Estudo comparativo da probabilidade de ruína da queda de blocos em túneis escavados em rocha

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1 Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura Conferência Especializada ISRM Setembro 2014 CBMR/ABMS e ISRM, 2014 Estudo comparativo da probabilidade de ruína da queda de blocos em túneis escavados em rocha Raphael Maia Soares Bureau de Projetos e Consultoria LTDA, São Paulo, Brasil, bureau@bureauprojetos.com.br Dimas Betioli Ribeiro Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil, dimasbetioli@gmail.com Marcos Massao Futai Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil, futai@usp.br RESUMO: O aumento do uso do espaço subterrâneo tem exigido o desenvolvimento de soluções de engenharia com o intuito de se construir estruturas que garantam os anseios mínimos da sociedade. A segurança de túneis em rocha, durante sua construção, quase sempre é avaliada através da filosofia dos fatores de segurança global. Este trabalho analisa e retifica a necessidade de incluir além das análises determinísticas, as estimativas das probabilidades da queda de blocos de túneis escavados em maciços rochosos. Foram realizadas analises de confiabilidade de primeira ordem (FOSM e FORM) a fim de se estimar o nível de segurança de uma escavação realizada para túneis ferroviários da década de As análises elaboradas comprovaram que nem sempre a adoção de valores de fator de segurança considerados aceitáveis, conduz a valores adequados da probabilidade de ruína confirmando a necessidade da adoção de métodos mais sofsticados de análise da segurança das escavações em maciços rochosos e a crescente necessidade da avaliação dos riscos envolvidos. PALAVRAS-CHAVE: Túneis em rocha, análise de confiabilidade de primeira ordem, índice de confiabilidade, riscos em obras subterrâneas. 1 INTRODUÇÃO A crescente demanda por obras subterrâneas, instaladas em maciços rochosos, tem exigido criteriosos e sofisticados métodos de avaliação da segurança de obras, tais como túneis, cavernas e barragens. Tradicionalmente, o dimensionamento e consequentemente a avaliação da segurança de estruturas geotécnicas são elaborados de maneira determinística, empregando-se valores médios dos parâmetros que governam a estabilidade das escavações e consequentemente a segurança da estrutura é avaliada através das experiências de obras similares anteriores e do fator de segurança médio. Essa abordagem de projeto não considera, explicitamente, a natural variabilidade das propriedades dos maciços rochosos, as probabilidades de falha envolvidas e consequentemente, pode conduzir a projetos ora antieconômicos ora com maiores riscos aos envolvidos direta e indiretamente no projeto. Dentro deste contexto, diversos túneis em rocha não revestidos, para ferrovias construídos entre 1940 e 1980 vem apresentando problemas de estabilidade, ocorrendo queda de blocos por vezes paralisando a operação da linha. Análises probabilísticas da estabilidade de túneis em rocha permitem que os envolvidos possam tomar medidas preventivas e ou corretivas de modo a minimizar os riscos envolvidos durante a construção e operação da ferrovia. O túnel escolhido para este estudo pertence a um conjunto de 44 túneis da estrada de ferro Vitória Minas, e está localizado próximo as cidades de Ibiraçu e João Neiva, no Estado do

2 Espírito Santo. Com uma extensão aproximada de 1km esse encontra-se em região onde predomina formações geológicas do Complexo Paraíba do Sul, constituída por paragnaisses, micaxistos, quartzitos e anfibolitos (Leite et al, 2004). 2 ESTABILIDADE DE TÚNEIS EM ROCHA A análise da estabilidade de um túnel em rocha, envolve a elaboração de um modelo para a representação do comportamento geomecânico do maciço rochoso frente as solicitações impostas pelas escavações. A adoção de um modelo matemático para avaliar as deformações, tensões e mecanismos de colapso de túneis em rocha demanda a opção de se considerar o maciço como sendo um meio contínuo ou descontínuo. Barton (1998) menciona que para um intervalo entre 0,1 e 100 do parâmetro Q da classificação geomecânica de Barton, a consideração do maciço como sendo um meio contínuo equivalente não é adequada. Os tipos de falhas que podem ocorrer em escavações subterrâneas