DISTRIBUIÇÃO DE MONTANTES E DIAGONAIS BASEADA NA MINIMIZAÇÃO DO VOLUME DE MADEIRA DE TRELIÇAS PLANAS

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1 DISTRIBUIÇÃO DE MONTANTES E DIAGONAIS BASEADA NA MINIMIZAÇÃO DO VOLUME DE MADEIRA DE TRELIÇAS PLANAS Dogmar A. de Souza Jr, Universidade de Uberaba, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG. dogmar.souza@uniube.br Francisco A. Romero Gesualdo e Lívia Maria Palácio Ribeiro, Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Engenharia Civil, Uberlândia, MG. gesualdo@ufu.br e livia_palacio@yahoo.com.br Resumo: A madeira é um material que pode ser empregado na construção civil na sua forma natural ou de compósito. Suas propriedades mecânicas e a facilidade de obtenção e manuseio possibilitaram seu emprego desde a antiguidade. Além disto, diferente de outros materiais, como o aço e o concreto, a madeira é uma fonte renovável de baixo consumo energético. No Brasil, a madeira tem sido aplicada principalmente em estruturas de cobertura, especialmente na forma de estruturas do tipo tesoura. Para facilitar o cálculo destas estruturas, os nós são considerados articulados e as terças apoiadas sobre os nós do banzo superior. Decorre destas hipóteses de cálculo que as barras estarão submetidas a apenas esforços normais. Entretanto, com os recursos computacionais disponíveis, tais simplificações não se justificam mais. O presente trabalho tem como objetivo apresentar o programa computacional OTP (OTimização de estruturas Planas) específico para otimização do consumo de material e dimensionamento de treliças planas. O programa foi elaborado em linguagem Delphi e utiliza os algoritmos genéticos como método de otimização. Também são apresentados os resultados obtidos na otimização dos parâmetros geométricos e, por conseqüência, do volume de madeira, de três modelos de treliças planas: Howe, Pratt e Belga. Em todos os casos, o programa OTP foi capaz de otimizar a geometria da estrutura com eficiência e robustez. Palavras-chave: Otimização, Treliças planas, Madeira, Algoritmos genéticos. WEB DISTRIBUTION BASED ON TIMBER VOLUME MINIMIZATION OF PLANE TRUSS Abstract: Wood as a building material can be used in natural form or as a composite. Their satisfactory mechanical properties, availability and workability allow their use since the antiquity. Furthermore, despite of steel and concrete, wood is a renewable material with reduced energy consumption. In Brazil, timber has been mainly used as roof structure, especially as gable structure. In order to facilitate the design, nodes are considerate as pins and also purlins are supported by the top chord. These assumptions promote several simplified results that can be avoided nowadays if the computer is used. So in this way, this work presents a software called OTP (OpTimization of Plane structures) for optimizing the consumption of wood and the design of plane truss. The software is based on Genetics Algorithms using Delphi as the computational language. Also it is presented the results from the optimization of geometric parameter, having as consequence the timber volume for three gable truss such as Howe, Pratt and Belga. For all cases the software OTP was able to optimize efficiently and robustly the structural geometry. Keywords: Optimization, Plane Structures, Wood, Genetics Algorithms.

