UMA PROPOSTA MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS CAPACITADOS ACUMULATIVO

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1 UMA PROPOSTA MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS CAPACITADOS ACUMULATIVO Bruno Salezze Vieira Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia COPPE Programa de Engenharia de Transportes PET RESUMO O Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Acumulativo, conhecido na literatura como Cumulative Capacitated Vehicle Routing Problem é um problema difícil de ser resolvido, com muitas aplicações do mundo real em transporte e logística de distribuição. Seu principal objetivo é encontrar o menor somatório dos tempos de chegadas para entregar as mercadorias, utilizando uma frota de veículos idênticos com capacidade restrita, para os clientes com demandas próprias. No entanto, existem outros objetivos, e tendo uma gama de soluções que representam os conflitos entre objetivos é crucial para muitas aplicações. Embora pesquisas anteriores tenham usado métodos heurísticos e exatos para resolver este problema, tem raramente concentrada na otimização de mais de um objetivo, e quase nunca considerou explicitamente a diversidade de soluções. Este artigo é um estudo do PRVCA e de problemas de roteamento multiobjetivo para a proposta de uma formulação matemática para o problema em um caso multiobjetivo. ABSTRACT The Cumulative Capacitated Vehicle Routing Problem (CCVRP) is a difficult problem to be solved, with many real-world applications in transportation and distribution logistics. Its main objective is to find the lowest sum of arrivals from time to deliver the goods, using a fleet of identical vehicles with restricted capacity for customers with their own demands. However, there are other objectives, and having a range of solutions that represent the conflicts between goals is crucial for many applications. Although previous research has used heuristic and exact methods to solve this problem, it rarely concentrated on optimizing more than one goal, and almost never explicitly considered the diversity of solutions. This article is a study of CCVPR and multiobjective routing problems for the proposal of a mathematical formulation of the problem in a multi-objective case. 1. INTRODUÇÃO O Problema de Roteamento de Veículos (Vehicle Routing Problem (VRP)) é um dos problemas de otimização combinatória mais importantes e amplamente estudado, com muitas aplicações do mundo real em logística de distribuição e transporte (Toth e Vigo, 2001). Seu objetivo é obter o conjunto de rotas de menor custo atendendo demanda dos clientes. Desde que o problema foi proposto por Dantzig e Ramser (1959) como uma generalização do problema do caixeiro viajante, o custo tem sido associado principalmente com a distância percorrida. Entretanto existem vários outros tipos de custos envolvidos, tais como aqueles associados aos veículos utilizados e à carga de trabalho das equipes (Jozefowiez et al., 2008). O Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Acumulativo (PRVCA) é uma variação do clássico PVR em que o objetivo é a minimização da soma dos tempos de chegada aos clientes, em vez da distância total percorrida. Também é uma extensão do Delivery Man Problem (DMP) para o caso de vários veículos. Sendo assim, todos os métodos de solução conhecidos do DMP se estendem naturalmente ao PRVCA.

2 O PRVCA ocorre em várias situações. É relevante em sistemas de distribuição em que é desejável fornecer o serviço o mais cedo possível a todos os clientes. No roteamento de ônibus escolar, por exemplo, minimizando o tempo médio de chegada em cada aluno é uma medida mais justa que minimizar o tempo total percorrido pelo ônibus (Bowerman et al., 1995). Além disso, quando as catástrofes naturais acontecem, é essencial que a ajuda chegue rapidamente a cada vítima, a fim de salvar vidas e fornecer suprimentos de emergência, de modo que o objetivo tradicional de minimização da distância percorrida não é adequado. Várias medidas de desempenho podem ser utilizadas no processo de roteamento, sendo assim minimizando o tempo de atendimento do último cliente ou o tempo médio de chegada aos clientes estão entre os comumente utilizados. Quando se analisa tais objetivos conflitantes simultaneamente, tal efeito foi investigado por Campbell et al. (2008). Ao analisar a literatura, verificou-se que o PRVCA não foi abordado ainda de maneira multiobjetivo que permita contemplar situações de objetivos conflitantes, como os citados anteriormente de minimizar o custo da frota, ou distribuição da carga de trabalho. Assim, este trabalho se propõe a estudar o PRVCA e problemas de roteamento multiobjetivo afim de propor uma formulação multiobjetivo para o PRVCA com o intuito de contribuir com pesquisas e desenvolvimento de métodos de solução que se aproximem mais de problemas do mundo real. O restante deste artigo está assim estruturado. A Seção 2 apresenta uma revisão bibliográfica do PRVCA, mostrando os estudos mais recentes da área e de problemas relacionados. Na Seção 3 é discutido problemas de roteamento multiobjetivos, os seus tipos de problemas, de objetivos e os métodos de solução conhecidos. Na seção 4 é proposta a formulação matemática do PRVCA multiobjetivo. Finalmente na Seção 5 são discutidas as conclusões desta pesquisa. 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA DO PRVCA O PRVCA foi inicialmente proposto por Ngueveu et al. (2010). Os autores apresentaram o problema, e então propuseram uma meta-heurísticas para solução. Um algoritmo memético que consiste em cruzamentos populacionais de soluções, tomadores de decisão probabilísticos e buscas locais para refino de solução. Em seguida, foi estudado do ponto de vista heurístico primeiramente com uma metaheurística Adaptive Large Neighborhood Search (Ribeiro and Laporte, 2012), onde todos os resultados foram melhores ou iguais a Ngueveu et al. (2010). Em Ke e Feng (2013), o desempenho dos três algoritmos foi comparado. Com base nessa comparação, a meta heurística de duas fases e a Adaptive Large Neighborhood Search, cada uma forneceu as melhores soluções conhecidas para cerca de metade dos casos de teste famosos na literatura. E finalmente, Vidal et al. (2014) apresentaram algoritmo genético híbrido unificado para problemas de roteamento de veículos em geral. Esta meta-heurística foi chamada de Unified

