1. TEORIA DOS CIRCUITOS

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1 . TEOA DOS UTOS Fernando Gonçalves nstituto Superior Técnico Teoria dos ircuitos e Fundamentos de Electrónica /2005 Materiais ondutores Os materiais condutores caracterizam-se por possuírem electrões que estão sujeitos a pequenas forças de atracção do seu núcleo Estes electrões designam-se por Electrões Livres Exemplo de electrões livres num material condutor Quando não estão sujeitos a nenhuma fluência externa, os electrões livres apresentam um comportamento aleatório Exemplos de materiais condutores: cobre e alumínio 2

2 orrente Eléctrica Num material condutor sujeito a uma fluência externa os electrões livres deslocam-se numa direcção específica nfluência externa Este movimento de electrões designa-se por orrente Eléctrica 3 orrente: Defição A corrente é defida como o fluxo de carga eléctrica por unidade de tempo Onde: dq Q é a carga eléctrica em oulomb () e t é o tempo em segundos (s) Símbolo usado para representar a corrente: Unidade usada para a corrente: Ampere (A) ( oulomb / segundos) Exemplo: Sabendo que a carga de um electrão é,6x0-9, calcular a corrente correspondente ao fluxo de 0 20 electrões durante 0 segundos x,6x0,6 A 0 4 2

3 orrente Se a corrente for negativa, significa que a corrente real tem o sentido contrário ao sentido defido 0,2 A 0,2 A Quando a corrente é desconhecida, não é importante advhar o seu sentido a escolha efectuada não afectará o sentido da corrente 5 Unidades Grandeza eléctrica Energia E Potência P arga Q orrente Tensão esistência apacidade nductância L Unidade Joule J Watt W oulomb Ampere A olt Ohm Ω Farad F Henry H 6 3

4 Prefixos Nome femto pico nano micro mili kilo mega giga f p n µ m k M G Factor Exemplo: 5 na 5x0-9 A 7 Tensão: Defição Para que exista corrente é necessário existir uma fonte que forneça electrões, por exemplo, uma pilha A tensão é defida como a energia necessária para mover uma carga negativa (electrão) do potencial mais elevado para o potencial mais baixo. Símbolo usado para representar a tensão: Unidade usada para a tensão: olt () A tensão também pode ser designada por Diferença de Potencial ou Força Electromotriz 8 4

5 Tensão A tensão é sempre referenciada a algum ponto: AB corresponde à tensão em A ( A ) medida em relação à tensão em B ( B ) A + AB B AB A B BA AB BA B A ( A B ) AB Por convenção, a corrente flui do potencial mais elevado (+) para o potencial mais baixo ( ) 9 Tensão: Pilha termal + Ao ligar... Algum tempo depois... Fio condutor Fio condutor termal Lâmpada acende Lâmpada apaga 0 5

6 Tensão: Algumas ecomendações. dentifique os termais com letras ou números 2. Adicione os sais + e a cada termal. O sal + irá corresponder ao primeiro índice e o sal corresponderá ao segundo índice Exemplo a 2 c ab? ab cd b d dc ac? ca 2 ac 2 Tensão: Algumas onvenções Por vezes é utilizado um nó do circuito como referência ou massa ( ground ). Assim: Todas as tensões são medidas em relação a esse nó As tensões podem ser descritas com um único índice Exemplo A + AB B nó de referência AB A B A Equivalente a considerar que B 0 2 6

7 Associação de Baterias em Série Exemplo: como calcular AD? A B D,5 +, AD AB + B + D BA,5 AB,5 B,5 B,5 D 9 Então AD,5, Potência: Defição A potência defe-se como a energia por unidade de tempo Em termos da tensão e corrente, a potência pode ser calculada por P Símbolo usado para representar a potência: P Unidade usada para a potência: Watts (W) ( Joules / segundo) Alguns dispositivos fornecem (geram) potência, enquanto ros absorvem (consumem) potência Exemplos Dispositivos Geradores: Baterias Dispositivos onsumidores: Lâmpadas, omputadores 4 7

8 esistência: Defição e Lei de Ohm A corrente através de um condutor metálico é proporcional à tensão aplicada aos seus termais A proporcionalidade entre corrente e tensão designa-se por resistência Lei de Ohm declive Símbolo usado para representar a resistência: Unidade usada para a resistência: Ohm (Ω) epresentação gráfica: Exemplos de resistências: Qualquer fio condutor possui resistência, mas essa resistência é normalmente muito reduzida na prática considera-se nula (condutor ideal, 0 Ω) 5 Associação de esistências em Série Duas ou mais resistências estão ligadas em série quando são percorridas pela mesma corrente eq + 2 eq é a resistência equivalente Genericamente: N eq N A resistência de maior valor é domante 6 8