2 1. Introdução A madeira é um material orgânico, de origem vegetal, encontrada tanto em florestas naturais quanto em florestas artificiais resultantes de reflorestamentos industrializados. Diferente de outros materiais, como o aço e o concreto, a madeira é uma fonte renovável de baixo consumo energético. Devido às suas propriedades físicas e mecânicas e, principalmente, devido a sua trabalhabilidade, ela tem sido utilizada como elemento estrutural desde a antiguidade. Na construção civil, a madeira pode ser utilizada para diversos fins, tais como: fôrmas, escoramento, construções provisórias, pilares, vigas e placas. Apesar de suas propriedades e potencialidades, no Brasil, segundo Stamato, Serra e Morais (2000) (1), a madeira como elemento estrutural, tem sido mais comumente empregada em estruturas de cobertura, principalmente, no sistema treliçado plano. Para facilitar o cálculo de estruturas do tipo tesoura (treliça plana), os nós são considerados articulados e as terças apoiadas sobre os nós do banzo superior. Decorre destas hipóteses de cálculo que as barras estarão submetidas a apenas esforços normais. Entretanto, com os recursos computacionais disponíveis atualmente, tais simplificações não se justificam. A aplicação correta da madeira, por meio da escolha adequada da espécie e do sistema estrutural, permite equipará-la e até avantajá-la em relação ao concreto e ao aço em suas aplicações. Sendo assim, o uso de procedimentos de otimização podem auxiliar na ampliação das possibilidades de emprego da madeira, uma vez que permitem otimizar a eficiência do sistema estrutural, considerando as propriedades da madeira durante o processo de otimização. Pode-se citar, então, o trabalho de Christoforo, Nascimento e Lahr (2006) (2) que determinaram numericamente a rigidez de treliças planas de madeira para otimizar a escolha do tipo de madeira a ser empregado. Outra forma de alcançar este objetivo é otimizar a geometria da estrutura, minimizando o consumo de madeira e homogeneizando as solicitações em todo o conjunto de barras. O objetivo deste trabalho é apresentar o programa computacional OTP (OTimização de estruturas Planas) específico para otimização do consumo de material e dimensionamento de estruturas do tipo tesoura. Além disto, serão mostrados os resultados obtidos na otimização dos parâmetros geométricos de estruturas de madeira do tipo tesoura. São avaliados três modelos de tesoura: Howe, Pratt e Belga. 2. Algoritmos genéticos De maneira simples, pode-se dizer que otimizar é determinar os valores ótimos das variáveis de projeto que otimizem o valor da função objetivo, segundo um critério prévio de busca estabelecido. Tal critério deve possibilitar encontrar a solução ótima ou quase ótima sem avaliar todas as possíveis soluções. Para resolver os problemas de otimização foram desenvolvidos diversos métodos de busca. Entre eles se encontra o método dos Algoritmos Genéticos (AGs) desenvolvido por John Holland. O método dos AGs é baseado na teoria da evolução de Darwin. Diferente de outros métodos, ele parte de um conjunto de possíveis soluções (indivíduos). Cada indivíduo (cromossomo) é formado por um conjunto de genes. Cada gene representa uma variável de projeto e pode assumir qualquer valor dentro do domínio da respectiva variável. A cada geração são criadas novas soluções pela aplicação de operadores genéticos, também inspirados na génetica natural.

3 Assim como na teoria evolucionária, por meio do operador genético, seleção, os indivíduos melhor adaptados ao problema (maior valor de função aptidão) vão dominando a população enquanto que indivíduos com menores valores de função aptidão são extintos da população. Por outro lado, de acordo com Braga (1998) (3) e Goldberg (1989) (4) a aplicação dos operadores genéticos: recombinação (cruzamento) e mutação garante a diversidade da população e a exploração de novos pontos no espaço de busca. Existem diversos operadores de recombinação na literatura. Em particular, neste trabalho foi utilizada a recombinação discreta. A aplicação deste operador consiste em trocar aleatoriamente, os valores das variáveis de projeto entre dois indivíduos. Já o operador mutação altera aleatoriamente o valor de um gene de um indivíduo, também escolhido aleatoriamente. Em ambos os casos, o controle da aplicação destes operadores é feito pelo usuário que define previamente, as taxas de recombinação e de mutação. Segundo Souza Jr (2005) (5) e Silva (1999) (6) a robustez e eficiência dos AGs em problemas de multimodalidade e na presença de ruído colaboraram muito para o crescimento do uso deste método de busca, sobretudo na engenharia. Como exemplo, cita-se os trabalhos de Castilho (2006) (7) que investigou por meio dos algoritmos genéticos a minimização de custos na confecção de lajes formadas por vigotas protendidas e, Gomes e Silva (2006) (8) que empregaram o método dos algoritmos genéticos para detectar falhas estruturais em vigas a partir de medições experimentais das frequências naturais Programa computacional OTP O programa computacional OTP (2007) (9) foi desenvolvido em linguagem Delphi e é baseado no método dos Algoritmos Genéticos (AGs). A fig. 1 ilustra a tela principal do programa OTP. Figura 1 Tela principal do programa computacional OTP.