3 Hybrid Genetic Search (UHGS). Testado em 29 problemas variantes de roteamento de veículos e 42 conjuntos de instâncias bem conhecidas na literatura, totalizando 1099 experimentos computacionais. Em 1045 dos 1099 casos testados, foram encontradas ou melhoradas as melhores soluções conhecidas até então. Nas 7 instâncias do PRVCA testadas, o UHGS igualou os 6 melhores resultados encontrados por Ke e Feng (2013) e melhoraram o último, possuindo atualmente os melhores resultados do estado da arte de quase todos os problemas de roteamento atuais. Do ponto de vista exato, foi estudado por Lysgaard e Wøhlk (2014), que propuseram um algoritmo baseado em branch-and-cut-and-price onde foram encontradas várias soluções ótimas em problemas de até 150 clientes. Kara et al. (2008) consideraram uma variação do PRVC, onde a função objetivo a ser minimizada não é a soma dos tempos de chegada, mas sim a soma dos tempos de chegada multiplicado pela demanda do nó. Eles mostraram que problema, é extensão da PRVCA, denominado CumVRP e relacionam com outros problemas. A versão não capacitada do PRVCA é conhecido como k-traveling repairman problem, onde k é o número de veículos disponíveis. Para este problema, Fakcharoenphol et al. (2007) apresentam um algoritmo aproximativo, que é parcialmente baseado no resultado devido a Chaudhuri et al. (2003). Jothi e Raghavachari (2007) estudaram uma extensão do problema k-traveling repairman problem em que há um tempo de reparo, além do tempo de viagem. Apresentam um algoritmo de ((3β+1)/2)-aproximação para este problema, onde β é o fator de aproximação que pode ser obtido para o k-traveling repairman problem. Um caso particular do PRVCA para um único veículo é chamado problema de latência mínima (Minimum Latency Problem), que tem atraído muitos trabalhos. É bem estudado tanto do com métodos exatos ou aproximativos. Várias abordagens exatas têm sido propostas para o MLP, a maioria das quais são baseadas em programação dinâmica, branch-and-bound, ou uma combinação dos dois (Wu et al., 2004). O melhor algoritmo de aproximação atual para o MLP é devido a Chaudhuri et al. (2003) e alcança um fator de aproximativo de 3, PROBLEMAS DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS MULTIOBJETIVO Problemas de roteamento, como o problema de roteamento de veículos e o problema do caixeiro viajante, são amplamente estudados tanto por causa de seu apelo acadêmico clássico e quanto por suas inúmeras aplicações na vida real. Da mesma forma, o campo da otimização multiobjetivo está atraindo mais e mais atenção, pois oferece novas oportunidades para a definição de problemas. Um problema de roteamento pode ser definido em termos dos seguintes componentes: rede, pedido, frota, custo e objetivo, tais elementos serão detalhados a seguir (Jozefowiez et al., 2008): Rede pode ser simétrica, assimétrica ou mista. Ela é representada como um grafo no qual os nós representam cidades, clientes e/ou depósitos, enquanto arcos representam as ligações de estradas, ferrovias, túneis ou conexões simbólicas. Em grafos com pesos, o valor de cada arco representa geralmente o custo de o atravessar. Janelas de

