/h. a) Se o raio da curva é 150 m, qual é o ângulo correto da inclinação da estrada? b) Se a curva não fosse inclinada, qual seria o coeficiente de atrito mínimo entre os pneus e a estrada que manteria os veículos trafegando sem derrapar nesta velocidade? 0

21 a) Vamos considerar uma situação que envolva os dois itens, a estrada é inclinada e tem atrito. O desenho da direita mostra a força resultante, e como já foi dito é conhecida como força centrípeta. Usando a segunda Lei de Newton: NPFa ma de onde tiramos: Ncosθ F a senθ P = 0 e Nsenθ + F a cosθ = ma Da primeira equação da direita, encontramos que: N P cos sen E e usando esse valor na segunda equação: P P sene cosma cosesen cosesen ou seja: sen Ecos E tan a g g cosesen 1Etag ou ainda: aeg tan g Ea Quando μ E = 0, que é o caso do primeiro item, quando não existe atrito: a v tan 0,188 g Rg com θ = 10,70 b)neste caso θ = 0 e portanto encontramos que: a E 0,188 g 10. Um disco de massa m está sobre uma mesa sem atrito e preso a um cilindro suspenso de massa M, por uma corda que passa por um furo na mesa (ver figura). Encontre a velocidade com a qual o disco deve se mover em um círculo de raio r, de modo que o cilindro permaneça em repouso. O cilindro permanecerá em repouso se a tensão na corda que o sustenta for igual ao seu peso. Forças no cilindro: 1

22 F 0 y TPM 0 T Mg [1] Forças no disco: F ma x x T' F cp [] Na Eq. () F cp é a força centrípeta responsável pelo movimento circular do disco e T = T (par ação reação). mv T [3] r Substituindo se (1) em (3): mv Mg r Mgr v m 11. Um trabalhador deseja empilhar areia em uma área circular do seu quintal. O raio do círculo é R. Nenhuma areia deve ser derramada para fora da área circular; ver figura. Mostre que o maior volume de areia que pode ser armazenado dessa forma é πμ e R 3 /3, onde μ e é o coeficiente de atrito estático entre areia e areia. Considere o seguinte esquema: O volume do monte cônico é dado por: Ah R h V [1] 3 3 Pelo esquema acima, vemos que: h = Rtanθ [] Substituindo se (1) em (): 3 R tan V [3] 3 Vamos analisar a dinâmica de um grão de areia em particular. Forças em x:

23 Fx 0 NPcos0 Nmgcos [4] Forças em y: Fy 0 fpsen0 Nmgsen [5] e Substituindo se (4) em (5): e tan [6] Substituindo se (6) em (3): 3 R e V 3 1. Dois blocos, m = 16 kg e M = 88 kg, mostrados na figura, estão livres para se mover. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é μ e = 0,38, mas a superfície abaixo de M não possui atrito. Qual é a mínima força horizontal F necessária para manter m contra M? Para segurar m contra M, a condição necessária é que o módulo da força de atrito que M exerce em m para cima seja igual ao módulo do peso de m. Forças no bloco m: Forças em x no bloco m: Fx max FNm ma Fma N m [1] Forças em y no bloco m: Fy 0 Pm fe mgenm 0 mg N [] m e Forças no bloco M: Forças em x no bloco M: N = Ma Como N m = N (par ação reação): 3

24 a = N/M [3] Substituindo se () e (3) em (1): mg mg mg m F m 1 488,1N M M e e e 13. Dois objetos, com massas m 1 = 1,65 kg e m = 3, kg, conectados através de uma barra sem massa e paralela ao plano inclinado sobre o qual ambos deslizam, conforme mostrado na figura, deslocam se para baixo, com m 1 seguindo m. O ângulo do plano inclinado é θ = 9,5. O coeficiente de atrito cinético entre m 1 e o plano é μ 1, = 0,6; entre m, e o plano, o coeficiente correspondente é μ = 0,17. Calcule: a) a aceleração comum dos dois objetos b) a tração da barra, c) Quais são as respostas de (a) e (b) para a situação em que m está seguindo m 1? a) N1TP1Fa1 m1a1 N T' P Fa ma Como o bastão é inextensível as acelerações dos blocos são iguais, e como esse bastão tem massa desprezível as forças T e T têm mesmo módulo. Desse modo: T + P 1 senθ Fa 1 = m 1 a T + P senθ Fa = m a N 1 = P 1 cosθ = 0 N = P cosθ = 0 T + P 1 senθ μ 1 P 1 cosθ = m 1 a T + P senθ μ P cosθ = m a Somando essas duas equações, encontramos (P 1 + P )senθ (μ 1 P 1 + μ P )cosθ = (m 1 + m )a ou seja: m 1 msen 1m 1 mcos a g3,6m/s m 1 m b)temos que: T = m 1 a P 1 senθ + μ 1 P 1 cosθ e usando o resultado do cálculo da aceleração, encontramos: mm 1 T1 gcos1,05n m1 m c)se nos resultado da aceleração trocarmos 1 por a equação não se modificará, e portanto não irá alterar o movimento com essa mudança. No entanto a tensão irá trocar de sinal, e isso significa que o bloco que empurrava irá puxar e vice versa. 14. Um bloco de 4 kg é colocado no topo de um bloco de 5kg. Para que o bloco de cima deslize sobre o de baixo, que é mantido fixo, deve ser aplicada uma força horizontal de 1,0 N ao bloco de cima. Em seguida, o conjunto de blocos é colocado sobre uma mesa horizontal sem atrito; ver figura. Encontre a) a máxima força horizontal F que pode ser aplicada ao bloco de baixo de modo que os blocos se movimentem juntos, b) a aceleração resultante dos blocos e o coeficiente de atrito estático entre os blocos. 4

