Mapping Plaques Cisterns by Fuzzy Grouping Analysis

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1 Mapping Plaques Cisterns by Fuzzy Grouping Analysis M. R. G. Oliveira, D. V. Cruz and M. Cunha Filho 1 Abstract This paper presents the Fuzzy clustering method to assess quality of the groups formed by cisterns plaques according to some water quality variables. This method uses cluster validation steps to determine the optimal partition, which provides the most homogeneous possible groups. In this work Fuzzy clustering method is used to evaluate the quality of the clusters based on the validation methods of controlling the variability of groups or dissimilarity. The method was tested on a hundred plaques cisterns located in Pajeú region. Therefore, the Fuzzy clustering method indicates five groups as the best partition, while the Ward's method shows six groups as best partition. Keywords Fuzzy clustering, Cisterns plaques, Pajeú region. I. INTRODUÇÃO ESTIMATIVA de parâmetros de qualidade da água é A uma das questões mais relevantes, enfrentadas em reservatórios de água destinadas ao consumo humano. É muito importante estimar os parâmetros de qualidade da água, para gestão de projetos de recursos hídricos, em regiões onde os recursos hídricos são escassos como no Nordeste Brasileiro modelos climáticos globais prevê aumento na frequência e intensidade de eventos climáticos extremos, incluindo secas severas [1]. Clusterização é um processo não supervisionado que objetiva identificar grupos significativos implícito em um conjunto de dados. É um processo de atribuição de objetos de dados em subconjuntos chamado clusters, de modo que os objetos de dados no mesmo cluster são similares em alguma característica [2,3]. Um problema existente no uso de algoritmos de agrupamento é determinar o melhor número de clusters para representar adequadamente partições naturais. Algoritmos de agrupamento geralmente exigem que o número de clusters seja determinado antes do agrupamento [4]. Em muitas situações, em particular com dados de dimensões mais elevadas e clusters de sobreposição, não fica claro que a solução do cluster é a melhor. Para superar este problema vários algoritmos têm sido propostos, os quais determinam o número opcional de clusters automaticamente como métodos hierárquicos [5], aglomerativo de fusão compatível [6] e abordagem evolutiva [7]. Diversos índices de validação de cluster tem sido proposto [4, 8-17]. Índices de agrupamento Fuzzy avaliam as partições, neste tipo de agrupamento cada objeto pode pertencer a mais de um cluster, sua adesão está associada a um nível que descreve para cada cluster. 1 M. R. G. Oliveira, Universidade Federal Rural de Pernambuco, rivelino_gomes@hotmail.com D. V. Cruz, Universidade Federal Rural de Pernambuco, david@hotmail.com M. Cunha Filho, Universidade Federal Rural de Pernambuco, moacyr2006@ibest.com.br M. Cunha Filho, Universidade Federal Rural de Pernambuco, moacyr2006@ibest.com. O objetivo do presente estudo é avaliar a eficácia das medidas de validação de agrupamentos de cisternas de placas segundo as variáveis de qualidade de água na determinação de partições ótimas fornecidas pelo agrupamento Fuzzy. II. MATERIAL E MÉTODOS A área de estudo está localizada nas comunidades de Serra Grande: Poço do Serrote, Poldrinho, Catolé e Três Irmão, próxima a serra da Lagartixa, pertencente ao limite municipal entre as cidades de Serra Talhada e Floresta, região do alto Sertão do Pajeú, ambiente semiárido do Estado de Pernambuco de coordenadas geográficas de 38 23ˈ55.51 longitude Oeste e 8 07ˈ06.72 latitude Sul. O clima da região, de acordo com a classificação de Köppen se enquadra no tipo Bwh, denominado semiárido, quente e seco, com chuvas de verão em outono com pluviosidade média anual de 647 mm, para o período de 1912 a 1991 [18] e temperatura média anual superior a 25 o C. Agrupamento Fuzzy O termo grupo deve ser usado