5 Exemplos de verificação

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1 5 Exemplos de verificação 5.1. Considerações gerais Com o objetivo de verificar as novas implementações realizadas no programa, foram analisados vários exemplos a fim de comparar os resultados numéricos do GEOFLUX3D com resultados analíticos (quando disponíveis), experimentais (conhecidos na literatura) ou numéricos (programas comerciais de reconhecida confiabilidade). Os exemplos de verificação abordados neste capítulo encontram-se listados na tabela (5-1). Como pode se apreciar, o nível de complexidade destes exemplos foi incrementando-se a fim de testar todos os métodos de solução anteriormente apresentados. Tabela Exemplos de verificação. # Exemplo Tipo de análise 1 Infiltração em um solo estratificado parcialmente saturado Fluxo 2 Carregamento de uma sapata corrida rígida Tensão-deformação 3 Adensamento unidimensional Acoplamento linear 4 Adensamento bidimensional Acoplamento linear 5 Adensamento tridimensional Acoplamento linear 6 Carregamento de uma fundação de solo elastoplástico em Acoplamento não linear condições não drenadas 7 Ensaios triaxiais em amostras de solo parcialmente saturado Acoplamento não linear 5.2. Análises desacopladas Análise do fenômeno de fluxo Este problema foi proposto por Forsyth et al. (1995) e representa um problema de infiltração bidimensional em solo estratificado parcialmente saturado. Segundo Forsyth et al. (1995), quando um solo estratificado apresenta graus de saturação próximos do residual na condição inicial, a solução numérica do problema torna-se bastante complicada em função da não linearidade originada pelas relações constitutivas hidráulicas. Por esta razão, este exemplo é um excelente teste para verificar o método de solução não linear (MNRA). A geometria do problema e as condições de contorno estão apresentadas na figura (5.1). A malha é composta por 9766 elementos TRIA3 e 5001 nós.

2 Exemplos de verificação 85 Figura Geometria e malha de elementos finitos utilizadas na modelagem de um solo Os parâmetros do modelo de van Genuchten, para cada estratificação ou zona, estão listados na tabela (5-2) e a figura (5.2) apresenta as curvas características obtidas com estes parâmetros. Observe que os parâmetros das zonas 3 e 4 são similares, mas ksat da zona 4 e 10 vezes o valor da zona 3. Tabela Parâmetros utilizados na análise do fenômeno de fluxo. Parâmetros\zona Permeabilidade saturada (ksat) Porosidade (n) Saturação residual ( Slr ) 1 8,0611 0,3680 0,2771 3,3400 1,9820 Parâmetro de Van Genuchten ( vg) Parâmetro de Van Genuchten (nvg) 2 4,7952 0,3510 0,2806 3,6300 1, ,2319 0,3250 0,2643 3,4500 1, ,319 0,3250 0,2643 3,4500 1,5730 Unidades [m/dia] [-] [-] [m-1] [-] zona 1 zona 2 zonas 3 e Sl (-) 0.7 Sl (-) PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CB não saturado estratificado submetido a infiltração zona 1 zona 2 zona 3 zona s (kpa) E kr ksat (m/dia) 1 10 Figura Curvas características das zonas de solo utilizadas na análise de infiltração em solo estratificado. 100

3 Exemplos de verificação 86 Como condição inicial adotou-se uma carga hidráulica de pressão de -7,34m em todo o modelo. Todos os contornos do modelo, exceto o trecho sujeito à infiltração, foram considerados impermeáveis. As tolerâncias utilizadas foram: ITOL = 10-4 e DTOL = Os incrementos de tempo adotados foram: t 0 = 10-2 dias; t min = 10-3 dias e t max = 2dias. O tempo total de simulação foi Time total = 30dias. A figura (5.3) apresenta os resultados dos contornos de graus de saturação correspondentes a 40, 50 e 60% no final do período de simulação. Nesta figura, os resultados do GEOFLUX3D foram comparados com aqueles obtidos recentemente por Therrien et al. (2010), observando-se uma boa concordância. Da figura (5.3) também pode ser observado que as taxas de infiltração não foram suficientes para saturar nenhuma camada de solo após 30 dias de simulação Geoflux3D - S l = 40% Geoflux3D - S l = 50% Geoflux3D - S l = 60% Hydrogeosphere 4.0 y (m) x(m) Figura Contornos de saturação no solo após 30 dias de simulação Análise do fenômeno de tensão-deformação Neste exemplo verificaram-se as implementações realizadas para o modelo Cam-Clay Modificado. Para este fim, foi escolhido o problema proposto por Sheng & Sloan (2003), que consiste na aplicação de deslocamentos prescritos na superfície de uma argila normalmente consolidada, simulando uma sapata corrida rígida. Segundo Sheng & Sloan (2003), a simulação deste tipo de problema é um excelente teste para os algoritmos de solução, já que ocorre uma forte rotação das