4 Para iniciar o processo de otimização, o usuário deve fornecer ao OTP as seguintes constantes de projeto: comprimento da cobertura, largura da cobertura (B), propriedades físicas e mecânicas da madeira, distância máxima entre tesouras (usada para calcular as forças atuantes na tesoura), peso próprio das telhas, sobrecarga, os parâmetros necessários para cálculo das forças devidas à ação de vento de acordo com a NBR 6123:1988 (10) e a quantidade de divisões dos banzos (m/2). Além das constantes, tem-se ainda as seguintes variáveis de projeto para cálculo da função objetivo: ângulo de inclinação dos banzos superiores, seção transversal das peças de madeira e os parâmetros a i que definem a posição da barras internas da tesoura. Sendo assim, para criar o espaço de busca o usuário deverá fornecer alguns limites para estas variáveis, como os ângulos mínimo e máximo dos banzos superiores, a largura mínima e máxima da seção transversal e a altura mínima e máxima da seção transversal. Se preferir o usuário poderá utilizar o banco de dados que contém os perfis de madeira usuais do mercado brasileiro. Neste caso, as duas variáveis de projeto, largura e altura da seção transversal, se reduzem a uma, a posição da seção transversal no banco de dados. O programa OTP está preparado para otimizar três modelos de tesouras: Howe, Pratt e Belga. A fig. 2, a fig. 3 e a fig.4 ilustram estes três modelos, respectivamente. Como pode ser visto, as posições das terças não necessariamente coincidem com as posições dos montantes. Esta é outra vantagem do programa. O usuário pode escolher a quantidade e posição das terças. Contudo, se ele não fizer isto, o programa considerará que as terças estão posicionadas sobre os nós do banzo superior. Figura 2 Treliça Howe com seis módulos. Figura 3 Treliça Pratt com seis módulos. Figura 4 Treliça Belga com seis módulos.

5 A função objetivo minimizada pelo programa computacional OTP é o volume de madeira necessário para montar cada tesoura (eq. 1). V = n i = 1 A L i (1) onde: A é a área da seção transversal, L i é o comprimento da i-ésima barra e n é número total de barras. As variáveis a i representam o comprimento de cada barra que forma o banzo inferior da tesoura, nos casos de tesoura Howe e Pratt e, no caso da tesoura Belga, representam a projeção do comprimento de cada barra que forma o banzo superior. Devido a simetria da estrutura, a eq. 2 é sempre verificada. 2 m / 2 i = 1 a i = B (2) A partir dos dados fornecidos pelo usuário, o programa computacional OTP gera o espaço de busca, cria aleatoriamente a população inicial e avalia cada indivíduo segundo a função objetivo e a função aptidão. A função aptidão definida para o problema é a função inverso da função objetivo. Para o indivíduo com maior valor de função aptidão é gerada a malha geométrica da estrutura, as condições de contorno e o carregamento. Com estes dados, o programa computacional GESTRUT (2007) (11), acoplado ao OTP, determina os deslocamentos nodais e os esforços nas barras da estrutura. Em seguida, o programa OTP faz o dimensionamento da estrutura seguindo as recomendações da NBR 7190:1997 (12). Se a estrutura não atender a todos os critérios da norma, o indivíduo é descartado da população e seleciona-se o segundo indivíduo melhor adaptado ao problema. O processo é repetido até que um indivíduo atenda a todos os critérios de dimensionamento. Em seguida, o programa OTP aplica os operadores genéticos, seleção (método da roleta), recombinação discreta e mutação. O processo é interrompido quando é alcançado o número de gerações fornecido pelo usuário. 3. Resultados Todas as análises foram realizadas por meio do programa computacional OTP. A tab. 1 apresenta os valores adotados para as constantes de projeto e a tab. 2 mostra os limites para as variáveis de projeto, respectivamente. Para a seção transversal foi utilizado o banco de dados instalado no OTP. Nele estão cadastrados os perfis: 5x5cm, 5x7cm, 5x11cm, 5x15cm, 8x20cm, 8x25cm e 8x30cm. Tabela 1 Valores adotados para as constantes de projeto. Comprimento da cobertura 20 m Largura da cobertura 10 m Número de módulos (m) 8 Madeira Dicotiledônea C30 Ligações contínuas (rígidas) Sim Tabela 2 Valores adotados para os limites das variáveis de projeto. Ângulo mínimo de inclinação 5 Ângulo máximo de inclinação 30 Quantidade de perfis cadastrados no banco de dados 9

