Método de Análise de Taludes Reforçados sob Condições de Trabalho

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1 Método de Análise de Taludes Reforçados sob Condições de Trabalho Método de Análisis de Taludes Reforzados bajo Condiciones de Trabajo Working Stress Analysis Method for Reinforced Soil Slopes Bruno Teixeira Dantas, M.Sc. Professor Assistente, Universidade Tuiuti do Paraná Maurício Ehrlich, D.Sc. Professor Adjunto, COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro Resumo. Neste trabalho, desenvolve-se um método analítico fechado para o dimensionamento interno de estruturas de solo reforçado de inclinação qualquer baseado em condições de trabalho. Mostra-se a importância da consideração da compactação e da rigidez relativa solo-reforço na análise e projeto deste tipo de estrutura. A comparação com os resultados de análises numéricas mostrou a boa capacidade de previsão do método. Umprocedimento para a determinação da tensão vertical no talude foi desenvolvido baseado na posição dos pontos de tração máxima. O método pode ser aplicado através de equações ou de ábacos adimensionais. Um exemplo de dimensionamento é fornecido. Resumen. En este trabajo, se desarrolla un método analítico cerrado para el dimensionamiento interno de estructuras de suelo reforzado de cualquier inclinación bajo condiciones de trabajo. Se muestra la importancia de la consideración de la compactación y de la rigidez relativa suelo-refuerzo en el análisis y proyecto de este tipo de estructura. Con base en estudios numéricos, se desarrolló un procedimiento para la determinación de la tensión vertical aplicada en los puntos de máxima tracción en el refuerzo. Se demuestra la buena capacidad de previsión del método a través de comparación de resultados obtenidos analiticamente y a través de análisis numéricos. El método puede ser aplicado a través de ecuaciones o utilizando ábacos adimensionales. Un ejemplo de dimensionamiento es mostrado Abstract. This work presents a closed form analytical method for the internal design of reinforced soil slopes based on working stresses. It is shown that compaction and relative soil-reinforcement stiffness are important factors to be considered in the analysis and design of these structures. Good predictive capability of the proposed method was demonstrated by comparison with finite elements analyses. A procedure based on the position of the maximum reinforcement tension point was developed to determine the overburden stress on reinforced slopes. The method can be applied either through equations or using design charts. A design example is included. 1. Introdução Um grande número de procedimentos para dimensionamento de estruturas de solo reforçado vem sendo desenvolvido nas últimas décadas. Os métodos convencionais de análise e projeto são essencialmente baseados em fundamentação empírica, como resultado de observações de campo e modelos em laboratório (Mitchell e Villet, 1987; Christopher et al., 1990). Entretanto, todoprocedimento empírico tem a limitação intrínseca de ser aplicável somente a casos similares aos que o fundamentam. Um outro enfoque é baseado na análise limite (Juran e Chen, 1989; Juran et al., 1990) ou no método do equilíbrio limite (Leshchinsky e Boedeker, 1989; Jewell, 1991). Trata-se de procedimentos bastante elaborados para determinar as condições de ruptura da massa. Zornberg et al. (1998a) mostra que, mesmo baseados em diferentes Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

2 Dantas & Ehrlich hipóteses, diversos métodos de equilíbrio limite tendem a apresentar pequenos desvios nos resultados, quando utilizada uma distribuição uniforme de tração com a profundidade. No entanto, tais métodos são incapazes de levar em consideração fatores de importância no comportamento da massa reforçada, tais como a compactação do solo e a rigidez relativa solo reforço. Uma outra abordagem baseia-se no equilíbrio da estrutura nas condições de trabalho (Adib, 1988; Ehrlich e Mitchell, 1994). Nestes procedimentos tem-se a complexa modelagem do estado de tensões e deformações do solo e do reforço, envolvendo a interação de dois elementos, além da influência do processo construtivo, destacando-se o efeito da compactação, induzindo tensões e deformações no corpo do aterro. No entanto, a formulação analítica desenvolvida por Adib (1988) e Ehrlich e Mitchell (1994) é restrita apenas a taludes verticais. Neste trabalho, apresenta-se um novo método de análise baseado em condições de trabalho, aplicável a taludes de inclinação qualquer, desenvolvido por Dantas (1998). A abordagem utilizada no desenvolvimento deste método é similar à adotada por Ehrlich e Mitchell (1994). Trata-se de um procedimento analítico desenvolvido sob forma de equações fechadas, que permite levar em consideração explicitamente a influência da compactação do solo e da rigidez relativa solo reforço. Análises numéricas (Dantas, 1998) foram utilizadas para verificar as hipóteses adotadas no desenvolvimento analítico e indicaram uma boa capacidade de previsão do método. 2. Análise de Estruturas de Contenção de Solo Reforçado A análise da estabilidade interna de uma estrutura de solo reforçado passa pela determinação da tensão máxima atuante nos reforços, que é o aspecto mais importante nesta etapa de projeto. Esta tensão é decorrente da interação solo-reforço, que promove a transferência de esforços, seja por atrito ou por resistência passiva, do solo para o reforço. Dividindo-se a massa em zona ativa (instável) e zona resistente (estável), Fig. 1, a estabilidade da primeira está assegurada desde que, sob ação das cargas, não haja ruptura por tração do reforço e o embutimento na zona resistente seja suficiente para evitar o seu arrancamento Equilíbrio interno Considera-se que cada reforço é responsável pelo equilíbrio horizontal da camada correspondentenazonaativadeespessuras v elarguras h,fig. 1, onde S v es h são os espaçamentos vertical e horizontal entre reforços adjacentes, respectivamente. Admite-se que os esforços internos dessa camada são os atuantes na região ABCD da Fig.1. A inclinação da face da estrutura leva a uma redução da tração máxima a ser suportada pelos reforços, em relação a uma mesma estrutura com face vertical. Neste caso, a hipótese adotada por Ehrlich e Mitchell (1994) de se considerar nula a resultante das tensões cisalhantes atuantes ao longo de AB e DC, F AB e F DC, respectivamente, não se apresenta válida. Figura 1. Equilíbrio interno de uma estrutura de solo reforçado de inclinação qualquer. 114 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

