ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Ð Ô Å Ò ÓÒ ÄÓÔ Æ Á ÅÈÇË Î ÌÇÊ Ë ÇÅ ÈÄÁ Ë ü ÇÆÂ ÌÍÊ Ê ÌÀ Ç ÇÊ ÖØ Ó Ù Ñ Ø Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÑÓ

Transcrição

1 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Æ Á ÅÈÇË Î ÌÇÊ Ë ÇÅ ÈÄÁ Ë ü ÇÆ ÌÍÊ Ê ÌÀ Ç ÇÊ Ð Ô Å Ò ÓÒ ÄÓÔ ÁØ Ù ¹Å Å Ó ¾¼½

2 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Ð Ô Å Ò ÓÒ ÄÓÔ Æ Á ÅÈÇË Î ÌÇÊ Ë ÇÅ ÈÄÁ Ë ü ÇÆÂ ÌÍÊ Ê ÌÀ Ç ÇÊ ÖØ Ó Ù Ñ Ø Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ¹ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ì ØÙÐÓ Å ØÖ Ñ Å Ø Ñ Ø º ýö ÓÒ ÒØÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÇÖ Ò Ö º ÇÖ ÒØ ÓÖ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Å ÐÐÓº Ö Ð ¾¼½ ÁØ Ù

3 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Ð Ô Å Ò ÓÒ ÄÓÔ Æ Á ÅÈÇË Î ÌÇÊ Ë ÇÅ ÈÄÁ Ë ü ÇÆÂ ÌÍÊ Ê ÌÀ Ç ÇÊ ÖØ Ó ÔÖÓÚ ÔÓÖ Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ñ ¼ Ö Ð ¾¼½ ÓÒ Ö Ò Ó Ó ÙØÓÖ Ó Ø ØÙÐÓ Å ØÖ Ñ Ò Ñ Å Ø Ñ Ø º Ò Ü Ñ Ò ÓÖ ÈÖÓ º ÄÙ ÖÒ Ò Ó Å ÐÐÓ ÇÖ ÒØ ÓÖµ ÈÖÓ º Ð Ù Ó Ù Ò Ð Ó ÙÞÞ ÈÖÓ º Ó Ë ÐÓ ÁØ Ù ¾¼½

4 Ê ÙÑÓ Ç Ó Ø ÚÓ Ø ÖØ Ó Ó ØÙ Ó Ó Ö Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ñ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÐ Ò Ö Ð C 1 Ó ØÙ Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Öº ÒØÖ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÖ Ò Ô ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒº Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ ØÙ Ö ÑÓ ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö ÑS 2 ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÙÑ ÔÖÓÚ Ó Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ò Ö º Ç Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó Ì ÓÖ Ò ÖÓ ÔÐ Ó ÒÓ ØÙ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ô Ö ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ñ Ù Ú Ö Ú Ò ÓÒ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖÝ Ó Ö ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó º È Ð ÚÖ ¹ Ú Ò ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Ö Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ ÈÓÒØÓ ÍÑ Ð Ó ÓÒ ¹ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖݺ

5 ØÖ Ø Ì Ñ Ó Ø ÖØ Ø ÓÒ Ø ØÙ Ý Ó Ø Ò Ü Ó Ò ÓÐ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÓ ÒØ Ó C 1 ÔÐ Ò Ö Ú ØÓÖ Ð Ò Ø ØÙ Ý Ó Ø ÄÓ ÛÒ Ö Ú ØÓÖ Ð º ÑÓÒ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ò Ü ÓÒ ÁÒ Ü Ì ÓÖ Ñº ÁÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ØÓÖ Ð Û ØÙ Ý Ø ÈÓ Ò Ö ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ò S 2 Ò Û Ü Ø ÔÖÓÓ Ó ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ì ÓÖ Ñ Ò Ø Ô Ö º Ì Ö ÙÐØ Ò ÁÒ Ü Ì ÓÖÝ Û ÐÐ ÔÔÐ Ò Ø ØÙ Ý Ó Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ö Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ØÛÓ Ú Ö Ð Ò Ø Ö Ø Ó ÓÖÝ ÓÒ ØÙÖ ÓÒ ÙÑ Ð ÔÓ ÒØ º à ÝÛÓÖ ÁÒ Ü Ó ÓÐ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÓ ÒØ ÁÒ Ü Ò Ü ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ÄÓ Û¹ Ò Ö Ú ØÓÖ Ð ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ì ÓÖ Ñ ÍÑ Ð ÔÓ ÒØ Ö Ø Ó ÓÖÝ ÓÒ ØÙÖ º

6 ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ½ ¾ Ç Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÔÐ Ò Ö ¾º½ ØÖÙØÙÖ ÐÓ Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Æ Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Ç Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ò Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º ÐÙÐÓ Ó Ò Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ò Ð Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÐÙÐÓ Ó Ò Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÍÑ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ¾ º½ ÍÑ ÓÑÔÓ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÒÑ Ñ Λ(f,g) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ç ÓÒ ÙÒØÓ Π º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÈÖÓÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ê ÙÐØ Ó ÔÖ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ü ÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ º½ ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ç Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ò Ö S 2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓÒØÓ Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÖÚ Ø Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

7 Ú ÓÒ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖÝ º½ ÈÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÓÖ Ò Ê ÙÓÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ù Ð ÄÓ Û Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ Ó ½ Ð Ó Ö

8 Ä Ø ÙÖ ¾º½ Ë ØÓÖ È Ö Ð Ó ØÖ ØÓÖº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ë ØÓÖ È Ö Ð Ó Ê ÔÙÐ ÓÖº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÓÖ À Ô Ö Ð Óº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÓÖ Ð ÔØ Óº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ (x, y)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú ÖÓÒØ Ö Ñ ÙÑ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü º º º º ½ ¾º ÙÖÚ L Ñ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö ÓÖ Ñº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½ ÍÑ Ö ÑÓ ÙÔÐÓº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÙÖ ÐÙ ØÖ Ø Ú Ö Ð Ø Ú ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÖÓÔÓ Ó º¾º¾º º º º º º º º º ÐÙÜÓ ÐÙ ØÖ Ø ÚÓ Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ñ ÙÑ ØÓÖ Ò ÙÐ Öº º º º º º º º ¾ º Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ ( y +x 3 x 2 y +8xy 2,x x 3 /3+8x 2 y +y 3 )º º º Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ (xy, e x y 2 +1)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ØÖ ØÓ ÒÓ Ó ÈÓ Ò Ö Ó ÑÔÓ (x, y)º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ó f(x,y) = x 2 y 3 +y 5 yº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÙÖÚ Ò Ú Ð Ø Ò Ò f(x,y) = y(xy 1) º º º º º º º º º º º º º Ê ØÖ ØÓ Ó Ö Ó Ó ÈÓ Ò Ö Ö Ö ÒØ Ó Ü ÑÔÐÓ º º½º º º º Ú

9 Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ç Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ñ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÕÙ ÒÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÑ ÑÓ Ó ÓÑÔÖ Ò Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ó ÙÜÓ Ø ÑÔÓ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ö Ó ÔÓÒØÓ Ñ ÕÙ ØÓº È ÐÓ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ö ÓÐ Ó ÓÒ Ö ÑÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÖÙÒ Ö Ò ÒØÖ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÔÐ ÑÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ØÖ ØÓ Ø Ô ÕÙ Ò ÖÙÒ Ö Ò ÒÙÑ ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Ç Ò Ò Ó Ô ÐÓ Ö Ù ØÓÔÓÐ Ó Ø ÔÐ Óº ÐÙÐÓ Ð Ö Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ò Ó ÓÑÔÐ Ó º Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÓ Ò Ó Ó Ò Ñ ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÑÔÐ Ô Ö Ö Ð Þ Ó ÐÙÐÓ º Ñ ½ ¾ Ï ¹Ü Ò ÒÚÓÐÚ Ù ÙÑ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ø ÚÓ Ô Ö Ó ÐÙÐÓ Ó Ò Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ò Ù Ý ÐÙÐÓ Ö ÓÒ ÓÑ Ó Ó ÒØ ÕÙ Ö Ò º ÆÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ò Ð Ø Ó Ö ÙÐØ Ó Ô Ò Ó ÓÒ ÔÖÓÔÖ º ÍÑ Ó ÔÖ Ò Ô Ö ÙÐØ Ó Ò Ì ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒº Ø Ø ÓÖ Ñ Ö Ð ÓÒ Ó Ò ÓÑ ÕÙ ÒØ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ô Ö Ð Ó Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ö Óº ÆÓ Ô ØÙÐÓ ¾ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ö ÙÐØ Ó º ÇÙØÖÓ ÑÓ Ó Ó Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ò Ñ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔ Ø ¹ÐÓ ÒÙÑ Ö Ñ R 3 º Á ØÓ Ø Ñ Ñ ÒÓ Ô ÖÑ Ø ØÙ Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÓÖ Ô ÖØ ÓÑÔ Ø Ó ÔÐ ÒÓ ÓÙ ÒÓ Ò Ò ØÓº ÈÓ Ò Ö ÔÖÓÚÓÙ ÕÙ ÓÑ Ó Ò ØÓ Ò ÙÐ Ö ÓÐ ÒÙÑ Ö Ù Ð ¾º Ì Ð Ö ÙÐØ Ó Ó Ò Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ ÀÓÔ ½¼ Ñ ½ Ô Ö ÑÔÓ Ö Ñ ÙÔ Ö ÓÑÔ Ø º ½

10 ¾ ÆÓ Ô ØÙÐÓ ÙØ Ö ÑÓ Ø ÙÒØÓ ÓÑ Ñ ÔÖÓ ÙÒ ÔÐ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó ÒÓ ØÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù Ú Ö Ú º ÒØÖ ÙÑ ÔÓØ Ò Ð Ì ÓÖ Ò Ø ¹ ÙÑ ÔÓ Ú Ð Ø ÕÙ ÓÒ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖݺ Ë ÙÒ Ó ÇÚ Ò Ó Ì Ò ÓÚ ½ ÔÓÖ ÚÓÐØ ½ ¾¼ Ö Ø Ó ÓÖÝ ÕÙ Ø Ú Ñ Ù ÙÑ Ú Ö Ó Ô Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÉÙ ØÖÓ Î ÖØ Ñ R 3 ÓÒ ØÙÖÓÙ ÕÙ ÙÑ ÙÔ Ö Ù Ú ÓÒÚ Ü ÓÑÔ Ø Ñ R 3 ØÓ ÙÑ ÓÚ Ð Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó º Ì Ð ÓÒ ØÙÖ ÔÓ Ù Ù ÙÑ Ø Ö ÙÖ Ó ÙÑ ÔÓÙÓ ÓÒØÖÓÚ Ö º È Ö ÙÑ ÓÑÔÖ Ò Ó ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÓÒ Ö S ÙÑ ÙÔ Ö Ù Ú Ñ R 3 º Ñ ÔÓÒØÓ S Ù ÙÖÚ ØÙÖ ÔÖ Ò Ô ÔÓ Ñ Ö Ò º ÍÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó S ÓÓÖÖ ÕÙ Ò Ó ÙÖÚ ØÙÖ ÔÖ Ò Ô Ó Ò Ñ ÒÓ Ñ ÔÓÒØÓ S Ø ÑÓ Ù Ö ÔÖ Ò Ô ÓÖØÓ ÓÒ º ÍÑ Ð Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÙÑ ÙÖÚ Ö ÙÐ Ö Ó Ö ÙÔ Ö ÕÙ Ñ ÔÓÒØÓ Ó Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ Ø ÓÒØ Ó ÒÙÑ Ö ÔÖ Ò Ô º ÍÑ Ð Ò ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ñ ÙÑ ÜÔÖ Ó Ö Ò Ðº ÈÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó Ó Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÔÖ Ò Ô º ÒØÓ Ú Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÖÑ Ñ Ø Ö Ñ Ó ÙÑ Ö ÔÓ Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ¹ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖÝ ÔÓÖ Ñ Ö ÒØ Ñ ÒØ Ò ÙÑ ÑÓØ ÚÓ Ô Ö Ù º Ñ ½ ¼ À Ñ ÙÖ Ö ÔÖ ÒØÓÙ ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÚ Ô Ö ÓÒ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖÝ Ô Ö ÙÔ Ö Ò Ð Ø Ñ ÙÑ ÐÓÒ Ó ÖØ Ó ÔÙ Ð Ó Ñ ØÖ Ô ÖØ º ÌÖ ÒÓ Ô ÓÐ ÔÖ ÒØÓÙ ÙÑ ÔÖÓÚ Ñ ÙÖØ ÑÔÐ º Ñ ½ ÃÐÓØÞ ÒÓÒØÖÓÙ ÖÖÓ ÔÖ ¹ ÒØÓÙ ÙÑ ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓÚ ÓÐ ÓÒØÙ Ó Ð Ö Þ Ø ÔÖÓÚ ÓÖ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ô Ð ÓÑÙÒ Ñ Ø Ñ Ø º ÓÐ Ø ÒØÓÙ Ö ÙÑ ÔÖÓÚ Ñ ÑÔÐ Ô Ö Ø Ø ÓÖ Ñ º ÃÐÓØÞ Ô Ö¹ Ù ÕÙ Ú ÙÑ Ð ÙÒ Ò ÔÖÓÚ ÓÐ ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ó Ö Ð ÒÓ Ø Ú Ó ÖØÓº Ð ÓÖÒ Ù Ö ÙÑ ÒØÓ ÓÒ Ô Ö ÙÑ ÔÖÓÚ ÓÑÔÐ Ø Ñ Ó Ö Ù¹ ÕÙ Ð ÒÓ Ø Ú Ù Ó ÓÑÔÐ ØÓº Ë Ö Ð ½ ½ µº Ô Ø ÒØ Ø Ú ÃÐÓØÞ Ì ØÙ Ñ ½ ÔÖ ÒØÓÙ Ù ÔÖÓÚ Ô Ö ÙÔ Ö Ò ¹ Ð Ø ÕÙ Ø Ñ Ñ Ó ÑÓØ ÚÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ º ÓÖ Ñ ÙØ Ð Þ Ò ÔÖÓÚ ÓÖ Ñ ÐÓ º Ë x S ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó ÓÐ Óº ÙÑ Ó ÑÔÓ Ö ÔÖ Ò Ô Ø Ñ ÙÑ Ò ÙÐ Ö ÓÐ ÒÓ ÔÓÒØÓ x ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ Ø Ø Ñ ÙÑ Ò º ÓÑÓ ÙÑ ÙÖÚ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÑÔÓ Ö Ó ÔÖ Ò Ô Ð ÙÑ ÙÖÚ Ñ ÓÖ ÒØ Ó

11 Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó ÓÖÑ n/2 Ô Ö Ð ÙÑ n ZZº È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ ÓÑ Ó Ò Ó Ö Ó ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó Ù Ð Ö Ø Ö Ø ÙÐ Ö Ó ÓÚ Ð ÕÙ Ù Ð ¾º ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÓÒ ØÙÖ Ø Ö ÔÖÓÚ ÑÓ ØÖ ÖÑÓ ÕÙ Ó Ò Ñ ÙÑ Ð Ó ÓÐ Ó Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð ÙѺ Ø ÔÓÖ Ù Ú Þ Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÓÒ ØÙÖ ÄÓ ÛÒ Öº ÓÖ Ó ÓÑ Ì ØÙ ÔÙ ÄÐ Ö Å ÖØ Ò Þ¹ Ð ÖÓ ½ µ Ñ ½ ¼ ÄÓ ÛÒ Ö ÓÒ ØÙ¹ ÖÓÙ f ÙÑ ÙÒÓ Ò Ð Ø Ö Ð Ó Ö ÙÑ Ó ÙÒ Ø Ö Ó Ñ R 2 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð n f/ z n Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñ ÒØÓ Ó Ò ÒÓ Ñ ÓÖ ÕÙ nº Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ó n = 2 Ô Ö ÙÑ Ð Ó Ò ÓÒ ØÙÖ ÄÓ ÛÒ Ö ÖÑ ÕÙ Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ð Ó Ó Ö ÙÑ ÙÔ Ö Ñ R 3 Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð ÙѺ ÈÓÖØ ÒØÓ ÙÑ Ö ÔÓ Ø ÖÑ Ø Ú Ô Ö Ó Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ØÙÖ ÄÓ ÛÒ Ö ÑÔÐ ÒÙÑ Ö ÔÓ Ø ÖÑ Ø Ú Ô Ö Ö Ø Ó ÓÖݺ Ð ÙÒ ÒÓ ØÖ Ñ ½ Ó ÙØÓÖ ËÓØÓÑ ÝÓÖ Å ÐÐÓ Ñ ½ µ ÔÙ Ð Ö Ñ Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ØÙÖ ÄÓ ÛÒ Ö Ú Ð Ô Ö ÙÔ Ö Ò Ð Ø ÒØÓ Ó Ó ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÙÔ Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ Ù Ú Ø Ñ ÙÑ ÙÑ Ð Ó Ø Þ Ò Ó ÓÒ Ó ÄÓ Û Þ Ø Ñ Ñ º Ø ØÖ Ð Ó Ö Ö ØÓ Ø Ð Ñ ÒØ ÒÓ Ô ØÙÐÓ º ÄÓ Ó Ô Ñ ¾¼¼¾ ÁÚ ÒÓÚ ÔÖ ÒØÓÙ Ù ÔÖÓÚ ÓÑ Ù ÒØ Ð Ö Ó ÈÖ Ñ ÖÓ ÓÒ Ö Ò Ó ÙÔ Ö Ò Ð Ø Ò ÖÑ ÑÓ ÓÑ ØÓØ Ð Ö ÔÓÒ Ð ÕÙ Ö Ø Ó ÓÖÝ Ø Ú ÓÖÖ ØÓº Ë ÙÒ Ó Ò ¹ ÑÓ ÓÑÓ ÔÖÓÚ ¹Ð Ö ÓÖÓ Ñ ÒØ º Ì Ö ÖÓ Ø ÑÓ ÒØ ÒÓ Ü Ö ÕÙ ÙÑ ÔÖÓÚ ÕÙ Ð Ñ ÒÓ ÓÔ Ò Ó ÓÒÚ Ò Ö ØÓ Ó Ó Ð ØÓÖ Ö ÐÑ ÒØ ÔÖÓÒØÓ ÑÔÖ Ò Ö ÙÑ Ú Ñ ÐÓÒ Ò Ø Ú ÓÒÓ Óº ÁÚ ÒÓÚ ½½ ¾¼¼¾µº Ë ÙÒ Ó Å ÐÐÓ ÔÖÓÚ ÁÚ ÒÓÚ Ô Ö ÓÒ ØÙÖ Ö Ø Ó ÓÖÝ Ñ ÙÔ Ö Ò Ð Ø ÒÓ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ó ÔÖ ÒØ ÑÓÑ ÒØÓ Ô Ð ÓÑÙÒ Ñ Ø Ñ Ø º Æ Ø ØÖ Ð Ó Ú ÑÓ Ó Ø Ö ÔÖÓÔÖ Ó Ö Ó Ò Ñ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú Ø Ò Ó ÓÑÓ ÒÓÖØ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Öº È Ð ÓÑÔÐ Ü ÓÖÑ Ø Ú Ô Ö Ó ÐÙÐÓ Ó Ò Ó Ø ÒÓ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ ÙÑ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ö Ú Ö ÑÓ ÓÑ Ø Ð Ó ØÖ Ð Ó ÄÐ Ö Å ÖØ Ò Þ¹ Ð ÖÓ Ñ ½ Ó Ø Ò Ó ÙÑ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö C 1 ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ ÓÑÔÓ Ó Ó ÑÔÓ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ñ ÐØÓÒ Ò Ö Ð ÓÒ ÓÑ Ó ÑÔÓ ÄÓ ÛÒ Öº

12 Ô ØÙÐÓ ¾ Ç Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÔÐ Ò Ö Ç Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÒØ ÖÓ Ó ÕÙ Ð ÒÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò ÓÖÑ Ó Ö ØÖÙØÙÖ ØÓÔÓÐ Ø ÕÙ Ð Ö Ó Ñ ¹ Ô Ñ ÒØ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ú ÒØ Ó Ö ØÖÙØÙÖ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ÔÖ Ü Ñ Ø ÕÙ Ð Ö Óº ÍÑ Ó ÔÖ Ò Ô Ö ÙÐØ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒº Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ñ ÙÑ Ô ØÙÐÓ Ó Ð ÚÖÓ ½ º ÓÑÓ Ð Ó Ö ÙÜ Ð Ö ÓÖ Ñ ÙØ Ð Þ Ó Ó Ð ÚÖÓ ½¾ º Æ Ë Ó ¾º½ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö ØÖÙØÙÖ ÐÓ Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓº Æ Ë Ó ¾º¾ Ö Ú Ö ÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ Ù ÔÖÓÔÖ Ò Ó ÓÑÓØÓÔ ÒØÖ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ñ ÙÑ ÙÖÚ º Æ Ë Ó ¾º Ò Ö ÑÓ Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ø ÑÔÓ Ó Ö ÖÓÒØ Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ü ÑÔÐÓ ÑÔÐ º Æ Ë ¾º ¹¾º ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ø Ò Ô Ö ÐÙÐÓ Ó Ò Ñ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ø Ó Ñ Ô Ñ ÒØ Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÒÙÑ ÑÔÓ Ò Ð Ø Ó Ñ Ø ÖÑ Ò Ó Ó Ù Ð Ó Ò Ò ÓÖ Ñ Ù ÑÔÓ ÕÙ ÔÖ Ò Ô º Ø ÔÓÖ Ù Ú Þ ÔÓ Ö Ó Ø Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ó Ò Ù Ý Ø Ò ÐÙÐÓ Ö ÓÒ Ð Ó ÒØ ÕÙ Ö Ò Ó ÒÓ ØÖ Ð Ó Ó Ï Ò¹Ü Ò Ñ ½ ¾º Ò ÐÑ ÒØ Ò Ë Ó ¾º ÒÙÒ Ö ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒº

13 ¾º½ ØÖÙØÙÖ ÐÓ Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Æ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ô ØÓ Ó Ö ØÖÙØÙÖ ÐÓ Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð C 1 ÒÓ ÔÐ ÒÓº ÓÒ Ö ÑÓ v : U R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 Ñ ÕÙ U R 2 ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÖØÓ ÒÓ Ú Þ Óº ØÖ Ø Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (x 0,y 0 ) Ö ÒÓØ ÔÓÖ γ v (x 0,y 0 ) Ó ÙÜÓ Ó Ó Ó ÑÔÓ v Ö ÒÓØ Ó ÔÓÖ ϕ v º ÍÑ ÔÓÒØÓ (x,y) U Ñ Ó ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ v ÕÙ Ò Ó v(x,y) = 0 Ó ÓÒØÖ Ö Ó Þ ÑÓ ÕÙ (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö vº ÓÒ Ö v 1,v 2 : U R ÙÒ ÓÓÖ Ò v ÓÙ v(x,y) = (v 1 (x,y),v 2 (x,y)) Ô Ö ØÓ Ó (x,y) U M 0 U ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ vº Ñ ØÖ Þ Â Ó Ò Ó ÑÔÓ v ÒÓ ÔÓÒØÓ M 0 ÔÓÖ J v (M 0 ) = v 1 x (M 0) v 2 x (M 0) v 1 y (M 0) v 2 y (M 0) Ñ Ô ÖØ Ð Ò Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v ÐÙÐ Ñ M 0 º Ç ÕÙ Ð Ö Ó M 0 Ñ Ó Ô Ö Ð Ó ÙÑ Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ J v (M 0 ) Ø Ñ Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐ º Ó ÓÒØÖ Ö Ó Þ ÑÓ ÕÙ M 0 ÒÓ¹ Ô Ö Ð Óº Ç ÕÙ Ð Ö Ó M 0 Ñ Ó ÒÓ¹ Ò Ö Ó ÕÙ Ò Ó 0 ÒÓ ÙÑ ÙØÓÚ ÐÓÖ J v (M 0 )º ÍÑ Ô Ö ØÖ Þ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v Ö Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 ÙÑ Ö Ø γ Ó ÑÔÓ v Ø Ò Ò Ó Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 ÔÓ Ù Ò Ó ÙÑ Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓ Þ Ö ÕÙ γ(t) M 0 ÕÙ Ò Ó t ÓÙ t µ lim t γ(t) M 0 γ(t) M 0 ( Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ lim t ) γ(t) M 0 γ(t) M 0 Ü Ø º Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ J R 2 ÙÑ ÙÖÚ ÂÓÖ Ò ÕÙ Ò Ó Ü Ø Ö ÙÑ ÔÐ Ó ÓÒØ ÒÙ y : [a,b] R J Ñ ÕÙ y(b) = y(a) y(s) y(t) Ô Ö ØÓ Ó a s < t < bº ÓÒ Ö K U ÙÑ Ú Þ Ò Ò ÓÑÔ Ø M 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ Ò Ø Ð ÕÙ K ÙÑ ÙÖÚ Ö ÙÐ Ö ÂÓÖ Òº Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ Ü Ø ÙÑ ÔÐ Ó Ö Ò Ú Ð

14 χ : I K Ñ ÕÙ I ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Ö Ø Ö Ð R Ø Þ Ò Ó ÓÒ ÙÑ ÙÖÚ ÂÓÖ Ò ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ù ÙÒ ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ö Ú ÒÓ ÒÙÐ Ô Ö ØÓ Ó t Iº È Ö t I Ò Ö ÑÓ Ó Ú ØÓÖ T(t) := χ (t) χ (t) N(t) := T(t), ÒÓÑ Ò Ó Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ ÒÓÖÑ Ð ÙÖÚ K ÒÓ ÔÓÒØÓ t I Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ô ÖØ Ö Ò Ñ Ô Ö (x,y) K Ü Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ t I Ø Ð ÕÙ χ(t) = (x,y)º Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ v(x,y) = v(χ(t)) ÔÓÒØ Ô Ö ÓÖ K ÕÙ Ò Ó v(x,y) N(t) > 0 ÔÓÒØ Ô Ö ÒØÖÓ K ÕÙ Ò Ó v(x,y) N(t) < 0 Ø Ò ÒØ ÙÖÚ K ÕÙ Ò Ó v(x,y) N(t) = 0º Ç Ñ ÓÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ ÒØÖ Ó Ú ØÓÖ º Ò Ö ÑÓ Ù Ö Ó ØÓÖ Ó ÙÜÓ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Óº Ò Ó ¾º½º½º Ë Ñ v : U R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 M 0 U ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó vº Ë Ü Ø Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò ÓÑÔ Ø K U M 0 Ø Ð ÕÙ K ÙÑ ÙÖÚ Ö ÙÐ Ö ÂÓÖ Ò Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ v Ö ØÖ ØÓ Ó ÓÑÔ ØÓ K ÓÖÖ ÔÓÒ Ö ÙÑ Ó Ù ÒØ Ó µ ÙÑ ÒØÖÓ ØÓ Ö Ø Ñ K \{M 0 } Ó µ ÙÑ ÓÓ ÓÙ Ò ØÖ ØÓÖ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ K Ó ÑÔÓ v ÔÓÒØ Ô Ö ÒØÖÓ K Ô Ö ØÓ Ó (x,y) K \{M 0 } Ø ÑÓ ÕÙ ω(x,y) = M 0 γ v (x,y) K µ ÙÑ ÓÓ ÓÙ Ò Ö ÔÙÐ ÓÖ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ K Ó ÑÔÓ v ÔÓÒØ Ô Ö ÓÖ K Ô Ö ØÓ Ó (x,y) K \{M 0 } Ø ÑÓ ÕÙ α(x,y) = M 0 γ v (x,y) K º ÒØÓ Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ v Ö ØÖ ØÓ Ó ÓÑÔ ØÓ K ÔÓ Ù ÙÑ ÓÑÔÓ ¹ Ó ØÓÖ Ð ØÖ Ú Ðº Þ ÑÓ ÕÙ v Ö ØÖ ØÓ K ÔÓ Ù ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð ÒÓ¹ØÖ Ú Ð Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v ÒÓ ÔÓ Ù Ö ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð ØÖ ¹ Ú Ð Ö Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 Ü Ø Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ô Ö ØÖ Þ ÒÓØ ÔÓÖ L 0,...,L n 1 ÙÑ ÒØ Ö ÔØ Ò Ó K ØÖ Ò Ú Ö ÐÑ ÒØ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ P i ÓÑ ÔÖÓÔÖ ¹ ÕÙ ÒØÖ L i L i+1 ÓÑ L 0 = L n µ Ø ÑÓ ÙÑ Ù ÒØ ØÙ Ö Ö ÒØ Ó ØÓÖ Σ i Ò Ó Ô Ð Ö Ó ÓÑÔ Ø ÓÑÔÖ Ò ÔÓÖ L i L i+1 K M 0

15 µ Ë ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ØÖ ØÓÖ Ò Ø ØÓÖ Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v ÔÓÒØ Ô Ö ÒØÖÓ Ó Ö ÙÖÚ P i P i+1 K Ô Ö ØÓ Ó (x,y) Σ i \{M 0 } Ø ÑÓ ÕÙ ω(x,y) = M 0 γ v (x,y) K º Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º½ P i+1 K P i L i+1 L i M 0 ÙÖ ¾º½ Ë ØÓÖ È Ö Ð Ó ØÖ ØÓÖº µ Ë ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ö ÔÙÐ ÓÖ Ò Ø ØÓÖ Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v ÔÓÒØ Ô Ö ÓÖ Ó Ö ÙÖÚ P i P i+1 K Ô Ö ØÓ Ó (x,y) Σ i \{M 0 } Ø ÑÓ ÕÙ α(x,y) = M 0 γ v (x,y) K º Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º¾ P i+1 K P i L i+1 L i M 0 ÙÖ ¾º¾ Ë ØÓÖ È Ö Ð Ó Ê ÔÙÐ ÓÖº

16 µ Ë ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ò Ø ØÓÖ Ü Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Q i P i P i+1 K Ø Ð ÕÙ Ó Ö ÙÖÚ P i Q i K Ó ÑÔÓ ÔÓÒØ Ô Ö ÒØÖÓ Ø ØÓÖ Ó Ö ÙÖÚ Q i P i+1 K Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÒØ Ô Ö ÓÖ Ø ØÓÖº ËÓ Ö Ó ÔÓÒØÓ Q i Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓ Ù ÙÑ Ø Ò Ò ÜØ ÖÒ K ÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓ Þ ÑÓ ÕÙ γ v (Q i ) ÒÓ ÒØÖ Ò Ö Ó Σ i º Ð Ñ Ó Ô Ö ØÓ Ó (x,y) Σ i \{L i L i+1 Q i } Ø ÑÓ ÕÙ γ v (x,y) K ÔÓ Ù Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Óº Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º Q i P i+1 K Pi L i+1 L i M 0 ÙÖ ¾º Ë ØÓÖ À Ô Ö Ð Óº Úµ Ë ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ò Ø ØÓÖ Ü Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Q i P i P i+1 K Ø Ð ÕÙ γ v (Q i ) K ÓÑ α(q i ) = M 0 = ω(q i )º È Ö ØÓ Ó ÔÓÒØÓ (x,y) P i Q i K Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÒØ Ô Ö ÒØÖÓ ω(x,y) = M 0 Ô Ö ØÓ Ó (x,y) Q i P i+1 K Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÒØ Ô Ö ÓÖ Ø ØÓÖ α(x,y) = M 0 º ÆÓ Ñ ÔÓÒØÓ (x,y) Ø ØÓÖ Ø ÑÓ ÕÙ γ v (x,y) K ÓÑ α(x,y) = M 0 = ω(x,y)º Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º º ÉÙ Ò Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ø Ö ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð ÒÓ¹ØÖ Ú Ð Ò Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ e h p Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ô Ö Ð Ó Ô Ö Ð Ó ÓÑ Ö Ô ØÓ Ø ÕÙ Ð Ö Óº ÆÓ Ó ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð ØÖ Ú Ð ÒÓ Ü Ø Ñ ØÓÖ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ø Ñ Ò Ö ÓÒ Ö ÑÓ e = h = 0º Ü ÑÔÐÓ ¾º½º½º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ v(x,y) = (x, y)º ÓÖ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ø ÑÔÓ Ú ØÓÖ º Ë K Ö Ó ÓÑÔ Ø Ò

17 P i+1 Q i K P i L i+1 L i M 0 ÙÖ ¾º Ë ØÓÖ Ð ÔØ Óº Ô Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÒØÖ Ò ÓÖ Ñ R 2 º Ü Ø Ñ ÕÙ ØÖÓ Ô Ö ØÖ Þ Ñ K Ò Ó Ù Ö ÔÙÐ ÓÖ ÐÓ Ð Þ Ò Ö Ø y = 0 Ù ØÖ ØÓÖ ÐÓ Ð Þ Ò Ö Ø x = 0º ÄÓ Ó Ø ÕÙ Ð Ö Ó v ÔÓ Ù ÕÙ ØÖÓ ØÓÖ Ó ÖÚ ÕÙ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ñ ØÓÖ Ô Ö Ð Óº ÇÙ Ø ÑÓ e = 0 h = 4 p = 0º ÙÖ ¾º Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö ØÖ ØÓ Ø ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº ÙÖ ¾º Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ (x, y)º º Ç ÓÒ ØÓ ÓÖ Ó Ò Ø Ó ÔÓ Ñ Ö ÒÓÒØÖ Ó ÓÑ Ñ Ø Ð Ñ

18 ½¼ ¾º¾ Æ Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ Ë X = (X 1,X 2 ) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 L R 2 ÙÑ ÙÖÚ ÂÓÖ Ò Ø Ð ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ L ÒÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Xº Ò Ö ÑÓ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú L Ô ÐÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Óº Ó p ÙÑ ÔÓÒØÓ L ÓÒ Ö ÑÓ Ó Ú ØÓÖ X(p)º ÉÙ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ p Ô ÖÓÖÖ Ö ÙÖÚ L ÒÓ ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ö Ó Ó Ú ØÓÖ X(p) Ö ÑÙ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ º ÓÒ Ö ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ T : L S 1 Ò ÔÓÖ T(x,y) = (X 1(x,y),X 2 (x,y)), (x,y) L. (X 1 (x,y),x 2 (x,y)) ÉÙ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ p Ô ÖÓÖÖ ÙÑ ÚÓÐØ ÓÑÔÐ Ø ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ó Ñ L Ó Ú ØÓÖ T(p) Ô ÖÓÖÖ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÚÓÐØ Ñ S 1 Ø Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ó Ö Ù ÔÐ Ó T º Ò Ö ÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X Ó Ö ÙÖÚ L ÓÑÓ Ò Ó Ó Ö Ù ÔÐ Ó T ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ ρ(x,l) ÓÙ ρ((x 1,X 2 ),L)º Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º½º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ X(x,y) = ( x,y)º Ë L : θ [0,2π] (cosθ, Òθ) ÙÑ ÙÖÚ Ù Ú Ñ R 2 º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ρ(x,l) Ô Ö Ø Ð Ò b 0 = (1,0) b 1 = (0,1) b 2 = ( 1,0) b 3 = (0, 1) ÔÓÒØÓ Ò ÙÖÚ Lº ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ T(b 1 ) = T(1,0) = ( 1,0), T(b 2 ) = T(0,1) = (0,1), T(b 3 ) = T( 1,0) = (1,0), T(b 4 ) = T(0, 1) = (0, 1). ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ p Ô ÖÓÖÖ ÙÑ ÚÓÐØ ÓÑÔÐ Ø Ñ L ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ T(p) Ô ÖÓÖÖ ÙÑ Ò ÚÓÐØ ÓÑÔÐ Ø Ñ S 1 ÒÓ ÒØ Ó ÓÖ Ö Ó ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ρ(( x,y),l) = 1º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º½º Ç Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ Ó Ö ÙÑ ÙÖÚ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÑÙ Ò Ð ÓÑ ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ö ÜÓ (x,y) ( x,y) ÓÙ (x,y) (x, y) Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ º

19 ½½ ÑÓÒ ØÖ Ó Ë ÑX = (X 1,X 2 ) ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ ÑR 2 LÙÑ ÙÖÚ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ º Ò Ó ÑÔÓY = ( X 1,X 2 ) ÔÐ T X,T Y : L S 1 ÔÓÖ T X (x,y) = (X 1(x,y),X 2 (x,y)) (X 1 (x,y),x 2 (x,y)), T Y(x,y) = ( X 1(x,y),X 2 (x,y)), (x,y) L. ( X 1 (x,y),x 2 (x,y)) ÓÒ Ö p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ö ÙÖÚ L ÒØÓ Ó Ú ØÓÖ T Y (p) S 1 ÙÑ Ö ÜÓ Ó Ö Ó ÜÓ y Ó Ú ØÓÖ T X (p)º ÉÙ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ p Ô ÖÓÖÖ ÙÑ ÚÓÐØ ÓÑÔÐ Ø Ó Ö ÙÖÚ L ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ó Ø ÑÓ ÕÙ T X (p) T Y (p) Ô ÖÓÖÖ ÖÓ ÙÑ Ñ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÚÓÐØ Ñ S 1 ÔÓÖ Ñ Ñ ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Óº Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ö Ù ÔÐ Ó T X Ù Ð Ó Ö Ù ÔÐ Ó T Y ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ ¹½º ÈÓÖØ ÒØÓ ρ((x 1,X 2 ),L) = ρ(( X 1,X 2 ),L), ÑÓ ØÖ Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Óº Ç Ó Z = (X 1, X 2 ) Ò ÐÓ Óº Ç ÖÚ ÕÙ Ñ Ñ ÔÐ Ó T ÔÓ Ö Ú Ø ÓÑÓ ÙÑ Ñ Ò Ó Ó Ñ S 1 Ò ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [t 1,t 2 ]º ÍÑ ÙÒÓ Ò ÙÐÓ Ô Ö Ó Ñ Ò Ó T ÙÑ ÙÒÓ â : [t 1,t 2 ] R ÕÙ Ø Þ Ù Ð T(t) = e iâ(t) Ô Ö t [t 1,t 2 ]º Ì Ð ÙÒÓ Ø ÖÑ Ò ÒÓ Ù ÒØ ÒØ Ó b ÓÙØÖ ÙÒÓ Ò ÙÐÓ Ô Ö Ó Ñ Ò Ó T ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ n Ø Ð ÕÙ â(t) = b(t)+2nπ Ô Ö ØÓ Ó t [t 1,t 2 ]º ÓÑÓ T ÙÑ Ñ Ò Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ T(t 1 ) = T(t 2 )º ÒØÓ e iâ(t 1) = T(t 1 ) = T(t 2 ) = e iâ(t 2), ØÓ ÑÔÐ ÕÙ â(t 2 ) â(t 1 ) ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒØ ÖÓ 2π ÒÓ Ô Ò ÓÐ ÙÒÓ Ò ÙÐÓº Ç Ò Ñ ÖÓ ÚÓÐØ ÕÙ Ó Ñ Ò Ó T Ñ ÚÓÐØ ÓÖ Ñ ÓÙ Ó Ö Ù ÔÐ Ó Ì Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ â(t 2) â(t 1 ) º Ë Ù ÔÓÖØ ÒØÓ ÕÙ 2π ρ(x,l) = â(t 2) â(t 1 ). ¾º½µ 2π Ø Ù Ð ÒÓ ÙÜ Ð Ö Ò ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó

20 ½¾ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º¾º Ë X = (X 1,X 2 ) ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 º ÒØÓ ÑÓÒ ØÖ Ó ρ(x,l) = 1 darctan 2π L ( X2 Ë θ : [t 1,t 2 ] R ÙÑ ÙÒÓ Ò ÙÐÓ Ô Ö T º È Ð Ò Ó ÔÐ Ó T ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö T(t) = (x(t),y(t)) Ñ ÕÙ X 1 ). x(t) = X 1 (t) X 2 1 (t)+x 2 2(t) y(t) = X 2 (t) X 2 1 (t)+x 2 2(t), t [t 1,t 2 ]. ÓÑÓ Ó ÑÔÓ X ÒÓ ÒÙÐ Ó Ö ÙÖÚ L Ù ÕÙ X1(t)+X 2 2(t) 2 0 Ô Ö ØÓ Ó t [t 1,t 2 ]º Á ØÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ ÙÒ x,y ØÓ Ñ Ò Ó Ð C 1 ÔÓ X 1,X 2 Ø Ñ Ñ Óº Ö Ú Ò Ó x = rcosθ y = r Òθ Ñ ÕÙ r 2 = x 2 +y 2 Ó Ø ÑÓ Ù ÒØ Ö Ð Ó Ö Ú Ö x y Ñ ÙÒÓ t x = r cosθ rθ Òθ, y = r Òθ +rθ cosθ ÄÓ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ñ Ó Ø ÑÓ 1 darctan 2π L ( X2 X 1 ) = 1 2π = 1 2π = 1 2π L t2 t 1 t2 ( y darctan x) ( xy yx t 1 θ (t)dt = θ(t 2) θ(t 1 ), 2π x 2 +y 2 ) dt Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÔÓÖ ¾º½µº Ù Ö ÒÙÒ Ö ÑÓ Ð ÙÑ ÔÖÓÔÓ Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ X Ó Ö D Ñ ÕÙ D Ö Ó ÕÙ Ö Ö Ø ÒÓ Ô Ö Ö Ó Ù ÒØ º Ì ÔÖÓÔÓ ¹ ÖÓ ÑÙ ØÓ Ø Ò Ó Ù ÒØ Ô Ö ÑÓÒ ØÖ ÖÑÓ ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö ÒØ Ö Ô ØÓ Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Xº Ò Ó ¾º¾º½º ÍÑ Ö Ó Ð Ñ Ø A R n ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü ÕÙ Ò Ó A ÓÖ

21 ½ ÓÒ ÜÓ ÔÓÖ Ñ Ò Ó Ó ÖÙÔÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð A Ó ØÖ Ú Ðº ÍÑ Ö Ó Ð Ñ Ø ÕÙ ÒÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü º ÓÒ Ö ÑÓ D R 2 ÙÑ Ö Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü ÓÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü Ø Ð ÕÙ X ÒÓ Ø Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ D D ÓÑÔÓ Ø ÔÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ n ÙÖÚ ÂÓÖ Ò Ð C 1 D = n i=1 D iµº ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú D i Ò ÑÓ Ó ÕÙ Ñ ÔÓÒØÓ D i Ó Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ ÒÓÖÑ Ø ÙÖÚ ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÔÓ Ø Ú Ô Ö R 2 Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÔÓÒØ ÑÔÖ Ô Ö ÒØÖÓ Ö Ó Dº Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º º Ø Ñ Ò Ö Ú ÑÓ Ò Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X Ó Ö D ÓÑÓ Ò Ó ρ(x, D) = n ρ(x, D i ). i=1 ¾º¾µ ÙÖ ¾º ÇÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú ÖÓÒØ Ö Ñ ÙÑ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ë Ñ X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓº Ë D = D 1 D 2 Ñ ÕÙ D 1,D 2 Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓÒ ÜÓ R 2 Ø ÕÙ intd 1 intd 2 = ÒØÓ ρ(x, D) = ρ(x, D 1 )+ρ(x, D 2 ). ÑÓÒ ØÖ Ó ÆÓ Ó Ñ ÕÙ D 1 D 2 = Ó Ö ÙÐØ Ó Ù Ö Ø Ñ ÒØ ¾º¾µº Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ø Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ö Ó ÖÓÒØ Ö Ñ ÓÑÙÑ ÓÖ ÒØ Ó ÙÖÚ Ó ÓÔÓ Ø Ñ Ú ÔÐ Ó T Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ X Ó Ö D 1

22 ½ D 2 ÒÙÐ ¹ Ò ÖÓÒØ Ö Ñ ÓÑÙÑ Ó ÓÑ ÖÑÓ ρ(x, D 1 )+ρ(x, D 2 )º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ë Ñ D ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÔ ØÓ R 2 X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓº Ë X ÒÓ ÔÓ Ù Ö ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ D ÒØÓ ρ(x, D) = 0º ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ D ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓº ÓÑÓ D Ó Ð Ñ Ø Ó X ÙÑ ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ ÒÓ ÓÒØ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ D ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÖØÓ U ÓÒØ Ò Ó D Ø Ð ÕÙ X ÒÓ ÔÓ Ù ÕÙ Ð Ö Ó Ñ Uº Ë p Dº È Ð ÓÒØ ÒÙ Ó ÑÔÓ X Ü Ø δ p > 0 Ø Ð ÕÙ B(p,δ p ) U Ø Ð ÕÙ Ó q S(P,δ q ) Ó Ø ÑÓ X(q) X(q) X(r) X(r), Ô Ö ØÓ Ó r S(p,δ p )º Ë Ù ÔÓÖØ ÒØÓ ÕÙ ρ(x, D) = 0º È Ö ÔÓÒØÓ p D ÓÒ Ö B(p,δ p ) ÓÑ ÔÖÓÔÖ Ñ º ÄÓ Ó ÙÒ Ó ÓÐ B(p,δ p ) ÙÑ Ó ÖØÙÖ ÖØ D ÓÑÓ D ÓÑÔ ØÓ Ü Ø Ñ ÔÓÒØÓ p i Ø ÕÙ ÙÒ Ó ÓÐ B(p i,δ pi ) i = 1,...,n ÓÖÑ Ñ ÙÑ Ó ÖØÙÖ ÖØ Ô Ö Dº ÈÓÖ ÙÒ ÒØ Ö ÓÐ ÔÓ Ú Ð ÒÓÒØÖ Ö ÓÒ ÙÒØÓ A 1,...,A s Ø ÕÙ D = s j=1 A j A i A j =, i j ρ(x, A j ) = 0, j = 1,...,s. Ç Ö ÙÐØ Ó Ù Ô Ð ÈÖÓÔÖ ¾º¾º º ÆÓ Ó Ñ ÕÙ D ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ø Ú Ö Ö Ó Ñ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø Ù ¹Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü Ù Ö ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÑÓÒ ØÖ Ó Ñ Ù ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ò Ó ¾º¾º¾º Ë Ñ X,Y : R 2 R 2 ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ D R 2 ÓÑÔ ØÓ Ø ÕÙ X Y ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ Dº ÍÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ Ó ÑÔÓ X Ô Ö Ó ÑÔÓ Y Ó Ö D ÙÑ Ñ Ð {Z λ : 0 λ 1} ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ Ñ R 2 ÕÙ Ú Ö Ñ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ö Ô ØÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ λ Ø ÕÙ Z 0 (x,y) = X(x,y) e Z 1 (x,y) = Y(x,y), (x,y) D. Ë Ô Ö 0 λ 1 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Z λ ÒÓ Ø Ñ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ D Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X Y Ó ÓÑÓØ Ô Ó Ñ Dº