em maciços rochosos dependem fundamental, mas não exclusivamente, do nível de tensões que a estrutura está submetida e do grau de fraturamento do maciço rochoso. Hoek et al, (1995) apresentam de forma esquemática os principais mecanismos de instabilidade de túneis em rocha relacionando o nível de tensões e o fraturamento do maciço. Outro aspecto importante na avaliação da estabilidade de uma estrutura subterrânea em rocha está relacionado com a orientação da estrutura em relação aos planos principais das descontinuidades que interceptam o túnel e o tamanho da escavação em relação as mesmas, conforme Figura 1. Figura 1. Efeito do tamanho das escavações na formação de blocos potencialmente instáveis (Modificado de Hudson, 2000). Diversos métodos analíticos podem ser utilizados para avaliar a estabilidade de túneis em rocha, dentre estes, distinguem-se os que se baseiam na teoria de equilíbrio limite e os que se baseiam na consideração do campo de tensões horizontais e a rigidez das descontinuidades (Bray, 1977). Neste trabalho, a avaliação da estabilidade dos blocos de rocha potencialmente instáveis em uma escavação subterrânea é elaborada através da teoria dos Blocos-Chave de Goodman e Shi (1985), combinada com a teoria de equilíbrio limite, implementados no software Unwedge da Rocscience. O método baseia-se na avaliação da resultante das forças resistentes e atuantes nos blocos de rocha potencialmente instáveis. O fator de segurança é calculado com base nessa relação forças resistentes Fator segurança (1) forças atuantes O software Unwedge calcula, para cada bloco de rocha potencialmente instável, o fator de segurança através da equação (2) FS 3 i1 J u i A s T i, (2) Sendo: J i : magnitude das forças resistentes

3 cisalhantes da i-ésima descontinuidade T i : magnitude das forças resistentes de tração da i-ésima descontinuidade A: vetor resultante das forças atuantes s : direção do deslizamento O cálculo do fator de segurança envolve a adoção de um critério de resistência das descontinuidades e para este estudo foi utilizado o critério de (Barton Bandis, 1976). 3 SEGURANÇA EM GEOTECNIA FATORES DE SEGURANÇA PARCIAIS Tradicionalmente, a segurança de uma estrutura geotécnica é avaliada através de um fator de segurança global, ou através dos fatores de segurança parciais, (Cintra e Aoki, 2010). Geralmente, o fator de segurança global é determinado conforme o tipo da obra, a importância, a finalidade e até através de experiências anteriores em condições semelhantes, com o intuito, inapropriado, de se verificar a segurança da mesma. A adoção de fator de segurança global permite avaliar a distância entre os valores médios de solicitação e resistência impostos em uma dada estrutura geotécnica e não considera as incertezas presentes nas propriedades dos maciços rochosos. Rmédia FS, (3) S Fx 0,04 0,03 0,02 0,01 0 média MS Resistência / Solicitação Resistência Solicitação Figura 2. Fator de segurança e dispersões associadas aos valores de resistência e solicitação (Modificado de Cintra e Aoki, 2010). Rmédia Smédia Esse fator de segurança não leva em consideração as diversas incertezas presentes no complexo comportamento entre resistência e solicitação, quando se avalia a estabilidade de um túnel em rocha. Outro conceito, adotado em normas de engenharia de estruturas, emprega os denominados fatores de segurança parciais que incidem sobre solicitações e resistências e que são impostos sobre os valores característicos, (associado a uma probabilidade de ocorrência), e ações e resistências. Com esses valores é possível determinar o índice de confiabilidade, (β), e sua probabilidade de falha associada a uma dada estrutura sob um dado carregamento. Há um grupo de órgãos internacionais, o Joint Committee on Structural Safety, que vem desenvolvendo trabalhos a respeito da confiabilidade e segurança de estruturas propondo estudos e diretrizes para o aprimoramento das atuais normas de engenharia de estruturas, (Beck, 2012) 4 INCERTEZAS E RISCOS EM OBRAS SUBTERRÂNEAS 4.1 Incertezas na Engenharia As propriedades dos maciços rochosos são claramente variáveis e devem ser tratadas como tais. Melchers (1999) classifica as incertezas presentes em um sistema de engenharia em dois grupos: incertezas intrínsecas e