Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de Concreto Armado

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1 Andrea Isabel Rojas Eraso Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de Concreto Armado Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientadora: Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Co-orientadora: Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida Rio de Janeiro Setembro de 2011

2 Andrea Isabel Rojas Eraso Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de Concreto Armado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida Co-orientadora Universidade Federal Fluminense Prof.ª Claudia Maria de Oliveira Campos Universidade Federal Fluminense Prof. Rodrigo Bird Burgos Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de Janeiro, 9 de setembro de 2011

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Andrea Isabel Rojas Eraso Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade de Nariño, Pasto - Colombia, em Atua na área de Confiabilidade estrutural com ènfase em concreto armado. Rojas Eraso, Andrea Isabel Ficha Catalográfica Análise de confiabilidade de longarinas de pontes ferroviárias de concreto armado / Andrea Isabel Rojas Eraso; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco; coorientadora: Andréia A. Diniz de Almeida f. : il. (color.) ; 30 cm Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, Inclui bibliografia 1. Engenharia Civil Teses. 2. Concreto armado. 3. Confiabilidade de estruturas. 4. Estado limite último. 5. Confiabilidade de estruturas. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Almeida, Andreia A Diniz. III. Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD: 624

4 Não há sabedoria alguma, nem discernimento algum, nem plano algum que possa opor-se ao Senhor. Prepara-se o cavalo para o dia da batalha, mas o Senhor é que dá a vitória. Prov. 21:30-31

5 Agradecimentos A Deus pelo seu amor e sua fidelidade, nada teria sentido sem sua maravilhosa presença. Aos meus pais e a minha família pelo seu amor, seu apoio, suas orações, por ter sempre as palavras oportunas no momento certo. A minha orientadora Marta de Souza Lima Velasco, pelos conhecimentos transmitidos e por toda sua colaboração. A Andréia A. Diniz minha co-orientadora, pelos conhecimentos transmitidos, disponibilidade, paciência, incentivo e principalmente pela amizade desenvolvida ao longo destes anos. Aos professores do departamento, especialmente ao professor Rodrigo Bird Burgos pelos ensinamentos e colaboração neste trabalho. A todos os amigos e colegas que me acompanharam nesta caminhada, pelos bons momentos compartilhados. A Lorena Chamorro pela sua amizade e seu apoio, pelas longas noites de trabalhos e por cada momento compartilhado juntas. A todas as pessoas que direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho, cada aporte foi fundamental. A CAPES e a PUC-Rio pelo apoio financeiro.

6 Resumo Rojas Eraso, Andrea Isabel; Velasco, Marta de Souza Lima; Almeida, Andreia A. Diniz. Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de Concreto Armado, Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Em todo projeto de estruturas de engenharia existem incertezas associadas às propriedades dos materiais, às propriedades geométricas e aos carregamentos. Essas incertezas geralmente são consideradas através de fatores de segurança. A análise de confiabilidade aplicada ao projeto de estruturas é uma ferramenta que permite avaliar a probabilidade de falha da estrutura para um determinado modo de comportamento e a sensibilidade deste projeto em relação às variáveis consideradas. Neste trabalho são aplicadas estratégias de avaliação da confiabilidade das vigas principais de uma ponte existente de concreto armado, as quais são verificadas no estado limite último na flexão simples e no estado último de serviço na formação de fissuras, segundo as recomendações da NBR6118:2003. Foram desenvolvidas rotinas com o auxílio do programa Matlab para avaliar a probabilidade de falha da ponte segundo o método de simulação de Monte Carlo e o método FORM (First Order Reliability Method). Também é realizada uma análise de sensibilidade para analisar a influência de cada variável na confiabilidade da ponte. Palavras-chave Pontes Ferroviárias; confiabilidade; concreto armado; estruturas existentes.

7 Abstract Rojas Eraso, Andrea Isabel; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor); Almeida, Andreia A. Diniz (Co-Advisor). Reliability Analysis for Stringers of Concrete Railway Bridges. Rio de Janeiro, p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. In the project of engineering structures, some design variables are usually taken as deterministic, although there are uncertainties associated with loads, material and geometrical properties. The use of safety factors is the most common strategy to deal with these uncertainties. The reliability analysis of structures is a tool to assess the probability of structural failure in a certain behavior and the sensitivity of this failure in relation to each variable considered. This work is concerned with the reliability analysis of the main beams of an existing bridge made of reinforced concrete, which is checked at the ultimate limit state in simple bending and the ultimate state of service in the formation of cracks as recommended by NBR6118: Matlab routines are developed in order to assess the probability of failure of the bridge using two methods: Monte Carlo simulation and FORM (First Order Reliability Method). Additionally, a sensitivity analysis is performed in order to analyze the influence of each variable in the reliability of the bridge. Keywords Railway bridges; reliability; reinforced concrete; existing structures.

8 Sumário 1 Introdução Considerações Iniciais Objetivo Organização do Trabalho 23 2 Revisão Bibliográfica Estruturas Existentes Monitoração e Gerenciamento de Pontes Fadiga Pontes de Concreto Armado Códigos de Calibração Modelos de Carga O FORM Como Método de Avaliação da Probabilidade de Falha Programas Computacionais 40 3 Sistemática de Avaliação de Pontes e Viadutos Panorama Geral do que é Feito Normas Técnicas 44 4 Confiabilidade Estrutural Introdução Estados Limites Função de Estado Limite Probabilidade de Falha Métodos de Cálculo da Probabilidade de Falha Método de Primeira Ordem FORM (First Order Reliability Method) Análise de Sensibilidade Método de Simulação de Monte Carlo Índice de Confiabilidade de Referência 58 5 Formulação do Problema 61

9 5.1. Introdução Verificação de Segurança no Estado Limite Último Variáveis Aleatórias Função de Estado Limite Momento Resistente Momento Solicitante Verificação de Segurança no Estado Limite de Serviço Estado Limite de Formação de Fissuras Estado Limite de Abertura de Fissuras Rotinas Implementadas para Análise de Confiabilidade Associadas ao Estado Limite de Ruptura 79 6 Estudo de Caso Descrição Geral da Ponte Análise de Confiabilidade da Ponte Análise com Seis Variáveis Aleatórias Análise com Quatro Variáveis Aleatórias Análise com Três Variáveis Aleatórias Influência do Coeficiente de Variação (COV) da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha Análise com Quatro Variáveis Aleatórias sem Considerar Coeficientes de Segurança Influência da Variação COV da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha Análise no Estado Limite de Serviço na Formação de Fissuras Conclusões e Sugestões Sugestões Referências Bibliográficas 109 Anexo A Teoria de Probabilidade 119 A.1. Introdução 119 A.2. Variável Aleatória 119 A.3. Função Cumulativa de Distribuição (CDF) e Função Densidade de

10 Probabilidade (PDF) 119 A.4. Principais Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua 121 A.5. Distribuições de Probabilidade 122 A.5.1. Distribuição Normal ou Gaussiana 122 A.5.2. Outras Distribuições 122 A.5.3. Distribuições Normais Equivalentes 124 A.5.4. Coeficientes de Correlação Equivalentes 124 A.6. Coeficientes Parciais de Segurança 125 A.7. Valores Característicos das Variáveis 126

11 Lista de figuras Figura 2.1. Pesquisas necessárias e áreas de estudo envolvidas (adaptado de Catbas et al 2008) 32 Figura 2.2. Esquema básico para análise de confiabilidade usando SHM (adaptado de Catbas et al 2008 ). 32 Figura 4.1 Representação da integral de convolução (fonte: Melchers 2002) 50 Figura 4.2. Definição do domínio de falha (fonte: Melchers 2002). 51 Figura 4.3. Transformação do espaço original para o espaço reduzido normal padrão (fonte: Choi e Youn 2001). 53 Figura 4.4. Aproximação do Método FORM para superfícies côncavas e convexas (fonte: Lopez 2007). 53 Figura 4.5. Representação gráfica da busca do ponto de projeto para um problema com duas variáveis (fonte: Choi e Youn 2001). 55 Figura 5.1. Domínios de estado limite último de uma seção transversal (fonte: NBR 6118:2003) 65 Figura 5.2. Seção Tipo da ponte 66 Figura 5.3. Esquema geral para uma viga T 67 Figura 5.4. Locomotiva tipo DASH9 (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 69 Figura 5.5. Vagão tipo GDT (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 69 Figura 5.6. Esquema geral dos estádios de deformação. 72 Figura 5.7. Concreto de envolvimento da armadura (fonte NBR6118:2003) 78 Figura 5.8. Fluxograma esquemático das opções de análise implementadas no programa de confiabilidade de estruturas. 82 Figura 6.1. Vista geral da ponte sobre o Rio Vermelho (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 83 Figura 6.2. Sistema estrutural da ponte (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 84 Figura 6.3. Seção π da ponte sobre o Rio Vermelho (a) largura da longarina 35 cm. (b) Largura da longarina 70 cm. (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 84 Figura 6.4. Comparação do índice de confiabilidade obtido pelo FORM

12 para 6 e 4 variáveis aleatórias. 91 Figura 6.5. Comparação da probabilidade de falha obtida pelo FORM para 6 e 4 variáveis aleatórias. 91 Figura 6.6. Comparação da probabilidade de falha para as análises feitas com seis, quatro e três variáveis aleatórias. 94 Figura 6.7. Variação do índice de confiabilidade em função do COV da carga móvel Q. 96 Figura 6.8. Variação do fator de importância em função do COV de Q. 96 Figura 6.9. Comparação do índice de confiabilidade em função da variação de Q 98 Figura Comparação da probabilidade de falha em função da variação de Q 98 Figura Fator de importância em função da variação da carga móvel Q. 99 Figura Comparação da probabilidade de falha obtida com e sem coeficientes de segurança 100 Figura Variação do índice de confiabilidade em função do COV da carga móvel Q, sem coeficientes de segurança. 102 Figura Variação do fator de importância em função do COV de Q, sem coeficientes de segurança. 103 Figura Comparação do índice de confiabilidade em função da variação de Q sem coeficientes de segurança 104 Figura 6.16 Probabilidade de falha em função da variação de Q sem coeficientes de segurança 104 Figura A.1 (a) Função Densidade de Probabilidade (PDF) e (b) Função Cumulativa de Distribuição (CDF). 120 Figura A.2. Valor característico típico para a variável Resistência S (fonte: James 2003) 127 Figura A.3. Valor característico típico para a variável solicitação S (fonte: James 2003) 128

13 Lista de tabelas Tabela 2.1. Níveis de avaliação da segurança, (Wisniewski, 2007) 28 Tabela 4.1. Valores do índice de confiabilidade de referência β T e Probabilidade de falha P f associadas, relacionadas ao estado limite último. 59 Tabela 4.2. Valores do índice de confiabilidade de referência β T e probabilidade de falha P f associados ao estado limite de serviço 60 Tabela 5.1. Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias 63 Tabela 5.2. Abertura máxima das fissuras (w k ), para combinação freqüente, em função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2003). 74 Tabela 5.3. Classes de agressividade ambiental 74 Tabela 6.1. Seções consideradas na análise 85 Tabela 6.2. Dados probabilísticos das variáveis aleatórias 85 Tabela 6.3. Dados de área e momento de inércia para as seções estudadas 85 Tabela 6.4. Armaduras de tração e compressão para cada seção 85 Tabela 6.5. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias sem considerar armadura de pele. 86 Tabela 6.6 Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 6 variáveis aleatórias. 87 Tabela 6.7. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias com armadura de pele 88 Tabela 6.8. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM com armadura de pele para 6 variáveis aleatórias. 88 Tabela 6.9. Probabilidade de falha para os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias sem armadura de pele. 89 Tabela Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias. 89 Tabela Resultado da probabilidade de falha para os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias com armadura de pele 90

14 Tabela Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias 90 Tabela Comparação entre as análises feitas com o FORM para seis e quatro variáveis aleatórias 90 Tabela Valores característicos e valores médios das variáveis aleatórias 92 Tabela Resultados do método FORM para quatro variáveis aleatórias 92 Tabela Comparação entre as análises feitas com o FORM para quatro variáveis aleatórias. 93 Tabela Resultado do método FORM para três variáveis aleatórias 93 Tabela 6.18 Comparação entre as análises com três e seis variáveis aleatórias. 94 Tabela Análise de sensibilidade da probabilidade de falha em função do COV da carga móvel Q. 95 Tabela Valores característicos e valores médios da carga móvel Q 97 Tabela Resultado do FORM para quatro variáveis aleatórias com carga móvel Q aumentada 25% 50% e 100% 97 Tabela Analises para quatro variáveis aleatórias pelo método FORM, considerando a armadura de pele. 100 Tabela Resultados obtidos com e sem coeficientes de segurança 100 Tabela Análises para quatro variáveis aleatórias pelo método FORM, desconsiderando a armadura de pele. 101 Tabela Comparação entre os dados obtidos com e sem coeficientes de segurança, sem armadura de pele. 101 Tabela Resultados da análise de sensibilidade da probabilidade de falha em função do COV da carga Q, sem considerar coeficientes de segurança 102 Tabela Resultado do método FORM variando a carga móvel, sem considerar coeficientes de segurança 103 Tabela Resultados (via FORM), para o estado limite de formação de fissuras 105 Tabela A.1. Distribuições de probabilidade mais utilizadas 123

15 Lista de Símbolos Romanos a Parâmetro da distribuição Uniforme A cri As A s b b f b w C d d E cs E s E(X) F F f cd f ck f ct f ct,m F d,ser F gik F q1k F R (s) Representa a probabilidade de R s f R f R (r) Função densidade de probabilidade da resistência f RS f RS (r,s) Função conjunta de densidade de probabilidade de R e S f S f S (s) f s (s)ds Área da região de envolvimento Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração Área da seção da armadura longitudinal de compressão Parâmetro da distribuição Uniforme Largura da mesa da viga Largura da alma da viga Valor da confiabilidade da estrutura Altura útil Altura útil Módulo de elasticidade secante do concreto Módulo de elasticidade do aço Valor médio ou a média de uma variável aleatória X Domínio de falha Valor que depende somente de ij e dos coeficientes de variação das variáveis aleatórias não normais Resistência de cálculo à compressão do concreto Resistência à compressão do concreto Resistência à tração direta do concreto Resistência media do concreto a tração Valor de cálculo das ações para combinações de serviço Valor característico das ações permanentes Valor característico da ação variável principal direta Função densidade de probabilidade marginal da resistência Função densidade de probabilidade conjunta Função densidade de probabilidade marginal da solicitação Função densidade de probabilidade da solicitação Representa a probabilidade de S assumir um valor entre s e s+ds

16 F x (X) f x (X) f yd f yk g(y) g(y K ) G(X) h h f I c I e I i I J k k k R k S L n s m M f M rd M sd M sp M spadic M sp1 M sq Função cumulativa de distribuição Função densidade de probabilidade Resistência de cálculo à tração do aço Resistência à tração do aço Função de falha escrita em função das variáveis no espaço normal padrão Valor da função de falha no espaço reduzido Função de estado limite no espaço original Altura da viga Altura das asas da viga Momento de inércia da seção bruta do concreto Momento equivalente segundo a formula de Brandson Fator de importância Momento de inércia no Estádio II puro Jacobiano da transformação de Nataf Nível de confiança desejado Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo (Weibull) Fator que depende do tipo de distribuição considerada para a resistência e do percentil especificada para o valor característico Fator que depende do tipo de distribuição considerada para a solicitação e do percentil especificada para o valor característico Matriz triangular inferior obtida a partir da decomposição de Choleski da matriz dos coeficientes de correlações equivalentes das variáveis X Número de simulações para o método de simulação de Monte Carlo Vetor com as médias normais equivalentes das variáveis aleatórias X Momento de fissuração Momento resistente de cálculo Momento solicitante de cálculo Momento solicitante por carga permanente Momento solicitante por carga adicional para cálculo do momento por carga permanente Momento auxiliar para o cálculo do momento solicitante por carga permanente Momento solicitante por carga móvel

17 M sq1 P f P fadm Q Q in R R cd R n R K R sd R sd S S K u v Var(X) w w 1 w 2 w k x X X X 2lim X 3lim Y Y* y t Momento auxiliar para o cálculo do momento por carga móvel Probabilidade de falha associada ao problema Probabilidade de falha admissível Carga móvel Valor nominal da i-ésima carga (ou seu efeito) Resistência do elemento Força que age no concreto Resistência nominal Valor característico da resistência Força que age no aço de tração Força que age no aço de compressão Solicitação imposta ao elemento Valor característico da solicitação Parâmetro da distribuição Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo (Weibull) Variância de uma variável aleatória X Abertura de fissura Abertura de fissura 1 Abertura de fissura 2 Abertura máxima das fissuras Profundidade da linha neutra Indicador de variável aleatória Posição da linha neutra no estádio II Altura limite para o domínio 2 Altura limite para o domínio 3 Variáveis normais padrão estatisticamente independentes Ponto de projeto no espaço reduzido Distancia do centro de gravidade da seção transversal a sua fibra mais tracionada Gregos α α α e Parâmetro da distribuição Rayleigh Valor que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta Relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de

18 α i 2 β β adm β T Г i k ε s ε c ε yd λ λ o λ k μ R μ S μ X elasticidade secante do concreto Co-seno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no ponto de projeto e o eixo da variável reduzida Índice de confiabilidade Índice de confiabilidade admissível Índice de confiabilidade de referência Matriz inversa da matriz L Peso específico do concreto Coeficiente de majoração da i-ésima carga (ou seu efeito) Coeficiente de segurança global ou característico Deformação da armadura Deformação da fibra de concreto Deformação do cálculo do aço correspondente a tensão de escoamento Coeficiente de conformação superficial Parâmetro da distribuição Lognormal Coeficiente de segurança central Coeficiente de majoração da solicitação Valor médio da resistência Valor médio da solicitação Valor médio de uma variável aleatória X N μ X Média normal equivalente no ponto x* ξ ij E ρij r σ σ σ adm σ lim Parâmetro da distribuição Lognormal Coeficiente de correlação entre as variáveis X i e X j Coeficiente de correlação equivalente Taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da região de envolvimento. Matriz diagonal contendo os desvios padrões normais equivalentes das variáveis aleatórias X Tensão obtida pela teoria linear para as cargas máximas esperadas durante a vida útil da estrutura Tensão admissível Tensão limite N σ X Desvio padrão normal equivalente no ponto x* σ s Tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada

19 σ sd calculada no Estádio II Tensão de cálculo à compressão no concreto σ sd Tensão de cálculo á tração no concreto σ R σ X τ Ф Parâmetro da distribuição Rayleigh Desvio padrão de uma variável aleatória X Parâmetro das distribuições Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo Fator de minoração da resistência Função de distribuição cumulativa da variável normal padrão Ф( ) Função densidade de probabilidade normal padrão 1 ( ) Inversa da distribuição cumulativa normal padrão υ υ k g(y K ) G(X) g(y * ) i Representa a função de densidade de probabilidade Diâmetro da barra utilizada na armadura de tração Coeficiente de impacto Coeficiente de minoração da resistência Fator de redução de combinação freqüente para estado limite de serviço Fator de redução de combinação quase freqüente para estado limite de serviço Gradiente da função de falha no espaço reduzido, avaliada no ponto de projeto para iteração K, Y K. Gradiente da função de falha no espaço original avaliado no ponto X Componente do gradiente da função de estado no espaço reduzido

20 Lista de Abreviaturas AASHTO ASCE BMS CEB CDF COV C.S. CVRD EFC ELF ELS ELU FORM FOSM HLRF ISO JCSS LRFD LRFD NBR NiCAE PDF RSM SHM SORM VA American Association of State Highway and Transportation Officials American Society of Civil Engineers Bridge Management System (Sistema de gerenciamento de pontes) Comite Euro-International Du Beton Cumulative Distribution Function (Função Cumulativa de Distribuição) Coeficiente de variação Coeficiente de segurança Companhia Vale do Rio Doce Estrada de Ferro Carajás Estado limite de fadiga Estado limite de serviço Estado limite último First Order Reliability Method (Método de Confiabilidade de Primeira Ordem) First Order Second Moment (Método de Confiabilidade de primeira ordem e segundo momento) Algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler International Organization for Standardization Joint Committee on Structural Safety (Comitê de Segurança Estrutural) Load Factor Design Load and Resistance Factor Design Norma Brasileira Registrada Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia Probability Density Function (Função Densidade de Probabilidade) Response Surface Methodology (Métodos de superfície de resposta) Structural Health Monitoring (Monitoramento da Saúde Estrutural) Second Order Realibility Method (Método de Confiabilidade de Segunda Ordem) Variável Aleatória

21 1 Introdução 1.1. Considerações Iniciais As pontes constituem uma porção significativa da rede viária. O número de pontes e a idade das pontes existentes aumentam continuamente e como consequência, os problemas relacionados com a deterioração de estruturas e perda de funcionalidade também aumentam. Portanto, nos últimos anos, têm sido desenvolvidas pesquisas com objetivo de obter base para uma avaliação racional da condição das pontes. O transporte ferroviário é um instrumento para o desenvolvimento sustentável dos países que o promovem, além de ser um meio de fácil e rápida movimentação de pessoas e mercadorias entre países, o que conduz ao crescimento econômico e à união social dos países que o desenvolvem. No Brasil, a avaliação de pontes ferroviárias existentes é importante para seu desenvolvimento econômico, considerando que conta com grande numero desse tipo de obras de arte, como por exemplo, o país conta com a Estrada de Ferro Carajás (EFC) catalogada como uma das ferrovias com melhores índices de produtividade do mundo. A implantação dos avanços tecnológicos na construção e recuperação das pontes ferroviárias é muito importante para o desenvolvimento do país. O mau estado das pontes causa desconforto e insegurança aos usuários, além de elevar os custos de manutenção das mesmas. Todo projeto estrutural deve considerar as incertezas associadas às propriedades dos materiais, às propriedades geométricas e aos carregamentos. Essas incertezas impossibilitam que a estrutura apresente uma segurança absoluta, pois uma determinada combinação de valores das variáveis pode resultar numa condição de falha. Para se considerar a natureza probabilística dessas incertezas, é preciso identificar e definir estas quantidades como variáveis aleatórias no modelo de análise. A maneira simples, adotada nas normas, de considerar essas incertezas é através da adoção de coeficientes parciais de segurança, para majorar as solicitações e minorar as resistências,

22 22 aplicados aos valores característicos das variáveis transformando-os em valores de cálculo. Os coeficientes de segurança visam criar margens de segurança para controlar o risco de falha estrutural (Junior, 2008). O objetivo dessas normas não é garantir a segurança absoluta, e sim atingir um nível de risco aceitável, consistente com as necessidades econômicas e de segurança pública. A análise de confiabilidade é uma alternativa aos procedimentos convencionais de cálculo, como os adotados pelas normas de projeto de estruturas que recomendam a aplicação de uma filosofia semi-probabilística de segurança (Lopes, 2007). Nessa análise é considerado um modelo probabilístico para cada variável aleatória, definido por um determinado valor esperado (média), uma medida de dispersão (desvio padrão ou coeficiente de variação), uma distribuição de probabilidades e uma medida de correlação entre elas. O principal objetivo da confiabilidade de estruturas é determinar a probabilidade de ocorrência de um cenário de falha na estrutura. Uma análise de confiabilidade permite, também, estimar a sensibilidade do projeto em relação às variáveis aleatórias consideradas no modelo. Essa informação é importante porque possibilita saber qual a influência de cada variável aleatória na probabilidade de falha. É evidente o crescente uso de processos probabilísticos na quantificação da segurança em diversos tipos de estruturas. Buscando projetos mais otimizados, com medidas mais realistas do grau de segurança, a utilização de teoria da confiabilidade vem se tornando uma aliada poderosa para os engenheiros estruturais Objetivo A contribuição principal deste trabalho é estabelecer e implementar estratégias da avaliação de confiabilidade de pontes ferroviárias existentes. Essas estratégias são aplicadas às vigas principais de uma ponte existente de concreto armado, as quais são verificadas no estado limite último na flexão simples, e no estado último de serviço na formação de fissuras segundo as recomendações da NBR6118:2003. A probabilidade de falha da ponte é avaliada seguindo dois métodos: o método de simulação de Monte Carlo e o método de primeira ordem (FORM - First Order Reliability Method), com o objetivo de comparar os resultados e

23 23 determinar qual é o mais adequado para as analises desenvolvidas. São desenvolvidas rotinas no programa Matlab considerando as duas metodologias. O índice de confiabilidade β é encontrado com o FORM e é feita uma análise de sensibilidade para analisar a influência de cada variável na confiabilidade da ponte. A partir dessas análises é determinado o número de variáveis aleatórias que permitam encontrar resultados do índice de confiabilidade e da probabilidade de falha com precisão aceitável. Uma vez que a variável mais importante é determinada, são considerados diferentes valores para seu coeficiente de variação, visando estudar a influência da mesma na probabilidade de falha da ponte. É analisada, também, a sensibilidade da carga móvel dentro dos resultados do índice de confiabilidade e da probabilidade de falha Organização do Trabalho Este trabalho é apresentado em diversos capítulos organizados conforme a descrição a seguir. No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica dos diferentes estudos feitos no campo da confiabilidade estrutural aplicada a pontes existentes, dando um panorama do que tem sido feito nos últimos anos, o que é feito atualmente e as possíveis pesquisas que ainda tem que ser desenvolvidas. No Capítulo 3 é apresentada, de forma sintetizada, uma sistemática para avaliação das pontes existentes, as normas vigentes que são aplicadas nessas sistemáticas e quais são as medições que fornecem informações importantes dentro deste tipo de estudo. O Capítulo 4 apresenta uma descrição dos conceitos fundamentais da confiabilidade estrutural. São abordados o método de simulação de Monte Carlo e o método de análise de primeira ordem FORM para o cálculo da probabilidade de falha. No Capítulo 5 é apresentada uma metodologia para análise de confiabilidade de vigas de pontes ferroviárias de concreto armado. São discutidos os dados de entrada, a determinação das funções de estado limite, o método de avaliação da probabilidade de falha, os resultados obtidos, e os valores de referência para o índice de confiabilidade. No Capítulo 6 é apresentado um exemplo aplicado a uma ponte existente de concreto armado. As longarinas são verificadas no estado limite último na

24 24 flexão simples e no estado limite de serviço na formação de fissuras. São apresentados os modelos probabilísticos adotados para as variáveis aleatórias consideradas. São feitas análises considerando diferentes quantidades de variáveis aleatórias segundo a sensibilidade de cada uma delas dentro do cálculo da probabilidade de falha da estrutura. É determinada a variável mais importante através de uma análise de sensibilidade, uma vez que essa variável é determinada, são feitas análises considerando mudanças em seus parâmetros, para determinar a influência dessas mudanças no cálculo do índice de confiabilidade e na probabilidade de falha da ponte. O Capítulo 7 é constituído pelas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

25 2 Revisão Bibliográfica Nesse capítulo é apresentada uma breve descrição de alguns trabalhos publicados na literatura técnica sobre análises de confiabilidade de estruturas existentes, enfatizando aqueles aplicados a pontes. A revisão apresentada faz uma classificação dos trabalhos de acordo com temas específicos, em função dos interesses da pesquisa proposta. Foca-se primeiro no cenário das estruturas existentes, ressaltando a importância da análise probabilística, e a seguir descrevem-se brevemente os níveis de avaliação de segurança das mesmas. Também são abordados conceitos relacionados com a monitoração e o gerenciamento. Pesquisas de sistemas de gerenciamento de pontes (BMS Bridge Management System) e monitoração da saúde estrutural (SHM Structural Health Monitoring) são apresentadas, enfatizando a importância da interação da análise de confiabilidade e a SHM dentro dos sistemas de gerenciamento das pontes. Estudos realizados para a determinação da vida útil à fadiga e para pontes de pontes de concreto são apresentados. Consideram-se conceitos gerais dos códigos de calibração e modelos de carga. Finalmente, são descritos estudos que usaram o FORM como método de análise de confiabilidade, apresentando suas vantagens e desvantagens, ressaltando estudos relacionados com a implementação de programas computacionais Estruturas Existentes Na ausência de informação adequada para a inspeção e avaliação da segurança de pontes existentes, geralmente, afere-se a segurança estrutural utilizando regulamentos dedicados ao dimensionamento de estruturas novas. Infelizmente, tal metodologia pode ser imprópria e demasiado conservadora para algumas estruturas; em alguns casos, pode conduzir à desnecessária substituição ou reforço de uma estrutura, provocando investimentos desnecessários e perturbando o tráfego com todos os custos que advêm, (Cruz et al, 2008). A avaliação do estado de uma estrutura existente é uma situação

26 26 específica e, portanto, um processo técnico único e difícil de generalizar, (Ellingwood, 1996). A avaliação de estruturas existentes difere do projeto de novas estruturas, uma vez que as incertezas associadas ao problema podem ser maiores (degradação) ou menores (informações oriundas de ensaios do comportamento dos materiais, e da geometria). De acordo com Faber (2000), a diferença fundamental entre a avaliação de uma estrutura existente e o projeto de novas estruturas é a quantidade de informação disponível sobre a estrutura. Em estruturas existentes sempre é possível incrementar o nível de precisão dos modelos de cálculo através da aquisição de mais dados sobre a estrutura analisada. Por isso, é de muita importância a implementação de métodos probabilísticos modernos na avaliação de confiabilidade de estruturas existentes, (Diamantidis, 1987). A análise probabilística de estruturas existentes pode ser vista como uma extensão da análise probabilística para o projeto de estruturas. Ela constitui uma ferramenta racional para incorporar a informação adicional e comparar o nível de confiabilidade atual com o nível de confiabilidade assumido (inerente nas normas). Essa flexibilidade em termos de atualização da informação não é possível quando são empregadas normas determinísticas, (Diamantidis, 1987). Diamantidis e Bazzurro (2007) fizeram um estudo do critério da aceitação da segurança de estruturas existentes, baseados nas normas e metodologias atuais. Os autores ressaltaram que mesmo empregando uma abordagem probabilística não se deve descartar de imediato o nível de segurança das normas vigentes já que aspectos de segurança de estruturas existentes são considerados em padrões e recomendações nacionais e internacionais. As diretrizes do Instituto Americano de Concreto (ACI 2003) e as recomendações da comissão de segurança estrutural (JCSS 2001) são exemplos típicos. A importância da abordagem probabilística é ressaltada na pesquisa de Wisniewski et al (2009), que estudam a avaliação baseada em probabilidade de pontes existentes de concreto armado e protendido, e apresentam novos modelos probabilísticos de resistência última para cisalhamento e flexão de seções típicas. Nesse trabalho, são utilizados métodos de análise avançados e dados mais recentes da geometria da ponte, das propriedades dos materiais e suas variações. A ponte Barrela de Portugal foi considerada como o caso de estudo, o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM) é utilizado, além das abordagens dos valores médios e dos coeficientes parciais de segurança. O artigo apresenta claramente os benefícios do uso dos métodos probabilísticos na

27 27 avaliação de pontes existentes e demonstra como a análise de confiabilidade pode tornar-se simples quando os modelos apresentados são utilizados. De acordo com Frangopol et al (2003), para determinar a segurança de uma estrutura existente podem-se considerar três abordagens que são: (a) opinião de especialistas, (b) dados de testes de campo e (c) análise de confiabilidade. A opinião de especialistas é altamente incerta e pode demorar muitos anos até reunir as informações necessárias. Os dados de campo são úteis se existe informação suficiente obtida através de testes técnicos de boa precisão. A análise de confiabilidade trata as incertezas e pode ser feita em diferentes níveis variando a complexidade da mesma de acordo com a informação disponível. Diferentes níveis de avaliação têm sido considerados por diversos estudos na avaliação da segurança de estruturas (Bailes et al 1996; Tanner e Ortega 2000; SB-LRA 2007; Wisniewski 2007; Cruz et al 2008), tais níveis são classificados a depender da modelagem da capacidade e das solicitações, do método de análise e dos métodos de avaliação. Cruz et al (2008) explicam de forma simples todos os níveis de avaliação de segurança de pontes começando pelo mais simples, onde se utiliza um formato semelhante ao formato padrão atualmente empregado no projeto de estruturas, até o mais sofisticado onde é aplicada uma abordagem totalmente probabilística do sistema estrutural. O procedimento proposto para a avaliação de segurança de uma ponte consiste em recorrer a um nível mais avançado sempre que a ponte não cumprir os requisitos estabelecidos no nível prévio de avaliação. Wisniewski (2007) resume os níveis na Tabela 2.1. Os níveis de avaliação propostos são: Simples: o método de avaliação mais simples é semelhante ao método que é empregado no projeto de novas estruturas. As propriedades dos materiais e os carregamentos são definidos utilizando valores característicos e de cálculo. As cargas permanentes e móveis são definidas segundo os regulamentos para o tipo de ponte analisada. Os efeitos das cargas são calculados considerando um regime elástico-linear. A verificação da segurança é realizada utilizando os coeficientes parciais de segurança, considerando coeficientes de segurança calibrados para a avaliação de estruturas existentes, ver Tabela 2.1 (Níveis 1 e 2). Intermediário: Utiliza informação adicional sobre os parâmetros mecânicos dos materiais que podem ser obtidos mediante ensaios e incorporados nos modelos regulamentares através da atualização Bayesiana (Melchers, 2002).

28 28 Pode-se ainda utilizar os modelos determinísticos de carga de tráfego, definidos especificamente para uma ponte particular utilizando os resultados de observações e de medições de tráfego real. Permite-se considerar a redistribuição parcial ou total dos esforços entre os vários elementos e as diversas seções de uma estrutura. A avaliação de segurança é feita utilizando os coeficientes parciais de segurança, mas com coeficientes calibrados ou ajustados aos casos particulares, ver Tabela 2.1 (Níveis 3 e 4). Avançado: Combina a análise não-linear com a análise probabilística. Todos os parâmetros mecânicos dos materiais, da geometria e das cargas, são considerados como variáveis probabilísticas, descritas por leis apropriadas de densidade de probabilidade. Os modelos probabilísticos das variáveis podem descrever, com grande rigor, a real variabilidade destas dentro de uma ponte especifica. Mesmo as curvas de distribuição probabilística das cargas de tráfego real que atuam em uma ponte específica podem ser definidas com rigor, utilizando resultados da pesagem e do controle do volume de tráfego, obtidos nas estações de pesagem dinâmica (wieght-inmotion). Os métodos probabilísticos de avaliação da segurança permitem utilizar toda a informação sobre a variabilidade dos parâmetros mencionados e definir a segurança de uma ponte em termos da probabilidade de ocorrer falha ou, o que é mais comum, em termos do índice de confiabilidade. Este nível de avaliação da segurança pode ser considerado como a última tentativa para evitar a reparação, reforço ou substituição de uma ponte, ver Tabela 2.1 (Nível 5). Tabela 2.1. Níveis de avaliação da segurança, (Wisniewski, 2007) Nível 1 2 Modelo de Resistência e modelo de carga Modelo de carga e de resistência como definido nos códigos de projeto. Propriedades dos materiais baseadas nas informações de projeto e nos regulamentos 3 As propriedades dos materiais e os modelos de carga podem ser definidos com base nos 4 resultados dos ensaios e observações 5 Modelos totalmente probabilísticos definidos com base nos resultados dos ensaios e no conhecimento prévio Métodos de análise Análise básica, comportamento linear elástico Análise refinada. É permitida a redistribuição de carga sempre que o nível de ductilidade seja suficiente Métodos de avaliação Análise determinística. Coeficientes parciais de segurança tal como no regulamento Análise determinística. Coeficientes parciais de segurança ajustados Análise probabilística