9 Associação de esistências em Paralelo Duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo quando têm ambos os termais em comum 2 eq 2 eq eq Genericamente: N eq N eq i i A resistência de menor valor é domante 7 Associação de esistências: Exemplos alcular o valor da resistência equivalente para cada um dos casos 2 3 ) 2) kω 00 kω 9 kω 0 kω 2 0 kω 4) 2 0 kω 3) 4 kω 3 0 kω 0 kω 2 00 kω 8 9

10 Divisor de Tensão Usando a Lei de Ohm: N + 2 N mas. e 2. 2 então N ( + 2 ) N + 2 N eq 2? 2 2 N N O conceito de divisor de tensão pode ser generalizado para mais de duas resistências 9 Tipos de ircuitos Eléctricos Os circuitos eléctricos podem ser de 2 tipos: ircuitos esistivos: são constituídos apenas por elementos resistivos, i.e., aqueles cuja relação corrente-tensão pode ser descrita por equações algébricas ircuitos eactivos: são constituídos por elementos cuja relação corrente-tensão é descrita por equações diferenciais (também podem cluir elementos resistivos) 20 0

11 ircuitos Leares versus ircuitos Não-Leares Os circuitos resistivos podem ser leares ou não-leares, consoante a relação corrente-tensão é descrita por uma equação lear ou não ircuito Lear ircuito Não-Lear k n ircuito Lear por troços 2 Fontes de Tensão deais Fonte de tensão ideal: impõe uma tensão aos seus termais. A corrente que a atravessa pode ser qualquer e é imposta pelo circuito ao qual está ligada Símbolo genérico v? Fonte de tensão susoidal v Outros símbolos Fonte de tensão contínua Tensão contínua é uma tensão que não varia ao longo do tempo (p.e., pilha) Exemplo: v v(t) A s (2πf t) Exemplo: 5 22

12 Fontes de orrente deais Fonte de corrente ideal: impõe o valor da corrente. A tensão aos seus termais pode ser qualquer, i.e., é imposta pelo circuito ao qual está ligada Símbolo de uma fonte de corrente + i? 23 Fontes Dependentes Fonte de tensão comandada por tensão Fonte de tensão comandada por corrente v k v v i Fonte de corrente comandada por tensão Fonte de corrente comandada por corrente i (/) v i k i i e v são a corrente e a tensão nro ponto do circuito 24 2

13 onceito de Nó, amo e Malha Nó é o ponto de ligação de 2 ou mais dispositivos amo corresponde aos arcos de ligação entre os nós com 3 ou mais ligações Malha corresponde a um camho fechado constituído por vários nós e ramos Nós Questões: Quantos nós tem este circuito? E quantos ramos? E quantas malhas? Malha amos 25 Leis de Kirchhoff: Lei dos nós A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem desse nó Também pode ser designada por Lei de conservação da carga Exemplo: Aplicar a lei dos nós ao nó A A 2 3 corrente que entra: correntes que saem: 2 e 3 então NOTA: Os sentidos das correntes foram escolhidos aleatoriamente 26 3

14 Leis de Kirchhoff: Lei das Malhas A soma das quedas de tensão ao longo de um camho fechado (malha) é zero Exemplo: Aplicar a lei das malhas à malha assalada na figura v 2 v tem o sentido contrário ao defido para circulação na malha v v v 3 v 2 e v 3 têm o sentido defido para circulação na malha + v 2 e + v 3 então v + v 2 + v 3 0 NOTA: Os sentidos das quedas de tensão foram escolhidos aleatoriamente 27 Teorema da Sobreposição Num circuito com vários geradores dependentes, a corrente (ou tensão) num ramo pode obter-se somando as correntes (ou tensões) produzidas por cada um dos geradores dependentes isoladamente, i.e., quando os restantes geradores são anulados Este teorema também pode ser descrito como uma técnica de Dividir para conquistar Muito importante! Anular uma fonte de tensão corresponde a fazer um curtocircuito nessa fonte Anular uma fonte de corrente corresponde a colocá-la em aberto Este teorema não pode ser aplicado a circuitos com geradores dependentes 28 4