6 A tab. 3 mostra os valores empregados pelo OTP para calcular o carregamento nodal na estrutura e a tab. 4 ilustra a posição no eixo X das terças. Tabela 3 - Valores usados para definir o carregamento das estruturas. Peso próprio das telhas 0,17 kn/m 2 Sobrecarga 0,25 kn/m 2 Velocidade básica do vento 25 m/s Fator S 1 1,00 Fator S 2 1,00 Fator S 3 1,00 Ângulo de incidência do vento 0 Quatro faces permeáveis Sim Tabela 4 Posição das terças no eixo X. Terça Posição no eixo X (m) 1 0,10 2 1,25 3 2,50 4 3,75 5 4,90 6 5,10 7 6,25 8 7,50 9 8, ,90 Vale ressaltar que as forças devidas ao peso próprio da tesoura e a sobrecarga são aplicadas nos nós superiores do banzo superior enquanto que as forças devidas ao peso das telhas e da ação do vento são aplicadas nas posições definidas para as terças sobre as barras que formam o banzo superior. Também foram fornecidos ao programa computacional OTP, os valores dispostos na tab. 5, específicos para a execução do algoritmo genético. Tabela 5 - Valores para os parâmetros do AG. Geração 200 População 50 Taxa de recombinação 0,80 Taxa de mutação 0, Treliça Howe Considerando os valores da tab. 1 à tab. 5, foram realizadas 20 avaliações para a tesoura tipo Howe. Os resultados obtidos estão ilustrados na tab. 6, na fig. 4 e na fig. 5. Tabela 6 Resumo dos resultados obtidos na otimização da treliça Howe. Função Ângulo de objetivo inclinação A 1 a 2 a 3 a 4 Média 0,2740 m³ 19,3º 1,1409m 1,1963m 1,2046m 1,4583m Desvio Padrão 0,0045 m³ 1,02º 0,1485m 0,1689m 0,2092m 0,1445m Coeficiente de variação (%) 1,64 13,0 13,01 14,12 17,37 9,91

7 Percebe-se que apesar das variáveis de projeto apresentarem uma dispersão considerável nos seus valores - coeficientes de variação entre 9,9% e 17,4%, a função objetivo teve um baixo coeficiente de variação (1,64%). Isto mostra que é possível minimizar o volume de madeira da tesoura com diversas configurações geométricas. É importante ressaltar que em todas as avaliações a seção transversal otimizada foi de 5x15cm. O tempo médio de processamento foi de 2 minutos e 13 segundos com um coeficiente de variação de 17%, o que é aceitável num problema de minimização. Howe 0,2900 Volume de madeira (m³) 0,2800 0,2700 0,2600 Figura 4 Resultados obtidos da otimização para a função objetivo (volume de madeira) da tesoura Howe. Howe Howe Ângulo de inclinação (º) Parâmetro ai (cm) a1 a2 a3 a4 (a) (b) Figura 5 Resultados obtidos da otimização para as variáveis de projeto da tesoura Howe; (a) Ângulo de inclinação versus ; (b) Parâmetros a i versus. A tab. 7 mostra os valores obtidos para a melhor solução encontrada nas 20 avaliações, enquanto que a fig. 6 ilustra a geometria otimizada da tesoura Howe. Tabela 7 Resultados dos parâmetros otimizados da tesoura Howe. Ângulo de inclinação 17º Seção transversal 5x15 cm Parâmetro a 1 1,1923 m Parâmetro a 2 1,1154 m Parâmetro a 3 1,2692 m Parâmetro a 4 1,4231 m Volume de madeira 0,2637 m³ Figura 6 Geometria otimizada da tesoura Howe com barras numeradas.

