A INTEIRAÇÃO E A MATEMATIZAÇÃO EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 A INTEIRAÇÃO E A MATEMATIZAÇÃO EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA Thiago Fernando Mendes Universidade Estadual de Londrina - Brasil Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Brasil thiagofmendes@utfpr.edu.br Camila Fogaça de Oliveira Universidade Estadual de Londrina - Brasil Faculdade de Tecnologia Senai Londrina - Brasil camila.oliveira@sistemafiep.org.br RESUMO Pautados em pressupostos teóricos da modelagem matemática na perspectiva da Educação Matemática enquanto alternativa pedagógica, apresentamos algumas atividades de modelagem matemática desenvolvidas por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática direcionando nossa atenção para a questão: de que forma a inteiração e a matematização influenciam na resolução de atividades de modelagem matemática? A partir das análises ficou evidenciado, principalmente nas fases de inteiração e matematização, características qualitativas do processo de modelagem matemática que possuem caráter de estrutura matemática e influenciam diretamente nas demais fases do desenvolvimento deste tipo de atividade. PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Inteiração e Matematização. ABSTRACT Based on theoretical assumptions of mathematical modeling in the perspective of Mathematical Education as a pedagogical alternative, we present some mathematical modeling activities developed by students of a degree course in Mathematics focusing our attention to the question: how do interaction and mathematization influence the resolution of mathematical modeling activities? From the analysis, qualitative characteristics of the mathematical modeling process that have a character of mathematical structure and directly influence the other stages of the development of this type of activity are evidenced, mainly in the phases of interaction and mathematization. KEYWORDS: Mathematics Education. Mathematical Modeling. Interaction and mathematization. MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

2 A modelagem matemática enquanto alternativa pedagógica para o ensino de matemática tem sido foco de diversas pesquisas, com distintas concepções, que abordam a importância da utilização da modelagem matemática em sala de aula de forma a contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da matemática. No âmbito internacional 1, atividades de modelagem matemática foram projetadas para confrontar os alunos com a necessidade de resolução de situações-problema significativas e do cotidiano (ÄRLEBÄCK; DOERR, 2015). Caracterizam-se como atividades complexas, abertas e não rotineiras, simulações de situações para resolver problemas do cotidiano, cujo objetivo é desenvolver, testar, rever e refinar ferramentas conceituais, envolvendo mais do que respostas simples às perguntas em testes e manuais tradicionais (LESH et al., 2003). De forma geral, uma situação-problema trata de uma situação inicial (problemática) em que se pretende estudar (fenômeno). Almeida e Brito (2005) entendem a modelagem matemática como uma alternativa pedagógica para o processo de ensino e de aprendizagem de matemática, no qual se faz uma abordagem, por meio da matemática, de um assunto não essencialmente matemático. Almeida, Silva e Vertuan (2012) destacam que o encaminhamento de uma atividade de modelagem matemática envolve fases referentes ao conjunto de procedimentos necessários para configuração, estruturação e resolução de determinada situaçãoproblema, caracterizando-as como: inteiração, matematização, resolução, interpretação de resultados e validação (Figura 1). Figura 1: Fases da modelagem matemática Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 15). Para os autores supracitados, a inteiração representa o primeiro contato com a situação-problema em que se pretende estudar objetivando conhecer as suas características e especificidades. Nesta fase ocorre a formulação do problema e a definição de metas para sua resolução, que é de fundamental importância para permitir a elaboração de um modelo matemático e estruturação da situação. Em uma atividade de 1 Atividades incitadoras de modelos (MEAs) foram desenvolvidas por Lesh et al. (2003) e seus colaboradores. 2