quando não existe qualquer informação sobre como é a organização dos dados. Nesse caso, o trabalho de análise de dados é denominado agrupamento e tem por objetivo estudar as relações de similaridade entre os dados ou cisternas, determinando quais dados formam quais grupos. Os grupos são formados de maneira que maximize a similaridade entre as cisternas de um grupo (similaridade dentro do grupo) e minimizar a similaridade entre cisternas de grupos diferentes (similaridade externa aos grupos). Então formalmente, dado um conjunto de dados de entrada ( R ), é encontrada uma função: :R, (1) onde é um vetor de parâmetros ajustáveis, por meio de um algoritmo de aprendizado supervisionado ou não supervisionado, que determina c-grupos a partir da matriz de dados originais X, e segundo [19], tem-se,,=1,,; =,,, ( ), tal que: i) =1,,; ii) =; iii) =,, = 1,,e, supondo a abordagem clássica de classificação ou agrupamentos. Índices de validação do agrupamento Fuzzy Existem vários índices de validação que tem sido utilizada com muita intensidade para determinar o número ótimo de grupos (c) em um conjunto de dados [20 22]. Neste estudo

2 são utilizadas três medidas de validação para o agrupamento Fuzzy, que são o coeficiente de parição (V PC ), partição entropia (V PE ) e o índice de Xie e Beni (V XB ) que são testados para diferentes números de agrupamento c e diferentes valores do parâmetro de Fuzificação m, para verificar a sua adequação na obtenção de agrupamentos homogêneos. Estes três índices são discutidos em seguida, [10] duas publicações distintas propuseram os índices do coeficiente de partição (V PC ) e partição entropia (V PE ) para validação de agrupamento Fuzzy, que são definidos como: () = 1 ( ). A gama de variação do índice V PC é,1, e a partição ótima corresponde ao valor máximo de V PC, o que implica a sobreposição mínima entre os agrupamentos. O valor máximo de V PC é 1, enquanto o mínimo corresponde a quantidade 1/c. (2) () = 1 (3) Na equação 3, o logaritmo tem base (1, ), onde o intervalo de variação de é[0, ()]. O valor mínimo de indica uma boa classificação ou agrupamento ótimo correspondendo a uma partição mais realista. Teoricamente o valor mínimo de é 0 (zero). Onde: : matriz de partição Fuzzy que contém a composição de cada vetor de redimensionado em cada grupo; : denota o grau de adesão do vetor característico de variáveis, redimensionado no agrupamento, representado pelo centroide dos respectivos grupos, com [0,1]. A medida de validação de agrupamento proposta por [11], é proporção de compactação de uma c-partição. Pode ser considerada como sendo uma função do conjunto de dados e o centroide dos grupos. (,: ) = ( ), onde o termo do numerador da equação acima é a soma dos quadrados dos desvios de cada vetor característico (= 1,, ) para o centroide Fuzzy de cada grupo =(1, ). A magnitude dos termos diminui à medida que os agrupamentos ficam mais compactos. O denominador que por sua vez mede a distância mínima entre os centroides dos grupos de cisternas, tem valor mais elevado para grupos que estão bem separados. O valor mínimo de sugere uma boa partição ou agrupamento ótimo o que corresponde a grupos de cisternas compactos e bemseparados. Temos ainda que é a matriz de dados, N é o número de vetores de características ou variáveis de qualidade de água das cisternas e = (,, ), representa um c-tripla de protótipos, cada qual caracterizando o baricentro de um dos grupos c. (4) Agrupamento Hierárquico A classificação em grupos procede por etapas, em geral determinando-se a partir de n subgrupos de um único indivíduo cada, sucessivas fusões de subgrupos considerados mais semelhantes. Cada fusão reduz, em uma unidade, o número de subgrupos. Dados dois grupos U e V, para medir a semelhança/dessemelhança entre eles, o seguinte algoritmo de agrupamento são utilizados: Método de Ward Considera-se a imobilidade de um grupo U, isto é, a soma de quadrados