4 tempo associadas com os nós ou arcos também pode ser definida em alguns problemas. Uma janela de tempo indica um intervalo de tempo no qual, por exemplo, um cliente deve ser atendido. Pedidos podem ser fixos ou estocásticos, representam demandas associadas a nós ou arcos, e podem ser de um ou mais produtos. Geralmente, aparecem em problemas de distribuição, em que uma certa quantidade de um dado produto deve ser entregue a clientes ou precisam se deslocar ao longo de um determinado arco. Existem também problemas de coleta e entrega, os quais requisitam que um produto deve primeiro ser coletado em um local e, em seguida, ser entregue em outro lugar. Um problema associado a demanda de arcos é uma rede de coleta de lixo, todo o caminhão da empresa de coleta tem que passar em todas as ruas (arcos) desejadas. Frota gera restrições que afetam as rotas. Uma frota pode ser heterogênea ou homogênea. Ela pode ser composta por um único veículo ou vários veículos, cuja utilização pode, ou não, ser limitada pela capacidade, o tempo ou a distância. Além disso, pode haver relações entre veículos, produtos e clientes. Custos são normalmente fixos ou variáveis para os veículos. Leva-se em conta custo fixo de utilização e outro, variável que depende de sua utilização, em termos de distância percorrida ou de tempo utilizados. Os custos também podem incluir as penalidades de serviços efetuados quando um cliente recebe uma entrega tardia ou incompleta. Objetivos podem ser múltiplos e diversos. Os objetivos mais comuns incluem minimizar a distância total percorrida, o tempo total necessário, o custo total da viagem, e/ou o tamanho da frota, e maximizar a qualidade do serviço e/ou o lucro obtido. No entanto, quando múltiplos objetivos são identificados, frequentemente eles são conflitantes. Com isso, um problema multiobjetivo (PMO) pode ser definido como: Onde: n 2 é o número de funções objetivo;, é a variável vetor de decisão; D é o espaço de soluções viável; e F(x), o vetor objetivo. O conjunto S = F(D) corresponde às soluções viáveis no espaço do objetivo, e, em que, é uma solução do espaço objetivo. A solução para um problema multiobjetivo (PMO) é na verdade um conjunto de soluções não-dominadas chamado conjunto de Pareto (PS), onde o domínio é definido como: Definição: A solução domina a solução se e somente se.

5 Uma solução y encontrada por um algoritmo A é dito ser potencialmente Pareto ótima (potentially Pareto optimal), em relação a A, se A não consegue encontrar uma solução z, tal que z domine y. No entanto, a dominância de Pareto não estabelece uma ordem completa das soluções de um problema. Há três abordagens para resolver um problema multiobjetivo: abordagens prioritárias, abordagens entre atividades, e posteriores. Em abordagens prioritárias, um tomador de decisão utiliza preferências para os diferentes objetivos. Em abordagens interativas, as escolhas do tomador de decisão são feitas durante o processo de resolução do problema. Em abordagens a posterior, um conjunto de soluções potencialmente não dominadas é gerado em primeiro lugar, e, em seguida, o tomador de decisão escolhe entre essas soluções. Problemas multiobjetivo de roteamento são usados principalmente de três formas: para estender problemas acadêmicos clássicos, a fim de melhorar a sua aplicação prática (sem nunca perder de vista o objetivo inicial), especificar problemas clássicos, e estudar os casos da vida real em que os objetivos foram claramente identificados pelo tomador de decisão e são dedicados a um problema da vida real ou aplicação específica. Este trabalho se encaixa na categoria de extensão de um problema acadêmico clássico, a fim de melhorar a sua aplicação prática Objetivos recorrentes na literatura Nesta seção, os diferentes objetivos estudados na literatura são apresentados e classificados de acordo com a componente do problema com a qual eles estão associados Custo Minimizar o custo das soluções geradas é o objetivo mais comum. O custo pode ser expresso de várias formas, tais como distância percorrida, tempo total necessário, ou o número de clientes visitados. De modo geral, redução do custo está ligado a um critério econômico. No problema multiobjetivo do caixeiro viajante, os diferentes objetivos correspondem aos diferentes custos de arco. No entanto, são possíveis outros motivos. Por exemplo, em estudos de Park e Koelling (1986), a distância percorrida deve ser minimizada para evitar danificar o produto sendo transportado Espalhamento Apesar da minimização do custo ser o objetivo mais comum, este objetivo é, por vezes, ignorado, como é o caso dos estudos de Corberán et al. (2002) e Pacheco e Martí (2006). Estes autores escolheram minimizar o espalhamento (isto é, minimizar o comprimento do passeio mais longo). Esta escolha foi motivada pelo ambiente, uma área rural na Espanha, onde, devido às grandes distâncias entre postos locais, as rotas de ônibus tendem a ser longas e o ônibus é totalmente preenchido enche. Minimizar o espalhamento garante alguma qualidade em termos de tempo gasto no ônibus pelo primeiro aluno que pegou em comparação com o tempo gasto pelo último aluno Equilíbrio