15 Teorema da Sobreposição: Exemplo Exemplo: Determar i 2 e v 2 usando o Teorema da Sobreposição i 2 v s 2 v 2 i s 29 Teorema de Théven Qualquer sub-circuito resistivo lear de 2 termais pode ser substituído por uma fonte de tensão, Th, em série com uma resistência, Th ircuito ircuito Sub-circuito esistivo Lear A B Sub-circuito Lear ou Não-lear Th Th A B Sub-circuito Lear ou Não-lear A combação da fonte de tensão e resistência que reproduzem o funcionamento do circuito resistivo lear designa-se por Equivalente de Théven omo determar Th e Th? 30 5

16 Teorema de Théven: álculo de Th e Th álculo de Th : Th corresponde à tensão em circuito aberto, O (i.e., 0) Sub-circuito esistivo Lear O álculo de Th : Th corresponde ao quociente entre O e a corrente de curto-circuito, S Th O S Sub-circuito esistivo Lear S 3 Teorema de Théven: Exemplo Determar o equivalente de Théven aos termais a-b 2 a Th O (divisor de tensão) b Th // 2 ( paralelo com 2 ) Th Th 32 6

17 Teorema de Norton Qualquer sub-circuito resistivo lear de 2 termais pode ser substituído por uma fonte de corrente, N, em paralelo com uma resistência, N ircuito ircuito Sub-circuito esistivo Lear A B Sub-circuito Lear ou Não-lear N N A B Sub-circuito Lear ou Não-lear A combação da fonte de corrente e resistência que reproduzem o funcionamento do circuito resistivo lear designa-se por Equivalente de Norton omo determar N e N? 33 Teorema de Norton: álculo de N e N álculo de N : N corresponde à corrente de curto-circuito, S Sub-circuito esistivo Lear S álculo de N (idêntico ao Equiv. de Théven): N corresponde ao quociente entre O e a corrente de curto-circuito, S N Th O S 34 7

18 Transformação Théven-Norton Procedimento para transformar o Equivalente de Théven no Equivalente de Norton, e vice-versa Th Th N N Th N. N N Th / Th Th N N Th 35 Método dos Nós O Método dos Nós constitui um método sistemático para a análise de circuitos eléctricos Para determar tensões e correntes pode ser necessário resolver um sistema de equações Questão: omo determar um conjunto de equações dependentes? Por aplicação das Leis de Kirchhoff obtêm-se equações nãodependentes necessidade de encontrar um procedimento sistemático 36 8

19 Método dos Nós omo determar um conjunto de equações dependentes? Passo - Escolhe-se um nó para referência (massa) Passo 2 - onsideram-se tensões entre cada nó e o nó de referência (tensões nodais) Passo 3 - Aplica-se a Lei dos Nós a todos os nós, com excepção do nó de referência Passo 4 - Transformam-se as correntes em tensões aplicando a lei de Ohm 37 Método dos Nós: Exemplo 3 A B i i 3 i 4 i S i v i2 2 4 S referência Nó A i v i a b iv b iv Nó B Nó i i2 + i3 i 3 + is i4 a 3 b b c b b c + 2 c + is 4 3 a 3 b b c b b c + 2 c + is

20 ondensador Um condensador é constituído por duas placas de material condutor (armaduras) separadas por um material isolante (dieléctrico) Exemplos de dieléctricos: ar, silício A carga armazenada num condensador é dada por Q : capacidade : tensão aplicada aos termais do condensador A d Símbolo: ou Tipos: 39 ondensador A A capacidade é dada por ε d A : área de cada uma das armaduras d : distância entre armaduras ε : constante dieléctrica do isolante elação corrente-tensão num condensador dq d Q mas então Unidade: Farad (F) A capacidade de um condensador depende de parâmetros defidos pelo processo de fabrico O condensador é um Elemento eactivo A corrente que percorre um condensador não é proporcional à tensão aplicada aos seus termais, mas antes à taxa de variação da tensão Da equação anterior resulta que constante

21 Associação de ondensadores Série: 2 eq eq + 2 eq Paralelo: onclusão 2 + A associação de condensadores em série (paralelo) é idêntica à associação de resistências em paralelo (série) eq eq 2 4 ircuitos esposta no Tempo t 0 i i o o (t)? 0 t i i o Lei de Ohm d o Equação do condensador i i o d o d o ( ) equação diferencial de ª ordem o 42 2