das diferenças entre cada objeto ou cisterna e o objeto médio desse grupo, dado por: =( ), (5) onde é é a média dos valores da variável para os objetos ou cisternas do grupo U. Toma-se agora a distância entre os grupos U e V como sendo o aumento na soma total das imobilidades provocado pela divisão dos mesmos, isto é, seja a imobilidade do grupo U, a imobilidade do grupo Ve a imobilidade do grupo resultante da divisão dos grupos U e V. Então uma vez que a divisão de U e V não afeta a imobilidade dos grupos remanescentes, temos: = ( + ), (6) note que, se e são os vetores de média dos grupos U e V respectivamente, então: = + (7) O algoritmo de Ward, também conhecido como método da variância mínima proposto por [23], tem tendência a produzir grupos com um número aproximadamente igual de objetos. Correlação Cofenética A correlação Cofenética é definida como sendo a correlação entre as distâncias previstas e as distâncias observadas. A qualidade do agrupamento será melhor quanto mais próximo for de um (1) o coeficiente de correlação. O coeficiente de correlação entre a matriz de distâncias originais e a matriz cofenética proposta por [24] é dado pela expressão: Em que: ( ) = ( ) 2 = ( 1) (8) 2 e = ( 1) onde: : distância entre os objetos ou cisternas i e j, na matriz cofenética; : distância entre os objetos ou cisternas i e j, na

3 matriz original de distâncias ou matriz de dissimilaridade; n: dimensão da matriz. III. RESULTADOS E DISCUSSÃO Os sistemas Híbridos caracterizam-se pela combinação de duas ou mais técnicas de Inteligência Computacional em um só modelo, objetivando-se utilizar o que existe de mais robusto para obter a melhor solução para um dado problema. Neste contexto existem os modelos híbridos construídos com Redes Neurais Artificiais (RNA). Portanto os modelos híbridos têm como base a adição da Teoria de Conjuntos Fuzzy utilizando o algoritmo c Means. O algoritmo Fuzzy c Means o qual funciona como base para outros modelos híbridos utilizados na tarefa de agrupamento ou classificação foi proposto por [25]. Segundo esse modelo uma variação não supervisionada da RNA é adicionada de característica Fuzzy. Assim um objeto ou cisterna é atribuído a cada grupo de acordo com o grau de adesão máxima aos grupos, e portanto esta matriz produz a partição de agrupamentos o mais próximo possível da realidade, isto é, uma cisterna é atribuída a cada grupo de acordo com o grau de pertinência máxima, desde que tal grau de pertinência seja igual ou maior a 0,5 ( 0,5), o que foi observado em todas as cisternas, caso contrário presume-se que a cisterna que obteve grau de pertinência inferior a 0,5 não pertence a nenhum grupo, o que não verificou-se neste agrupamento Fuzzy. As cem cisternas consideradas no estudo, foram analisadas para extrair características para a análise de agrupamento. As correlações entre as características e as variáveis relacionadas com a qualidade da água foram analisadas, ou seja, as seis variáveis de qualidade da água ora analisadas foram relacionadas aos sais minerais e as condições higiênicas sanitárias. As variáveis de localização, latitude e longitude então inclusas no estudo para identificar as regiões onde estão localizadas as cisternas que são geograficamente próximas. As seis variáveis foram padronizadas, e foi atribuída a mesma escala de importância para todas as variáveis, o que significa que nenhuma variável em particular influenciou no resultado dos agrupamentos, exceto pela característica natural da variável. Para analisar a sensibilidade do resultado do algoritmo Fuzzy c Means (FCM) a variação no parâmetro de fuzificação o m é de 1,4 a 2,5 e no entanto [20], menciona que o FCM oferece melhor desempenho para m no intervalo de 1,5 2,5. A homogeneidade dos grupos é obtida a partir do algoritmo Fuzzy c Means (FCM), é testada através de medidas de heterogeneidades [26]. Quando o conjunto inteiro de cem cisternas foi considerado como