29 Monitoração e Gerenciamento de Pontes Durante a última década, os conceitos de monitoração para sistemas estruturais foram submetidos a um processo de rápido desenvolvimento. Eles tornaram-se cada vez mais importantes no planejamento da intervenção (manutenção, reparo, reabilitação, substituição) em estruturas novas e existentes. No entanto, ainda há uma forte necessidade para o uso eficiente de dados de monitoração estrutural na avaliação da confiabilidade estrutural e predição de modelos. As medidas contínuas e simultâneas em distintos pontos de um sistema estrutural deteriorado, proporcionadas por monitoração, permitem a avaliação do comportamento da estrutura de acordo aos diferentes estados limites, (Frangopol et al, 2008). Strauss et al (2010) estudaram a avaliação de estruturas existentes baseada em identificação. Este estudo apresenta um procedimento de identificação que determina as propriedades mecânicas estruturais usando a resposta de monitoramento estrutural. Uma abordagem de detecção não destrutiva do dano baseada em medidas da resposta estrutural são apresentados e verificados por experimentos de laboratório controlados e por testes na estrutura real. A frequência das medições e sua sensibilidade às mudanças nas características mecânicas, chamados fatores de sensibilidade, são usados para predizer o lugar e a magnitude do dano. Este estudo é aplicado a uma ponte existente na Suíça. O estudo conclui que os sistemas de monitoramento se tornaram populares para avaliar o desempenho e a vida útil remanescente tanto em estruturas novas como em estruturas existentes. Cidades com grandes rodovias e ferrovias experimentam atualmente os efeitos do envelhecimento e deterioração da rede de pontes. De acordo com Casas (1999) para preservar a capacidade de carga e as condições de serviço de pontes existentes, um programa extensivo de inspeção, reparo e reforço é necessário. Ao longo dos anos, algumas instituições estão buscando organizar os dados estruturais necessários para a administração e preservação das pontes. Esta metodologia é conhecida como Sistema de Gerenciamento de Pontes (BMS). A inspeção e avaliação da segurança e funcionalidade baseada em valores reais são ferramentas importantes em um sistema eficiente de gerenciamento de pontes e na otimização da utilização de fundos monetários, (Frangopol et al, 2008). As informações armazenadas podem ser utilizadas de

30 30 várias formas, com o objetivo final de otimizar a aplicação de recursos e manter níveis de segurança adequados, a curto e a longo prazos. A importância do gerenciamento é ressaltada em alguns estudos. Entre eles, Hai (2006) estuda o estado atual das pontes ferroviárias existentes no Vietnam, concentrando-se nas deficiências das pontes de aço. São feitas inspeções no local para encontrar os defeitos e problemas das pontes ferroviárias existentes que apresentam condições físicas inadequadas. Além de falhas estruturais, defeitos locais são identificados (corrosão, obsolescência, fadiga e envelhecimento), onde as principais causas são a sobrecarga, os impactos de colisão, as condições climáticas adversas e a manutenção precária. O autor sugere que a manutenção deve ser priorizada para eliminar essas deficiências e rapidamente eliminar as causas de problemas potenciais. Como um objetivo a longo prazo, recomenda-se estabelecer um sistema de gerenciamento adequado das pontes. Xun e Qiang (2007) apresentam um estudo de avaliação de segurança e previsão de vida útil de pontes existentes. Os resultados da avaliação de segurança e as características dos danos para os diferentes tipos de pontes podem ajudar ao departamento de gestão a obter um nível elevado de segurança para a estrutura e levar adiante planos a médio e longo prazo de transformação de tecnologia para futuras análises. Dentro das pesquisas direcionadas à avaliação racional da condição da estrutura da ponte, nos BMS, um tema estudado nos últimos anos é a monitoração da saúde estrutural (SHM), (Culshaw 1998; Catbas et al 2000; Farrar e Worden 2007; Liu et al 2009 a,b), que envolve a observação da estrutura ao longo do tempo usando monitoramento periódico, a partir das quais faz-se a extração das características sensíveis e através de uma análise estatística determina-se o estado atual da saúde do sistema, (Farrar e Worden, 2007). A SHM tem como propósito obter informação quantificada da saúde estrutural, indicadores do progresso do dano estrutural e abordagens para identificar e diagnosticar a natureza do dano. Uma descrição mais detalhada dos SHM, sua história e a importância de sua aplicação podem ser encontradas nos trabalhos de Auweraer e Peeters (2003), Balageas (2006) e Brownjohn (2007). De acordo a Dissanayake e Karunananda (2008), conhecimentos insuficientes sobre a monitoração da saúde estrutural e manutenção precária de pontes causam grandes perdas econômicas, inaceitáveis independentemente da riqueza do país. Esse cenário tem motivado muitas pesquisas que buscam uma

31 31 formulação geral para otimização de custos na manutenção de pontes e também para a predição da vida útil da ponte. Vantagens da SHM incluem identificação global e local dos parâmetros estruturais, obtendo dados para a identificação estrutural, manutenção efetiva e operação. Os dados e as conclusões podem também ser usados para aperfeiçoar projetos futuros e diagnósticos antes e depois de condições de ameaça. Segundo Catbas et al (2008), os SHM têm sido incrementados nos últimos anos devido à necessidade da administração objetiva dos sistemas estruturais no mundo. Ao mesmo tempo, métodos de análise estrutural probabilístico e ferramentas de otimização são desenvolvidas para estimativa da capacidade da ponte e estimativa do desempenho futuro da estrutura. A utilização da SHM pode ser ampliada se as informações obtidas são empregadas na análise de confiabilidade. O resultado da interação entre a SHM e a análise de confiabilidade é um assunto importante e relevante dentro dos Sistemas de Gerenciamento das Pontes (BMS), embora só esteja sendo estudado há poucos anos e por tanto ainda não se encontra muito desenvolvido. Neste contexto, é importante considerar as incertezas na análise dos dados, e com previsões precisas é possível estimar o tempo de ocorrência de falha, identificando o tempo adequado para manutenção e proporcionando uma melhor avaliação custo/benefício e análise do ciclo de vida para gerenciamento. Portanto, é necessária a integração de novas técnicas oferecidas pela SHM e métodos numéricos e analíticos, como ilustrado na Figura 2.1, (Catbas et al, 2008). Os resultados da análise de confiabilidade conjuntamente com SHM para pontes ferroviárias podem ser utilizados para prever a vida útil destas estruturas, identificando as datas adequadas para manutenção, e fornecendo as previsões realistas do grau de segurança remanescente na estrutura em função de alterações no carregamento (trem-tipo).

32 32 Figura 2.1. Pesquisas necessárias e áreas de estudo envolvidas (adaptado de Catbas et al 2008) Na figura 2.2 é apresentado um esquema simplificado para avaliação da confiabilidade de um sistema estrutural usando dados de sensores. Redes de sensores e sistemas de aquisição de dados, que são elementos essenciais para os sistemas SHM, são estabelecidos e projetados em paralelo com um modelo detalhado da estrutura. Geralmente, um modelo preliminar de elementos finitos é construído para estimar os locais críticos para o projeto de SHM, posteriormente este modelo é refinado e calibrado com os dados do SHM, (Catbas et al, 2008). Figura 2.2. Esquema básico para análise de confiabilidade usando SHM (adaptado de Catbas et al 2008 ). A coleta de dados com grande número de sensores tornou-se disponível a baixo custo para aplicações de SHM. Entretanto, com a capacidade de coletar dados mais eficientemente, há uma crescente necessidade de desenvolvimento de sistemas para análise de dados e interpretação de resultados de maneira

33 33 rápida e eficiente. Os algoritmos, métodos e abordagens de análise de dados precisam ser desenvolvidos para proporcionar informações críticas num tempo oportuno, (Catbas et al, 2008). Dentro das pesquisas de SHM aplicada a pontes, estudos relacionados com a avaliação da fadiga são os mais desenvolvidos. Frangopol et al (2010) apresentam uma abordagem para avaliação da fadiga em pontes de aço, onde modelos de elementos finitos, e dados de monitoração de campo de SHM, são usados para estimar a confiabilidade à fadiga baseadas na metodologia de avaliação de fadiga da AASHTO (American Association of State Highway and Transportation Officials). Os pontos críticos da estrutura são identificados a partir do modelo de elementos finitos e a função de estado limite desenvolvida para a análise de confiabilidade à fadiga leva em conta os dados da monitoração da saúde estrutural. É observada a importância de atualizar os dados originais com os obtidos na monitoração, para representar verdadeiramente os intervalos de deformação devido à fadiga nos locais críticos identificados. Os autores concluem que mais pesquisas ainda são necessárias para a integração dos dados monitorados na avaliação da confiabilidade à fadiga de pontes de aço usando técnicas estatísticas Bayesianas (Melchers, 2002) Fadiga A fadiga é provavelmente o mais importante modo de falha em sistemas estruturais apresentando 80% das falhas de serviço observadas, (Wirsching (1998)), portanto muitas pesquisas relacionadas com a fadiga em pontes têm sido desenvolvidas (Bailey et al 1996; Tobias e Foutch 1997; Cho et al 2001; Pourzeynali e Datta 2005; Imam et al 2006; Kühn et al 2008; Frangopol et al 2010 ). Szerszen et al (1999) estudaram a confiabilidade a fadiga de pontes de aço, e concluíram que a relação entre o coeficiente de confiabilidade e os anos de serviço da ponte pode ser usada para predizer a vida remanescente da ponte. De acordo com Kim et al (2001) os processos para avaliar a vida remanescente à fadiga das pontes existentes de aço são classificados segundo as cargas consideradas nos modelos em três categorias: Procedimento simplificado: utiliza o histograma de frequência baseado em dados reais para calcular os danos acumulados de fadiga. Esses danos são avaliados para um número fixo de ciclos de carga e utilizados para estimar a vida remanescente à fadiga.

34 34 Procedimento probabilístico: usa o modelo de distribuição de probabilidade assumido baseado no histograma, é usado para estimar a vida útil remanescente à fadiga com uma confiabilidade predeterminada. Procedimento determinístico: usa o modelo de carga obtido a partir do volume equivalente de passageiros. O procedimento simplificado faz uma estimativa de vida remanescente à fadiga 10 a 20% maior do que a do processo probabilístico. Verifica-se também que o simples método determinístico pode ser adotado para avaliar a vida remanescente à fadiga de uma ponte com precisão aceitável. Um estudo similar considerando os três níveis de avaliação: determinístico, semi-probabilístico e totalmente probabilístico, é feito para a ponte Padermo da Itália por Pipinato e Modena (2010). O estudo apresenta uma abordagem gradual e prática para a avaliação da integridade estrutural de pontes deterioradas de aço. A avaliação de confiabilidade à fadiga é realizada juntamente com a estimativa de tráfego, a fim de avaliar a vida remanescente à fadiga. A aplicação desses procedimentos mostrou que uma análise detalhada da fadiga ajuda a reduzir os custos necessários para substituições e reparos da ponte, já que a avaliação permite encontrar os cenários mais críticos com o intento de tomar decisões adequadas para o reparo da estrutura considerando o melhor desempenho da ponte e a otimização dos custos. Kwon e Frangopol (2010) estudaram a avaliação da confiabilidade à fadiga de pontes de aço usando funções de densidade de probabilidade com base em dados de monitoramento de campo. Eles encontraram que esta monitoração pode ser usada satisfatoriamente para a avaliação da confiabilidade à fadiga e a predição da vida remanescente a fadiga de pontes de aço. Uma aproximação usando distribuição probabilística associada com o campo de tensão é proposta para predizer efetivamente o intervalo de tensão equivalente para a avaliação da confiabilidade de fadiga. Essa aproximação é utilizada em duas pontes existentes localizadas na Pensilvânia. O estudo conclui que os dados de monitoramento podem ser utilizados com sucesso na avaliação da confiabilidade à fadiga e previsão da vida remanescente à fadiga de pontes de aço existentes, e que futuros esforços são necessários para estabelecer uma metodologia baseada em risco com o fim de lidar de forma mais adequada com as incertezas associadas à fadiga de pontes existentes de aço.

35 Pontes de Concreto Armado Dentro das pesquisas feitas em pontes de concreto destacam-se alguns trabalhos comentados a seguir: Val et al (1998) estudam o efeito da corrosão na confiabilidade de pontes, e apresentam um método de avaliação da confiabilidade de lajes de pontes de concreto armado com armadura corroída. São considerados dois tipos de corrosão: geral e localizada. A confiabilidade é calculada usando o método de primeira ordem (FORM). Os resultados mostraram que a corrosão localizada é potencialmente mais perigosa no estado limite último (flexão) e a corrosão geral influencia a confiabilidade da ponte para o estado limite de serviço (deflexão). Casas (1999) apresenta uma avaliação de pontes de concreto existentes na Espanha, onde considera uma aplicação prática das técnicas de avaliação para três pontes de concreto diferentes. A primeira é uma ponte com arco de alvenaria e concreto simples onde o estado limite mais crítico é o estado limite último de forças axiais e flexão. A segunda é uma ponte com pórtico em concreto armado onde a avaliação se concentra nos estados limites de flexão e cisalhamento e a terceira é uma ponte em concreto protendido onde é analisado o estado limite de flexão e fadiga. Os casos estudados demonstram que a avaliação de pontes existentes de concreto baseada na teoria de confiabilidade é ampla e pode ser aplicada a diferentes tipos de pontes para fornecer uma medida do desempenho estrutural a ser usado na tomada de decisões sobre a atualização e manutenção de pontes. Frangopol et al (1999) apresentam uma abordagem onde são utilizados métodos de confiabilidade com variação no tempo para pontes de concreto armado submetidos a ataques ambientais. No estudo é avaliada a condição das vigas de pontes de concreto armado usando confiabilidade de sistemas com variação no tempo, nos quais tanto as resistências quanto as solicitações são dependentes do tempo. Uma ponte existente de concreto armado com seção em viga T localizada em Colorado é investigada. Os resultados obtidos podem ser usados para guiar a seleção de modelos para análises de confiabilidade de pontes e para o desenvolvimento de estratégias ótimas de manutenção baseadas em confiabilidade para pontes de concreto armado. Vu e Stewart (2000) estudaram a confiabilidade estrutural de pontes de concreto deterioradas. Modelos de carga variante no tempo são propostos, e o efeito da corrosão é estudado. Como resultado verifica-se que a aplicação de

36 36 sais de degelo provoca deterioração significativa a longo prazo e redução da segurança estrutural. Os autores também observaram que a cobertura do concreto e a relação água-cimento têm grande influência na probabilidade de falha estrutural. Pham e Al-Mahaidi (2008) apresentam um estudo de confiabilidade de vigas de pontes de concreto adaptadas com polímeros reforçados com fibras, com base nas recomendações fornecidas pelo Eurocode 2. O método de Monte Carlo é empregado para avaliar a confiabilidade estrutural à flexão do concreto armado. Essa análise proporciona as bases para recomendações dos fatores de redução da capacidade para os diferentes modos de falha. O estudo é aplicado à ponte Victoria na Austrália. Hamutçuoglu e Scott (2009) apresentam um estudo de confiabilidade de vigas de pontes considerando uma interação momento-cisalhamento. O estudo mostra que a predição do comportamento estrutural e a modelagem da resposta dos elementos de viga submetidos às cargas dos veículos em movimento são essenciais no projeto de pontes. Por tanto a análise de confiabilidade é necessária para avaliar o efeito que a variação dos parâmetros terá na resposta da ponte e para determinar quais são os parâmetros que controlam a resposta. Mediante exemplos numéricos, verifica-se que a análise pelo método de primeira ordem (FORM) mostra o efeito que os parâmetros das incertezas têm na interação do momento negativo e a força cortante perto dos suportes de uma viga continua de uma ponte de concreto armado. A classificação das medidas da importância das variáveis aleatórias indicou a presença da interação do momento-cisalhamento no estado de falha mais provável Códigos de Calibração Durante o século passado, consideráveis esforços foram dedicados ao desenvolvimento de bases racionais para o projeto de estruturas, resultando em vários códigos de projeto. O objetivo desses códigos, ainda em uso, é garantir um projeto econômico, construção e operação das estruturas em conformidade com as condições operacionais e os requerimentos de segurança considerados. As pesquisas para o desenvolvimento de novas normas e códigos para os projetos estruturais considerando os conceitos de confiabilidade e segurança estrutural são um desafio importante. Por tal motivo o desenvolvimento de códigos modernos de projeto é baseado nos princípios de análise de decisões

37 37 econômicas e métodos modernos de confiabilidade. Historicamente, a maior concentração de estudos associados a códigos está concentrada no projeto de estruturas novas. Porém, atualmente, o aumento do número de estruturas importantes que estão envelhecendo justifica o redirecionamento do interesse para abordagem das estruturas existentes, (Faber, 2000). Orientações e códigos para a avaliação das estruturas existentes foram sugeridos, como por exemplo, JCSS (Joint Committee on Structural Safety), ISO (International Organization for Standardization). A maioria das normas de projeto utiliza fatores parciais de segurança aplicados as cargas e a resistência. Antigamente esses coeficientes eram, basicamente, definidos a partir da experiência de profissionais envolvidos em projetos estruturais. Atualmente, com o auxílio da confiabilidade estrutural, é possível calibrar os fatores de segurança de maneira racional, a partir da definição de um nível de referência aceitável para a probabilidade de falha estrutural. Nesse sentido, a confiabilidade tem sido muito usada na revisão de normas antigas e na elaboração de códigos de projeto para novas concepções estruturais. Diversas pesquisas têm sido desenvolvidas no estudo das diferentes normas e códigos existentes, alguns fazendo comparações entre elas: Tabsh (1996) estuda a avaliação da confiabilidade de vigas de pontes de aço projetadas usando as especificações LFD (Load Factor Design) e LRFD (Load and Resistence Factor Design) da AASHTO para diferentes condições de carga. Nowak et al (2001) também fazem uma comparação dos níveis de confiabilidade de vigas de pontes de concreto protendido projetadas usando três códigos diferentes: Norma Espanhola IAP-98 (1998), o Eurocode1 (1994) e a AASHTO- LRFD (1998). Os modelos estatísticos são baseados em literatura disponível, dados de testes e provas de carga. Nesse estudo, onde a confiabilidade esta associada ao momento fletor e ao esforço de tensão do concreto, observa-se que o Eurocode1 é mais conservador do que os outros dois códigos e AASHTO- LRFD é o código mais permissivo. Liu (2002) estuda a avaliação de confiabilidade para vigas de pontes de aço projetadas por AASHTO-LRFD, e verifica que o índice de confiabilidade é muito sensível à distribuição lateral das cargas móveis. Pela subestimação da distribuição lateral dessas cargas, no estado limite último, as especificações da AASHTO-LRFD resultam muito conservadoras para flexão, o que não ocorre para cortante.