3 Análise de Taludes Reforçados F AB + F DC 0 (1) Considerou-se, no desenvolvimento do método, que a resultante das tensões cisalhantes é equivalenteàtensãoτ xzec, atuante ao longo de EC, devido à diferença de comprimento entre AB e DC. No caso de taludes verticais, tal resultante é nula já que os pontos E e C são coincidentes. Dessa forma, a Eq. 2 pode ser representativa das condições de equilíbrio da fatia, Fig. 1. Trata-se, esta hipótese, de um procedimento simplificador que levou a bons resultados quando cotejados com obtidos por via numérica (Dantas, 1998). T S v.s h. (σ h ) méd + EC.S h. τ szec = 0 (2) onde: T = tração máxima no reforço; τ xzec =tensão cisalhante no solo atuante ao longo de EC; (σ h) méd = tensão horizontal média no solo entre z m ez n atuando no plano vertical normal ao reforço no ponto de tração máxima; EC = comprimento entre os pontos E e C da Fig. 1 (EC = S v/tan ω); e ω = ângulo de inclinação da face da estrutura com a horizontal. A tensão cisalhante τ xzec não é facilmente obtida diretamente por via analítica. Considerou-se τ xzec como função da tensão cisalhante no solo atuante no ponto de máxima tensão no reforço (τ xz): τ xzec = f. τ xz (3) onde f = fator de ajuste. Com base em comparações entre resultados numéricos (Dantas, 1998) e analíticos definiram-se valores para f, conforme apresentado na Fig. 4. Desta forma, a Eq. (2) pode ser reescrita como: T S v. S h. (σ h) méd + S v.s h. f. τ xz tanω = 0 (4) δ = δ c = 90 ω 2 δ d = 0,90. δ c (5) onde: σ x = tensão horizontal atuante no ponto de máxima tensão; K = coeficiente de empuxo lateral no nível do reforço considerado; σ z = tensão vertical atuante no ponto de máxima tensão; δ c = ângulo que os planos principais fazem com a horizontal ou vertical no carregamento, resultante de θ =(ω + φ m)/2 (θ = ângulo da superfície potencial de ruptura, adotado, por simplificação, idêntico ao correspondente à condição ativa de Rankine); φ m = ângulo de atrito mobilizado no solo; e δ d = ângulo que os planos principais fazem com a horizontal ou vertical no descarregamento, considerado de forma a melhor representar os resultados das análises numéricas (Dantas,1998). Atensãoτ xz pode ser escrita como: τ xz = σz 2. ( 1 K ).tan2δ (6) A Eq. (4) pode, então, ser escrita como: T S v.s h.k.σ z + S v.s h. f. σ z. ( 1 K ). tan2δ 2 tanω = 0 (7) A Eq. 7 passa agora a 2 incógnitas (T e K), já que a tensão vertical σ z ao longo do talude pode ser considerada um dado de entrada. Um procedimento bastante simples para a determinação da tensão vertical, baseado nos resultados das análises numéricas, é apresentado mais adiante (item 4.1). A Eq. (4) apresenta 3 incógnitas (T, (σ h) méd e τ xz), sendo 2 independentes. As tensões (σ h) méd e τ xz atuantes no ponto de tração máxima estão relacionadas pelo círculo de Mohr, Fig. 2, considerando a rotação δ das tensões principais em relação à horizontal ou vertical. Admitindo-se, e (σ h) méd =σ x = K.σ z Figura 2. CírculodeMohrdeumelementodesolopróximoao ponto de tração máxima. Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

4 Dantas & Ehrlich Uma solução analítica fechada para determinação da tração máxima em cada nível de reforço é desenvolvida a seguir, relacionando as incógnitas T e K, de forma análoga à apresentada em Ehrlich e Mitchell (1994) O reforço e a interação solo-reforço Ehrlich e Mitchell (1994) mostraram que as incógnitas T e K são interdependentes. Modelando o reforço como elástico linear, a tração máxima no reforço, T, é determinada por: T = E r.a r. ε xr (8) onde E r = módulo de Young do reforço; A r =área transversal do reforço; e ε xr = deformação específica do reforço no ponto de tração máxima. Baseados nos estudos de Jewell (1980) e Dyer e Milligan (1984), Ehrlich e Mitchell (1994) admitiram a hipótese de aderência perfeita solo reforço no ponto de máxima tração. Tal hipótese implica que não ocorre deslizamento entre o solo e o reforço neste ponto. Daí tem-se: ε xr =ε xs (9) onde ε xs = deformação específica do solo na direção do reforço no ponto de tração máxima A deformação ε xs do solo depende do modelo constitutivo adotado e do caminho de tensões a que se sujeita o ponto de tensão máxima durante o processo construtivo, que são apresentados a seguir O solo O solo é admitido como elástico não linear, sendo utilizada na sua representação a expressão adotada por Ehrlich e Mitchell (1994). Esta expressão é uma reformulação do modelo hiperbólico de Duncan et al. (1980). A expressão para o módulo de Young no carregamento é apresentada a seguir. E =κ.pa.( σ 3 Pa )n. (1 K aa K p )2. (1 K aa) 2 (10) onde: E = módulo de Young para carregamento; Pa = pressão atmosférica; κ, n = parâmetros adimensionais do modelo de Duncan et al. (1980); K p = coeficiente de empuxo lateral em termos de tensões principais; σ 3 = tensão principal menor; K aa =K a /{(1-K a).[1 + c / (σ 3c.tanφ)] / R f +K a}, é o coeficiente de empuxo ativo equivalente; c = coesão do solo; φ = ângulo de atrito do solo; R f =relação de ruptura (Duncan et al., 1980); K a = coeficiente de empuxo ativo de Rankine; Para descarregamento, tem-se E ur =κ ur.pa. ( σ3 Pa )n (11) onde E ur = módulo de Young para descarregamento e recarregamento; κ ur = parâmetro adimensional do módulo de Young para descarregamento e recarregamento. O coeficiente de Poisson durante o carregamento é considerado constante e igual ao correspondente às condições de carregamento K o: v o = K o (12) 1 + K o onde ν o = coeficiente de Poisson durante o carregamento; e K o =1-senφ (Jaky, 1944) = coeficiente de empuxo no repouso. Durante o descarregamento ou recarregamento, o coeficiente de Poisson é considerado constante e igual ao valor para condições de descarregamento K o, baseado no procedimento de Duncan e Seed (1986), conforme adotado por Ehrlch e Mitchell (1994): v un = em que K 2 = K o. K K 2 (13) OCR OCRα OCR 1 (14) onde: v un = coeficiente de Poisson durante o descarregamento ou recarregamento; K 2 = coeficiente de decréscimo do empuxo lateral para o descarregamento sob condições K o; α = parâmetro adimensional de Duncan e Seed (1986) para o descarregamento; OCR = razão de sobreadensamento = σ zc/σ ze, considerada constante; σ zc = máxima tensão vertical atuante durante todo o processo construtivo, incluindo as tensões induzidas pela compactação; e σ ze = tensão vertical atuante no reforço devido apenas a uma camada da estrutura. 116 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