4 Exemplos de verificação 87 tensões principais ao redor da sapata. Por esta razão, este problema serviu para verificar os métodos de integração de tensão (MIEA) e de solução não linear (MNRA). Devido à simetria da sapata, apenas a metade do problema é modelado no estado plano de deformações, utilizando uma malha de 144 elementos QUAD8 e 481 nós, como mostra a figura (5.4). Os parâmetros utilizados na simulação encontram-se listados na tabela (5-3). Figura Geometria e malha de elementos finitos empregadas na simulação de uma sapata corrida rígida sobre um solo normalmente consolidado. Tabela Parâmetros utilizados na análise do fenômeno de tensão-deformação. Parâmetros Valores Unidades Ângulo de atrito (ϕ ) 23,0 [ ] Módulo de Poisson ( ) 0,30 [-] Inclinação da LCN (λ 0 ) 0,25 [-] Inclinação da LCD ( ) 0,05 [-] Peso específico dos grãos sólidos ( s ) 26,8 [kn/m 3 ] Porosidade na LCN com p =1kPa (n) 0,643 [-] O estado inicial de tensão foi determinado aplicando as forças de corpo com K0=0,72 e RPA =1,0. Como condições de contorno, os deslocamentos horizontais foram restritos nas linhas localizadas em x=0 e x=5b; já na linha localizada em y=0, os deslocamentos foram restritos tanto na vertical quanto na horizontal.

5 Exemplos de verificação 88 Deslocamentos verticais de 1,25B foram impostos no trecho indicado na figura (5.4) a fim de simular uma sapata corrida rígida. A superfície de escoamento no plano desviador foi representada pelo hexágono de Mohr-Coulomb com o critério de arredondamento proposto por Sheng et al. (2000). As tolerâncias utilizadas foram: FTOL =10-6, ITOL = 10-5 e DTOL = Os incrementos de tempo adotados foram: t 0 = 10-2 unds; t min = 10-3 unds e t max = 50unds. Os deslocamentos prescritos foram aplicados em um tempo total de simulação Time total = 1000unds. A figura (5.5) apresenta a distribuição do estado de tensão, tanto no início quanto no final da simulação. Verifica-se a rotação das tensões principais, principalmente na região próxima à borda da sapata em que as tensões principais máximas inicialmente tinham uma direção vertical e posteriormente rotacionaram para a direção horizontal. a) b) Figura Distribuição das tensões principais: a) no inicio da simulação e b) no final da simulação. Malha indeformada. A figura (5.6) apresenta os resultados, obtidos por Sheng & Sloan (2003) e pelo GEOFLUX3D, para o desenvolvimento das pressões na base da sapata em função dos deslocamentos prescritos. Esta pressão na base da sapata foi calculada como a soma das reações verticais dos nós que simulam a sapata corrida rígida. Observa-se que ambos os resultados tiveram uma excelente concordância. No final da simulação, o GEOFLUX3D determinou uma pressão de 26,7kPa,

6 Exemplos de verificação 89 resultando numa diferença de 1,4% em relação à pressão determinada por Sheng & Sloan (2003), que forneceu um valor de 27,1kPa Pressão (kpa) Geoflux3D Sheng & Sloan, /B (-) Figura Pressão na base da sapata versus deslocamentos prescritos Análises acopladas de problemas de adensamento linear As análises apresentadas nesta seção são baseadas na teoria de Biot e tratam do problema de adensamento de solos em uma, duas e três dimensões. Para representar o fenômeno de tensão-deformação empregou-se o modelo elástico linear e para representar o fenômeno de fluxo empregou-se o modelo de saturado. Observe que pela adoção destes modelos, as matrizes globais devem permanecer constantes durante todo o tempo das análises, e em consequência, a solução destes problemas apenas dependerá do tamanho dos incrementos de tempo que sejam escolhidos. Por esta razão, estes exemplos são excelentes testes para o método de solução temporal implementado (MITA), já que se sabe que a solução dos problemas de adensamento pode sofrer oscilações, principalmente nos instantes iniciais de simulação Adensamento unidimensional Este problema foi estudado inicialmente por Terzaghi (1943) e consiste no adensamento de uma coluna de solo de altura L=15m pela aplicação de um carregamento Q=10kPa no seu topo drenante, como ilustrado na figura (5.7).