38 38 Já Du et al (2004) apresentam uma análise determinística e uma análise de confiabilidade para vigas T simplesmente apoiadas de pontes de concreto protendido projetadas usando três códigos: o código Chinês, o Código de Hong Kong e o código da AASHTO-LRFD. A análise determinística indica que o estado limite de serviço domina o projeto, segundo o código Chinês e o Código da AASHTO-LRFD. Os autores encontraram que os índices de confiabilidade reais para a capacidade de flexão das vigas consideradas de acordo com os três códigos, que são regidos pelo estado limite de serviço, estão próximos um do outro. Com o estudo, concluíram que, para atingir níveis de segurança uniformes no projeto de vigas de pontes de concreto protendido, a calibração de códigos baseada em confiabilidade deve levar em conta não apenas o estado limite último, mais também o estado limite de serviço. A nova geração de códigos para o projeto de pontes é baseada em análise de confiabilidade usando modelos probabilísticos de carga e resistência. O passo no desenvolvimento desses códigos inclui a seleção de estruturas representativas, formulação do estado limite, desenvolvimento dos modelos das cargas e resistências, seleção do nível de confiabilidade de referência e finalmente a determinação dos fatores de segurança para carga e resistência, (Nowak e Kaszynska, 2003) Modelos de Carga Nas pesquisas feitas para os diferentes tipos de pontes uma tarefa muito importante é a modelagem das incertezas, dentro das quais as mais representativas são as relacionadas com as cargas e a resistência, que devem ser tratadas como variáveis aleatórias. O desenvolvimento racional de códigos para o projeto de pontes e avaliação de estruturas existentes precisa do conhecimento de modelos para essas variáveis aleatórias. Esses modelos são baseados em dados estatísticos disponíveis, testes dos materiais e simulações, (Nowak et al, 1998). Dentro desse cenário, Casas et al (1997) apresentam um modelo global para as cargas de tráfego, obtido a partir do tratamento estatístico das variáveis envolvidas mais significativas. O estudo conclui que a ação do tráfego é o efeito mais importante na deterioração e na fadiga em pontes de vãos pequenos e intermediários, além de representar a contribuição mais significativa no valor total das ações externas consideradas para a análise no estado limite último. No

39 39 entanto, o valor real da carga de tráfego em pontes é difícil de modelar de forma precisa, por causa de sua alta aleatoriedade. Por isso, é tão importante estabelecer modelos adequados que ajudem a descrever seu comportamento O FORM Como Método de Avaliação da Probabilidade de Falha Dentro das análises de confiabilidade um aspecto muito importante é estimar a probabilidade de falha. Diversos métodos têm sido desenvolvidos para esse fim. Um dos métodos mais representativos é o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM) que considera o índice de confiabilidade como medida de segurança. As principais deficiências desse método são, principalmente, a precisão e as dificuldades na pesquisa do ponto de projeto por iterações usando as derivadas da função de estado limite, (Zhao et al, 2001). Os erros que podem ser encontrados usando o FORM são aceitáveis considerando a grande incerteza na escolha do modelo estocástico adequado e seus parâmetros, (Rackwitz, 2001). Apesar dessas fragilidades o FORM tem sido recomendado pelo Comitê de Segurança Estrutural (JCSS - Joint Committee on Structural Safety) como método para análise de confiabilidade, (Yang et al, 2006). Conceitos importantes do FORM podem ser encontrados nos trabalhos de Zhao et al (1999), Maiçon (2000) e Kiureghian (2008). Estudos relacionando os métodos de elementos finitos com o FORM têm sido desenvolvidos, entre eles Sudret e Kiureghian (2002) apresentam um estudo no qual conjugam métodos de elementos finitos estocásticos, com o método para análise de confiabilidade de primeira ordem FORM e a amostragem por importância para análise de confiabilidade. Os resultados são usados para fazer uma comparação dos métodos em termos de precisão e eficiência relativa. Como uma conclusão geral, verifica-se que o método de elementos finitos estocásticos tem aplicabilidade limitada a problemas de confiabilidade envolvendo probabilidades de muito pequenas. Koduru et al (2009) apresentaram uma análise de confiabilidade em conjunção com modelos avançados de elementos finitos, usando o método de primeira ordem FORM devido a sua atrativa interação entre precisão e eficiência computacional. Como conclusão do estudo, observa-se que o FORM em conjunto com análises de elementos finitos estáticos é viável para um intervalo grande de aplicações e proporciona uma boa estimativa para a probabilidade de

40 40 falha, mas a aplicação do FORM não é, geralmente, viável para problemas dinâmicos. Cheng et al (2005), apresentam métodos para avaliação de confiabilidade através da combinação do método de superfície de resposta (RSM Response Surface Methodology) com o método de amostragem por importância, o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM) e o método dos elementos finitos. Mediante a combinação de RSM e FORM é possível tornar o cálculo da confiabilidade mais eficiente para estruturas complexas, que exigem análise usando elementos finitos. O uso de técnicas de amostragem por importância aumenta a precisão do método e reduz o número de simulações Programas Computacionais Nas últimas décadas vários programas computacionais baseados em métodos estocásticos têm sido desenvolvidos e aplicados a diversos problemas de interesse acadêmico de engenharia. Pellissetti et al (2005) apresentam uma visão geral dos programas desenvolvidos e descreve o estado atual e a evolução dos mesmos. O estudo conclui que graças a esse tipo de pesquisas tem melhorado muito a integração da análise de confiabilidade com os métodos de elementos finitos. Kiureghian et al (2006) proporcionam uma descrição geral de três programas computacionais desenvolvidos pela Universidade de Califórnia, Berkeley: CalREL (proposta geral de confiabilidade estrutural, feito em FORTRAN), FERUM (coleção de ferramentas de Matlab, arquivos que podem ser usados para confiabilidade estrutural em conjunto com modelos simples de elementos finitos) e OpenSees (código orientado a objetos para a estimação de resposta estrutural não-linear com capacidades de confiabilidade). Nos estudos de Cheng et al (2008) e Cheng et al (2009) e Bezzazi et al (2010) pode-se encontrar a aplicação desses programas computacionais na análise de confiabilidade.

41 3 Sistemática de Avaliação de Pontes e Viadutos 3.1. Panorama Geral do que é Feito A avaliação da integridade de pontes e viadutos ferroviários existentes, geralmente, tem como objetivo principal a realização da análise de segurança estrutural. As análises realizadas visam identificar, avaliar e caracterizar o comportamento estrutural, com o fim de fazer uma avaliação precisa sobre as atuais condições de segurança, e de forma auxiliar o desenvolvimento de um programa apropriado de manutenção dessas construções, para as condições atuais de carregamento e também para condições futuras (trens tipos modificados). O estudo do comportamento estrutural das obras de arte existentes é feito a partir de um programa de investigação experimental, que contempla a realização de ensaios destrutivos e não destrutivos e através de simulações computacionais. Com base nesses procedimentos são realizadas avaliações do projeto original e readequações para melhorar a vida útil das obras inspecionadas, observando as recomendações para verificação de segurança das normas técnicas vigentes. É conhecido que cada obra tem suas particularidades, e que determinadas análises mais específicas podem ser necessárias em algumas obras de arte especiais. Porém, em geral, nas avaliações da integridade de pontes e viadutos ferroviários existentes, onde se visa atender os requerimentos mínimos necessários para uma avaliação completa e detalhada, são consideradas as seguintes etapas de análise: Análise preliminar Análise do material construtivo Análise numérica Monitoramento estrutural Calibração do modelo Verificação do projeto segundo as normativas vigentes

42 42 Inicialmente, faz-se uma análise preliminar dos relatórios referentes aos trabalhos já realizados, em conjunto com uma inspeção visual da meso e da superestrutura das obras de arte. Essa abordagem tem o propósito de permitir a verificação de quais alterações ocorreram desde a última inspeção e quais as condições atuais da estrutura, além de identificar os pontos críticos que possam estar afetando o comportamento estrutural. Para caracterizar fisicamente e quimicamente o material construtivo, faz-se uma análise do material por meio de ensaios mecânicos (resistência e módulo de elasticidade) e ensaios petrográficos e mineralógicos (caso seja detectado algum indicio de reação álcali-agregado no concreto), ambos quando se julgar necessário. Além desses ensaios são realizados testes preliminares de caráter não destrutivo in loco, para estimativas das propriedades do concreto. Os ensaios não destrutivos são feitos mediante ensaios dinâmicos considerando a excitação ambiente da estrutura, tais como o vento e a passagem do trem. Nesses ensaios são determinados os parâmetros modais, tais como freqüência natural, modos de vibração e taxas de amortecimento. A análise numérica é uma idealização computacional utilizando o método dos elementos finitos para análise linear estática e modal das obras de arte. O objetivo das análises é dar informações para avaliação do comportamento estrutural das pontes. As análises auxiliam na identificação dos pontos críticos prioritários para fixação de instrumentação (extensômetros, LVDT s e acelerômetros) e permitem a determinação numérica de modos e freqüências de vibração da estrutura submetida a condições de carregamento dinâmico, que juntamente com os resultados experimentais permitem a caracterização dinâmica da estrutura. Outros resultados pertinentes a essa fase são tensão, deformação e esforços na estrutura. Os carregamentos considerados na análise estática, geralmente são a carga permanente, a carga móvel, frenação e aceleração, e impacto lateral, a carga de vento, retração e variação de temperatura, empuxo de terra, e ou empuxo oriundo do trem na vizinhança do encontro. A calibração dos modelos numéricos é realizada a partir dos ensaios não destrutivos empregando-se técnicas de re-análise. Com isso, são obtidas ferramentas de análise capazes de simular, de forma mais realista, o comportamento da estrutura considerando suas condições reais. São feitas as correções necessárias, quanto ao tipo de modelo adotado para os elementos estruturais, quanto ao tipo de vínculos nas fundações (considerando de forma simplificada a rigidez do solo suportante), quando à

43 43 rigidez das conexões nos nós da estrutura e correções em relação a algum tipo de dano existente na estrutura e identificado nas monitorações. Tem-se o propósito de simular, nesse novo modelo numérico, as reais condições da estrutura. Uma vez obtidos os resultados numéricos e experimentais, é feita uma análise comparativa entre as duas respostas. A partir dos resultados obtidos nas análises e do memorial de cálculo é elaborada a verificação de segurança atendendo as recomendações das normas técnicas em vigor, para projeto de estruturas de pontes. Pelas normas vigentes, em cada elemento estrutural devem ser feitas as verificações a seguir. Nas longarinas, transversinas e lajes fez-se a verificação de fissuras e verificação no estado limite último em flexão simples e cisalhamento, segundo a NBR-6118:2003, e verificação à fadiga de acordo com o CEB-90. No estado limite último é verificada se os momentos solicitantes são menores ou iguais ao momento resistente, M sd M r na flexão simples. São considerados esforços devidos ao carregamento permanente e à carga móvel, seguindo as recomendações da NBR6118:2003, no item Para a verificação do cisalhamento são seguidas as recomendações da NBR6118:2003, item , que considera atendida a resistência à força cortante em estado limite último quando o cortante solicitante de cálculo é maior ou igual à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por compressão diagonal do concreto, e à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal, composta pela contribuição do concreto e das armaduras. O estado limite de abertura de fissuras (item da NBR6118:2003) é caracterizado pela situação em que as fissuras se apresentam com aberturas características (w k ) iguais ou menores aos máximos especificados. Os limites máximos dessas aberturas são em função das classes de agressividade ambiental, descritas na NBR6118:2003, Tabela 6.1 classes de agressividade ambiental. Em estruturas bem projetadas e construídas e submetidas a ações previstas na normalização, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites estipulados na norma, não denota perda de durabilidade ou perda de segurança quando aos estados limites últimos, segundo as prescrições da NBR6118:2003. As verificações de vida útil à fadiga das longarinas são realizadas para os esforços normais e tangenciais. A contagem de ciclos é realizada por meio do algoritmo de Rainflow (Schijve, 1992). Após da contagem de ciclos, o dano é

44 44 calculado para a passagem de um trem, empregando-se a Teoria de Miner (Schijve, 1992), onde a vida útil à fadiga para um trem é o inverso do dano. Para lajes, a verificação da vida útil à fadiga do concreto é realizada a partir do método simplificado do CEB-FIP, que é análogo ao recomendado pela NBR6118. No caso dos pilares, faz-se a verificação no estado limite último em flexão composta com efeitos de segunda ordem seguindo o proposto pela NBR- 6118:2003, e a determinação da vida útil a fadiga segundo o CEB-90. Inicialmente, devem ser utilizadas as propriedades dos materiais (f ck,f yk ) especificadas no projeto. Caso os elementos estruturais não atendam aos critérios normativos na verificação (utilizando-se as propriedades especificadas no projeto) uma análise mais elaborada deve ser feita utilizando os dados do obtidos nos ensaios, além de empregar modelos mais refinados. Ao final das análises, numéricas e experimental, deve ser dado um parecer técnico para cada obra de arte analisada, com informações das atividades realizadas, mapeamento das anomalias, resultados dos ensaios, observações técnicas e especificações de recuperação Normas Técnicas A seguir estão listadas algumas Normas Técnicas Brasileiras e Internacionais referentes ao projeto e execução de pontes e viadutos ferroviários: ABNT NBR 07187/87 (NB-2) Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido. NBR9452 Vistorias de pontes e viadutos de concreto NBR7189 (NB7) Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias. BS105 Light and heavy bridge type railway rails. UIC777-1 Measures to protect railway bridges against impacts from road vehicles, and to protect rail traffic from road vehicles fouling the track. UIC774-1 Recommendations for the design of railway bridges. UIC776-1 Loads to be considered in the design of railway bridges.

45 4 Confiabilidade Estrutural 4.1. Introdução Os principais requisitos de um projeto de engenharia são: funcionalidade, adequação de custos, segurança, durabilidade e minimização de impactos ambientais, entre os quais a segurança é muito relevante. Por isso, sua avaliação é importante para garantir o adequado comportamento da estrutura. As estruturas e elementos estruturais devem ser projetados e construídos para prestar serviço durante sua vida útil com um custo razoável de conservação, além de serem capazes de cumprir as exigências relacionadas com o estado limite de serviço (ELS) e com o estado limite ultimo (ELU). O ELU está relacionado à perda de capacidade portante, por exemplo, à flexão; o estado limite de serviço está relacionado à degradação gradual, conforto do usuário e custo de manutenção, por exemplo, a vibração excessiva, as deformações permanentes e a fissuração. São muitas as incertezas associadas em um projeto estrutural, e estas podem ser divididas em dois grupos: aleatórias e epistêmicas. As incertezas aleatórias que são associadas a uma variabilidade dos fenômenos físicos ou naturais representam a variabilidade inerente, entre elas estão: as incertezas inerentes a forças ambientais e propriedades mecânicas dos materiais estruturais. As incertezas epistêmicas estão associadas com a falta de conhecimento na estimativa e prognóstico da realidade (dados insuficientes, imprecisões na medição, modelos inadequados, etc.). As incertezas epistêmicas podem ser reduzidas com um aumento do conhecimento e precisão da informação. Devido às incertezas, sejam elas epistêmicas ou aleatórias, não é possível garantir a segurança absoluta da estrutura, de modo que pode ocorrer um somatório de efeitos que a leve à ruína (ELU) ou ao não cumprimento da sua função (ELS). Determinar de maneira apropriada as incerteza e garantir um nível adequado de segurança é um objetivo importante dentro do estudo de confiabilidade. Os trabalhos de confiabilidade proporcionam bases para analisar

46 46 Las incertezas, guiam a aquisição de dados adicionais que são mais significativos para garantir um desempenho futuro aceitável e organiza a informação de forma útil para a análise de decisões (Ellingwood, 1996). A confiabilidade de uma estrutura é definida como a probabilidade que a estrutura não falhe ao desempenhar suas funções, (Nowak e Collins, 2000). A análise de confiabilidade pode ser utilizada em contextos direcionados a estruturas novas, ou a estruturas existentes. De acordo com o nível de informação disponível, existem diferentes métodos de abordagem da confiabilidade, para isso Madsen et al (1986), Galambos, (1992) apud Lopez (2007); propõem a seguinte classificação: Nível 0 Método das Tensões Admissíveis: esse método consiste em calcular, no regime elástico-linear, o valor da tensão para o carregamento máximo esperado e comparar esse valor com o da tensão admissível do material. Nesse método todas as cargas são tratadas similarmente e as tensões elásticas são reduzidas por um fator de segurança. Deve ser atendida a seguinte condição: lim adm adm (4.1) C.S. Onde σ é a tensão obtida pela teoria linear para as cargas máximas que podem ser esperadas durante a vida útil da estrutura, σ adm é a tensão admissível, σ lim é a tensão limite e o C.S. é o coeficiente de segurança. Nível 1 Método dos Estados Limites: nesse método são utilizados os coeficientes parciais de segurança para majorar as solicitações e minorar as resistências. Estes fatores são aplicados aos valores característicos das variáveis e têm como objetivo considerar as incertezas inerentes de cada variável de projeto. O método dos estados limites também é conhecido como método semi-probabilístico e é adotados como critério de segurança pelas normas brasileiras de projeto de estruturas. Esse método pode ser representado pela seguinte equação: R Q (4.2) n i in Onde φ e o fator de minoração da resistência, R n e a resistência nominal, i e o coeficiente de majoração da i-ésima carga (ou seu efeito) e Q in é o valor nominal da i-ésima carga (ou seu efeito). Nível 2 Método do Índice de Confiabilidade: O método emprega dois valores para variável incerta (usualmente média e variância) e uma medida

47 47 de correlação entre parâmetros (usualmente covariância). Uma vez que não se tem conhecimento das distribuições das variáveis aleatórias assume-se que as variáveis têm distribuição Normal. As informações disponíveis podem ser suficientes apenas para avaliar o primeiro e segundo momento (média e variância) das respectivas variáveis aleatórias, portanto, para encontrar o coeficiente de confiabilidade é seguida a formulação conhecida na literatura como método de análise confiabilidade de primeira ordem e segundo momento (FOSM - First Order Second Moment), que busca satisfazer a seguinte condição: adm (4.3) Onde β é o índice de confiabilidade calculado com FOSM e β adm é o índice de confiabilidade admissível. Nível 3 Método da Probabilidade de Falha: nesse método as distribuições de probabilidade são especificadas e a probabilidade de falha é calculada devendo satisfazer a seguinte condição: Pf P f adm (4.4) Onde P f é a probabilidade de falha associada ao problema (ver itens e 4.5.2) e P fadm é a probabilidade de falha admissível. Nível 4 Método da Minimização dos Custos Envolvidos ao Longo da Vida Útil: este método combina a confiabilidade de estruturas com a otimização de estruturas e tem como objetivo projetar estruturas econômicas tendo como restrição o nível de confiabilidade desejado. As normas atuais de projeto de estruturas, como a NBR 6118:2003 e o Eurocode seguem o método dos estados limites (Nível 1). Já esse estudo é desenvolvido utilizando o Nível 3, onde para encontrar o valor da probabilidade de falha são utilizados o método analítico de primeira ordem e o método de simulação de Monte Carlo. A análise de confiabilidade inicia com a formulação de uma função de estado limite, que representa o desempenho da estrutura, em termos das variáveis aleatórias básicas. Os métodos de confiabilidade estrutural são empregados na engenharia para se obter a probabilidade de falha do modelo levando-se em consideração as incertezas. Entende-se por falha quando a estrutura não atende os objetivos para os quais ela foi concebida. Tais falhas podem trazer grandes prejuízos, tanto de ordem material quanto no que diz respeito à segurança humana. Na prática, não existe estrutura com

