Árvores B. Árvore B (ou melhor B+)

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Caio de Abreu Amaral
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1 Motivação: pesquisa em disco Árvores B Tempo de acesso a disco determinante nas operações Com disco de 10 ms de tempo de acesso: 100 acessos por segundo em máquina de 25 MIPS, 1 acesso custa tanto como instruções... e velocidade de cálculo tem aumentado mais que velocidade de disco Podemos gastar muito cálculo para evitar 1 acesso a disco Exemplo: registo dos cidadãos portugueses guardado em árvore binária N=10M de registos, chave de 32 bytes e total de registo de 256 bytes (BD 2.5GB) Blocos de 8KB blocos Pior caso: acesso em tempo linear, acessos a disco (52 min) (ou 10M!) Médio: 1.38 log N acessos, 32 acessos a disco ou 0.3s Nó a profundidade tripla: 100 acessos a disco ou 1s Árvore B (ou melhor B+) Árvore equilibrada multivia Objectivo: pesquisa externa, minimizar acessos a disco Utilização: construir índices auxiliares em Bases de Dados nos nós existem referências a blocos do disco escolha da ordem da árvore depende do número de registos do índice que cabem num único bloco (unidade básica de acesso a disco) Uma Uma árvore-b de de ordem ordem M é é uma uma árvore árvore de de M vias vias em em que que Os Os dados dados estão estão guardados nas nas folhas folhas Os Os nós nós internos internos guardam até até M-1 M-1 chaves; chaves; a a chave chave i i representa a a menor menor chave chave na na subárvore i+1 i A raiz raiz é é uma uma folha folha ou ou tem tem entre entre 2 e e M filhos filhos Todos Todos os os nós nós internos, excepto excepto a a raiz, raiz, têm têm entre entre M/2 M/2 e e M filhos filhos não não vazios. vazios Todas Todas as as folhas folhas estão estão à à mesma mesma profundidade e e têm têm entre entre L/2 L/2 e e L registos registos de de dados dados

2 Árvore B para exemplo do ficheiro Cada nó deve caber em 1 bloco de disco Assumir bloco de disco de bytes Em cada nó interior: M-1 chaves de 32 bytes e M ramos com 4 bytes (endereço de novo bloco) 32 ( M -1) + 4 M 8192 M = 228, M/2 = 114 Nos nós folha: 256 bytes para cada registo bloco comporta 32 registos L = 32 No ficheiro de de registos no máximo /16 = folhas no máximo log = 3 níveis acima das folhas Árvore-B B de ordem ,4,8,11 12, 15,18,19 21,24 25,26 31,38 41,43,46 48,49,50 59,68 72,78 84,88 91,92,99 até 3 chaves em cada nó interno até 4 ponteiros em cada nó interno (mínimo é 2) L = 4 (mas poderia ter outro valor)

3 Inserção em Árvore-B B : - 41 : : - 41 : ,11,12 16, 17 22,23,31 41, 52 58,59,61 8,11,12 16,17,18 22,23,31 41, 52 58,59, (número de filhos) Mínimo: 2 Máximo: 3 11 : : , 8 11, 12 16, 17,18 22,23,31 41, 52 58,59,61 Inserção em Árvore-B B : : 58 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22,23,31 41, 52 58,59,61 16 : : - 18 : - 41 : , 8 11, 12 16, 17 18, 19 22,23,31 41, 52 58,59,61

4 Inserção em Árvore-B B : : - 18 : - 41 : 58 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61 16 : : - 18 : - 28 : - 58 : - 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61 Inserção em Árvore-B B : : - 18 : - 28 : - 58 : - (repetida) 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61 16 : - 41 : - Árvore-B cresce para a raiz 11 : - 18 : - 28 : - 58 : - 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61

5 Apagamento em Árvore B Pesquisa da chave a apagar e apagamento na folha respectiva Se a folha fica com número de chaves não abaixo do mínimo: terminar Se a folha fica com número de chaves abaixo do mínimo: reparar árvore Se a folha do lado tiver número de chaves acima do mínimo: pedir chave emprestada do lado significa com o mesmo pai, para não complicar excessivamente a manutenção dos nós interiores Se a folha do lado não tiver número de chaves acima do mínimo: fundir folhas e propagar Havendo fusão de nós, a reparação prossegue nos níveis superiores da árvore Se a fusão de nós resulta em a raiz ter apenas 1 filho: raiz passa para o filho e altura da árvore diminui Árvore-B cresce e diminui na raiz altura da árvore aumenta quando se tem de partir a raiz (e criar novo nó raiz) altura da árvore diminui quando a raiz tem 2 filhos e estes se fundem Árvore-B para pesquisa em memória (não B+) a, b, f, g k d, h, m Árvore de ordem 5 ou B 3-5 a b f g f f a b g k a b d g h k m j e, s, i, r f j f j a b d g h k m a b d e g h i k m r s

6 Inserção em árvore-b B 3-53 x f j r a b d e g h i k m s x c, l, n, t, u c f j r a b d e g h i k l m n s t u x Inserção em árvore-b B 3-53 p j c f m r a b d e g h i k l n p s t u x Nesta representação: chaves estão organizadas na árvore à maneira das árvores de pesquisa nós internos e folhas são da mesma natureza Apropriado para estruturas em memória central

7 Exercício (árvore B+ com folhas ligadas sequencialmente) a) Inserir a chave Exercício (cont( cont.)

8 Exercício (cont( cont.) 40 b) Apagar a chave Exercício (cont( cont.) 40 b) Apagar a chave

9 Exercício (cont( cont.) Exercício (fim)

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