SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: ENFOQUE

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1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: ENFOQUE NO ENSINO MÉDIO Letícia Maria Messias CARDOZO 1 letmarsil@gmail.com COLÉGIO ESTADUAL VÁRZEA DA ALEGRIA - BELFORD ROXO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA/UERJ Augusto Cesar de Castro BARBOSA accb@ime.uerj.br INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA/UERJ Marcus Vinicius Tovar COSTA mvtc@uerj.br INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA/UERJ RESUMO Este trabalho trata do ensino de Sistemas de Equações Lineares (SEL) em sala de aula, a partir de situaçõesproblema relacionados à realidade dos discentes do 3º ano do Ensino Médio de uma escola da rede pública do Estado do Rio de Janeiro. Antes do início das atividades práticas, que envolveu aplicações, principalmente, à Física, o tema foi apresentado em sua formulação teórica aos alunos e a relação deste com outras áreas da ciência. Durante as aplicações, procurou-se auxiliar os alunos na compreensão dos conceitos e na resolução dos problemas por meio de atividade que pudessem ter significado para eles. Metodologicamente, a aplicação das atividades foi realizada em duas turmas, ambas do 3º ano do Ensino Médio. As turmas foram divididas em grupos. Cada turma recebeu uma atividade distinta: uma turma recebeu problemas com enunciados formulados a partir do método tradicional, enquanto a outra recebeu problemas com enunciados formulados de forma contextualizada. Os resultados encontrados demonstraram que a abordagem contextualizada não foi útil para que os alunos tivessem menos dificuldade na resolução dos exercícios propostos. PALAVRAS-CHAVE: Sistemas de Equações Lineares - Ensino Médio - Aplicações da Matemática. 1 Parte do trabalho de conclusão do curso de Especialização em Aprendizagem em Matemática do IME/UERJ 1

2 INTRODUÇÃO No âmbito escolar, o ensino da Matemática no Brasil tem sofrido diversas modificações, sejam de ordem curricular, ou de caráter metodológico. Muitas dessas mudanças, ocorridas mais recentemente, foram motivadas pelos baixos índices alcançados pelo Brasil em avaliações internacionais de desempenho em Matemática como, por exemplo, o PISA (Programa Internacional de Avaliação dos Alunos). Segundo o resultado do PISA, realizado em 2012, o Brasil se encontra bastante abaixo da média internacional no que se refere às habilidades na compreensão e resolução de problemas relacionados à Matemática, o que o leva a ocupar um lugar entre a 57ª e a 60ª posições em um ranking que envolve 65 países. De forma geral, o Brasil encontra-se em posições abaixo das médias internacionais em todas as disciplinas avaliadas. No dia a dia das escolas brasileiras, sobretudo as públicas, a realidade não parece distante desses índices. Existem diversos fatores que contribuem para a formação de ambiente negativo, no que diz respeito às condições adequadas para um aprendizado efetivo. Dentre os fatores, podemos destacar: salas de aula superlotadas, professores desmotivados e desanimados, alunos indisciplinados e desinteressados, falta de equipamentos e recursos, violência contra o professor, bullying e estrutura física em mal estado de conservação. Diante desses problemas e dos baixos índices citados acima, ao longo dos anos, muitos professores têm buscado por transformações no ensino da Matemática, começando pela sua própria sala de aula, pela reflexão e reorganização da sua prática docente. Objetivando atrair a atenção e interesse do aluno para a Matemática. Buscando melhorar sua aprendizagem, alguns professores têm lançado mão de uma metodologia de ensino que utiliza a aplicação de situações-problema ou de atividades práticas (POLYA, 1995), que relacionam os conteúdos matemáticos ao cotidiano do aluno (RIBEIRO, 2010). Acreditamos que uma escolha adequada da metodologia, por parte dos professores, é fundamental para a aprendizagem do aluno, com maiores chances de atrair sua atenção e estimulá-lo ao estudo. Dessa forma, sugerimos neste trabalho uma dinâmica que envolve a aplicação do conteúdo de Sistemas de Equações Lineares (SEL), atrelando-o a outras áreas do conhecimento, tais como a Física e a Química. Além disso, procurou-se apresentar as definições e os principais teoremas do tema abordado, ressaltando os seus aspectos históricos. Tentou-se, dessa forma, relacionar o conteúdo à realidade do alunato, tornando a sua aprendizagem mais significativa. 