epistêmicas. Dentro do grupo das incertezas intrínsecas distinguem-se as incertezas físicas e as de previsão. A primeira está relacionada à aleatoriedade dos fenômenos físicos que influenciam o comportamento dos sistemas de engenharia. No âmbito da Mecânica das rochas, essa incerteza é caracterizada pelo complexo processo de formação dos maciços rochosos e sua variabilidade tanto temporal como espacial. Esse tipo de incerteza pode ser reduzida, mas não eliminada, por exemplo, com a coleta de mais informações a respeito das características dos maciços rochosos através de ensaios de laboratório e de campo. As incertezas de previsão estão relacionadas às previsões sobre as condições de resistências e carregamentos

4 que uma dada estrutura estará submetida durante sua vida útil. No grupo das incertezas classificadas como epistêmicas, distinguem-se as incertezas estatísticas, de decisão, de modelo e fenomenológica. A de primeiro tipo, e objeto deste trabalho, está relacionada a aleatoriedade dos valores dos parâmetros que se tem interesse de determinar para fins de engenharia e geralmente o tratamento destas variáveis é elaborado através da construção de modelos estatísticos que tentam retratar a aleatoriedade de um dado parâmetro. A caracterização de falha ou não de uma determinada estrutura nem sempre possui uma fronteira bem definida, caracterizando uma incerteza de decisão. Um modelo matemático, geralmente simplificado e limitado, utilizado para representar o real e complexo comportamento de uma estrutura de engenharia está sujeito às incertezas de representação. Por fim, outro tipo de incerteza está relacionado aos fenômenos inimagináveis para projetistas de uma dada estrutura, cita-se como exemplo, o colapso da Ponte Tacoma Narrows, nos Estados Unidos, Riscos em obras subterrâneas Na engenharia civil, as estruturas projetadas pelo engenheiro não estão isentas de riscos de colapso. As incertezas, apresentadas anteriormente, introduzem aleatoriedades no projeto de uma obra subterrânea conduzindo a um nível de risco a que a obra estará submetida. A definição clássica de risco pode ser entendida como o produto da probabilidade de falha pelos custos esperados da mesma, medido em termos monetários. Outras definições de riscos envolvem conceitos mais amplos como a proposta por Clayton, (2001) apud Longo (2006) com o risco sendo uma combinação entre perigo (hazard) e vulnerabilidade, sendo o perigo algo com potencial de causar danos e vulnerabilidade como sendo um conjunto de fatores que determinam a probabilidade que o perigo se manifeste com consequências negativas. De maneira mais ampla, para um mesmo evento adverso (falha) com diferentes consequências, níveis de vulnerabilidade são associados e o risco pode ser expresso como: R P[ E] x P[ C / E] xu[ C] (4) Sendo: R: Risco; P[E]: Perigo (probabilidade do evento, falha); P[C/E]: A vulnerabilidade do evento E; u[c]: A utilidade das consequências C. O perigo expressa a incerteza de um dado evento adverso, falha, caso ocorra a falha, as consequências são incertas e são representadas pelo conceito de vulnerabilidade, através de uma probabilidade condicional, segundo termo da equação. A utilidade das consequências é geralmente expressa em termos monetários e é extremamente útil quando outros efeitos estão associados as consequências, tais como: danos ambientais, sociais, Souza (2011) apud Einstein (1997). Em obras subterrâneas existem diversos mecanismos de falha e estes devem ser identificados de maneira clara e objetiva para que todos os envolvidos no projeto possam tomar medidas para minimizá-los. Em um túnel escavado em rocha, por exemplo, pode-se minimizar o risco da queda de blocos com a instalação de elementos de suporte, como por exemplo, aplicação de concreto projetado e chumbadores. O custo total esperado de uma obra subterrânea que apresenta risco de falha envolve a soma de todos os custos que incidem durante toda a vida útil da estrutura, tais como: custos de construção, investigação, operação, manutenção, além dos custos esperados para um dado modo de falha. Esses custos não ocorrem de maneira proporcional ao nível de segurança, existe um ponto no qual o custo total esperado é mínimo, associado a um valor da probabilidade de falha, conforme Figura 3.

