C A P Í T U L O PARTÍCULAS

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1 C A P Í T U L O 9 DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 9. INTRODUÇÃO Até aqui, tratamos primeiramente nossos problemas dinâmicos em termos de uma única partícula. Ainda que tenhamos considerado grandes objetos como projéteis, foguetes e planetas, tendo sido possível tratá-los como partículas individuais. Generalizando, não trabalhamos com porções de partículas interagindo internamente entre si de forma a compor a extensão do corpo. Depois, quando tratamos da dinâmica de corpos rígidos, foi preciso que descrevessemos o movimento rotacional bem como o movimento de translação. Primeiramente extendemos nossa discussão para observar um sistema de n partículas. Estas partículas soltas puderam ser agregadas como, por exemplo, um monte de pedras ou um volume de moléculas de um gás para um corpo rígido em que as partículas constituintes estão impedidas de se moverem. Dedicamos a última parte do capítulo para um estudo da interação entre duas partículas (n = 2). Para o problema de três corpos (n = 3), a solução torna-se formidável. Frequentemente são usados métodos de perturbação, embora grandes progressos têm sido feitos mediante o uso de métodos numéricos com bons computadores. A Terceira Lei de Newton desempenha um papel proeminente na dinâmica de um sistema de partículas devido as forças internas entre as partículas do sistema. Precisamos fazer duas suposições relacionadas com as forças internas:. As forças exercidas por duas partículas e β mutuamente são equivalentes em magnitude e opostas em direção. Deixando f β representar a força na -ésima partícula devido à β-ésima partícula. A tão chamada forma fraca da Terceira Lei de Newton é f β = f β (9.) 2. As forças exercidas por duas partículas e β uma sobre a outra, além de existir igualdade e oposição podem encontrar-se numa linha reta ligando as duas partículas. Esta forma mais restrita da Terceira Lei de Newton, frequentemente chamada de forma forte, é mostrada na Figura 9-. Podemos relembrar cuidadosamente a aplicação da Terceira Lei de Newton. Relembrando a Seção 2.2 que a Terceira Lei de Newton nem sempre é válida para movimento de partículas carregadas; forças eletromagnéticas dependem da velocidade. Por exemplo, forças magnéticas exercidas 47

2 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS FIGURA 9- Exemplo de forças da Terceira Lei de Newton, onde as forças iguais e opostas entre duas partículas devem encontrar-se ao longo de uma linha reta ligando as duas partículas. A força é atrativa, como na atração molecular num sólido. no movimento de uma carga q num campo magnético B (F = qv B), obedecem a forma fraca, mas não a forma forte, da Terceira Lei. 9.2 CENTRO DE MASSA Considerando um sistema composto de n partículas, com cada massa das partículas descrita por m, onde é um índice de = até = n. A massa total do sistema é denotada por M, M = m (9.2) onde o somatório sobre (como em todos somatórios, defini-se em forma de indices Gregos) vai de = até = n. Um sistema semelhante é mostrado na Figura 9-2. Se o vetor conectando a origem com a -ésima partícula é r, então o vetor que define a posição do centro de massa do sistema é R = m r (9.3) M FIGURA 9-2 Os vetores posição das partículas, 2 e 3 no corpo são indicados, com o vetor R indicando a posição do Centro de Massa.

3 9.3. MOMENTO LINEAR DO SISTEMA Para uma distribuição contínua de massa, o somatório é representado por uma integral, R = r dm (9.4) M A localização do centro de massa de um corpo é definida de uma única forma, mas a posição do vetor R depende das coordenadas do sistema escolhidas. Se a origem na Figura 9-2 for escolhida em qualquer outra parte, o vetor R será diferente. 9.3 MOMENTO LINEAR DO SISTEMA Se um certo grupo de partículas constituem um sistema, então a força resultante atuando numa partícula dentro do sistema (declarada a -ésima partícula) é em geral composta de duas partes. Uma parte é a resultante de todas as forças cuja origem existe fora do sistema, esta é chamada de. A outra parte é a resultante das forças que surgem da interação de todas as outras n partículas com a -ésima partícula; esta é chamada de força interna, f. A força f é determinada pela soma vetorial de todas as forças individuais f β, força externa, F (e) f = β f β (9.5) onde f β representa a força na -ésima partícula devido a β-ésima partícula. A força total atuando na -ésima partícula é portanto F = F (e) + f (9.6) Igualmente, conforme relata a forma fraca da terceira lei de Newton, temos f β = f β A segunda lei de Newton para a -ésima partícula pode ser escrita como ṗ = m r = F (e) + f (9.7) ou d 2 dt 2 (m r ) = F (e) + β f β (9.8) Somando esta expressão sobre, temos d 2 dt 2 m r = F (e) + β f β (9.9) β