6 Alguns objetivos são projetados para nivelar as disparidades entre as rotas. Tais objetivos são frequentemente introduzidos a fim de trazer um elemento de igualdade. Para definir um objetivo de equilíbrio, é necessário definir um volume de trabalho da rota, o que pode ser expressa como o número de clientes visitado, a quantidade dos produtos entregues, o tempo necessário ou o comprimento da rota, por exemplo Relacionados a nós ou arcos A maioria dos estudos que tratam de objetivo relacionados com nó ou arcos envolvem janelas de tempo (Hong e Park, 1999). Nesses estudos, as janelas de tempo são substituídas por um objetivo que minimiza tanto o número de restrições violadas (Rahoual e Djoukhdjoukh, 2003), o total de clientes e/ou tempo de espera do motorista devido ao atraso (Hong e Park, 1999), ou ambos objetivos ao mesmo tempo (Geiger, 2008) Relacionados a recursos Os principais recursos encontrados na literatura são veículos e bens. Um objetivo que muitas vezes aparece é a minimização do número de veículos, o que pode ser interpretado em termos econômicos, na medida em que um menor número de veículos utilizados significa menor investimento monetário (por exemplo, para a compra de veículos, combustível e salários dos motoristas) (Corberán et al., 2002; Tan et al., 2006). Outros objetivos relativos ao veículo podem ser usados para maximizar o custo-benefício do veículo em termos de tempo ou capacidade, ao passo que os objetivos relativos às mercadorias podem ser introduzidos para atender a natureza dos bens em conta. Por exemplo, o fato da mercadoria ser perecível pode ser levado em consideração com o objetivo de evitar sua deterioração (Jozefowiez et al., 2008) Algoritmos de Otimização Multiobjectivo Ao longo dos anos, várias técnicas têm sido propostas para resolver problemas multiobjetivos. Estas estratégias podem ser divididas em três categorias gerais: métodos escalares, métodos de Pareto, e todos os outros (técnicas não escalares e algoritmos não Pareto). Métodos escalares utilizam transformações matemáticas, como agregação linear ponderada. Métodos de Pareto, que se aplicam a noção de posição dominante Pareto para avaliara qualidade de uma solução ou para comparar soluções, são usados principalmente com algoritmos evolutivos e estão se tornando mais e mais populares (Coello et al., 2002). Métodos de Pareto inclui as técnicas que levam em consideração os diferentes objetivos separadamente Técnicas escalares O método de escalar mais popular é, como mencionado acima, a agregação linear ponderada, que realiza o produto interno de um vetor de pesos de mesma dimensão do vetor de funções objetivos. No entanto, este método possui alguns inconvenientes. Em primeiro lugar, os pesos devem ser ajustados de acordo com a importância dos objetivos, o que pode ser uma tarefa difícil. Além disso, este método não é capaz de encontrar todas as soluções Pareto Ótima, ou seja, ele só encontra as soluções no casco convexo do conjunto Pareto Ótimo, que depende de várias execuções com pesos diferentes (Geoffrion, 1968).