5 Análise de Taludes Reforçados Ehrlich e Mitchell (1994) propuseram a seguinte correlação para o parâmetro α, baseando-se em resultados de ensaios de laboratório de Belloti et al. (1983): α = 0,7. senφ (15) A definição de K 2 acima é uma alteração da formulação de Ehrlich e Mitchell (1994), já que a OCR é considerada constante, independente do nível do reforço, o que resulta em K 2 e v un também constantes. Com o modelo constitutivo acima, a deformação ε xs do solo é calculada considerando o caminho de tensões apresentado a seguir O caminho de tensões O processo construtivo de estruturas de solo reforçado envolve o lançamento e compactação de camadas sucessivas até atingir a altura final prevista. Desta forma, não apenas as tensões geostáticas, mas também as tensões induzidas pela compactação devem ser consideradas no cálculo das deformações. Segundo procedimento sugerido por Duncan e Seed (1986), a compactação pode ser modelada como uma tensão vertical, unidimensional e transitóriaaplicadanotopodacamadaemconstrução, alterando o estado de tensões no solo. A modelagem proposta por Duncan e Seed (1986) é aplicável para condições K o, isto é, para muros indeslocáveis arrimando aterros compactados. Ehrlich e Mitchell (1994) sugerem uma abordagem capaz de modelar condições outras que não K o. A tensão vertical equivalente induzida pela compactação (σ zc,i) pode ser considerada constante e independente do nível de deformação do solo, entretanto, a tensão horizontal induzida não. Para estabelecer o estado de tensões induzido pela compactação, Ehrlich e Mitchell (1994) utilizaram o artifício de calcular a tensão horizontal máxima (σ xp,i) - que ocorre para a situação de deformações nulas, ou seja, um estado K o de tensões - e a partir dela obter σ zc,i (=σ xp,i/k o ), com a qual se calcula a deformação durante o carregamento. Ao ser retirado o equipamento de compactação, a tensão vertical no solo é a geostática (σ z), envolvendo, assim, um descarregamento. Ao ser lançada e compactada nova camada, as camadas já construídas são submetidas a um novo ciclo, mas, agora, de recarregamento e descarregamento. Em vez de considerarem todos os ciclos de carregamento, descarregamento e recarregamento a que cada camada é submetida, Ehrlich e Mitchell (1994) adotaram um procedimento simplificado baseado em apenas um ciclo de carga e descarga, que foi adaptado para taludes de inclinação qualquer, considerando a rotação das tensões principais, Fig. 3. Neste caso, considera-se que o solo é submetido a um carregamento (segmentos da Fig. 3) até a maior tensão vertical de sua história (σ zc)-σ 1c em termos de tensão principal maior (rotação δ c)-ea um único posterior descarregamento (segmentos da Fig. 3) até a tensão vertical geostática (σ z) para a situação de fim de construção - σ 1 em termos de tensão principal maior (rotação δ d). Por conveniência analítica, o carregamento no caminho de tensões principais da Fig. 3 foi dividido em 2 etapas: (1) carregamento sem deformação lateral (segmento 1-2) até a tensão principal menor de equilíbrio (σ 3c); e (2) carregamento com deformação lateral (segmento 2-3) sob tensão principal menor constante. Da mesma forma, o descarregamento foi dividido em 2 etapas: (1) descarregamento sem deformação lateral (segmento 3-4) até a tensão principal menor de equilíbrio (σ 3R -tensão residual); e (2) descarregamento com deformação lateral (segmento 4-5) sob tensão principal menor constante. Os coeficientes de empuxo lateral em termos de tensões principais K o p,k 2 p,k c p ek r p são definidos por Figura 3. Caminho de tensões a que se sujeita um elemento de solo no ponto de tração máxima. Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

6 Dantas & Ehrlich ( 1 K o ) 1 + K o K p = cos 2δ c o 1 + K o + ( 1 K ; o ) cos 2δ c ( 1 K c ) 1 + K c K p = cos 2δ c c 1 + K c + ( 1 Kc ) ; cos 2δ c ( 1 K 2 ) 1 + K 2 = cos 2δ d K 2 + ( 1 K 2 ) ; cos 2δ d K p ( 1 K r ) 1 + K r K p r = cos 2δ d 1 + K r + ( 1 K r ) cos 2δ d (16) Atensãoσ zc, a máxima tensão vertical da história do solo, é definida a partir da comparação da tensão vertical induzida pela compactação (σ zc,i) com a tensão geostática (σ z): Se σ z <σ zc,i σ zc =σ zc,i ou caso σ z >σ zc,i σ zc =σ z (17a) (17b) A expressão (17b) indica o caso em que a tensão vertical geostática supera a induzida pela compactação. Neste caso, não se considera o descarregamento no caminho de tensões da Fig. 3 (os segmentos são resumidos ao ponto 3 5), admitindo-se no solo somente deformação devido ao carregamento. Assim, modela-se a tensão induzida pela compactação como uma espécie de sobreadensamento do solo. Enquanto σ z < σ zc,i, o efeito da compactação prevalece no comportamento tensão-deformação do solo, sendo apagado quando σ z > σ zc,i. Definido, então, o caminho de tensões, as deformações do solo durante o carregamento (ε xs1-3 )e durante o descarregamento (ε xs3-5 ) têm as seguintes expressões: ε xs(1 3) = (1 υ2 o ). (1 K aa) 2. (K p o. σ 1c σ 3c ). σ 3c ε xs(3 5) = κ. Pa. ( σ3c Pa )n. (σ 3c K aa. σ 1c). (K p o Kaa) (sen 2 δ c K o.cos 2 δ c ) (18) 1 υ 2 un σ 3c σ 3r κ ur.pa.( σ. (σ 1c σ 1 3r K p ). Pa )n 2 (K 2.cos 2 δ d sen 2 δ d) (19) 2.5. As tensões induzidas pela compactação Atensãoσ zc,i pode ser obtida a partir do procedimento proposto por Ehrlich e Mitchell (1994). Estes autores admitem que esta tensão é constante e igual em todos os níveis de reforço, se for utilizado um mesmo esforço, e é função do tipo de equipamento de compactação utilizado. Ou seja, se todas as camadas forem compactadas exatamente da mesma forma, a tensão vertical induzida (σ zc,i)será idêntica em todas as camadas. Para placas vibratórias, σ zc,i écalculadadiretamenteeéigualà tensão vertical máxima capaz de atuar na base da placa. Admitindo-se como Q a força vertical máxima de impacto e a área da base como A, tem-se: σ zc,i = Q A. (20) Para rolos compactadores, a tensão σ zc,i é calculada indiretamente a partir de σ xp,i (σ zc,i = σ xp,i/k o), utilizando uma expressão desenvolvida por Ehrlich e Mitchell (1994) baseada na teoria de capacidade de carga, dada por: com e σ xp,i =υ ο. (1 + K a).[ 1 2. γ.q.n γ L ]1 2 (21) K a = tan 2 (45 ϕ 2 ) N γ = tan(45 + ϕ 2 ).[tan4 ( 45 + ϕ 2 ) 1] 118 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