4 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS onde o termo = β não entra no segundo somatório do lado direito, porque f 0. O somatório no lado esquerdo produz apenas MR (ver Equação 9.3), e a derivada segunda no tempo é M R. O primeiro termo do lado direito é a soma de todas as forças externas e pode ser escrito como F (e) F (9.0) O segundo termo do lado direito da Equação 9.9 pode ser expresso como f β (f β + f β ) β β,β f β = <β a qual desaparece de acordo com a Equação 9.. Assim, temos o primeiro resultado importante que podemos expressar da seguinte maneira: M R = F (9.) I. O centro de massa do sistema em move-se como se fosse uma partícula única, de massa igual a massa total do sistema, produzido por uma força externa total, e independente da natureza das força internas (já que seguem elas seguem f ab = f ba, a forma fraca da segunda Lei de Newton). e O Momento Linear Total do sistema é P = m ṙ = d dt m r = d (MR) = MṘ (9.2) dt Ṗ = M R = F (9.3) Assim, o momento linear total do sistema é conservado se não existe força externa. Pelas Equações 9.2 e 9.3, notamos outros dois resultados importantes : II. III. O Momento Linear do sistema é o mesmo como se uma partícula única e a massa M está localizada no centro de massa e movendo-se conforme o centro de massa se move. O momento linear total de um sistema livre de forças externas é constante e igual ao momento linear do centro de massa (a lei de conservação do momento linear para um sistema). Todas as medidas devem ser feitas num sistema de referência inercial. Um exemplo do momento linear do sistema é dado pela explosão de uma bomba de artilharia acima do solo terrestre. Como a explosão é um efeito interno, a única força externa que afeta a velocidade do centro de massa é a gravidade. O centro de massa dos fragmentos da bomba imediatamente após a explosão devem continuar com a mesma velocidade da bomba antes da explosão. Esta equação pode ser verificada claramente calculando ambos os lados para um caso simples (e.g., n = 3). Ao final somando o simbolo médio soma sobre todo e β sujeitos a restrições < β. Note que podemos provar o desaparecimento de f β β β apelando para o seguinte argumento. Porque os somatórios são sobre e β, esses índices são mudos; em particular, podemos permutar e β sem afetar o somatório. Usando uma notação mais compacta, temos f β = f β Mas, por hipótese, f β = f β, portanto,β,β f β = β, β,β e se uma grandeza é igual ao seu negativo, ela é identicamente nula. f β

5 9.4. MOMENTO ANGULAR DO SISTEMA MOMENTO ANGULAR DO SISTEMA Freqüentemente é mais conveniente descrever o sistema por um vetor posição com respeito ao centro de massa. O vetor posição r num referencial inercial (veja Figura 9-3) é dado por FIGURA 9-3 r = R + r (9.9) onde r é o vetor posição da partícula com atenção no centro de massa. O Momento Angular da -ésima partícula que o origina é dado pela Equação 2.8: Somando esta expressão sobre, e usando a Equação 9.9 temos: L = L = (r p ) = L = r p a (9.20) (r m ṙ ) = = (r + R) m (ṙ + Ṙ) m [(r ṙ ) + (r Ṙ) + (R ṙ ) + (R Ṙ)] (9.2) Os dois meio termos, podemos escrever como: ( ) ( ) m r Ṙ + R d dt m r o qual é identicamente nulo porque m r = m (r R) = m r R m m r = MR MR 0 (9.22) Isto indica que m r especifica a posição do centro de massa do sistema de coordenadas do centro de massa e é por isso um vetor nulo. Deste modo, a Equação 9.2 fica L = MR Ṙ + r p = R P + r p (9.23) Nosso quarto importante resultado é

6 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS IV. O Momento Angular Total é quase um originado da soma do momento angular e do centro de massa relativamente originado e o momento angular do sistema relativo a posição do centro de massa. A derivada com relação ao tempo do momento angular da -ésima partícula é dado pela Equação 2.83, L = r ṗ (9.24) e, usando a Equação 9.3 temos L = r F (e) + β f β (9.25) Somando esta expressão na variável temos L = L = O último termo pode ser escrito como:,β (r f β ) = <β (r F (e) ) + (r f β ) (9.26),β [(r f β ) + (r β f β )] O vetor relacionado as -ésimas e β-ésimas partículas (ver Figura 9-6) é definido como e então, porque f β = f β temos,β (r f β ) = <β r β r r β (9.27) (r r β ) f β = <β(r β f β ) (9.28) Agora vamos limitar nossa discussão nas forças internas centrais e aplicar a versão forte da Terceira Lei de Newton. Portanto f β está ao longo da mesma direção que ±r β e r β f β 0 (9.29) e L = [r F (e) ] (9.30) O lado direito dado desta expressão é apenas a soma de todos os torques externos: L = N (e) = N (e) (9.3) Este é o nosso próximo resultado importante: V. A rede resultante de Torques Externos sobre um eixo dado desaparece, então o momento angular total do sistema sobre este eixo é constante no tempo. Observe também que o termo r f β (9.32) β