7 Ainda assim, esta técnica é relativamente simples de implementar e pode ser usado com qualquer das heurísticas de um único objetivo ou meta-heurísticas descritas na literatura para o mesmo problema em questão Métodos de Pareto Métodos de Pareto abordam a noção de posição dominante Pareto diretamente. Esta abordagem foi introduzida principalmente por Golberg (1989) para algoritmos evolucionários. Embora tais permita que um objetivo a ser favorecido em detrimento de outro, pode ser uma ajuda útil para os tomadores de decisão. Em problemas multiobjetivos de roteamento de veículos, o conceito de Pareto é frequentemente utilizado num quadro evolutivo. Segundo Jozefowiez et al. (2008), mais de 20 publicações usaram algoritmos evolutivos com métodos de Pareto para resolver problemas de roteamento multiobjetivos. Dentre eles, 11 propuseram híbridos baseados em algoritmos evolutivos e pesquisas locais, heurística, e/ou métodos exatos para o problema considerado Não escalares e algoritmos não-pareto Alguns estudos empregam nem escalar, nem métodos de Pareto para resolver problemas multiobjetivos de roteamento. Neste caso, estes métodos não-escalares e não-pareto são baseados em algoritmos genéticos, estratégias lexicográficas, mecanismos de colônias de formigas, ou heurísticas específicas. Um estudo mais detalhado destes métodos foi realizado em Jozefowiez et al. (2008). 4. MODELO MATEMÁTICO O PRVCA é definido como um grafo não direcionado G = (V,E) onde V = {0,1...,n,n+1} é um conjunto de vértices, com os vértices 0 e n+1 sendo o depósito, e é o conjunto dos clientes. O conjunto é o conjunto de arestas. O tempo de viagem c ij está associado a cada aresta (i,j) E. Assume-se que os tempos deviagem são simétricos e satisfazem a desigualdade triangular. Cada cliente i V possui uma demanda q i e considere R sendo o conjunto de veículos com capacidade idêntica Q. Seja o tempo de chegada do veículo k no cliente i e seja uma variável binária que assume o valor 1 caso o veículo k visita o cliente j logo após ao cliente i sendo que a aresta recebe 0 caso contrário. O PRVCA consiste em encontrar um conjunto de rotas tal que todo veículo inicie sua rota no depósito (0) e, após atender um conjunto de clientes, retorne ao ponto inicial (n+1), não excedendo a capacidade Q de cada veículo. O objetivo clássico do PRVCA é a minimização da soma dos tempos de chegada, que pode ser escrita como. Neste artigo propõe-se incorporar um segundo objetivo que está associado ao custo de utilização da frota, pois existe um custo de um veículo ser empregado c k. Seja c k o custo de utilizar o veículo k R em alguma rota. Sendo assim, o custo de utilização da frota por ser representado por:

8 Então, a formulação proposta para o PRVCA para o objetivo clássico e o objetivo 1 neste artigo é: Sujeito a: As restrições 4 são conhecidas como restrições de conservação de fluxo. As restrições 5 garantem que cada cliente seja atendido por um único veículo. As restrições 6 determinam que a demanda total coletada por cada veículo k não exceda a capacidade Q do mesmo. As restrições 7 e 8 induzem que cada rota comece saindo do depósito e termine retornando ao mesmo. As restrições 9 garantem que para todo cliente j atendido após o cliente i pelo veículo k, então deve ser maior ou igual a, somado do tempo de viajem c ij, e M é uma constante maior que qualquer + c ij. As restrições 10 impõe não negatividade do tempo de atendimento para cada cliente e veículo. Finalmente, a equação 11 determina as variáveis de decisão como binárias. Entretanto, como discutido na subsecção 3.2.1, não existem muitos métodos que abordam problemas multiobjetivo como são. Então, para se aplicar os métodos de solução conhecidos como heurísticas, meta-heurísticas, ou algoritmos exatos já desenvolvidos para o PRVCA é necessária a aplicação de uma técnica escalar. O método mais comum para representação de uma função de múltiplos objetivos como uma de único objetivo é a atribuição de pesos γi para cada i objetivo. Em outras palavras, a representação mono objetiva desta função biobjetiva é dada pelo produto interno de um vetor de pesos Γ=(γ 1,γ 2 ), que pode ser escrita como Γ (z 1,z 2 )