25 a) Como foi mencionado, quando mantemos o bloco de baixo fixo, uma força horizontal de pelo menos T = 1N deve ser aplicada ao de cima, para que ele inicie um movimento. Isso significa que a força de atrito estático máxima entre os dois blocos tem esse valor. Quando uma força F menor que a limite, atuar no bloco de baixo, o conjunto se moverá com acelerado, logo: F = (m 1 + m )a Os dois blocos interagem através da força de atrito, de modo que essa é a única força horizontal que atua no bloco de cima, e, portanto: F a = m a a = F a /m logo: m1m m1m F Fa T 7N m m b) a = F a /m = 3m/s 15.Uma força horizontal F de 53 N empurra um bloco que pesa N contra uma parede vertical como na figura. O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40. Considere o bloco inicialmente em repouso. a) O bloco começará a se mover? b)qual é a força exercida no bloco pela parede? Forças no bloco: (a) A condição para que o bloco escorregue é que o seu peso (P) seja maior do que a força de atrito estático (f e ). Forças em x: Fx 0 FN0 F = N [1] Força de atrito estático: f e μ e N [] Substituindo se (1) em (): f e μ e F = 0,60. 53N 5

26 f e 31,8N Este resultado significa que f e pode suportar um bloco de até 31,8 N de peso. Como o peso do bloco é menor do que esse limite máximo, o bloco não desliza. (b) A força exercida pela parede (F P ) sobre o bloco tem duas componentes. A componente horizontal é a força normal e a vertical é a força de atrito. Ou seja: F ˆ ˆ p Nifej De acordo com o esquema acima e os valores dados no enunciado, temos: F ( 53N)i ˆ()j ˆ p 16.Um bloco desliza para baixo de uma calha de ângulo reto inclinada, como na figura. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o material da calha é μ k. Ache a aceleração do bloco. Considere o seguinte esquema da situação: Forças em z: Fz 0 NPcos0 Nmgcos [1] Devemos considerar a força de atrito cinética total (f k ) como sendo a soma de duas forças de atrito (com f k = f k ), cada uma surgindo a partir da interação entre a caixa e a calha na direção x. f k = f k + f k = μ k N + μ k N = μ k Ncos45 f k kn [] Substituindo se (1) em (): f k kmgcos [3] Forças em x: F ma x x Psenfk ma [4] Substituindo se (3) em (4): mgsen kmgcosma ag(sen k cos ) Este resultado indica que a aceleração será zero (condição de equilíbrio estático, na iminência de deslizar na calha) quando: sen k cos 1 k tan Este resultado difere da situação de uma caixa na iminência de deslizar sobre uma superfície inclinada: tan s 17.Uma laje de m 1 = 4 kg repousa sobre um assoalho sem atrito. Um bloco de m = 9,7 kg repousa sobre a laje, como na figura. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a laje é 0,53, enquanto o coeficiente de atrito cinético é 0,38. O bloco de 9,7 kg sofre a ação de uma força horizontal de 110 N. Qual é a aceleração resultante a) do bloco e b) da laje? 6

27 Em primeiro lugar temos que verificar se haverá deslizamento entre o bloco e a laje. Isso ocorrerá se o módulo da força horizontal que atua no bloco (F) for maior do que o módulo da força de atrito estática entre o bloco e a laje (f s ). Verificação: f s = μ s N s = μ s N m = μ s mg = 50N Como F = 110 N, o bloco deslizará sobre a laje, sendo f a força de atrito cinético. Forças sobre o bloco: Forças em y sobre o bloco: F 0 m m y N P 0 N m mg Forças em x sobre o bloco: F 0 x ffma m [1] cnm Fmam [] Substituindo se (1) em () e resolvendo se para a m : F am cg 7,61m/s M Forças sobre a laje: Forças em x sobre a laje: f = Ma M Como f = f (par ação reação): f cnm cmg am 0,86m/s M M M 18.Uma bola de 1,34 kg está presa a uma haste rígida vertical por meio de dois fios sem massa, de 1,70 m de comprimento cada. Os fios estão presos à haste em pontos separados de 1,70 m. O conjunto está girando em volta do eixo da haste, com os dois fios esticados formando um triângulo equilátero com a haste, como na figura. A tensão no fio superior é 35,0 N. a) Encontre a tensão no fio inferior. b) Calcule a força resultante na bola, no instante mostrado na figura. c) Qual é a velocidade da bola? 7

28 Considere o seguinte esquema da situação: (a) Forças na bola em y: Fy 0 Tcos 1 Tcos P0 mg T T1 8,70N cos (b) A força resultante (R ) que atua na bola vale: RT1 T P R ( T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1sen i T1cosj) ( Tsen i Tcosj) ( mgj) R (T ˆ ˆ 1 T )seni [(T1 T )cosmg]j [] R37,8i ˆ0j ˆ [3] R (37,8N)i ˆ (c) A resultante calculada no item (b) é a força centrípeta do movimento circular da bola em torno do eixo. Logo: mv Fc R [4] r A comparação das equações (1) e () nos dá o módulo de R : R = (T 1 + T )senθ [5] Substituindo se (4) em (3): mv mv T 1 Tsen r lsen T 1 Tl vsen 6,44m/s m 19.Um estudante de 68kg, numa roda gigante com velocidade constante, tem um peso aparente que equivale a 56kg no ponto mais alto. a) Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? b) E no ponto mais alto, se a velocidade da roda gigante dobrar? a) Nos pontos mais alto e mais baixo, a segunda Lei de Newton diz que: PNma onde v a R 8