7 9.5. ENERGIA DO SISTEMA FIGURA 9-4 é o torque sobre a -ésima partícula devido a todas as forças internas isto é, é o torque interno. Como a soma sobre todas as partículas é nulo (veja Equação 9.28), f β ) =,β (r (r β f β ) = 0 (9.33) <β o torque interno total deve ser nulo, o qual podemos expressar da seguinte maneira VI. O torque interno total deve desaparecer se as forças internas forem centrais, isto é, se f β = f β, e o momento angular de um sistema isolado não pode ser alterado sem a aplicação de força externa. 9.5 ENERGIA DO SISTEMA O último teorema de conservação, o da energia, pode ser derivado para um sistema das partículas como segue. Considere o trabalho feito no sistema para movê-lo de uma Configuração, na qual todas as coordenadas r são especificadas, para uma Configuração 2, na qual as coordenadas r têm algumas especificações diferentes. (Observe que as partículas individuais podem apenas ser re-arranjadas em tal processo, e que, por exemplo a posição do centro da massa poderá permanecer estacionária.) Em analogia com Equação 2.84, escrevemos W 2 = F dr (9.34)

8 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS onde F é a força resultante líquida que age na partícula. Usando um procedimento similar àquele usadom para obter a Equação 2.86, temos W 2 = d( 2 m v 2 ) = T 2 T (9.35) onde T = T = 2 m v 2 (9.36) Usando a relação (veja a Equação 9.9) ṙ = ṙ + Ṙ (9.37) nós temos ṙ ṙ = v 2 = (ṙ + Ṙ) (ṙ + Ṙ) = (ṙ ṙ ) + 2(ṙ Ṙ) + (Ṙ Ṙ) = v 2 + 2(ṙ Ṙ) + V 2 onde v ṙ e V é a velocidade do centro da massa. Então T = = 2 m v 2 2 m v m V 2 + Ṙ d dt m r (9.38) Mas, por um argumento precedente, m r = 0, e o último termo desaparece. Assim, qual pode ser encunciado: T = 2 m v MV 2 (9.39) VII. A energia de cinética total do sistema é igual a soma da energia cinética de uma partícula da massa M que move-se com a velocidade do centro da massa e a energia cinética do movimento das partículas individuais relativo ao centro da massa. A seguir, a força total na Equação 9.34 pode ser separada como na Equação 9.6: W 2 = F (e) dr +,β f β dr (9.40) Se as forças F (e) e f β forem conservativas, então elas são deriváveis de funções potenciais, e podemos escrever F (e) f β = U = Ū β (9.4) onde U a e Ūβ são as funções potenciais mas que não têm necessariamente a mesma forma. A notação significa que a operação do gradiente é executada com o respeito às coordenadas da -ésima partícula.

9 9.5. ENERGIA DO SISTEMA O primeiro termo na Equação 9.40 torna-se O segundo termo na Equação 9.40 é,β f β dr = <β F (e) dr = = <β = U 2 ( U ) dr (9.42) (f β dr + f β dr β ) (9.43) f β (dr dr β ) = <β f β dr β onde, depois da definição na Equação 9.27, dr β = dr dr β. Como Ūβ é uma função somente da distância entre m e m β, dependerá conseqüentemente de seis quantidades isto é, as três coordenadas de m (o x,i ) e as três coordenadas de m β (o x β,i ). A derivada total de Ūβ é portanto a soma de seis derivadas parciais e é dado por dūβ = ( ) Ū β dx,i + Ūβ dx β,i (9.44) x i,i x β,i onde os x β,i são constantes no primeiro termo e x,i são constantes no segundo. Assim, dūβ = ( Ū β ) dr + ( β Ū β ) dr β (9.45) Agora mas Ūβ = Ūβ tal que Portanto, Ū β = f β (9.46) β Ū β = β Ū β = f β = f β (9.47) Usando este resultado na Equação 9.43, temos dūβ = f β (dr dr β ) = f β dr β (9.48) f β dr = <β dūβ = <β Ū β 2,β (9.49) Combinando as eequação 9.42 e 9.49 para obter W 2 na Equação 9.40, encontramos W 2 = 2 2 U Ū β <β (9.50) Observe que, ao contrário do termo,β f β que aparece na Equação 9.9, o termo f β dr,β é não anti-simétrica em e β e portanto, em geral, não desaparece.