9 =. Finalmente, pode-se representar a formulação proposta do PRVCA para este caso biobjetivo, utilizando uma técnica escalar como: Sujeito a: (4) (11) 5. CONCLUSÕES O Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Acumulativo, é um problema difícil de ser resolvido, com muitas aplicações do mundo real em transporte e logística de distribuição. Seu principal objetivo é encontrar o menor conjunto de distância de rotas para entregar as mercadorias, utilizando uma frota de veículos idênticos com capacidade restrita, para os clientes com janelas de tempo de serviço. No entanto, existem outros objetivos, e tendo uma gama de soluções que representam os conflitos entre objetivos é crucial para muitas aplicações. Neste artigo, apresentamos o Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Acumulativo como foi proposto, as motivações para relevante contribuição desta pesquisa, os trabalhos relacionados recentes. Também uma visão geral de múltiplos objetivos aplicados a problemas de roteamento de veículos, seguido, finalmente, da formulação proposta. Originalmente se pretendia testar a formulação proposta. Logo, em trabalhos futuros, se deseja aplicar os métodos de solução eficientes para o PRVCA Multiobjetivo como foi proposto neste trabalho. E também algoritmos evolucionários que gerem um espaço de soluções Pareto-ótimo para efeito de comparação com a técnica escalar proposta até então. Utilizando das instâncias mais conhecidas da literatura que são as mesmas de PRVC e PRV clássicos, logo há uma grande base para comparação. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bowerman, R., Hall, B., e Calamai, P. (1995). A multi-objective optimization approach to urban school bus routing: Formulation and solution method. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 29(2): Campbell, A. M., Vandenbussche, D., e Hermann, W. (2008). Routing for relief efforts. Transportation Science, 42(2): Chaudhuri, K., Godfrey, B., Rao, S., e Talwar, K. (2003). Paths, trees, and minimum latency tours. In Foundations of Computer Science, Proceedings. 44th Annual IEEE Symposium on, pages IEEE. Coello, C. A. C., Van Veldhuizen, D. A., e Lamont, G. B. (2002). Evolutionary algorithms for solving multi-objective problems, volume 242. Springer.

10 Corberán, A., Fernández, E., Laguna, M., Martí, R., et al. (2002). Heuristic solutions to the problem of routing school buses with multiple objectives. Journal of the operational research society, 53(4): Dantzig, G. B. e Ramser, J. H. (1959). The truck dispatching problem. Management science, 6(1): Fakcharoenphol, J., Harrelson, C., e Rao, S. (2007). The k-traveling repairmen problem. ACM Transactions on Algorithms (TALG), 3(4):40. Geiger, M. J. (2008). Genetic algorithms for multiple objective vehicle routing. arxiv preprint arxiv: Geoffrion, A. M. (1968). Proper efficiency and the theory of vector maximization. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 22(3): Golberg, D. E. (1989). Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Addion wesley, Hong, S.-C. e Park, Y.-B. (1999). A heuristic for bi-objective vehicle routing with time window constraints. International Journal of Production Economics, 62(3): Jothi, R. e Raghavachari, B. (2007). Approximating the k-traveling repairman problem with repairtimes. Journal of Discrete Algorithms, 5(2): Jozefowiez, N., Semet, F., e Talbi, E.-G. (2008). Multi-objective vehicle routing problems. European Journal of Operational Research, 189(2): Kara, İ., Kara, B. Y., e Yetis, M. K. (2008). Cumulative vehicle routing problems. Vehicle Routing Problem, pages Ke, L. e Feng, Z. (2013). A two-phase metaheuristic for the cumulative capacitated vehicle routing problem. Computers & Operations Research, 40(2): Lysgaard, J. e Wøhlk, S. (2014). A branch-and-cut-and-price algorithm for the cumulative capacitated vehicle routing problem. European Journal of Operational Research, 236(3): Ngueveu, S. U., Prins, C., e Calvo, R. W. (2010). An effective memetic algorithm for the cumulative capacitated vehicle routing problem. Computers & Operations Research, 37(11): Pacheco, J. e Martí, R. (2006). Tabu search for a multi-objective routing problem. Journal of the Operational Research Society, 57(1):29 37.

11 Park, Y. B. e Koelling, C. P. (1986). A solution of vehicle routing problems in a multiple objective environment. Engineering Costs and Production Economics, 10(2): Rahoual, M. e Djoukhdjoukh, W. (2003). Métaheuristique hybride pareto pour le probleme de tournées de véhicules avec fenêtres horaires. In Evolution Artificielle, volume 2003, pages Ribeiro, G. M. e Laporte, G. (2012). An adaptive large neighborhood search heuristic for the cumulative capacitated vehicle routing problem. Computers & Operations Research, 39(3): Tan, K., Chew, Y., e Lee, L. (2006). A hybrid multiobjective evolutionary algorithm for solving vehicle routing problem with time windows. Computational Optimization and Applications, 34(1): Toth, P. e Vigo, D. (2001). The vehicle routing problem. Society for Industrial and Applied Mathematics. Vidal, T., Crainic, T. G., Gendreau, M., e Prins, C. (2014). A unified solution framework for multi-attribute vehicle routing problems. European Journal of Operational Research, 234(3): Wu, B. Y., Huang, Z.-N., e Zhan, F.-J. (2004). Exact algorithms for the minimum latency problem. Information Processing Letters, 92(6):