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Os primeiros registros de uso dos Sistemas de Equações Lineares surgiram no Oriente, mais especificamente na China Antiga. Sabe-se, por exemplo, que os chineses representavam os sistemas lineares através de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro, descobrindo, assim, o método de resolução por eliminação o qual corresponde à anulação de coeficientes por intermédio de operações elementares. Outros registros dão conta de que os Sistemas de Equações Lineares originaram-se de estudos aprofundados da Álgebra Linear, iniciados no Egito antigo e na Babilônia. Nesse sentido, não é incomum encontrarmos a Álgebra Linear definida como um ramo 2

3 da matemática que surgiu do estudo detalhado de Sistemas de Equações Lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais (ANTON; RORRES, 2001). Alguns documentos egípcios, como o Papiro Moscou e o Papiro Rhind, são datados de 1850 a.c. e 1650 a.c. Segundo Ferreira e Nogueira (2009), alguns indícios apontam para o surgimento da Álgebra na Babilônia por volta de 1700 a.c. Com uma Álgebra mais sofisticada que a dos egípcios, os babilônios conseguiam resolver várias equações com coeficientes numéricos. Os SEL (ANTON, 2001) são apresentados aos alunos no 8º ano do Ensino Fundamental, como sugerido nas Diretrizes Curriculares de Matemática. Nas aulas dedicadas a esse tópico, os docentes recordam e aprofundam o que já foi estudado na série anterior sobre os sistemas de equações com uma incógnita, além de recordar os conteúdos básicos de álgebra. No estudo dos SEL, no Ensino Médio (DANTE, 2010), além da revisão feita dos conteúdos apresentados no Ensino Fundamental, como já mencionamos, diversas situações-problema relacionadas ao cotidiano do aluno devem ser abordadas. Os SEL desempenham um importante papel no estudo da Álgebra Linear, normalmente ligado aos conceitos de subespaços gerados, independência linear e transformações lineares (LAY, 2007; LIPSCHUTZ, 1972). No Ensino Médio (FILHO, 2003), especificamente, os SEL estão ligados a outros conteúdos da Matemática como o estudo das matrizes e determinantes. No caso da inversão de uma matriz quadrada de ordem n, por exemplo, temos de obter n² incógnitas, resolvendo n sistemas de n equações a n incógnitas cada um (IEZZI,1977). Os determinantes em geral são introduzidos para verificação se o SEL dado possui solução única e também na busca de sua solução através da regra de Cramer. Problemas em Física podem ser utilizados como aplicações interessantes dos SEL. Um bom exemplo pode ser conseguido no estudo básico de eletricidade (CALÇADA, 2005), quando temos circuitos elétricos com mais de uma malha. Uma situação comum é aquela em que são conhecidos os valores das voltagens e os valores das resistências e necessita-se determinar as correntes. Através da aplicação das leis de Kirchoff obtemos um SEL cuja solução fornece os valores das correntes procurados. Outra aplicação no campo da Física consiste na utilização de um SEL no estudo do Movimento Uniforme (CALÇADA, 1985). O Movimento Uniforme é aquele que ocorre quando um corpo percorre distâncias iguais em tempos iguais. O tipo de equação abordada nesta aplicação é o da função horária, em que a posição do corpo tem uma relação linear com o tempo. Em diversos problemas, como na eletricidade, temos que encontrar a solução através da resolução de um SEL. No campo da Química, também encontramos interessantes aplicações de SEL, em que este é utilizado como um instrumento para resolver questões que envolvem fenômenos químicos como, por exemplo, no balanceamento de equações químicas. Toda reação química corresponde à transformação de algumas substâncias em outras. Conservando a quantidade de elementos que compõe essas substâncias e balanceando a reação química, determinamos os coeficientes de uma equação química. Uma equação química está balanceada quando a quantidade de átomos de cada elemento dos reagentes é igual à quantidade de átomos do elemento do produto de reação. Para realizar o balanceamento, temos que colocar um número de átomo de cada elemento denominando coeficiente estequiométrico antes dos símbolos. Com isso, utilizamos os sistemas de equações lineares 3