7 Exemplos de verificação 90 Figura Geometria e malha de elementos finitos empregadas na simulação de uma coluna de solo saturado homogêneo submetida a um carregamento. A coluna de solo saturado foi modelada com uma malha de 20 elementos tipo BRICK8 e 248 nós. Os parâmetros do modelo encontram-se listados na tabela (5-4). Como condição inicial, admitiu-se uma condição de equilíbrio hidrostático com a superfície freática estabelecida no topo da coluna. Como condições de contorno, nos nós correspondentes a este topo aplicouse uma pressão nula a fim de simular a condição drenante que produz o adensamento do solo. Todas as outras superfícies do modelo foram consideradas impermeáveis. Os deslocamentos horizontais em todos os nós foram restritos a fim de caracterizar o adensamento unidimensional. Na base do modelo também foram restritos os deslocamentos verticais. Tabela Parâmetros utilizados na análise de adensamento unidimensional. Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young do esqueleto sólido (E) 1x10 5 [kpa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido ( ) 0,25 [-] Permeabilidade isotrópica saturada (k sat ) 1x10-5 [m/s] O carregamento foi aplicado incrementalmente em um período de tempo de 0,1s. Após este período o carregamento foi mantido constante até o final da simulação. As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-5 e DTOL = Os incrementos de tempo adotados foram t 0 = 0,1s; t min = 10-5 s e t max = 10s. O tempo total de simulação foi Time total = 3600s.

8 Exemplos de verificação 91 Observe que este problema satisfaz as hipóteses de desacoplamento de Terzaghi, por tanto é possível obter soluções analíticas tanto para os excessos de poropressão quanto para os deslocamentos verticais em toda a coluna de solo. Neste sentido é necessário definir o fator adimensional de Terzaghi como T v ksate(1 ) t (5.1) 2 (1 )(1 2 ) L l Durante o processo de solução verificaram-se reduções do primeiro incremento de tempo pelo método de solução temporal (MITA) até um valor de 7x10-4 s. Após este subincremento de tempo, os novos incrementos de tempo foram acrescidos até atingir o incremento de tempo máximo em 175s de simulação. A figura (5.8) apresenta as evoluções temporais, analítica e numérica, dos excessos de poropressão normalizados na base da coluna, observando-se uma excelente concordância nos resultados p l /Q Geoflux3D Terzaghi Tv Figura 5.8. Excesso de poropressão normalizado na base da coluna versus fator tempo. Da mesma forma, as evoluções temporais, analítica e numérica, dos deslocamentos no topo da coluna podem ser comparadas, como apresenta a figura (5.9), observando-se novamente, uma excelente concordância de resultados.

9 Exemplos de verificação uz (m) Geoflux3D Terzaghi Tv Figura 5.9. Deslocamentos verticais no topo da coluna versus fator tempo. Finalmente, as figuras (5.10) e (5.11) apresentam os excessos de poropressão e os deslocamentos verticais, respectivamente, obtidos pelas soluções analítica e numérica, ao longo da coluna de solo em quatro instantes de tempo. 0-3 z (m) Geoflux3D - 60s Geoflux3D - 600s Geoflux3D s Geoflux3D s Terzaghi p l (kpa) Figura Excesso de poropressão na coluna de solo em quatro instantes de tempo.

10 Exemplos de verificação z (m) Geoflux3D - 60s Geoflux3D - 600s Geoflux3D s Geoflux3D s Terzaghi uz (m) Figura Deslocamentos verticais na coluna de solo em quatro instantes de tempo. Novamente, ambas as soluções apresentaram uma excelente concordância. Das figuras (5.8) e (5.10) se observa que os excessos de poropressão foram praticamente dissipados após os 3600s da simulação. Já nas figuras (5.9) e (5.11) se observa que os maiores assentamentos ocorreram no topo da coluna, na ordem de 1,25mm, valores estes baixos em função da elevada rigidez do solo em comparação com o carregamento aplicado Adensamento bidimensional Neste exemplo, proposto por Pinto (2004), modela-se o adensamento bidimensional de um meio estratificado de baixas permeabilidades. Um carregamento Q é aplicado em parte da superfície do solo da fundação, simulando uma sapata corrida flexível que provoca deformações tanto na direção vertical quanto na horizontal. Devido à simetria da sapata, apenas a metade do problema é modelado no estado plano de deformações, utilizando uma malha de 270 elementos QUAD8 e 877 nós, como mostra a figura (5.12). Os parâmetros utilizados na simulação encontram-se listados na tabela (5-5). O solo mais superficial (solo 1) tem uma profundidade de B/2=6m e o solo mais profundo (solo 2) tem uma profundidade de 7B/6=14m. Como condição inicial, foram aplicadas cargas hidráulicas totais de 20m em todo o modelo.