10 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Obtivemos esta equação supondo que as forças externas e internas foram derivadas dos potenciais. Em tal caso, a energia potencial total (internas e externas) para o sistema pode ser escrita como U = U + <β Ū β (9.5) Então W 2 = U Combinando este resultado com a Equação 9.35, temos Ou tal que 2 T 2 T = U U 2 T + U = T 2 + U 2 = U U 2 (9.52) E = E 2 (9.53) que expressa a conservação de energia para o sistema. Este resultado é válido para um sistema em que todas as forças são deriváveis de potenciais que não dependem explicitamente do tempo; dizemos que tal sistema é conservativo. VIII. A energia total para um sistema conservativo é constante. Na Equação 9.5, o termo <β representa a energia potencial interna do sistema. Se o sistema é um corpo rígido com as partículas constituintes forçadas a manterem suas posições relativas, então, em cada processo envolvendo o corpo, a energia potencial interna permanece constante. Em tal caso, a energia potencial interna pode ser ignorada ao computar a energia potencial total do sistema. Esta quantidade simplesmente redefine a posição do zero para a energia potencial, mas esta posição é escolhida arbitrariamente de qualquer maneira; isto é, somente é a diferença na energia potencial que é fisicamente significativa. O valor absoluto da energia potencial é uma quantidade arbitrária. Ū β

11 9.6. COLISÃO ELÁSTICA DE DUAS PARTÍCULAS COLISÃO ELÁSTICA DE DUAS PARTÍCULAS No restante do capítulo, aplicaremos as leis de conservação para a interação entre duas partículas. Quando duas partículas interagem, o movimento de uma partícula relativo à outra é governado pela lei da força que descreve a interação. Esta interação pode resultar de um contato real, como na colisão de duas bolas de bilhar, ou a interação pode ocorrer por intermédio de um campo de forças. Por exemplo, um objeto livre (isto é, um objeto não ligado na órbita solar) pode ser espalhado pelo sol por uma interação gravitacional, ou uma partícula pode ser espalhada por um campo elétrico de um núcleo atômico. Demonstramos no capítulo anterior que uma vez conhecida a lei da força, o problema de dois-corpos pode ser completamente resolvido. Mas mesmo que a lei da força de interação entre duas partículas não seja conhecida, muito pode ainda ser aprendido sobre o movimento relativo somente usando os resultados da conservação do momento e da energia. Asssim, se o estado inicial do sistema é conhecido (isto é, se o vetor velocidade de ambas as partículas é especificado), as leis de conservação nos permitem obter informações sobre os vetores velocidade no estado final. Baseando-se somente nos teoremas da conservação, não é possível predizer, por exemplo, o ângulo entre os vetores velocidade inicial e final de uma das partículas; conhecimento da lei da força é requerido para tais detalhes. Nesta seção e na próxima, derivaremos estas relações que requerem somente conservação do momento e energia. Então, examinaremos características dos processos de colisão, os quais demandam que a lei da força seja especificada. Limitamos nossa discussão inicial nas colisões elásticas, porque a característica essencial da cinemática de duas partículas é adequadamente demonstrada por colisões elásticas. Os resultados obtidos sob tais suposições de conservação de momento e energia são válidos (na região de velocidades não-relativísticas) até para sistemas mecânico-quânticos, pois estes teoremas de conservação são aplicados tanto na mecânica quântica quanto clássica. Demonstramos para várias ocasiões que a descrição de muitos processos é consideravelmente simplificada se escolhermos um sistema de coordenadas em repouso com respeito ao centro de massa do sistema. No problema que agora discutimos a colisão elástica de duas partículas a situação usual (a qual concentramos nossa atenção) é aquela em que a colisão é entre uma partícula em movimento e uma em repouso. Apesar de ser realmente mais simples descrever os efeitos da colisão em um sistema de coordenadas em que o centro de massa está em repouso, as verdadeiras medidas são realizadas no sistema de referência do laboratório, no qual o observador está em repouso. Neste sistema, uma das partículas está normalmente se movendo, e a partícula golpeada está em repouso. Aqui nos referimos a estes dois sistemas de coordenadas simplesmente como sistemas CM e LAB. Desejamos tomar vantagens das simplificações resultantes em que descrevemos uma colisão elástica no sistema CM. Portanto, é necessário derivar as equações conectando os sistemas do CM e do LAB. Usamos a seguinte notação: { m = em movimento m 2 = Massa da partícula golpeada } O estado inicial do sistema é a condição das partículas quando elas não estão próximas o suficiente para interagir; o estado final é a condição após a interação ter ocorrido. Para uma interação de contato, estas condições são óbvias. Mas se a interação acontece em um campo de forças, então a taxa de diminuição da força com a distância deve ser levada em conta para especificar os estados inicial e final. Uma colisão é elástica se não existe variação na energia interna das partículas resultantes; portanto a conservação da energia pode ser aplicada sem restrições à energia interna. Observe que calor pode ser gerado quando dois corpos colidem inelasticamente. Calor é somente uma manifestação da agitação das partículas que constituem um corpo e pode ser então considerado como parte da energia interna. As leis que governam colisões elásticas de dois corpos foram primeiramente investigadas por John Wallis (662), Wren (668) e Huygens(669).