8 Neste trabalho, a função objetivo otimizada é o volume de madeira. Entretanto, sendo o dimensionamento da estrutura, uma restrição do problema, espera-se que as barras tenham solicitações próximas. Para realizar este estudo foi empregado o programa computacional GESTRUT. Ele é capaz de ler o arquivo de dados disponibilizado pelo OTP, calcular os deslocamentos e esforços da estrutura e, dimensionar as barras. Na combinação de carregamento crítica, o vento era de sucção. Conforme estabelece a NBR 7190 (ABNT, 1997) (10), sendo o vento uma ação variável, ele foi descartado nesta combinação. Segue daí, que o carregamento da estrutura é simétrico. Por isso, na fig. 7 são apresentados os índices de aproveitamento apenas para as barras de 1 à 15. 0,600 Índice de aproveitamento 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, Barra Resistência Estabilidade X Estabilidade Y Figura 7 Índice de aproveitamento para as barras da estrutura tipo Howe otimizada. Percebe-se pela fig. 7 que as maiores solicitações estão associadas a estabilidade em torno eixo Y, como era esperado, por ser o eixo de menor inércia. Nota-se também que as diagonais e montantes tem pouca solicitação se comparadas com as barras dos banzos Treliça Pratt O modelo Pratt também foi otimizado 20 vezes a partir dos valores da tab. 1 à tab. 5. Os resultados obtidos são mostrados na tab. 8, na fig. 8 e fig. 9. Em todas as avaliações a seção transversal otimizada foi de 5x15cm. O tempo médio de processamento foi de 2 minutos e 5 segundos, com um coeficiente de variação de 13%. Tabela 8 Resumo dos resultados obtidos na otimização da treliça Pratt. Função Ângulo de objetivo inclinação a 1 a 2 a 3 a 4 Média 0,2549 m³ 920,0º 1,2885m 1,0980m 1,2248m 1,4096m Desvio Padrão 0,0038 m³ 1,92º 0,0919m 0,2144m 0,1788m 0,1358m Coeficiente de variação (%) 1,47 9,17 7,14 19,52 14,60 9,63 Para a treliça Pratt, as variáveis de projeto também apresentaram uma dispersão alta, sendo que o parâmetro a 2 teve o maior coeficiente de variação, 19,52%. Contudo, a função objetivo apresentou um baixo coeficiente de variação (1,47%), menor inclusive que o apresentado pelo modelo Howe.

9 Pratt 0,270 Volume de madeira (m³) 0,260 0,250 0,240 Figura 8 Resultados obtidos da otimização para a função objetivo (volume de madeira) da tesoura Pratt. Pratt Pratt Ângulo de inclinação (º) Parâmetros ai (cm) a1 a2 a3 a4 (a) (b) Figura 9 Resultados obtidos da otimização para as variáveis de projeto da tesoura Pratt; (a) Ângulo de inclinação versus ; (b) Parâmetros a i versus. Os resultado obtidos para a melhor soução dentre as 20 avaliações são apresentados na tab. 9 e na fig. 10 é mostrada a geometria otimizada da solução ótima. Tabela 9 Resultados dos parâmetros otimizados da tesoura Pratt. Ângulo de inclinação 19º Seção transversal 5x15 cm Parâmetro a 1 1,2903 m Parâmetro a 2 1,2903 m Parâmetro a 3 1,1291 m Parâmetro a 4 1,2903 m Volume de madeira 0,2518 m³ Figura 10 Geometria otimizada da tesoura Pratt com barras numeradas. A fig. 11 mostra os resultados dos índices de aproveitamento das barras de 1 à 15 da tesoura Pratt mostrada na fig. 10. Assim como para a tesoura Howe, os maiores índices de aproveitamento referem-se a estabilidade em torno do eixo Y. Percebe-se também que os