11 Exemplos de verificação 94 Figura Geometria e malha de elementos finitos empregadas na simulação de uma sapata flexível sobre um solo heterogêneo. Tabela Parâmetros utilizados na análise do adensamento bidimensional. Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young do esqueleto sólido no solo 1 (E 1 ) 1x10 4 [kpa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido no solo 1 ( 1 ) 0,0 [-] Permeabilidade isotrópica saturada no solo 1(k sat1 ) 36x10-5 [m/min] Módulo de Young do esqueleto sólido no solo 2 (E 2 ) 4x10 4 [kpa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido no solo 2 ( 2 ) 0,0 [-] Permeabilidade isotrópica saturada no solo 2(k sat2 ) 5,4x10-5 [m/min] Como condições de contorno foram aplicadas cargas de pressão nulas sobre os nós que simulam a sapata a fim de simular a condição drenante que produz o adensamento do solo. No contorno localizado em x=5b/2 aplicou-se uma carga total prescrita de 20m. Todos os outros contornos foram considerados impermeáveis. Os deslocamentos horizontais foram restritos em x=0 e x=5b/2. Os deslocamentos verticais foram restritos em y=0. Um carregamento Q=200kPa foi aplicado incrementalmente em um período de tempo total de 0,1min. Posteriormente, este foi mantido constante até a completa dissipação dos excessos de poropressão. As tolerâncias utilizadas foram: ITOL = 10-5 e DTOL = Os incrementos de tempo adotados foram: t 0 = 10-1 min; t min = 10-2 min e t max = 50min. O tempo total de simulação foi Time total = 2000min. Durante o processo de solução deste exemplo, novamente verificaram-se reduções do primeiro incremento de tempo pelo método de solução temporal

12 Exemplos de verificação 95 (MITA) até um valor de 2x10-2 min. Após este subincremento de tempo, os novos foram acrescidos até atingir o incremento de tempo máximo em 764min de simulação. A figura (5.13) apresenta os excessos de poropressão obtidos pelo GEOFLUX3D em dois instantes de tempo de simulação. No tempo t=16,5min, os excessos de poropressão são elevados, em torno de 126,5kPa. Já no tempo t=1914.5min, esses excessos são praticamente dissipados e deformações ocorrem nas regiões próximas à sapata. a) b) Figura Excessos de poropressão no solo simulados pelo GEOFLUX3D para dois instantes de tempo: a) 16,5 minutos e b) 1914,5 minutos. Malha deformada com fator de escala = 10. Os resultados obtidos com o GEOFLUX3D foram comparados com aqueles obtidos por Pinto (2004) empregando o programa ANLOG (Nogueira, 1998), como mostra a figura (5.14). Observa-se que as soluções numéricas de ambos os programas apresentaram uma excelente concordância Profundidade (m) tempo = 16,5min tempo = 114,5min tempo = 514,5min tempo = 1914,5min Abaqus Excesso de poropressão (kpa) Deslocamentos verticais (m) a) b) Figura a) Excessos de poropressão e b) deslocamentos verticais ao longo do plano de simetria para quatro instantes de tempo.

13 Exemplos de verificação 96 Na figura (5.14a) observam-se excessos de poropressão elevados nos primeiros 16,5 minutos, principalmente na interface dos solos 1 e 2. Com o passar do tempo, as poropressões se reduzem em ambas as camadas, mas com maiores taxas no solo 1. Isto ocorre porque esta camada tem uma permeabilidade saturada superior e porque está mais próxima ao contorno drenante. Da figura (5.14a) observa-se que os excessos de poropressão em ambos os solos foram totalmente dissipados após 1914,5min de simulação. Na figura (5.14b) observa-se que ocorre um assentamento máximo de 16,5cm, valor este similar ao de 16,55cm obtido por uma simulação desacoplada empregando o GEOFLUX3D Adensamento tridimensional Neste exemplo se analisa o adensamento de uma argila saturada de baixa permeabilidade que é submetida instantaneamente a um carregamento. Nestas condições têm se observado, como nos exemplos de adensamento 1D e 2D, que é a água que suporta inicialmente todo o carregamento, gerando poropressões da mesma ordem de grandeza. Entretanto, em alguns casos também têm se observado que estas poropressões podem atingir valores superiores àquele do carregamento que foi aplicado. Este comportamento paradoxo foi observado inicialmente por Mandel (1953) através de ensaios triaxiais e posteriormente por Cryer (1963) através da análise do adensamento de uma esfera. Assim, este fenômeno de adensamento passou a ser conhecido na literatura como fenômeno de Mandel-Cryer. Com o intuito de reproduzir o fenômeno de Mandel-Cryer, neste exemplo empregou-se uma esfera de argila de baixa permeabilidade que sofre um repentino incremento na sua pressão de confinamento. A geometria e a malha do modelo são apresentadas na figura (5.15). Observe que, devido à simetria da esfera, o modelo foi representado por apenas 1/8 desta, empregando-se uma malha composta por 4835 elementos TETR4 e 990 nós. Os parâmetros utilizados são apresentados na tabela (5-6). Como condição inicial, as cargas hidráulicas de pressão em toda a esfera foram consideradas nulas. A ação das forças gravitacionais foi desabilitada para este problema.