23 ½ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ë Ñ X,Y : R 2 R 2 ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ D R 2 Óѹ Ô ØÓº Ë X Y Ó ÓÑÓØ Ô Ó Ó Ö D ÒØÓ ρ(x, D) = ρ(y, D)º ÑÓÒ ØÖ Ó Ë Z λ ÓÑÓØÓÔ ÒØÖ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X Y Ó Ö Dº ÓÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ Ó Ö D ÙÑ ÒØ ÖÓ Z λ Ú Ö ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ö Ð Ó λ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ô ÖÑ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ ÒØ ÓÑÓØÓÔ º ÈÓÖØ ÒØÓ ρ(x, D) = ρ(z 0, D) = ρ(z 1, D) = ρ(y, D), ÓÒÐÙ Ò Ó ÔÖÓÚ º Ù Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ë Ñ X,Y : R 2 R 2 ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ D R 2 Óѹ Ô ØÓº Ë X,Y ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ö D Ó Ø ÕÙ X(x, y) X(x,y) Y(x,y), (x,y) D, Y(x,y) ÒØÓ ρ(x, D) = ρ(y, D)º ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓÖ ÈÓ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ ÒØÖ X Y Ñ D Z λ (x,y) = (1 λ)x(x,y)+λy(x,y), (x,y) R 2. Ñ Ð {Z λ : 0 λ 1} ÓÒ ØÖÙ Ñ Ñ Ó ÕÙ ÙÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ ÙÑ ÓÑÓØÓÔ ÒØ X Y Ò ÖÓÒØ Ö Dº ØÓ ÙÔÓÒ ÕÙ Ü Ø Ñ 0 < λ < 1 (x,y) D Ø ÕÙ 0 = Z λ (x,y) = (1 λ)x(x,y)+λy(x,y)º Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ X(x, y) X(x,y) = (1 λ)x(x,y) (1 λ) X(x,y) = λy(x,y) λ Y(x,y) = Y(x,y) Y(x,y), ÕÙ Ð ÙÑ ÓÒØÖ Óº ÆÓ Ó λ = 0 λ = 1 Ó ÑÔÓ Z λ Ó ÑÔÓ X Y Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ô Ø ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÕÙ Ð Ö Ó Ò ÖÓÒØ Ö Dº ÙØ Ð Þ Ò Ó ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º ÈÓÖØ ÒØÓ

24 ½ ¾º Ç Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ë X = (X 1,X 2 ) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ ÓÑ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ M 0 = (x 0,y 0 )º ÒØÓ Ü Ø r > 0 Ø Ð ÕÙ Ó ÑÔÓ X ÒÓ Ø Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ Ö M 0 ÒÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ B(M 0,r)º ÓÒ Ö ÑÓ 0 < δ 1 < δ 2 < r ÕÙ ÕÙ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ B(M 0,δ 1 ) B(M 0,δ 2 )º ÒØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º Ø ÑÓ ÕÙ ρ(x, B(M 0,δ 2 )) = ρ(x, (B(M 0,δ 2 )\B(M 0,δ 1 )))+ρ(x, B(M 0,δ 1 )). ÓÑÓ Ó ÑÔÓ X ÒÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ö Ó B(M 0,δ 2 )\B(M 0,δ 1 ) Ù Ô Ð ÈÖÓÔÖ ¾º¾º ÕÙ ρ(x, (B(M 0,δ 2 )\B(M 0,δ 1 ))) = 0º ÈÓÖØ ÒØÓ ρ(x, B(M 0,δ 2 )) = ρ(x, B(M 0,δ 1 )). Á ØÓ ÒÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ X Ó Ö ÖÙÒ Ö Ò (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = δ 2 Ò Ô Ò ÓÐ δ 0 < δ < rº Ò Ó ¾º º½º Ë X = (X 1,X 2 ) ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð C 1 Ò Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ R 2 ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ñ M 0 R 2 º ÒØÓ Ü Ø r > 0 Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó 0 < δ < r Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ρ(x, B(M 0,δ)) ÓÒ Ø ÒØ º Ø ÒØ ÖÓ ρ(x, B(M 0,δ)) Ö Ñ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 Ó ÑÔÓ X Ó ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ i X (M 0 ) ÓÙ i (X1,X 2 )(M 0 )º ÒÙÒ Ö ÑÓ Ù Ö Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÒØ Ó Ö Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 = (x 0,y 0 ) Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Xº ÍÑ Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ Ò Ü ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ó ÕÙ Ö ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö Ø Ö ÙÐØ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ò Ñ Ñ ÑÔÐ Ó ÕÙ ÙØ Ð Þ Ù Ù ÐÑ ÒØ Ñ Ð ÚÖÓ ÕÙ Ö Ò º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½º Ë Ñ X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 D R 2 ÙÑ Ö Ó Ð Ñ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ü ÓÑ ÖÓÒØ Ö ÓÑÔÓ Ø ÔÓÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÙÖÚ ÂÓÖ Ò Ð C 1 º Ë ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ D Ü Ø Ñ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÑÓ M 1,...,M n Ó Ö ÖÓÒØ Ö D ÒÓ

25 ½ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó X ÒØÓ ρ(x, D) = n i X (M j ). j=1 ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ ÕÙ Ð Ö Ó M j Ó ÑÔÓ X Ò Ö Ó D ÓÐ Ó Ü Ø δ j Ø Ð ÕÙ ÓÐ B j := B(M j,δ j ) D ÒÓ ÓÒØ Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó X ÒÓ Ö Ó ÔÖ ÔÖ Ó M j B j B k = Ô Ö j kº ÄÓ Ó Ô Ð ÈÖÓÔÓ ¾º¾º ¾º¾º Ô Ð Ò Ó Ò Ó Ø ÑÓ ( ( ( ( n n )) ρ(x, D) = ρ X, D \ B j ))+ρ X, B j = = n ρ(x, B j ) j=1 n i X (M j ). j=1 j=1 j=1 ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ø ÑÓ ØÖ Óº Î ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X Ø Ò ÙÑ Ö Ø ÑÓ γº Ø ØÓ ÒÓ ÑÔÐ ÕÙ Ñ ÔÓÒØÓ γ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ø Ò ÒØ Ø Ö Ø º ÄÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ X Ó Ö Ö Ø ½º ÒØÓ Ò Ò Ó ÓÑÓ U Ö Ó ÖØ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ γ ÙÔÓÒ Ó ÕÙ Ñ U ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÑÓ M 1,...,M n Ù Ö Ø Ñ ÒØ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½ ÕÙ n i X (M j ) = 1. j=1 ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ½º Ð Ñ Ó Ø Ö ÙÐØ Ó ÒÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ñ U ÑÔÖ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ ÔÓ Ó ÒÓ Ø Ö ÑÓ Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó Ö Ö Ø Ö Þ ÖÓ Ó ÕÙ ÙÑ ÙÖ Óº ÈÓÖØ ÒØÓ ÑÓÒ ØÖ ÑÓ Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ Ò Ü ÓÒµº Ë X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 º Ë X Ø Ñ ÙÑ Ö Ø γ ÒØÓ Ñ U Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ X Ñ ÕÙ U Ö Ó ÖØ Ð Ñ Ø ÔÓÖ γº

26 ½ Ü ÑÔÐÓ ¾º º½º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X 1 : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ X 1 (x,y) = ( y,x)º Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÓÖ Ñ O ÓÑÓ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ø Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓº ÈÓÖØ ÒØÓ i X1 (O) = 1º ÆÓ Ö ÙÐØ Ó Ù Ö Ö Ø Ð Ò ÖÑÓ ÙÒÓ Ò : R R ÔÓÖ Ò(x) = 1, x < 0; 0, x = 0; 1, x > 0; ÓÒ ÓÑÓ ÙÒÓ Ò Ðº ÔÖÓÔÖ ÕÙ ÖÓ ÒÙÒ Ù Ö ÖÓ ÒÓ ÙÜ Ð Ö ÒÓ ÐÙÐÓ Ó Ò ÕÙ Ð Ö Ó Ð ÙÒ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÐ Ò Ö º ÓÒ ¹ Ö ÑÓ X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 M 0 ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Xº ÈÖÓÔÖ ¾º º½º i (ax1,x 2 )(M 0 ) = Ò(a)i (X1,X 2 )(M 0 ) Ô Ö ØÓ Ó a 0º ÑÓÒ ØÖ Ó Ò Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Y : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ Y = ( a X 1,X 2 )º Ç ÖÚ Ò Ó ÕÙ a 0 Ó Ø ÑÓ ÕÙ M 0 Ø Ñ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö Y º ÄÓ Ó Ü Ø δ > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ø Ð ÕÙ M 0 Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ X Y ÒÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ B(M 0,δ)º ËÓ Ö S(M 0,δ) Ú ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ ÒØÖ Ó ÑÔÓ X Y ÔÓÖ Z λ (x,y) = ((1 λ(1 a ))X 1,X 2 ), (x,y) R 2, 0 λ 1. ÍÑ ÓÒØ ÑÔÐ ÑÓ ØÖ ÕÙ ÓÖÑ Ó Z λ ÒÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ö S(M 0,δ) Ô Ö ØÓ Ó 0 λ 1º Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ó ÑÔÓ X Y Ó ÓÑÓØ Ô Ó Ó Ö S(M 0,δ)º È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º Ó Ø ÑÓ i (X1,X 2 )(M 0 ) = i ( a X1,X 2 )(M 0 ). ÑÓÒ ØÖ Ó Ø Ö ÓÒÐÙ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º½º ÈÖÓÔÖ ¾º º¾º i (X1,X 2 )(M 0 ) = i (X2,X 1 )(M 0 )º ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Y = ( X 2,X 1 ) Ò Ó Ñ R 2 º Ç ÔÓÒØÓ M 0 Ø Ñ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö Y º ÒØÓ Ü Ø δ > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ

27 ½ Ø Ð ÕÙ M 0 Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ X Y ÒÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ B(0,δ)º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ (x,y) S(M 0,δ) Ø Ð ÕÙ (X 1 (x,y),x 2 (x,y)) (X 1 (x,y),x 2 (x,y)) = ( X 2(x,y),X 1 (x,y)) ( X 2 (x,y),x 1 (x,y)). Á ØÓ ÒÓ ÑÔÐ ÕÙ X 1 (x,y) = X 2 (x,y) X 2 (x,y) = X 1 (x,y) Ñ Ó Ø ÑÓ ÕÙ X 1 (x,y) = X 2 (x,y) = 0 ØÓ (x,y) ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ X Y Ó ÕÙ ÙÑ ÙÖ Óº ÄÓ Ó Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º Ù ÕÙ i (X1,X 2 )(M 0 ) = i ( X2,X 1 )(M 0 ). Ç Ö ÙÐØ Ó Ù ÙØ Ð Þ Ò Ó ÈÖÓÔÖ ¾º º½º ÈÖÓÔÖ ¾º º º i (X1,X 2 )(M 0 ) = i (X1 +X 2,X 2 )(M 0 )º ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ M 0 ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ X = (X 1,X 2 ) Ø ÑÓ ÕÙ M 0 Ø Ñ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ Y = (X 1 + X 2,X 2 )º Ñ Ü Ø r > 0 Ø ÕÙ X Y ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ B(M 0,r) ÒÓ Ö M 0 º ËÓ Ö S(M 0,r) ÓÒ Ö ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ X Ô Ö Y ÔÓÖ Z λ (x,y) = (X 1 (x,y)+λx 2 (x,y),x 2 (x,y)), (x,y) R 2, 0 λ 1. Ç ÖÚ ÕÙ Ø ÓÖÑ Ó ÙÑ ÓÑÓØÓÔ º ÄÓ Ó Ú ÈÖÓÔÖ ¾º º½ Ó Ö ÙÐØ Ó Ú Ð Óº Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ò Ð ÙÒ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÐ Ò Ö ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÑÓ ØÖ Ñ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º¾º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X 2 : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ X 2 (x,y) = (λ 1 x,λ 2 y) Ô Ö λ 1 λ 2 0º Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÓÖ Ñ O ÓÑÓ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Óº Ç ÖÚ ÕÙ λ 1 λ 2 < 0 O Ó Ø ÔÓ Ð λ 1 λ 2 > 0 ÓÖ Ñ Ó Ø ÔÓ Ò º Î ÑÓ

28 ¾¼ ÐÙÐ Ö Ó Ò ÑÔÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ñ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾º º½º i X2 (O) = i (λ1 x,λ 2 y)(o) = Ò(λ 1 )i (x,λ2 y)(o) = Ò(λ 1 )i (λ2 y,x)(o) = Ò(λ 1 λ 2 )i (y,x) (O) = Ò(λ 1 λ 2 )i ( y,x) (O) = Ò(λ 1 λ 2 )i X1 (O) = Ò(λ 1 λ 2 ). ÄÓ Ó ÒÓ Ó Ñ ÕÙ O ÙÑ Ð Ó Ò Ù Ð 1 ÒÓ Ó Ñ ÕÙ O ÙÑ Ò Ó Ò Ù Ð 1º Ü ÑÔÐÓ ¾º º º Ë X 3 : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ó ÔÓÖ X 3 (x,y) = (µ 1 x µ 2 y,µ 2 x + µ 1 y) Ô Ö µ 1 µ 2 0º Ç ÖÚ ÕÙ ÓÖ Ñ O Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ø ÑÔÓ Ó Ø ÔÓ ÓÓº ÓÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ò ÑÔÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ò Ó Ü ÑÔÐÓ ¾º º½º i X3 (O) = i (µ1 x µ 2 y,µ 2 x+µ 1 y)(o) = i ( µ 2 1 x µ 1 µ 2 y µ 1, µ2 2 x+µ 1 µ 2 y µ 2 ) (O) = Ò(µ 1 µ 2 )i (µ 2 1 x µ 1 µ 2 y,µ 2 2 x+µ 1µ 2 y)(o) = Ò(µ 1 µ 2 )i ( µ 2 1 x µ 2 2 x+µ2 2 x+µ 1µ 2 y,µ 2 2 x+µ 1µ 2 y)(o) = Ò(µ 1 µ 2 )i (x,µ 2 2 x+µ 1 µ 2 y)(o) = Ò(µ 1 µ 2 )i (µ 2 2 x+µ 1 µ 2 y,µ 2 2 x) (O) = Ò(µ 1 µ 2 )i (µ1 µ 2 y,µ 2 2 x) (O) = i ( y,µ 2 2 x)(o) = i ( y,x) (O) = i X1 (O) = 1. ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ò Ø ÓÓ ½º Æ Ë Ó ¾º ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ð ÙÑ Ø Ò Ô Ö Ó ÐÙÐÓ Ó Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ò Ð Ø Ó º È Ö Ø Ð ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ó Ò Ù Ý Ó ÕÙ Ð Ö ÑÓ ØÖ Ð Ö Ò Ë Ó ¾º º

29 ¾½ ¾º Ò Ù Ý Ë Ñ p,q : R R ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ó ÔÓÖ k 1 l 1 p(t) = a i t k i, q(t) = b j t l j, t R. i=1 j=1 Ø ÕÙ a 0 b 0 Ó ÒÓ ÒÙÐÓ º Þ ÑÓ ÕÙ t 0 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð Ô Ö ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð q/p ÕÙ Ò Ó ÙÑ Ù ÒØ ØÙ ÓÒØ Ñ lim t t 0 q(t) p(t) =, lim t t + 0 q(t) p(t) =, ÓÙ lim t t 0 q(t) p(t) =, lim t t + 0 q(t) p(t) =. Ë Ñ t i Ô Ö i = 1,...,η 1 s j Ô Ö j = 1,...,η 2 Ó ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð q/p Ø ÕÙ lim t t i lim t s j q(t) p(t) =, lim t t + i q(t) =, lim p(t) t s + j q(t) p(t) =, i = 1,...,η 1; q(t) p(t) =, j = 1,...,η 2. Ç Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ η 1 η 2 Ö ÒÓÑ Ò Ó Ò Ù Ý Ô Ö ÙÒÓ q/p Ö ÒÓØ Ó ÔÓÖ N(p,q)º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p q Ò Ó Ñ ÒÓ Ø Ò Ñ Þ ÖÓ Ö Ñ ÓÑÙѺ ÍÑ ÓÒ Ó Ò Ö Ù ÒØ Ô Ö t 0 Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð Ô Ö ÙÒÓ q/p t 0 Ö ÙÑ Þ ÖÓ ÑÔÐ ÓÙ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÑÔ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó pº ØÓ ÙÔÓÒ ÕÙ t 0 ÙÑ Þ ÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÑÔ Ö p ÓÑÓ t 0 ÒÓ ÙÑ Þ ÖÓ Ô Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó q Ó Ø ÑÓ ÕÙ q(t 0 ) < 0 ÓÙ q(t 0 ) > 0º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ q(t 0 ) < 0 ÒØÓ lim t t 0 q(t) p(t) = ±, lim t t + 0 q(t) p(t) =. ÄÓ Ó t 0 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð Ô Ö ÙÒÓ q/p Ó ÓÙØÖÓ Ó

30 ¾¾ Ò ÐÓ Óº Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÙÔÓÒ ÕÙ t 0 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð Ô Ö ÙÒÓ q/p ÒÓ ÙÑ Þ ÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÑÔ Ö Ô Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó pº ÒØÓ t 0 ÒÓ ÙÑ Þ ÖÓ ÓÙ ÙÑ Þ ÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö pº Å Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ Ó t 0 ÒÓ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð Ô Ö q/pº Å ØÓ ÙÑ ÙÖ Ó ÔÓÖØ ÒØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º Ù Ö ÒÙÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ó Ò Ù Ýº Ì Ö ÙÐØ Ó ÖÓ Ø Ò Ù ÒØ Ñ ÕÙ Ù Ö ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÖÑÙÐ Ô Ö Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÖØÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ò Ù Ýº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½º Ë Ñ p,q : R R ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù k l Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë p q ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Þ ÖÓ Ö Ñ ÓÑÙÑ ÒØÓ N(p,q) k ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Öº ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ k ÑÔ Öº ÓÒ Ö d ÓÑÓ Ò Ó ÕÙ ÒØ Þ ÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÑÔ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó pº ÓÑ k ÑÔ Ö Ó Ø ÑÓ ÕÙ d ÑÔ Öº ÓÑÓ p q ÒÓ Ø Ñ Þ ÖÓ Ñ ÓÑÙÑ Ó Ø ÑÓ Ô Ð ÖÑ Ó Ñ ÕÙ ÙÒÓ q/p ÔÓ Ù d ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ðº Å d = η 1 + η 2 ÑÔ Ö ÐÓ Ó N(p,q) = d 2η 2 ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Öº ÓÖÑ Ò ÐÓ ÔÓ ÑÓ ØÖ Ö Ø Ö ÙÐØ Ó Ô Ö k Ò Ó ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Öº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾º Ë Ñ p,q : R R ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù k l Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ñ a 0 b 0 Ó Ó ÒØ Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù p q Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓ 1 darctan π ( ) q(t) = p(t) Ò(a 0 b 0 ) N(p,q), l k > 0 ÒØ ÖÓ ÑÔ Öº N(p,q), Ó ÓÒØÖ Ö Óº ÑÓÒ ØÖ Ó q/pº Ò Ë Ñ λ 1,...,λ s Ó ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð ÙÒÓ ε i = ε + i = 1, lim t λ i 1, lim t λ i 1, lim t λ + i 1, lim t λ + i q(t) p(t) = q(t) p(t) =, q(t) p(t) = q(t) p(t) =,

31 ¾ ε = ε + = q(t) 1, lim t 1, lim t p(t) = q(t) p(t) =, q(t) 1, lim t p(t) = q(t) 1, lim t p(t) =. ÉÙ Ò Ó t Ú Ö ÒØÖ λ i λ i+1 Ø Ò ÒØ tan(q(t)/p(t)) Ú Ö ÒØÖ ( ε + i π/2,ε i+1 π/2) º Ø ØÓ ÑÔÐ ÕÙ 1 λi+1 ( ) q(t) darctan π λ i p(t) = 1 π ( π 2 ε i+1 π 2 ε+ i ) = ε i+1 ε+ i 2, i = 1,...,s. ÄÓ Ó Ó Ø ÑÓ Ó l k 0 Ø ÑÓ ÕÙ 1 λs ( ) q(t) darctan = 1 π λ 1 p(t) 2 q(t) lim t ± p(t) s (ε i+1 ε+ i ). Ò ØÓº Ò Ò Ó θ = lim t ± arctan(q(t)/p(t)) Ó Ø ÑÓ i=1 1 ( ) q(t) darctan π p(t) = 1 ( λ1 ) ( ) q(t) + darctan + 1 s (ε i+1 π λ s p(t) 2 ε+ i ) i=1 = 1 ( π π 2 ε 1 θ +θ π ) 2 ε+ s + 1 s (ε i+1 2 ε+ i ) = 1 2 = 1 2 ( ε 1 ε + s ) i=1 s (ε i+1 ε+ i ) i=1 s ε i ε + i = N(q,p). i=1 ÉÙ Ò Ó l k ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö ÒØÓ ε = ε + Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÓÖÑ Ò ÐÓ Ó Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÑ Ò Ó ÒØ Ö º ÉÙ Ò Ó l k ÙÑ ÒØ ÖÓ ÑÔ Ö ÔÓ Ø ÚÓ ÒØÓ

32 ¾ ε = Ò(a 0 b 0 ) ε + = Ò(a 0 b 0 )º Æ Ø Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ò(a 0 b 0 ) = 1 2 (ε+ ε ). Ë Ù ÕÙ ( 1 λ1 + π Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÓÑ Ò Ó ÒØ Ö º λ s ) ( ) q(t) darctan = 1 p(t) 2 (ε 1 ε + s )+sgn(a 0 b 0 ). ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ë Ñ p,q : R R ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù k l Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ù ÒØ ÖÑ Ó Ú Ö Ö µ N(p,q)+N(q,p) = 1 ( 1)l k 2 µ N(p,q) min{k,l+1}º ÑÓÒ ØÖ Ó 1 darctan π Ë Ù ÒØÓ ÕÙ = = 1 π Ò(a 0 b 0 ) µ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ( ) p(t) = q(t) ( darctan Ò(a 0 b 0 ) N(q,p), k l > 0 ÒØ ÖÓ ÑÔ Öº N(q,p), ( ) q(t) +darctan p(t) Ó ÓÒØÖ Ö Óº ( )) p(t) = q(t) Ò(a 0 b 0 ) N(q,p) N(p,q), l k > 0 ÒØ ÖÓ ÑÔ Ö N(q,p) N(p,q), l k > 0 ÒØ ÖÓ Ô Ö N(q,p) N(p,q), l k < 0 ÒØ ÖÓ Ô Ö Ò(a 0 b 0 ) N(q,p) N(p,q), l k < 0 ÒØ ÖÓ ÑÔ Öº Ò(a 0 b 0 ) N(q,p) N(p,q), l k ÒØ ÖÓ ÑÔ Ö N(q,p) N(p,q), = Ò ( (1 ( 1) l k )a 0 b 0 ) N(p,q) N(q,p). l k ÒØ ÖÓ Ô Ö ÓÖ Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ó Ð Ó ÕÙ Ö Ó ÕÙ Ó Ñ Þ ÖÓº ÈÓÖ ÔÖÓÔÖ

33 ¾ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ø ÑÓ ÕÙ arctan(x) + arctan ( ) 1 = x π/2, x < 0 π/2, x > 0, ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º 1 ( darctan π ( ) q(t) +darctan p(t) ( )) p(t) = 0, q(t) µ ÈÓÖ ÙÑ Ð Ó Ó ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð ÙÒÓ p/q Ó Ò ¹ Ö Ñ ÒØ Þ ÖÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó pº Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ N(p,q) = η 1 η 2 η 1 +η 2 kº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ù Ò Ó Ó Ø Ñ µ Ø ÔÖÓÔÓ Ó Ó Ø ÑÓ N(p,q) N(q,p) + Ò(a 0 b 0 ) l +1. ÈÓÖØ ÒØÓ N(p,q) = min{k,l+1}º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ë Ñ p,q : R R ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù k l Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p q ÒÓ ÔÓ Ù Ñ Þ ÖÓ Ö Ñ ÓÑÙÑ ØÓ Ó Ó Þ ÖÓ p Ñ ÑÔÐ ÑÓ t 1,...,t s º ÒØÓ N(p,q) = s Ò(p (t i )q(t i )). i=1 ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÓÖ Ô Ø t i ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÑÙ Ò Ò Ð Ô Ö q/pº Ò ε i,ε+ i ÓÑÓ ÒÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾º Î ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ Ò(p (t i )q(t i )) = 1 2 (ε+ i +ε i ), i = 1,...,s. ÓÒ Ö t i ÓÖÑ ÕÙ lim t t i q(t) p(t) = lim t t + i q(t) p(t) =.

