Laboratório de Comunicações

Transcrição

1 Universidade Federal do Pará Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Elétrica e de Computação Laboratório de Processamento de Sinais LaPS Grupo de Telecomunicações GT Laboratório de Comunicações 2º Semestre de 2007

2 Informações Gerais Disciplina: Laboratório de Comunicações Código: TE05120 Carga Horária: 30 horas (15 aulas) Créditos: 02 Caráter: Obrigatória (Engenharia Elétrica) Pré-requisito: TE Teoria das Comunicações Professor: Agostinho Luiz da Silva Castro Sala 241 Centro Tecnológico Telefone: (Ramal 24) [email protected] - Laboratório de Comunicações/ Horário das aulas: Segunda-Feira: 16:40 18:10 Quarta-Feira: 16:40 18:10 Local: Sala 04 Laboratório de Eng. Elétrica e da Computação Dias das aulas: Agosto: 22(22) (27) 29 Novembro: 5(7) 12(14) 19(21) 26(28) Setembro: 3(5) 10(12) 17(19) 24(26) Dezembro: 3(5) 10(12) 17(19) Outubro: 1(3) 8(10) - (17) - 22(25) - 29 Prováveis das Avaliações: Ementa: Bibliografia: Vide programa das turmas Geração de sinais no Matlab. Análise Espectral no Matlab. Analisador de Espectro Baseado em FFT. Modulação AM no Matlab. Modulação AM em bancada. Modulação FM. Amostragem, quantização e codificação. Conversores A/D e D/A. Comunicação serial via RS 232 do microcomputador PC. Análise da Interferência Intersímbolos através do diagrama de olho. Comunicação via Modem [1] LATHI, B., Modern Digital and Analog Communication System, Oxford University Press, Inc., 3ª Edição, 1998, ISBN , 781 pp. [2] COUCH II, L., Modern Communication System principles and applications, Prentice-Hall, 1995, ISDN , 598 pp. [3] HAYKN, S., Communication System, Jonh Wiley & Sons, Inc., 1994, ISDN [4] KAMEN, E. W., HECK, B. S., Fundamentals of Signals and Systems using Matlab, Prentice-Hall, New Jercey, [5] PROAKIS, J. G., Contemporary Communication Systems using Matlab, PWS publishing Company, 1998.

3 Avaliação A avaliação final de cada aluno será baseada nos seguintes critérios: 1. Presença regimental de acordo com as Normas da UFPA. Em um curso de 30h com 15 aulas, o número máximo de faltas permitidas será de 4 para que o aluno não fique reprovado por falta. Será tolerado um atraso máximo de 15 minutos. Após este tempo será contabilizada a falta. 2. Três (03) testes Estes testes serão realizados no decorrer do curso. Os testes abordarão os conteúdos das experiências e serão: escritos e/ou simulados em computador, individuais, sem consulta e terão uma duração máxima de 1 hora e 40 minutos. 3. A nota final de cada aluno será determinada com base na seguinte expressão: NotaTeste _1+ NotaTeste _ 2 + NotaTeste _ 3 Notal _ Final = 3 Para efeitos de conceito e de acordo com a Coordenação do Curso de Engenharia Elétrica, a seguinte tabela será utilizada. SF Frequência menor que 75% SAP O aluno não fez as provas (avaliações) INS [0 5[ REG [5 7[ BOM [7 9[ EXC [9 10] OBSERVAÇÕES: Cada turma de Laboratório de Comunicações apresenta um número máximo de 18 alunos. Este número constitui-se em um valor satisfatório para o qual estão alocados os recursos dos laboratórios. Dessa forma: 1. Torna-se improdutivo o aumento do número de alunos e como consequência são serão permitidos alunos na condição de ouvintes. 2. Não será permitida a troca de turma. O aluno matriculado em uma determinada turma deverá, necessariamente, assistir as aulas na sua turma. 3. Não haverá arredondamento de pontos e nem normalização de notas!