4 para calcular os coeficientes de equações químicas de modo que fiquem balanceadas (DANTE, 2010, RIBEIRO, 2010). 2. OBJETIVOS DO EXPERIMENTO A aplicação de conteúdos matemáticos escolares, a partir de trabalhos práticos em sala de aula, que se relacionam com o cotidiano do alunado, ganha, cada vez mais, uma maior relevância no ensino de Matemática. A partir da aplicação de um determinado conteúdo, a atividade ganha significado para os discentes, o que deve facilitar a compreensão dos conceitos e favorece a resolução de problemas. Dessa forma, a Matemática ganha uma maior relevância e passa a cumprir melhor o seu papel na formação integral do aluno. O foco desta experiência estava voltado para a motivação do trabalho em grupo, de forma que ocorresse uma troca de conhecimento para as resoluções de problemas. Além disso, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) (MEC, 1997), pretendeu-se sugerir um trabalho coletivo em que se supôs que os alunos: cooperassem entre eles para solucionar uma situação proposta a partir de um consenso estabelecido; explicitassem o próprio pensamento e tentar entender o pensamento do próximo; discutissem as dúvidas, assumindo as soluções dos outros e persistindo na tentativa de construir as próprias idéias; incorporassem soluções alternativas, reestruturando e ampliando a compreensão dos conceitos nas situações, de forma a desenvolver o aprendizado. Os objetivos a serem atingidos estão relacionados às habilidades e às competências do discente. Assim, procurou-se estimular uma aprendizagem que favorecesse a autoconfiança, a organização do pensamento, as parcerias e a formação de lideranças. No entanto, o principal objetivo é mostrar que a abordagem contextualizada de um determinado tópico de Matemática no Ensino Médio pode levar o aluno a um estado de prontidão mais adequado no processo de aprendizagem, caracterizado por uma maior motivação e interesse na aquisição dos conteúdos. Para o professor, acreditamos que o ensino da Matemática pode se tornar, dentro desta perspectiva, em algo mais motivador e prazeroso. Por outro lado, o método tradicional é caracterizado pela ênfase no cálculo. Por esse método, a dificuldade dos alunos parece contínua e a solução dos problemas, abstrata. Com isso, o ensino da matemática pode tornar-se algo desestimulante, que se distancia da realidade do aluno. Acreditamos que a contextualização de problemas matemáticos, por intermédio de situações-problema, pode ser considerada como um elo entre a sala de aula e o cotidiano do alunato. Desta forma, transformando a aprendizagem da matemática em algo mais significativo e mais estimulante para o aluno, e o ensino da matemática em algo mais motivador e prazeroso para o professor. Nesse sentido, uma reformulação das orientações curriculares de matemática, a partir das novas tecnologias, adequando os nossos currículos à realidade dos estudantes pode trazer melhorias para o ensino, tornando as aulas de matemáticas mais atrativas estes. 4