29 Ponto mais alto P N A = ma Ponto mais baixo N B P = ma Onde N A e N B são as normais nos pontos mais alto e mais baixo respectivamente. A normal é uma reação do assento ao corpo do estudante que está sentado nele. Se estivesse sentado em uma balança colocada nesse assento, ela mostraria exatamente o valor de N, que é por isso chamado de peso aparente. Igualando as duas últimas equações, encontramos: P N A = N B P N B = P N A = (m m A )g = 80.9,8 N B = 784N e m B = 80kg b) P N A = mv /R P N A = m(v) /R =4 mv /R v P N A m P NA R 4 N A = 4N A 3P N A = 196N e m A = 0kg 0.Uma certa força dá ao objeto m 1 a aceleração 1,0 m/s. A mesma força dá ao objeto m a aceleração 3,30 m/s. Que aceleração daria a um objeto cuja massa fosse a) a diferença entre m 1 e m e b) a soma de m 1 e m. (a) De acordo com a segunda lei de Newton (na coordenada x): F = m 1 a 1 [1] F = m a [] Igualando se (1) e (): m = m 1 a 1 /a [3] Mas: F = (m m 1 )a 3 [4] a 3 = F/m m 1 [5] Substituindo se (1) e (3) em (5): ma 1 1 aa 1 a3 4,55m/s a1 m a1 a 1 m 1 a (b) Procedendo de maneira semelhante ao item (a), porém usando se (m 1 + m ) em (4) ao invés de (m m 1 ), obtém se: aa 1 a4,58m/s a a 1 1.Como um objeto de 450 N poderia ser baixado de um teto utilizando se uma corda que suporta somente 390 N sem se romper? O objeto de peso P deve ser abaixado com uma aceleração a tal que a tensão na corda não ultrapasse seu valor limite (T MAX ). Considere o seguinte esquema da situação: Aplicando se a segunda lei de Newton à coordenada y do sistema: 9

30 F y ma P TMAX P a g y T MAX ag 1 1.3m/s P Esta é a aceleração mínima com que o corpo deve ser abaixado (sinal negativo) para que a corda não se rompa..um balão de pesquisas com massa total M desce verticalmente com aceleração a para baixo. Quanto de lastro deve ser atirado para fora da gôndola para dar ao balão a mesma aceleração a para cima, supondo que não varie a força de flutuação para cima exercida pelo ar sobre o balão? Balão acelerado para baixo: F x ma x EP1 Ma EM(ga) Balão acelerado para cima: [1] F y ma EP (Mm)a y E (Mm)a (Mm)g EM(ag) m(ag) m(a g) M(a g) E [] Substituindo se (1) em (): m(a g) M(a g) M(a g) Ma m g a 3.Um bloco de massa m desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo θ com o piso de um elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguintes casos: a) O elevador desce com velocidade constante v. b) O elevador sobe com velocidade constante v. c) O elevador desce com aceleração a. d) O elevador desce com desaceleração a. e) O cabo do elevador se rompe. f) No item (c) acima, qual é a força exercida sobre o bloco pelo plano inclinado? 30

31 (a) Estando o elevador com velocidade constante, o comportamento do bloco em relação à rampa é idêntico ao que seria caso o elevador estivesse em repouso. Segunda lei de Newton em x, onde a B é a aceleração do bloco: B F ma B x mgsenma a x gsen B (b) Semelhante ao item (a): ab gsen (c) Como o elevador acelera para baixo, existe a componente a x que se soma a g x para acelerar o bloco rampa abaixo. Fx max mgsenmasenma a (ga)sen B B Embora tenham sido somadas duas acelerações em x para o bloco (a x e g x ), a aceleração do bloco em relação à rampa é menor. No caso limite do elevador descer com aceleração igual a g (queda livre), o bloco também cairia em queda livre. Isso faria com que a aceleração do bloco em relação à rampa seja zero (veja o item (e) abaixo). (d) Semelhante ao item (c), diferindo apenas pelo sinal de a: a B (ga)sen (e) Semelhante ao item (c), sendo a = g: a B = 0 (f) Fy may Nmgcosmacos Nm(ga)cos 4.Um macaco de 11 kg está subindo por uma corda sem massa, amarrada a uma caixa de 15 kg que passa por um galho (sem atrito) da árvore. a) Qual a aceleração mínima com que o macaco deve subir pela corda de modo a levantar do chão a caixa de 15 kg? Se, depois de a caixa ter sido levantada do chão, o macaco parar de subir e somente se segurar à corda, quais serão agora 31