4 Regras para a utilização do LabCOM Para que o Laboratório de Comunicações possa atender satisfatoriamente a todos os alunos, torna-se necessário a adoção de alguns procedimentos para a utilização do mesmo. 1. Ao ligar os computadores, proceda da seguinte forma: 1º. Ligue o estabilizador; 2º. Ligue a CPU; 3º. Ligue o monitor. Obs. Os procedimentos 2 e 3 podem ser executados independentes da ordem. 2. Para desligar o computador, proceda da seguinte forma: 1º. Termine a execução de todos os programas e realize o shutdown através do botão iniciar; 2º. Desligue somente a CPU, quando o sistema informar que é seguro fazer; 2º. Desligue o monitor; 3º. Desligue o estabilizador. Obs. Estes procedimentos devem ser executados seguindo a ordem estabelecida acima. 3. Nunca deixe o computador ligado, após seu uso! 4. Dúvidas, sobre algum procedimento em aula não esclarecido, chamar o professor responsável ou o monitor. 5. Será disponibilizada uma pasta a equipe gravar suas simulações. Para tanto e nos casos em que se deseje gravar um arquivo para o disco rígido do computador, certifique-se de que o arquivo esteja sem vírus. AVISO: os arquivos ficarão gravados no computador durante 1(uma) semana, depois serão deletado! Providencia o devido backup pessoal antes do término dês período. Todos os procedimentos descritos acima visam a manutenção do nosso laboratório. É essencial que o preservemos, para posteriormente usufruirmos. Certos de contar com a colaboração de todos, Cordialmente Agostinho Castro

5 1ª. EXPERIÊNCIA : GERAÇÃO DE SINAIS NO MATLAB Objetivos: Familiarização com o MATLAB Familiarização com o módulo Simulink do Matlab Montagem do ambiente de trabalho para as experiências e simulações do Laboratório de Comunicações Exercícios envolvendo a geração de sinais no Matlab e no Simulink Material/Equipamentos necessários Microcomputador Software Matlab Introdução Teórica 3.1 Entrada de Dados - MATLAB Prompt do MATLAB >> Sinal de atribuição do MATLAB = (a) Definição de valores escalares para variáveis >> A=3 atribui o valor 3 a variável A, confirma a atribuição e retorna o prompt A = 3 >> >> B=3; atribui o valor 3 a variável B e retorna o prompt >> (b) Definição de vetores >> C=[1 2 3]; atribui o vetor linha (1 2 3) a variável C >> D=[0:0.1:0.5]; atribui o vetor linha (0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5) a variável D >> E=[4;5;6]; atribui o vetor coluna (c) Definição de matrizes a variável E

6 1 2 3 >> m=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; atribui à variável m a matriz >> m1=[m; ]; atribui à variável m1 a matriz OBS.: TODA VARIÁVEL DEFINIDA FICA ARMAZENADA NA MEMÓRIA ENQUANTO O MATLAB NÃO FOR FINALIZADO OU SE EXECUTAR O COMANDO clear PARA LIMPAR TODOS OS VALORES DAS VARIÁVEIS 3.2 Operações Fundamentais 3.3 Funções Fundamentais (a) Funções Matemáticas Operação Símbolo Adição (+) Subtração (-) Multiplicação (*) Divisão (/) Potência (^) Função Módulo Raiz Quadrada Seno Cosseno Representaçã o >>abs(a) >>sqrt(a) >>sin(a) >>cos(a) (b) Funções Gráficas Função plot loglog semilogy semilogx Representação >>plot(x,y) >>loglog(t,y) >>semilogy(t,y) >>semilogx(t,y) Outros comandos utilizados na apresentação de gráficos title( texto ) coloca o título no gráfico xlabel( texto ) coloca um texto no eixo horizontal ylabel( texto ) coloca um texto no eixo vertical

7 No comando plot podemos também escolher o símbolo e a cor que desejarmos para o gráfico, a omissão desses parâmetros automaticamente seleciona o valor default. Maiores detalhes podem ser obtidos através do help on line do Matlab. Isto é realizado digitando-se, no prompt do Matlab, help comando ou função desejada, como mostrado na figura abaixo. Exemplo: plot(x,y, *r ) - esboça um gráfico representando seus pontos através do símbolo * e na cor vermelha (r - red) Uma função comumente utilizada em simulações de sistemas de comunicações é a função stem. A função stem plota uma seqüência discreta de dados. Exercite o uso do comendo help para obter maiores informações através do help on line do Matlab Funções do Toolbox de Comunicações Para você saber quais as funções que o toolbox de comunicações utiliza, digite no prompt do Matlab >>help comm Acesso ao módulo do Simulink No Ambiente de Trabalho do Windows, execute o Matlab clicando sobre este ícone Identifique o Prompt do Matlab e digite Simulink na linha de comando ou clique no ícone do Simulink na barra de ferramentas do Matlab. >>simulink <ENTER>