5 3. METODOLOGIA Polya (POLYA, 1995) apresenta quatro passos necessários para que haja sucesso na resolução de problemas. O primeiro passo consiste em ler o problema e entendê-lo, pois ninguém conseguiria aplicar qualquer processo de resolução de problema, sem seu entendimento. Esse passo é fundamental para que os demais sejam aplicados. Já o segundo passo é o estabelecimento de um plano, ou seja, é a tradução do problema para a linguagem simbólica da Matemática. O terceiro passo envolve a execução do plano elaborado - os cálculos matemáticos. Por fim, o quarto passo é o exame da solução obtida, ou seja, a análise desta, assim como o teste da solução. As atividades mencionadas foram realizadas no Colégio Estadual Várzea da Alegria, localizado no município de Belford Roxo, rua Cromita s/n, bairro Várzea da Alegria/Wonna. As turmas participantes desta experiência foram as do 3º ano do Ensino Médio do turno da manhã 3001 (doravante turma A) e 3002 (doravante turma B). O experimento foi realizado em três aulas de 50 minutos. Como SEL são, em geral, estudados na segunda série do ensino médio, nestas turmas, as aulas tiveram a revisão como característica principal. Na primeira aula, foi feita a revisão de todos os conteúdos relacionados ao tópico selecionado. A segunda aula foi dedicada à resolução de uma bateria de exercícios complementares. Participaram da atividade 52 alunos das duas turmas mencionadas, formando grupos de 4 participantes. Quanto ao material utilizado, foi necessário um projetor de multimídia, notebook, folhas com as questões. Na turma A, composta de 7 grupos de 4 alunos, os conteúdos foram apresentados de forma contextualizada (RIBEIRO, 2010; DANTE, 2010), isto é, os problemas abordados envolviam aplicações à Física (CALÇADA, 1985), Química e outros conteúdos da própria Matemática como, por exemplo, Matemática Financeira e Progressões (BONJORNO, 1992). A turma B era composta de 6 grupos de 4 alunos e o trabalho foi desenvolvido da forma tradicional, ou seja, optou-se pela apresentação formal do conteúdo, seguido de exercícios de fixação com aplicação direta dos conceitos estudados. A terceira aula foi dedicada à avaliação e foi constituída por um conjunto de problemas para serem resolvidos em 50 minutos. Na turma A, as questões abordaram diversos conteúdos das áreas de Física (CALÇADA, 2010) e Química, que necessitavam de SEL para a sua solução; enquanto que na turma B, as questões seguiram o padrão adotado nas duas primeiras aulas. Vale mencionar que cada grupo buscava a solução dos problemas de forma independente dos demais e, após a resolução, discutiam as dificuldades encontradas na busca da solução. Desta forma, pode-se constatar que houve um bom envolvimento dos alunos, das duas turmas, na atividade proposta. A opção pelo trabalho em grupo se justifica pelo nosso entendimento quanto à adequação da aprendizagem colaborativa no presente trabalho. A aprendizagem colaborativa pode ser entendida como um recurso pedagógico, onde os envolvidos trabalham, organizados em grupos, na execução uma atividade previamente elaborada, com o apoio do professor que atua como mediador no desenvolvimento da tarefa. Com esta opção na dinâmica dos trabalhos, pretendemos que os alunos estivessem envolvidos na aquisição do conteúdo através da interação com os seus pares, de forma a que se promovesse também a socialização 5

6 durante a execução da tarefa. O sucesso no envolvimento da tarefa por parte dos alunos que mencionamos se deve, principalmente, a este tipo de abordagem. 4. ANÁLISE DOS RESULTADOE E CONSIDERAÇÕES FINAIS A tabela 1 mostra os resultados referentes à turma A que, como mencionamos, contou também com a participação de 28 alunos na avaliação, onde os conteúdos foram contextualizados. Observamos um desempenho que podemos considerar ruim por parte dos alunos, ficando a média da turma em aproximadamente 3,4, em uma avaliação que valia 10,0. A tabela 2, diz respeito às atividades desenvolvidas na turma B, com 24 alunos também participando da avaliação. Vale lembrar que, nesta turma, a tarefa envolveu problemas que foram abordados através do método tradicional. Observamos nesta turma também um desempenho ruim, com a média da turma em torno de 4,6. Este resultado, em um primeiro momento nos surpreendeu, uma vez que esperávamos um melhor desempenho da turma A. No entanto, apesar de ser ruim, o desempenho da turma B está absolutamente dentro da média que era esperada. Questões Conteúdos Verificados além de Equações do 1º grau Número de alunos que acertaram a questão % Acertos 1 Progressões Aritméticas 20 71,43 2 Matemática Financeira 4 14,28 3 Leis de Newton 8 28,57 4 Movimento Retilíneo Uniforme 