7 Análise de Taludes Reforçados onde K a = coeficiente de empuxo ativo de Rankine; γ = peso específico do solo; Q e L = força vertical máxima de operação e comprimento do rolo, respectivamente; e N γ = fator de capacidade de carga, calculado pela teoria das cunhas de Rankine. No caminho de tensões da Fig. 3, esta modelagem da compactação é considerada através da tensão principal maior σ 1c, a partir da comparação da tensão vertical induzida (σ zc,i) com a tensão geostática (σ z): Se σ z < σ zc,i, σ 1c = σ zc,i 2 [ (1 + Ko)+(1 K o cos 2δ c ) ] ou caso σ z > σ zc,i, σ 1c = σ z 2 [ (1 + Kc)+(1 K c cos 2δ c ) ] 2.6. Determinação da tração máxima (22a) (22b) A tração máxima é obtida a partir do cálculo dos coeficientes de empuxo lateral no carregamento, incluindo os esforços de compactação durante o processo construtivo (K c), e no descarregamento para a condição final ao término da construção (K r). A substituição das Eqs. (18) e (19) na Eqs. (9), (8) e depois em (7) conduz às expressões abaixo indicadas. Para o carregamento, K c é calculado por tentativas utilizando a seguinte expressão: (1 υ 2 o ). (1 K aa) 2. (K p o. σ 1c σ 3c ). σ 3c K c. σ zc. (σ 3c K aa. σ 1c). (K p o Kaa). (K o.cos 2 δ c sen 2 δ c) 1 S i. ( σ 3c Pa )n.[1 f. 1 K c 2.K c. tan 2δ c tanω ] = 0 (23) ondeσ 1c é definida pelas Eqs. (22a) e (22b); e σ 3c = σ zc 2.[(1 + Kc) ( 1 K c cos 2δ c ) ] S i = E r.a r S v.s h. κ.pa é o índice de rigidez relativa reforço-solo; e K aa = (1 K a ). [1+ K a c (σ 3c.tanφ) ] + K R a f Caso a coesão (c) não seja nula, a solução da Eq. (23) envolve um procedimento iterativo, pois, neste caso, K aa tambéméfunçãodek c. Caso não haja compactação ou σ z seja superior a σ zc,i, a tração máxima (T) é calculada por T = S v.s h.k c. σ zc S v. S h. f. σ zc 2. (1 K c). tan2δ c tanω (24) Para o descarregamento, K r é calculado por tentativas, sendo também função de K c, σ 1c e σ 3c, utilizando a seguinte expressão: ( 1 υ 2 un ) κ ur κ. ( σ 1c σ 1 σ 3c σ 3r K p 2 ( K 2.cos 2 δ d sen 2 δ d ) 1 S i. ( σ 3r Pa )n. [K c. σ zc K r. σ z f.[ σ zc 2. (1 K c). tan2δ c tanω σ z 2δd. 1 Kr.tan 2 tanω ] ] = 0 (25) onde ). σ 1 = σz 2 [ (1 + K r)+( 1 Kr cos 2δ d ) ]; σ 3 = σz 2 [ (1 + K r) ( 1 Kr cos 2δ d ) ]; e 1-K r éomódulode(1 K r). Neste caso, a tração máxima (T) é dada por: T = S v.s h. K r. σ z S v.s h. f. σ z 2. 1 K r. tan 2δ d tan ω (26) Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

8 Dantas & Ehrlich As expressões acima mostram que as incógnitas T e K da Eq. (7) não são independentes. O fator f varia com a inclinação do talude e deve ser considerado conforme apresentado na Fig. 4. A partir de ω = 70, f torna-se constante e igual a 2, Ábacos De acordo com as expressões apresentadas para a determinação da tração máxima nos reforços, os principais fatores de influência neste cálculo são: (1) a inclinação da face da estrutura; (2) a coesão, c, e o ângulo de atrito, φ, do solo; (3) a tensão vertical, σ z; (4) a relação entre a tensão vertical atuante no ponto considerado e a máxima tensão vertical a que já se submeteu o solo, incluindo a compactação, σ z/σ zc; e (5) a extensibilidade relativa entre solo e reforço, β, definida por Ehrlich e Mitchell (1994) como: β=( σ zc Pa )n. 1 S i (27) Os ábacos adimensionais das Figs. 5 a 8 são uma compilação da influência de todos estes fatores para ocasode(c=0)e(r f =0,8).Oerromáximoem usar estes ábacos para a faixa normal de variação do R f, de 0,7 a 1,0 (conforme resultados em Duncan et al., 1980), é de cerca de 20%. Os estados ativo, de repouso e passivo estão indicados nestas figuras por linhas tracejadas. Observa-se que estes ábacos são similares aos de Ehrlich e Mitchell (1994), sendo acrescentada a inclinação da estrutura. A relação σ z/σ zc expressa o efeito da compactação. Para a situação em que não há compactação ou a partir da profundidade em que a tensão vertical induzida pela compactação (σ zc,i) for menor do que a tensão vertical geostática no ponto (σ z), σ z/σ zc é igual a 1. Dantas e Ehrlich (1999a) fornecem ábacos similaresconsiderandooefeitodacoesãodosolo,reduzindo a máxima tração no reforço. 3. Influência Típica da Compactação do Solo e da Rigidez do Reforço A importância da consideração da influência da compactação e da rigidez relativa solo-reforço pode ser visualizada na Fig. 9, para taludes de 45, 60 e 70 com altura (H) de 5 m. A influência destes fatores também varia com a altura da estrutura, sendo apresentado na Fig. 10 um estudo considerando um talude de 60 com três alturas diferentes (5, 10 e 15 m). Comportamento semelhante ocorre para taludes de 45 e 70. Nestas análises, foram considerados os seguintes parâmetros para o solo, o reforço e a compactação. Para o solo: γ = 19,6 kn/m 3,n=0,5,R f =0,8, c=0,φ = 35. Os valores de S i de 0,01, 0,1 e 1 representam reforços típicos: geotêxtil, geogrelha e Figura 4. Fatordeajustedatensãocisalhante. Figura 5. Ábacos adimensionais para taludes 1 (H) : 1 (V) (45 ). 120 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