8 ou, Janela Simulink Os blocos existentes na janela Simulink, representam novas janelas que podem ser abertas, sendo que cada janela conterá um conjunto de blocos específicos, tais como: Sources Blocos onde estão relacionadas as fontes. Tais como: Gerador de Sinais, Fonte Senoidal, Fonte DC, etc. Sinks Blocos que possibilitam a visualização do desempenho de um sistema Discrete Blocos para a representação de sistemas discretos Ports & Subsistems Blocos de conexão entre bibliotecas ou diagramas TAREFAS:

9 1º TAREFA: Simule no Matlab uma onda senoidal com as seguintes características Amplitude = 5 V Freqüência = 1 KHz e plote o gráfico correspondente (utilize as funções xlabel, ylabel, title e grid) 2º TAREFA: Repita o exercício 1, simulando agora no Simulink e observe o sinal gerado através do osciloscópio. 3º TAREFA: Utilizando o resultado do exercício 1, verifique quantas amostras foram necessárias para representar o sinal gerado (utilize a função length) 4º TAREFA: Simule um sinal senoidal considerando somente 100 amostras para representá-lo. Considere as mesmas características do exercício 1. Apresente os resultados através de gráfico e tabela no prompt do Matlab. 5º TAREFA: Plote o gráfico correspondente a seqüência { }, utilize a função stem e as demais funções de apresentação gráfica. 6º TAREFA: Considere as seqüências { }, { } e os sinais senoidais y 1 e y 2 com freqüências 1 khz e 500 Hz e amplitudes 5V e 3,5 V respectivamente. Utilize a função subplot para esboçar os 4 gráficos simultaneamente em uma única tela. (Nota: não esqueça de utilizar as funções de apresentação gráficas) 7º TAREFA: Utilizando o Simulink, gere várias formas de onda (senoidal, quadrada) e observe estas ondas em um único osciloscópio. (Nota: Utilize o MUX para ver os dois sinais em um único osciloscópio) OBS. Atente para o fato de que o argumento das funções senoidais no Matlab são sempre expressos em radianos.

10 2ª. EXPERIÊNCIA: SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE MODULAÇÃO AM 1.0 Objetivos Simular, no Matlab/Simulink, as técnicas de Modulação/Demodulação AM 2.0 Material/Equipamentos Necessários Microcomputador Software Matlab/Simulink 3.0 Introdução Teórica O principal objetivo de um sistema de comunicação é transmitir sinais, que contenham informação ou sinais banda-base, através de um canal de comunicação que separa o transmissor do receptor. O termo banda-base é usado para designar a faixa de freqüências representativa do sinal original entregue pela fonte de informação. O canal de comunicação pode ser uma linha de transmissão, uma fibra óptica, o espaço livre, etc. Em qualquer caso a utilização eficiente da faixa de freqüências destes canais requer uma mudança na faixa de freqüências do sinal banda-base para outra faixa mais adequada à transmissão. Esta translação em freqüência é realizada através do processo de modulação. Na recepção, necessita-se recuperar o sinal original. A recuperação do sinal original é realizada através do processo conhecido como demodulação. As características do sinal que são variadas pelo sinal modulante, podem ser: a amplitude, a fase e a freqüência. Quando o parâmetro variado é somente a amplitude realiza-se uma modulação em amplitude (AM), quando o parâmetro variado é a fase realiza-se uma modulação em fase (PM) e quando o parâmetro variado é a freqüência realiza-se uma modulação em freqüência (FM). Nesta experiência abordará algumas técnicas utilizadas para a geração de sinais modulados em amplitude. 3.1 Simulação de Sistemas AM (Modulação e Demodulação) 1 o TAREFA: Monte no Simulink um modulador AM/DSC-SC e analise as formas de onda. Nota: Apresente os gráficos obtidos no osciloscópio, esboce os espectros de amplitudes e comente os resultados!. Especifique os valores para as freqüências do sinal modulador e da portadora, justificando a escolha!. Expressão de um sinal AM DSB-SC S( t) A A cos( 2πf t) cos( 2πf t) AM =, onde: A p amplitude da portadora, A m amplitude da moduladora, f m freqüência do sinal modulador, f c freqüência da portadora. 2 o TAREFA: Monte no Simulink um modulador AM/DSB e analise as formas de onda para diferentes valores do índice de modulação m>1 (m =1,5), m =1 e m <1 (m =0,5). Nota: Apresente os gráficos obtidos no p m m c

