ESTUDO DE SÉRIES TEMPORAIS ESTOCÁSTICAS VIA ANÁLISE DE PADRÕES-GRADIENTE.

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1 ESTUDO DE SÉRIES TEMPORAIS ESTOCÁSTICAS VIA ANÁLISE DE PADRÕES-GRADIENTE. Marco Antônio de Ulhôa Cintra 1, Francisco Carlos Rocha Fernandes 1, Reinaldo Roberto Rosa 2. 1 UNIVAP - Universidade do Vale do Paraíba - Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento - Laboratório de Física e Astronomia, Avenida Shishima Hifumi, 2911, Urbanova São José dos Campos-SP, Brasil, marcoantoniocintra@gmail.com, guga@univap.br. 2 INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - LAC - Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada, Avenida dos Astronautas, 1758, Jardim Granja São José dos Campos-SP, Brasil, reinaldo@lac.inpe.br. Resumo- Série temporal é uma sequência ordenada de valores de uma variável medida em intervalos de tempo igualmente espaçados (NIST/SEMATECH, 2013). As séries temporais provenientes de processos estocásticos podem ser classificadas de acordo com seus espectros de potência e são associadas com uma cor, a qual expressa o nível de auto correlação do sinal segundo a teoria do ruído 1/f. As principais delas são denominadas ruído branco (White Noise), ruído rosa (Pink Noise) e ruído vermelho (Red Noise) (FUCHS, 2013). O objetivo deste trabalho é analisar computacionalmente três tipos ruídos canônicos utilizando, de forma inédita, a técnica conhecida como Análise de Padrões-Gradiente (GPA - Gradient Pattern Analysis). O resultado obtido apresenta um padrão espectral de referência que pode ser utilizado para a classificação de sinais provenientes de fenômenos naturais, em relação aos três tipos canônicos de ruído. Palavras-chave: série temporal, processo estocástico, análise de padrões-gradiente, reconhecimento de padrão, caracterização de regime. Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Ciência da Computação Introdução A Análise de Padrões-Gradiente (GPA - Gradient Pattern Analysis) compreende um método computacional para caracterizar quebra de simetria bilateral de um conjunto de vetores simétricos regularmente distribuídos em uma rede numérica. Geralmente, a estrutura de vetores representa o gradiente de primeira ordem de um campo escalar, no caso, uma matriz de amplitude quadrada M X M. Dada uma matriz M X M, em que todas as amplitudes são diferentes, resulta em uma estrutura gradiente M X M contendo NV = M² vetores assimétricos. Como cada vetor pode ser caracterizado por sua norma e fase, variações nas amplitudes M² podem modificar o respectivo padrão gradiente M². (ROSA et al., 2000). O principal objetivo da GPA é calcular as assimetrias em escalas locais e globais de um dado perfil temporal, espacial ou espaço-temporal, por meio de uma operação computacional que caracteriza padrões - através das medidas de pequenas e grandes amplitudes em tais padrões - como grades gradientes (ou uma sequência de matrizes) (ROSA et al., 1999; ROSA et al., 2000; ASSIREU et al., 2002; ROSA et al., 2003; BARONI et al., 2006a; ROSA et al., 2007). Essa grade gradiente é representada por uma matriz denominada matriz das amplitudes (Equação 1), em que N é o tamanho da série temporal (DANTAS, 2009). MA = MA(1,1),..., MA(i, j),..., MA( N, N) i, j I e MA (1) A matriz quadrada MA possui dimensões espaciais (x, y), discretizadas em N X N pontos, com 1 i N e 1 j N (DANTAS, 2009). Frequentemente, cada intensidade da amplitude MA (i, j), na matriz de amplitudes, representa uma medida local de energia espacialmente distribuída. A flutuação espacial do padrão global MA (i, j), para um dado instante t, pode ser caracterizada através do campo vetorial gradiente Gt = [MA (x, y)] t. Uma flutuação espacial local, entre um par instantâneo de intensidades e pertencentes ao padrão 1