12 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Em geral, as grandezas iniciais referidas para o sistema CM: } u = Inicial velocidade de m v = Final no sistema LAB u = v = Inicial Final e similarmente para u 2, v 2, u 2 e v 2 (para u 2 = 0): T 0 = T 0 = e similarmente para T 2 e T 2, } velocidade de m no sistema CM Energia cinética inicial total no sistema { CM e LAB { } T = T = Energia cinética final de m no sistema CM e LAB V = velocidade do centro de massa no sistema LAB ψ = ângulo o qual m é defletido no sistema LAB ζ = ângulo o qual m 2 é defletido no sistema LAB θ = ângulo o qual m e m 2 são defletidos no sistema CM } FIGURA 9-0 A Figura 9-0 ilustra a geometria de uma colisão elástica em ambos os sistemas CM e LAB. O estado final nos sistemas CM e LAB para a partícula espalhada m pode ser convenientemente resumidos nos diagramas da Figura 9-. Podemos interpretar estes diagramas da seguinte maneira. Para a velocidade V do CM, podemos adicionar a velocidade final v da partícula espalhada. Assumimos que o espalhamento é axialmente simétrico tal que não é necessário o uso do ângulo azimutal. Entretanto, simetria axial não é sempre encontrada em problemas de espalhamento; isto é particularmente verdadeiro em certos sistemas quânticos.

13 9.6. COLISÃO ELÁSTICA DE DUAS PARTÍCULAS Dependendo do ângulo θ no qual o espalhamento acontece, o possível vetor v esta sobre o círculo de raio v cujo centro está no término do vetor V. A velocidade v do referencial LAB e seu ângulo de espalhamento ψ são então obtidos conectando o ponto de origem de V ao término de v. Se V < v, existe somente uma possível relação entre V, v, v e θ (veja a Figura 9-a). Porém se V > v então para cada grupo de V e v existem duas possibilidades para os ângulos de espalhamento e para as velocidades do laboratório: v,b, θ b e v,f, θ f (veja a Figura 9-b), onde os subscritos b e f designam para trás e para frente. Esta situação resulta do fato que a velocidade final v em CM é insuficiente para sobrepujar a velocidade V do centro de massa, então, mesmo que m seja espalhado para trás do referencial CM (θ > π/2), a partícula vai aparecer com um ângulo para frente no referencial LAB (ψ < π/2). Portanto, para V > v, a velocidade v no referencial LAB é uma função de duplo valor de v. Em um experimento usualmente medimos ψ, não o vetor velocidade v, então o único valor de ψ corresponde a dois valores diferentes de θ. Note, entretanto, que a especificação exata dos vetores V e v sempre levam a uma única combinação de v, θ; mas a especificação de V e somente a direção de v (isto é, ψ) nos possibilitam dois possíveis vetores finais, v,b e v,f, se V > v. FIGURA 9- Tendo dado uma descrição qualitativa dos processos de espalhamento, agora obtemos algumas equações em relação às várias grandezas. De acordo com a definição de centro de massa (Equação 9.3), temos Diferenciando em relação ao tempo, nós encontramos m r + m 2 r 2 = MR (9.60) m u + m 2 u 2 = MV (9.6) Mas u 2 = 0 e M = m + m 2 ; o centro de massa deve estar então movendo-se (no referencial LAB) em direção à m 2 com velocidade V = m u m + m 2 (9.62) Pela mesma razão, por m 2 estar inicialmente em repouso, a velocidade inicial para m 2 no referencial CM deve ser igual a V: u 2 = V = m u m + m 2 (9.63) Note, entretanto, que o movimento e velocidade são opostos em direção e portanto vetorialmente u 2 = V. A grande vantagem de se usar o sistema de coordenadas CM é porque o momento linear total em tal referencial é zero, tal que antes da colisão as partículas movem-se diretamente uma em direção à outra e após a colisão elas se movem exatamente em direções opostas. Se a colisão é