48 48 probabilidade de falha zero, sempre existe o risco de ela falhar, porém, esse risco deve ser mantido em níveis aceitáveis de acordo com critérios de segurança e economia. A confiabilidade de uma estrutura é definida como o complemento da probabilidade de falha P f, ou seja, C = 1 - P f. Como geralmente P f é pequena para estruturas, na ordem de 10-3 a 10-6, resultando em confiabilidade de 0.99 a , é comum usar P f como medida de confiabilidade da estrutura. A análise de confiabilidade exige a caracterização estatística dos parâmetros envolvidos no modelo, o que depende da qualidade dos dados estatísticos relacionados ao problema e da precisão do modelo matemático usado para análise das funções de estado limite Estados Limites O projeto estrutural consiste de forma geral em proporcionar estruturas que apresentem resistência superior aos efeitos causados pelas cargas, embora existam numerosas fontes de incertezas nos parâmetros de carga e resistência. Os requisitos básicos de sistemas estruturais podem ser equacionados na forma de estados limites. O não atendimento dos requisitos de serviço ou de segurança representa um estado indesejável da estrutura; e cada maneira distinta que conduza a um estado indesejável é chamada, genericamente, de um modo de falha. Cada modo de falha dá origem a um estado limite. Os modos de falha e os estados limites correspondentes representam modelos idealizados da falha de estruturas (Beck, 2008). De acordo com Nowak e Collins (2000), estado limite é definido como a fronteira entre o comportamento desejável e indesejável de uma estrutura. São três os estados limites considerados: Estado limite último (ELU): correspondem aos requisitos de segurança, envolvem a capacidade máxima de carga ou de deformação da estrutura que levam ao colapso ou dano grave e permanente da mesma. A ultrapassagem de um estado limite último é, em geral, irreversível. Logo, a primeira ocorrência desse evento caracteriza falha da estrutura. Estado limite de serviço (ELS): relacionado à degradação gradual, conforto do usuário e custo de manutenção. Como exemplos, têm-se os deslocamentos excessivos, a vibração excessiva, as deformações permanentes e a fissuração.

49 49 Estado limite de fadiga (ELF): relacionado à perda de resistência sob cargas repetidas, embora na NBR-6118 (2003) a fadiga seja considerada um estado limite último. A análise de diversas estruturas mostrou que em nenhum caso o colapso ocorreu exclusivamente devido à fadiga, embora seja um dos fatores que colaboram para a deterioração progressiva e a diminuição da resistência de elementos estruturais. Matematicamente, os estados limites são representados por uma função genérica dada pela seguinte equação: G(R,S) R S (4.5) Onde: G(R,S) é a função de estado limite, R é a capacidade ou resistência, S é solicitação, ou efeito total das ações Função de Estado Limite A função de estado limite é usada para descrever eventos que são relevantes para tomada de decisão, Faber (2000). Para cada estado limite são identificadas as variáveis aleatórias, que são agrupadas em um vetor: X, X, X,... (4.6) X1 2 3 A função de estado limite G é escrita em função das variáveis aleatórias associadas ao problema X, para cada estado limite da estrutura:,...x 0 G( X ) G X, X (4.7) 1 2 n A condição G(X)<0, indica a falha da estrutura, o limite G(X) = 0 é conhecido como a superfície de falha. O valor numérico da função de estado limite distingue o domínio de falha do domínio de segurança: G(X) > 0: domínio seguro G(X) = 0: domínio limite (superfície de falha) G(X) 0: domínio de falha 4.4. Probabilidade de Falha A falha em um estado significa que a estrutura atingiu condições indesejáveis, podendo ocasionar colapso total ou parcial ou então interrupção do uso normal da estrutura. No contexto de confiabilidade, a função de falha não significa necessariamente a ruptura da estrutura, mas sim que certos limites

50 50 foram alcançados ou excedidos. Uma medida probabilística de violação de estados limites é a probabilidade de falha. O problema básico de confiabilidade de estruturas considera apenas um modo de falha e duas variáveis aleatórias, a resistência (R) e a solicitação (S) caracterizadas por suas funções de densidade de probabilidade, médias e covariâncias. A função de estado limite para esse caso é a equação (4.5). A probabilidade de falha é expressa por: 0 P P G(R,S) f (r, s)dr ds (4.8) f Onde f RS (r,s) é a função conjunta de densidade de probabilidade de R e S, F é o domínio de falha. Se as variáveis forem estatisticamente independentes, tem-se: frs (r,s) fr(r) fs(s) (4.9) A probabilidade de falha nesse caso é calculada por: F RS P f S f (r) f (s) dr ds (4.10) R S S R Onde f R (r) e f S (s) são as funções densidade de probabilidade (PDF), f (r) dr define a função de distribuição cumulativa (CDF) da variável aleatória R, a equação (4.10) pode ser reescrita: p f F (s)f (s)ds (4.11) R S Esta integral é conhecida como integral de convolução, onde F R (s) representa a probabilidade de R s, o que levaria à ruptura, e f s (s)ds representa a probabilidade de S assumir um valor entre s e s+ds, com ds 0, como indica a figura 4.1. Figura 4.1 Representação da integral de convolução (fonte: Melchers 2002)

51 51 Na Figura 4.2 estão representadas, (para o caso de duas variáveis aleatórias R e S), as funções densidade de probabilidade marginais de cada variável, f R e f S, a função densidade de probabilidade conjunta f RS, os domínios de falha, limite, e seguro. Figura 4.2. Definição do domínio de falha (fonte: Melchers 2002). A função de estado limite pode ser mais complexa se R e S são funções de diversas variáveis aleatórias básicas (propriedades do material, dimensões da estrutura, densidade do material), que podem ser independentes ou não Métodos de Cálculo da Probabilidade de Falha De acordo com Liang et al (2009) o trabalho analítico de confiabilidade estrutural deve ser dividido em duas partes: uma para determinar o modelos principais de falha e a outra para calcular a probabilidade de falha estrutural. Para determinar o modelo de falha deve se estabelecer um modelo simples através da inspeção do estado de serviço da estrutura. Para o cálculo da probabilidade de falha existe um numero considerável de métodos aproximados. Sabendo-se que f x (X) representa a função densidade de probabilidades conjunta de todas as variáveis aleatórias X envolvidas na análise, a probabilidade de falha pode ser reescrita como: P f x G( X) 0 f ( X ) dx (4.12)

52 52 A avaliação desta expressão não é muito simples, uma vez que ela envolve a avaliação de uma integral n-dimensional num domínio complexo. Mesmo com o desenvolvimento de técnicas modernas de integração numérica e com computadores cada vez mais eficientes, na prática, a avaliação desta equação por integração tem se restringido a problemas com 5 ou 6 variáveis aleatórias no máximo. Devido a isso a probabilidade de falha é calculada usando métodos de transformação como FORM (First Order Reliability Method) e o SORM (Second Order Realibility Method) ou usando métodos de simulação como o de Monte Carlo Método de Primeira Ordem FORM (First Order Reliability Method) Os métodos analíticos de primeira ordem (FORM) e segunda ordem (SORM) são considerados como métodos computacionais confiáveis para avaliação da confiabilidade estrutural. A precisão é geralmente dependente de parâmetros como o raio de curvatura do ponto de projeto e o número de variáveis aleatórias, (Zhao e Ono, 1999). O método de primeira ordem (FORM) para o cálculo do índice de confiabilidade tem sido amplamente aceito devido às suas vantagens de eficiência e eficácia, e foi recomendado como o método de análise de confiabilidade pelo Comite de Segurança Estrutural (JCSS), (Yang et al, 2006). A idéia principal do FORM é que a confiabilidade pode ser facilmente obtida por uma função de falha linear considerando o espaço das variáveis reduzidas estatisticamente independentes, e avaliando a menor distância da função de falha até a origem. No caso de funções lineares de estado limite e varáveis normais não correlacionadas, o resultado obtido é exato. Se as funções são não-lineares, a aproximação depende da curvatura da função de falha e também das derivadas nos pontos sob análise para composição do vetor gradiente. No FORM, as variáveis aleatórias originais X, com distribuição qualquer e dependentes entre si ou não, são transformadas em variáveis normais padrão estatisticamente independentes, Y, e a função de falha G(X) é escrita em função das variáveis no espaço normal padrão g(y). A superfície de falha g(y)=0 é aproximada por uma superfície linear ou hiperplano no ponto da superfície que está mais próximo da origem, identificado como Y* e designado como o ponto de projeto no espaço reduzido. O valor do coeficiente de confiabilidade β é igual a

53 53 distância do ponto de projeto, Y* até a origem. A probabilidade de falha para o método FORM é calculada por: P (4.13) f Onde é a distância do ponto Y* até a origem e é avaliado como: Y (4.14) A figura 4.3 ilustra o processo seguido no método FORM. Figura 4.3. Transformação do espaço original para o espaço reduzido normal padrão (fonte: Choi e Youn 2001). O método calcula a probabilidade de falha de forma aproximada e dependendo da configuração da função g(y) no espaço das variáveis reduzidas se mostra ou não a favor da segurança. Se g(y) é convexa em torno do ponto de projeto a aproximação será a favor da segurança e será contra a segurança no caso contrário (Ver figura 4.4). Figura 4.4. Aproximação do Método FORM para superfícies côncavas e convexas (fonte: Lopez 2007).

54 54 Dentro do FORM existem dois processos que são a busca ao ponto de projeto e a transformação das variáveis do espaço original para o espaço normal padrão. A transformação das variáveis é feita utilizando as distribuições normais equivalentes e o ponto de projeto pode ser obtido através da solução de um problema de otimização (ou programação não linear). Transformação das variáveis A transformação de variáveis aleatórias originais X, correlacionadas ou não, em variáveis normais estatisticamente independentes é feita utilizando as distribuições normais equivalentes. A transformação das variáveis correlacionadas em variáveis normais padrão estatisticamente independentes é realizada através da transformação de Nataf. Os dados requeridos para fazer a transformação de Nataf são as funções de densidade de probabilidade marginais de cada variável aleatória e o coeficiente de correlação entre os pares de variáveis, não sendo necessário conhecer a função densidade de probabilidade conjunta. Se o vetor X contiver somente variáveis normais (correlacionadas ou não), um conjunto de variáveis normais padrão estatisticamente independentes pode ser obtido pela seguinte transformação: Y Γσ 1 X m (4.15) Onde m é o vetor com as médias normais equivalentes das variáveis aleatórias X, σ é uma matriz diagonal contendo os desvios-padrão normais equivalentes das variáveis aleatórias X. As médias e desvios padrão equivalentes são obtidos para as variáveis que não têm distribuições de probabilidade normal (Ver anexo A). A matriz Г é igual à inversa da matriz triangular inferior L, obtida pela decomposição de Choleski da matriz dos coeficientes de correlação de X (Ver anexo A). Como será visto adiante, para a determinação do ponto de projeto é necessário a definição do Jacobiano da transformação, ou seja, Y J Γσ X Pode-se então reescrever a equação (4.15) assim: 1 (4.16) Y J X m (4.17) Quando as variáveis aleatórias não normais são correlacionadas o valor original do coeficiente de correlação deve ser corrigido para um valor equivalente a uma correlação entre variáveis aleatórias normais (Ver anexo A).

55 55 Pesquisa do ponto de projeto Existem vários algoritmos de otimização para resolver este problema, o algoritmo mais usado na análise de confiabilidade estrutural é o HLRF desenvolvido por Hasofer e Lind (1974), e aperfeiçoado por Rackwitz e Fiessler (1978), que se resume a seguinte equação: K T K K K T g( Y ) Y g( Y ) g( Y ) K 1 1 Y (4.18) 2 K g( Y ) Onde g( Y K ) é o gradiente da função de falha no espaço reduzido e g( Y K ) é o valor da função de falha, ambos avaliados no ponto de projeto para a K- ésima iteração, Y K. Para a utilização deste algoritmo é importante considerar as seguintes relações: g( Y) G( X) Y Γσ 1 ( X m) (4.19) g( Y) (J 1 ) T G( X) Onde G( X) é o gradiente da função de falha no espaço original avaliado no ponto X e J Y X A figura 4.5 ilustra uma representação gráfica da busca do ponto de projeto para um problema com duas variáveis. Figura 4.5. Representação gráfica da busca do ponto de projeto para um problema com duas variáveis (fonte: Choi e Youn 2001). A avaliação da probabilidade de falha pelo método FORM envolve além da avaliação da função de falha nos pontos calculados pelo algoritmo a avaliação

56 56 das suas derivadas para compor o vetor gradiente. Em muitas ocasiões a função de falha pode ser não explicitada em função de todas as variáveis aleatórias do problema, nesse caso a avaliação do gradiente de G(X) é feita numericamente. Tal abordagem conduz a um número elevado de cálculos da função de estado limite G(X), logo é um processo computacionalmente caro. Portanto, para problemas onde a função de falha G(X) é computacionalmente cara de ser avaliada é melhor, se possível, trabalhar com derivadas analíticas e não numéricas Análise de Sensibilidade Após obter o índice de confiabilidade, a identificação dos parâmetros mais importantes que afetam a probabilidade de falha é realizada através de uma análise de sensibilidade. A análise de sensibilidade é utilizada para estudar os efeitos que as diversas suposições e os erros nos dados geram na equação de estado limite proposta. O método analítico FORM, fornece além da probabilidade de falha medidas de sensibilidade. Uma importante medida é o fator de importância que indica qual é a importância que cada variável aleatória envolvida na análise tem na resposta da probabilidade de falha de um determinado modo, e é definido por: Ii α (4.20) 2 i Onde α i é o cosseno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no ponto de projeto y* e o eixo da variável reduzida Yi, dada por: reduzido. g( Y*) i g(y*) (4.21) Sendo g( Y*) a componente do gradiente da função de estado no espaço i A partir desse cálculo observa-se que as variáveis aleatórias que têm fatores de importância baixos podem ser consideradas como determinísticas Método de Simulação de Monte Carlo Simulação é o processo de representação do mundo real baseado em um conjunto de hipóteses e modelos concebidos da realidade. Este processo pode ser executado teoricamente ou experimentalmente. Em termos de análise

57 57 estrutural, a simulação pode ser entendida como uma forma de simular numericamente um experimento que na prática não é realizável. Este experimento consiste em testar a estrutura para todas as combinações possíveis de resistências e de ações, sendo estas variáveis aleatórias. Uma tarefa básica na simulação de Monte Carlo é a geração de números aleatórios. A geração automática de números aleatórios pode ser feita a partir da hipótese que os mesmos estão uniformemente distribuídos entre 0 e 1. Por transformações apropriadas, obtêm-se então as amostras das variáveis aleatórias correspondentes à distribuição de probabilidade prescrita. Com as amostras geradas resolve-se a relação determinística obtendo um conjunto de resultados de G(X). Se G(X) for maior que 0, então o critério de segurança foi satisfeito. Caso contrário, se G(X)<0, a combinação dos valores de X levou a falha no sistema. De um modo matemático o método de Monte Carlo pode ser expresso da seguinte forma: f Pf fx ( x)dx I( x)fx ( x)dx E[I( x)] (4.22) I (x) n R 1 se x f 0 se x f Repetindo as análises para um grande número de simulações n s, a média empírica dos valores de l(x) é um estimador de P f. 1 P x (4.23) n s r f I( ) ns r1 A variabilidade dos resultados é inversamente proporcional ao número de simulações n s. Isso pode ser uma vantagem do método, aumentando a sua precisão à medida que se aumenta o número de cálculos de G(X) realizados. Porém, para probabilidades de falha muito pequenas, o número de simulações para se obter um só caso de falha é muito grande, demandando um grande esforço computacional na avaliação da probabilidade de falha. Nesses casos o número de simulações necessárias pode ser estimado pela equação (4.24) onde k e P f são respectivamente o nível de confiança e a ordem de grandeza da probabilidade de falha desejados: n si f ln 1 k (4.24) P Para reduzir o número de simulações necessárias, utilizam-se técnicas de redução de variância. O método de Monte Carlo utilizado neste estudo é o

58 58 conhecido como método de Monte Carlo simples ou direto por não utilizar técnicas de redução de variância. O uso da simulação de Monte Carlo na avaliação de um desempenho estrutural pode ser feito para: Calcular as estatísticas (média, desvio padrão e tipo de distribuição) da resposta do sistema. Nesse caso, primeiro é obtida uma amostra da resposta e uma distribuição de probabilidade é ajustada aos dados desta amostra. Calcular a probabilidade de desempenho insatisfatório (probabilidade de falha). Nesse caso é necessário conhecer: (a) uma relação determinística para descrever a resposta da estrutura; (b) as distribuições de probabilidade de todas as variáveis envolvidas no cálculo da resposta. Uma amostra dos possíveis cenários (falha ou sobrevivência) é gerada e o número de desempenhos insatisfatórios é obtido. A probabilidade de falha é calculada como a taxa de desempenhos insatisfatórios, ou seja, o número de desempenhos insatisfatórios dividido pelo número de simulações. Com o aumento da capacidade dos computadores, a simulação de Monte Carlo tem conquistado mais espaço, devido a sua robustez e simplicidade. É comum também utilizar o método para verificar soluções analíticas aproximadas Índice de Confiabilidade de Referência Os principais critérios para encontrar o índice de confiabilidade de referência adequado são as conseqüências de falha e os custos do aumento da confiabilidade. No entanto, na prática, é difícil obter os dados necessários para a determinação do índice de confiabilidade de referência ideal. Portanto, uma boa indicação pode ser estabelecida considerando os índices de confiabilidade das estruturas projetadas segundo os códigos existentes (Nowak e Kaszynska, 2003). Os requisitos para a segurança da estrutura são, conseqüentemente, expressos em termos do índice mínimo de confiabilidade aceito ou da máxima probabilidade de falha aceita. Índice de confiabilidade de referência é o valor mínimo estabelecido para o índice de confiabilidade, associado a um valor