11 osciloscópio, esboce os espectros de amplitudes e comente os resultados!. Especifique os valores para as freqüências do sinal modulador e da portadora, justificando a escolha!. Expressão de um sinal AM DSB St ( ) AM = Ap[ 1+ ka Am cos( 2πfmt)]cos( 2π ft c ), onde: A p amplitude da portadora, A m amplitude da moduladora, m índice de modulação (m = k a A m ), f m freqüência do sinal modulador, f c freqüência da portadora. 3 o TAREFA: Projete no Simulink os demoduladores AM do tipo Detetor de Envoltória e Detetor Coerente. Analise os empregos destes demoduladores para os moduladores montados nas tarefas 1 e 2. Nota: Apresente os gráficos obtidos no osciloscópio e comente os resultados!. Especifique os valores usados na tarefa, justificando a escolha!. 4 o TAREFA: Determine o índice de modulação da tarefa 2 através da regra do trapézio. Compare os resultados com os valores da tarefa 2. Analise as figuras que aparecem no osciloscópio em função do índice de modulação: Apresente os gráficos obtidos no osciloscópio e comente os resultados!. Especifique os valores usados na tarefa, justificando a escolha!. 5º TAREFA: Baseado nos projetos anteriores projete um sistema BASK (modulador/demodulador) assumindo que se deseja transmitir, usando uma portadora analógica, o seguinte sinal apresentado abaixo: Amplitude tempo (s)

12 3ª. EXPERIÊNCIA: 4. SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE MODULAÇÃO ANGULAR 1.0 Objetivos Simular, no Matlab/Simulink, as técnicas de Modulação/Demodulação FM/PM 2.0 Material/Equipamentos Necessários Microcomputador Software Matlab/Simulink 3.0 Introdução Teórica O principal objetivo de um sistema de comunicação é transmitir sinais, que contenham informação ou sinais banda-base, através de um canal de comunicação que separa o transmissor do receptor. O termo banda-base é usado para designar a faixa de freqüências representativa do sinal original entregue pela fonte de informação. O canal de comunicação pode ser uma linha de transmissão, uma fibra óptica, o espaço livre, etc. Em qualquer caso a utilização eficiente da faixa de freqüências destes canais requer uma mudança na faixa de freqüências do sinal banda-base para outra faixa mais adequada à transmissão. Esta translação em freqüência é realizada através do processo de modulação. Na recepção, necessita-se recuperar o sinal original. A recuperação do sinal original é realizada através do processo conhecido como demodulação. As características do sinal que são variadas pelo sinal modulante podem ser: a amplitude, a fase e a freqüência. Quando o parâmetro variado é somente a amplitude realiza-se uma modulação em amplitude (AM), quando o parâmetro variado é a fase realiza-se uma modulação em fase (PM) e quando o parâmetro variado é a freqüência realiza-se uma modulação em freqüência (FM). Esta experiência abordará algumas técnicas utilizadas para a geração de sinais modulados em freqüência e fase. 4.0 Sistemas de Modulação FM (Frequency Modulation) Modulação em frequência (FM) é aquela onde a frequência instantanea da portadora é variada linearmente com o sinal de mensagem. Expressão de um sinal modulado em frequência: t s( t) = Ap cos 2π f ct + 2πk f m( t) dt 0 Onde k f é uma constante chamada de sensibilidade em frequência expressa em Hz/V. Pode-se definir ainda dois outros parâmetros chamados de: Desvio de frequência: f = k f Am f Índice de modulação: β = f m