16 57,14 Tabela 1 - Resultados obtidos na avaliação, em relação número de acertos por alunos e por questão - Turma A. Os resultados indicam uma significativa diferença no ensino de SEL quando comparamos as duas metodologias. As dificuldades dos alunos são, aproximadamente, as mesmas, em ambas as turmas, no que diz respeito ao aprendizado de SEL. No entanto, quando tentamos tornar a aprendizagem da Matemática mais significativa para o aluno, levando-se em conta seu cotidiano, esbarramos em outro problema de mais difícil solução: o baixíssimo conhecimento relacionado às outras disciplinas e aos pré-requisitos dentro da própria Matemática. Questões Conteúdos Verificados 4 SEL - método da adição 20 83,3 Tabela 2 - Resultados obtidos na avaliação, em relação número de acertos por alunos e por questão - Turma B. 6 Número de alunos que acertaram a questão % Acertos 1 SEL - método da substituição SEL - determinantes 20 83,3 3 SEL - matrizes 4 16,6

7 Vale ressaltar que, apesar dos resultados, durante a execução de todo o trabalho, houve a preocupação de se considerar os problemas relacionados com o déficit de conhecimento dos conteúdos necessários para o estudo de SEL dos alunos da turma A. No entanto, constatou-se que o tempo empregado para todo o trabalho de revisão foi insuficiente, dadas as enormes deficiências na área das Ciências Naturais. A falta de conteúdo verificada na atividade foi mais bem compreendida quando tomamos conhecimento do pouco tempo que os alunos tiveram em contato, por exemplo, com as disciplinas de Física e Química, devido à falta de professores nestas disciplinas nos dois primeiros anos do Ensino médio. Por outro lado, estamos convencidos de que a contextualização de problemas matemáticos por intermédio de situações-problema pode ser considerada como um elo entre a sala de aula e o cotidiano do aluno, transformando a aprendizagem da Matemática em algo mais significativo e estimulante. No entanto, parte da realidade em que se encontra o aluno, muitas vezes, acaba por dificultar o seu sucesso na aprendizagem. Isto é, de muito pouco adianta relacionar um tópico de Matemática com seu dia a dia se os elementos envolvidos, pertencentes a outras áreas do conhecimento além da Matemática, são muito pouco conhecidos ou completamente desconhecidos. Neste contexto, em vez desta proposta se tornar um método facilitador da aprendizagem, ela passa a trazer uma dificuldade adicional tornando todo o processo ensino/aprendizagem ainda mais complexo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy. Matemática 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. 2: ensino médio. São Paulo: FTD, CALÇADA, Caio Sérgio; SAMPAIO, José Luiz. Física clássica: Cinemática. São Paulo: Atual, CALÇADA, Caio Sérgio; SAMPAIO, José Luiz. Universo da física 3: ondulatória, eletromagnetismo, física moderna. 2. ed. São Paulo: Atual, DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 2: ensino médio. São Paulo: Ática, DE CASTRO BARBOSA e A. C., CONCORDIDO, C. F. R., Ensino Colaborativo em Ciências Exatas. Ensino, Saúde e Ambiente, v.2, n.3, p 60-86, FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula. 2: ensino médio. São Paulo: FTD, IEZZI, Gelson et al., Matemática: ciência e aplicações. 2: ensino médio. São Paulo: Saraiva, LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações; tradução Ricardo Camelier, Valéria de Magalhães Iório. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC,

8 LIPSCHUTZ, Seymour. Schaum s Outline of Theory and Problems of Linear Álgebra; tradução Roberto Ribeiro Baldino. 2. Ed revisada. Rio Grande do Sul: McGRAW-HILL DO BRASIL LTDA, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA, SECRETÁRIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática/ Secretária de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método matemático; tradução e adaptação Heitor Lisboa de Araujo. 2: reimpr. Rio de Janeiro: Interciência, RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. 2: ensino médio. São Paulo: Scipione, SALVADOR, Edgard; USBERCO, João. Química Volume Único, 9ª ed., São Paulo: Saraiva,