32 b) a aceleração do macaco e c) a tração na corda? (a) Considere o seguinte esquema: CAIXA MACACO A condição mínima para que a caixa seja levantada do solo é que sua força normal e sua aceleração sejam nulas. As forças que agem na caixa nessas condições são a tensão na corda (T) e o peso d a caixa (P T ): Forças na caixa: Fy TPT 0 T = m T g [1] Forças no macaco: Fy may TPM mma TmMg a [] mm Substituindo se (1) em (): mt mmg m T a 1g3,56m/s mm mm (b) Agora a situação é a seguinte: CAIXA MACACO Forças na caixa: T P T = m T ( a ) T = m T g m T a [3] Forças no macaco: T P M = m M a T m M g = m T a [4] Substituindo se (3) em (4): m T g m T a m M g = m M a mt mm a' g 1,5m/s mt mm (c) De (3): T = 14,5N ou T = 0,1kN 5.Duas partículas, cada uma de massa m, estão conectadas por uma corda leve de comprimento L, como mostra a figura. Uma força F constante é aplicada no ponto médio da corda (x = 0) e faz um ângulo reto com a posição inicial desta. Mostre que a 3

33 aceleração de cada massa na direção perpendicular a F é dada por uma das partículas à linha de ação de F. Discuta a situação quando x = L. Considere o seguinte esquema da situação: a F.x m L x x 1/ na qual x é a distância perpendicular de Seja a o módulo da aceleração de cada massa (a 1 e a, no esquema). x ax acos a [1] L Aceleração do ponto O em y, que está sujeito apenas à força F: F = ma 0 [] O esquema mostra que: 1/ x a0 ay asen a(1 cos ) a 1 L 1/ L x a0 a L Substituindo se (3) em (): 1/ L x F ma L a F L m (L x ) 1/ Substituindo se (4) em (1): F x ax 1/ m (L x ) [3] [4] 1/ 6.Um bloco de massa M é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma corda de massa m, como mostra a Figura. Uma força horizontal P é aplicada a uma das extremidades da corda. a) Mostre que a corda tem de se curvar, mesmo que seja de uma quantidade imperceptível. Então, supondo que o encurvamento seja desprezível, ache b) a aceleração da corda e do bloco, c) a força que a corda exerce no bloco, e d) a tração no ponto médio da corda. (a) Considere um elemento da corda cuja massa é m e, da mesma forma que o conjunto M +m, possui aceleração a. 33

34 Como o elemento de massa m tem aceleração apenas no eixo x: Fy 0 Tsen d Tsen e mg0 mg sen [1] Td Te Para a corda ficar esticada, é preciso que θ = 0, ou seja que senθ = 0. De acordo (1), isso implica em m = 0 ou T d + T e =. Como nenhumas dessas alternativas é fisicamente possível, conclui se que θ 0. (b) Supondo que θ = 0 e analisando o conjunto M + m: Fx max P (Mm)a P a [] M m (c) F ma x x Fcb Ma [3] Substituindo se () em (3): M Fcb P Mm (d) F ma x x m Tm M a Substituindo se () em (4): m P Tm M M m (m M)P Tm (M m) [4] 7.Uma cunha em forma de um triângulo retângulo de massa M e ângulo θ suporta um pequeno bloco de massa m e está em repouso numa mesa horizontal, como mostra a figura. a) Que aceleração horizontal a deve ter M em relação à mesa, de forma a manter m estacionário em relação à cunha supondo se os contatos sem atrito? b) Que força horizontal F deve ser aplicada ao sistema para atingir este resultado, supondo se o topo da mesa sem atrito? c) Suponha que nenhuma força seja fornecida a M e ambas as superfícies sejam sem atrito. Descreva o movimento resultante. 34

35 (a) A aceleração a de M deve ser tal que a aceleração de m também seja a (horizontal). Diagrama de forças em m: Forças em y: F N cosmg 0 y m mg Nm cos Forças em x: F ma x x [1] Nsen m ma [] Substituindo se (1) em (): mg sen ma cos a = g tagθ [3] (b) Forças em x no sistema cunha bloco: Fy may F = (m+m)a [4] Substituindo se (3) em (4): F = (m+m)g tagθ As componentes horizontais das forças normais da cunha sobre o bloco (N m ) e do bloco sobre a cunha não precisam ser computados pois formam um par ação reação e cancelam se mutuamente. (c) A cunha irá se mover para a esquerda com aceleração constante. O bloco irá descer pela superfície inclinada da cunha com aceleração gsenθ em relação à cunha, porém com aceleração menor e constante em relação à mesa. As forças que aceleram o bloco em relação à mesa são o seu peso e a normal da cunha. O peso do bloco não varia nessas circunstâncias. Porém, quando a cunha acelera para a esquerda, a normal que esta gera no bloco fica menor, o que diminui a aceleração do bloco em relação à mesa quando comparada à situação em que a cunha permanece imóvel. 8.Na Figura o coeficiente de atrito estático entre o plano e o bloco de massa M, é μ 1 O coeficiente de atrito estático entre o bloco de massa M e o bloco de massa m é μ. O Professor Gomes pede para você determinar o valor limite da força F necessária para fazer o bloco de massa M deslizar. Determine, também, o módulo da tensão na corda. Para calcular a força mínima necessária para fazer o bloco de massa M deslizar devemos aplicar a primeira lei de Newton a este bloco. Obtemos: F F MP F mm = 0 onde F MP é a força de atrito entre o bloco de massa M e o plano horizontal, e F mm é a força de atrito entre o bloco de massa m e o bloco de massa M. De acordo com a definição de força de atrito, temos para F 1 : F MP = μ 1 [(M + m)g Tcosθ] [] e, para F mm, encontramos: F MP = μ [mg Tcosθ] [3] Além disto, como o bloco de massa m está em equilíbrio, podemos escrever: 35