14 Exemplos de verificação 97 Figura Geometria e malha de elementos finitos empregadas na análise de uma esfera de argila submetida a uma pressão confinante. Como condições de contorno, os deslocamentos nos planos de simetria foram impedidos nas suas respectivas direções normais. Estes planos de simetria PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CB foram considerados impermeáveis e foi aplicada uma pressão nula na superfície externa da esfera a fim de modelar uma condição drenante que gera o adensamento. Tabela Parâmetros utilizados na análise do adensamento tridimensional. Parâmetros Módulo de Young do esqueleto sólido (E) Módulo de Poisson do esqueleto sólido ( ) Permeabilidade isotrópica saturada (ksat) Valores 1x104 0,33 4,91x10-5 Unidades [kpa] [-] [m/s] A pressão confinante foi aplicada incrementalmente em um período total de 0,6s. Após este período, esta pressão foi mantida constante até o final da simulação. As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-5 e DTOL = Os incrementos de tempo adotados foram t0 = 10-2s; tmin = 10-6s e tmax = 0,4s. O tempo total de simulação foi Timetotal = 14s. Gibson et al. (1963) apresentaram gráficos da solução analítica deste problema, mostrando a evolução temporal da poropressão no centro da esfera. Posteriormente, Wong et al. (1998) e Cruz (2008) utilizaram essas soluções analíticas para validar suas soluções numéricas. Isto também foi realizado empregando o GEOFLUX3D. Durante o processo de solução deste exemplo, também se verificaram reduções do primeiro incremento de tempo pelo método de solução temporal (MITA) até um valor de 10-5s. Após este subincremento de tempo, os novos

15 Exemplos de verificação 98 incrementos foram acrescidos até atingir um valor máximo de 0,07s em 2,15s de simulação. O incremento de tempo máximo não foi atingido. A figura (5.16) apresenta os resultados dos excessos de poropressão gerados pelo carregamento em dois instantes de tempo da simulação. No tempo t=0,6s observam-se excessos de poropressão elevados, em torno de 121kPa, que são praticamente dissipados após 14 segundos de simulação. Tempo = 0,6 segundos Tempo = 14 segundos Figura Excessos de poropressão simulados para dois instantes de tempo. Para efeitos de comparação entre os resultados analíticos e numéricos, a poropressão no centro da esfera foi normalizada em relação à pressão de confinamento e foi utilizado o fator adimensional de Terzaghi empregando o raio da esfera no lugar de L na equação (5.1). A evolução temporal da poropressão no centro da esfera é apresentada na figura (5.17). Observa-se uma excelente concordância entre os resultados analíticos e numéricos. Nesta figura, verifica-se também o efeito de Mandel-Cryer, mediante o qual a poropressão atinge valores superiores aos da pressão de confinamento (poropressão normalizada acima da unidade). A solução numérica forneceu uma poropressão normalizada máxima de 1,187 após 0,6s de simulação, enquanto que a solução analítica forneceu 1,192, resultando num erro relativo de 0,42%.