2 global, é caracterizada por seu vetor gradiente, determinado entre cada par de pontos da grade bidimensional. Nesta representação, os valores relativos entre as amplitudes (os quais determinam a norma e a orientação de cada vetor) são mais relevantes do que os seus valores absolutos (DANTAS, 2009). A medida do gradiente global de vetores assimétricos é chamada de Coeficiente de Assimetria Gradiente, GA (ROSA et al., 2003), dado por: GA = (NC - NV) / NV, onde NC > NV. NV é o número total de vetores assimétricos remanescentes após a remoção dos pares simétricos, e NC é o número de conexões entre esses vetores (gradientes locais) (DANTAS, 2009). Esse operador computacional mede a quebra de simetria de uma dada grade de flutuação e tem sido usado em várias aplicações (ROSA et al., 1999; ROSA et al., 2000; ASSIREU et al., 2002; ROSA et al., 2003; BARONI et al., 2006a, 2006b; ROSA et al., 2007, DANTAS, 2009). A Figura 1 mostra um diagrama que ilustra a sequência de passos para o cálculo do coeficiente de assimetria para uma série temporal. Figura 1 - Passos para calcular o coeficiente de assimetria gradiente. Fonte: DANTAS (2009). Cada gradiente local é obtido pela computação de [di(ma (i, j))]/di e [dj(ma (i, j))]/dj da matriz, que representam as diferenças de amplitudes do perfil nas direções i (linha) e j (coluna), respectivamente. O espaçamento entre os pontos em cada direção é assumido como um. A conexão geométrica entre os vetores é gerada pela triangulação de Delaunay (DANTAS, 2009). Devido às possíveis mudanças nas fases de cada gradiente local (um vetor na grade gradiente), a quantidade NC é muito sensível para detectar flutuações assimétricas locais na grade (ROSA et al., 1999) e, consequentemente, no perfil original (DANTAS, 2009). Várias análises em padrões aleatórios têm mostrado que o coeficiente GA quantifica de maneira eficiente o nível de assimetria do perfil analisado. Além disso, GA é muito mais sensível e preciso para caracterizar estruturas complexas e irregulares do que medidas de correlação (ROSA et al., 1999). Quando não existe flutuação assimétrica em um padrão gradiente, o número total de vetores assimétricos é zero, e por definição GA é nulo. Para um padrão gradiente randômico e totalmente desordenado, GA tem o valor mais alto e seu valor cresce assintoticamente até 2 (ROSA et al., 1999), ou seja, GA é máximo quando todas as fases e normas são diferentes na grade gradiente. Para um padrão complexo composto de flutuações assimétricas locais, GA é não nulo e define classes de flutuação complexa (DANTAS, 2009). O GPA foi utilizado neste trabalho aplicado a um estudo de caso composto de 3 séries temporais estocásticas (de ruídos): White Noise (WN), Pink Noise (PN) e Red Noise (RN); as respectivas Densidades Espectrais de Energia dos ruídos revelam os padrões espectrais dos ruídos (Figura 2). O WN possui um espectro que é uma constante, porque as suas frequências apresentam a mesma amplitude, e sua correlação é uma função δ. O espectro do RN cai proporcionalmente até 2