9 Análise de Taludes Reforçados Figura 6. Ábacos adimensionais para taludes 1 (H) : 2 (V) (63,4 ). metálico, respectivamente. Considerou-se um equipamento de compactação equivalente ao rolo vibratório DYNAPAC CA25 (Q = 160 kn, L=2,1m). Nas Figs. 9 e 10 também são apresentadas as curvas calculadas de tensão nos reforços utilizando o método de Leshchinsky e Boedeker (1989). De forma a se ter uma semelhança de parâmetros do solo para efeito de comparação com o método proposto, considerou-se coeficiente de segurança igual a 1 no cálculo destas curvas. Na Fig. 11 apresenta-se para a situação de dimensionamento interno de um talude hipotético (1:2) reforçado por geogrelha do tipo Tensar SR2, a comparação dos resultados de tração nos reforços obtidos com o método proposto e os determinados com o método de Leshchinsky e Boedeker (1989). Considerou-se para o talude as seguintes características: geometria: H = 5 m; S v =0,5m;S h =1m; Figura 7. Ábacos adimensionais para taludes 1 (H) : 3 (V) (71,6º). reforço: E r.a r = 290 kn/m; R t (resistência admissível) = 17,19 kn/m; solo: γ = 19,6 kn/m 3 ;c=0; φ = 35º; κ =480;n=0,5;R f =0,8;equipamentode compactação: rolo vibratório DYNAPAC CA25 (Q = 160 kn; L = 2,1 m). No cálculo pelo método de Leshchinsky e Boedeker (1989) utilizou-se um fator de segurança para o ângulo de atrito igual a 1,5, que é o recomendado por estes autores. A utilização de tal fator de segurança no método proposto não corresponderia à situação de equilíbrio da massa de solo sob condições de trabalho, não sendo, portanto, utilizado neste método. O cálculo completo pelo método proposto é apresentado no apêndice. A análise destas figuras conduz às seguintes conclusões: A modelagem adotada indica que, para taludes com altura (H) menor do que 10 m e inclinação (ω) Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

10 Dantas & Ehrlich Figura 8. Ábacos adimensionais para taludes de 90. menor do que 60, a compactação é o fator determinante da tração máxima no reforço; A influência da compactação varia com a inclinação (ω), tendo maior importância relativa nos taludes menos inclinados; O efeito da compactação varia com a rigidez do reforço (S i), tendo maior influência relativa para baixos valores de S i.noteque,paras i = 0,01, a tração máxima no reforço é praticamente constante, independente da profundidade; Verifica-se, em todas as condições estudadas, uma significativa influência da rigidez do reforço. De forma geral, quanto mais rígido o reforço, maior é a tração desenvolvida. Entretanto, pode ocorrer o contrário a pequenas profundidades e próximo à base do talude, quando se considera a compactação; Taludes menos íngremes levam a tensões mais baixas no solo e no reforço; A tensão máxima no reforço varia conforme a posição da camada no talude. Existe uma correspondência entre esta tensão e a altura de terra acima do ponto de tração máxima. Para os taludes estudados (45 ω 70 ), as tensões mais elevadas ocorreram em camadas situadas entre 0,55 H e 0,80 H. Resultado similar também foi obtido por Zornberg et al. (1998b) a partir de modelagem centrífuga de taludes reforçados por geossintéticos, indicando que o maior valor da tração no reforço nãoocorrenopédotalude; Para S i = 1 (reforço metálico), as tensões no reforço são próximas à correspondente à condição de repouso, afastando-se ligeiramente à medida que aumenta a inclinação. Para S i = 0,01 (geotêxtil), tem-se as tensões no reforço próximas à correspondente à condição ativa, aproximando-se ainda mais com o aumento da inclinação. Nota-se nas Figs. 9 e 10 que, não considerando o efeito da compactação, os resultados obtidos utilizando o método proposto e o sugerido por Leshchinsky e Boedeker (1989) apresentam resultados semelhantes para z/h menor do que 0,7. A distribuição linearmente crescente com a profundidade não é válida a partir de então; Quando, no entanto, considera-se a compactação, as tensões máximas nos reforços determinadas através do método proposto para Si 0,1 (geogrelhas, geotêxteis ou outros geossintéticos flexíveis) pouco variam com a profundidade, e, em geral, são superiores às previstas por Leshchinsky e Boedeker (1989) para a ruptura da estrutura (FS = 1). Este resultado indica que uma análise na condição de colapso iminente pode estar comprometida caso o esforço de compactação seja significativo em relação ao peso próprio. Isto pode ocorrer, tipicamente, para estruturas com até 10 m de altura (Fig. 10); Outro aspecto que pode ser ressaltado é quanto à rigidez do reforço. Apesar de o método de Leshchinsky e Boedeker (1989) ter sido desenvolvido genericamente para materiais extensíveis (geossintéticos), existem diferenças de comportamento devido à rigidez do reforço, por exemplo, geogrelha (S i = 0,1) e geotêxtil (S i = 0,01) nas Figs. 9 e 10. Tal método, entretanto, não considera essas diferenças. Uma discussão sobre a influência da compactação e da rigidez do reforço na análise de estruturas de solo reforçado utilizando métodos de equilíbrio limite pode ser encontrada em Ehrlich e Dantas (1999); 122 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