16 Exemplos de verificação Geoflux3D Gibson et al, (1963) 1.00 p l /Pc raiz(t v ) Figura Evolução temporal da poropressão normalizada no centro da esfera de Cryer Análises acopladas de problemas não lineares Após a análise dos exemplos de adensamento com acoplamento linear, partiu-se para a análise de problemas com acoplamento não linear. Neste sentido, os exemplos a seguir constituem testes mais rigorosos para os algoritmos de solução desenvolvidos, principalmente para o método de solução não linear (MNRA) Carregamento de uma fundação de solo elastoplástico em condições não drenadas Neste exemplo verificaram-se as implementações realizadas no modelo de Mohr-Coulomb. Para este fim, foi escolhido o problema proposto por Sloan & Abbo (1999b), consistente na aplicação de uma carga distribuída em condições não drenadas na superfície de um solo saturado, simulando uma sapata corrida flexível. De acordo com Sloan & Abbo (1999b), a análise deste tipo de problema em tensões efetivas é incapaz de modelar corretamente a capacidade de suporte do solo de uma fundação, a menos que um ângulo de dilatância nulo seja utilizado. Esta teoria foi inicialmente proposta por Small (1977), que verificou que o uso de

17 Exemplos de verificação 100 um ângulo de dilatância não nulo produz uma queda no excesso de poropressão e consequentemente, um ganho na resistência do solo quando submetido a carregamentos em condições não drenadas. O modelo e a malha utilizados nesta simulação são apresentados na figura (5.18). Novamente, em função da simetria da sapata de comprimento B=2m, apenas a metade da geometria foi modelada no estado plano de deformações, utilizando uma malha de 190 elementos QUAD8 e 629 nós. Os parâmetros utilizados são apresentados na tabela (5-7). Figura Geometria e malha de elementos finitos empregadas na análise de um solo elastoplástico com comportamento não drenado submetido a uma carga distribuída. Tabela Parâmetros utilizados na análise com acoplamento não linear. Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young (E) 2x10 4 [kpa] Módulo de Poisson ( ) 0,30 [-] Coesão (c ) 100,0 [kpa] Ângulo de atrito ( ) 20,0 [DEG] Porosidade (n) 0,50 [-] Permeabilidade isotrópica saturada (k sat ) 1,67x10-5 [m/s] Como condição inicial, foram aplicadas tensões e cargas de pressão nulas em todo o modelo. Como condições de contorno, os deslocamentos horizontais foram restringidos em x=0m e em x=8b enquanto que os deslocamentos verticais e horizontais foram restringidos em y=0m. Um carregamento Q=1000kPa foi aplicado incrementalmente até aproximar o colapso do solo.

18 Exemplos de verificação 101 Para representar a superfície de escoamento de Mohr-Coulomb no plano desviador, empregou o critério de arredondamento proposto por Abbo (1997), que somente arredonda pequenas regiões próximas aos vértices do hexágono. As tolerâncias utilizadas foram: ITOL = 10-5 e DTOL = Os incrementos de tempo adotados foram: t 0 = 10-1 s; t min = 10-2 s e t max = 2s. O tempo total de simulação foi Time total = 200s. Sloan & Abbo (1999b) realizaram quatro simulações empregando diferentes valores para o ângulo de dilatância ( ): 0, 1, 5 e 20. Essas mesmas simulações foram realizadas com o GEOFLUX3D. A figura (5.19) apresenta os deslocamentos verticais da sapata no eixo de simetria (x = 0m) em função do carregamento aplicado. Verifica-se uma excelente concordância entre os resultados do GEOFLUX3D e aqueles apresentados por Sloan & Abbo (1999b). Observa-se também que o comportamento linear elástico do solo, para todos os ângulos de dilatância, permanece até um carregamento aplicado de 300kPa. A partir desse valor, o solo começa a sofrer deformações plásticas e o comportamento das quatro simulações torna-se diferente. Deslocamento vertical (m) = 0 o = 1 o = 5 o = 20 o Sloan & Abbo (1999) Pressão de colapso Carga (kpa) Figura Deslocamentos verticais em função do carregamento no centro da sapata flexível. Na simulação com =0, o solo está próximo do colapso para um carregamento de 482kPa, reproduzindo a resposta obtida através de uma análise

19 Exemplos de verificação 102 não drenada. Na simulação com =1, o colapso do solo ocorre para uma carregamento em torno de 525kPa. Já nas simulações com =5 e =20, o solo da fundação pode suportar carregamentos superiores daqueles obtidos para =0 e =1. Estes comportamentos ocorrem porque, para o modelo de Mohr-Coulomb, ângulos de dilatância não nulos produzem deformações plásticas negativas que ocasionam uma queda no excesso de poropressão à medida que o carregamento continua sendo aplicado. Em consequência, o solo aparentemente pode suportar maiores cargas antes do colapso. Estes resultados confirmam o exposto por Small (1977), que concluiu que análises em tensões efetivas com ângulos de dilatância não nulos podem ir contra a segurança, superestimando a pressão de colapso de um solo em condições não drenadas. Para avaliar a influência que os critérios de arredondamento exercem nos resultados, duas novas simulações foram realizadas empregando o exemplo anterior com =0 e utilizando os critérios propostos por Abbo (1997) e Sheng et al. (2000) junto com círculo de Drucker & Prager. A figura (5.20) apresenta os deslocamentos verticais no centro da sapata em função da carga aplicada para cada forma da superfície de escoamento no plano desviador Deslocamento vertical (m) Mohr-Coulomb Sheng-Sloan Drucker-Prager Carga (kpa) Figura Deslocamento vertical no centro da sapata em função da carga para cada forma da superfície de escoamento no plano desviador.