3 modelagem, a formulação do problema é orientada pela falta de compreensão e de entendimento da solução. Todavia, resolver um problema consiste na busca de uma resposta para a questão investigada. Segundo Cifuentes e Negrelli (2012), a problematização está associada a certos parâmetros que têm um certo caráter de estrutura matemática. Na matematização ocorre a transição de linguagens, ou seja, o problema, que inicialmente está escrito em linguagem natural, passa a ser escrito em linguagem matemática e, para isso, lança-se mão da formulação de hipóteses, seleção de variáveis e simplificação da situação. Quando é realizada uma simplificação, formulação de hipóteses e estruturação da tarefa, a intuição matemática tem um papel fundamental nesse momento de seleção, o que revela o papel decisivo do sujeito epistêmico no processo de modelagem (CIFUENTES; NEGRELLI, 2012, p. 800). Neste sentido, em uma atividade de modelagem matemática, uma hipótese consiste de uma conjectura e representa um modo de determinar o que sabemos sobre a situação-problema em estudo. Além disso, uma hipótese orienta os alunos no desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática e que a partir desta os alunos justificam seus procedimentos por meio de proposições matemáticas (SOUSA, 2017, p. 246). A construção do modelo matemático é realizada na fase de resolução. Lesh (2010), caracteriza um modelo matemático como um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por uma linguagem ou estrutura matemática, que objetiva descrever e prever o comportamento de outro sistema. No que diz respeito à sua dedução do modelo, Blomhøj e Kjeldsen (2011) afirmam que essa ação objetiva responder um problema inicialmente determinado e, para que essa construção, é necessário que os alunos sejam expostos a situações que os levem à reflexão sobre o processo de modelagem e à função dos modelos em diferentes contextos. O encaminhamento de uma atividade de modelagem é determinado pelo uso de hipóteses e, por vezes, pode ser revogável, quando, por exemplo, na interpretação de resultados e validação verifica-se que há a necessidade de revisar o modelo matemático encontrado. Almeida, Silva e Vertuan (2012), pontuam que a interpretação dos resultados implica a análise de uma solução para o problema, constituindo-se em um processo 3

4 avaliativo realizado por todos os envolvidos na atividade. Além disso, tal interpretação implica uma validação da representação matemática referente ao problema, considerando-se tanto os procedimentos matemáticos utilizados, quanto à adequação de tal representação ao fenômeno estudado. Lesh et al. (2003) destacam seis princípios para o planejamento e concepção de atividades de modelagem matemática: (i) O princípio da pertinência pessoal exige que os alunos interpretem a situação-problema a partir de sua habilidade matemática, formação acadêmica e conhecimentos pessoais; (ii) O princípio da construção do modelo exige que a atividade permita a necessidade de um modelo a ser construído, modificado, estendido ou refinado; (iii) O princípio da autoavaliação garante que os alunos avaliem a utilidade de seus modelos podendo julgar, por si mesmos, quando suas respostas são adequadas o suficiente para a situação-problema; (iv) O princípio da documentação do modelo exige que os alunos expressem como estão pensando sobre a situação-problema, por meio da documentação da atividade; (v) O princípio do modelo simples garante que o modelo produzido seja viável e matematicamente significativo; (vi) O princípio da generalização do modelo exige que os alunos produzam soluções que sejam comunicáveis de forma clara e compreensível e que se adaptam facilmente para uma situação problemática semelhante. Pautados na modelagem matemática como alternativa pedagógica e nos pressupostos teóricos do desenvolvimento de atividades de modelagem matemática apresentados por Lesh et al. (2003), neste texto, direcionamos nossa atenção para a questão: de que forma a inteiração e a matematização influenciam na resolução de atividades de modelagem matemática? Nas seções seguintes apresentamos a descrição e análise de atividades de modelagem matemática desenvolvidas por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática com foco na inteiração e matematização, alguns delineamentos e as referências bibliográficas utilizadas. DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA Foi desenvolvido, por uma das autoras deste texto, um minicurso com o tema Uso do software Tracker em atividades de Modelagem Matemática com duração de quatro horas durante o XII Seminário de Matemática promovido pela Universidade Estadual do 4