3 K 2, levando-o a uma dominância de baixas frequências. O WN é o derivativo do RN, consequentemente o RN é a integral do WN, em tempo. Figura 2 - Séries temporais canônicas do tipo 1/f K, para o WN (S(K) = constante) (painel superior à esquerda), PN (S(K) ~ K 1 ) (painel superior ao meio) e RN (S(K) ~ K 2 ) (painel superior à direita), e suas respectivas Densidades Espectrais de Energia (PSD) para o WN (painel inferior à esquerda), PN (painel inferior ao meio), e RN (painel inferior à direita). Densidade Espectral de Energia (db/hz) Frequência (Hz) Densidade Espectral de Energia (db/hz) Frequência (Hz) Densidade Espectral de Energia (db/hz) Frequência (Hz) Fonte: FUCHS (2013) (séries temporais); o autor (PSD). Entre os dois ruídos existe o PN, cujo espectro cai de forma proporcional até K 1. Estas séries temporais possuem um tamanho infinito de correlação, mas não existe um sistema dinâmico simples que produza tal comportamento, mesmo que sejam frequentemente encontradas na natureza. A forma mais fácil de produzi-las, é iniciar com seu espectro correspondente (constante para o WN, K 2 para o RN, e K 1 para o PN) e multiplicar cada componente da frequência por e iφ(k), em que φ(k) são números aleatórios igualmente distribuídos entre -π e π. As séries temporais são então obtidas via transformada inversa de Fourier (FUCHS, 2013). Há sistemas na natureza cujos processos envolvem os ruídos WN, PN ou RN, no entanto, estes tipos de ruídos são idealizações e emergem, não são observados porque contêm infinita quantidade de energia. A energia (E) em um sinal é representada pela Equação 2. E = S(K)dK (2) 0 A integral na Equação 2 diverge do WN (K ), do RN (K 0), e do PN em ambos os lados (FUCHS, 2013). Considerando a existência em grande quantidade de fenômenos naturais associados aos três tipos de ruídos citados, os resultados obtidos são importantes para serem utilizados em um trabalho futuro, com o intuito de classificar sinais de outros fenômenos naturais, em relação aos GAs dos três tipos de ruído. 3

4 Metodologia Para a análise das 3 séries temporais estocásticas (WN, PN e RN), utilizou-se, para cada uma delas, um arquivo de texto contendo 8192 pontos da série a ser utilizada. Cada ponto é um número real. Cada um desses dados foi utilizado para o processamento do GPA. Para o processamento do GPA, utilizou-se um protótipo do software, que utiliza as linguagens de programação Cython e Python, baixado na página do GitHub do desenvolvedor (SAUTTER, 2017). Utilizou-se o código que processa o GPA, apenas compilando e executando o código-fonte main.py, seguindo as instruções contidas na página inicial do GitHub. Para a execução, o comando é o seguinte: python main.py filename tol rad_tol ptol. O parâmetro filename pede como entrada uma matriz de dados; o parâmetro tol pede como entrada o valor real do módulo vetorial, o parâmetro rad_tol pede como entrada o valor real da tolerância da fase, e o parâmetro ptol pede como entrada o valor da tolerância da posição. Nos processamentos utilizados neste trabalho, utilizou-se os valores 0.02, 0.01 e 1 para os parâmetros tol, rad_tol e ptol, respectivamente. Para a execução do código-fonte main.py, e realização do processamento desejado para este trabalho, fez-se necessário implementar 3 códigos-fontes em Python. Para isso, utilizou-se a distribuição Python Anaconda, o ambiente de desenvolvimento PyCharm, e as bibliotecas Numpy Matplotlib, subprocess, math e pylab. Os 3 códigos-fontes implementados foram: 1. converte_serie_em_matriz.py ; 2. converte_matriz_em_mini_matrizes.py ; 3. plotar_graficos.py. O 1º código-fonte a ser utilizado foi o converte_serie_em_matriz.py. O fluxo de funcionamento deste software ocorre da seguinte forma: 1. Entrada: arquivo de texto serie.txt (executa-se, aqui, o código para a série, processamento de um ruído por vez; a série possui 8192 pontos, mas foram utilizados apenas 8100, pois após a conversão da série em matriz, esta precisa ser quadrada, de acordo com os requisitos do GPA; 2. Processamento: conversão da série em uma matriz quadrada, contendo todos os seus pontos. 