5 Custo total esperado (R$) Cmínimo Custo total esperado Pf Custo operação Nível de segurança (Probabilidade de falha) Custo inicial Custo esperado da falha Figura 3. Risco de um determinado modo de falha em função do nível de segurança (Modificado de Beck, 2012). Além dos tradicionais métodos de dimensionamento das estruturas de suporte, quando necessários à estabilidade de uma escavação de um túnel em rocha, devem ser elaboradas análises de confiabilidade (probabilidade de falha) para que todos os envolvidos no projeto estejam cientes do nível de risco a que a estrutura estará submetida e a definição do risco máximo para a mesma, (Cintra e Aoki, 2010). 5 MÉTODOS DE ANÁLISE DE CONFIABILIDADE Uma maneira adequada de se determinar a probabilidade de falha de uma determinada estrutura é a utilização de métodos de confiabilidade. Esses métodos podem ser divididos em quatro grupos: Métodos de primeira ordem FOSM (First Order Second Moment) e FORM (First Order reliability Method), de segunda ordem SORM (Second Order Reliability Method), métodos de integração PEM (Point Estimate Method) e os métodos de simulação (Monte Carlo), (Beck, 2012). Os modos de falha que podem ocorrer em uma escavação de um túnel em rocha são avaliados através de equações de estado limite. Essas estabelecem uma fronteira entre o domínio de falha e o de não falha. No caso da queda de blocos em túneis em rocha, a falha é caracterizada quando o fator de segurança é menor ou igual a unidade, ou quando a margem de segurança, diferença entre resistência e solicitação, é menor ou igual a zero. A margem de segurança, pode ser expressa como: 3 MS i1 u J T A s, i (5) i O problema fundamental da confiabilidade envolve a avaliação da probabilidade de qualquer ponto (R, S) esteja dentro do domínio de falha, o evento {R-S 0}, ou {MS 0}. Essa probabilidade pode ser avaliada através da equação: P P[( r, s) D f frs( r, s drds (6) f ) D f Sendo: f rs (r,s) a função conjunta de densidade de probabilidade das varíaveis aleatórias R e S e o domínio de falha limitado pela equação r=s. Se as variáveis R e S são estatisticamente independentes a equação (6) pode ser escrita como: P f f s ( s) FR ( s) ds (7) fs(s): função marginal de densidade de probabilidade da solicitação (S); F R (s): função marginal de distribuição cumulativa da probabilidade (R). 5.1 Método FOSM Uma das maneiras de se determinar a probabilidade de falha é a solução pelo método FOSM que pertence aos métodos de transformação que envolve a transformação de um vetor de variáveis aleatórias do problema, X, em um vetor de variáveis aleatórias Y, distribuídos normalmente. Essa transformação foi desenvolvida por (Hasofer e Lind, 1974).

6 Xi xi Yi (8) xi A função conjunta de densidade de probabilidade é escrita na forma: n( y) exp / 2 y (2 ) (9) n 2 Para o caso n-dimensional, a resolução do problema de confiabilidade consiste em encontrar o ponto de projeto y*, ponto que contém o maior conteúdo de probabilidade, situado sobre a equação de estado limite que corresponde a mínima distância a origem do espaço normal padrão. Encontrar o ponto y* corresponde a um problema de otimização da seguinte forma: Encontrar y* que minimiza: Como pressuposto do método FOSM, a equação de estado limite g(y) é linearizada em série de Taylor limitada aos termos de primeira ordem. O valor esperado da equação em um ponto qualquer e a variância são dados pelas equações: E p gy g T y Var gy g T g (15) (16) A probabilidade de falha de primeira ordem é estimada a partir do índice β, obtido a partir das equações seguintes: E Var gy gy (17) d T y y y (10) Pf (18) sujeito a: y 0 g (11) A distância d é conhecida como o índice de confiabilidade β de (Hasofer e Lind, 1974). O vetor gradiente da equação de estado limite é dado por: A Figura 4 ilustra o procedimento matemático descrito, para o caso de duas variáveis não correlacionadas normalmente distribuídas. g(x)=0 g(y)=0 g g g gy,,..., y1 y2 y n T (12) Domínio de falha y* Domínio seguro Os cossenos diretores de um ponto qualquer sobre a equação do estado limite é obtido através da equação: y y g y (13) g O ponto y* procurado é um ponto sobre a equação do estado limite que se projeta sobre a origem segundo a equação: * y (14) Figura 4. Equação de estado limite, g(x) e sua versão linearizada, g(y), no espaço de projeto, X (Modificado de Melchers, 1999). A resolução do problema de otimização pode ser feita por qualquer método de otimização, que nesse caso foi utilizado o algoritmo HLRF, desenvolvido por Hassofer e Lind, (1974) e (Rackwitz e Fiessler, 1978).