14 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS elástica, como especificamos, então as massas não mudam, e a conservação do momento linear e energia cinética é suficiente para provar que as velocidades inicial e final no referencial CM sejam iguais: u = v, u 2 = v 2 (9.64) O termo u é a velocidade relativa das duas partículas tanto no referencial CM quanto no LAB, u = u + u 2. Temos, portanto, para a velocidade final, v 2 = m u m + m 2 (9.65) v = u u 2 = m 2u m + m 2 e Temos (veja a Figura 9-a) v sin θ = v sin ψ (9.66) v cos θ + V = v cos ψ (9.66) Dividindo a Equação??a pela Equação??b, tan ψ = De acordo com as Equações 9.62 e 9.65b, (V/v ) é dado por v sin θ v cos θ + V = sin θ cos θ + (V/v ) (9.67) V v = m u /(m + m 2 ) m 2 u /(m + m 2 ) = m m 2 (9.68) Portanto a razão m /m 2 governa a Figura 9-a ou a Figura 9-b descrevendo o processo de espalhamento: Figura 9-a : V < v, m < m 2 Figura 9-b : V > v, m > m 2 Se combinarmos as Equações 9.67 e 9.68 e escrevemos tan ψ = sin θ cos θ + (m /m 2 ) (9.69) vemos que se m << m 2 os ângulos de espalhamento para os referenciais CM e LAB são aproximadamente iguais; isto é, a partícula m 2 é pouco afetada pela colisão com m e atua essencialmente como um centro fixo de espalhamento. Portanto ψ = θ, m << m 2 (9.70) Entretanto, se m = m 2, então Então tan ψ = sin θ cos θ + = tan θ 2 ψ = θ 2, m = m 2 (9.7) e o ângulo de espalhamento do referencial LAB é a metade do ângulo no referencial CM. Como o ângulo máximo assumido por θ é 80, a Equação 9.7 indica que para m = m 2 não pode haver espalhamento no referencial LAB para ângulos maiores que 90.

15 9.6. COLISÃO ELÁSTICA DE DUAS PARTÍCULAS Vamos agora utilizar a Figura 9-0c e construir um diagrama para a partícula m 2 que recua do mesmo tipo que a Figura 9-a. A situação é ilustrada na Figura 9-2 da qual encontramos v 2 sin ζ = v 2 sin θ (9.72) Dividindo a Equação??a pela Equação??b, obtemos tan ζ = v 2 cos ζ = V v 2 cos θ (9.72) v 2 sin θ V v 2 cos θ = sin θ (V/v 2 ) cos θ Mas de acordo a Equação 9.63 e 9.65a, V e v 2 são iguais, então, tan ζ = sin θ cos θ = cot θ 2 (9.73) FIGURA 9-2 a qual podemos escrever como tan ζ = tan ( ) π 2 θ 2 FIGURA 9-3 Portanto, 2ζ = π θ = φ (9.74) Para partículas, com massas iguais, m = m 2, nós temos θ = 2ψ. Combinando este resultado com a Equação 9.74, temos ζ + ψ = π 2, m = m 2 (9.75)

16 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Então, o espalhamento de partículas de massas iguais sempre produz um estado final em que os vetores velocidades das partículas estão em certos ângulos se uma das partículas em repouso (ver Figura 9-3). 9.7 CINEMÁTICA DAS COLISÕES ELÁSTICAS Relações envolvendo as energias das partículas podem ser obtidas como segue. Primeiramente, temos simplesmente e, no sistema de CM, a qual, usando as Equações 9.65a e 9.65b, fica T 0 = 2 m u 2 (9.78) T 0 = 2 (m u 2 + m 2 u 2 2 ) T 0 = m m 2 u 2 m 2 = T 0 (9.79) 2 m + m 2 m + m 2 Este resultado mostra que a energia cinética inicial no sistema do CM T 0 é sempre uma fração m 2 /(m + m 2 ) < da energia inicial do LAB. Para as energias finais do CM, encontramos T = 2 m v 2 = ( ) 2 ( ) 2 2 m m2 u 2 m2 = T 0 (9.80) m + m 2 m + m 2 e Para obter T em termos de T 0, escrevemos T 2 = 2 m 2v 2 2 = ( ) 2 m u 2 m m 2 = 2 m + m 2 (m + m 2 ) 2 T 0 (9.8) T T 0 = 2 m v 2 2 m u 2 = v2 u 2 Consultando a Figura 9- e usando a lei do coseno, podemos escrever (9.82) ou v 2 = v 2 + V 2 2v V cos ψ T T 0 = v2 u 2 = v 2 u 2 V 2 u v V u 2 cos ψ (9.83) Este resultado é válido somente para o limite não-relativístico; veja a Equação 4.3 para a expressão no caso relativístico.