10 índices de aproveitamento das diagonais e montantes são significativamente menores que para as barras que formam os banzos. 0,600 Índice de aproveitamento 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, Barra Resistência Estabilidade X Estabilidade Y Figura 11 Índice de aproveitamento para as barras da estrutura tipo Pratt otimizada Treliça Belga Por fim, foram feitas 20 avaliações para a tesoura do tipo Belga. Também foram empregados na otimização os valores apresentados na tab.1 à tab. 5. Os resultados obtidos são ilustrados na tab. 10, na fig. 12 e fig. 13. O tempo médio de otimização foi de 1 minuto e 52 segundos com um coeficiente de variação de 14%. Considera-se este tempo como razoável para a solução de um problema de otimização. Tabela 10 Resumo dos resultados obtidos na otimização da treliça Belga. Função Ângulo de objetivo inclinação a 1 a 2 a 3 a 4 Média 0,2672 m³ 19,9º 1,1659 m 1,0363 m 1,2606 m 1,5351 m Desvio Padrão 0,0065 m³ 1,55º 0,1445 m 0,2200 m 0,1576 m 0,1951 m Coeficiente de variação (%) 2,42 7,80 12,40 21,23 12,50 12,69 Para este modelo, as variáveis de projeto também apresentaram coeficiente de variação altos, entre 12,4% e 21,3%. Contudo, ele apresentou um coeficiente de variação para a função objetivo baixo, 2,42%. Verifica-se que o modelo de tesoura Belga também admite diversas geometrias para a estrutura otimizada, ou seja, com o menor consumo de madeira. Belga 0,2800 Volume de madeira (m³) 0,2700 0,2600 0,2500 Figura 12 Resultados obtidos da otimização para a função objetivo (volume de madeira) da tesoura Belga.

11 Belga Belga Ângulo de inclinação (º) Distância entre montantes (cm) 180,00 150,00 120,00 90,00 60,00 a1 a2 a3 a4 (a) (b) Figura 13 Resultados obtidos da otimização para as variáveis de projeto da tesoura Bega; (a) Ângulo de inclinação versus ; (b) Parâmetros a i versus. A fig. 14 apresenta a estrutura otimizada do modelo Belga cujos parâmetros geométricos estão ilustrados na tab. 11. Em todas as avaliações a seção transversal otimizada foi de 5x15cm. Tabela 11 Resultados dos parâmetros otimizados da tesoura Belga. Ângulo de inclinação 17º Seção transversal 5x15 cm Parâmetro a 1 1,1450 m Parâmetro a 2 1,1832 m Parâmetro a 3 1,1833 m Parâmetro a 4 1,4885 m Volume de madeira 0,2550 m³ Figura 14 Geometria otimizada da tesoura Belga com barras numeradas. A fig. 15 mostra os resultados obtidos para o dimensionamento da treliça Belga otimizada. Devido à simetria da estrutura são apresentados os índices de aproveitamento apenas das barras de 1 à 14. Novamente, verifica-se que as diagonais e montantes são pouco solicitadas em comparação com as barras que formam os banzos e a solicitação crítica é a estabilidade em torno do eixo Y (menor inércia). Índice de aproveitamento 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, Barra Resistência Estabilidade X Estabilidade Y Figura 15 Índice de aproveitamento para as barras da estrutura tipo Belga otimizada.