20 Exemplos de verificação 103 Observa-se que o critério de Drucker-Prager superestima a pressão de colapso do solo, fornecendo baixos deslocamentos quando é aplicado um carregamento de 483kPa. Neste caso, as deformações plásticas ocorrem a partir de uma carga de 350kPa, isto é, 50kPa após o resultado correto. Comportamento similar ocorre com o critério de Sheng et al. (2000); no entanto, este superestima a pressão de colapso em um valor menor porque adota uma forma que se aproxima mais àquela do hexágono de Mohr-Coulomb Ensaios triaxiais em amostras de solo parcialmente saturado Neste exemplo verificaram-se as implementações realizadas para o modelo Barcelona. Para este fim, foi escolhido o problema proposto por Sheng et al. (2003b) que consiste na simulação de ensaios de compressão triaxial em amostras previamente submetidas a diferentes sucções. A simulação deste tipo de problema é um excelente teste para o algoritmo de integração de tensões (MIEA), já que ocorre uma contribuição das sucções na definição das tensões constitutivas e das superfícies de escoamento. Os ensaios triaxiais foram simulados por Sheng et al. (2003b) em duas fases. Na primeira fase, foram aplicados incrementos de sucção pela base das amostras mantendo o valor inicial da pressão de confinamento. Estes incrementos de sucção foram lentamente aplicados de tal forma que a sucção foi uniformemente distribuída em todas as amostras. Na segunda fase, as amostras foram comprimidas axialmente sob condições drenadas mantendo a sucção atingida na fase anterior. Observe que, como ocorre uma distribuição uniforme da sucção em ambas as fases, estes ensaios podem ser modelados por um acoplamento parcial, já que as sucções podem ser prescritas durante toda a simulação. Com isto, apenas os deslocamentos constituem os graus de liberdade do problema; no entanto, a contribuição da sucção, na avaliação das tensões constitutivas, ainda deve ser avaliada. Análises deste tipo foram inicialmente adotadas na concepção do BBM e continuam sendo muito utilizadas por alguns pesquisadores (Abed, 2008; Nian et al., 2011a). Por esta razão, análises similares foram utilizadas na modelagem dos ensaios triaxiais. As amostras cilíndricas simuladas por Sheng et al. (2003b) tiveram 4cm de diâmetro e 8cm de altura. Entretanto, devido à simetria das amostras, apenas uma

21 Exemplos de verificação 104 quarta parte destas foi modelada utilizando uma malha de 70 elementos BRICK20 e 452 nós, como mostra a figura (5.21). Os parâmetros utilizados na simulação encontram-se listados na tabela (5-8). Figura Geometria e malha de 1 elemento finito empregadas na análise do ensaio triaxial. Tabela Propriedades mecânicas e hidráulicas das amostras utilizadas nos ensaios triaxiais. Parâmetros Valores Unidades Ângulo de atrito (ϕ ) 20,0 [DEG] Módulo de Poisson ( ) 0,30 [-] Inclinação da LCN (λ 0 ) 0,25 [-] Inclinação da LCD ( ) 0,05 [-] Peso específico dos grãos sólidos ( s ) 26,8 [kn/m 3 ] Porosidade na LCN com p =1kPa (n) 0,66 [-] Parâmetro para determinar λ s (r) 0,75 [-] Parâmetro para determinar λ s ( ) s 0,012 [kpa -1 ] Saturação residual ( S ) 0,0 [-] r w Permeabilidade isotrópica saturada (k sat ) 10-8 [m/s] Parâmetro de Van Genuchten ( vg ) 1,0 [m -1 ] Parâmetro de Van Genuchten (n vg ) 0,5 [-] Parâmetro de Van Genuchten (m vg ) 1,0 [-] Como condição inicial, aplicou-se uma tensão hidrostática de 20kPa em todo o modelo das amostras com uma RPA=1,2. Cargas de pressão nula também foram consideradas como condições iniciais. Como condições de contorno, os deslocamentos horizontais na direção x foram restringidos no plano x=0cm, os deslocamentos horizontais na direção y foram restringidos no plano y=0cm e os deslocamentos verticais foram restringidos no plano z=0cm. Na primeira fase do ensaio, sucções de 0kPa,