59 59 máximo de probabilidade de falha que expresse o nível de falha aceitável para a estrutura. Os valores do índice de confiabilidade de referência para estados limites últimos propostos pelo JCSS (2001) estão na seguinte tabela: Tabela 4.1. Valores do índice de confiabilidade de referência β T e Probabilidade de falha P f associadas, relacionadas ao estado limite último. Medida relativa do custo de segurança Conseqüências leves de falha Conseqüências moderadas de falha Conseqüências graves de falha Grande (A) β T =3,1 (P f 10-3 ) β T =3,3 (P f 5*10-4 ) β T =3,7 (P f 10-4 ) Normal (B) β T =3,7 (P f 10-4 ) β T =4,2 (P f 10-5 ) β T =4,4 (P f 5*10-6 ) Pequeno (C) β T =4,2 (P f 10-5 ) β T =4,4 (P f 5*10-6 ) β T =4,7 (P f 10-6 ) O JCSS (2001) propõe uma classificação das estruturas em classes de conseqüência de falha, baseada na taxa ρ definida como o quociente entre custos totais (i.e. custos de construção mais custos diretos de falha) e custos de construção. A partir de uma análise custo-benefício, são fixados valores do índice de confiabilidade de referência β T de acordo com as classes de conseqüências descritas a seguir: Classe 1 Conseqüências Leves: ρ é menor que aproximadamente 2. O risco de vida e as conseqüências econômicas são pequenas ou negligenciáveis (por exemplo: silos e estruturas agrícolas). Classe 2 Conseqüências Moderadas: ρ está entre 2 e 5. O risco de vida, dada uma falha, é médio ou as conseqüências econômicas são consideráveis (por exemplo, construções residenciais, comerciais ou industriais). Classe 3 Conseqüências Graves: ρ está entre 5 e 10. O risco de vida, dada uma falha, é alto, ou as conseqüências econômicas são significantes (por exemplo, pontes, teatros, hospitais, edifícios altos). Se ρ é maior do que 10 as conseqüências de falha devem ser consideradas extremas e uma análise de custo-benefício completa é recomendada. A conclusão poderia ser que a estrutura não deveria ser construída. As classes e custos de falha podem estar relacionados com a localização da estrutura. Por exemplo, uma estrutura construída em zona rural poderia apresentar conseqüências de falha de leves a moderadas, enquanto essa mesma estrutura construída em zona urbana poderia apresentar conseqüências de falha graves a extremas.

60 60 No estado limite de serviço os valores do índice de confiabilidade de referência podem ser derivados baseados em métodos de análise de decisão. Os valores para o índice de confiabilidade de referência β T sugeridos pelo JCSS(2001) são apresentados na Tabela 4.2. Tabela 4.2. Valores do índice de confiabilidade de referência β T e probabilidade de falha P f associados ao estado limite de serviço Medida relativa do custo de segurança β T no estado limite de serviço Grandes (A) β T =1,3 (P f 10-1 ) Normal (B) β T =1,7 (P f 5*10-2 ) Pequeno (C) β T =2,3 (P f 10-2 ) Para estruturas existentes, os custos para alcançar um maior nível de confiabilidade são geralmente elevados em comparação com as estruturas projetadas. Porém, o nível de incertezas é inferior, uma vez que a monitoração da mesma fornece mais informações sobre as variáveis aleatórias envolvidas. Baseado nesse cenário, o JCSS sugere que, o índice de confiabilidade de referência para estruturas existentes deve ser menor.

61 5 Formulação do Problema 5.1. Introdução O objetivo deste capítulo é apresentar a sistemática adotada para a estimativa da confiabilidade de vigas de pontes ferroviárias de concreto armado, submetidas à flexão simples. Para a análise de confiabilidade é preciso partir de uma função de estado limite que descreva o comportamento da estrutura e então estimar a probabilidade de falha pelos métodos de primeira ordem FORM e de simulação de Monte Carlo (ver Capítulo 4). Tal função é obtida utilizando o programa de análise estrutural SAP2000 em conjunto com um programa desenvolvido em Matlab. Todas as análises realizadas foram baseadas nos projetos estruturais existentes considerando as propriedades do concreto especificadas no projeto e o modelo matemático considerado em relatórios de verificação atuais. A seguir são explicados mais amplamente os procedimentos seguidos para obter os dados necessários das análises desenvolvidas nos exemplos de aplicação Verificação de Segurança no Estado Limite Último No processo de verificação de segurança das longarinas de uma ponte com relação ao estado limite último, a flexão simples é verificada pela condição: Msd M rd (5.1) Onde M sd representa o momento solicitante de cálculo e M rd o momento resistente de cálculo. Nesse contexto, são obtidos os valores do momento solicitante devidos a carregamento permanente e a carga móvel, através das envoltórias de combinações dos esforços. Os momentos resistentes são extraídos de uma rotina desenvolvida em Matlab. Para a verificação busca-se obter a probabilidade de falha da estrutura e comparar esses resultados com as normas existentes. O processo tem inicio com a determinação das

62 62 variáveis a serem consideradas como aleatórias para encontrar uma função de estado limite que descreva o comportamento da estrutura. A partir dessa função, calcula-se a probabilidade de falha e o coeficiente de confiabilidade da estrutura Variáveis Aleatórias Seis variáveis aleatórias são consideradas nesse trabalho: a resistência à compressão do concreto (f ck ), a resistência à tração do aço (f yk ), o módulo de elasticidade longitudinal do aço (E s ), o peso específico do concreto (), a carga móvel para o trem tipo operacional atual (Q) e o coeficiente de impacto (φ). Os modelos probabilísticos adotados para as variáveis são definidos a seguir e sintetizados na Tabela 5.1. Estes modelos são utilizados em todos os exemplos, exceto quando há alguma modificação descrita. Dentro dos parâmetros considerados para definir os modelos probabilísticos, temos que os parâmetros referentes ao tipo de distribuição de cada variável, foram obtido a partir de uma pesquisa bibliográfica e dos regulamentos do JCSS, já o valor esperado foi avaliado a partir dos valores característicos fixados na NBR6118:2003.Os valores correspondente ao coeficiente de variação (que é uma normalização do desvio padrão pelo valor esperado) foram assumidos depois de uma revisão de diversos estudos desenvolvidos. Os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias são definidos como: 1. Resistência à compressão do concreto (f ck ): O modelo probabilístico se baseia nas recomendações da NBR 6118 (2003), da NBR (1996) e do JCSS (2001). Segundo a NBR 6118 (2003) a resistência do concreto é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material. O f ck é sempre menor do que a resistência média f ckm dada pela média aritmética das resistências dos elementos que compõem o lote considerado de material. Segundo o JCSS (2001) a distribuição de probabilidade Lognormal caracteriza bem essa variável aleatória. Neste trabalho adota-se o coeficiente de variação COV igual a 15%. 2. Resistência à tração do aço (f yk ): Segundo as recomendações da JCSS (2001), adota-se a distribuição Lognormal para essa variável aleatória, com um coeficiente de variação de 7%.

63 63 3. Módulo de elasticidade longitudinal do aço (E s ): O modelo probabilístico adotado baseia-se nos modelos propostos por Hamutçuoglu et al (2009), Cheng (2009) e Liu (2002) que consideram uma distribuição Lognormal e um coeficiente de variação entre 6 e 12%. Para este estudo o coeficiente de variação é de 10%. 4. Peso específico do concreto (): O modelo probabilístico para o peso específico do concreto está baseado nos propostos por Nowak et al (2000) e Liu (2002) onde é sugerida a distribuição Normal e um coeficiente de variação de 8%. A NBR 6118 (2003) menciona que o valor característico para as cargas permanentes é igual ao valor médio. Considera-se que o modelo probabilístico adotado para o peso específico do concreto é o mesmo adotado para a carga permanente. 5. Carga móvel (Q): O modelo probabilístico dessa variável é baseado nas propostas de Ellingwood (1996), Nowak et al (2000) e Law et al (2009) onde é assumida uma distribuição de probabilidade TipoI(Gumbel). Adota-se um coeficiente de variação igual a 15%. A NBR 6118 (2003) menciona que o valor característico de Q corresponde a valores que têm entre 25 e 30% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de retorno de 50 anos. Neste estudo foi adotado um valor de 30% de probabilidade de serem ultrapassados. 6. Fator de impacto (φ): O impacto é o efeito dinâmico da carga móvel devido às forças de inércia geradas pelo movimento dos trens sobre a ponte. O modelo probabilístico é baseado nos propostos por Hamutçuoglu et al (2009) e Liu (2000), que consideram uma distribuição Normal. O coeficiente de variação adotado é de 13%. Tabela 5.1. Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias Variável Aleatória Distribuição Coeficiente de Variação % f ck Lognormal 15 f yk Lognormal 7 E s Lognormal 10 Normal 8 Q TipoI 15 φ Normal 13

64 Função de Estado Limite Para obter a probabilidade de falha de uma ponte ferroviária em concreto armado é utilizada uma função de estado limite. A idéia geral da verificação da estrutura é que os momentos solicitantes (Ms d ) não superem os valores do momento resistente (Mr d ), isso pode ser expresso na seguinte função de estado limite: G(f G(f ck,f yk ck,f yk,e,,q, ) M s,e,,q, ) M s Pelas equações (5.2) identifica-se que: rd (f ck rd,f (f yk ck,f yk,e ) M s,e ) M s sp sd (,Q, ) ( ) M sq (Q, ) (5.2a) (5.2b) O momento resistente da viga é função da resistência à compressão do concreto (f ck ), da resistência à tração do aço (f yk ) e do módulo de elasticidade do aço (E s ). O momento solicitante para carga permanente é função do peso específico do concreto (). O momento solicitante para carga móvel é função da carga móvel (Q) e do coeficiente de impacto (φ). A determinação desses momentos é apresentada a seguir Momento Resistente Na análise do momento resistente de uma seção de viga no estado limite último, devem ser consideradas algumas hipóteses básicas, como: a. As seções transversais planas se mantêm planas após deformação. b. Aderência perfeita entre o concreto e a armadura: admite-se que não há escorregamento entre os materiais (a deformação da armadura ε s é admitida igual à deformação da fibra de concreto ε c, junto a essa armadura) c. As tensões de tração no concreto normais à seção transversal podem ser desprezadas. d. A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama retangular de altura 0,8x (onde x á altura da linha neutra) com a seguinte tensão: 0,85 f cd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida.

65 65 0,80 f cd no caso contrário. f cd é a resistência de cálculo do concreto, obtida através da relação entre a resistência do concreto f ck e o coeficiente de ponderação do concreto igual a 1,4 para combinações normais. e. A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensãodeformação com valores de cálculo definidos na NBR 6118 (2003). f. O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertence a um dos domínios definidos na seguinte figura. Ruptura convencional por deformação plástica excessiva Reta a: tração uniforme Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão Domínio 2 : flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (ε c < 0,35% e com o máximo alongamento permitido). Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto Domínio 3 : flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto com escoamento do aço (ε s ε yd ) Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura a compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (ε s < ε yd ) Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração Reta b: compressão uniforme. 6118:2003) Figura 5.1. Domínios de estado limite último de uma seção transversal (fonte: NBR

66 66 Para avaliar o momento resistente de uma viga sujeita a flexão simples em função das variáveis aleatórias f ck, f yk e E s, são tomados como os dados de entrada: Variáveis aleatórias: resistência do concreto (f ck ), resistência do aço (f yk ) e modulo de Elasticidade do aço (E s ) Tipo de aço Armadura de tração e compressão (A s e A s ) Alturas úteis das armaduras (d, d ) As dimensões da seção (h f, b w, b f, h). Ver figura 5.2. Figura 5.2. Seção Tipo da ponte As seguintes hipóteses são adotadas: f Domínio 2 ou Domínio 3 sd sd yd ' f Armadura abaixo do escoamento (5.3) yd 0,8x h Zona comprimida dentro da mesa f Para as seções analisadas, verifica-se que a zona comprimida encontra-se dentro da mesa, portanto as equações aqui descritas só consideram essa hipótese. Considerando a seção transversal no domínio 2 ou no domínio 3, calculase as alturas limites para esses domínios X 2lim e X 3lim respectivamente. Os resultados obtidos são comparados com o resultado encontrado para a altura da linha neutra para definir o domínio real. x d cmáx 2lim ( cmáx smáx ) 0,259d (5.4)

67 67 x d cmáx 3lim ( cmáx yd ) 0,63d A seguinte figura apresenta um esquema geral para uma viga T: Figura 5.3. Esquema geral para uma viga T De acordo com o equilíbrio de forças: R cd R' sd R sd 0,68 b x f f cd A' ' s sd A s sd (5.5) sd f yd (5.6) (x d' ) ' sd Es' s ' s s Do min io 2 (5.7) (d x) (x d' ) 0,68 b f x fcd A' s Es s A sfyd (5.8) (d x) Da equação (5.8) pode-se encontrar o valor de x (0,68 b f 0,68 b f 0,68 b f f f f cd cd cd x)(d x) A' se d x 0,68 b f x 2 f cd (0,68 b f (0,68bf fcdd A' s Es x 2 * 0,68b f (0,68b f f cd s s f f s cd cd d A' E ) 2 x s 2 s (x d' ) A A' E d A' E s ) s s 2 * 0,68b f s s f cd s s 4 * 0,68b f f s yd x A' E )x A f cd (A s f s y f s y s s A d' A f s y A' E s f s y A' E d' 0 s s s d' ) s s (5.9) Com o valor de x se encontra o valor do momento resistente, segundo as equações de equilíbrio de momentos: M M cd cd R cd d 0,4x R' d d' 0,68 b x f f cd sd x d' d x d 0,4x A' E (d d' ) s s s (5.10)

68 68 Com os resultados obtidos são verificadas as hipóteses da equação (5.3). Se todas as hipóteses são verdadeiras o valor encontrado do momento resistente é o valor que será utilizado na função de estado limite. Verificadas as hipóteses, a função de estado limite para o momento resistente é: M rd 0,68 b x f f cd (d 0,4x) A' E s s s x d' (d d`) d x (5.11) As variáveis aleatórias f ck, f yk e E s estão implícitas na equação, no cálculo de x como foi descrito acima, levando em conta que: f cd fck e 1,4 f yd fyk 1,15 (5.12) Esta sistemática foi seguida para obter uma equação que permita que a função de estado limite esteja representada por uma função analítica a partir da qual a avaliação do gradiente da função é facilmente implementada permitindo o emprego do método FORM para determinação da probabilidade de falha. A fraqueza dessa equação é desprezar a armadura de pele. Para considerá-la a probabilidade de falha deve ser avaliada com o emprego do método de simulação de Monte Carlo, encontrando o valor do momento resistente com ajuda de uma rotina desenvolvida no Matlab Momento Solicitante As principais ações atuantes nas estruturas são classificadas como permanentes e variáveis. As ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção e também aquelas ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. Estas ações permanentes são classificadas como 1) diretas: o peso próprio da estrutura, o peso dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes, 2) indiretas: as deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. Estas ações devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. As ações variáveis também podem ser classificadas em diretas e indiretas. As diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, como ação do vento, da água; as

69 69 indiretas são constituídas pelas variações uniformes e não uniformes de temperatura, ações dinâmicas e ações excepcionais. Nesse trabalho, é considerada a carga permanente correspondente ao peso próprio da estrutura e as cargas provenientes do lastro, trilhos, acessórios, argamassa, mureta, plaqueta e guarda corpo, assim como as cargas concentradas correspondentes aos refúgios e postes. A modelagem é feita com barras, onde o conjunto longarina-tabuleiro é representado por uma única barra. As cargas provenientes do peso próprio das transversinas foram aplicadas como cargas concentradas. O modelo aqui considerado toma como base o Relatório Técnico - Desenvolvimento de Metodologia para Avaliação da Integridade Estrutural de Pontes e Viadutos Ferroviários ao Longo da Estrada de Ferro Carajás, primeira etapa Volume 4: Obra de Arte Especial n. 55 Ponte sobre o Rio Vermelho (Relatório Técnico, Veloso et al 2007). Para a carga móvel é considerado o trem tipo operacional atualmente usado na CVRD onde se adota como locomotiva padrão a DASH9 e como vagão o GDT (ver figuras 5.4 e 5.5). A carga da locomotiva é de 300 KN/eixo, do vagão carregado é 325 KN/eixo, e a carga do vagão descarregado é 52,5 KN/eixo. Figura 5.4. Locomotiva tipo DASH9 (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). Figura 5.5. Vagão tipo GDT (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). A configuração do trem tipo atual é: 2 locomotivas vagões + 1 locomotiva vagões. Para encontrar os momentos devidos ao carregamento móvel, foi admitida somente, uma quantidade de vagões e locomotivas suficiente para cobrir todo o

70 70 comprimento da ponte, considerando a configuração mais critica, que leve a encontrar valores maiores para o momento solicitante. Na avaliação da probabilidade de falha a função de estado limite precisa ser revalidada uma série de vezes, como conseqüência das alterações dos valores das variáveis aleatórias, no FORM ou na simulação de Monte Carlo. No caso das variáveis aleatórias alterarem o carregamento, é necessário que uma nova análise da estrutura seja feita, o que demanda um tempo considerável. Uma vez que está sendo considerada uma análise linear da estrutura e que a função de estado limite tratada envolve apenas esforços internos, adota-se uma abordagem onde separa-se o carregamento e depois usa-se a superposição para avaliar o momento solicitante. Na consideração do peso próprio das longarinas e transversinas, a variável aleatória é o peso específico do concreto (). Inicialmente admite-se essa variável aleatória como unitária e determina-se um momento solicitante M sp1. Para outros valores da variável aleatória o momento solicitante que é diretamente proporcional a M sp1 é calculado como o produto de M sp1 vezes. Para encontrar a função de estado limite devida ao carregamento permanente além do peso próprio das longarinas e transversinas é considerada uma carga permanente adicional determinística (S), correspondente a lastro, trilhos e acessórios, argamassa, mureta e plaqueta, guarda corpo. O momento obtido para esse carregamento é designado como M spadic. A função de estado limite para o momento solicitante para carga permanente (M sp ) é: M sp M sp 1 M spadic (5.13) Para a avaliação do momento solicitante devido à carga móvel emprega-se a linha de influência para as seções consideradas. Sendo a configuração da linha de influência independente da intensidade da carga móvel, opta-se por inicialmente avaliar a linha de influência e o momento solicitante M sq1, admitindo como unitária a carga do trem-tipo. Esse procedimento é realizado empregando o SAP2000. Para outras intensidades da carga do trem-tipo (Q), o momento solicitante é proporcional ao M sq1 e é dado por: M M Q sq sq (5.14) 1 Onde Q e a carga do trem tipo considerado e φ é o coeficiente de impacto. Para a sistemática sugerida, a função de estado limite da ponte da equação (5.2) pode ser reescrita como:

71 71 rd,msd Mrd Msd G( X ) G M (5.15 a) rd sp sq G( X ) M M M (5.15 b) G( X) 0,68 b x (d 0,4x) A' M M M Q sp 1 sp adic f f cd sq 1 s E s s x d' (d d`) d x (5.15 c) 5.7. Verificação de Segurança no Estado Limite de Serviço Para a verificação da segurança das longarinas de uma ponte com relação ao estado limite de serviço são verificados o estado limite de formação de fissuras e o estado limite de abertura de fissuras Estado Limite de Formação de Fissuras O estado limite de formação de fissuras é o estado em que inicia a formação de fissuras e admite-se que este estado é atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual à resistência à tração na flexão f ct,f (NBR6118:2003, item 3.2.2). A verificação é feita calculando-se a máxima tensão de tração do concreto no estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos materiais) item Verifica-se que o momento de fissuração (M f ) é maior ou igual ao momento solicitante (M s ), como indicado na seguinte expressão: Mf M s (5.16) A resistência à compressão do concreto (f ck ), o peso específico do concreto (), a carga móvel e (Q) e o fator de impacto (φ) são considerados como variáveis aleatórias. Os modelos probabilísticos dessas variáveis foram descritos no item 5.3. A função de estado limite para obter a probabilidade de falha de uma ponte ferroviária em concreto armando dentro do cenário desse estado limite é: G(f,,Q, )=M (f ) M (,Q, ) (5.17) ck f Da equação (5.17), pode-se observar que o momento de fissuração é função da resistência à compressão do concreto (f ck ), o momento solicitante por carga permanente é função do peso especifico do concreto (), e o momento ck s

72 72 solicitante por carga móvel é função da carga móvel (Q) e do coeficiente de impacto (φ). A partir desta verificação, torna-se possível identificar o estádio de comportamento da peça. Esses estádios traduzem as diversas fases pelas quais passa uma peça de concreto armado quando submetida a um carregamento crescente. Normalmente, para as ações de serviço (reais não majoradas), as seções encontram-se nos estádios I e II. A seguinte figura apresenta um esquema geral dos estádios de comportamento. Figura 5.6. Esquema geral dos estádios de deformação. No estádio I a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração (f ctk ), e não há fissuras de flexão visíveis; nesse estádio o diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear, e as tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto. Já o estádio II é caracterizado pela presença de fissuras nas zonas de tração e, portanto, o concreto situado nessas regiões é desprezado; nesse estádio, a tensão de tração na maioria dos pontos situados na região tracionada da seção tem valor superior ao da resistência característica do concreto à tração. A separação entre estes dois estádios de comportamento é definida pelo momento de fissuração (M f ), o qual define-se como sendo o momento fletor capaz de provocar a primeira fissura na peça. Se o momento fletor atuante numa dada seção for menor do que o momento de fissuração, a seção não está fissurada e, portanto, encontra-se no estádio I, caso contrário, se o momento fletor atuante for maior do que o de fissuração, a seção encontra-se fissurada e, portanto, no estádio II e diz-se que foi ultrapassado o estado limite de formação de fissuras.

73 73 Segundo a NBR6118:2003 o momento de fissuração pode ser calculado pela seguinte expressão: M f I ct c f (5.18) y t Onde: α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência a tração direta (α = 1,2 para seções em forma de T ou duplo T, e α = 1,5 para seções retangulares); y t é a distância do centro de gravidade da seção transversal a sua fibra mais tracionada; I c é o momento de inércia da seção bruta de concreto; f ct é a resistência à tração direta do concreto. Neste caso, para determinação do momento de fissuração, deve ser usado: f 0,21 (5.19) 2/ 3 ct f ck Substituindo a expressão (5.19) em a (5.18) temos o momento de fissuração em função da variável aleatória f ck : M f 0,21 f 2 / 3 ck c (5.20) y t I Segundo a NBR6118:2003, para a verificação da segurança com relação ao estado limite de formação de fissuras, pode ser considerada a combinação freqüente de serviço ou a rara (item ). No estudo é utilizada a combinação rara de serviço por ser a mais apropriada para as análises, essa combinação não considera fatores de redução para a carga móvel principal. Como segue: F d,ser F F F (5.21) gik q1k 1j qjk Onde: F d,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; F gik é o valor característico das ações permanentes; F q1k é o valor característico da ação variável principal direta e Ψ 1 é o fator de redução de combinação freqüente para estado limite de serviço. Para a combinação rara de serviço e considerando as equações (5.13) e (5.14) o momento fletor atuante segue a expressão: M s M M (5.22) Os procedimentos seguidos para encontrar o momento devido à carga permanente e o momento devido à carga móvel foram explicados no item 5.6. Com os dados encontrados pode-se substituir a equação (5.17) e encontrar a seguinte função de estado limite: G( X ) M f M s sp sq

74 74 (5.23) M M M Q 2 / 3 0,21 fck Ic G( X ) sp sp sq1 y 1 adic Estado Limite de Abertura de Fissuras t Para evitar que surjam problemas relativos à funcionalidade e à durabilidade das estruturas, as fissuras não devem se apresentar com aberturas muito grandes. A corrosão das armaduras pode também ser evitada através da limitação da abertura de fissuras, já que armaduras excessivas facilitam a penetração do meio externo para o interior da massa de concreto e, também, das armaduras, podendo conduzir ao colapso da estrutura. O estado limite de formação de fissuras é caracterizado pela situação em que as fissuras se apresentam com aberturas características (w k ) iguais aos máximos especificados na Tabela 5.2. Tabela 5.2. Abertura máxima das fissuras (w k ), para combinação freqüente, em função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2003). Classe de agressividade Abertura máxima das fissuras características (w k ) Combinação de ações em serviço a utilizar I w k 0,4 mm Combinação freqüente II w k 0,3 mm Combinação freqüente III w k 0,3 mm Combinação freqüente IV w k 0,2 mm Combinação freqüente Conforme a NBR6118:2003, a agressividade ambiental pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes; a agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto. Na Tabela 5.3 são apresentadas as classes de agressividade ambiental segundo a NBR6118:2003. Tabela 5.3. Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental I Agressividade Fraca Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Rural Submersa Risco de deterioração da estrutura Insignificante II Moderada Urbana 1), 2) Pequeno

75 75 III IV Forte Muito forte Marinha 1) Industrial 1), 2) 1), 3) Industrial Elevado Respingos de maré Grande 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comercias ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões donde chove raramente. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. Verifica-se se a abertura máxima de fissura (w k ) é maior do que a abertura de fissura (w), como indicado na seguinte expressão: w k w (5.24) A resistência à compressão do concreto (f ck ), o módulo de elasticidade do aço (E s ), o peso específico do concreto (), a carga móvel e (Q) e o fator de impacto (φ) são consideradas como variáveis aleatórias. Os modelos probabilísticos dessas variáveis foram descritos no item 5.3. A função de estado limite para obter a probabilidade de falha de uma ponte ferroviária em concreto armado dentro do cenário de abertura de fissuras é: G(f,E,,Q, )=w w (f,e,,q, ) (5.25) ck s k Os valores de w k estão na Tabela 5.2. Para encontrar os valores de w a NBR618:2003 propõe a seguintes expressões: w 1 ck s ct,m s 2 3 s (5.26) 12,5 E f 4 w 2 45 (5.27) 12,5 Es r Onde: φ é o diâmetro da barra utilizada na armadura de tração; η é o coeficiente de conformação superficial, η = 1 para barras lisas (CA-25), η = 1.4 para barras entalhadas (CA-60) e η = 2.25 para barras de alta aderência (CA- 50); σ s é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto); E s é o módulo de elasticidade do aço; ρ r é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da região de envolvimento (A cri ) e f ct,m é a resistência média do concreto a tração. A seguir é explicada a metodologia para o cálculo das diferentes variáveis envolvidas no cálculo da abertura de fissuras.

76 76 Resistência a tração media do concreto (f ct,m ): 2/ 3 fct,m =0,3f ck (5.28) Tensão da armadura de tração calculada no Estádio II Módulo de elasticidade secante do concreto 1/ 2 Ecs =4760 fck (5.29) Relação entre os módulos de elasticidade E s e= (5.30) Ecs o Posição da linha neutra X II Caso 1 X II h f bf 2 bf 2 X 2 II X X 2 II 2 II A' (X -d')=a (d-x ) (5.31) S e II S e A' A X A' d' A d 0 S e S e II S II (5.32) e f S e 2 bf A' Se A Se A' Se A Se 4 A' Sed' A Sed 2 (5.33) b o Caso 2 X II > h f (5.35) bf 2 X 2 II (bf bw ) 2 XII hf A' Se (XII-d')=A Se (d-xii) (5.34) 2 bw 2 XII (b f bw )h f A' Se A Se X 2 (bf bw ) 2 hf A' Sed' A Sed 0 2 X 2 II f (bf bw )h f A' Se A Se b (b b w f S w )h A' e A S e 2 w II bw (bf b b w ) h 2 f A' S e d' A S ed (5.36) o Momento de inércia no Estádio II puro I II Caso 1 X II h f

77 77 I II bf 3 X 3 II A (5.37) o Caso 2 X II > h f S e (d-x ) 2 II A' S e (X -d') II 2 I b 3 (b b 2 ) X h A (d-x ) A' (X -d') f 3 f w II XII II f S e II S e II (5.38) Momento equivalente segundo a Fórmula de Brandson I e M f M s 3 I c 3 M f 1 M s (5.39) M f é o momento de fissuração, ver equação (5.20), e M s é o momento solicitante, considerando a combinação freqüente de serviço. Segundo a NBR6118:2003, para a verificação da segurança com relação ao estado limite de abertura de fissuras é considerada a combinação freqüente de serviço (item ). Como segue: I II I c F d,ser F F F (5.40) gik 1 q1k 2j qjk F d,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; F gik é o valor característico das ações permanentes; F q1k é o valor característico da ação variável principal direta, Ψ 1 é o fator de redução de combinação freqüente para estado limite de serviço e Ψ 2 é o fator de redução de combinação quase permanente para estado limite de serviço. O valor de Ψ 1 é 0.4, então a combinação freqüente considerando os momentos solicitantes devido a carga permanente e móvel segundo as equações (5.13) e (5.14) respectivamente é: M M 0,4 M Q Ms sp 1 sp adic sq1 (5.41) Tensão da armadura de tração s E s s s d X r II M 1 Ms r E I d X cs e s II s E (5.42) s EcsIe Em função das variáveis aleatórias a equação (5.42) fica:

78 78 M M 0,4M Q d X sp sp sq 1 II 1 adic s E (5.43) s EcsIe Área do concreto de envolvimento Taxa de armadura de tração A s r (5.44) A cri Para o cálculo da área do concreto de envolvimento A cri a NBR6118:2003, no seu item , diz que para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa aderente, que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7Ф do contorno do elemento da armadura, como indicado na Figura 5.7. Figura 5.7. Concreto de envolvimento da armadura (fonte NBR6118:2003) Com os dados encontrados podem-se substituir as equações (5.26) e (5.27) para determinar as aberturas de fissuras: w 1 M M 0,4M Q d X sp 1 sp adic sq 1 II E s 3 EcsI e (5.45) 12,5 E f s ct,m M M 0,4M Q d X sp 4A w 1 sp adic sq 1 II cri 45 2 (5.46) 12,5 EcsIe A s 2 Substituindo os valores de w 1 e w 2 na equação (5.19), obtemos a seguinte função de estado limite:

79 79 G(X) w k 3 12,5 G(X) w w se w w (5.47) k 1 M M 0,4M Q d X G(X) sp 1 k sp adic 2 1 sq 1 2 E csie fct, m 1 2 w w se w w (5.48) M M 0,4M Q d X sp 4A G(X) w 1 sp adic sq 1 II cri 45 k 12,5 EcsIe A s 5.8. Rotinas Implementadas para Análise de Confiabilidade Associadas ao Estado Limite de Ruptura 2 II 2 Dados de entrada: a. Para os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias (f ck, f yk, E s,, Q e φ) são considerados os seguintes dados (ver item 5.3): Vetor contendo o tipo de distribuição de probabilidade adotada para cada variável aleatória, (1 para distribuição Normal, 2 para Lognormal e 3 para Tipo 1), valores médios, coeficientes de variação e ponto inicial de cada variável. Matriz contendo os coeficientes de correlação existente entre as variáveis aleatórias b. Valores das variáveis consideradas como determinísticas. Propriedades geométricas da seção de concreto armado Largura da viga (b w ) Largura efetiva (b f ) Altura da viga (h) Altura útil da viga (d e d ) Área de armadura de tração e compressão (A s, A s ) Armadura de pele Propriedades dos materiais Peso específico do concreto () Carregamento do trem tipo (Q) Coeficiente de Impacto (φ) c. Ponto inicial que contém os dados da média e desvio padrão de cada variável Determinação das envoltórias de esforços

80 80 As envoltórias de esforços são obtidas com ajuda do programa de análise estrutural SAP2000. A ponte é modelada e os carregamentos permanente e móvel são considerados, como explicado no item 5.6. As variáveis aleatórias envolvidas no cálculo dos momentos solicitantes (, Q e φ) são consideradas como unitárias para a determinação dos esforços da estrutura. Da análise são obtidos os valores do momento fletor para carga permanente unitária (M ps1 ) e para carga móvel unitária (M qs1 ) os quais são utilizados para obter os momentos solicitantes em função das variáveis aleatórias e determinar assim a função de estado limite (equações 5.13 e 5.14). Definição das opções de análise de confiabilidade da ponte São duas as opções para a análise de confiabilidade as quais dependem se a armadura de pele é considerada ou não. 1. Quando a armadura de pele é considerada, é usado o método de simulação de Monte Carlo para encontrar a probabilidade de falha P f. Dentro do programa que faz esta análise de confiabilidade. O momento resistente é calculado utilizando uma rotina iterativa, desenvolvida pelo Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicado à Engenharia (NiCAE) da Universidade Federal do Pará (UFPA) para análise de seções de concreto armado. No método de Monte Carlo é gerado um vetor de números aleatórios segundo o tipo de distribuição adotada, os valores destas variáveis são dados de entrada da rotina iterativa para calcular o momento resistente mediante um processo iterativo. Para cada valor gerado das variáveis aleatórias é encontrado um valor para o momento resistente M rd e para os momentos solicitantes (M sp e M sq ), com esses valores é avaliada a função de estado limite G(X) (equação 5.15), para finalmente encontrar a probabilidade de falha da estrutura. A vantagem da análise mediante o método de simulação de Monte Carlo é que pode ser utilizada uma função de estado limite implícita para encontrar o valor do momento resistente o que não pode ser feito no FORM pela necessidade de avaliar o gradiente da função G(X). A desvantagem é que precisa de um numero grande de simulações para encontrar resultados mais precisos o que demanda maior tempo e esforço computacional. 2. Se a armadura de pele não é considerada é utilizado o método de primeira ordem FORM para a análise de confiabilidade da ponte. Esse método foi explicado amplamente no Capítulo 4. É feita uma rotina desenvolvida no

81 81 MATLAB seguindo a metodologia do FORM. Como dados de entrada são necessários os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias e os dados considerados como determinísticos descritos anteriormente. Dentro da análise é encontrada uma equação para o momento resistente em função das variáveis aleatórias como exposto no item 5.5 e é encontrada uma função de estado limite G(X) (equação 5.15). Essa função é avaliada para encontrar, mediante um processo iterativo, o valor do índice de confiabilidade β com o qual se determina a probabilidade de falha P f. A metodologia do FORM não permite trabalhar com uma função implícita para o momento resistente porque necessita avaliar analiticamente o gradiente da função, por tanto è desconsiderada a armadura de pele para facilitar a obtenção dessa função. Frente a essa desvantagem o FORM apresenta a vantagem de exigir um número menor de iterações para a obtenção dos resultados o que resulta em menos tempo de análise, além de também permitir uma análise de sensibilidade a partir dos fatores de importância das variáveis aleatórias obtidos como resultado da aplicação do método. Dados de saída Segundo as duas opções de cálculo descritas os dados de saída para cada uma delas são: 1. Da simulação de Monte Carlo é obtida a probabilidade de falha P f da estrutura. 2. Do FORM são obtidos o índice de confiabilidade β, a probabilidade de falha P f, e o fator de importância para cada variável aleatória. A seguir é apresentado num fluxograma um resumo da obtenção das rotinas para a análise de confiabilidade.

82 82 Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias Valores das variáveis determinísticas Ponto Inicial Determinação das envoltórias de esforços no Sap2000 (M sp1 e M sq1 ) Cálculo momento resistente M rd (equação 5.11) N Considera Armadura de pele S Cálculo momento resistente M rd rotina iterativa de Matlab Método de primeira ordem FORM Método de Simulação de Monte Carlo Método de primeira ordem FORM Método de Simulação de Monte Carlo Simulação de Monte Carlo Geração de vetores contendo as amostras das variáveis aleatórias. Determinação dos momentos solicitantes M sp e M sq Avaliar a função de estado limite G( X ) M M M Método de primeira ordem FORM Determinação dos momentos solicitantes M sp e M sq Avaliar a função de estado limite G( X ) M M rd rd sp sp sq M sq Probabilidade de falha P f Coeficiente de confiabilidade β Probabilidade de falha P f Fator de importância das variáveis aleatórias Figura 5.8. Fluxograma esquemático das opções de análise implementadas no programa de confiabilidade de estruturas.