5 Norte do Paraná no dia 25 de abril de Participaram deste minicurso 16 alunos do curso de Licenciatura em Matemática. Inicialmente a ministrante abordou a seguinte situação-problema Estudo do movimento do pedal e velocidade de uma bicicleta fixado no suporte EcoByke Power em conjunto com os alunos e, em seguida, convidou os alunos a escolher um fenômeno para ser analisado por meio do software Tracker tendo em vista a obtenção de um modelo matemático. Neste trabalho, temos como intenção analisar as especificidades da inteiração e matematização no desenvolvimento dessas atividades de modelagem desenvolvidas. Para isso, fizemos uso de uma abordagem de cunho qualitativo que, na concepção de Godoy (1995), o pesquisador vai a campo buscando captar o fenômeno estudado a partir da perspectiva das pessoas nele envolvidas. Assim, essa pesquisa considera o ambiente, as observações e a análise dos registros como principal fonte de dados, visando em sua análise os dados em toda a sua riqueza, respeitando, tanto quanto possível, a forma com que estes foram registrados ou transcritos (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p.48). Neste contexto, desenvolvemos um estudo na perspectiva qualitativa interpretativa, uma vez que os significados sobre o desenvolvimento das atividades surgirão a partir da compreensão e das interpretações dos procedimentos adotados e dos modelos construídos pelos sujeitos da pesquisa. Os dados foram coletados no contexto da sala de aula, utilizando-se dos registros escritos dos estudantes e os vídeos gravados para o desenvolvimento das atividades do minicurso. O software Tracker: video analysis and modeling tools é gratuito e trata-se de um software que possibilita a videoanálise e construção de modelos de fenômenos físicos, criado em parceria com o Open Source Physics. O programa permite que, de forma simples, por meio de qualquer câmera digital, seja possível selecionar um conjunto de dados para ser analisado. A primeira situação-problema abordada no minicurso foi Estudo do movimento do pedal de uma bicicleta fixado no suporte EcoByke Power. Este projeto foi idealizado por um aluno do curso de Tecnologia em Fabricação Mecânica da Faculdade de Tecnologia Senai Londrina e um engenheiro eletricista da empresa Electro Automação Industrial na cidade de Londrina/PR. 5

6 A atividade da EcoByke satisfaz o princípio da pertinência pessoal, pois, além de ser definida dentro de um contexto real (transformação de energia mecânica em elétrica), exige que os alunos interpretem uma situação-problema a partir de suas habilidades matemáticas. Além disso, satisfaz o princípio da construção do modelo, pois exige que os alunos criem um modelo matemático geral que possa ser usado para resolver o problema (descrever o movimento da pedalada da EcoByke). Ao permitir que os alunos façam uso de um software para validar suas ideias, o problema também satisfaz o princípio da autoavaliação. O princípio da documentação do modelo é efetivado quando os alunos registram os modelos matemáticos definidos por eles a fim de descrever o fenômeno. O suporte EcoByke Power (Figura 2) possui uma bicicleta fixada em posição de marcha e em seu quadro um gerador de energia elétrica, que é acionado pelo pneu da bicicleta, quando esta estiver sendo pedalada. 6 Figura 2: Suporte EcoByke Power Para o estudo do movimento do pedal da bicicleta fixado no suporte EcoByke Power, o software auxiliou no primeiro contato dos alunos com a situação-problema, durante a fase de inteiração. O software permitiu a visualização da tendência dos dados (Figura 3), representando as posições do pedal (x e y) em relação ao tempo (traço pontilhado) e uma tabela com os respectivos valores. Para análise de vídeo foram necessários seguir alguns passos, como, abrir o vídeo, criar um eixo de coordenadas e um padrão de medidas (Quadro 1). Figura 3: Suporte EcoByke Power Quadro 1: Utilizando o software Tracker 1 - Iniciar o Tracker. 2 - Abrir o vídeo (FICHEIRO - ABRIR). 3 - Criar os eixos das coordenadas. 4 - Criar, utilizando a fita métrica, a marcação do padrão de medida. 5 - Clicar em CLIP SETTINGS para definir os pontos iniciais e finais do vídeo e os intervalos de tempo. 6 - Selecionar (marcar) um ponto do objeto e, sempre segurando a tecla SHIFT, ir marcando este mesmo ponto frame após frame, até completar o intervalo de movimento escolhido.