um único grupo, este grupo é bastante heterogêneo. Por outro lado, quando o número de grupos c aumenta além de um, o algoritmo apresenta grupos que são relativamente homogêneos. No entanto o tamanho dos grupos diminui com aumento do número de grupos. Assim neste estudo o número máximo de grupos foi fixado pela matriz do grau de pertinência das cisternas em cada grupo. Portanto, os resultados obtidos para c não superior a 6 são apresentados e discutido em seguida. O número ideal de grupos no conjunto de dados de cisterna é identificado através das medidas de validação do agrupamento Fuzzy. O índice de Xie e Beni ( )indica como número ótimo de grupos (Tabela I), c = 2 para m= 1,5;1,6; 1,7; 2,2; 2,3 e 2,4, indica c = 3 para m = 1,4, indica c = 4 para m = 2,5 e c = 5 para m = 1,8; 1,9; 2,0 e 2,1. As medidas de heterogeneidade de [26] mostram que para c = 5, isto é, quando o número de grupos é maior o algoritmo de agrupamento (FCM) fornecem grupos mais homogêneos. A escolha de um número maior de grupos no caso c = 5, permite uma melhor comparação dos resultados como definido anteriormente. Os valores ótimos do índice de Xie e Beni sugerem que a melhor escolha de m está no intervalo 1,8 2,1, ou seja, o número de grupos indicado pelo algoritmo (FCM) é c = 5 para m na vizinhança de 2,0. O coeficiente de partição ( )e partição entropia ( ) indicam c = 2 como melhor partição, isto é, sugerem dois grupos como resultado ótimo e são ineficazes. Em geral ( ) é maximizado e ( ) é minimizado para c = 2, independentemente do valor que o parâmetro de fuzificação m assume (Tabela I). Isto ocorre porque estas duas medidas de validação necessitam de uma relação direta com alguma propriedade dos dados. Em conformidade com [11], note que, à medida que o coeficiente de partição decresce monotonamente com aumento do número de agrupamentos, a partição entropia apresenta um crescimento monótono a medida que o número de grupos aumenta. Uma partição é considerada ótima quando os grupos formados pelo algoritmo de agrupamento (FCM) são tão homogêneos de forma que nenhum objeto ou cisterna seja realocado a outro grupo se houver novas interações do algoritmo. Esta partição é verificada pelos índices de validação de Xie e Beni ( ), o coeficiente de partição( ) e partição entropia ( ), que são obtidos pelas variações do parâmetro de fuzificação m e o número de grupos c (Tabela I), isto é, o algoritmo obtém uma partição ótima que é indica por (V XB ) em geral para m=2 quando ( ) atinge seu valor máximo e ( ), atinge seu valor mínimo para c = 2. Segundo [27 28], ambas as medidas frequentemente indicam como resultado c = 2, sendo uma partição ótima. No caso dos dados das cisternas de placas na região do Pajeú a tendência monótona é claramente observada na partição da entropia ( ) para valores de m superior a 1,9 (Tabela I). O índice de Xie e Beni ( ) não exibe nenhuma tendência monofônica. Portanto é eficaz na identificação da partição ótima ou dos grupos formados pelas cisternas de placas utilizadas no estudo da qualidade da água na região do Pajeú. De acordo com [19], se o parâmetro de fuzificação m é definido em m = 2, o grau de pertinência das observações ou cisternas a um determinado grupo, é obtido unicamente em função das razões entre as distâncias entre o objeto e os centros de grupos. Por outro lado, se o valor do parâmetro de Fuzificação m é diferente de 2 (m 2), observa-se que existe uma alteração na influência das relações entre as distâncias dos dados aos centros dos grupos. Quando o parâmetro de fuzificação m cresce, isto é, para (m ) o grau de pertinência não é calculado mais em função das distâncias entre os dados e os centros dos grupos, e sim em função do número de grupos c. Observa-se que para altos valores de m os vetores protótipos que compõem os elementos da matriz de atualização dos dados, tendem a se aproximar do centro do conjunto de dados, ou seja, para valores altos do parâmetro de fuzificação o algoritmo (FCM) apresenta resultados com grupos menos bem definidos. Portanto o melhor valor que m pode