36 F mm = Tsenθ [4] Substituindo a relação (4) na equação (3), obtemos: F mm = μ mg/(1 + cotgθ) [5] Das relações (4) e (5) obtemos a tensão na corda: T = μ mg/(senθ + μ cosθ) [6] Usando as equações (4), (6), () e (1) encontramos: mg(1 1cotg ) F 1(mM)g [7] 1 cotg 9.Na superfície interior de um recipiente de vidro tampado, encontra se uma mosca presa à sua parede. Este recipiente está em equilíbrio em cima de um balança muito sensível. O que acontecerá com o marcador da balança se o inseto desprender se da parede e voar na horizontal, para cima, ou para baixo, dentro do recipiente? Ao desprender se da parede do recipiente e mantendo se ao mesmo nível, a mosca pressiona o ar agitando suas asas com uma força equivalente ao seu peso (devido a terceira lei de Newton) e, esta pressão, é transmitida às paredes do recipiente. Consequentemente, a balança deve permanecer no mesmo estado de equilíbrio enquanto o inseto estava pousado na parede. Assim se mantém enquanto a mosca estiver no mesmo nível. Solução I Se a mosca voar para cima ou para baixo a balança deverá se mover um pouco. Para determinar para onde o marcador irá se mover devemos considerar o movimento do centro de massa CM do sistema mosca recipiente pois, não estamos interessados nos movimentos individuais, do recipiente ou da mosca, e sim do sistema como um todo. Para isso basta analisarmos o movimento do CM do sistema que é um ponto que se comporta como uma partícula, cuja massa é igual a massa total do sistema. Suponhamos inicialmente que a balança, juntamente com a mosca dentro do recipiente, se encontre situado dentro de algum ponto do Universo e livre de quaisquer influências externas. Então, o que acontecerá com o recipiente se a mosca começar a voar? Como as forças ao sistema só são internas, a posição do CM deverá ser conservada. Para que isso ocorra, se uma força interna eleva a mosca, para que o CM de tal sistema se conserve, o recipiente deverá se deslocar um pouco para baixo. Ao contrário, se o inseto baixa, o jarro deverá subir um pouco para que o centro de massa do sistema mosca recipiente permaneça no mesmo ponto. Se a mosca voar na horizontal, o recipiente se deslocará para esquerda, se a mosca for para direita, e vice versa na horizontal. Daí podemos concluir que, como o recipiente, juntamente com a mosca, não se encontra em um ponto qualquer do universo, e sim em cima de uma balança, se a mosca sobe, o ponteiro descerá e, se ela baixar, ele subirá e, se ela se manter na horizontal, o ponteiro nada acusará. Solução II Devemos também levar em consideração que o voo da mosca para cima ou para baixo deve ser acelerado. Um movimento uniforme, ou seja, por inércia e portanto sem intervenção de uma força, será incapaz de alterar a pressão que o recipiente exerce sobre o prato da balança. Consideremos, então, a resultante das forças que atuam na mosca: N é a força responsável pela ascensão e mg é a força peso da mosca. Assim a equação do movimento para mosca fica ma = N mg, levando à expressão N = ma + mg (1) para força de ascensão que é a responsável pela reação na balança. A reação que mede a balança é dado por R = N + Mg, () onde M é a massa o recipiente. Antes da mosca se desprender da parede a balança está medindo R = N + Mg = mg +Mg = (m+m) g. (3) Se a mosca estiver subindo ou descendo, em movimento uniforme da equação (1) resulta, a = 0, N = mg. Portanto a reação da balança equação () se iguala a equação (3). Ou seja, tudo se comporta como se a mosca estivesse presa na parede do recipiente como no início. O mesmo acontece para mosca voando na horizontal ou parada flutuando no meio do recipiente. 30.Em alguns parques de diversões, existe um brinquedo chamado rotor, que consiste em um cilindro oco, de eixo vertical, dentro do qual é introduzida uma pessoa: De início, a pessoa apoia se sobre um suporte, que é retirado automaticamente quando o rotor gira com uma velocidade adequada. Admita que o coeficiente de atrito estático entre o corpo da pessoa e a parede interna do rotor valha μ. Suponha que o módulo da 36

37 aceleração da gravidade seja g e que o rotor tenha raio R. Calcule a mínima velocidade angular do rotor, de modo que, com o suporte retirado, a pessoa não escorregue em relação à parede. Equilíbrio na vertical: F at = mg F at μ FN mg μn Mas: N = F cp N = mω R (II) De (I) e (II), vem: mg μmω R g R g R min EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 01.Uma moça de 40kg e um trenó de 8,4kg estão sobre a superfície de um lago congelado, separados por 15 m. A moça aplica sobre o trenó uma força horizontal de 5, N, puxando o por uma corda, em sua direção. a) Qual a aceleração do trenó? b) Qual a aceleração da moça? 0.Um cavalo é colocado para puxar uma carroça. O cavalo recusa se a executar a tarefa, citando a terceira lei de Newton como defesa: a força do cavalo sobre a carroça é igual em intensidade e oposta em sentido à força que a carroça faz sobre o cavalo. "Se eu nunca vou conseguir exercer uma força sobre a carroça maior do que ela exerce sobre mim, como eu posso colocar a carroça em movimento?", pergunta o cavalo. Como se pode refutar esta colocação? 03. Uma curva inclinada de uma rodovia é projetada para veículos que trafegam a 95 km/h. O raio da curva é de 10 m. Em um dia chuvoso os veículos estão trafegando na rodovia a 5 km/h. a) Qual é o mínimo coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada para que os veículos possam fazer a curva sem derrapar? b) Com este valor de coeficiente de atrito, qual é a maior velocidade com que se pode fazer a curva sem derrapar? 04. Você pode puxar um vagão com uma corda, mas você não pode empurrá lo com uma corda. Existe alguma coisa como uma tração "negativa"? 05. Quando se está polindo uma superfície, existe um limite a partir do qual continuar polindo faz com que o atrito aumente em vez de diminuir. Explique por quê. 06. Qual é o propósito das superfícies curvas, chamadas de aerofólios, posicionadas na parte de trás de carros esporte? Eles são projetados para que o ar que passa por eles exerça uma força para baixo. 07. Você já deve ter notado (Einstein notou) que, quando se mexe uma xícara de chá, as folhas flutuantes se concentram no centro da xícara em vez de se concentrarem nas bordas. Você pode explicar isto? (Einstein pôde.) 08. Um homem de 110 kg desce de uma altura de 1 m até ao chão, segurando uma corda que passa por uma polia sem atrito e que está presa a um saco de areia de 74 kg. a) Com que velocidade o homem atinge o chão? b) Existe alguma coisa que ele possa fazer para reduzir a velocidade com que ele atinge o chão? 09. O coeficiente de atrito estático entre o Teflon e os ovos mexidos é de aproximadamente 0,04. Qual é o menor ângulo, em 37