7 A partir da tendência dos dados, foi possível realizar o estudo do movimento do pedal da bicicleta fixado no suporte EcoByke. Assim, durante a etapa de matematização, foi possível definir as variáveis (tempo t e posição do pedal x e y) e a hipótese referente ao problema em estudo: O movimento da pedalada descreve um movimento circular com velocidade linear de módulo constante. tempo t: A resolução consistiu em determinar os modelos matemáticos x e y em função do x = 0,21cos ( 2π t 10,6) e y = 0,21sen (2π t 10,6), 1,1 1,1 em que r = 0,21 m corresponde a amplitude do gráfico, T = 1,1 s corresponde ao tempo necessário para se completar uma volta e d = 10,6 m corresponde ao deslocamento horizontal. Gráfico 1: Comparação entre os dados observados com os resultados pelos modelos A validação de resultados pôde ser realizada por meio do software Tracker e consistiu em comparar dos dados observados com o modelo que descreve a posição x e y em relação ao tempo, descritos pelo Gráfico 1. Além disso, o uso do software permitiu a determinação da velocidade da pedalada. Após o desenvolvimento dessa atividade e apresentação das regras do software, os alunos foram convidados a escolher uma outra situação-problema e analisar utilizando principalmente as ferramentas do Tracker. Cabe salientar que, devido ao tempo disponível para o desenvolvimento da atividade (aproximadamente 1h30min), foi priorizado principalmente as etapas de inteiração e matematização da modelagem matemática, conforme abordado por Almeida, Silva e Vertuan (2012). Os alunos foram divididos em seis grupos sendo possível a análise de diferentes fenômenos, tais como: movimento de um ventilador; lançamento de uma bolinha (tema 7

8 abordado por dois grupos); queda de um objeto; movimento de uma bailarina; trajetória retilínea de uma bolinha. Em seguida, os alunos realizaram a filmagem de algum fenômeno para análise, sendo sugeridas pela professora indicações para registro, conforme o Quadro 2. Cabe salientar que apenas um grupo (movimento de uma bailarina) optou em utilizar um vídeo disponibilizado em uma plataforma de compartilhamento de vídeos da internet (YouTube). Quadro 2: Indicações para filmagem e utilização em software Tracker - Escolher um local iluminado, com um fundo uniforme (p.e., uma parede branca); - Escolher um objeto para marcar um padrão de distância conhecido; - Escolher um objeto que contraste bem com o fundo escolhido; - Enquadrar a cena do movimento a ser filmada e deixar a câmera fixa durante a filmagem. O grupo que optou em analisar o movimento da hélice do ventilador, enquadrou a cena do movimento de forma que a câmera ficasse posicionada de forma paralela ao ventilador e fixa durante a filmagem. Contudo, como o ventilador não estava totalmente preso em sua base, acarretou que não foi possível verificar o seu movimento periódico (Figura 4). Nessa fase de inteiração, mesmo com a formulação do problema e a definição de variáveis tempo t e posição x e y, não foi possível que o grupo estabelecesse as hipóteses para iniciar sua resolução, pois o movimento do ventilador não estava descrevendo um movimento circular com velocidade linear de módulo constante. Seria necessário iniciar novamente a busca de novas informações para a compreensão do fenômeno. Um outro grupo decidiu estudar o movimento do salto de uma bolinha, apresentando dados do tempo da trajetória, sua distância horizontal e altura correspondentes por meio do uso do software Tracker. A partir da tabela obtida pelo software, foi possível construir a tendência dos dados da trajetória com vistas a obter a equação da trajetória do projétil. Os alunos definiram como hipótese que a trajetória da bolinha descreve uma função quadrática (Figura 5). Os alunos em conjunto com a professora definiram que a trajetória do projétil corresponde a uma função quadrática y = 0,0097x 2 + 2,3116x 19,191, em que x representa a distância horizontal (metros) e y representa a altura atingida pelo projétil (metros). Desse modo, a partir do modelo matemático seria possível determinar qual é a altura máxima atingida pela bolinha e, também, a velocidade da bolinha. 8