4 assumir no algoritmo (FCM) é aquele que minimiza a movimentação da matriz de atualização. Uma observação visual do dendograma feita com base na Fig. 1, observa-se a existência de seis grupos nesta figura, que foi obtida pelo método de Ward. TABELA I COMPARAÇÃO DAS MEDIDAS DE VALIDAÇÃO DOS GRUPOS PARA O CONJUNTO DE DADOS RELATIVOS AS CISTERNAS DE PLACAS NA REGIÃO DO PAJEÚ EM SERRA TALHADA PE. OS VALORES EM NEGRITO DENOTAM VALORES ÓTIMOS DAS MEDIDAS DE VALIDAÇÃO c m V PC V PE V XB c m V PC V PE V XB 2 1,4 0,932 0,123 0, ,0 0,753 0,400 0, ,939 0,123 0, ,628 0,662 0, ,834 0,312 0, ,565 0,831 0, ,863 0,256 0, ,582 0,847 0, ,854 0,290 0, ,545 0,962 0, ,5 0,903 0,174 0, ,1 0,729 0,432 0, ,829 0,311 0, ,595 0,714 0, ,783 0,409 0, ,529 0,895 0, ,818 0,352 0, ,542 0,929 0, ,803 0,403 0, ,504 1,050 0, ,6 0,872 0,226 0, ,2 0,707 0,460 0, ,789 0,388 0, ,566 0,760 0, ,736 0,503 0, ,497 0,951 0, ,771 0,454 0, ,505 1,001 0, ,748 0,523 0, ,467 1,128 0, ,7 0,840 0,276 0, ,3 0,688 0,484 0, ,746 0,465 0, ,539 0,800 0, ,690 0,594 0, ,469 1,000 0, ,722 0,559 0, ,424 1,161 0, ,693 0,643 0, ,396 1,279 0, ,8 0,809 0,322 0, ,4 0,670 0,505 0, ,704 0,537 0, ,516 0,835 0, ,646 0,680 0, ,444 1,044 0, ,674 0,661 0, ,400 1,209 0, ,640 0,758 0, ,371 1,333 0, ,9 0,780 0,363 0, ,5 0,655 0,524 0, ,665 0,603 0, ,495 0,865 0, ,603 0,759 0, ,422 1,082 0, ,627 0,758 0, ,378 1,251 0, ,591 0,865 0, ,349 1,380 0,209 V PC: coeficiente departição; V PE : partição entropia; V XB : índice de Xie e Beni; m: parâmetro de fuzificação; c: número de grupos. Figura 1. Dendograma resultante do método de Ward.

5 O método de Ward apresentou algumas diferenças do método de agrupamento Fuzzy, uma delas é que o grupo 1 agrupou 42 cisternas, ou seja, um número bem superior em relação ao mesmo grupo obtido pelo método de agrupamento Fuzzy que agrupou 7 cisternas como visto na Tabela II.O grupo 4 ficou com 28 cisternas segundo o método de Ward, e pelo agrupamento Fuzzy este grupo alocou 29 cisternas, ou seja, ambos os métodos obtiveram resultados bastante similares. No grupo 3 o método de Ward alocou apenas 6 cisternas já o agrupamento Fuzzy 29 cisternas. O grupo 2 alocou 12 cisternas pelo agrupamento Fuzzye7 cisternas pelo método de Ward, já o grupo 5 agrupo 15 cisternas pelo agrupamento Fuzzy e 10 cisternas pelo método de Ward e o grupo 6 agrupou 8 cisternas pelo agrupamento Fuzzy e 7 cisternas pelo método de Ward. De maneira geral o método agrupamento Fuzzy classificou as cisternas nos seis grupos de maneira, mas parcimoniosa, isto é, não houve grupos com um número elevado de cisternas e tão pouco grupos com poucas observações. TABELA II NÚMERO DE CISTERNAS AGRUPADAS PELO AGRUPAMENTO FUZZY E PELO MÉTODO HIERÁRQUICO DE AGRUPAMENTO Métodos de Agrupamento Grupos Fuzzy Ward Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo O método de Ward apresentou características peculiares em relação ao método de agrupamento Fuzzy utilizado para estas análises como bem destacadas anteriormente. Estas características também foram notáveis no gráfico e nas estatísticas da silhueta observadas na Fig. 2, onde o único grupo que obteve estatística da silhueta ótima com valor de 0,84 foi o grupo 6, enquanto os demais grupos obtiveram estatísticas da silhueta acima de 0,48 dando indícios de boas classificações das cisternas em seus respectivos grupos, mesmo com estatísticas da silhueta inferiores ao grupo 6. Silhouette width Si Clusters silhouette plot Average silhouette width: 0.54 cluster Figura 2. Gráfico e estatística da silhueta obtida pelo método de Ward A estatística média da silhueta obtida pelo método de Ward foi de 0,54, valor que não levanta evidências da inadequação com relação a classificação das cisternas nos respectivos grupos. IV. CONCLUSÃO O método de agrupamento Fuzzy utilizou