38 relação à horizontal, que provoca o deslizamento dos ovos ao longo de uma frigideira coberta por Teflon? 10. Qual é a máxima aceleração que pode ser gerada por um corredor, se o coeficiente de atrito estático entre os sapatos e a estrada é 0,95? 11. Um pedaço de gelo sai do repouso e desliza descendo sobre um plano áspero inclinado de 33 no dobro do tempo que ele gasta para deslizar descendo sobre um plano sem atrito inclinado de 33 de mesmo comprimento. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero. 1.No topo de um plano inclinado de altura h existem dois blocos. A inclinação do plano em relação à horizontal vale θ = 45. Um dos blocos é largado no ar, sem velocidade inicial, e o tempo da queda livre deste bloco é igual a t. O outro bloco é largado sobre o plano, sem velocidade inicial, e leva um tempo igual a t para deslizar até a base do plano. Calcule: a) a aceleração do bloco que deslizou sobre o plano; b) o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco. 13.Calcule o peso de uma pessoa de massa m no interior de um elevador que desce com aceleração a = g/3. 14.Como mostrado na Figura, uma bola de kg está ligada, por dois fios de massa desprezível, a uma haste vertical que está girando. Os fios estão ligados à haste e estão esticados. A tração no fio de cima é de 50N. a) Desenhe o diagrama de corpo livre para a bola. b) Qual é a tração no fio de baixo? c) Qual é a força resultante sobre a bola e d) Qual a velocidade da bola? 15.Uma roldana de massa desprezível se encontra presa ao teto de um elevador. Um fio passa pela roldana e sustenta duas massas m 1 e m (sendo m > m 1 ). Este dispositivo é conhecido pelo nome de máquina de Atwood. Calcule o módulo da aceleração das massas quando o elevador sobe com aceleração a em relação a um observador situado no interior do elevador. 16.Um garoto está num elevador que sobe com aceleração a. Ele gira um balde contendo água num círculo vertical de raio R. Qual é o menor módulo da velocidade do balde para que a água não caia do balde na parte superior da circunferência? 17.E possível haver movimento na ausência de uma força? É possível haver força na ausência de movimento? 18. a) Um corpo acelera se uma força única age sobre ele? b) Se um corpo tem aceleração, uma força está agindo sobre ele? c) Se um corpo não tem aceleração, nenhuma força está agindo sobre ele? 19.Enquanto você está sentado em uma cadeira, esta o empurra para cima com força normal. Essa força é igual a seu peso e atua na direção oposta. Essa força é a reação a seu peso da terceira lei de Newton? 0.Solta se uma bola de borracha sobre o chão. Quais forças fazem que a bola pule de volta para o ar? 1.Se o ouro fosse vendido pelo peso, você o compraria no alto de uma montanha ou em um vale profundo? Se ele fosse vendido pela massa, em qual dos dois locais você preferiria comprá lo?.o professor Gomes pendurou dois tijolos de massas m 1 (1 kg) e m (4 kg) usando pedaços de barbantes iguais conforme mostra a figura e realizou as seguintes demonstrações: I) sempre que ele puxava rapidamente a ponta do barbante F, o barbante F é que primeiro se arrebentava; II) quando ele puxava lentamente o barbante F, o barbante T 1 é que arrebentava primeiro. 38

39 Pergunta se: a) Qual a força de tração nos barbantes T 1 e T antes das demonstrações? Considere g = 10 m/s. b) Por que num caso é o barbante T 1 que arrebenta e no outro é o F? 3.A figura representa dois baldes de massas M 1 e M, contendo cada um uma quantidade de areia de massa M. Considere a polia e os fios ideais. Supondo que a massa M seja ligeiramente maior que a massa M 1 a) Qual a quantidade m de areia que deve ser transferida do balde de massa M 1 para o balde de massa M para que a aceleração do sistema aumente de um fator f? b) Qual o maior valor de f possível? 4.Uma corrente uniforme de comprimento L e massa M está situada numa tábua absolutamente lisa. Uma pequena parte da corrente foi introduzida numa abertura na tábua. No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi liberado e a corrente começou a mover se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar a velocidade de movimento da corrente no momento, em que o comprimento da parte pendurada da corrente é x (x < l). Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua. 5.Um homem cuja massa é 70kg está sentado sobre um andaime pendurado num sistema de roldanas. Ele se eleva puxando a corda que passa pela roldana fixa, conforme a figura. Considerando g = 9,8m/s, desprezando os atritos, resistências e a massa do andaime e supondo que o homem se eleva muito lentamente, calcular a força que ele precisa exercer. 6.Uma pilha de seis blocos iguais, de mesma massa m, repousa sobre o piso de um elevador, como mostra a figura. O elevador está subindo em movimento uniformemente retardado com uma aceleração de módulo a. Determine o módulo da força que o bloco 3 exerce sobre o bloco. 39