13 A partir do valor do índice de modulação surgem então duas situações definidas como: FM Faixa Estreita e FM Faixa Larga. Em sistemas FM Faixa estreita o índice de modulação assume valores pequenos em relação a 1 rd e para sistemas FM faixa larga o índice de modulação é grande com relação a 1 radiano. A largura de faixa de sistemas FM faixa estreita é igua a 2 vezes a largura de faixa do sinal de mensagem enquanto que a largura de faixa do sinal FM faixa larga pode ser 1 estimada pela regra de Carson ( B = 2 f 1 + ) β 5.0 Sistemas de Modulação PM (Phase Modulation) Modulação em fase é aquela onde o ângulo é variado linearmente com o sinal de mensagem. Expressão de um sinal modulado em fase: s( t) = Ap cos[ 2π f ct + 2πk pm( t) ] Onde k p é uma constante chamada de sensibilidade em fase expressa em rad/v. As modulações em fase e em frequência são comumente referenciadas como modulação angular. Dessa forma, a partir de uma modulação pode-se obter a outra modulação e vice-versa. As relações entre as modulações FM e PM são mostrada abaixo. m(t) Modulador de Fase Sinal FM Figura 1 - Geração de Sinais FM a partir de um modulador PM m(t) d/dt Modulador FM Sinal PM Figura 2 - Geração de sinais PM a partir de um modulador FM 1 o TAREFA: Projete, usando o simulink, um modulador FM. a) Realize a simulação para vários valores do índice de modulação de modo a gerar sinais FM faixa estreita e FM faixa larga. Indique os valores do índices que você utilizou para ambos o casos. b) Determine graficamente a largura de faixa para os sinais FM faixa larga e faixa estreita gerados no item anterior e verfique se os valores encontrados estão de acordo com os valores teóricos. OBS. Para obter os gráfico no domínio da frequência utilize o bloco TO WORKSPACE no simulink e use o comando psd no prompt do Matlab. 2 o TAREFA: Usando o modulador FM projetado na primeira tarefa, projete um modulador PM. 3 o TAREFA: Use os moduladores projetados nas tarefas 1 e 2 e gere sinais BFSK e BPSK.

14 4ª. EXPERIÊNCIA: ANÁLISE DE DESEMPENHO DE SISTEMAS DE MODULAÇÃO CW 1.0 Objetivos Analisar o comportamento do ruído gaussiano de faixa estreita bem como simular e avaliar o desempenho dos sistemas de modulação CW na presença do ruído. 2.0 Material/Equipamentos Necessários Microcomputador Software Matlab/Simulink 3.0 Introdução Teórica Uma dos principais objetivos do estudo dos sistemas de modulação é a análise dos efeitos do ruído no desempenho do receptor. Para tanto, utiliza-se a Relação Sinal-Ruído (RSR Signal to Noise Ratio - SNR) como um parâmetro para descrevermos a fidelidade com que o processo de demodulação recupera a mensagem original a partir do sinal modulado contaminado pelo ruído. A RSR é definida como a relação entre a potência média do sinal e a potência média do ruído, obtidas em um mesmo ponto. Potência Média do Sinal Modulado RSR = Potência Média do Ruído Adicionalmente, define-se como uma Figura de Mérito do sistema a relação entre as RSRs obtidas na saída do receptor e a RSR do canal. 3.1 Modelo do receptor 1 o TAREFA: Monte no Matlab/Simulink um medidor de potência para a determinação da potência média de um sinal. Lembre-se que a potência média de um sinal pode ser determinada pela expressão abaixo: 1 t 2 P = ave x( t) dt T t T 2º TAREFA: Verifique os valores obtidos no medidor de potência com os valores calculados pelo Matlab através do comando mean. Use o comando hist para obter os histogramas do sinal sinais medidos. Esboce os gráficos normalizados com relação ao máximo valor obtido. 3º TAREFA: Decomponha o ruído branco em suas componentes em fase e em quadratura. Analise a componente em fase e mostre que a envoltória desta componente segue uma distribuição de Rayleigh e a fase, do mesmo sinal, uma distribuição uniforme.