11 Análise de Taludes Reforçados No caso de aterros compactados, verifica-se, no entanto, sob o aspecto prático (considerando fator de segurança maior do que 1), que o dimensionamento utilizando Leshchinsky e Boedeker (1989) pouco diferirá dos resultados obtidos pelo método proposto, Fig. 11. Considerando que geralmente no projeto não se varia o espaçamento e tipo de reforço para as diferentes camadas e o dimensionamento é comumente efetuado para a condição mais crítica, que no caso da ruptura dos reforços Figura 11. Tração nos reforços para a situação de dimensionamento interno de um talude hipotético (1:2) obtida pelo método proposto e pelo de Leshchinsky e Boedeker (1989). Figura 9. Influência típica da compactação e da rigidez para taludes com H = 5 m. Figura 10. Influência típica da compactação e da rigidez em taludes de diferentes alturas com ω =60º. Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

12 Dantas & Ehrlich corresponde à última camada, a diferença entre os resultados obtidos pelos dois métodos seria de cerca de 15%, Fig. 11. No entanto, o mesmo não se verifica quando o arrancamento é a condição mais crítica, já que esta ocorrerá no topo do aterro. 4. Análises Numéricas As análises numéricas de Dantas (1998) foram realizadas com o programa de elementos finitos CRISP92-SC ( CRISP92 with Soil Compaction ), versão do programa CRISP92 (Britto e Gunn, 1990) implementada por Iturri (1996). Um total de 89 análises foram conduzidas de forma que representassem adequadamente a compilação de todos os fatores que influem no comportamento de uma estrutura de solo reforçado. Foram realizadas análises paramétricas considerando a variação da inclinação da face, da altura, do ângulo de atrito do solo, da rigidez do reforço e as tensões induzidas pela compactação do solo. Dantas e Ehrlich (1999b) fornecem maiores detalhes da modelagem numérica. Os resultados numéricos, além de serem comparados com os resultados previstos pelo método analítico, também serviram como base para o desenvolvimento de um procedimento analítico para determinação das tensões verticais geostáticas em taludes reforçados, apresentado a seguir Determinação das tensões verticais geostáticas Com base nos resultados numéricos, mostrados na Fig. 12 para as estruturas com H = 10 m, estabeleceu-se um procedimento para o cálculo das tensões verticais geostáticas em estruturas de solo reforçado, atuantes nos pontos de máxima tensão nos reforços. Como se verifica, a locação destes pontos não é significativamente influenciada pela rigidez e espaçamento dos reforços e pelo ângulo de atrito do solo. No procedimento proposto, a tensão vertical no ponto de tração máxima no reforço deve ser tomada como o peso de solo acima deste ponto, levando em conta a geometria do talude. Portanto, para a determinação desta tração, a localização destes pontos deve ser conhecida. Na Fig. 13 apresenta-se uma proposta para a determinação dos pontos de tração máxima no reforço para um talude genérico com inclinação ω, a partir dos resultados das análises numéricas de Dantas (1998). Essa proposta representou adequadamente tais pontos (curvas tracejadas na Fig. 12) para todos os taludes modelados. Consiste em traçar, a partir do ponto B, uma reta paralela à inclinação do talude obtendo o ponto D, e uma outra unindo o ponto B ao ponto A, situado no pé do talude. A tensão vertical (σ z) num ponto qualquer desta curva, por exemplo o ponto E, é igual a σ z =γ. z E (28) onde γ = peso específico do solo; e z E = altura de solo acima do ponto E. A análise das diferentes estruturas modeladas conduziu às seguintes expressões para a posição do ponto B, determinada pelos comprimentos x e h da Fig. 13, função da geometria do talude: Para 45 ω 65 x = 0,75. H e h = x (29) tanω 3 Para 65 < ω < 90 x = 0,8. H e h = x tanω 2 (30) Por este procedimento, verifica-se que, para taludes verticais, tem-se A B e a reta BD passa, então, a facear o talude, em contradição com o observado em obras reais e também com os resultados numéricos. Nesta condição, ω = 90º, deve ser utilizada a Eq. (31), apresentada em Ehrlich e Mitchell (1994), para o cálculo da tensão vertical em taludes sem sobrecarga, fazendo uma analogia, para muros de solo reforçado, com a distribuição de tensões proposta por Meyerhof (1955) para o caso de carregamento excêntrico em sapatas (vide Fig. 14). σ z = γ. z.lr L r 2.e =γ. z [1 ( K a 3 ). ( z L r ) 2 ] (31) onde e = excentricidade; e L r = comprimento do reforço. A excentricidade das cargas pode se tornar importante para muros esbeltos (H/L r elevados) ou sujeitos a carregamentos externos. No entanto, sua influência é pequena para muros típicos de solo 124 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

13 Análise de Taludes Reforçados Figura 12. Posição dos pontos de tração máxima nas estruturas com 10 m de altura, com talude de: a) 45º; b) 60º; c) 70º; d) 80º; e) 90º. reforçado (0,6 < L r/h < 0,8) e decresce significativamente com a inclinação da face Comparação entre resultados analíticos e numéricos As Figs. 15 e 16 apresentam os resultados na forma de gráficos adimensionais para os casos de S i = 0,01 (geotêxtil) e S i = 0,1 (geogrelha), os demais casos apresentam resultados similares e encontram-se em Dantas (1998). A Fig. 17 apresenta os resultados nos quais a compactação foi incluída na análise. Verifica-se, de maneira geral, uma boa concordância entre os resultados numéricos e analíti- Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