3. Saída: arquivo de texto matriz.txt. O 2º código-fonte a ser utilizado foi o converte_matriz_em_mini_matrizes.py. O fluxo de funcionamento deste software ocorre da seguinte forma: 1. Entrada: arquivo de texto matriz.txt ; 2. Processamento: conversão da matriz em um array de matrizes, na escala desejada (L1 = 8100 pontos, ou L2 = 2025 pontos, ou L3 = 900, ou L4 = 225, ou L5 = 100, ou L6 = 25, ou L7 = 9, ou L8 = 4). Esta conversão converte a matriz em várias matrizes menores ( mini matrizes ). Exemplo: o número de pontos das séries é de A matriz quadrada é de ordem 90 (90X90). Ao converter esta matriz para a escala L3, serão criadas 9 matrizes de ordem 30 (30X30). Este processamento ocorre em um laço, até o número da ordem da matriz que se deseja converter, gerando Para cada mini matriz analisada, gera-se L1/LN GAs, onde LN é a escala que se deseja trabalhar (L1 a L8). 3. Saída: média e desvio-padrão do GA das mini matrizes analisadas. Caso a matriz seja de ordem 90, o processamento do GA será direto, não havendo média, nem desvio-padrão. O 3º código-fonte a ser utilizado foi o plotar_graficos.py. Este software plota o gráfico Log 1/L X GA, utilizando os valores dos GAs computados para cada escala L. O fluxo de funcionamento deste software ocorre da seguinte forma: 1. Entrada: para a plotagem dos valores do eixo X, utilizou-se os valores das escalas de L1 a L8; para a plotagem dos valores do eixo Y, utilizou-se os valores das médias dos GAs, contendo os desvios-padrão. 2. Processamento: geração do gráfico a partir dos dados de entrada. 3. Saída: gráfico Log 1/L X GA. Resultados A aplicação inédita da técnica GPA sobre séries canônicas permitiu obter como resultado um padrão espectral típico para os três processos estocásticos analisados (Gráfico 1). Esta figura mostra 4

5 o gráfico Log 1/L X GA gerado pelo software, descrito ao final da seção Metodologia, considerando as respectivas barras de erro para cada tipo de ruído. Gráfico 1 - Log 1/L X GA. Análise via GPA de 3 séries temporais estocásticas: WN, PN e RN. Escala das matrizes analisadas variando de L1 a L8. Discussão Fonte: O autor. Verifica-se, com base nos resultados apresentados, que ocorre flutuação assimétrica nos 3 perfis analisados, ocorrendo alta flutuação para os perfis WN e PN. Observa-se também que a evolução dos valores de GAs do perfil PN é bem semelhante ao do WN, apesar de possuir valores mais baixos. A evolução dos valores de GAs do perfil RN é bem distinta, mas verifica-se que do mesmo modo que os demais perfis, no início ocorre progressivo aumento no valor do GA, e, nos 3 casos, a partir da escala L5, ocorre diminuição no valor do GA, até a última escala (L8). Os ruídos analisados (WN, PN e RN) são ruídos do tipo 1/f K, sendo K = 1/L. O valor de K para WN é 0, para PN é 1, e para RN é 2; outro ruído interessante que pode ser analisado e comparado correspondente ao K = 5/3, denominado espectro de Kolmogorov s, associado ao fenômeno de turbulência (MANDELBROT, 1999); este estudo ficou fora do escopo do presente artigo, que tem por finalidade investigar a dependência da escala na análise de padrões gradientes para