22 ircuitos esposta no Tempo A equação diferencial d o ( ) o o tem como solução (t) + t/ [ (0) - ] e o onsiderando (0) o (0) 0 (condensador descarregado) e t/ (t>0), a solução simplifica-se o (t) ( e ) (para t 0) o (0) 0 o o ( ) 0 t o () 0,63 o atge 63% do valor fal ( ) em t designa-se por constante de tempo e representa-se por τ (tau) O tempo de subida de o é directamente proporcional a 43 ircuitos esposta no Tempo álculo da corrente ao longo do tempo t 0 o (t) i(t) i (t) i(t) t/ - (- e ) i(t) e i(t) t/ i / 0 i(t) t i i o A tensão aos termais de um condensador não pode variar stantaneamente (seria necessária uma corrente fita), mas a corrente pode 44 22

23 ircuitos esposta no Tempo álculo da tensão na resistência t 0 (t) i(t) i i o (t) e t/ (0 - ) 0 o (t) (0 + ) (t) ( ) 0 0 t A tensão aos termais da resistência pode variar stantaneamente 45 ircuitos esposta no Tempo t 0 descarga i i o o (t)? 0 t Mantém-se a mesma equação diferencial, logo a solução geral é idêntica à da carga (t) + (0) - e o [ ] t/ Mas a condição icial é diferente. Admitdo que o condensador carregou totalmente, a condição icial é o (0) o Para o (0) e (t>0) 0 obtém-se (t) o e t/ (para t 0) 0 o (t) t 46 23

24 ircuitos Derivador i i i o i o e i d(i - o ) i i o d(i o ) o d(i o ) Se i >> o o di o é a derivada de i 47 ircuito Gerador de ampa A corrente no condensador é dada por o d o omo e são constantes constante d 0 constante então 0 (t) t o (t) declive 0 t 48 24

25 Boba A boba é um dispositivo no qual a tensão é proporcional à taxa de variação da corrente que a percorre d L Unidade: Henry (H) L designa-se por dutância núcleo Símbolo: Uma boba é, normalmente, constituída por um fio enrolado em torno de um núcleo, p.e., ferro Da equação característica de uma boba resulta que constante 0 49 Transformador Um transformador é um dispositivo constituído por duas bobas adjacentes, entre as quais existe uma ligação magnética núcleo Símbolo Primário Secundário n n 2 n e n 2 : v número de v 2 espiras das i bonas Utilizado para... i 2 converter níveis de tensão A (tensão alternada) isolar electricamente um dispositivo da sua ligação à rede eléctrica n2 n Num transformador ideal: v 2 v e i2 i v2 i2 vi n n2 Potência no primário Potência no secundário 50 25

26 Grandezas Susoidais As grandezas susoidais (ou grandezas alternadas susoidais) têm a forma x(t) Xm cos( ωt + α) x(t) valor stantâneo (valor no stante t) X m amplitude ou valor máximo ω frequência angular (em radianos/segundo) α fase (em radianos) A frequência angular, ω, relaciona-se com a frequência temporal, f, através de ω 2 π f f exprime-se em Hertz (Hz) Hertz /segundo 5 Grandezas Susoidais A frequência temporal, f, é o verso do período, T f T T exprime-se em unidades de tempo: segundos (s) Exemplos: x(t) 2cos( ωt) a fase é nula x 2-2 T/2 π T (período) T 2π t ωt x(t) 2cos( ωt α) a fase é 0 x α T/2 π T 2π t ωt 52 26

27 Análise de um Sal na Frequência Qualquer sal pode ser decomposto numa soma de susóides com diferentes amplitudes e frequências Exemplo: Análise na frequência de uma onda quadrada de frequência f X m 3f 7f f f 5f 9f f 53 Análise na Frequência de uma Onda Quadrada Uma onda quadrada pode ser obtida pela soma da frequência, f menos 3f com amplitude /3 Transformada mais 5f com de amplitude um sal /5 quadrado menos 7f com amplitude /7 etc

28 esposta em Frequência (t) m s (ωt) (t)? omo então d(t) (t) (t) ω m cos( ωt) Amplitude varia com a frequência m ω m t t 55 esposta em Frequência Quando um sal susoidal é aplicado num circuito constituído por condensadores e/ou bobas, a saída é um sal susoidal com a mesma frequência, mas possivelmente com diferente amplitude e fase. ircuitos com condensadores e bobas têm comportamentos que dependem da frequência do sal análise da resposta em frequência esposta no tempo ou t esposta em frequência ou f 56 28