34 ¾ Æ Ø Ó ε i = 1 ε + i = 1 ÓÙ Ø ÑÓ ÕÙ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ò(p (t i )q(t i )) = 1 ÓÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ p (t i )q(t i ) > 0º ËÙÔÓÒ ÔÓÖ ÙÖ Ó ÕÙ p (t i ) > 0 q(t i ) < 0º ÒØÓ Ü Ø δ > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ø Ð ÕÙ p Ö ÒØ q ÒÓ Ø Ò Þ ÖÓ Ñ (t i δ,t i +δ)º Ð Ñ Ó q(t)/p(t) < 0 Ñ (t i δ,t i ) q(t)/p(t) > 0 Ñ (t i,t i +δ)º ÒØÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ (t i δ,t i ) Ó Ø ÑÓ ÕÙ q(t) < 0 ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ p(t) > 0 Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ñ (t i,t i +δ) Ó Ø ÑÓ ÕÙ q(t) < 0 ØÓ ÑÔÐ ÕÙ p(t) < 0 Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓº Ê ÙÑ Ò Ó ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ p(t) Ö ÒØ Ñ (t i δ,t i +δ) ÙÑ ÙÖ Óº ÓÖÑ Ò ÐÓ Ó Ø ÑÓ ÓÒØÖ ÒÓ Ñ Ó Ú Ð Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Óº Î ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÙÑ Ú Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ù ÒØ ÓÖÑ q = pw 0 u 1 p = u 1 w 1 u 2 u 1 = u 2 w 2 u 3 º u j = u j+1 w j+1 u j+2, j = 1,...,r º u r+1 = 0. Ç ÖÚ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ø ÓÙ Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ r Ø Ð ÕÙ u r+1 = 0º Æ Ø ÓÒ ØÖÙÓ ÓÒ Ö α j t m j ÓÑÓ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ Ð Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó w j Ô Ö ØÓ Ó j = 1,...,rº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º ÓÒ Ö Ú Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ ÒØÓ N(p,q) = r j=1 ( 1) m j 1 2 Ò(α j ). ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ q(t) p(t) = w 0(t) u 1(t) p(t), ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ N(p,q) = N(p,u 1 )º Ç ÖÚ ÕÙ Ó ÕÙÓ ÒØ p/u 1 Ø Ñ ÓÑÓ Ø ÖÑÓ Ð Ö

35 ¾ α 1 t m 1 º È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º Ó Ø ÑÓ ÕÙ N(p,u 1 )+N(u 1,p) = 1 ( 1)m 1 2 Òα 1. ÄÓ Ó Ó Ø ÑÓ N(p,q) N(u 1,p) = ( 1)m Òα 1. Ë Ù Ò Ó Þ Ò Ó Ó ÕÙÓ ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó u 1 Ó Ø ÑÓ p(t) u 1 (t) = w 1(t) u 2(t) u 1 (t), ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ N(u 1,p) = N(u 1,u 2 )º ÓÑÓ Ó ÕÙÓ ÒØ u 1 /u 2 Ø Ñ ÓÑÓ Ø ÖÑÓ Ð Ö α 2 t m2 Ù Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º ÕÙ N(u 1,u 2 )+N(u 2,u 1 ) = 1 ( 1)m 2 2 Òα 2, ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ N(u 1,p) N(u 2,u 1 ) = ( 1)m Òα 2. ÈÓÖ ÙÑ ÔÖÓ Ó Ò ÙÓ Ó Ø ÑÓ N(u j,u j 1 ) N(u j+1,u j ) = ( 1)m j Òα mj+1, j = 2,3,...,r 1. Å ÔÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ Ú Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ Ø ÑÓ ÕÙ u r 1 = u r (t)w r º ÒØÓ Ó ÕÙÓ ÒØ u r 1 /u r = w r ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ N(u r,u r 1 ) = 0º ÈÓÖØ ÒØÓ Ù ÕÙ N(p,q) = ( 1)m = ( 1)m º = = r j=1 r j=1 ( 1) m j 1 2 ( 1) m j 1 2 Òα 1 +N(u 1,p) Òα 1 + ( 1)m Òα j +N(u r,u r 1 ) Òα j. Òα 2 +N(u 2,u 1 )

36 ¾ ÓÑÓ Ú ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º ¾º ÐÙÐÓ Ó Ò Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ò Ð Ø Ó Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Φ : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ Φ(x,y) = (f(x,y),g(x,y)) Ò Ð Ø Ó ÕÙ Ò Ó f,g ÓÖ Ñ ÙÒ Ò Ð Ø Ò Ú Ö Ú x,yº Ë Φ = (f,g) ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ø Ó M 0 = (x 0,y 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Φº ÜÔ Ò Ò Ó f,g Ñ Ö Ì ÝÐÓÖ Ó Ö ÓÖ Ó ÔÓÒØÓ M 0 Ó Ø ÑÓ f(x,y) = P m (x x 0,y y 0 )+ f(x x 0,y y 0 ) g(x,y) = Q n (x x 0,y y 0 )+ g(x x 0,y y 0 ), Ñ ÕÙ P m,q n Ó Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ m,n Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ö Ì ÝÐÓÖ f g m,n Ó Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑÓ Ó Ñ ÒÓÖ Ö Ù ÓÑ Ó ÒØ ÒÓ ÒÙÐÓ Ò ÜÔ Ò Ó Ô Ö f gº Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ P m Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÓÑ Ó ÒØ ÒÓ ÒÙÐÓ Ò ÜÔ Ò Ó Ñ Ö Ì ÝÐÓÖ f ÒÓ ÔÓÒØÓ M 0 Q n Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÓÑ Ó ÒØ ÒÓ ÒÙÐÓ Ò ÜÔ Ò Ó Ñ Ö Ì ÝÐÓÖ g ÒÓ ÔÓÒØÓ M 0 º Ñ f g Ó Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö ÓÖ Ò ÜÔ Ò Ó f gº Ç ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÐV(x,y) = (P m (x x 0,y y 0 ),Q n (x x 0,y y 0 )) Ñ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ô Ö Ó ÑÔÓ Φ Ö Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 = (x 0,y 0 )º Ç ÖÚ ÕÙ ÓÖ Ñ O ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ V Ö Ð ÓÒ Ó ÓÑ Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 Ó ÑÔÓ Φº Ì ÓÖ Ñ ¾º º½º Ë Φ = (f,g) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ø Ó M 0 = (x 0,y 0 ) ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Φº Ë ÓÖ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð V ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ó ÑÔÓ Φ Ö Ð ÓÒ Ó ÓÑ M 0 ÒØÓ M 0 ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ Φº Ð Ñ Ó i Φ (M 0 ) = i (Pm,Q n)(o). ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ Ó ÑÔÓ V Ô Ö Ó ÑÔÓ Φ Ò ÔÓÖ Z λ (x,y) = (f λ (x,y),g λ (x,y)) Ñ ÕÙ

37 ¾ f λ (x,y) = P m (x x 0,y y 0 )+λ f(x x 0,y y 0 ) g λ (x,y) = Q n (x x 0,y y 0 )+λ g(x x 0,y y 0 ), 0 λ 1. Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø r > 0 Ø Ð ÕÙ ÓÖÑ Ó Z λ ÒÓ ÒÙÐ ÒÓ Ó Ó B[M 0,r] Ü ØÓ Ñ M 0 º Î ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ø ØÓ ÔÓÖ ÓÒØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ò {(x k,y k )} Ø Ò Ò Ó Ô Ö ÓÖ Ñ ÙÑ ÕÙ Ò {λ k } ÓÑ 0 λ 1 Ñ ÕÙ Z λk (x k,y k ) = 0. ¾º µ Ö Ú Ò Ó x k x 0 = σ k cosθ k y k y 0 = σ k Òθ k, k = 1,2,... Ó Ø ÑÓ lim k σ k = 0º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ö Ø Ò ÕÙ Ó ¾º µ ÒÓÒØÖ ÑÓ 0 = f λk (x k,y k ) = P m (x k x 0,y k y 0 )+λ k f(xk x 0,y k y 0 ) = P m (σ k cosθ k,σ k Òθ k )+λ k f(σk cosθ k,σ k Òθ k ) = σ m k P m (cosθ k, Òθ k )+λ k f(σk cosθ k,σ k Òθ k ) = P m (cosθ k, Òθ k )+ λ k σ m k f(σ k cosθ k,σ k Òθ k ) 0 = g λk (x k,y k ) = Q n (cosθ k, Òθ k )+ λ k g(σ σk n k cosθ k,σ k Òθ k ) Æ ÕÙ Ò {(cosθ k, Òθ k )} Ü Ø ÙÑ Ù ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ô Ö (cosθ, Òθ) Ò ÕÙ Ò {λ k } Ø Ñ Ñ Ü Ø ÙÑ Ù ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ ÓÒÚ Ö Ô Ö λ Ñ ÕÙ 0 λ 1º È Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ò ÕÙ Ñ Ó Ø ÑÓ P m (cosθ, Òθ) = 0 = Q n (cosθ, Òθ). ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ð Ò y/ Òθ = x/cosθ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð V ÓÒØÖ Þ Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Vº Á ØÓ ÔÖÓÚ ÕÙ

38 ¼ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ Z λ ÒÓ ÒÙÐ Ñ B[M 0,r] Ü ØÓ Ñ M 0 ÙÑ ÓÑÓØÓÔ ÒØÖ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ V Φ Ó Ö ÙÖÚ S(M 0,r)º ÈÓÖØ ÒØÓ i Φ(x,y) (M 0 ) = i (Pm(x x 0,y y 0 ),Q n(x x 0,y y 0 ))(O) = i (Pm(x,y),Q n(x,y))(o). ÐØ Ñ Ù Ð ÕÙ Ó Ñ Ú Ð ÔÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÒÙÓ ÒÚ Ö ÒØ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó ÜÓ º Ç Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ÒÓ Ö ÑÙ ØÓ Ø Ð Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ò Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ò Ð Ø Ó º Æ Ó Ù ÒØ Ú Ö ÑÓ ÓÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ Ô Ð ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó º ¾º ÐÙÐÓ Ó Ò Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Æ Ø Ó Ú ÑÓ Ó Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ðº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½º Ë (P m,q n ) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ ÕÙ P m Q n Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù m n Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë ÓÖ Ñ O R 2 ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó (P m,q n )º ÒØÓ P m Q n ÒÓ Ø Ñ ØÓÖ Ñ ÓÑÙÑ P m (1,0) Q n (1,0) ÒÓ ÔÓ Ñ ÒÙÐ Ö ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Ó Ù ÒØ ÓÖÑ ÓÑÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P m Q n Ó ÓÑÓ Ò Ó ÔÓ ÑÓ Ö Ú ¹ÐÓ P m (x,y) = Q n (x,y) = m a m ii x i y m i i=0 n b n jj x j y n j. j=0 ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ P m Q n Ø Ò Ñ ÙÑ ØÓÖ Ñ ÓÑÙÑ ÑÓ x k y l Ô Ö k 0 l 0 k,l ÒÓ ÒÙÐ Ò Ó ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º ÒØÓ P m (x,y) = x k y l P(x,y) Q n (x,y) = x k y l Q(x,y),

39 ½ ÑÓ ØÖ Ò Ó ÕÙ Ö Ø x = 0 ÓÙ Ö Ø y = 0 ÒÙÐ Ñ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P m Q n º ÄÓ Ó ÓÖ Ñ ÒÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ (P m,q n ) ÙÑ ÙÖ Óº Î ÑÓ ÓÖ ÔÖÓÚ Ö ÙÒ Ô ÖØ Ø ÔÖÓÔÓ Óº ËÙÔÓÒ ÕÙ P m (1,0) = 0 = Q n (1,0)º Ë Ù ÒØÓ ÕÙ a 0m = 0 = b 0n º ÄÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ y ÙÑ ØÓÖ Ñ ÓÑÙÑ Ô Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P m Q n Ô Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÔÖÓÔÓ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÙÖ Óº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾º Ë (P m,q n ) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ ÕÙ P m Q n Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù m n Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÖ Ñ O R 2 ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó (P m,q n )º Æ Ø Ó ÓÖ Ñ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ (P m,q n )º ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ (c,d) ÓÙØÖÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ (P m,q n ) Ð Ñ ÓÖ Ñº ÒØÓ (tc,td) Ô Ö t R ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó (P m,q n )º ÄÓ Ó ÓÖ Ñ O ÒÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó (P m,q n ) ÙÑ ÙÖ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º½º Ë (P m,q n ) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ ÕÙ P m Q n Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù m n Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÖ Ñ O R 2 ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó (P m,q n )º Ë ÓÖ Ñ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ (P m,q n ) ÒØÓ i (Pm,Q n)(o) = 0, m+n ÑÔ Ö N(P m (t,1),q n (t,1)), m+n Ô Ö P m (1,0) 0; N(Q n (t,1),p m (t,1)), m+n Ô Ö Q n (1,0) 0. ÑÓÒ ØÖ Ó Ç Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó O Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ (P m,q n ) Ó Ö ÖÙÒ Ö Ò x 2 +y 2 = 1 ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ö ÖÙÒ Ö Ò ÒÓ Ü Ø Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ü ØÓ Oº È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º¾ Ø ÑÓ ÕÙ i (Pm,Q n)(o) = 1 2π = 1 2π = 1 2π ( ) Qn (x,y) darctan x 2 +y 2 =1 P m (x,y) π ( ) Qn (cosθ, Òθ) darctan π P m (cosθ, Òθ) ( 0 π ) + darctan π 0 ( Qn (cosθ, Òθ) P m (cosθ, Òθ) Ñ ÕÙ Ò ÙÒ Ù Ð ÕÙ Ó Ñ Ö Ð Þ ÑÓ ÙÑ ÑÙ Ò ÓÓÖ Ò x = cosθ y = Òθ ÓÑ π θ πº Ê Ð Þ Ò Ó ÙÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð Ò ÔÖ Ñ Ö ),

40 ¾ ÒØ Ö Ð ØÓÑ Ò Ó ϕ = θ+π Ó Ø ÑÓ 0 π darctan ( ) Qn (cosθ, Òθ) P m (cosθ, Òθ) = = π 0 π 0 ( ) Qn (cosϕ π, Òϕ π) darctan P m (cosϕ π, Òϕ π) ( ) Qn ( cosϕ, Òϕ) darctan. P m ( cosϕ, Òϕ) Ó m+n ÙÑ ÒØ ÖÓ ÑÔ Ö Ú ÑÓ ÙÑ Ö ÕÙ m ÑÔ Ö n Ô Ö ÓÙØÖÓ Ó Ò ÐÓ Óµº ÓÑÓ P m Q n Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ø ÑÓ ÕÙ P m ( x, y) = P m (x,y) Q n ( x, y) = Q n (x,y), x,y R. ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ø ÑÓ i (Pm,Q n)(o) = 1 ( π 2π 0 = 1 ( π 2π 0 = 1 ( π 2π 0 = 0. ( ) Qn (cosθ, Òθ) darctan + P m (cosθ, Òθ) ( ) Qn (cosθ, Òθ) darctan + P m (cosθ, Òθ) ( ) Qn (cosθ, Òθ) darctan P m (cosθ, Òθ) π 0 π 0 π 0 ( )) Qn ( cosϕ, Òϕ) darctan P m ( cosϕ, Òϕ) ( darctan Q )) n(cosϕ, Òϕ) P m (cosϕ, Òϕ) ( )) Qn (cosϕ, Òϕ) darctan P m (cosϕ, Òϕ) Ó m+n ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Ö ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ð ÒØ ÙÒ ÒØ Ö Ð ÔÓ Ù Ø ØÙ Ó ϕ = θ+πº ÈÓÖ Ó i (Pm,Q n)(o) = 1 π π 0 darctan ( ) Qn (cosθ, Òθ). P m (cosθ, Òθ) Ò Ó ÒØ ÖÓ b = (m n)/2 ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð t = cosθ/ Òθº ÒØÓ Ó Ø ÑÓ P m (cosθ, Òθ) = Ò m θp m (t,1) Q n (cosθ, Òθ) = Ò n θq n (t,1).

41 ÄÓ Ó Ó Ø ÑÓ i (Pm,Q n)(o) = 1 π = 1 π ( darctan darctan Ë P m (1,0) 0 Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P m (t,1) mº Ò n m (θ) Q ) n(cosθ/ Òθ,1) P m (cosθ/ Òθ,1) ( (t 2 +1) bq ) n(t,1). P m (t,1) ÉÙ Ò Ó b > 0 Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó (t 2 + 1) b Q n (t,1) ÑÔÖ Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð 2b + n = m n+n = mº Ë Ù ÒØÓ ÕÙ È Ð ÈÖÓÔÖ ¾º º¾ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ù ( (t 2 +1) b Q n (t,1) ) Ö Ù (P m (t,1)). i (Pm,Q n)(o) = 1 π ( darctan (t 2 +1) bq ) n(t,1) P m (t,1) = N(P m (t,1),(t 2 +1) b Q n (t,1)). Ò Ð Ò Ó Ó ØÓÖ(t 2 +1) b ÕÙ ÒÓ Ò Ù Ò ÒÓ ÐÙÐÓ Ó Ò Ù Ý ÒÓÒØÖ ÑÓ i (Pm,Q n)(o) = N(P m (t,1),q n (t,1)), P m (1,0) 0. Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ø Ö ÙÐØ Ó ÕÙ Ò Ó b < 0º ÆÓ Ó Q n (1,0) 0 Ó ÖÚ ÕÙ i (Pm,Q n)(o) = i (Qn,P m)(o) = N(Q n (t,1),p m (t,1)), Q n (1,0) 0, ÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Óº Ñ Ö ÙÑÓ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó M 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ø Ó Φ Ñ Ø Ö ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö ÓM 0 = (x 0,y 0 ) Ô Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÐΦ Ó ÐÙÐÓ Ó Ò ÑM 0 ØÓØ ÐÑ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ¾º º½º Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö (P m,q n ) m + n ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Öº ÒØÓ Ó Ò i (Pm,Q n)(o) Ø Ñ Ñ Ñ Ô Ö Ó ÒØ ÖÓ m n Ú Ð

42 ÕÙ i (Pm,Q n)(o) min{m,n}. ÑÓÒ ØÖ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ÖÑ ÕÙ ÉÙ Ò Ó P m (1,0) 0 Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P m (t,1) m Ó i (Pm,Q n)(o) = N(P m (t,1),q n (t,1)). È Ð ÈÖÓÔÖ ¾º º½ Ø ÑÓ ÕÙ i O (P m,q n ) ÔÓ Ù Ñ Ñ Ô Ö Ó ÒØ ÖÓ m nº È Ð ÈÖÓÔÖ ¾º º Ø ÑÓ ÕÙ i(pm,q n)(o) min{m,n+1}. Ë Q n (1,0) = 0 ÒØÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Q n (t,1) Ø Ñ Ö Ù Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð n 1 ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ i (Pm,Q n)(o) nº Ó Q n (1,0) 0 Ø ÑÓ ÕÙ i (Pm,Q n)(o) = N(Q n (t,1),p m (t,1)) ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ i(pm,q n)(o) min{n,m+1}º ÈÓÖØ ÒØÓ i O (P m,q n ) min{n,m}, Ó ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÑÓÒ ØÖ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ º À Ó Ñ ÕÙ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ò ÓÖ Ñ Ó ÑÔÓ ÕÙ ÔÖ Ò Ô ÒÓ ÓÐ Óº Æ Ø Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ÒÓ ÔÐ º Î ÑÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ù Ö Ü ÑÔÐÓ ¾º º½º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ((x 1)(y 1),(y 1) 2 (x 1) 4 )º Ç ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ò Ø Ó Ö Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ó M 0 = (1,1) (P 2 (x,y),q 2 (x,y)) Ñ ÕÙ P 2 (x,y) = xy Q 2 (x,y) = y 2, ÕÙ ÒÓ Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñº ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÐÙÐ Ö Ó Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ Ó ÓÑÓ ÒÓ Ü Ñ¹ ÔÐÓ ¾º º½ Ö Ö Ð Þ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó ÒÚÓÐÚ Ó ÔÓÖ Ó Ï Ò¹Ü Ò Ñ ½ ¾