15 4º TAREFA: Analise o desempenho de um sistema AM DSB-SC na presença do ruído branco. Utilize o modulador/demodulador usado na experiência passada com as seguintes características: Sinal de mensagem: Amplitude=1V, freq.=500hz Portadora: Amplitude=1V, freq.=10khz Filtro passa-faixa: largura da faixa de 2kHz Filtro passa-baixas: largura de faixa de 1kHz. Apresente os valores da RSR do canal, RSR na saída do demodulador e a figura de mérito do sistema.

16 5ª. EXPERIÊNCIA: AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO UTILIZANDO O MATLAB/SIMULINK 1.0 Objetivos Simular os processos de Amostragem e Quantização utlizando o Matlab/Simulink 2.0 Materiais / Equipamentos Utilizados Microcomputador Software Matlab/Simulink 3.0 Introdução Teórica Amostragem Um sinal limitado em faixa pode ser representado, sem distorção, por suas amostras, tomadas em intervalos igualmente espaçados, desde que a taxa ou freqüência de amostragem seja igual ou maior que o dobro da máxima freqüência contida no espectro do sinal. f 2 f Critério de Nyquist a m PROCESSO DE AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO t t QUANTIZAÇÃO O processo de quantização consiste em aproximar os valores das amostras para níveis pré-fixados de modo que o sinal resultante assuma somente valores dentro de um conjunto discreto e finito de níveis, chamados Níveis de Quantização.

17 Relação Níveis de Quantização / Números de Bits utilizados na Codificação n Q = 2 onde, Q níveis de quantização e n números de bits TAREFAS 1 º TAREFA: Gere um sinal senoidal com amplitude igual a 10Vpp e freqüência de 60 Hz. Amostre-o utilizando a taxa que achar adequada. a) Qual a taxa de amostragem utilizada? Justifique sua escolha! b) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? c) Quantas amostras foram tomadas a partir da taxa escolhida? d) Qual o tempo de duração das amostras? 2 o TAREFA: Com os mesmos dados do enunciado da tarefa 1, amostre o sinal tomando exatamente 20 amostras. a) Justifique a taxa de amostragem utilizada b) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? c) Qual o tempo de duração das amostras? 3 º TAREFA: Repita a tarefa 2, especificando um duty cycle de 20% para o gerador de pulsos. a) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? b) Qual o tempo de duração das amostras? 4 o TAREFA: Um sinal senoidal com amplitude de 10Vpp e freqüência de 10 Hz é amostrado tomandose 16 amostras com duração de 3,125 ms. Qual o período de amostragem e o duty cycle do gerador? 5 º TAREFA: Utilizando o bloco Zero Order Hold, que implementa a função de um Sample and Hold simule o processo de amostragem e retenção a partir dos dados da tarefa 2. a) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? b) Compare os processos de amostragem e amostragem com retenção. 6 o TAREFA: Utilizando o bloco Quantizer (NonLinear) quantize com 16 níveis o sinal amostrado da tarefa 5. a) Apresente os gráficos obtidos? b) Compare os processos de amostragem, amostragem com retenção e quantização. c) Estabeleça um sistema de codificação binário para os níveis de quantização especificados.

18 6ª. EXPERIÊNCIA: ANÁLISE ESPECTRAL USANDO O MATLAB Objetivos: Aplicar a Teoria de Fourier (série e transformada) no estudo da análise espectral de sinais utilizando o Matlab Material/Equipamentos necessários Microcomputador Software Matlab Introdução Teórica 1 0 PARTE Representação de sinais através das Séries de Fourier e da Transformada de Fourier Série Trigonométrica de Fourier [ ] xt ( ) = a0 + ancos( nω0t) + bnsen( nω 0 t) n= 1 Série Trigonométrica Compacta de Fourier x ( t ) 1 0 TAREFA: + = ao + An cos( nω0t + φ n ) n=1 Série Exponencial ou Complexa de Fourier jnωt 1 t + x ( t ) c n e, cn = T = + Transformada de Fourier + jωt X( ω ) = x( t) e dt T T x( t Transformada Inversa de Fourier + 1 jωt xt () = X( ω) e dω 2π )e jnωt 0. 1t 2 Usando o Matlab plote a forma de onda do sinal x( t ) e sen( t ) TAREFA: dt =. Considere o sinal x( t) = A1cos t + A2cos( 4t + π / 3) + A3cos( 8t + π / 2) definido no intervalo de - - <t<+.utilize o MATLAB para gerar x(t) para valores arbitrários de A 1, A 2 e A 3 (A 1= 0.5, A 2= 1.0, A 3= 0 - A 1= 1, A 2= 0.5, A 3= 0 - A 1= 1, A 2= 1, A 3= 0). Observe os gráficos para vários valores de A n Plote os respectivos espectros de amplitude e fase do sinal apresentado acima. (Utilize a função stem e input para plotar o espectro)