22 Exemplos de verificação kPa e 200kPa, correspondentes aos três ensaios, foram aplicadas em 100 incrementos em todos o modelo. Na segunda fase, foram aplicados deslocamentos verticais prescritos de -2cm na superfície z=4cm em outros 100 incrementos. As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-6 e DTOL = 10-3, STOL = 10-6, FTOL = Os incrementos de tempo adotados foram: t 0 = 10-2 unds; t min = 10-6 unds e t max = 1,0unds. O tempo total de simulação foi Time total = 200unds. A figura (5.22) apresenta as curvas de tensão de desvio (q) em função da deformação axial das amostras. Observa-se que, quando a amostra está saturada, o máximo valor de q é de 20,11kPa; para uma sucção de 100kPa, este valor atinge 45,12kPa; e para uma sucção de 200kPa, atinge um valor de 58,3kPa. Desta forma, verifica-se que os incrementos de sucção aumentam a resistência ao cisalhamento da amostra. Nesta figura, verifica-se também a boa concordância dos resultados obtidos com aqueles apresentados por Sheng et al. (2003b) q(kpa) s = 200kPa 10.0 s = 100kPa s = 0kPa Sheng et al deformação axial Figura Curvas de tensão de desvio (q) versus deformação axial para cada amostra analisada. A figura (5.23) apresenta diversas curvas de resultados das simulações dos ensaios. Novamente, foram observadas boas concordâncias dos resultados do GEOFLUX3D com aqueles obtidos por Sheng et al. (2003b). Nestas figuras, as letras maiúsculas referem-se aos estágios do ensaio: (A) início da primeira fase em todos os ensaios; (B) início da segunda fase; (C) fim do ensaio. Os números que seguem as letras B e C indicam a sucção aplicada no ensaio.

23 Exemplos de verificação B200 C200 B C200 s(kpa) B100 C100 s(kpa) B C100 q(kpa) s = 200kPa 50.0 s = 100 kpa s = 0kPa Sheng et al A,B0 C p'(kpa) s = 200kPa s = 100 kpa s = 0kPa Sheng et al LEC A,B0 C A,B0 0.0 C0 a) b) B100 C100 B200 C p'(kpa) s = 200kPa s = 100kPa s = 0kPa Sheng et al q(kpa) A,B0 C0 B100 s = 200kPa s = 100 kpa s = 0kPa Sheng et al B200 C100 C p'(kpa) c) d) Figura Resultados das simulações dos ensaios triaxiais com sucção controlada. Nas figuras (5.23a-b), apresentam-se a variação da tensão octaédrica (p ) e da tensão de desvio (q) em função da sucção (s). Observa-se que, na primeira fase, estes incrementos de sucção produzem incrementos de p, mas não de q. Isto ocorre porque os incrementos de s afetam por igual os três componentes de tensão principal e como consequência, q é nulo. Já na segunda fase, os ensaios com maiores valores de sucção apresentaram acréscimos superiores de p e q. Na figura (5.23c), apresentam-se as trajetórias de tensão no espaço p versus q. Verifica-se que os incrementos de sucção fazem com que as trajetórias de tensão atinjam a LEC com valores superiores de q, mostrando que o solo apresenta maior resistência quanto maior for a sucção aplicada. Na figura (5.23d), apresenta-se a variação do volume específico (ν) em função de p. Na primeira fase de secagem, observa-se que o volume das amostras reduz-se à medida que a sucção é incrementada. No entanto, na segunda fase de carregamento, a diminuição do volume é menor nas amostras que experimentaram valores superiores de sucção. Este comportamento ocorre porque, à medida que a sucção se incrementa, p e a pressão de pré-adensamento p 0 também são incrementadas, porém em taxas diferentes, em função dos parâmetros r e

24 Exemplos de verificação 107 utilizados. Para os parâmetros adotados neste exemplo, a pressão de préadensamento se incrementa mais rapidamente que a tensão efetiva durante a fase de secagem. Por esta razão, nesta fase, a RPA das amostras que foram secadas também se incrementa, fazendo com que estas fiquem mais rígidas e portanto, experimentem menores deformações volumétricas plásticas quando o carregamento é aplicado. De acordo com Sheng et al. (2003b), os parâmetros r e podem ser ajustados de tal forma que as tensões efetivas se incrementem mais rapidamente que a pressão de pré-adensamento durante a fase de secagem; desta forma, as amostras poderiam experimentar deformações plásticas já na fase de secagem.