14 Dantas & Ehrlich desenvolvimento do método analítico, particularmente, nas hipóteses da rotação de tensões principais e da tensão cisalhante. Sob aspecto prático, recomenda-se a utilização do método analítico somente quando se tenha: ω φ 10 (32) Para os casos que não se encaixam nesta condição, o método analítico pode ser aplicado utilizando um ângulo de atrito reduzido para: Figura 13. Lugar geométrico dos pontos de tração máxima. cos. Os estudos paramétricos demonstraram que a formulação analítica forneceu, relativamente aos obtidos por via numérica, resultados conservativos. A excessão ocorre para as análises correspondentes ao talude com inclinação, ω,de 45º.Há uma franca discordância entre os resultados, para as análises sem compactação, quando é considerado o ângulo de atrito do solo, φ, de 40º (ω φ =5º).Nesta condição, os resultados analíticos apresentaram-se muito inferiores aos numéricos. No entanto, para φ = 25º, 30º e 35º, os resultados apresentaram-se bons (ω φ 10º). O mesmo se verifica para as análises nas quais inclui-se a compactação. Acredita-se que esta discordância tenha origem, principalmente, nas simplificações adotadas no Figura 14. Tensão vertical em taludes de 90º, conforme Ehrlich e Mitchell (1994). φ=ω 10 (33) A utilização deste procedimento fornece sempre valores conservativos para a tração no reforço, tanto maiores quanto maior for o ângulo de atrito do solo. 5. Procedimento de Cálculo A tração máxima no reforço pode ser determinada por equações ou através de ábacos adimensionais (Figs. 5 a 8). Os ábacos foram construídos considerando quatro inclinações típicas: taludes (1:1), taludes (1:2), taludes (1:3) e taludes verticais. A utilização dos ábacos envolve as seguintes etapas: 1. determinar σ zc,i usando a Eq. (20) ou a Eq. (21) e depois (σ zc,i = σ xp,i/k o), função do tipo de equipamento de compactação utilizado; 2. determinar a tensão vertical geostática σ z no nível do reforço em questão, utilizando o procedimento descrito no subitem 4.1; 3. determinar σ zc de acordo com as Eqs. (17a) e (17b); 4. assumir um valor adequado de S i para o tipo de reforço em questão, baseado na Tabela 1, e determinar β, Eq. (27); 5. Com os valores de β, σ z e σ zc, determinar a tração máxima a partir dos ábacos das Figs. 5 a 8; 6. Com a tração máxima, determinar as dimensões necessárias ao reforço e calcular um novo S i, comparando-o com o valor assumido previamente; 7. Repetir as etapas 2 a 6 até que os valores calculado e assumido para o S i sejam coerentes. Searigidez(E r.a r) do material for conhecida, não é necessária iteração, eliminando-se a etapa 7 acima, pois, neste caso, já fica estabelecido o S i da estrutura. Isto ocorre, tipicamente, quando são utilizados geossintéticos como elementos de reforço. 126 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

15 Análise de Taludes Reforçados O reforço ainda deve ser verificado quanto aos efeitos de corrosão, no caso de metálicos, e de perda de resistência, para os geossintéticos. Estas análises podem ser encontradas, por exemplo, em Mitchell e Villet (1987). O comprimento do reforço deve ser verificado quanto ao arrancamento na zona resistente. Mitchell e Villet (1987) fornecem expressões, para vários tipos de reforços, que possibilitam esta análise. Com relação aos parâmetros hiperbólicos do solo (n, κ, κ u er f), ensaios triaxias com diferentes pressões de confinamento podem ser utilizados para determiná-los. Outra alternativa é utilizar uma Figura 15. Gráficos adimensionais da tração máxima no reforço nos taludes de 45º e 60º. Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

16 Dantas & Ehrlich tabela de valores conservativos para vários tipos de solo fornecida em Duncan et al. (1980), adequada para análises preliminares, reproduzida na Tabela 2. No apêndice, encontra-se um exemplo do dimensionamento interno de um talude hipotético (1:2) reforçado com geogrelha. 6. Conclusões O método desenvolvido no presente trabalho possibilita o dimensionamento interno de estruturas de solo reforçado de inclinação qualquer, sob condições de trabalho, utilizando um procedimento analítico fechado para o cálculo da tração máxima nos reforços. As tensões induzidas pela compac- Figura 16. Gráficos adimensionais da tração máxima no reforço nos taludes de 70º e 90º. 128 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

17 Análise de Taludes Reforçados tação e a rigidez do solo e do reforço são consideradas explicitamente na formulação. A tração máxima é função da inclinação do talude (ω), da coesão do solo (c), do ângulo de atrito do solo (φ), do índide de rigidez relativa solo-reforço (S i), da tensão vertical (σ z) e da compactação (σ zc,i), sendo este último o fator preponderante no dimensionamento interno de taludes de até 10 m de altura com inclinação da face de até 60º. No entanto, os procedimentos convencionais de análise não consideram os esforços devido à compactação do solo, o que pode levar a resultados contra a segurança. Figura 17. Gráficos adimensionais da tração máxima no reforço incluindo o efeito da compactação. Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

18 Dantas & Ehrlich Tabela 1. Valores típicos de Si função do tipo de reforço (apud Erhlich e Mitchell, 1994). Tipo de Reforço Metálico 0,500-3,200 Plástico 0,030-0,120 Geotêxtil 0,003-0,012 S i No caso de taludes inclinados, a posição dos pontos de tração máxima é o fator determinante da tensão vertical nestes pontos. As análises numéricas mostraram que, sob condições de trabalho, a posição destes pontos não é significativamente afetada pelo ângulo de atrito do solo ou pela rigidez e espaçamento do reforço. Baseado nestes resultados, foi desenvolvido um procedimento para a determinação da tensão vertical como função apenas da geometria do talude, tendo sido obtidas boas comparações com as análises numéricas. A comparação com os resultados das análises numéricas mostrou a boa capacidade de previsão do método, considerando a variação de parâmetros do solo, do reforço e da geometria dos taludes estudados. Neste sentido, o programa CRISP92-SC, implementado por Iturri (1996), mostrou-se uma boa ferramenta para a modelagem de estruturas de solo reforçado. Apêndice Considera-se, a título de exemplificação da utilização do método, o dimensionamento de um talude hipotético (1:2) reforçado por geogrelha do tipo Tensar SR2 com as seguintes características: Geometria:H = 5 m;s v = 0,5 m;s h =1m Reforço:E r.a r = 290 kn/m; R t (resistência admissível) = 17,19 kn/m Solo:γ = 19,6 kn/m 3 ;φ = 35º;κ =480;n=0,5 Compactação: Rolo vibratório DYNAPAC CA25 (Q = 160 kn; L = 2,1 m) Solução σ xp,i = 51,11 kn/m 2 (conforme Eq. 22); σ zc,i = 119,86 kn/m 2 (σ zc,i = σ xp,i/k o); A posição dos pontos de tração máxima é mostrada na Fig. 19; S i = 290 / ( ,325. 0,5. 1) = 0,012; f = 1,57 (Fig. 4) Tabela 2. Parâmetros conservativos do solo (apud Duncan et al.,1980). Class. Unificada Grau de Compact. AASHTO γ m kn/m 3 φ o deg φ deg c κ n R f kn/m 2 GW, GP ,4 0,7 SW, SP ,4 0, ,4 0, ,4 0,7 SM ,25 0, ,25 0, ,25 0, ,25 0,7 SM-SC ,6 0, ,6 0, ,6 0, ,6 0,7 CL ,45 0, ,45 0, ,45 0, ,45 0,7 130 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto, 2000.