40 7.A figura a seguir mostra dois blocos de massas m 1 = 1 kg e m = kg, ligados por um fio ideal (inextensível e de massa desprezível) a uma polia também ideal (de massa desprezível e que não oferece resistência à passagem do fio). Uma força vertical de módulo constante F e sentido para cima é aplicada na polia. Determine os módulos da força normal atuando no bloco e da aceleração do bloco 1 quando: a) F = 30 N; b) F = 50 N 8.Um bloco homogêneo de massa M move se aceleradamente sob a ação da força F numa superfície lisa. Encontrar o valor da força T, com que uma parte A do bloco, de comprimento x, atua sobre a parte B do mesmo. O comprimento do bloco é L. 9.O plano inclinado da figura abaixo tem massa M e sobre ele se apoia um objeto de massa m. O ângulo de inclinação é α e não há atrito nem entre o plano inclinado e o objeto, nem entre o plano inclinado e o apoio horizontal. Aplica se uma força F horizontal ao plano inclinado e constata se que o sistema todo se move horizontalmente sem que o objeto deslize em relação ao plano inclinado. Determine F. 30.Fazendo um furo em uma lata A que tem ar comprimido, o ar sai para a direita e a lata para a esquerda. Isso todo mundo sabe. Considere agora uma lata B dentro da qual se faz o vácuo. Fazendo um furo nessa lata B o ar entra da direita para a esquerda. Depois que o ar enche a lata B, o que acontece com ela? a) Move se para a direita. b) Move se para a esquerda. c) Não se move. 31.Na figura, os dois blocos A e B são iguais, apresentando peso de intensidade P = 100 N cada um. Os coeficientes de atrito entre A e B e entre B e o plano inclinado têm o mesmo valor µ. Sendo senα = 0,6, cosα = 0,8 e sabendo que os blocos estão em equilíbrio com B na iminência de escorregar, o Professor Gomes pede para você determinar o coeficiente de atrito µ e a tração T no fio. 40

41 3.Na figura a seguir, um bloco de massa M e comprimento L encontra se inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Sobre tal bloco, é colocado um outro de massa m, cujo comprimento é muito menor que L, de modo que este possa ser considerado uma partícula material. Sabe se que existe atrito entre os blocos, com coeficientes estático e cinético respectivamente denotados por μ e e μ c. Considere que sobre o bloco de massa M atua uma força constante e horizontal de módulo F. A força horizontal máxima que pode ser aplicada sobre o bloco de massa M de modo que os blocos não deslizem um sobre o outro é denotada por F máx. a) Calcule o módulo da força máxima F máx em função de μ e, M, m e g. b) Suponha que F > F máx. Para tal situação, calcule o tempo que o bloco de massa m leva para perder contato com o bloco de massa M. Expresse o seu resultado em função de L, M, μ e, μ c, F e F máx. 33.No esquema anexo nota se uma plataforma horizontal giratória em torno de um eixo vertical. Na plataforma apóiam se os blocos A e B ligados entre si por um fio leve, flexível e inextensível que passa por uma roldana sem atrito. As massas dos blocos são A e B, suas distâncias ao eixo são a e b respectivamente, e B.b > A.a. O coeficiente de atrito é μ, a aceleração local da gravidade tem intensidade g. Aumenta se aos poucos a velocidade angular do sistema. O professor Gomes pede que se determine a velocidade angular ω na iminência do deslizamento. 34.Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada ao bloco maior, como mostrado na Figura abaixo. a) Se m 1 =,3kg, m = 1, kg e F = 3, N, ache o módulo da força entre os dois blocos, b) Mostre que se uma força de mesmo módulo F for aplicada ao bloco menor mas no sentido contrário, o módulo da força entre os blocos será,1 N, que não é o mesmo valor calculado em (a), c) Explique a diferença. 35.A boca de um copo é coberta com um cartão circular, e sobre o cartão coloca se uma moeda (vide figura a seguir). Os centros do cartão e da moeda são coincidentes com o centro da boca do copo. Considere como dados deste problema: o raio do cartão, R, o raio da boca do copo, r, o coeficiente de atrito entre a moeda e o cartão, μ, e o módulo g da aceleração da gravidade. O raio da moeda pode ser desprezado. Move se o cartão horizontalmente, em trajetória retilínea e com aceleração constante. Determine o valor da menor aceleração do cartão, a C, para que a moeda ainda caia dentro do copo quando o cartão for retirado por completo. 36.Uma força F atua sobre um bloco de massa m 1, da maneira indicada na Figura. Despreze o atrito. Calcule a força exercida pelo bloco de massa m 1 sobre o bloco de massa m. Qual é a força exercida pelo bloco de massa m sobre o bloco de massa m 1? Suponha agora que a força F em vez de ser aplicada pelo bloco de massa m 1 sobre o bloco de massa m, possua um sentido inverso e seja 41