43 ÓÒ Ó ÓÑÓ ÐÙÐÓ Ö ÓÒ Ðº Ë Ñ P i,q j : R 2 R ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù i j Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö i = m,...,n 1 j = n,...,n 2 Ò P(x,y) = Q(x,y) = N 1 i=m N 2 j=n P i (x,y) Q j (x,y), (x,y) R 2. ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð (P,Q) ÒÓ Ø Ò ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ö ÖÙÒ Ö Ò x 2 +y 2 = r 2 r > 0 ØÓ Ó Ù ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ x 2 +y 2 < r 2 Ó ÓÐ Ó º Ç ÖÚ ÕÙ P(0,r) Q(0,r) ÒÓ ÔÓ Ñ Ö Þ ÖÓ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð Ú ÑÓ ÙÑ Ö ÕÙ P(0,r) 0º Ì ÓÖ Ñ ¾º º º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð (P,Q) Ò Ó Ñ º ÓÑ Ó Ò ØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ (P,Q) Ñ x 2 +y 2 < r 2 ÔÓÖ [ 1 N1 ] 2 N N 2 r i (t 2 +1) N1 i P i (2t,t 2 1), r j (t 2 +1) N2 j Q j (2t,t 2 1) i=m ÑÓÒ ØÖ Ó j=n Ë I ÓÑ ØÓ Ó Ó Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ (P,Q) Ñ x 2 +y 2 < r 2 ØÓ I Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ (P,Q) Ó Ö ÖÙÒ ¹ Ö Ò x 2 +y 2 = r 2 ÓÖ ÒØ ÒÓ ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓº ËÓ Ö ÖÙÒ Ö Ò x 2 +y 2 = r 2 ÓÒ Ö x = r Òθ y = rcosθ ÓÑ 0 θ 1º Ò Ò Ó t = tan(θ/2) Ó Ø ÑÓ 2tr t 2 +1 = 2rtan ( θ 2) tan 2( θ 2 ) +1 = 2rtan( θ 2 sectan ( θ 2 ) ) = 2rcos ( ) θ Ò 2 ( ) θ = r Òθ, 2 (t 2 1)r t 2 +1 = r( tan 2( ) ) θ 2 1 sec 2( θ 2 ) = r( Ò 2( θ 2 ) ( )) cos 2 θ ( ) ) 2 θ cos 2 = rcosθ. 2 cos 2( θ 2

44 Ë Ù ÒØÓ I = 1 ( ) Q(x,y) darctan 2π x 2 +y 2 =r P(x,y) 2 = 1 π ( ) Q(r Òθ, rcosθ) darctan 2π π P(r Òθ, rcosθ) ( ) = 1 darctan Q 2tr, (t2 1)r t 2 +1 t 2 +1 ( ). 2π P 2tr, (t2 1)r t 2 +1 t 2 +1 ÓÑÓ P(0,r) 0 Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P Ø Ñ ÙÑ Ø ÖÑÓ ÓÑ y Ô Ò Ñ xº ÇÙ ( ) P ÓÒØ Ñ Ð ÙÑ Ø ÖÑÓ ÓÖÑ 2tr, (t2 1)r t 2 +1 t 2 +1 Ò Ò Ó (t 2 1) (t 2 +1) ri, m i N 1. ( ) u(t) = (t 2 +1) N 1+N 2 2tr P t 2 +1, (t2 1)r, t 2 +1 ( ) v(t) = (t 2 +1) N 1+N 2 2tr Q t 2 +1, (t2 1)r, t 2 +1 Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó u Ù Ð 2(N 1 + N 2 i) + 2i = 2(N 1 + N 2 )º ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó v Ø Ñ Ö Ù Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð 2(N 1 +N 2 ) ÓÑ Ù Ð ÓÑ ÒØ Q(0,r) 0º ÇÙ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ö Ù v Ö Ù uº È Ð ÈÖÓÔÖ ¾º º¾ Ó Ø ÑÓ I = 1 2π = 1 darctan 2π = 1 2 N(u,v) ( darctan (t2 +1) N 1+N 2 Q ( (t 2 +1) N 1+N 2P ( ) v(t) u(t) = 1 2 N [(t 2 +1) N 1+N 2 P ) y t 2 +1 ) 2tr, (t2 1)r t tr, (t2 1)r t 2 +1 t 2 +1 ( ) ( )] 2tr t 2 +1, (t2 1)r,(t 2 +1) N 1+N 2 2tr Q t 2 +1 t 2 +1, (t2 1)r. t 2 +1

45 ÆÓ Ò Ù Ý Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ð Ö Ó ØÓÖ (t 2 +1) N 2 (t 2 +1) N 1 º ÒØÓ I = 1 ( ) ( )] [(t 2 N 2 +1) N 1 2tr P t 2 +1, (t2 1)r,(t 2 +1) N 2 2tr Q t 2 +1 t 2 +1, (t2 1)r t 2 +1 [ = 1 N1 ] 2 N N 2 r i (t 2 +1) N1 i P i (2t,t 2 1), r j (t 2 +1) N2 j Q j (2t,t 2 1). i=m ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ø ÔÖÓÚ Óº j=n Ì ÓÖ Ñ ¾º º º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ (P,Q) Ò Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ë ÓÖ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ (P N1,Q N2 ) ØÓ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó (P,Q) Ø Ñ Ñ Ñ ÓÐ Ó ÒØÓ ÓÑ Ó Ò ØÓ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó (P,Q) ÔÓÖ I = i (PN1,Q N2 )(O). ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ ÓÖ Ñ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ (P N1,Q N2 ) P N1 Q N2 Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù N 1 N 2 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ø ÑÓ ÕÙ ÒÓ ÓÙØÖÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö Ø ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ðº ÈÓÖ Ô Ø Ø ÑÓ Ø Ñ Ñ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð (P,Q) Ø Ñ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÕÙ Ð ¹ Ö Ó ÑÓ M k Ô Ö k = 1,...,sº ÄÓ Ó Ü Ø r > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ø Ð ÕÙ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó M k (P,Q) Ø Ñ ÓÒØ Ó Ñ x 2 +y 2 < r 2 º Î ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ (P N1,Q N2 ) Ô Ö (P,Q) ÔÓÖ ( P N1 +λ N 1 1 i=m N 2 1 P i,q N2 +λ Ó Ö ÙÖÚ x 2 +y 2 = r 2 º Ç ÖÚ ÕÙ ( P N1 (x,y)+λ N 1 1 i=m P i (x,y)) 2 + ( j=n Q j ) Q N2 (x,y)+λ, 0 λ 1, N 2 1 j=n Q j (x,y)) 2 0, Ô Ö ØÓ Ó (x,y) {(u,v) : u 2 +v 2 = r 2 } ØÓ Ó 0 λ 1º ÄÓ Ó (P N1,Q N2 ) ÓÑÓØ Ô Ó (P,Q) ÔÓÖØ ÒØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ø Ú Ð Óº

46 Ü ÑÔÐÓ ¾º º¾º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð (P,Q) Ò Ó Ñ ØÓ Ó R 2 Ó ÔÓÖ P(x,y) = xy Q(x,y) = y 2 x 4. Î ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ò Ø ÑÔÓ Ò ÓÖ Ñº Ë Ñ Ð Ö Ó ÑÓ ØÖ Ó ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ¾º º½ Ó ÑÔÓ ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ó O Ó ÑÔÓ (P,Q) ÒÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñº Ñ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ò Ù Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º º Ç ÖÚ ÕÙ Ó ÑÔÓ (P,Q) ÒÓ ÔÓ Ù ÓÙØÖÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ Ö ÓÖ Ñ Ñ¹ ÔÐ Ò Ó ÕÙ Ó Ò Ø ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ (P,Q) Ó Ö ÖÙÒ Ö Ò x 2 + y 2 = 1º Ç ÖÚ Ø Ñ Ñ ÕÙ Q(0,1) 0º Ç Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÑÔÐ ÕÙ [ 4 ] i (P,Q) (O) = 1 2 N j=2(t 2 +1) 4 j Q j (2t,t 2 1),P 2 (2t,t 2 1) = 1 2 N ( (t 2 +1) 2 Q 2 (2t,t 2 1)+Q 4 (2t,t 2 1),P 2 (2t,t 2 1) ) = 1 2 N ( (t 2 +1) 2 (t 2 1) 2 (2t) 4,2t(t 2 1) ) = 1 2 N ( t 8 18t 4 +1,2t 3 2t ) = 2. ¾º Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ Ì ÓÖ Ñ Ò Ò Ü ÓÒµº Ë X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö Ð C 1 Ø Ò Ó ÓÖ Ñ O ÓÑÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Óº ÒØÓ i X (O) = 1+ e h 2, Ñ ÕÙ e h p Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ô Ö Ð Ó Ô Ö Ð Ó Ö Ô Ø Ú ¹ Ñ ÒØ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ Ò Oº ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ X ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò O Ø Ò ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð ØÖ Ú Ð ÓÙ Ó ÕÙ Ð Ö Ó O X Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ÓÓ ÓÙ Ò º Ó O ÙÑ ÒØÖÓ ÒØÓ Ü Ø ÙÑ Ö Ø X ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ù Ò¹ Ø Ñ ÒØ ÔÖ Ü Ñ Oº ÄÓ Ó i X (O) = 1 Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º

47 ÆÓ Ñ Ó Ñ E O ÙÑ Ó ÖØÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñ Ø Ð ÕÙ ÖÓÒØ Ö E O ÙÑ ÙÖÚ ÂÓÖ Ò Ð C 1 º ËÙÔÓÒ ÕÙ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ø ÔÓ ÓÓ ØÖ ØÓÖ ÒØÓ O ÙÑ ÔÓÒØÓ ω¹ð Ñ Ø ØÖ Ø Ö γ X (x,y) Ô Ö ØÓ Ó (x,y) E O \{O}º ËÓ Ö E O ÓÒ ØÖÙ ÙÑ ÓÑÓØÓÔ Ó ÑÔÓ X Ô Ö ÙÑ ÑÔÓ Y Ø Ð ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Y ÒÓ Ø Ò ÒØ E O º ÄÓ Ó 1 = i Y (O) = i X (O)º ÈÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÓÖÑ Ò ÐÓ ÒÓ Ó Ñ ÕÙ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ X Ñ E O Ó Ø ÔÓ ÓÓ Ö ÔÙÐ ÓÖ Ò ØÖ ØÓÖ ÓÙ Ò Ö ÔÙÐ ÓÖº Î ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ Ó ÙÜÓ X ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò O Ø Ò ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð ÒÓ¹ ØÖ Ú Ðº ÓÑÓ E O ÙÑ ÙÖÚ ÂÓÖ Ò X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 ÓÖ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó X Ü Ø Ñ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓÖ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ X Ñ E O ÙÑ ÔÖÓÚ Ø ÖÑ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ º ÔÖÓÚ Ø Ö ÙÐØ Ó Ö Ø ÙÔÓÒ Ó ÕÙ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X ÒÙÑ Ú Þ ¹ Ò Ò ÓÖ Ñ ÔÓ Ù Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó ÙÑ Ô Ö Ð Ó ÙÑ Ô Ö Ð Óº Ó ÒÓ Ü Ø Ð ÙÑ Ø Ø ÔÓ ØÓÖ Ò ÓÑÔÓ Ó Ó ÙÜÓ Ø ÓÒ ¹ Ö Ö Ô ÖØ ÓÒ ØÖÙ Ò Ø ÑÓÒ ØÖ Ó ÒÚÓÐÚ Ò Ó¹Óº Ë Ñ L 1,...,L n Ô Ö ØÖ Þ Ó ÑÔÓ X Ñ E O Ò Ó ÒÓØ ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Óº È Ö r = 1,...,n ÓÒ Ö Ó ÔÓÒØÓ p r L r Ò Ó Ù ÒØ ÓÖÑ L r ÙÑ Ñ ¹ Ö Ø ØÖ ØÓÖ Ñ E O Ò ÑÓ p r ÓÑÓ Ò Ó Ó ÐØ ÑÓ ÔÓÒØÓ L r ÕÙ ÒØ Ö ÔØ E O ØÓ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ L r ÔÓ p r ÕÙ Ò Ó t Ö Ñ ÓÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ E O º Ò ÐÓ Ñ ÒØ L r ÙÑ Ñ ¹ Ö Ø Ö ÔÙÐ ÓÖ Ñ E O Ò ÑÓ p r Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó L r ÓÑ E O º ÄÓ Ó Ü Ø ǫ > 0 Ø Ð ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X ÒÙÒ Ø Ò Ò ÙÖÚ ÓÖÑ ÔÓÖ E O B(p r,ǫ) Ñ ÕÙ B(p r,ǫ) Ó Ó ÖØÓ ÒØÖ Ó Ñ p r ÓÑ Ö Ó ǫº Î ÑÓ Ò Ö âb Ó ÖÓ ÖÙÐ Ö Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ a Ô Ö Ó ÔÓÒØÓ b Ñ ÕÙ a,b E Oº È Ö k = 1,...,p Ú ÑÓ Ò Ö Σ P k Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ X ÓÒØ Ó Ñ E O Ò Ó Ô Ð Ô Ö ØÖ Þ L k L k+1 º Æ Ø ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÓÒ Ö p k p k+1 Ó ÖÓ ÖÙ¹ Ð Ö Ò Ó p k Ô Ö p k+1 ÓÐ Ó ÔÓÒØÓ p k E O B(p k,ǫ) p k+1 E O B(p k+1,ǫ)º È Ö i = 1,...,h Ú ÑÓ Ò Ö Σ H i Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ X ÓÒØ Ó Ñ E O Ò Ó Ô Ð Ô Ö ØÖ Þ L i L i+1 º ÓÐ p i E O B(p i,ǫ) p i+1 E O B(p i+1,ǫ) Ø Ð ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ö Ø γ Ó ÑÔÓ X Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ p i,p i+1º Ò ÙÖÚ C i Ò Ò Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ p i ÕÙ Ó Ò ÓÑ Ö Ø γ Ø Ó ÔÓÒØÓ p i+1º ÓÒ Ö Ø Ñ Ñ

48 ¼ Ó ÖÓ ÖÙÐ Ö p i p i p i+1 p i+1º È Ö j = 1,...,e Ú ÑÓ Ò Ö Σ E j Ó ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ó ÑÔÓ X ÓÒØ Ó Ñ E O Ò Ó Ô Ð Ô Ö ØÖ Þ L j L j+1 º ÓÐ p j E O B(p j,ǫ) p j+1 E O B(p j+1,ǫ) Ø Ð ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ö Ø γ Ó ÑÔÓ X Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ p j,p j+1º Ò ÙÖÚ D j Ò Ò Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ p j ÕÙ Ó Ò ÓÑ Ö Ø γ Ø Ó ÔÓÒØÓ p j+1º ÓÒ Ö Ø Ñ Ñ Ó ÖÓ ÖÙÐ Ö p j p j p j+1 p j+1 º Î ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÙÖÚ L Ù ÒØ Ñ Ò Ö p p k+1 k+1 p i+1 p j+1 p j+1 p i+1 L L k+1 L j+1 i+1 Σ P k Σ H i Σ E j p k p j p i L k L i L p j k p i p j ÙÖ ¾º ÙÖÚ L Ñ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö ÓÖ Ñº L = ( p k=1 ( h ) ( e p k p k+1 ) p i p i C i p i+1 p i+1 i=1 j=1 p j p j D i p j+1 p j+1 ) Ç ÖÚ ÕÙ L ÙÑ ÙÖÚ ÓÖ ÒØ ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ó ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ Ù ÖÓÒØ Ö º ÄÓ Ó i X (O) = ρ(x,l)º ËÓ Ö ÙÖÚ L Ú ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ Ó ÑÔÓ X Ø Ð ÕÙ µ ÓÖÑ Ó ÒÓ ÐØ Ö ÒÓ ÔÓÒØÓ p k p k+1 p i p i+1 p j p j+1 µ ÓÖÑ Ó ÓÒØ ÒÙ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÒÓ ÖÓ ÖÙÐ Ö p k p k p j p j p j+1 p j+1 p k+1 p k+1 p i p i p i+1 p i+1 µ Ó Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÓÖÑ Ó Ú Ó Ò Ö ÓÑ Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð E O ÒÓ ÔÓÒØÓ p k p k+1 p i p i+1 p j p j+1 Úµ ÓÖÑ Ó ÒÓ ÐØ Ö ÒÓ Ö Ø ÒØ ÙÖÚ Lº

49 ½ Ò Ø ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Y º Ç ÖÚ ÕÙ Y(x,y) Y(x,y) X(x,y), (x,y) L. X(x,y) È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º Ó Ø ÑÓ ÕÙ ρ(x,l) = ρ(y,l)º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Y Ó Ö ÙÖÚ Lº Ñ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó P k ÓÒ Ö θ k Ó Ò ÙÐÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÖÑ Ó Ô Ð Ö Ø Ö Ô ÐÓ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÒÓ ÔÓÒØÓ p k p k+1 º ÄÓ Ó Ó Ò ÙÐÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Y Ó Ö ÙÖÚ p k p k+1 θ k º Ñ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó H i ÓÒ Ö α i Ó Ò ÙÐÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÖÑ Ó Ô Ð Ö Ø Ö Ô ÐÓ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÒÓ ÔÓÒØÓ p i p i+1 Ç Ò ÙÐÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Y Ó Ö ÙÖÚ p i p i C i p i+1 p i+1 α i πº Ñ ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó E j ÓÒ Ö β j Ó Ó Ò ÙÐÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÖÑ Ó Ô Ð Ö Ø Ö Ô ÐÓ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÒÓ ÔÓÒØÓ p j p j+1 º Ç Ò ÙÐÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Y Ó Ö ÙÖÚ p j p j D j p j+1 p j+1 β i +πº ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ( p i Y (O) = ρ(y,l) = 1 θ k + 2π k=1 = 1+ e h 2, ÕÙ p k=1 θ k + h i=1 α i + e j=1 β j = 2πº h α i π + i=1 ) e β j +π j=1

50 Ô ØÙÐÓ ÍÑ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ú ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö ÙÑ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ñ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 º ÓÖ Ó ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ó ÖØ Ó ½ º Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ØÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v : R 2 R 2 Ð C 1 ÔÓ Ö ÓÑÔÓ ØÓ ÒÙÑ Ö Ò ÒØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò E O Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Óº Ø ÓÑÔÓ Ó Ú ÑÓ Ò Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Π E O Ñ ÕÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ñ ÐØÓÒ Ò Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º Ç Ò Ñ ÖÓ Ö ÑÓ Π ÒÓ Ö ÙÑ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ò Ø ÕÙ Ð Ö Óº Æ Ó º½ Ö ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö ÔÖÓÔÖ Ó Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÑÔÓ Ö ¹ ÒØ Ñ ÐØÓÒ ÒÓº Ñ Ù ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ ÔÓ Ú Ð ÓÑÔÓÖ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö v Ð C 1 ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ñ ÐØÓÒ Ò º Ì Ð ÓÑÔÓ Ó Ø Ö Ð ÓÒ ÓÑ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Öº Æ Ó º¾ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÔÖÓÔÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Π Ù Ö ÑÓ Ó Ü Ø Ñº ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ ÖØ ÔÖÓÔÖ Ó Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ØÖ Ø Ö v ØÖ Ú ØÖ Ø Ö Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓº Ô ÖØ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ó Ø Ö ÑÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Óº Æ Ó º ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó º ¾

51 º½ ÍÑ ÓÑÔÓ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö ÓÒ Ö f = (f x,f y ) Ó ÑÔÓ Ö ÒØ Ó Ó ÙÒÓ f : R 2 R Ð C º ÙÒÓ f ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ó Ö ØÖ Ø Ö f ÕÙ ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Óº ØÓ (x(t),y(t)) ÙÑ ØÖ Ø Ö f ÒØÓ d dt f(x(t),y(t)) = x f x t + y f y t = f 2 x + f 2 y 0. Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö d f(x,y) = 0 ÓÑ ÒØ (x,y) ÓÖ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó fº dt ËÙÔÓÒ ÕÙ M 0 ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ f ÔÓ Ù Ò Ó ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ò ÓÑÔÓ Ó ØÓÖ Ð Ù ÙÜÓ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ Ò M 0 º Ø ÑÓ Ó M 0 ÙÑ ÔÓÒØÓ α ω Ð Ñ Ø Ô Ö ØÖ Ø Ö f ÓÒØ Ò ØÓÖ Ð ÔØ Óº ÓÑÓf ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ó Ö ØÖ Ø Ö ÕÙ ÒÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ø ÑÓ ÕÙ ØÖ Ø Ö ÕÙ Ò Ñ ÑM 0 ÒÓ ÔÓ Ñ Ñ ÚÓÐØ Ö Ô Ö M 0 º Á ØÓ ÓÒØÖ Þ Ó ØÓ M 0 Ø Ö ÙÑ ØÓÖ Ð Ø Óº ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÙÑ ÑÔÓ Ö ÒØ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ØÓÖ Ð ÔØ Ó º È Ð ÖÑÙÐ Ò Ü ÓÒ i M0 ( f) = 1 h 2 1. ÓÒ Ö ω h = (h y, h x ) Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó Ó ÙÒÓ h : R 2 R Ð C º Ú Ö Ò ÙÑ ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ÒÙÐ ÔÓ div( ω h) = x h y + y ( h x) = 0. È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ä ÓÙÚ ÐÐ Ó ÙÜÓ ω h ÔÖ ÖÚ Ö ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ ω h ÒÓ ÔÓ ÔÓ Ù Ö ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ø ÔÓ ÓÓ ÓÙ Ò Ò Ñ ÔÓ Ù Ö ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÓÙ Ð ÔØ Ó º Ë Ù ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ÓÙ Ó ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ØÓÖ Ô Ö Ð Ó º È Ð ÖÑÙÐ Ò Ü ÓÒ i M0 ( ω h) = 1 h 2 1. Î ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ù Ö ÕÙ ØÓ Ó ÑÔÓ Ð C 1 ÔÓ Ö ÐÓ ÐÑ ÒØ ÓÑÔÓ ØÓ