três diferentes tipos de ruído, como apresentado e discutido. No entanto, será investigado em trabalhos futuros, juntamente com a análise de séries temporais de fenômenos físicos, como rádio emissões solares, que apresentam diferentes padrões de evolução (tais como periódico, turbulento e caótico). Conclusão Log 1/L Conclui-se que os resultados indicam padrões de alta assimetria para certos níveis de L, na análise dos 3 ruídos via GPA (entre L4 e L5), faixa que pode ser caracterizada como ideal para uma análise mais acurada, ao menos neste estudo de caso, e possivelmente em outras aplicações; pretende-se utilizar os resultados em trabalhos futuros para classificar espectros de rádio emissões solares do repositório e-callisto ( de acordo com os espectros obtidos via GPA dos 3 ruídos (WN, PN e RN), incluindo o ruído relacionado ao espectro de Kolmogorov s. 5

6 Agradecimentos M. A. U. Cintra agradece à CAPES pela bolsa de Mestrado e à UNIVAP; F. C. R. Fernandes agradece à FAPESP (Projeto Regular, Proc. 2017/ ) e ao CNPq (Bolsa PQ, Proc /2015-0). R. R. Rosa agradece à FAPESP (Projeto Temático Proc. 2014/ ). Referências ASSIREU, A.T.; ROSA, R.R.; LORENZZETTI, J.A.; VIJAYKUMAR, N.L.; REMPEL, E.L.; RAMOS, F. M.; ABREU DE SÁ, L.D.; BOLZAN, M.J.A.; ZANANDREA, A. Gradient Pattern Analysis of short nonstationary time series: an application to lagrangian data from satellite tracked drifters. Physica D: Nonlinear phenomena, v , p , BARONI, M.P.M.A.; ROSA, R.R.; SILVA, A.F.; PEPE, I.; ROMAN, L.S.; RAMOS, F.M.; AHUJA, R.; PERSSON, C.; VEJE, E.; Modeling and gradient pattern analysis of irregular SFM structures of porous silicon. Microelectronics Journal. v.37, n.4, p , 2006a. BARONI, M.P.M.A.; CONCEIÇÃO, M.V.; ROSA, R.R.; PERSSON, C.; ARWIN, H.; DASILVA JR, E.F.; ROMAN, L.S.; NAKAMURA, O.; PEPE, I.; FERREIRA DA SILVA, A. Optical, Thermal and Structural Properties of Porous Diamond-like-Carbon Films Deposited by Magnetron Sputtering. Journalof Non- Crystalline Solids, v.352, n.32-35, p , 2006b. DANTAS, M.S. Análise espectral de padrões-gradiente de séries temporais curtas f. Dissertação (Mestrado em Computação Aplicada) - INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos-SP, FUCHS, A. Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences. Heidelberg; New York: Springer-verlag Berlin Heidelberg New York, 238p., MANDELBROT, B.B. Multifractals and 1/f Noise. Heidelberg; New York: Springer-verlag Berlin Heidelberg New York, 442p., NIST/SEMATECH. e-handbook of Statistical Methods, Disponível em: < Acesso em 09 set ROSA, R. R.; SHARMA, A.; VALDIVIA, J. Characterization of asymmetric fragmentation patterns in spatially extended systems. International Journal of Modern Physics B, v.10, n.1, p , ROSA, R.R.; PONTES, J.; CHRISTOV, C.; RAMOS, F.; NETO, C.; REMPEL, E.; WALGRAEF, D. Gradient Pattern Analysis of Swift-Hohenberg dynamics: phase disorder characterization. Physica A, v.283, n.1-2, p , ROSA, R. R.; CAMPOS, M., RAMOS, F., VIJAYKUMAR, N., FUJIWARA, S.; SATO, T. Gradient pattern analysis of structural dynamics: application to molecular system relaxation. Brazilian Journal of Physics, v.33, n.3, p , ROSA, R.R.; BARONI, M.P.M.A.; ZANIBONI, G.T.; FERREIRA DA SILVA, A.; ROMAN, L.S.; PONTES, J.; BOLZAN, M.J.A. Structural complexity of disordered surfaces: Analyzing the porous silicon SFM patterns, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, v.386, n.2, p , SAUTTER, R. Concentric Gradient Pattern Analysis. GitHub repository Disponível em: < Acesso em 01 maio