83 6 Estudo de Caso 6.1. Descrição Geral da Ponte É analisada a Ponte sobre o rio Vermelho, que está situada no Km da Estrada de Ferro dos Carajás. É uma ponte de concreto armado com extensão total de 208,6 metros, constituída por sete vãos de 25 metros cada. A figura 6.1 apresenta uma fotografia de uma vista geral desta obra. Figura 6.1. Vista geral da ponte sobre o Rio Vermelho (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). A superestrutura da ponte é constituída de duas vigas principais (longarinas), vigas secundarias (transversinas) e o tabuleiro. As longarinas e os tabuleiros formam dois trechos contínuos, sendo um de quatro vãos e outro de três vãos, que são separados por uma junta de dilatação situada sobre o pilar P4 (ver Figura 6.2). Em ambos os trechos, as longarinas são vigas contínuas engastadas em suas extremidades nos encontros da ponte e apoiadas sobre pilares por meio de almofadas de neoprene fretado. O tabuleiro possui largura total de 5,85 metros. A mesoestrutura é constituída por seis pilares de seção retangular com lados de 1,20 e 2,80 metros, com altura variável. Para permitir a junta de dilatação, a seção transversal do pilar P4 sofre alargamento em sua extremidade superior para receber os aparelhos de apoio

84 84 das longarinas. Os encontros e os pilares P3, P4, P5 e P6 possuem fundações tipo tubulão de concreto armado, com 1,40 metros de diâmetro de fuste. No caso dos pilares P1 e P2, as fundações desses elementos são do tipo bloco em concreto armado, diretamente apoiados na superfície do terreno. Os encontros são estruturas multicelulares formadas por paredes, laje superior, cortina alas e placa de transição de concreto armado. Os taludes dos aterros junto aos encontros são protegidos por vegetação rasteira e de pequeno porte. Figura 6.2. Sistema estrutural da ponte (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). A seção transversal da ponte é mostrada da Figura 6.3. Figura 6.3. Seção π da ponte sobre o Rio Vermelho (a) largura da longarina 35 cm. (b) Largura da longarina 70 cm. (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007) Análise de Confiabilidade da Ponte Conforme citado nos capítulos anteriores, tem-se o interesse em avaliar a confiabilidade das vigas principais da ponte à flexão simples. Essa análise é feita para as seções resistentes consideradas no projeto da ponte. Estas seções estão identificadas na Tabela 6.1.

85 85 Tabela 6.1. Seções consideradas na análise Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Localização Meio do vão P 1 - P 2 Sobre o pilar P 3 A 15m. do pilar P 3, vão P 3 - P 4 A 10m. do pilar P 6, vão P 6 - E 2 Como foi explicado no Capítulo 5, a função de estado limite para o Estado Limite Último, na flexão simples, da ponte é: M M M Q x d' G( X ) 0,68 bf x fcd(d 0,4x) A' s Ess (d d`) sp sp sq1 d x 1 adic A caracterização das seis variáveis aleatórias consideradas no problema (ver item 5.3) está apresentada na Tabela 6.2. Tabela 6.2. Dados probabilísticos das variáveis aleatórias Variável Aleatória Valor Característico Média Coeficiente de Variação % Distribuição fck (KN/m 2 ) , Lognormal fyk (KN/m 2 ) ,176 7 Lognormal Es (KN/m 2 ) , Lognormal (KN/m 3 ) Normal Q (KN) , Tipo1 φ 1,356 1, Normal Para cada seção é estabelecida uma função de estado limite a partir dos dados conhecidos relativos às dimensões, à área, ao momento de inércia e às armaduras de compressão e tração (ver Tabelas 6.3 e 6.4). Tabela 6.3. Dados de área e momento de inércia para as seções estudadas Seção Área (m 2 ) Inércia (m 4 ) S 16 3,648 4,050 S 31 5,783 6,329 S 37 3,648 4,050 S 65 3,648 4,050 Tabela 6.4. Armaduras de tração e compressão para cada seção Seção As Número A s Número (cm 2 ) de barras (cm 2 ) de barras S ,34 20 φ 25 50,67 10 φ 25 S 31 50,67 10 φ ,61 24 φ 25 S ,61 24 φ 25 50,67 10 φ 25 S ,34 20 φ 25 60,80 12 φ 25 Com esses dados pode-se calcular os momentos resistentes e solicitantes como foi descrito no Capítulo 5 e encontrar assim as seguintes funções de estado limite para cada seção:

86 86 S S S S R cd (d 0,4x ) R' (d d' ) (49, ,7296) 9,799 Q sd R cd (d 0,4x ) R' (d d' `) (148, ,6493) 16,201 Q sd R cd (d 0,4x ) R' (d d' ) (98, ,5215) 12,627 Q sd R (d 0,4x ) R' (d d' ) (44, ,5244) 7,824 Q cd sd Análise com Seis Variáveis Aleatórias Numa primeira fase de análise são consideradas as seis variáveis aleatórias descritas anteriormente e desconsiderada a armadura de pele. Quando a sistemática de avaliação da probabilidade de falha emprega a simulação de Monte Carlo, as análises exigem um número de simulações maior, e como conseqüência, um esforço computacional maior. Tabela 6.5. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias sem considerar armadura de pele. Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Variável Aleatória f ck f yk E s Q φ f ck f yk E s Q φ f ck f yk E s Q φ f ck f yk E s Q φ Monte Carlo FORM K P f Iterações β P f 2 9,38E-05 1,04E-01 5,0E+04 1,40E ,622 1,46E-04 2,89E-07 2,22E-03 7,25E-01 1,68E-01 1,86E-04 2,84E-01 5,0E+03 3,21E ,458 3,24E-01 3,41E-04 3,64E-02 3,91E-01 2,88E-01 1,85E-04 1,51E-01 1,0E+04 3,20E ,712 3,34E-03 9,89E-07 8,66E-03 6,52E-01 1,89E-01 7,82E-05 9,90E-02 5,0E+06 2,40E ,563 2,52E-06 3,12E-07 1,77E-03 7,44E-01 1,55E-01

87 87 A Tabela 6.5 ilustra os valores da probabilidade de falha associados às seções das vigas da ponte do Rio Vermelho, empregando os métodos de Monte Carlo e o FORM. Observando a Tabela 6.6 é possível identificar que os resultados obtidos pelos dois métodos têm diferenças muito baixas. Tabela 6.6 Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 6 variáveis aleatórias. P f _MC P f _FORM Diferença % 1,40E-04 1,46E-04-4,2 3,21E-01 3,24E-01-0,9 3,20E-03 3,34E-03-4,3 2,40E-06 2,52E-06-4,9 A seguir, a mesma análise é feita considerando a armadura de pele. Na avaliação da probabilidade de falha empregando a simulação de Monte Carlo a inclusão da armadura de pele não interfere em nada no processo de cálculo. Porém o mesmo não acontece na sistemática de avaliação que usa o FORM. Para avaliar a probabilidade de falha via o FORM a introdução da armadura de pele não permite uma equação genérica da função de estado limite e consequentemente não permite que o gradiente da função seja avaliado analiticamente. Para controlar esse problema admite-se que a área de aço referente à armadura de pele seja incorporada à armadura principal. Os resultados obtidos pelos dois métodos são apresentados na Tabela 6.7, As diferenças entre os métodos continuam sendo muito pequenas como pode ser visto na Tabela 6.8. Pode-se verificar também que a consideração da armadura de pele reduz bastante a probabilidade de falha, de tal maneira que a mesma não pode ser negligenciada. Ao observar os fatores de importância ( 2 ) nas Tabelas 6.5 e 6.7 pode-se observar que a variável que tem maior influência na probabilidade de falha é a carga móvel, seguida do coeficiente de impacto, já as variáveis aleatórias f ck e E s têm fatores de importância muito baixos e pouco afetam a avaliação da probabilidade de falha, por isso prossegue-se as análises considerando as mesmas determinísticas.

88 88 Tabela 6.7. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias com armadura de pele Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Variável Aleatória f ck f yk E s Q φ f ck f yk E s Q φ f ck f yk E s Q φ f ck f yk E s Q φ Monte Carlo FORM K P f Iterações β P f 2 9,71E-05 9,89E-02 5,0E+05 2,00E ,059 2,47E-05 4,68E-07 1,77E-03 7,38E-01 1,61E-01 5,31E-06 1,48E-01 1,0E+04 1,20E ,040 1,18E-03 2,73E-04 9,96E-03 6,65E-01 1,76E-01 1,78E-04 1,35E-01 2,0E+04 7,00E ,157 7,97E-04 1,33E-06 6,71E-03 6,83E-01 1,75E-01 8,18E-05 9,68E-02 3,0E+07 2,00E ,959 3,54E-07 4,98E-07 1,48E-03 7,49E-01 1,53E-01 Tabela 6.8. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM com armadura de pele para 6 variáveis aleatórias. P f _MC P f _FORM Diferença % 2,00E-05 2,47E-05-18,9 1,20E-03 1,18E-03 1,5 7,60E-04 7,97E-04-12,2 2,00E+07 3,54E-07-43, Análise com Quatro Variáveis Aleatórias Tomando como variáveis aleatórias f yk,, Q e φ empregando o método de Monte Carlo e o FORM, são avaliadas as probabilidades de falha apresentadas na Tabela 6.9, sem armadura de pele e na Tabela 6.11 já considerando a armadura de pele. Pode-se notar que as diferenças entre os resultados da

89 89 probabilidade de falha para os dois métodos são baixas (Tabelas 6.10 e 6.12), o que motiva a utilização só do FORM para calcular a probabilidade de falha, já que o FORM oferece resultados de qualidade da probabilidade de falha em pouco tempo, além de permitir calcular o coeficiente de confiabilidade e o fator de importância para análise de sensibilidade. Tabela 6.9. Probabilidade de falha para os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias sem armadura de pele. Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Variável Aleatória Monte Carlo FORM K P f Iterações β P f 2 f yk 0,1040 0,0022 5,0E+04 1,60E ,604 1,57E-04 Q 0,7252 φ 0,1686 f yk 0,2846 0,0372 5,0E+03 3,30E ,403 3,44E-01 Q 0,3870 φ 0,2913 f yk 0,1508 0,0088 1,0E+04 3,60E ,686 3,62E-03 Q 0,6507 φ 0,1897 f yk 0,0985 0,0018 5,0E+06 2,73E ,546 2,73E-07 Q 0,7441 φ 0,1556 Tabela Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias. P f _MC P f _FORM Diferença % 1,60E-04 1,57E-04 2,0 3,30E-01 3,44E-01-4,0 3,60E-03 3,62E-03-0,5 2,80E-06 2,73E-06 2,4 Dos resultados obtidos no FORM, para a análise com quatro variáveis, verifica-se que a variável aleatória mais importante continua sendo a carga móvel Q, e os resultados do índice de confiabilidade e da probabilidade de falha quando comparadas com os obtidos na análise de seis variáveis aleatórias apresentam pequenas diferenças, como indicado na Tabela Os resultados

90 90 indicam que é possível simplificar a análise considerando só quatro variáveis aleatórias e manter a qualidade nos resultados. Tabela Resultado da probabilidade de falha para os métodos: simulação de Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias com armadura de pele Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Variável Aleatória Monte Carlo FORM K P f Iterações β P f 2 f yk 0,1040 0,0022 5,0E+05 2,00E ,040 2,67E-05 Q 0,7252 φ 0,1686 f yk 0,2846 0,0372 1,0E+04 1,30E ,010 1,31E-03 Q 0,3870 φ 0,2913 f yk 0,1508 0,0088 2,0E+04 8,50E ,131 8,72E-04 Q 0,6507 φ 0,1897 f yk 0,0985 0,0018 3,0E+07 2,0E ,942 3,87E-07 Q 0,7441 φ 0,1556 Tabela Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias P f _MC P f _FORM Diferença % 2,00E-05 2,67E-05-25,2 1,30E-03 1,31E-03-0,6 8,50E-04 8,72E-04-2,5 2,00E-07 3,87E-07-38,3 Tabela Comparação entre as análises feitas com o FORM para seis e quatro variáveis aleatórias Seção 6 VA. 4 VA. Diferença % β P f β P f β P f S 16 4,059 2,47E-05 4,040 2,67E-05 0,47-7,78 S 31 3,040 1,18E-03 3,010 1,31E-03 1,02-9,62 S 37 3,157 7,97E-04 3,131 8,72E-04 0,84-8,55 S 65 4,959 3,54E-07 4,942 3,87E-07 0,35-8,57

91 Seção β 91 As figuras 6.4 e 6.5 mostram a comparação da análise com seis variáveis aleatórias e com quatro variáveis aleatórias para o índice de confiabilidade e para a probabilidade de falha respectivamente. Índice de confiabilidade β 4 VA β 6 VA Seção Figura 6.4. Comparação do índice de confiabilidade obtido pelo FORM para 6 e 4 variáveis aleatórias. Probabilidade de Falha β 6VA β 4VA 0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 P f Figura 6.5. Comparação da probabilidade de falha obtida pelo FORM para 6 e 4 variáveis aleatórias. Uma vez que o processo para avaliar a probabilidade de falha é iterativo, o mesmo exige que o momento resistente seja avaliado algumas vezes o que demanda uma rotina bem elaborada conforme comentado no Capítulo 5. A fim de simplificar essa sistemática, admite-se o momento resistente Mr como uma variável aleatória lognormal com valor médio obtido a partir dos valores médios de f yk e que simplifica em muito a expressão para a função de

92 92 estado limite e permite uma avaliação simplificada da P f. As funções de estado limite para esse caso são: S S S S Mr Mr Mr Mr (49,8349 (148, ,6493) 16,201 Q (98, ,5215) 12,627 Q (44, ,7296) 9, ,5244) 7,824 Q Q As características das variáveis aleatórias consideradas nesta análise estão na seguinte Tabela: Tabela Valores característicos e valores médios das variáveis aleatórias Variável Distribuição V médio COV Mr 16 Lognormal 18045,000 0,07 Mr 31 Lognormal 28085,483 0,07 Mr 37 Lognormal 21288,211 0,07 Mr 65 Lognormal 17925,628 0,07 Υ Normal 25 0,08 Q Tipo1 308,623 0,15 φ Normal 1,269 0,13 Tabela Resultados do método FORM para quatro variáveis aleatórias Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Variável Aleatória FORM Iterações β P f 2 M r 0,1023 0, ,037 2,71E-05 Q 0,7327 φ 0,1606 M r 0,1598 0, ,996 1,37E-03 Q 0,6425 φ 0,1742 M r 0,1418 0, ,121 9,02E-04 Q 0,6682 φ 0,1739 M r 0,0998 0, ,937 3,96E-07 Q 0,7443 φ 0,1523 Os valores obtidos para a probabilidade de falha, e para o índice de confiabilidade, são muito próximos aos obtidos com a primeira análise com quatro variáveis, conforme pode ser visto nas Tabelas 6.15 e Portanto é

93 93 possível se obter resultados confiáveis simplificando a análise para 4 variáveis aleatórias, onde o M r é uma delas, e só é avaliado uma vez. Tabela Comparação entre as análises feitas com o FORM para quatro variáveis aleatórias. 4 VA "f yk,, Q, φ " 4 VA "Mr,, Q, φ " Diferença % β P f β P f β P f 4,040 2,67E-05 4,037 2,71E-05-0,07-1,23 3,010 1,31E-03 2,996 1,37E-03-0,45-4,36 3,131 8,72E-04 3,121 9,02E-04-0,33-3,41 4,942 3,87E-07 4,937 3,96E-07-0,09-2, Análise com Três Variáveis Aleatórias É realizada uma análise com apenas 3 variáveis aleatórias visando facilitar ainda mais a determinação da confiabilidade para longarinas na flexão simples, de tal forma que essa abordagem possa ser rapidamente verificada pelo engenheiro em qualquer etapa do projeto e por qualquer ferramenta computacional matemática. São consideradas como variáveis aleatórias os valores dos momentos resistente (M r ) e solicitantes por carga permanente M p e carga móvel M q. Para esta análise as funções de estado limite são: S S S S Mr Mr Mr Mr Mp Mp Mp Mp Mq Mq Mq Mq Na Tabela 6.17 estão os resultados para cada seção. Tabela Resultado do método FORM para três variáveis aleatórias Seção S 16 S 31 S 37 S 65 Variável Aleatória FORM Iterações β P f 2 M r 0,122 M p 5 4,204 1,31E-05 0,005 M q 0,873 M r 0,187 M p 5 3,064 1,09E-03 0,028 M q 0,785 M r 0,166 M p 5 3,203 6,80E-04 0,019 M q 0,815 M r 0,122 M p 5 5,190 1,05E-07 0,005 M q 0,874

94 Seção 94 Fazendo uma comparação entre as análises com seis variáveis e com três variáveis temos que as diferenças entre os coeficientes de variação são muito pequenas. Também verifica-se que, uma vez que os níveis de probabilidade de falha são muito baixos, a diferença relativa entre a probabilidade de falha avaliada com 3 ou com 6 variáveis aleatórias é grande (seção 16 e 65). Para níveis de probabilidade de falha mais altos (da ordem de 10-3 ) essa diferença relativa entre as análises não é representativa, ver Tabela Tabela 6.18 Comparação entre as análises com três e seis variáveis aleatórias. Seção 3 VA. 6 VA. Diferença % β P f β P f β P f S 16 4,204 1,31E-05 4,059 2,47E-05 3.,59-46,93 S 31 3,064 1,09E-03 3,040 1,18E-03 0,80-7,75 S 37 3,203 6,80E-04 3,157 7,97E-04 1,46-14,67 S 65 5,190 1,05E-07 4,959 3,54E-07 4,66-70,34 A Figura 6.6 apresenta a comparação entre as análises feitas com seis, quatro e três variáveis aleatórias, com os dados das Tabelas 6.13 e Probabilidade de Falha VA 6 VA 4 VA 16 0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 P f Figura 6.6. Comparação da probabilidade de falha para as análises feitas com seis, quatro e três variáveis aleatórias Influência do Coeficiente de Variação (COV) da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha Como foi descrito nas análises anteriores a variável que mais impacta a probabilidade de falha é a carga móvel, portanto é realizado um estudo da sensibilidade da probabilidade de falha em função do coeficiente de variação da