52 Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ñ ÐØÓÒ Ò º Ì ÓÖ Ñ º½º½º Ë v : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 º ÒØÓ Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò U R 2 ÓÖ Ñ ÙÒ f,g : U R Ù ÒØ Ñ ÒØ Ù Ú Ø ÕÙ v(x,y) = f(x,y) ω g(x,y), (x,y) U. ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÓ ÑÓ Ó Ø Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò U R 2 ÓÒØ Ò Ó ÓÖ Ñ ÙÒÓ g : U R Ð C r Ô Ö Ð ÙÑ r > 2 ÑÓ Ó ÕÙ Ø Ø Ñ Ù ÒØ ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ g = g xx +g yy = (v 2 ) x (v 1 ) y. ÈÓ ÑÓ ÒØÓ Ø Ð Ö f : U R Ð C 1 Ô ÖØ Ö ÕÙ f x = v 1 +g y f y = v 2 g x º ØÓ ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò ÕÙ Ó f x = v 1 +g y Ó Ø ÑÓ f(x,y) = v 1 (x,y)+g y (x,y)dx+f(y), Ñ ÕÙ F ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ö Ð ÔÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò ¹Ð ØÓÑ Ò Ó f y = v 2 g x º ÈÓÖØ ÒØÓ f ω g = (f x g y,f y +g x ) = (v 1 +g y g y,v 2 g x +g x ) = (v 1,v 2 ) = v, ÓÑÓ Ó Ø Ö ÑÓ º ÓÑÔÓ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö Ö Ø ÒÓ Ì ÓÖ Ñ º½º½ Ø Ö Ð ¹ ÓÒ ÓÑ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Ö ÒÓ Ù ÒØ Ò Óº ÓÒ Ö Ó ÓÔ Ö ÓÖ Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ z = 1 ( 2 x +i ). y Ë h : U R ÙÑ ÙÒÓ Ð C r ÓÑ r 3 ÓÒ U ÙÑ ÖØÓ R 2 º È Ö 1 n r Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Ö L n (h) : U R 2 Ó Ó ÙÒÓ

53 h ÓÖ Ñ n Ó ÔÓÖ ( ) L n (h)(x,y) = 2 n Ê n h z n(x,y), ÁÑ n h z n(x,y), (x,y) U. Ò Ò Ó V r (R 2 ) Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÐ Ò Ö Ð C r Ô Ö r 1 Ú ÑÓ Ò Ö ÔÐ Ó Λ : V r (R 2 ) V r 1 (R 2 ) (f,g) f ω g, ÓÒ ÓÑÓ ÔÐ Ó ÄÓ ÛÒ Öº Ø ÔÐ Ó Ò Ö Ð Þ Ó ÑÔÓ L n (h) ÒÓ Ù ÒØ ÒØ Ó L n+1 (h) = Λ(L n (h)). ÑÓÒ ØÖ Ó ÖÑ Ó ÑÔÐ Ù ÔÓÖ ÐÙÐÓ Ö ØÓº Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö ÑÓ ÒØ Ö Ó Ñ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Ö ÓÖ Ñ ¾º Ç ÖÚ ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö Ú ¹ÐÓ Ó Ù ÒØ ÑÓ Ó Λ(Λ(h,0)) = (h xx h yy,2h xy ) = L 2 (h). Æ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖÓÙÖ Ö ÑÓ Ó Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ò Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö Ð C 1 ÙØ Ð Þ Ò Ó ÓÑÔÓ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ º½º½ ÓÑ Ó ÒØÙ ØÓ Ó Ø ÖÑÓ Ò ÓÖÑ Ö Ó Ò Ô Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÄÓ ÛÒ Ö ÓÖ Ñ ¾º º¾ ÒÑ Ñ Λ(f,g) Ë v : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð C 1 º Ñ ØÓ Ø Ó Ú ÑÓ ÙÑ Ö ÕÙ ÓÖ Ñ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ô Ö vº È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ º½º½ Ü Ø Ñ ÙÑ Ó E O ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñ R 2 ÓÑ Ö Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÙÒ f,g : E O R Ø ÕÙ v(x,y) = Λ(f(x,y),g(x,y)) Ô Ö x,y E O º

54 º¾º½ Ç ÓÒ ÙÒØÓ Π Ò ÑÓ ΠÓÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ (x,y) E O Ø ÕÙ f(x,y) ω g(x,y) Ó Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º ÈÓÖ ÙÑ ÓÒØ ÑÔÐ ÑÓ ØÖ ¹ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Π ÔÓ Ö Ö ØÓ ÓÑÓ Ó Þ ÖÓ ÙÒÓ P : E O R ÔÓÖ P(x,y) = f(x,y) g(x,y), (x,y) E O. Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ (x,y) Π ÓÑ ÒØ P(x,y) = 0º Ç ÖÚ ÕÙ Ó ÕÙ Ð Ö Ó O Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Πº Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ ÒÚ Ö ÒØ Ô ÐÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð ÓÑÔÓ Ø ÔÓÖ ÙÖÚ ÓÐÙ Ø ÑÔÓ Ú ØÓÖ º Ë ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö ÓÒØ Ñ E O ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ v ÔÓÖ f ÓÙ ω g ÒØÓ Ø ÙÖÚ Ô ÖØ Ò Πº ØÓ C = 0 ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ñ E O ÒÚ Ö ÒØ Ô ÐÓ ÑÔÓ v fº ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø ÙÖÚ Ó Ø ÑÓ C(x,y) v(x,y) = 0 C(x,y) f(x,y) = 0. Ø ÑÓ Ó Ó Ú ØÓÖ v(x,y) f(x,y) Ó Ñ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÙÑ Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ C(x,y) ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ v(x,y) f(x,y) Ó Ô Ö Ð ÐÓ º ÓÑÓ v = Λ(f,g) Ñ E O Ù ÕÙ f(x,y) ω g(x,y) Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ÓÑÓ (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÖÚ Ð Ö C = 0 Ø Ô ÖØ Ò Πº Ò Ó º¾º½º ÙÑ ÙÒÓ h : R 2 R ÓÑ h(0,0) = 0 ÙÑ Ö ÑÓ h ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ü Ñ Ò Ó ½ h 1 (k)\{o} Ô Ö Ð ÙÑ k R Ö ØÖ ØÓ ÙÑ Ô ÕÙ ÒÓ Ó ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñ ÓÑ ÙÑ Ø Ò ÒØ Ñ Ò Ò ÓÖ Ñº Ç ÓÒ ÙÒØÓ Π ÔÓ Ö Ö ØÓ Ô ÐÓ Þ ÖÓ ÙÒÓ P = f gº ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ó Ö ÑÓ Π Ñ E O º ÓÑÓ ØÖÙØÙÖ Π Ñ Ö Ð Ó Ó Ù Ö ÑÓ ÔÓ Ö ÑÙ ØÓ ÓÑÔÐ Ó Ú ÑÓ ØÖ Ð Ö ÓÑ ØÖ Ó Ñ ÑÔÐ º Ø Ó µ O ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÐ Ó Π

55 µ O ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÐ Ó Π Ü Ø ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø Ö ÑÓ Π Ò Ò Ó Ñ Oº Æ Ø Ó Þ ÑÓ ÕÙ ÓÖ Ñ O ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ñ Ó Π µ P(x,y) = 0 Ô Ö ØÓ Ó (x,y) Πº Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ú ÑÓ Ó Ø Ö Ø Ñ Ø Ú Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó O Ó ÑÔÓ v ÓÒ Ö Ò Ó Ó ØÖ Ó Ø Ó Ñ Ò ØÖÙØÙÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Πº È Ö ÒÓ Ö Ö ÓÒ Ù Ó Ö Ð ¹ Þ Ö ÑÓ Ð ÙÑ ÓÒÚ Ò º ÆÓ Ó Ü Ø Ö ÙÑ Ö ÑÓ Π Ñ E O ÒÓ Ò Ò Ó Ò ÓÖ Ñ Ú ÑÓ Ö ØÖ Ò Ö E O ÙÑ Ó ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñ Ö Ó Ñ ÒÓÖ ÓÖÑ ÓÑ ÕÙ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø Ö ÑÓ Ø ÓÒØ Ó Ò Ø ÒÓÚÓ Ó ÕÙ Ø Ñ Ñ ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ E O º ÇÙØÖÓ Ó Ö ÓÒ Ö Ó Ü Ø Ò ÙÑ Ö ÑÓ r Π ØÓØ ÐÑ ÒØ ÓÒØ Ó ÑE O Ò Ò Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ò ÓÖ Ñº Æ Ø Ó Ö ØÖ Ò ÑÓ E O ÙÑ Ó ÒØÖ Ó Ò ÓÖ Ñ ÓÑ Ö Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÖÑ ÕÙ Ø Ö ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ¾ Ö ÑÓ r 1 r 2 ÓÑÓ ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º½º E O r 2 r 1 r ÙÖ º½ ÍÑ Ö ÑÓ ÙÔÐÓº Ê Ð Þ Ø ÓÒÚ Ò Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ó µ ÓÖ Ñ O Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Π ÑE O º ÆÓ Ó µ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ ÑE O Ô Ò k ØÓÖ Ò Ò Ó Ò ÓÖ Ñº Ñ ÔÓ ÑÓ Ú Ö E O Ñ k ØÓÖ Ñ Ó ØÓÖ Ò ÙÐ Ö ÒÓØ ¹ÐÓ ÔÓÖ SΠ i i = 1,...,kº ÆÓ Ó µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ v ÔÓ Ö ÙÑ ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ÙÑ ÑÔÓ Ö ÒØ º ÄÓ Ó Ó Ò Ò ÓÖ Ñ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ½ ÓÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ó Ò Ë Ó º½º Ç Ó µ ÒÓ Ö ÓÒ Ö Ó ÒÓÚ Ñ ÒØ º

56 º¾º¾ ÈÖÓÔÖ È Ö ÔÖ ÒØ ÖÑÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ó Ò Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó O Ó ÑÔÓ v ÔÖ ¹ Ö ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó ÔÖ Ð Ñ Ò Ö º Î ÑÓ Ò Ö I h (x,y) ÙÖÚ Ò Ú Ð ÙÒÓ h ÒÓ ÔÓÒØÓ (x,y) ÓÙ I h (x,y) = h 1 (x,y)º ÈÖÓÔÓ Ó º¾º½º ËÓ Ö E O \Π ØÖ Ø Ö γ v (x,y) ÒØ Ö ÔØ Ñ ØÖ Ò Ú Ö ÐÑ ÒØ I g (a) Ô Ö ØÓ Ó a g(e O )º ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ ω g ÙÑ ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ù ØÖ Ø Ö ØÓ ÓÒØ Ò ÙÖÚ Ò Ú Ð ÙÒÓ gº ÈÓÖ Ø ØÓ Ø ÑÓ ØÖ ÖÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ v ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ ω g(x,y) Ô Ö ØÓ Ó (x,y) E O \ Πº ËÙÔÓÒ ÕÙ Ü Ø (x,y) E O \ Π Ø Ð ÕÙ v(x,y) Ô Ö Ð ÐÓ ω g(x,y)º ÓÑÓ v = Λ(f,g) Ñ E O Ü Ø k 0 Ö Ð Ø Ð ÕÙ f(x,y) = k ω g(x,y) Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ (x,y) Π ÙÑ ÙÖ Óº ÈÖÓÔÓ Ó º¾º¾º ÍÑ ÖÓ ØÖ Ø Ö γ ωg(x,y) ÓÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö SΠ i E O \Π ÒÓ ÔÓ Ö ÒØ Ö ÔØ Ó Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÔÓÖ ÙÑ Ô Ó ÓÒ ÜÓ Ö Ø γ v (x,y) ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ó Ñ SΠ i º ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ Ø ÔÖÓÔÓ Ó ÒÓ Ú Ö Ö º Ë a ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø Ð ÕÙ γ v (a) ÒØ Ö ÔØ γ ωg(a) ÒÓ ÔÓÒØÓ a Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ º È Ð ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö ¹ Ð ÒØ Ö Ó Ø ÙÖÚ ÓÓÖÖ Ñ Ò Ö ØÖ Ò Ú Ö Ðº ÒØÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö b Ó ÔÖ Ü ÑÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø ÙÖÚ ØÓ Ò Ò Ó Ó ÖÓ âb γ ωg(a) Ô ÖØ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ a Ô Ö Ó ÔÓÒØÓ b Ø ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ñ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó ÖÓ âb ÓÑ Ö Ø γ v (a) Ð Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ò º Î ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÓÑ ÓÑÓÖ ÑÓh : âb âb Ù ÒØ Ñ Ò Ö º Ë p âb ÓÒ Ö γ v (p)º Ò Ö Ó ÓÑÔ Ø G Ò Ô Ð ÙÖÚ âb Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö γ v(a) Ó ÔÓÒØÓ a Ô Ö Ó ÔÓÒØÓ bº È Ð ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð γ v (p) ÒØ Ö ÔØ Ó ÖÓ âb ØÖ Ò Ú Ö ÐÑ ÒØ ÒØÖ Ò Ó Ò Ö Ó ÓÑÔ Ø Gº ÓÑÓ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó v ØÖ Ø Ö γ v (p) ÒÓ ÔÓ Ô ÖÑ Ò Ö Ñ G Ò Ñ ÖÙÞ Ö ØÖ Ø Ö γ v (a)º ÄÓ Ó γ v (p) Ú Ø Ö ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ Ó ÖÓ âb ÑÓ qº Ò h(p) = qº Ñ h Ø Ñ Ò Ó ÒÚ ÖØ ÓÖ ÒØ Ó Ó ÖÓ âbº ÈÓÖØ ÒØÓ h Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÜÓ Ñ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÜÓ v ω g Ó Ô Ö Ð ÐÓ ÓÒØÖ Þ Ò Ó ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð º Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º¾º¾º

57 SΠ i a G γ v (p) γ ωg(a) γ v (a) ÙÖ º¾ ÙÖ ÐÙ ØÖ Ø Ú Ö Ð Ø Ú ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÖÓÔÓ Ó º¾º¾º ÈÖÓÔÓ Ó º¾º º Ë p ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g Ñ E O ÓÒ Ö Σ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó p ÓÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö SΠ i Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð vº Ë Ñ s 1 s 2 Ô Ö ØÖ Þ Σ ÓÒØ Ñ SΠ i º Ë s 1 s 2 ÒÓ Ó ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ v ÒØÓ µ È Ö ØÓ Ó (x,y) SΠ i \{s 1 s 2 } ØÖ Ø Ö γ v (x,y) ÖÙÞ s 1 s 2 ØÖ Ò Ú Ö ÐÑ ÒØ º µ ÍÑ ÖÓ γ v (x,y) ÓÒØ Ó Ñ SΠ i ÒÓ ÒØ Ö ÔØ s 1 s 2 º ÑÓÒ ØÖ Ó Ë q s 1 ÓÒ Ö γ v (q)º ÓÑÓ s 1 ÒÓ ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ v Ø ÑÓ ÕÙ γ v (q) ÒØ Ö ÔØ s 1 ØÖ Ò Ú Ö ÐÑ ÒØ º Ë q Σ Ø Ô ÖØÓ Ó Ù ÒØ q ÔÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ó Ø ÑÓ ÕÙ γ v (q) ÒØ Ö ÔØ γ ωg(q ) ÓÖÑ ØÖ Ò Ú Ö Ðº ÓÑÓ γ ωg(q ) Ø Ô ÖØÓ Ó Ù ÒØ s 1 s 2 Ù Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó º¾º¾ ÕÙ γ v (q) ÒÓ ÔÓ ÒØ Ö ÔØ Ö ÒÓÚ Ñ ÒØ γ ωg(q )º ÄÓ Ó γ v (q) ÒÓ ÔÓ ÒØ Ö ÔØ Ö s 1 s 2 ÒÓÚ Ñ ÒØ º ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÑÓ ØÖ ¹ Ó Ö ÙÐØ Ó Ô Ö q s 2 º ÈÖÓÔÓ Ó º¾º º Ë Ñ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g Σ 1 Σ 2 Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ¹ ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ó O ω g ÓÒØ Ó Ñ ÙÑ Ñ ÑÓ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö SΠ i Ó ÑÔÓ v Ñ E O º Ò s 1 s 2 Ô Ö ØÖ Þ Σ 1 s 2 s 3 Ô Ö ØÖ Þ Σ 2 º Ë s 2 ÒÓ ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ v ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó O v ÓÒØ Ó Ñ Σ 1 Σ 2 º ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ s 2 ÒÓ ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ v Ø ÑÓ ÕÙ ØÖ Ø Ö v ÒØ Ö¹ ÔØ Ñ s 2 ÓÖÑ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÒÓ Ñ ÑÓ Ò Ó ÈÖÓÔÓ Ó º¾º º È Ð ÈÖÓÔÓ Ó

58 ¼ º¾º¾ ØÖ Ø Ö v ÕÙ ÖÙÞ Ñ s 2 ÒÓ ÔÓ Ñ Ø Ò Ö Ô Ö ÓÖ Ñ Ò Ñ ÒØ Ö ÔØ Ö s 1 ÓÙ s 3 º Á ØÓ Ò ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó O vº ÈÖÓÔÓ Ó º¾º º Ë O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g Σ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó O ω g ÓÒØ Ó Ñ ÙÑ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö SΠ i Ó ÑÔÓ vº ÒØÓ Ñ Σ ÔÓ ÑÓ Ø Ö Ô Ò ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÓÙ Ô Ö Ð Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ vº ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÒØÖ Ó ÓÑ ÈÖÓÔÓ Ó º¾º¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ò Ö Ó Σ Ü Ø ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó ÒØÓ Ø Ö ÑÓ ÙÑ º¾º Ê ÙÐØ Ó ÔÖ Ò Ô Ì ÓÖ Ñ º¾º½º Ë O ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÐ Ó Πº µ Ë O ÒÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g ÒØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó O v Ø Ñ Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó º ÄÓ Ó i O (v) = 0º µ Ë O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g ÒØÓ ØÓ Ó Ó ØÓÖ Ó ÕÙ Ð Ö Ó O v Ó Ô Ö Ð Ó Ô Ö Ð Ó º Ð Ñ Ó i O (v) i O ( ω g) 1º ÑÓÒ ØÖ Ó µ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÓÖ Ñ O ÒÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω gº ÓÑÓ E O Π = {O} Ù ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ω g ÒÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ E O º ÄÓ Ó ÓÐ Ó F ωg(e O ) ÙÑ Ü ÙÜÓº ÓÒ Ö c = g(o) ÓÒ Ö I g (c) ÙÖÚ Ò Ú Ð ÙÒÓ g Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ö ØÖ Ø E O º ÓÑÓ ω g ÙÑ ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ù ÓÐÙ ØÓ ÓÒØ Ò ÙÖÚ Ò Ú Ð ÙÒÓ gº Ò âob ÙÑ ÖÓ ØÖ Ø Ö ωg ÓÒØ Ó Ñ I g (c) Ñ E O Ò Ò Ó ÒÙÑ ÔÓÒØÓ a Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÒÙÑ ÔÓÒØÓ bº ÓÒ Ö âo Ó Ù ¹ ÖÓ âob Ò Ò Ó Ñ a ÖØÓ Ö Ø O ÓÒ Ö Ôb Ó Ù ¹ ÖÓ ÓÒØ Ó Ñ âob ÖØÓ ÕÙ Ö ÓÖ Ñ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ b ØÓ âo Ôb = âob\{o}º È Ð ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ØÖ Ø Ö v Ó ØÖ Ò Ú Ö F ωg(e O \{O})º ÓÑ Ó Ø Ñ Ò ÔÐ Ó ξ + : âo Ôb Υ + Ñ ÕÙ Υ + ÙÑ ÖÓ ØÖ Ø Ö ω g Ô ÖØÓ Ó Ù ÒØ âob Ò Ù ÒØ Ñ Ò Ö Ô Ö q âo Ôb ÓÒ Ö ξ + (q) = q + = ϕ v (q,ǫ) = γ v (q) Υ + Ô Ö ÙÑ Ò Ó ǫ > 0º È Ö ÒÓ ÓÒØÖ Þ Ö Ò Ò ÙÑ ÔÖÓÔÓ Ó ËÙ Ó º¾º¾ Ó ÖÚ ÕÙ Ú Ü Ø Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÙ ÙÑ Ù ¹ ÖÓ ÖØÓ ÓÒ ÜÓ Υ + Ø ÕÙ ØÖ Ø Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð

59 ½ v Ø Ò Ñ Ô Ö ÓÖ Ñ Ñ Ð ÙÑ ÒØ Ó ÒÓ Ø ÑÔÓº ÁÑÔÐ Ò Ó ÕÙ Ø ÔÓÒØÓ Υ + ÒÓ Ô ÖØ Ò Ñ Ñ Ñ ÔÐ Ó ξ + º Ø ÔÓÒØÓ Ò Ñ ÙÑ Ô Ö ØÖ Þ ÓÙ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ v Ò ÓÖ Ñº ÓÖÑ Ò ÐÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÔÐ Ó ξ : âo Ôb Υ Ñ ÕÙ Υ Ò Ó Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Υ + Ñ ÓÑ Ó Ø ÑÔÓ ÒÓ ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Óº ÈÓÖØ ÒØÓ Ò ÑÓ ÓÙØÖÓ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÓÙ ÙÑ Ô Ö ØÖ Þ Ô Ö Ó ÑÔÓ v Ò ÓÖ Ñº ÈÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ E O Ñ ÒÓ Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÓÙ Ô Ö ØÖ Þ Ó Ø ÑÓ Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó º ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ò Ü ÓÒ Ó Ø ÑÓ i O (v) = = 0. µ ËÙÔÓÒ ÕÙ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω gº ÒØÓ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ÓÙ Ø Ñ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ñ E O º Ë O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ÒØÓ Ô Ð ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö Ó ÑÔÓ v Ó Ø ÔÓ ØÖ ØÓÖ ÓÙ Ö ÔÙÐ ÓÖº ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ Ò Ü ÓÒ Ó Ø ÑÓ i O (v) = 1 = i O ( ω g). ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ó Ö ØÖ ØÓ ÐÓ Ð Ó ÕÙ Ð Ö ÓO ω g ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó º È Ð ÈÖÓÔÓ Ó º¾º Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v Ñ O Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ø ÒØÓ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÕÙ ÒØÓ ω gº È Ð ÈÖÓÔÓ Ó º¾º Ù ÕÙ Ó ÑÔÓ v ÒÓ ÔÓ Ù ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ñ Ö Ð Ó Oº ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ð ÖÑÙÐ Ò Ü ÓÒ Ó Ø ÑÓ ÕÙ i O (v) i O ( ω g)º Î ÑÓ ÓÖ ØÙ Ö Ó Ó Ñ ÕÙ ÓÖ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ñ Ó Πº ÓÒ Ö Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ñ ÙÑ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö SΠ i Ó ÑÔÓ v Ñ E O ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ º º ÈÖÓÔÓ Ó º¾º º Ë O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó ÙÜÓ ω g Ñ ØÓÖ Ò ÙÐ Ö SΠ i Ó ÑÔÓ v Ñ E O Ó Ø ÔÓ C a ÓÙ C b ÓÙ ÙÑ ÓÑ Ò Ó Ò Ø C c C d º ÑÓÒ ØÖ Ó Ë O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ÒØÓ SΠ i Ó Ø ÔÓ C b º Ó ÓÒØÖ Ö Ó O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ø Ò Ó ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ñ E O º Ó ÙÑ ØÓÖ Ó Ò ÓÑ SΠ i Ø ÑÓ Ó Ó C a º