9 Figura 4: Tela do vídeo capturando o movimento do ventilador Figura 5: Tela do vídeo capturando o movimento do salto de uma bolinha De forma semelhante, um grupo verificou o decaimento de um objeto. Utilizandose das variáveis tempo t e altura y, definiram como hipótese que esse decaimento é descrito por uma função quadrática (Figura 6). A partir da hipótese delineada, o grupo definiu a trajetória do objeto como y = 1106,7x 2 386,09x + 35,327. Assim, a partir do modelo matemático seria possível o estudo de outros conceitos, por exemplo, de queda livre. Outro grupo optou em analisar o movimento de uma bailarina. Cabe ressaltar que a escolha de um vídeo do YouTube e a maneira em que foi filmada de maneira lateral e não superior a bailarina, não permitiu captar seu movimento (Figura 7). Figura 6: Tela do vídeo capturando o decaimento do objeto Figura 7: Tela do vídeo (YouTube) capturando o movimento da bailarina Cabe ressaltar que os 16 alunos que participaram da pesquisa não possuíam experiência com o software Tracker e que metade desses alunos já trabalharam com atividades de modelagem matemática. Contudo, para o desenvolvimento dessas atividades, seria importante conhecer características e especificidades da situaçãoproblema. Assim, a formulação do problema e a definição de hipóteses seriam fundamentais para a sua resolução. É nesse sentido que abordamos na próxima seção a 9

10 influência da inteiração e matematização na resolução de atividades de modelagem matemática. DE QUE FORMA A INTEIRAÇÃO E A MATEMATIZAÇÃO INFLUENCIAM NA RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA? Alguns fatores relacionados a fase de inteiração podem provocar a rejeição ou aceitação dos modelos matemáticos, por meio da validação desses modelos, por exemplo, durante a coleta de dados, quando alguns dados experimentais ou informações podem ter sido obtidos de maneira incorreta ou quando a nossa intuição da realidade é inadequada (BASSANEZI, 2010, p. 30). Assim, é importante conhecer a situaçãoproblema em análise para poder inferir hipóteses sobre essa situação. Durante o desenvolvimento das atividades abordadas, os alunos muitas vezes, não relacionavam a situação-problema com os dados apontados pelo software, ou seja, não interpretavam a situação. Por exemplo, os grupos das atividades do movimento de um ventilador e de uma bailarina, não perceberam que esses movimentos se tratavam de um movimento periódico e que seria necessário realizar novamente a filmagem para o estudo do movimento. Outros grupos, também foram orientados em realizar a filmagem por mais de uma vez. Essa necessidade de retorno à situação-problema e coleta de dados vai ao encontro do que destacam Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 17) de que as fases da modelagem podem não acontecer de forma linear e os movimentos de ida e vinda entre tais fases caracterizam a dinamicidade da atividade. Assim, como os dados foram obtidos por alguns grupos de maneira incorreta, seria necessário revisitar a situação-problema e coletar os dados novamente. Além disso, a necessidade de retornar à fase da inteiração confirma o que Almeida e Vertuan (2014, p. 4) destacam quando afirmam que esta fase, ainda que seja inicial, pode se estender durante o desenvolvimento da atividade, considerando que a necessidade de novas informações pode emergir no decorrer do desenvolvimento da atividade. No que diz respeito à matematização, como já apresentado na fundamentação teórica deste texto, é uma fase que se inicia a partir do problema já formulado e previamente estruturado na fase da inteiração. Assim, na matematização ocorre a 10