12 4. Conclusões Em todas as avaliações realizadas o espaço de busca era formado por seis variáveis, sendo duas do tipo inteiro (ângulo de inclinação da cobertura e posição da seção transversal no banco de dados) e 4 variáveis do tipo real (parâmetros a i ). Devido a esta característica, o programa OTP apresentou dificuldades para encontrar a solução ótima, o que pode ser verificado pelo alto grau de dispersão nos valores encontrados para as variáveis de projeto. No entanto, os resultados obtidos para a função objetivo nos três modelos avaliados apresentaram uma pequena dispersão, o que pode ser constatado pelo coeficiente de variação, 1,64% para a treliça Howe, 1,47% para a treliça Pratt e 2,42% para a treliça Belga. Isto mostra que para cada modelo avaliado existem diversas configurações geométricas que minimizam a função objetivo satisfatoriamente. Utilizando o programa GESTRUT avaliou-se o índice de aproveitamento das barras, o que mostrou uma diferença elevada no grau de solicitação entre as barras dos banzos e as diagonais e montantes. Tal resultado é de grande importância, pois indica a necessidade de se trabalhar com grupos de barras para aumentar a eficiência dos sistemas estruturais em estudo, e por consequência, diminuir o consumo de madeira requerido em cada modelo. Por fim, os resultados aqui apresentados são limitados aos casos estudados. Contudo, mostram a viabilidade do uso de programas computacionais de otimização como ferramenta de suporte para projetistas e calculistas. 5. Referências (1) Stamato, G.C; Barata, T. Q. F.; Serra, R. L.; Morais, J. R. (2000). Pórtico de Seção Composta de Madeira Maciça e Compensado: Dimensionamento e Execução. In: ENCONTRO BRASILEIRO EM MADEIRAS E ESTRUTURAS DE MADEIRA, 7, São Carlos, Anais. São Paulo, USP, SET, LaMEM, CD-ROM. (2) Christoforo, A. L.; Parga, A. J.; Nascimento, M. F. de; Lahr, F. A. R. (2006). Determinação do módulo de elasticidade longitudinal em estruturas planas de madeira do tipo treliça plana pelo método de análise inversa. In: ENCONTRO BRASILEIRO EM MADEIRAS E ESTRUTURAS DE MADEIRA,10, São Pedro, Anais. São Paulo, SP, CD-ROM. (3) Braga, C. G. (1998). O uso de Algoritmos Genéticos para Aplicações em Problemas de Otimização de Sistemas Mecânicos. Uberlândia. 73 p. Dissertação (Mestrado) Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia. (4) Goldberg, D. E. (1989). Genetic Algorithms in Serch, Optimization e Machine Learning. 1.ed. Massachusetts, USA, Addison-Wesley Pub. Co, 412p. (5) Souza Jr, D. A.; Gesualdo, F. A. R. (2005). Análise da confiabilidade e eficiência do programa computacional OTR. In: SIMPÓSIO DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA, 15, Uberlândia, Anais. Minas Gerais, UFU, FEMEC, CD- ROM. (6) Silva, L. A. (1999). Estudo Avaliativo de Algoritmos Genéticos Aplicados a Problemas de Identificação em Elastodinâmica. 118p. Dissertação (Mestrado) Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia.

13 (7) Castilho, V. C. (2003). Minimização de componentes de concreto pré-moldado protendidos mediante algoritmos genéticos. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. (8) Gomes, H. M. e Silva, N. R. S. Da. (2006). Algoritmos genéticos para detecção de dano estrutural. Revista Sul-Americana de Engenharia Estrutural, v.3, n.1, p (9) OTP: Otimização de estruturas planas (2007). Programa computacional desenvolvido na Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlândia. (10) Associação Brasileira de Normas Técnicas (1988). NBR 6123: Forças devidas ao vento. Rio de Janeiro. 66p. (11) GESTRUT: Análise de estruturas tridimensionais reticuladas (2007). Programa computacional desenvolvido na Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlândia. (12) Associação Brasileira de Normas Técnicas (1997). NBR 7190: Projeto de Estruturas de Madeira. Rio de Janeiro. 107p.