60 ¾ C a C b C c C d ÙÖ º ÐÙÜÓ ÐÙ ØÖ Ø ÚÓ Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ñ ÙÑ ØÓÖ Ò ÙÐ Öº Ë SΠ i Ø ÓÒØ Ó Ñ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ω g Ø ÑÓ Ó Ø ÔÓ C b º Ë Ó ØÓÖ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó Ó Ò Ñ ÔÓÖ Ñ ÙÑ ÒÓ Ø ÓÒØ Ó ÒÓ ÓÙØÖÓ Ø ÑÓ Ó Ø ÔÓ C c Ñ ÕÙ Ó Ô Ó Ú Þ Ó ÔÖ Ò Ó ÓÑ ÓÙØÖÓ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓº Ë Ó ØÓÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒØ Ñ ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó SΠ i Ó Ø ÔÓ C d º Ó SΠ i ÓÒØ Ñ Ú Ö Ó ØÓÖ Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÒØÖ C c C d º Ç ÖÚ ÕÙ O ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ ω g ÒØÓ Ó ÙÜÓ Ó ÑÔÓ Ñ Ð¹ ØÓÒ ÒÓ Ñ SΠ i Ó Ø ÔÓ C b ÓÙ C c º Ì ÓÖ Ñ º¾º¾º ÙÑ ÕÙ Ñ E O ÓÒØ Ñ k Ö ÑÓ Ò Ò Ó Ñ O ÕÙ O ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω g Ø ÓÐ Óº ÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó O v Ñ E O k i O (v) 1+ k 2. ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÒ Ö SΠ i Ó Ø ÔÓ C a ÓÙ C b º Ë γ v (p) ÙÑ ØÖ Ø Ö Ó ÑÔÓ v ÓÒØ Ñ SΠ i Ø Ò Ó O ÓÑÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ α Ð Ñ Ø ÒØÓ Ô Ö ǫ > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ ÕÙ ϕ v (p,ǫ) ÖÙÞ ÙÑ Ö Ø γ ω g ÓÒØ Ñ SΠ i Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü ÑÓ ÓÖ Ñ ÓÖÑ ØÖ Ò Ú Ö Ðº È Ð ÈÖÓÔÓ Ó º¾º¾ γ v (p) ÒÓ ÔÓ ÒØ Ö ÔØ Ö ÒÓÚ Ñ ÒØ γº Ë Ù ÒØÓ ÕÙ γ v (p) ÒÓ ÔÓ ÚÓÐØ Ö Ô Ö ÓÖ Ñº ÈÓÖØ ÒØÓ Ò Ø Ó ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ø Ö ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ó ÑÔÓ v ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ó Ñ SΠ i º ÙÑ ÕÙ SΠ i Ó Ø ÔÓC c ÓÙ C d ÓÙ ÙÑ ÓÑ Ò Ó Ò Ø Ó º ÒØÓ ÓÒØ Ò SΠ i Ó Ñ ÒÓ ÙÑ Ô Ö ØÖ Þ Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓº ÓÑÓ Ô Ö ØÖ Þ ÒÓ ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖv Ó Ø ÑÓ Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó º¾º ÕÙ Ø Ñ Ò Ó ÙÑ ØÓÖ Ô Ö Ð Ó v ÓÙ ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ñ SΠ i º Ð Ñ Ó ØÓ ÓÙØÖ Ö Ø v Ò Ñ

61 ØÓÖ Ô Ö Ð Ó ÓÙ Ô ÖÑ Ò Ñ ÒÓ ØÓÖ Ò ÙÐ Öº ÄÓ Ó ÒÓ ÔÓ Ú Ö ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ó ÑÔÓ v ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ó Ñ SΠ i Ò Ø Ó º ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ö Ü Ø Ö ÙÑ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ó ÑÔÓ v Ò ÓÖ Ñ Ø Ú Ø Ö ÓÒØ Ó Ó Ñ ÒÓ Ñ Ó ØÓÖ Ò ÙÐ Ö vº Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓÖ Ð ÔØ Ó v ÒÓ Ü Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÑÓ Πº È Ð ÖÑÙÐ Ò Ü ÓÒ i O (v) = 1+ e h 2 1+ e 2 1+ k 2 Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º º Ü ÑÔÐÓ Ü ÑÔÐÓ º º½º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v = (v 1,v 2 ) Ò Ó Ñ ØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ó ÔÓÖ v 1 (x,y) = y +x 3 x 2 y +8xy 2 v 2 (x,y) = x x3 3 +8x2 y +y 3, ÕÙ ÔÓ Ù ÓÖ Ñ ÓÑ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Óº ÓÑÔÓ Ó Ó ÑÔÓ v = f ω g ÔÓÖ f(x,y) = 1 ( 3x 4 4x 3 y +48x 2 y 2 +3y 4) 12 g(x,y) = 1 ( x 2 +y 2). 2 ÄÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Π Ò Ó Ô Ð ÕÙ Ó 0 = P(x,y) = x x3 y +16x 2 y 2 +y 4 = x 2 (x xy +16y2 )+y 2. Ç ÖÚ Ò Ó ÕÙ P(x,y) P(0,0) > 0 Ô Ö ØÓ Ó (x,y) R 2 \ {(0,0)} Ó Ø ÑÓ ÕÙ O ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÓÐ Ó ÔÐ Ó P ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÐ Ó Πº Ç ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó ÔÓÖ ω g = ( 2y,2x)º ÄÓ Ó ÓÖ Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó

62 ÓÐ Ó ω g Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓº È Ð ÔÖÓÚ ÒÓ Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ø Ñ µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ i v (O) = 1. Æ ÙÖ º ÐÙ ØÖ ÑÓ Ó Ö ØÖ ØÓ ÐÓ Ð ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ÓÖ Ñ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ v = ( y +x 3 x 2 y +8xy 2,x x 3 /3+8x 2 y +y 3 ) ÙÖ º Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ ( y +x 3 x 2 y +8xy 2,x x 3 /3+8x 2 y +y 3 )º Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ò Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ó ÒÓ Ü ÑÔÐÓ º º½ ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ ÒÓÒØÖ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º½º ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ º º¾ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÑ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñ Ù Ó Ó Ò ÒÓ ÔÓ Ö ÐÙÐ Ó Ò Ñ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ö ÙÑ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÒ Ó ÒÓ Ô ØÙÐÓ ¾º Ü ÑÔÐÓ º º¾º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð v = (v 1,v 2 ) : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ v 1 (x,y) = xy v 2 (x,y) = e x y Ø ÑÔÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñº ÓÒ Ö ÙÒ f,g : R 2 R

63 Ò ÔÓÖ f(x,y) = 1 2 x2 y 1 3 y3 +y g(x,y) = e x x3 2. ÒØÓ ÙÑ ÓÒØ ÑÔÐ ÑÓ ØÖ ÕÙ v = f ω gº Ç ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó ÔÓÖ ω g(x,y) = (0, e x 1 2 x2 )º ÄÓ Ó ÓÖ Ñ ÒÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ω º Ç ÓÒ ÙÒØÓ Π Ó Ô ÐÓ Þ ÖÓ ÙÒÓ P ÒØÓ 0 = P(x,y) = f x (x,y)g x (x,y)+f y (x,y)g y (x,y) = 1 2 xy(x2 +2e x ). ÄÓ Ó Π ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ö ÑÓ Ó ÐÓ Ð Þ Ó ÒÓ ÜÓ x Ó ÐÓ Ð Þ Ó ÒÓ ÜÓ yº È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ º¾º¾ Ó Ø ÑÓ ÕÙ i v (O) = 3. ÓÑÓ v ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ø Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ó¹ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó O v Ó ÔÓÖ (xy, x)º Ñ ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ö ÙÖ Ó ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð Ô Ö ÔÐÓØ Ö Ó Ö ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ v ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º Ù Ô ÐÓ ÖÑÙÐ Ò Ü ÓÒ ÕÙ i v (O) = 1º

64 ÙÖ º Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ (xy, e x y 2 +1)º

65 Ô ØÙÐÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ ÍÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÔÐ Ò Ö ÔÓ Ö ØÙ Ó Ñ Ö ÒÓ R 3 Ô ÖØ Ö ÙÑ ÓÑÔ Ø Ó Ó ÔÐ ÒÓº ÓÑÔ Ø Ó ÒÓ Ô ÖÑ Ø ØÙ Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ØÖ Ø Ö ÓÖ Ö ÓÑÔ Ø Ó ÔÐ ÒÓ ÓÙ ÒÓ Ò Ò ØÓº ÍÑ Ú ÒØ Ò Ñ ØÙ Ö ÙÑ ÑÔÓ ÓÑÔ Ø Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ó ÕÙ Ð Ó ÖØ Ô Ø Ö ÒØ ÕÙ ÓÑ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ñ S 2 Ù Ð Ó º Ø ÙÒØÓ ÖÓ ÓÖ Ó Ò Ë º½ º¾º Ñ Ù Ò Ë Ó º ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÒØÖÓ ÙÓ Ó ÖØ Ó Ñ ÄÐ Ö ¾ Ö Ö ÒØ Ó ØÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ø Ó º Æ Ø ØÖ Ð Ó Ó ÙØÓÖ Ö Ú Ñ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ØÖ Ø Ö ÔÖ Ü Ñ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ Ò Ò ØÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó ÔÐ Ò Ö Ö ÙÐØ Ó Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó ÓÑÔ Ø ¹ ÈÓ Ò Ö Ø Ö Ó Ö º ÓÒØÙ Ó ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ô Ò Ð ÙÒ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó Ô ÐÓ ÙØÓÖ Ô Ö Ù Ó Ñ Ò Ù ÒØ º Ò Ð Þ Ö ÑÓ Ø Ô ØÙÐÓ ÓÑ Ó ØÙ Ó Ó Ö ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ñ Ù Ú Ö Ú º ÈÓÖ Ö ÙÐØ Ó Ð Ö Ó ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ô Ò Ò Ó Ó Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Óº È Ö ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ö ÑÓ Ó ¹ ÐÓ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ö ÒØ Ö Ð ÓÒ Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ø ÑÓ Ó Ó Ò Ø Ñ Ò Ó ÔÓÖ Ö ÓÐ Óº Ç Ò ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ò Ó ÓÑÓ ÓÑ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ö ÒØ Ø Ö Ð ÓÒ Ó ÓÑ ÓÑ ØÖ ÙÖÚ Ò Ú Ð Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ó ÑÔÓ Ö ÒØ ÒÓ Ò Ò ØÓº Ç Ö ÙÐØ Ó ÓÖ Ó Ò Ø ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ñ º

66 º½ ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö Æ Ø Ó Ö Ú Ö ÑÓ ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö º Á ØÓ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ö Ó Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÖ Ô ÖØ ÓÑÔ Ø Ó ÔÐ ÒÓ ÓÙ ÒÓ Ò Ò ØÓº ÓÒ Ö ÑÓ X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö Ù d ØÓ d = max{ Ö Ù P, Ö Ù Q} Ó ÔÓÖ X(x 1,x 2 ) = (P(x 1,x 2 ),Q(x 1,x 2 ))º ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ø Ñ Ñ R 2 Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ö S 2 = {y R 3 : y 2 1 +y2 2 +y2 3 = 1} ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,0,1)º ÓÒ Ö Ó ÕÙ ÓÖ S 2 Ó ÓÒ ÙÒØÓ S 1 = {(y 1,y 2,y 3 ) S 2 : y 3 = 0}º Î ÑÓ Ò Ö Ô Ö δ = {,+} Ó ÓÒ ÙÒØÓ H δ = {(y 1,y 2,y 3 ) S 2 : δy 3 > 0}. Ç ÓÒ ÙÒØÓ H H + Ó Ñ Ó Ó Ñ Ö Ó ÙÐ Ó Ñ Ö Ó ÒÓÖØ S 2 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÔÓÒØÓ (x 1,x 2 ) R 2 ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÔÖÓ Ó (x 1,x 2 ) Ó Ö H δ Ô Ð ÙÒ f δ : R 2 H δ (x 1,x 2 ) f δ (x 1,x 2 ) = ( ) δx 1 δx 2 δ x 2 1 +x , x 2 1 +x , x 2 1 +x ÙÒ f δ Ó ÓÑÓÖ ÑÓ º ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ñ Ñ ÔÐ Ó f δ ÒÓ ÔÓÒØÓ (x 1,x 2 ) Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö Ø r ÓÑ H δ Ñ ÕÙ Ö Ø r Ø ÖÑ Ò Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (x 1,x 2,1) (0,0,0) R 3 º Ç ÖÚ ÕÙ ÔÓÒØÓ (x 1,x 2 ) Ñ R 2 Ø Ö Ð ÓÒ Ò Ó Ø Ú Ñ ÒØ ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ H δ º Ô ÖØ Ö Ö Ú f δ ÔÓ ÑÓ Ò ÙÞ Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ó Ö S 2 \ S 1 º ÓÒ Ö ÑÓ X(y) = D f δ(x)x(x), y = f δ (x), ÓÑ x = (x 1,x 2 )º ÒØÓ X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ñ S 2 \ S 1 Ó ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ô ÖØ Ø Ò ÒØ S 2 º Ñ Ñ Ö Ó H δ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÙÞ Ó ÙÑ Ô Ó

67 ÑÔÓ Xº ÆÓØ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ Ó Ò Ò ØÓ R 2 Ó ÔÓÒØÓ Ô Ö Ö Ó ØÓ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ú ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ S 1 º Î ÑÓ ÓÖ Ø Ò Ö ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X S 2 \S 1 Ô Ö S 2 º È Ö Ø Ð Ú ÑÓ Ó Ö Ö Ö S 2 ÓÑ ÖØ ÐÓ ÔÓÖ U k = {y S 2 : y k > 0} V k = {y S 2 : y k < 0}, ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÔÐ φ k : U k R 2 ψ k : V k R 2 Ô Ö k = 1,2,3 ÔÓÖ φ k (y 1,y 2,y 3 ) = Ñ ÕÙ m < n m,n kº ( ym, y ) n = ψ k (y 1,y 2,y 3 ), y k y k Î ÑÓ ÒÓØ Ö ÔÓÖ (u,v) Ó ÔÓÒØÓ φ k (y) ÓÙ ψ k (y) Ô Ö k = 1,2º Æ Ø ÖØ Ó ÔÓÒØÓ S 1 Ó Ó ÔÓÖ v = 0º Î ÑÓ Ö Ð Þ Ö Ó ÐÙÐÓ Ó Ö ÖØ ÐÓ Ð U 1 Ö Ö ÒØ H + º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X U1 Ò Ó ÔÓÖ D φ1 (y)x(y) y = f + (x)º ÒØÓ D φ1 (y)x(y) = D φ1 (y)(d f +(x)x(x)) = D φ1 f +(x)x(x), y = f+ (x). ÓÑÓ φ 1 f + (x) = (x 2 /x 1,1/x 1 ) Ó Ø ÑÓ X U1 (x 1,x 2 ) = = x 2 x x x 1 0 P(x 1,x 2 ) Q(x 1,x 2 ) x 2 P(x x 2 1,x 2 )+ 1 Q(x 1,x 2 ) 1 x 1 1 P(x x 2 1,x 2 ) 1. Ê Ð Þ Ò Ó ÑÙ Ò ÓÓÖ Ò u = x 2 /x 1 v = 1/x 1 Ó Ø ÑÓ

68 ¼ X U1 (u,v) = uvp ( 1 v, u ) ( 1 +vq v v, u ) v v 2 P ( 1 v, u ) v. ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ó ÑÔÓ X U1 Ô ÐÓ ØÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ρ(y) = y d 1 3 = ( 1 x 2 1 +x ) d 1 = v d 1 m(u,v), Ñ ÕÙ m(u,v) = (1+u 2 +v 2 ) 1 d/2 Ù ρx U1 (u,v) = v d m(u,v) up ( 1 v, u ) ( 1 +Q v v, u ) v vp ( 1 v, u ) v. Ø ÑÓ Ó ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ X Ó Ö Ö S 2 ÔÓ Ú Ð ÕÙ Ó ÑÔÓ ρx Ø Ñ Ò Ó Ñ v = 0º ÈÖÓ Ñ ÒØÓ Ñ Ð ÒØ ÔÓ Ö ÔÐ Ó Ñ ÖØ ÐÓ º È Ö ÑÔÐ Ö Ó ÑÔÓ ρx ÔÓ ÑÓ Ð Ñ Ò Ö Ó ØÓÖ m(u,v)º Ç ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ρx Ò ÙÞ Ó Ø Ò Ó Ó Ö S 2 Ñ Ó ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö X Ö ÒÓØ Ó ÔÓÖ p(x)º Ç ÑÔÓ p(x) Ö Ö ÒØ ÖØ ÐÓ Ð (U 1,φ 1 ) Ó ÔÓÖ p(x)(u,v) = ( ( 1 uv d P v, u ) ( 1 +v d Q v v, u ) ( 1, v d+1 P v v, u )). v Ç ÑÔÓ p(x) Ö Ö ÒØ ÖØ ÐÓ Ð (U 2,φ 2 ) Ó ÔÓÖ p(x)(u,v) = ( ( u v d P v, 1 ) ( u uv d Q v v, 1 ) ( u, v d+1 Q v v, 1 )). v Ç ÑÔÓ p(x) Ö Ö ÒØ ÖØ ÐÓ Ð (U 3,φ 3 ) Ó ÔÓÖ p(x)(u,v) = (P(u,v),Q(u,v)).

69 ½ ÜÔÖ Ó p(x) Ò ÖØ ÐÓ (V k,ψ k ) Ñ Ñ (U k,φ k ) ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ ( 1) d 1 Ô Ö k = 1,2,3º Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÕÙ ÓÖ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÚ Ö ÒØ Ô ÐÓ ÙÜÓ p(x)º ØÓ ÓÒ Ö y ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ S 1 ÒØÓ y 3 = 0º ÓÑÓ v = y 3 /y i Ô Ö i = 1,2 Ó Ø ÑÓ ÕÙ v = 0º ÇÐ Ò Ó ÜÔÖ Ó p(x) Ö Ö ÒØ ÖØ ÐÓ U i V i Ô Ö i = 1,2 Ø ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ Ñ y ÑÔÖ ÒÙÐ º ÄÓ Ó S 1 ÒÚ Ö ÒØ º Ç ÖÚ ÕÙ ÒÓ ÔÖ ÑÓ ØÖ Ð Ö ÓÑ ØÓ Ö Ô Ö ØÙ Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ô ÖØ Ò Ø Ò Ò Ø Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð X Ð Ö Ñ ÒØ Ù ÒØ ØÖ Ð ÖÑÓ Ó Ö H + S 1 ÕÙ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ó ÈÓ Ò Ö º Ñ ÒÓÒØÖ ¹ ÙÑ Ö Ó ÖÖ Ñ ÒØ Ó Ó ØÛ Ö È º ÓÑ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÔÓ ¹ Ó Ø Ö Ó Ö ØÖ ØÓ ÑÔÓ ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÐ ØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö º Ç ÕÙ Ð Ö Ó p(x) ÐÓ Ð Þ Ó Ñ S 2 \S 1 Ó Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ò ØÓ Xº Ç ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó p(x) ÐÓ Ð Þ Ó Ñ S 1 ÖÓ Ñ Ó Ò Ò ØÓ º ÈÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ y S 1 ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ò ØÓ X ÒØÓ y Ø Ñ Ñ º Î ÑÓ ØÙ Ö Ó Ö ØÖ ØÓ ÐÓ Ð ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ò ØÓ º ÓÒ Ö (u,0) ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó p(x) Ñ S 1 º ÓÒ Ö P i Q i Ó Ø ÖÑÓ ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù i Ñ P Q Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö i = 1,...,dº ÒØÓ (u,0) S 1 (U 1 V 1 ) ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ò ØÓ X ÓÑ ÒØ F(u) := Q d (1,u) up d (1,u) = 0. Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ (u,0) S 1 (U 2 V 2 ) ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ò ØÓ X ÓÑ ÒØ G(u) := P d (u,1) uq d (u,1) = 0. Ì Ö ÙÐØ Ó Ó ÐÑ ÒØ ÒÓÒØÖ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó ÜÔÖ Ó p(x) Ñ ÖØ ÐÓ Ðº Ü ÑÔÐÓ º½º½º Î ÑÓ Ó Ö Ó Ö ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð X : R 2 R 2 Ó ÔÓÖ X(x,y) = (x, y) Ö Ù ½ Ó Ö Ó Ó ÈÓ Ò Ö º Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ò ØÓ ÐÓ Ð Þ Ó Ò ÓÖ Ñ Ó Ø ÔÓ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ó Ü ÑÔÐÓ

70 ¾ ¾º½º½º ÓÒ Ö P(x,y) = x Q(x,y) = yº ÜÔÖ Ó p(x)(u,v) Ö Ö ÒØ ÖØ ÐÓ Ð (U 1,φ 1 ) ÔÓÖ ( ( 1 uvp v, u ) ( 1 +vq v v, u ) ( 1, v 2 P v v, u )) = ( 2u, v). v ÄÓ Ó u = 0,v = 0 Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ U 1 Ø ÙÑ Ò Ø Ú Ð ÒÓ Ò Ò ØÓº ÓÑÓ Ó Ö Ù X ÑÔ Ö Ø ÑÓ ÕÙ ÓÖ Ñ Ñ V 1 Ø Ñ Ñ ÙÑ Ò Ø Ú Ðº ÜÔÖ Ó Ô Ö p(x)(u,v) Ó Ö ÖØ ÐÓ Ð (U 2,φ 2 ) = (2u,v)º ÒØÓ ÓÖ Ñ U 2 V 2 Ó Ò Ò Ø Ú º Î ÐÙ ØÖ Ó ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö Ó ÑÔÓ X Ò ÙÖ º½º ÙÖ º½ Ê ØÖ ØÓ ÒÓ Ó ÈÓ Ò Ö Ó ÑÔÓ (x, y)º º¾ Ç Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ò Ö S 2 Æ Ø Ó Ú ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ó Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Ø Ò ÒØ Ö S 2 = {y R 3 : y1 2 +y2 2 +y2 3 = 1}º Ç Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ô Ö Ö ÒÙÒ Ó Ù Ö ÒÓ Ò ÓÖÑ ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ó Ö ÓÑ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ S 2 º Ç Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ú Ð Ó Ñ Ó Ñ Ö º Î ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ½¼ º Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ Ñ S 2 µº ÌÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ Ø Ò ÒØ Ö S 2 ÔÓ Ù Ò Ó ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ø Ñ ÓÑ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ù Ð ¾º

71 ÑÓÒ ØÖ Ó Ë X : S 2 R 3 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ø Ò ÒØ S 2 Ø Ò Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Óº ÈÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒØ Ñ S 2 ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ù ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓØ Ø ÖÙÒ Ö Ò ÔÓÖ S 1 º ÓÒ Ö E 2 R 3 Ó ÔÐ ÒÓ ÓÒØ Ò Ó S 1 Ø ÔÐ ÒÓ Ú S 2 Ñ Ù Ñ Ø ÓÒØ Ñ ÓÖ Ñ R 3 º ÓÒ¹ Ö N Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð E 2 Ò ÓÖ Ñ Ö Ø r R 3 Ò ÔÓÖ Nº Ç Ñ Ö Ó ÒÓÖØ Ùе S 2 Ñ ¹ Ö ÓÖ Ò ÔÓÖ E 2 ÓÑÓ Ö ØÓ Ñ Ù Ö Ó Ó Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð N S 2 ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú µº Ç ÔÓÐÓ ÒÓÖØ Ùе Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö Ø r ÓÑ Ó Ñ Ö Ó ÒÓÖØ Ùеº ÈÖÓ Ø Ò Ó Ó ÑÔÓ X Ø Ö Ó Ö Ñ ÒØ Ö ØÖ ØÓ Ó Ñ Ö Ó ÒÓÖØ S 2 Ô ÖØ Ö Ó ÔÓÐÓ ÒÓÖØ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ø Ó X Ñ E 2 º ÈÖÓ Ø Ò Ó Ó ÑÔÓ X Ø ¹ Ö Ó Ö Ñ ÒØ Ö ØÖ ØÓ Ó Ñ Ö Ó ÙÐ S 2 Ô ÖØ Ö Ó ÔÓÐÓ ÙÐ Ó Ø ÑÓ ÓÙØÖÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ø Ó X Ó Ö E 2 º Ë Ñ q 1,...,q n ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ X ÒÓ Ñ Ö Ó ÒÓÖØ ÓÑ Ò Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù i 1,...,i n º Ë Ñ q 1,...,q m ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ X ÒÓ Ñ Ö Ó ÙÐ ÓÑ Ò Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù i 1,...,i mº Î ÑÓ Ò Ö I X I X ÓÑÓ Ò Ó ÓÑ ØÓ Ó Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ X X Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ E 2 º ÒØÓ Ó Ø ÑÓ I X = i i n I X = i i mº Ë C E 2 ÙÑ ÖÙÒ Ö Ò Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò ÓÒØ Ò Ó ØÓ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó X X º ÓÒ Ö ÔÐ T X : C S 1 T X : C S 1 ÔÓÖ T X (x,y) = X (x,y) X (x,y), T X (x,y) = X (x,y) X (x,y) (x,y) S 1. Ë Ñ ϕ,ϕ : [0,1] R ÙÒ Ò ÙÐÓ Ô Ö Ó ÑÔÓ X X Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ö Ó ÔÓÒØÓ S 1 º Ë a : [0,1] S 1 ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó S 1 º È Ö a(t) Ñ S 1 Ó Ø ÑÓ Ô Ð ÓÒ ØÖÙÓ Ó ÑÔÓ X X ÕÙ X X Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ S 1 ÒÓ ÔÓÒØÓ a(t)º Î ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º¾º Ç Ø ÑÓ ÒØÓ ÕÙ ϕ (t)+ϕ (t) 2 = 2πt+ π 2.