19 Análise de Taludes Reforçados Tabela 3. Dimensionamento interno da estrutura. Nível do Reforço Prof. (m) σ z (kn/m 2 ) σ zc,i (kn/m 2 ) σ zc (kn/m 2 ) β T (kn/m) FS Ruptura FS Arrancamento 1 0,50 9, ,64 1,99 2,40 2 1,00 19, ,68 1,98 4,78 3 1,50 29, ,70 1,98 7,14 4 2,00 39, ,72 1,97 9,50 5 2, ,75 1,96 11,84 6 3,00 58,8 119,86 119,86 91,20 8,77 1,96 14,18 7 3,50 61, ,77 1,96 14,77 8 4,00 61, ,77 1,96 14,77 9 4, ,75 1,96 12, , Figura 18. Posição dos pontos de tração máxima. Comprimento do reforço: adotado L r =0,8 H=4m; Os cálculos são mostrados na Tabela 3 e na Fig. 11, a comparação com o método de Leshchinsky e Boedeker (1989). Os valores utilizados para a rigidez (E r.a r)e para a resistência admissível R t da geogrelha representam o comportamento do material para um período de 100 anos, considerando o solo como uma areia média a fina (Mitchell e Villet, 1987, p. 57). O coeficiente de segurança com relação ao arrancamento foi verificado utilizando a expressão de Jewell (Mitchell e Villet, 1987, p.58). Adotou-se a superfície potencial de ruptura para o estabelecimento da zona resistente como idêntica à posição dos pontos de tração máxima, Fig. 18. A estrutura ainda deve ser verificada quanto à estabilidade externa, ou seja, ao deslizamento, tombamento, capacidade de carga da fundação e ruptura global. Referências Adib, M.E. (1988) Internal lateral earth pressure in earth walls. Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, California, USA. Belloti, R.; Ghionna, V. e Jamiolkowski, M. (1983) K o-ocr relationships in soil, Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, v. 109, n. 6, p Britto, A.M. e Gunn, M.J. (1990) CRISP90: User s and Programmer s Guide. Engineering Department, Cambridge University, Cambridge, England. Christopher, B.R.; Giroud, J.P.; Juran, I.; Mitchell, J.K.; Schlosser, F. e Dunnicliff, J. (1990) Reinforced soil structures, volume I. Design and construction guidelines. Federal Hwy. Administration Rep. No. FHWA/RD/89-043, Washington, D.C. Dantas, B.T. (1998) Método de análise de taludes reforçados sob condições de trabalho.tesede Mestrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. Dantas, B.T. e Ehrlich, M. (1999a) Ábacos para Dimensionamento de Taludes Reforçados sob Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,

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21 Análise de Taludes Reforçados K δ2 = coeficiente de decréscimo das tensões horizontal e vertical K o = coeficiente de empuxo no repouso K o p = coeficiente de empuxo no repouso em termos de tensões principais K r = coeficiente de empuxo de equilíbrio no descarregamento K r p = coeficiente de empuxo de equilíbrio no descarregamento em termos de tensões principais L = comprimento do rolo L r = comprimento do reforço n = parâmetro adimensional do modelo de Duncan et al. (1980) N γ = fator de capacidade de carga OCR = razão de sobreadensamento Pa = pressão atmosférica Q = força de operação máxima do equipamento de compactação R f = relação de ruptura S h = espaçamento horizontal entre reforços adjacentes S i = índice de rigidez relativa solo-reforço S v = espaçamento vertical entre reforços adjacentes T = tração máxima x = distância horizontal entre o ponto B e o pé do talude z = profundidade ou altura de solo α = parâmetro adimensional de Duncan e Seed (1986) para o descarregamento β = extensibilidade relativa entre solo e reforço δ = rotação das tensões principais em relação à horizontal δ c = rotação das tensões principais em relação à horizontal no carregamento δ d = rotação das tensões principais em relação à horizontal no descarregamento ε xr = deformação específica do reforço no ponto de tração máxima ε xs = deformação específica do solo na direção do reforço no ponto de tração máxima φ = ângulo de atrito do solo φ m = ângulo de atrito mobilizado no solo γ = peso específico do solo κ = parâmetro adimensional do modelo de Duncan et al. (1980) para carregamento; κ ur = parâmetro adimensional do modelo de Duncan et al. (1980) para descarregamento e recarregamento. ν o = coeficiente de Poisson durante o carregamento ν un = coeficiente de Poisson durante o descarregamento ou recarregamento θ = ângulo que a superfície potencial de ruptura faz com a horizontal no ponto de tração máxima σ 1 = tensão principal maior σ 1c = máxima tensão principal maior que já atuou durante todo o processo construtivo σ 3 = tensão principal menor σ 3c = tensão principal menor de equilíbrio no carregamento σ 3r = tensão principal menor de equilíbrio no descarregamento (σ h) méd = tensão horizontal média σ x = tensão horizontal σ xp,i = tensão horizontal induzida pela compactação σ z = tensão vertical σ zc = máxima tensão vertical que já atuou no solo durante todo o processo construtivo σ zc,i = tensão vertical equivalente induzida pela compactação σ ze = tensão vertical atuante no reforço devido apenas a uma camada da estrutura τ xz = tensão cisalhante no solo atuante no ponto de máxima tensão no reforço τ xzec = tensão cisalhante atuante ao longo de EC ω = ângulo de inclinação da face da estrutura com a horizontal Recebido em 10/12/1999 Aceitação final em 10/8/2000 Discussões até 31/08/2001 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): , Agosto,