a matriz de grau de pertinência que alocou cada cisterna para o grupo ao qual ela obteve a mais elevada pertinência. Assim possibilitando que os resultados apresentados neste trabalho apoiam fortemente a análise agrupamento Fuzzy para produzir ou encontrar grupos homogêneos, que são eficazes na análise agrupamento de cisternas de placas da região do Pajeú. O método de Ward também foi utilizado para a classificação das cisternas e foi observada a alocação das cisternas nos seus respectivos grupos. Quando os desempenhos do método do agrupamento Fuzzy e método de Ward são comparados verificou-se que os resultados para os grupos formados pelo método do agrupamento Fuzzy são melhores que os resultados do método de Ward. Logo os resultados mostraram que o desempenho do agrupamento Fuzzy era melhor do que o método de Ward para identificação dos grupos de cisternas mais homogêneos. O agrupamento Fuzzy sugeriu a formação de seis grupos de acordo com a matriz do grau de pertinência das cisternas a cada grupo. No entanto levando em consideração o índice de Xie e Beni, a indicação foi de cinco grupos, o que se tornaria mais plausível por ser um índice de validação. Portanto com o resultado, pode-se dizer que o método de agrupamento Fuzzy pode ser utilizado com sucesso para classificação de cisternas de placas. V. REFERÊNCIAS [1] K. Cherwin, Knapp, A. Unexpected patterns of sensitivity to drought in three semi-arid grasslands. Global Change Ecology - Original Research, v. 169, pp , [2] L. 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Atualmente é professor adjunto da Graduação e da Pós-Graduação do Departamento de Estatística e Informática da Universidade Federal Rural de Pernambuco, atuando principalmente nos seguintes temas: Estatística aplicada, gestão, educação a distância, recursos hídricos, produção de sedimentos em suspensão e por carga de fundo e conservação do solo e da água. Manoel Rivelino Gomes de Oliveira é graduado emestatística pela Universidade Estadual da Paraiba (UEPB), Campina Grande, Paraíba, Brasil, Obteve o título de mestre em Biometria e Estatística Aplicada, área de recursos hidricos utilizando técinicas de Séries Temporais pela Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE), Recife, Pernambuco, Brasil, Doutorado em Andamento em Biometria e Estatística Aplicada, área de recursos hídricos utilizando Estatística Multivariada e Redes Neurais pela Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE), Recife, Pernambuco, Brasil, com a obtenção do título de doutor prevista para David Venancio da Cruz é graduado em Estatística pela Universidade Estadual da Paraiba (UEPB), Campina Grande, Paraíba, Brasil, Obteve o título de especialista em Estatística Aplicada, área de Modelos Lineares pela Fundação Universitária de Apoio ao Ensino, Pesquisa e Extensão (FURNE), Brasil, Obteve o título de mestre em Biometria e Estatística Aplicada, área de recursos hídricos utilizando Controle Estatístico de Qualidade pela Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE), Recife, Pernambuco, Brasil, Doutorado em Andamento em Biometria e Estaística Aplicada, área de recursos hídricos utilizando Controle Estatístico de Qualidade pela Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE), Recife, Pernambuco, Brasil, com a obtensão do título de doutor prevista para A área de atuação é análises estatísticas de recursos hidricos utilizando Estatística Multivariada e Séries Temporais. Moacyr Cunha Filho é graduado em Engenharia Civil pela Universidade Católica de Pernambuco (UNICAP), Recife, Pernambuco, Brasil (1988). Obteve o título de especialista em Disciplinas Profissionalizantes, área Modelagem Matemática utilizando o Software Modellos pela Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFPE), Recife, Pernambuco, Brasil, Obteve o título de especialista em Segurança do Trabalho pela Universidade de Pernambuco (UPE), Recife, Pernambuco, Brasil,