19 3 0 TAREFA: Considere o sinal apresentado abaixo A 1-2,5-1,5-0,5 0,5 1,5 2,5 t Encontre a Série Exponencial de Fourier do Sinal e esboce os gráficos no domínio do tempo e da freqüência, variando a quantidade de harmônicas no sinal. Analise o gráfico no domínio do tempo e explique o efeito conhecido como Fenômeno de Gibbs.(Dica: você poderá utilizar os seguintes comandos do Matlab for, ones, input, stem e plot, entre outros). 4 0 TAREFA: Encontre a transformada de Fourier do sinal da tarefa anterior plote o espectro de amplitude e analise o espectro de amplitude para T=2, T=5 e T=10. Comente os resultados. 5 0 TAREFA: Considere o sinal x(t)=e -bt u(t) onde b é uma constante real e u(t) a função degrau unitário. A partir da Transformada de Fourier esboçe os espectros de amplitude e fase. 2 0 PARTE TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (DFT) E A TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT) A DFT é usada geralmente para analisar vetores que representam N amostras (eventualmente quantizadas) de sinais originalmente analógicos. Depois de haver a amostragem, este sinal passa a ser representado por estes N números, que compõem um simples vetor, não tendo informação acerca de qual freqüência de amostragem foi utilizada ou qual a duração do sinal (em segundos, por exemplo) que corresponde a estas N amostras. Como não há informação de "segundos" (tempo) no vetor de entrada da DFT, a mesma não pode fornecer um vetor de saída com informação em "Hz" (freqüência). A ligação entre as amostras e os instantes de tempo decorrentes entre elas é dada pela freqüência de amostragem fs. Este valor de fs precisa ser usado explicitamente pelo usuário para poder interpretar o resultado da DFT em Hz. Segue um exemplo. Ex: Geração de um cosseno amostrado de 5 V de amplitude, freqüência de 10 Hz e fase de 90 graus, com duração de 2 segundos, com freqüência de amostragem de fs = 40 Hz (Ts = 1 / fs). No Matlab fica: Ts=1/40; t=0:ts:2; x=5*cos(2*pi*10*t+pi/2);