7 5.2 Método FORM O método FORM é uma extensão natural do FOSM e permite trabalhar com funções estatísticas das variáveis aleatórias diferente da distribuição normal, além da possibilidade de inclusão da correlação entre os pares de variáveis envolvidas. Segundo Beck, (2012), o método consiste na construção de uma função conjunta de distribuição de probabilidades e posteriormente a transformação desta em uma distribuição normal padrão multivariada (média zero e desvio padrão unitário). Esta transformação é realizada através do Modelo de Nataf que consiste na transformação das variáveis não normais em normais equivalentes possivelmente correlacionadas, através do princípio da aproximação normal de Dietlevsen, (1981) e a eliminação da correlação, através da decomposição ortogonal ou fatoração de Cholesky. 6 TÚNEL MONTE SECO, LINHA 1 O túnel Monte Seco, linha 1, pertence ao conjunto de túneis da estrada de ferro Vitória Minas, da companhia Vale do Rio Doce e está localizado entre as cidades de Ibiraçu e João Neiva no Estado de Espírito Santo. Escavado em um maciço rochoso no qual predominam as feições geológicas compostas principalmente por rochas metamórficas de paragneisse, mica-xistos, anfibolitos e quartzitos, pertencentes ao complexo Paraíba do Sul, (Leite et al, 2004) O mapeamento de campo e os ensaios realizados permitiram inferir os valores médios dos parâmetros e seus desvios. Tabela 1. Parâmetros médios das famílias de descontinuidades mapeadas-critério de Barton Bandis. Família Dip () Dip Direction () JRC (-) JCS (MPa) φ r () Sn F F Tabela 2. Desvio padrão dos valores dos parâmetros das famílias de descontinuidades mapeadas. Família Dip () Dip Direction () JRC (-) JCS (MPa) φ r () Sn 11,7 13,1 3,0 17,0 5,0 F1 5,5 17,8 2,1 17,0 4,4 F2 9,4 12,2 2,1 17,0 4,8 8 ANÁLISES DE CONFIABILIDADE As análises foram elaboradas considerando os parâmetros médios e posteriormente comparadas às estimativas da probabilidade de queda de blocos pelos métodos FOSM e FORM, neste último considerando a distribuição lognormal para as variáveis JCS e φ r positivamente correlacionadas em 0,5. A análise determinística foi elaborada com os valores médios dos parâmetros de entrada e o número de blocos potencialmente instáveis é apresentado, esquematicamente, na Figura 5. 7 CARACTERIZAÇÃO DOS DADOS DO TÚNEL MONTE SECO, LINHA 1 Mapeamentos realizados por Futai et al. (2013) e ensaios de laboratórios realizados por Ito, (2013) identificaram três famílias de descontinuidades que interceptam o túnel. A primeira caracterizada como sendo uma foliação (Sn) condicionada pela orientação dos minerais de biotita e as outras duas, fraturas não persistentes (F1 e F2). Figura 5. Blocos de rocha potencialmente instáveis, ao redor do túnel.

8 Para evitar repetições desnecessárias, elaboraram-se as análises de confiabilidade apenas no bloco 5, localizado na parede esquerda do túnel. Tabela 3. Análise determinística FS Β P f Valores médios 1, Para cada uma das análises, FOSM e FORM, as Tabelas 4 e 5, resumem as distribuições estatísticas de cada variável e seu respectivo coeficiente de variação. Tabela 4. Análise de confiabilidade - FOSM Coeficiente Média Parâmetro Distribuição Variação (%) Dip (Sn) Dip D (Sn) JRC (Sn) JCS (Sn) φ r (Sn) Dip (F1) 71 8 Dip D (F1) JRC (F1) Normal 7 30 JCS (F1) φ r (F1) Dip (F2) Dip D (F2) JRC (F2) 7 30 JCS (F2) φ r (F2) Tabela 5. Análise de confiabilidade - FOSM. Iteração β Pf 1 0,52 3, FOSM 2 0,76 2, ,55 2, ,85 1, ,16 1, Tabela 6. Análise de confiabilidade - FORM Coeficiente Média Parâmetro Distribuição Variação (%) Dip (Sn) Dip D (Sn) Normal JRC (Sn) JCS (Sn) Log normal φ r (Sn) Dip (F1) 71 8 Dip D (F1) Normal JRC (F1) 7 30 JCS (F1) Log normal φ r (F1) Dip (F2) Dip D (F2) Normal JRC (F2) 7 30 JCS (F2) Log normal φ r (F2) Tabela 7. Análise de confiabilidade FORM. FORM Iteração β Pf 1 0,48 3, ,62 2, ,07 1, ,85 1, ,40 3, ,52 3, ,47 3, Os resultados de ambas as análises elaboradas, mostraram apreciável probabilidade de falha, variando de 10 a 30%, mesmo com o fator de segurança médio de 1,4, valor tido como usual. Índices de confiabilidade distintos, pelos dois métodos estão atrelados a correlação imposta entre JCS e φ r e estas, sempre que constatadas estatisticamente devem ser incluídas nas análises de confiabilidade de modo a tornar mais fidedigna a estimativa da probabilidade de falha e a não linearidade da equação de estado limite, método FOSM e FORM, ficou evidenciada na dificuldade da convergência do índice de confiabilidade, e uma forte dependência entre resistência e solicitação.