29 epresentação omplexa Para a análise da resposta em frequência de circuitos reactivos (circuitos cuja resposta varia no tempo) é conveniente utilizar números complexos para representar tensões, correntes e resistências om esta técnica, as equações diferenciais que descrevem os circuitos reactivos transformam-se em equações algébricas A representação utilizada baseia-se na Fórmula de Euler θ e j cosθ + jsθ Assim a grandeza susoidal x(t) Xm cos ( ωt + α) j( ωt+α) pode representar-se como x(t) e[ X m e ] 57 Derivada da epresentação omplexa Se então x(t) Xm cos( ωt + α) dx(t) ωx m s( ωt + α) Efectuando a mesma derivada usando a representação complexa x(t) X m e j( ωt+α) então dx(t) j X j( t ) m e ω + α ω e jωxm[ cos( ωt + α) + js( ωt + α) ] { jωx [ cos( ωt + α) + js( ωt + α) ]} ωx s( ωt + α) m m 58 29

30 Generalização da Lei de Ohm A Lei de Ohm pode ser generalizada substitudo o termo resistência por impedância Z onde a impedância, Z, é uma grandeza complexa esistências são elementos resistivos têm resistência ondensadores e bobas são elementos reactivos têm reactância mpedância esistência + eactância 59 Generalização da Lei de Ohm omo a Lei de Ohm foi preservada, os segutes resultados podem ser transpostos para a análise de circuitos reactivos: Leis de Kirchhoff (Lei dos Nós e Lei das Malhas) Teorema da Sobreposição Teoremas de Théven e Norton Método dos Nós Divisor de Tensão Associação de mpedâncias em série e paralelo 60 30

31 Divisor de Tensão e Associação de mpedâncias Divisor de Tensão: Z Z 2 Z2 Z + Z 2 Associação de mpedâncias em Série: Z Z 2 Z N Z eq Z eq Z + Z2 + + Z Associação de mpedâncias em Paralelo: N Z Z N Z eq Z eq N i Z i 6 álculo da mpedância de um ondensador A expressão da corrente num condensador é dada por onsiderando que é um sal susoidal representado sob a forma de uma grandeza complexa: d m e j( ωt+α) Obtém-se d d ( m e j( ωt+α) ) jω m e j( ωt+α) jω Então Z mpedância de um condensador jω 62 3

32 álculo da mpedância de uma Boba d A expressão da tensão numa boba é dada por L onsiderando que é uma grandeza complexa, obtém-se... L d L d m e j( ωt+α) jωl m e j( ωt+α) jωl Então Z L jωl mpedância de uma boba 63 mpedâncias: esumo Z esistência Z jω ou Z j ω ondensador Z L jωl Boba 64 32

33 Filtro Passa-Alto alcular / para este circuito Utilizando o resultado do divisor de tensão ( Z Z Z 2 + Z2 Z e Z2 Z jω ) e fazendo obtém-se + jω 65 Filtro Passa-Alto + jω jω + jω Esta expressão clui formação sobre a amplitude e a fase, mas apenas vamos analisar a formação referente à amplitude Para obter a amplitude é necessário determar o módulo das grandezas complexas jω + jω + ω ( ω) 2 A relação / designa-se por Função de Transferência 66 33

34 Filtro Passa-Alto + ω ( ω) 2 0 f Para ω 0 0 para frequência nula não passa sal 0 Para ω para frequências elevadas A designação Passa-Alto resulta do facto deste circuito apenas deixar passar os sais com frequência elevada (os sais de baixa frequência são elimados ou atenuados) 67 Filtro Passa-Alto: Exemplo alcular a amplitude de quando na entrada,, é aplicado um sal susoidal com amplitude 5 e frequência 00 Hz µf kω + ω ( ω) 2 f 00 Hz ω 2πf 628 rad/s + ω ( ω) x0 x ( 628 x0 x0 )

35 Filtro Passa-Baixo alcular / para este circuito Usando a equação do divisor de tensão jω + jω + jω + jω + ( ω) 2 69 Filtro Passa-Baixo + ( ω) 2 Para ω 0 0 f para frequência nula para baixas frequências Para ω 0 para frequências elevadas 0 A designação Passa-Baixo resulta do facto deste circuito apenas deixar passar os sais com baixas frequências (os sais de alta frequência são atenuados ou elimados ) 70 35