72 X X a(t) ϕ ϕ 2πt a(0) 2πt+π/2 S 1 ÙÖ º¾ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ ÍØ Ð Þ Ò Ó ÕÙ Ó ¾º½ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Óº i(x )+i(x ) = ϕ (1) ϕ (0)+ϕ (1) ϕ (0) 2π = ϕ (1)+ϕ (1) ϕ (0) ϕ (0) 2π 5π π = = 2, 2π È Ö Ó Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ò ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÒÓ Ò Ò ØÓ S 2 Ô Ö ÑÔÓ ÔÓÐ ÒÓÑ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÓÑÔ Ø Ó ÈÓ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò Ë Ó º½º º ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ø Ó Ö Ú Ö ÑÓ Ò Ø Ó Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó ÔÖ Ð Ñ Ò Ö Ó Ö Ó ØÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓ Ö ÑÓ ÒÓ ÔÖÓ ÙÒ Ö Ò Ø ÓÖ ÔÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÖÓ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ò Ô Ö Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó Ñ Ù ÒØ º Ç Ð ØÓÖ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ó Ñ Ó Ø Ö Ñ Ø Ð Ú Ó ÖØ Ó ¾ º Æ Ø ØÖ Ð Ó Ó ÙØÓÖ Ñ ÄÐ Ö Ö Ú Ñ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ð Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó ÒÓ Ò Ò ØÓ Ô Ö ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ó Ò Ø ÕÙ Ð Ö Ó º

73 ÁÒ ÐÑ ÒØ Ú ÑÓ Ö Ú Ö ÓÙØÖ Ñ Ò Ö Ó Ø Ö ÙÑ ÓÑÔ Ø Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÒÓÑ Ò ÓÑÔ Ø Ó Ø Ö Ó Ö º Ë X = (P,Q) : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö Ù dº Î ÑÓ Ò Ö Ö S 2 s ÓÑÓ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ {y R 3 : y y (y 3 1/2) 2 = 1/4}º ÓÒ Ö Ó ÔÐ ÒÓ R 2 ÓÑÓ Ò Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ S 2 s ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,0,0) p N = (0,0,1) Ó ÔÓÐÓ ÒÓÖØ S 2 sº Á ÒØ ÕÙ Ó ÔÐ ÒÓ R 2 ÓÑ Ö S 2 s \ {p N }º Ø ÒØ Ó Ö Ð Þ ØÖ Ú ÔÖÓ Ó Ø Ö Ó Ö S 2 s Ô ÖØ Ö Ó ÔÓÐÓ ÒÓÖØ ÒÓ ÔÐ ÒÓ R 2 º Ø ÔÖÓ Ó Ö Ð ÓÒ ÔÓÒØÓ (x 1,x 2 ) R 2 ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ (y 1,y 2,y 3 ) S 2 s \ {p N } ØÖ Ú Ù ÒØ Ö Ð x 1 = y 1 1 y 3, x 2 = y 2 1 y 3. Ë X = (F 1,F 2,F 3 ) Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÙÞ Ó Ñ S 2 \{p N }º ØÖ Ú Ö Ð Ñ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÓÓÖ Ò F i Ó ÔÓÖ F 1 (y 1,y 2,y 3 ) = F 2 (y 1,y 2,y 3 ) = F 3 (y 1,y 2,y 3 ) = ( ( ) ( )) 1 y 3 y1,p 2 y1 y 2 y1 y 2, y 1 y 2,Q,, 1 y 3 1 y 3 1 y 3 1 y ( ( ) ( 3 )) y1 y 2 y 1 y 2,P, +1 y 3 y2 2 1 y 3 1 y,q y1 y 2,, 3 1 y 3 1 y ( ( ) ( 3 )) y1 y 2 y1 y 2 y 1 (1 y 3 ),P, +y 2 (1 y 3 ),Q,. 1 y 3 1 y 3 1 y 3 1 y 3 Ø ÑÔÓ ÒÓ Ø Ò Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ p N Ñ ÔÓ ÑÓ Ø Ò ¹ÐÓ Ô Ö ØÓ Ö º È Ö Ø Ð Ø Ö Ð Þ Ö ÙÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð ÓÒ Ö Ö Ó ÑÔÓ S(X)(y 1,y 2,y 3 ) = (1 y 3 ) n (F 1 (y 1,y 2,y 3 ),F 2 (y 1,y 2,y 3 ),F 3 (y 1,y 2,y 3 )). Ç ÑÔÓs(X) Ò Ó Ñ Ñ Ó ÓÑÔ Ø Ó Ø Ö Ó Ö Ó ÑÔÓ Xº Ç ÖÚ ÕÙ p N ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó s(x)º Ë X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð C 1 º Ë p R 2 γ X : I p R 2 ÙÑ Ö Ø X Ø Ð ÕÙ γ X (0) = p Ò ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ Ü Ñ Ð I p ÓÒØ Ò Ó ÓÖ Ñº Þ ÑÓ ÕÙ X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð Ñ Ø Ó Ô Ö ØÓ Ó p R 2 Ü Ø Ö ÙÑ ÓÑÔ ØÓ K R 2 Ø Ð ÕÙ γ X (t) K Ô Ö t I p (O,+ )º ÈÖÓÔÓ Ó º º½º Ë X : R 2 R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ð Ñ Ø Óº Ë Ó ÕÙ Ð Ö Ó X Ó Ò ØÓ ÒØÓ ÓÑ Ù Ò Ù Ð ½º

74 ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÒ Ö s(x) ÓÑÔ Ø Ó Ø Ö Ó Ö Xº ÓÑÓ X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ü Ø Ñ Ö Ø s(x) Ø Ò Ó Ó ÔÓÐÓ ÒÓÖØ p n µ ÓÑÓ ÓÒ ÙÒØÓ ω¹ð Ñ Ø º ÈÓÖØ ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ñ ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ô Ö Ð Ó Ò Ñ Ô Ö Ð Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó p n Ó ÑÔÓ s(x)º È Ð ÖÑÙÐ Ò Ò¹ Ü ÓÒ Ó Ø ÑÓ ÕÙ i s(x) (p n ) = 1. ÓÑÓ ØÓ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó s(x) Ó Ò ØÓ Ó Ø ÑÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ÀÓÔ ÕÙ ÓÑ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ñ s(x) Ù Ð ¾º ÈÓÖØ ÒØÓ i s(x) (p n ) = 1 Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÓÑ Ó ÕÙ Ð Ö Ó X Ù Ð ½º º ÈÓÒØÓ Ö Ø Ó Ë f : R 2 R ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð Ö Ù dº Þ ÑÓ ÕÙ (x 0,y 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f ÕÙ Ò Ó f x (x 0,y 0 ) = f y (x 0,y 0 ) = 0 Ñ ÕÙ f x f y Ó Ö Ú Ô Ö f ÓÑ Ö Ð Ó x y Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë (x 0,y 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Þ ÑÓ ÕÙ (x 0,y 0 ) Ò Ö Ó ÕÙ Ò Ó det 2 f x 2(x 0,y 0 ) 2 f yx (x 0,y 0 ) 2 f xy (x 0,y 0 ) 2 f y 2(x 0,y 0 ) = 0. Ó ÓÒØÖ Ö Ó Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó (x 0,y 0 ) ÒÓ¹ Ò Ö Óº ÍÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÒÓ¹ Ò Ö Ó ÑÔÖ ÓÐ Ó Ó Ø ÔÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð ÓÙ Ð º Î ÑÓ ÓÒ Ö Ö m = Ò Ñ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÓ f, n = Ò Ñ ÖÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ f, s = Ò Ñ ÖÓ Ð f. ÍÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÔÐ Ò ÓÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ó Ò Ú Ð Þ ÖÓ Ð ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð Ñ Ò Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ò ÑÓ Ó Ö Ù ÙÑ ÙÖÚ

75 Ð Ö ÔÐ Ò Ö Ð Ô ÐÓ Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ ÒÓÖ Ö Ù ÕÙ Ò º Ü ÑÔÐÓ º º½º ÓÒ Ö ÖÙÒ Ö Ò x 2 +y 2 = a 2 a > 0º Ø ÙÖÚ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ù ¾ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ð ÔÓÖ Ö Ó Ò Ú Ð Þ ÖÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f(x,y) = x 2 +y 2 a 2 º Ì ÓÖ Ñ º º½ Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙصº Ë Ñ A B Ù ÙÖÚ Ð Ö ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ðº Ë A B ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÑÙÑ ÒØÓ Ø ÙÖÚ ÒØ Ö ÔØ Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ab Ú Þ Ñ ÕÙ a b Ó Ó Ö Ù ÙÖÚ A B Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÍÑ ÔÖÓÚ Ô Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ º ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò Ø Ø ÓÖ Ñ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð f : R 2 R Ö Ù d ÓÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÐ Ó ÔÓ Ù ÒÓ Ñ Ü ÑÓ (d 1) 2 ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÒØ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ º ØÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÙÖÚ Ð Ö f x = 0 f y = 0 Ö Ù (d 1)º Ø ÙÖÚ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÙÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÑÙÑ ÔÓ ØÓ ÑÔÐ Ö ÕÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ö Ñ ÒØ ÔÓÖ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ø ÒÓ Ö Ñ ÓÐ Ó º ÄÓ Ó ÔÐ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ (d 1) 2 ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó fº Ë f : R 2 R ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð Ö Ù d ÓÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÐ Ó º Ë f : R 2 R 2 Ó ÑÔÓ Ö ÒØ Ö Ö ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó fº ÍÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ö ÒØ º ÓÑÓ ÕÙ ÒØ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ò Ø Ó ÑÔÓ f Ø Ñ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó º ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÖÙÒ Ö Ò C ÒØÖ Ò ÓÖ Ñ Ö Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ø Ñ ÓÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ö Ó Ð Ñ Ø ÔÓÖ Cº ÓÒ Ö ÑÓ I Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ Ó Ó ÑÔÓ Ö ÒØ Ñ ØÓÖÒÓ C M 0,...,M s Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó fº Ø ÑÓ Ó Ó Ø ÑÓ s I = i f (M k ). k=1 Ò ÑÓ Ó Ò Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f ÓÑÓ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Iº Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ñ ØÓ Ó ÒÓ¹ Ò Ö Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ I = m+n s, º½µ ÔÓ Ó Ò Ó ÑÔÓ Ö ÒØ ÒÙÑ ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ð Ù Ð ½ ÒÙÑ Ð ¹½º

76 ÈÖÓÔÓ Ó º º½º Ë f : R 2 R ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù dº Ë Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ó ÓÐ Ó ÒÓ Ò Ö Ó ÒØÓ I d 1. ÑÓÒ ØÖ Ó ÙÖÚ Ç ÑÔÓ Ö ÒØ f Ó Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ö D = {(x,y) R 2 : f y (x,y) = 0}. Ç ÔÓÒØÓ Ó Ö ÖÙÒ Ö Ò C Ñ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ö ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ò ÒØ C Dº Ó C ÙÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ D Ó Ø ÑÓ ÕÙ I = 0 ÕÙ Ó ÑÔÓ Ö ÒØ ÓÒØ ÒÙÓº Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÙÖÚ C D ÒØ Ö ÔØ Ñ Ñ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ú Þ ÑÓ jº È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ Ó Ø ÑÓ j 2(d 1). Ñ ÙÑ Ó j ÔÓÒØÓ C D Ó ÑÔÓ Ö ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÔÓÒØ Ô Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÖÙÒ Ö Ò C ÓÙ Ô Ö Ö Ó ÓÔÓ Ø º ÓÑÓ ÒÓ ÕÙ Ð Ö Ó f Ó Ö ÙÖÚ C Ô Ð ÓÒØ ÒÙ Ó ÑÔÓ Ö ÒØ Ó ÔÓÒØÓ C D Ù Ó Ó ÑÔÓ Ö ÒØ ÔÓÒØ Ô Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ C Ú Ü Ø Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ C D ÔÓÒØ Ò Ó Ô Ö Ó ÜØ Ö ÓÖ C ÒØÖ Ð º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ø ÑÓ 2 I j 2(d 1). Á ØÓ ÔÖÓÚ Ó Ö ÙÐØ Óº Ù Ö ÒÓÒØÖ ¹ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð Ö Ù d Ø Þ Ò Ó ÓØ Ò Ö ÓÖ ÈÖÓÔÓ Ó º º½ ÓÙ ÓÑ I = 1 dº Ü ÑÔÐÓ º º¾º ÓÒ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ó ÔÓÖ f(x,y) = (y a 1 x b 1 )(y a 2 x b 2 ) (y a d x b d ), ÓÑ a 1,...a d,b 1...b d Rº Ö Ø l k = (y a k x b k ) Ô Ö k = 1,...,d Ó Ø ÕÙ ÕÙ ÕÙ Ö Ù Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÒÓ ØÖ ÓÙ Ñ Ö Ø ÒØ Ö ÔØ Ò Ó

77 Ñ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓº Ö Ø ÒØ Ö ÔØ Ñ Ñ (d 1)(d 2)...1 = d(d 1). 2 Ö Ø ÒØ Ö ÔØ Ñ d 1 ÔÓÒØÓ ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ü Ø Ñ d Ñ ÒØÓ Ñ Ö Ø º ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ú Ó Ñ d 2 Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø Ó ÓÙ Ð Ñ Ø Ó º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÐ Ö ¹ Ö Ø Ú ÖØ ½µ Ó Ø ÑÓ ÕÙ (d 2 +d+2)/2 Ö Ð Ñ Ø ÓÙ Ð Ñ Ø º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ñ 2d Ö Ð Ñ Ø ÒØÓ Ø ÑÓ d 2 3d+2 2 = (d 1)(d 2) 2 Ö Ð Ñ Ø º ÈÓ ¹ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ö Ó Ö Ø l k ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ó Ø ÔÓ Ð º ÒØÓ Ü Ø Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ d(d 1)/2 ÔÓÒØÓ Ð º Ë D ÙÑ Ö Ó ÖØ Ð Ñ Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ô Ð Ö Ø l k º ËÓ Ö Ö Ø l k ÙÒÓ f ÒÙÐ ÒÓ ÓÙØÖÓ Þ ÖÓ Ô Ð ÓÒ ØÖÙÓ f º Ç ÖÚ ÕÙ D ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÔ ØÓ Ô Ð ÓÒØ ÒÙ f Ú Ü Ø Ö ÙÑ ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ð f Ñ Dº Å Ñ D ÙÒÓ f ÒÓ ÑÙ Ò Ð ÒØÓ Ü Ø Ñ D Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f º ÓÑÓ Ü Ø Ñ (d 1)(d 2)/2 Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÓÙØÖÓ (d 1)(d 2)/2 ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó f Ð Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ð Ö ØÓ Ñ º ÒØÓ d(d 1) 2 + (d 1)(d 2) 2 = d 1 (d+d 2) 2 = d 1 (2d 2) 2 = (d 1) 2, ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÕÙ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù d ÔÓ Ø Öº Ç Ø ÑÓ ÒØÓ ÕÙ s = d(d 1)/2 m+n = (d 1)(d 2)/2º ÈÓÖØ ÒØÓ I = m+n s = (d 1)(d 2) 2 = d 1 ( 2) 2 = 1 d. d(d 1) 2

78 ¼ Á ØÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ó Ò I Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f 1 dº ÍÑ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð ÓÑ I > 1 ÒÓ ØÖ Ú Ðº Ç ÔÓÐ ÒÑ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÒÓ Ü ÑÔÐÓ º º ÔÓ Ù Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ Ò Ò ÙÑ ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÒ ÕÙ ÒØ ¹ Ñ ÒØ Ø ÔÓÐ ÒÑ Ó Ø Ñ Ò Ù Ð Ó º Ü ÑÔÐÓ º º º ÓÒ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f(x,y) = x 2 y 3 +y 5 y. Ö Ú Ô Ö f Ó f x (x,y) = 2xy3, f y (x,y) = 3x2 y 2 +5y 4 1. Ç Ò Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó Ö f Ó P 1 = (0, 5 1/4 ) P 2 = (0,5 1/4 )º Î ÑÓ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ø ÔÓ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó P 1 P 2 º Ö Ú Ô Ö ÙÒ ÓÖ Ñ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f Ó 2 f x 2(x,y) = 2y3, 2 f xy (x,y) = 6xy2, 2 f y 2(x,y) = 6x2 y +20y 3. ÄÓ Ó ÔÐ Ó À Ò ÔÓÖ H(x,y) = 2y 3 (6x 2 y +20y 3 ) 36x 2 y 4 ÑÔÐ Ò Ó ÕÙ H(P 1 ) = (8/5) 5 = H(P 2 )º Á ØÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ P 1 P 2 Ó ÜØÖ ÑÓ ÐÓ f ÒÓ Ü Ø ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ Ö Ø Óº Ð Ñ Ó P 1 Ñ Ü ÑÓ ÐÓ Ð P 2 Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f º Ì ÓÖ Ñ º º¾º Ë f : R 2 R ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð ÓÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÐ Ó º Ë ÙÖÚ Ò Ú Ð f Ó ØÓ ÓÑÔ Ø ÒØÓ I = 1 Ñ ÕÙ I ÓÑ ØÓ Ó Ó Ò Ó ÑÔÓ f º ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÖÚ Ò Ú Ð f Ñ ØÓ ÓÑÔ Ø ÒØÓ Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ω f Ó Ó ÙÒÓ Ñ ÐØÓÒ Ò f ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ø Ó ÑR 2 º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º º½ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÓÑ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó Ó f Ù Ð ½º È Ð ÈÖÓÔÖ ¾º º¾ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÓÑ Ó Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÑÔÓ Ö ÒØ f Ù Ð ½ ØÓ I = 1º Ë f : R 2 R ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð Ö Ù d ÓÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÐ Ó º ÓÒ Ö f Ó ÑÔÓ Ö ÒØ f Ó ÕÙ Ð ÔÓ Ù Ö Ù d 1º Ë f x = P m + + P N1

79 ½ ÙÖ º Ö Ó f(x,y) = x 2 y 3 +y 5 yº f y = Q n + + Q N2 Ñ ÕÙ P i Q j Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù i j Ö Ú Ô Ö f Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö i = m,...,n 1 j = n,...,n 2 º Ç ÖÚ ÕÙ N 1,N 2 d 1 N 1 = d 1 ÓÙ N 2 = d 1º ÈÖÓÔÓ Ó º º¾º Ë f : R 2 R ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ð ÓÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÓÐ Ó Ö Ù dº Ë Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð (P N1,Q N2 ) ÔÓ Ù Ö ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÐ Ó Ò ÓÖ Ñ ÒØÓ I max{1,d 3}. ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð (P N1,Q N2 ) Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ó¹ Ð Ó Ò ÓÖ Ñº Ë Ù Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÕÙ I = i (PN1,Q N2 )(O). Ë Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÔÓ ÑÓ ÙÔÓÖ N 1 = d 1º ÓÒ Ö Ò Ó N 2 < N 1 ÓÑ N 1 + N 2 ÙÑ ÒØ ÖÓ ÑÔ Ö Ù Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ÕÙ i (PN1,Q N2 )(O) = 0º ÈÓÖØ ÒØÓ I = 0 Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º ÓÒ Ö Ò Ó N 2 < N 1 ÓÑ N 1 +N 2 ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Ö Ù Ó Ì ÓÖ Ñ ÕÙ i (PN1,Q N2 )(O) min{n 1,N 2 } = N 2 º Ë N 1 ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Ö ÒØÓ N 2 ÙÑ ÒØ ÖÓ Ô Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ N 1º ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ N 2 N 1 2 d 3º ÄÓ Ó I d 3º Ç Ñ ÑÓ ÓÒØ N 1 ÙÑ ÒØ ÖÓ ÑÔ Öº