9 9 CONCLUSÕES A avaliação da segurança de uma estrutura de engenharia geotécnica não deve se restringir a cálculo de fatores de segurança globais. A falha de uma estrutura geotécnica é condicionada variabilidade das propriedades dos maciços rochosos. Os diversos tipos de incertezas devem, sempre que possível, ser avaliados de modo a atingir um risco mínimo aceitável por todos os envolvidos. Análises de confiabilidade de primeira ordem devem ser elaboradas, conjuntamente com métodos mais sofisticados para melhor avaliar a probabilidade de falha, principalmente em problemas complexos em que a equação de estado limite exibe considerável não linearidade. REFERÊNCIAS Barton, N. (1976). The shear strength of rock joints. International J. Rock Mechanics Min. Sci. & Geomechanics. Abstract., 19: Barton, N. (1998). Quantitative description of rock masses for design of NMT reinforcement (Special Lecture 1)., Proc. Of the international Conferencce on Hydropower Development in Himalayas. Shimla, India, p. 22. Beck, A. T. (2012) Confiabilidade Estrutural. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 228 p. (Notas de Aula). Bray, J. W. (1977) Unpublished Note on Roof Wedges. Unpublisher paper. Imperial College. London. Cintra, J. C. A e Aoki, N. (2010) Fundações por Estacas: Projeto Geotécnico, 1. ed., Editora Oficina de Textos, São Paulo, 96p. Clayton, C. R. I. (2001) Managing Geotechnical Risk - Improving Productivity in UK Building and Construction Instituitions of Civil Engineers and Thomas Telford Ltd. pp.80. Ditlevsen, D. (1981) Principle of Normal Tail Approximation, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, vol. 107, p Einstein, H. (1997) Landslide Risk: systematic Approaches to Assessment and Management In: cruden, A. e Fell, R. (editors). Landslide Risk Assessment. Balkema, Rotterdam. pp Futai, M., Suzuki, S., Ito. W, e Cacciari, P. (2013) Relatório Semestral-Projeto TUNELCON. São Paulo/SP. Goodman, R. and Shi, G. (1985). Block theory and its application to rock engineering. New Jersey.: Prentice Hall. 338p. Hasofer, A. M. e Lind, N. C. (1974). Exact and Invariant Second Moment Code Format, Journal of Engineering Mechanics vol. 100, p Hudson, J. A. e Harrison, J. P. (2000) Engineering Rock Mechanics An Introduction to the Principles. Elservier Science: Oxford, 444p. Hoek, H, Kaiser, P. K. e Bawden, W. F. (1995) Support of Underground Excavation in Hard Rock, Balkema, Roterdam. 215p. Ito, W. (2013). Caracterização Geológico-Geotécnica Aplicada na Setorização dos Trechos Críticos dos Túneis Monte Seco Linha 1 e Linha 2 da Estrada de Ferro Vitória Minas. Exame de qualificação de Mestrado-Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 111p. Leite, C. e et al. (2004). Carta Geológica do Brasil ao Milionésimo. Programa Sistema de Informações Geográficas. Brasília: CPRM. Longo. S. (2006) Análise e Gestão de Risco em Túneis Doutorado. Universidade Técnica de Lisboa-Instituto superior Técnico, 332p. Melchers, R. E. (1999) Structural Reliability Analysis and Prediction. 2nd edition. John Wiley & Sons. 437p. Rackwitz, R. e Fiessler, B. (1978) Structural Reliability Under Combined Load Sequences, Computer and Structures, Vol. 9, p Souza, R. L. (2011) Risk Analysis for Tunneling Projects PhD Thesis. Massachusetts Institute of Technology, 589p.