42 aplicada pelo bloco de massa m sobre o bloco de massa m 1. Qual será a força de contato entre o bloco de massa m 1 e o bloco de massa m? 37.Um dinamômetro é preso por uma corda ao teto e logo é tensionado por outra corda presa ao piso, de forma que sua leitura seja de 10N (figura a). Coloca se então um peso W no gancho inferior do dinamômetro (figura b). Qual será a nova leitura do dinamômetro nos seguintes casos: a) W = 7 N b) W = 16 N 38. A equação horária da velocidade de uma partícula, é: v = 4 + t (em unidades do SI). Se a massa da partícula é 3,0 kg, determine a intensidade da força resultante sobre essa massa. 39.Dois blocos idênticos são ligados às extremidades de uma mola e pendurados ao teto por um fio, conforme ilustra a figura adiante. Quando o conjunto está em equilíbrio, o fio é cortado. Sendo g a aceleração local da gravidade, determine os valores das acelerações iniciais dos blocos 1 e. 40.Um caixote de massa M = 0 kg encontra se apoiado sobre um plano horizontal áspero. O coeficiente de atrito entre o caixote e o plano vale µ = 0,75 e a gravidade local vale g = 10 m/s. Se o ângulo θ pode ser ajustado convenientemente, o Professor Gomes pede para você determinar menor força F capaz de mover o caixote ao longo do plano. 41.Considere as duas tirinhas abaixo. 4

43 Fonte: Essas tirinhas representam expressões diferentes de uma Lei. Enuncie essa Lei. 4. Um cubo muito pequeno de massa m é colocado dentro de um funil (veja Figura) que gira em volta de um eixo horizontal a uma taxa de Ω revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo β com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é μ e e o centro do cubo está a uma distância r do eixo de rotação. a) Encontre o maior valor de Ω para que o cubo não de mova para cima. b) Calcule o menor valor de Ω para que o cubo não se mova para baixo. 43.Três blocos são conectados, como na figura abaixo, sobre uma mesa horizontal sem atrito, e puxados para a direita com uma força T 3 = 65,0 N. Se m 1 = 1,0 kg, m = 4,0 kg e m 3 = 31,0 kg, calcule a) a aceleração do sistema e b) as tensões T 1 e T. 44.Um móbile grosseiro pende de um teto com duas peças metálicas presas por uma corda de massa desprezível, conforme a figura abaixo. São dadas as massas das peças: m 1 = kg e m = 1kg. Qual a tensão a) na corda inferior e b) na corda superior? 43

44 45.Na Figura abaixo, uma corrente composta de cinco elos, cada um de massa igual a 0,100 kg é suspensa verticalmente com uma aceleração constante de,50 m/s. Ache os módulos a) da força que o elo exerce sobre o elo 1, b) da força que o elo 3 exerce sobre o elo, c) da força que o elo 4 exerce sobre o elo 3 e d) da força que o elo 5 exerce sobre o elo 4 e)ache os módulos da Força que a pessoa levantando a corrente exerce sobre o elo mais elevado. 46.Na figura, o bloco I repousa sobre o bloco II, sendo que I está preso por uma corda a uma parede. mi = 3,0 kg e mii = 6,0 kg. O coeficiente de atrito cinético entre I e II é 0,10 e entre II e o plano é 0,0. Qual deve ser a força F que, aplicada em II, desloca esse bloco com aceleração de,0 m/s? 47.A figura representa uma roda gigante que gira com velocidade angular constante em torno de um eixo horizontal fixo que passa por seu centro C. Numa das cadeiras, há um passageiro sentado sobre uma balança de mola (dinamômetro), cuja indicação varia de acordo com a posição do passageiro. No ponto mais alto da trajetória, o dinamômetro indica 34 N e, no ponto mais baixo, indica 954 N. Calcule: a) o peso da pessoa; b) a intensidade da força resultante na pessoa. 48.Uma moto percorre um morro, conforme ilustra a figura a seguir. Visto em corte, esse morro pode ser comparado a um arco de circunferência de raio R, contido em um plano vertical. Observe: 44

45 Ao passar no ponto A, o mais alto do morro, a moto recebe da pista uma força de reação normal 5% menor que aquela que receberia se estivesse em repouso nesse ponto. Se no local a aceleração da gravidade vale g, qual será o módulo da velocidade da moto no ponto A? 49.Observe a tirinha abaixo: Você já deve ter percebido que a probabilidade de se escorregar num piso polido, tal como o encerado pela Helga, é muito maior do que nos ásperos. Explique este fato, representando nas figuras a seguir a(s) força(s) que atua(m) no Hagar, quando ele inicia seu movimento num piso polido (bem encerado ou envernizado) e num chão áspero. Compare a(s) força(s) (intensidade, direção e sentido) que atua(m) no Hagar nas duas situações. 50.Observe as tirinhas abaixo e responda: Tirinha 1: Tirinha : Na tirinha 1, a Mônica e o Cascão, exercem na corda, uma força de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. a) Indique na figura 1 a(s) força(s) que atua(m) na corda; b) Indique na figura a(s) força(s) que atua(m) na corda e diga se existe diferença entre a(s) da tirinha 1, sabendo que a Mônica exerce a mesma força nos dois casos; c) Se colocarmos um dinamômetro na corda, qual será sua leitura? Faça a análise nos dois casos, justificando suas respostas. 45