17 9.7. CINEMÁTICA DAS COLISÕES ELÁSTICAS Das definições precedentes, temos v u = m 2 m + m 2 and V u = m m + m 2 (9.84) Os quadrados destas quantidades dão as expressões desejadas para os primeiros dois termos no lado direito da Equação Para avaliar o terceiro termo, escrevemos, usando a Equação 9.66a 2 v ( ) V u 2 cos ψ = 2 v cos θ V sin ψ u 2 cos ψ (9.85) A quantidade v V/u 2 pode ser obtido do produto das equações na Equação 9.84, e usando a Equação 9.69, temos sin θ cos ψ = sin θ sin ψ tan ψ = cos θ + m m 2 de modo que cos ψ = 2m ( m 2 (m + m 2 ) 2 cos θ + m ) m 2 2 v V u 2 Substituindo as Equações 9.84 e 9.86 na Equação 9.83, obtemos T T 0 = o qual simplifica para ( m2 m + m 2 ) 2 ( m m + m 2 ) 2 + 2m m 2 (m + m 2 ) 2 ( cos θ + m ) m 2 (9.86) T = 2m m 2 ( cos θ) (9.87) T 0 (m + m 2 ) 2 Similarmente, podemos também obter a relação T /T 0 em termos do ângulo de espalhamento do LAB ψ: 2 (m2 T m 2 ) 2 = cos T 0 (m + m 2 ) 2 ψ ± sin 2 ψ (9.87) onde, o sinal positivo (+) para a raiz deve ser considerado a menos que m > m 2 no caso do resultado ser avaliado duplamente, e a Equação?? especifica o valor máximo permitido para ψ. A energia do LAB da partícula recolhida m 2 pode ser calculado de Se m = m 2, temos a relação simples m T 2 T 0 = T T 0 = 4m m 2 (m + m 2 ) 2 cos2 ξ, ξ π/2 (9.88) T T 0 = cos 2 ψ, m = m 2 (9.89) com a restrição considerada na discussão que segue a Equação 9.7 que ψ 90. Também, T 2 T 0 = sin 2 ψ, m = m 2 (9.89) Outras relações adicionais são m T sin ξ = sin ψ m 2 T 2 (9.90) sin 2ξ tan ψ = (m /m 2 ) cos 2ξ (9.9) sin φ tan ψ = (m /m 2 ) cos ψ (9.92)

18 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Como um exemplo da aplicação das relações da cinemática que derivamos, consideramos a seguinte situação. Suponha que temos um feixe dos projéteis, todos com massa m e energia T 0. Dirigimos este feixe contra um alvo que consiste em um grupo das partículas cujas massas m 2 não são todas iguais. Algumas das partículas incidentes interagem com as partículas do alvo e são espalhadas. Todas as partículas incidentes se movem no mesmo sentido em um feixe de área de seção transversal pequena, e supomos que as partículas estão localizadas no espaço de modo que as partículas espalhadas emerjam de uma região pequena. Se posicionarmos um detector por exemplo em 90 em relação ao feixe incidente e medir as energias das partículas espalhadas, podemos indicar os resultados como na parte baixa da Figura 9-5. Este gráfico é um histograma que traça o número das partículas detectadas dentro de uma escala da energia T na energia T. Este histograma de partículas mostra que três grupos de energia foram observados nas partículas detectadas em ψ = 90. A parcela superior da figura mostra uma curva que dá a energia espalhada T em termos de T 0 como função da relação m 2 /m (Equação 9.87). A curva pode ser usada para determinar a massa m 2 da partícula das quais as partículas incidentes foram espalhada para cair em um dos três grupos de energia. Assim, o grupo de energia com T = 0, 8T0 resulta na dispersão das partículas do alvo com massa m 2 = 0m, e outras massas do alvo resultam de dois grupos 5m e 2m. FIGURA 9-5 A medida das energias de partículas espalhadas são conseqüentemente um método de análise qualitativa do material do alvo. Certamente, este método é útil na pratica quando o feixe de partícula incidentes consiste de partículas (prótons, p.ex.) que possuem velocidades elevadas num acelerador deste tipo. Se o detector for capaz de medidas precisas da energia, o método produz informações precisas a respeito da composição do alvo. As análises quantitativas podem também ser feitas das intensidades dos grupos se as seções de choque forem conhecidas (veja a seguinte seção). Aplicar esta técnica foi útil na determinação da composição da poluição do ar.