11 transformação de uma representação (linguagem natural em que a situação é inicialmente apresentada) para outra (linguagem matemática, por meio do modelo matemático). Tal linguagem matemática evidencia o problema matemático a ser investigado (ALMEIDA; VERTUAN, 2014, p. 5). A importância das fases de inteiração e matematização está presente nos princípios destacados por Lesh et al. (2003). Por exemplo, quando os alunos abordaram para análise, uma situação escolhida por eles, ou seja, com o apoio da professora, identificaram um problema para estudo, tendo como intuito responder a esse problema. Foi necessário para alguns grupos a seleção de novos dados para compreensão da situação. Nesse caso, o princípio da pertinência pessoal está relacionado a fase de inteiração da modelagem. Como nas atividades desenvolvidas houve a necessidade de construir um modelo para responder o problema, o princípio da construção do modelo está intimamente relacionado às fases de inteiração e matematização da modelagem matemática. Além de os alunos avaliarem os modelos matemáticos, tendo em vista a situaçãoproblema, foi possível inferir que o princípio da auto-avaliação não influencia somente na fase de interpretação, mas também na inteiração, quando os alunos coletaram os dados e verificaram que esses dados não seriam suficientes para a análise do fenômeno. Além disso, foi possível verificar que os alunos expressaram o que estavam pensando por meio de registros, principalmente, eletrônicos e os vídeos gravados pelos grupos. Assim, o princípio da documentação do modelo envolve também todas as fases da modelagem matemática. Os princípios do modelo simples e generalização do modelo estão relacionados principalmente à fase de resolução das atividades de modelagem matemática. Durante o minicurso, devido às suas limitações, principalmente relacionadas ao tempo disponível, não foi possível explorar a resolução dessas atividades. As situações-problemas escolhidas pelos grupos, por envolver fenômenos físicos, se relacionam a modelos simples, estabelecidos na literatura, tais como lançamento de um projétil e queda livre, podendo ser estendidos a outras situações. Dessa forma, ficam evidenciadas principalmente nas fases de inteiração e matematização, características qualitativas do processo, que possuem caráter de estrutura 11

12 matemática (CIFUENTES; NEGRELLI, 2012) e estas influenciam diretamente na resolução das atividades de modelagem matemática. REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. M. W.; BRITO, D. S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação (UNESP), 11, 1-16, ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P.; VERTUAN, R E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, ALMEIDA, L. M. W.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Matemática. Modelagem Matemática em foco, p. 1-21, ÄRLEBÄCK, J.; DOERR, H. Moving beyond a single modelling activity. In: Mathematical Modelling in Education Research and Practice. Springer International Publishing, p , BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 3. ed. São Paulo: Contexto, BOGDAN, R. C.; BIKLEN, S. K. Investigações qualitativas em educação. Portugal: Porto Editora, BLOMHØJ, M.; KJELDSEN, T. Students reflections in Mathematical Modelling Projects. In: KAISER, G. et al. (ed.). Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling: International Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematical Modelling (ICTMA 14). New York: Springer, p , CIFUENTES, J. C.; NEGRELLI, L. Uma Interpretação Epistemológica do Processo de Modelagem Matemática: implicações para a matemática. Boletim de Educação Matemática, v. 26, n. 43, GODOY, A. S. Pesquisa Qualitativa: tipos fundamentais. Revista e Administração e Empresas. São Paulo, v. 35, n. 3, p , LESH, R.; CRAMER, K.; DOERR, H.; POST, T.; ZAWOJEWSKI, J. Model Development Sequences. In: Richard Lesh & Helen Doerr, (Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching. Mahwah: Erlbaum, LESH, R. Tools, Researchable Issues & Conjectures for investigating what it means to Understand Statistics (or Other Topics) Meaningfully. Journal of Mathematical Modelling and Application, Blumenau, v. 1, n. 2, p.16-48, SOUSA, B. N. P. A. A Matemática em atividades de modelagem matemática: uma perspectiva wittgensteiniana p. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) - Universidade Estadual de Londrina, UEL, Londrina,