20 Pode-se saber quantas amostras este sinal tem usando-se a instrução N=length(x), que deve dar 81. Use a instrução stem(x) e observe que a abcissa não corresponde a segundos, e sim ao índice do vetor x. Para inserir a informação de tempo, é necessário fazê-lo explicitamente com a instrução stem(t,x). A mesma coisa deve ser feita com a DFT. Para usar a DFT basta saber como gerar o eixo de freqüências em Hz. Enquanto a transformada de Fourier apresenta o espectro de um sinal em um eixo de freqüências contínuo, a DFT tem necessidade de discretizar este eixo, apresentando seus resultados apenas em algumas freqüências. Outro detalhe é que a parte correspondente ao espectro do nível DC até a maior freqüência vem antes da parte de freqüências negativas do espectro. O espaçamento f entre estas freqüências (chamadas de raias de freqüências) é sempre o mesmo. O cálculo de f é simples pois o mesmo corresponde ao inverso do tempo de duração do sinal sob análise, ou seja, o tempo que corresponde às N amostras do sinal de entrada x. Sabendo-se que o intervalo de tempo entre 2 amostras é o período de amostragem Ts, o tempo correspondente a N amostras é duração_do_sinal = N Ts. Sendo assim, o intervalo entre as raias de freqüência da DFT é f=1/ (N Ts). Para o cosseno do exemplo anterior f=1/(81 x 0,025) = 0,4938 Hz. Pode-se observar que f tem uma outra interpretação, podendo ser descrito como f = fs / N. Sabe-se então que a DFT irá corresponder a N raias de freqüência, com espaçamento f entre elas. Com esta informação, o eixo das freqüências pode ser gerado para uma interpretação adequada do espectro do sinal. Há ainda um detalhe: a DFT representa as freqüências negativas até as positivas do espectro. Sendo assim, metade das N raias de freqüência deveriam ser associadas às freqüências negativas e a outra metade às freqüências positivas. Mas há o nível DC (0 Hz), e quando N é par, N-1 (onde se desconta uma raia para o nível DC) é ímpar e a divisão por 2 (parte negativa e positiva) não é um inteiro. Para N par, a DFT resolve este incômodo "retirando" a raia de maior freqüência (última) do espectro positivo. Isto não é problema na análise de sinais reais, já que há simetria do espectro e esta maior freqüência da parte positiva do espectro seria obtida fazendo-se o complexo conjugado da menor freqüência da parte negativa do espectro. Uma questão importante: quanto é esta maior freqüência? Para o exemplo do cosseno, N=81, tendo-se 40 raias na parte negativa e 40 na parte positiva do espectro. A separação entre as raias f=1/ (N Ts) = 0,4938 Hz. A freqüência da i-ésima raia é i vezes f (i x f). A maior freqüência é então 40 vezes f = 19,752 Hz e a menor freqüência é -40 f = -19,752 Hz. Observe que, como o sinal foi amostrado em 40 Hz, a maior freqüência que poderia ser representada seria menor do que 40 Hz / 2 = 20 Hz. Este é o "raciocínio" inverso do teorema de amostragem de Nyquist, que diz que um sinal de freqüência máxima de 20 Hz deve ser amostrado com fs maior do que 40 Hz. Para calcular a magnitude do espectro do cosseno, tem-se então: X=fft(x); X=fftshift(X); fmax= deltaf=0.4938

21 eixo_freq=-fmax:deltaf:fmax; stem(eixo_freq,abs(x)); A DFT é calculada a partir das seguintes fórmulas (as mesmas usadas pelo Matlab), onde N é o número de pontos da DFT, x[n] é o sinal no tempo e X[k] é o sinal na freqüência: Fórmula de análise da DFT: Xk Fórmula de síntese da DFT: xn N 1 j2πnk [ ] = xne [ ] N n= 0 N 1 j2πnk 1 [ ] = Xke [ ] N N k= 0, calculada para k=0, 1,..., N-1, calculada para n=0, 1,..., N TAREFA: Determine "manualmente" a DFT da seqüência x[n] = {2, 0, 2, 0}. Use a função fft do Matlab, com os comandos: x=[ ] e depois X=fft(x) para calcular a mesma DFT. Compare os resultados. 7 0 TAREFA: No Matlab, crie os sinais (a) x[n]={1, 1, 0, 0} e (b) x[n]={1, 1, 0, 0, 0}, ache suas DFT's e verifique a diferença entre o uso de N par versus N ímpar, atentando para a simetria dos números X[k], já que x[n] é um sinal real. 8 0 TAREFA: Considere que um sinal analógico s(t) foi amostrado com freqüência de amostragem de Hz e quantizado, gerando-se s[n]. Foi calculada a DFT do sinal digital s[n], usando-se uma DFT de N=8 pontos. O gráfico do módulo da DFT é dado abaixo. Todos os pontos do gráfico da fase da DFT são iguais a zero. Considerando que a amostragem do sinal foi realizada de forma adequada, atendendo à taxa de Nyquist, responda: (a) qual a resolução espectral da análise (espaçamento entre as raias da DFT) em Hz? (b) quais os valores do sinal s[n] no domínio do tempo? 9 0 TAREFA: Gere 4 períodos dos seguintes sinais periódicos, todos com amplitude de pico de 5 V, no domínio do tempo: (a) senóide de 100 Hz multiplicada por senóide de 20 Hz e (b) onda quadrada de 100 Hz. Use a freqüência de amostragem que você achar adequada para representar os sinais. Calcule os espectros e crie os gráficos usando os valores do eixo da freqüência em Hz. Sua análise espectral está usando que valor para a resolução em freqüência (espaçamento entre as raias da DFT)?