19 9.8. AS COLISÕES INELÁSTICAS FIGURA AS COLISÕES INELÁSTICAS Quando duas partículas interagem, muitos resultados são possíveis, dependendo das forças envolvidas. Nas seções precedentes, restringimos às colisões elásticas. Mas, no geral, multipartículas podem ser produzidas se grande mudanças de energia são envolvidas. Por exemplo, quando um próton colide com algum núcleo, energia pode ser liberada. Além disso, o próton pode ser absorvido, e a colisão pode produzir um nêutron ou uma partícula alfa. Todas estas possibilidades são tratadas com os mesmos métodos: a conservação de energia e do momento linear. Continuamos a restringir nossas considerações às mesmas partículas no sistema final como foram consideradas no sistema inicial. No geral, a conservação de energia é Q = 2 m u m 2u 2 2 = 2 m v m 2v 2 2 (9.03) onde Q é chamado o valor Q e representa a perda ou ganho de energia na colisão. Q = 0: Q > 0: Q < 0: Colisão elástica, energia cinética é conservada. Colisão de Exoérgica, há ganho de energia cinética. Colisão Endoérgica, há perda de energia cinética. Uma colisão inelástica é exemplo de uma colisão endoérgica. A energia cinética pode ser convertida em massa-energia, como por exemplo, em uma colisão nuclear. Ou pode ser perdida como a energia de calor, como por exemplo, por forças de atrito em uma colisão. As colisões de todos os corpos macroscópicos são endoérgicas (inelásticas) em algum grau. Duas esferas com massas iguais e velocidades que colidem frontalmemnte podem parar completamente, uma colisão totalmente inelástica. Mesmo duas bolas de bilhar que colidem não conservam completamente a energia cinética, uma pequena fração da energia cinética inicial são convertidas em calor. Uma medida da inelasticidade de dois corpos que colidem, pode ser considerada consultando a uma colisão (frontal) central direta (veja Figura 9-7) em que nenhuma rotação é envolvida (somente energia cinética translacional). Newton encontrou experimentalmente que a relação de velocidades iniciais relativas às velocidades finais relativas era quase constante para todos os corpos. Esta relação, chamada o coeficiente do restituição (ε), é definido por ε = v 2 v u 2 u (9.04) Isto é chamado às vezes regra de Newton. Para uma colisão perfeitamente elástica, ε = ; e para uma colisão totalmente inelástica, ε = 0. Valores de ε tem os limites 0 e.

20 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS FIGURA 9-7 Devemos ter cuidado ao aplicar a Equação 9.04 às colisões oblíquas, porque a regra de Newton se aplica somente aos componentes da velocidade ao longo da normal (aa ) ao plano do contato (bb ) entre os dois corpos como mostrado em Figura 9-8. Para superfícies lisas, os componentes da velocidade dificilmente mudam para a colisão ao longo do plano do contato. FIGURA 9-8

21 9.9. SEÇÕES DE CHOQUE Durante uma colisão (elástica ou inelástica), as forças envolvidas podem agir durante um período de tempo muito curto e são chamadas forças impulsivas. Um martelo que golpeia um prego e duas esferas de bilhar que colidem são exemplos de forças impulsivas. A segunda lei de Newton é ainda válida durante todo o período de tempo t da colisão: F = d (mv) (9.08) dt Após multiplicar por dt e integrando, temos t2 t Fdt = mv mu P (9.09) onde t = t 2 t e u, v representa as velocidades antes e depois da colisão, respectivamente. A Equação 9.09 define o impulso P. O impulso pode ser medido experimentalmente pela variação do momento. Um impulso ideal representado por nenhum deslocamento durante a colisão seria causado por uma força infinita que age durante um instante de tempo infinitesimal. 9.9 SEÇÕES DE CHOQUE Nas seções precedentes, derivamos os vários relacionamentos que conectam o estado inicial de uma partícula em movimento com os estados finais da partícula original e da partícula golpeada. Somente relações cinemáticas foram envolvidas; isto é, nenhuma tentativa foi feita de predizer um ângulo de espalhamento ou a velocidade final somente equações conectando estas quantidades foram obtidas. Olhamos agora mais de perto o processo da colisão e investigaremos o espalhamento num evento que as partículas interagem com um campo específico de força. Considere a situação descrita na Figura 9-20, que ilustra tal colisão no sistema de coordenada do laboratório (LAB) quando uma força repulsiva existe entre m e m 2. A partícula m aproxima-se das cercanias de m 2 de tal maneira que se não houver nenhuma força que age entre as partículas, m passaria m 2 com uma distância de aproximação b. A quantidade b é chamada de parâmetro do impacto. Se a velocidade de m é u, então o parâmetro b do impacto especifica claramente o momento angular L da partícula m em trono de m 2 : L = m u b (9.4) Podemos expressar u nos termos da energia incidente T 0 usando a Equação 9.78: L = b 2m T 0 (9.5)

22 / DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS FIGURA 9-20