Transcrição

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6 Ú ËÇ Ê ÇË ÍÌÇÊ Ë

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8 Ú Ê ÁÅ ÆÌÇË

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12 Ü ÈÊ ý ÁÇ

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19 ½º½º Î ÌÇÊ Ë ÇÈ Ê Ë ýëá Ë ÆÓØ ÕÙ ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ Ð Ø ÓÖ Ò Ò Ñ ÖÓ ÒÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÓÖ Ñ ÒÓ ÑÔÓÖØ º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ú ØÓÖ (, 2) ( 2, ) Ó Ø ÒØÓ ÓÙ Ò Ó Ø ÒØÓ ÒØÖ Ó Ú ØÓÖ (, 2, 3) (2, 3, ) (3,, 2) º º º Ç ÖÚ Ó ¾ ÈÓÖÕÙ R n ÓÑ n > 3 ÒØ ÓÑ ØÖ Ó Ù Ù ÓÑÓ ÕÙ Ö Ó ÖÙÐÓ Ó Ò Ö Ð Þ Ó Ô Ö Ñ Ò Ñ ÓÖ º Ñ ÙÑ Ö Ò Ö Ð Þ Ó ÙÑ ÖÙÐÓ Ò Ó ÓÑÓ Ó ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÔÓÒØÓ (x, y, z) R 3 Ø ÕÙ x 2 + y 2 + z 2 = º Ò ¹ ÒØÓ Ô Ö Ö Ó Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó R 4 Ó ÔÓÒØÓ (x, y, z, w) R 4 Ø ÕÙ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = º ÓÖÑ Ò ÐÓ Ó Ù Ó Ò Ö Ð Þ Ó ÕÙ Ö Ó ÔÓ ¹ Ò Ö Ó Ô ÖÙ Ó Ñ R 4 º Å Ó Ö ØÓ ÔÓ Ö Ú ØÓ ÒØÖ Ò Ñ ÖÓ ÓÙØÖÓ Ð ÚÖÓ µ Ñ Ç ÕÙ Å Ø Ñ Ø Êº ÓÙÖ Òغ Àº ÊÓ Ò ØÓÖ Ò ÅÓ ÖÒ º Ñ ÓÖ ÒÓ ÙÑ Ò µ Ô Ö ÔÓ Ø Ö ØÖ Ø ØÖ Ñ Ò Ø ÓÖ Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ò Ø Ò Ñ Ø Ñ Ò Ô Ö ÜÔÐ Ö Ó ÒÑ ÒÓ Ó º Æ ÑÓ ÖÒ ÙÒ Ó ÐØ ÑÓ Ó ØÓ ÓÒ Ö ¹ ½½ Ñ Ò Ô Ö ÜÔÐ Ö Ó ÒÑ ÒÓ Ó º ØÓ Ó ÑÓ Ó ÑÔÓÖØÒ Ñ Ò Ñ ÓÖ ½¼¼¼ ÓÙ Ñ ÑÓ ½¼ Ñ Ðµ Ø Ò ÑÙÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ú Ö Ó ÑÓ ÐÓ º È Ö ÒØ Ò Ö ÓÖ ØÙ ÒØ Ò ØÖÙØÙÖ ÙÑ ÔÖ Ó ÓÙ ÙÑ Ô Ñ Ò Þ Ö ÙÑ ÓÑ ÔÖÓ ØÓ Ô Ú Ô ÐÓ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ñ ÐÓÕÙ Ò Ó º ÐÓÕÙ Ò Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð ÙÑ Ø Ñ Ð Ò Öº ÉÙ ÒØÓ Ñ ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ ÐÓÕÙ Ò Ó Ñ ÔÖ Ö ÑÙÐ Óº ÍÑ ÓÙØÖÓ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ØÓÑÓ Ö ÓÒ ÐÓÕÙ Ò Ó Ø Ó Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ø Ó ÕÙ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÙÑ Ð ÒÞ Ô Ö ÔÓ Ö ÑÔÖ ÒØ ÖÔÖ Ø ÔÓÖ ÙÑ Ñ Óº Ø ÙÑ Ö Ò Ó ØÙ Ó ýð Ö Ä Ò Ö Ñ Ò Ò Ö Ó ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÓÑ Ñ Ð Ö ÓÙ Þ Ò Ñ Ð Ö Ú Ö Ú º ½º½º¾ ÇÔ Ö Ñ R n Ç Ô Ó Ú ØÓÖ Ð R n ÔÓ Ù ÙÑ ÓÔ Ö Ó Ñ Ò Ñ ÓÑ Ú ØÓÖ Ù ÒØÖ Ó Ó Ú ØÓÖ ÙÑ ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖº Ò Ó ¾ ËÓÑ µ Ó Ó Ú ØÓÖ u = (u, u 2,..., u n ) v = (v, v 2,..., v n ) Ñ R n Ò ÑÓ Ó Ú ØÓÖ ÓÑ u v ÒÓØ Ó ÔÓÖ u + v ÔÓÖ u + v = (u + v, u 2 + v 2,..., u n + v n ). Ñ Ô Ö ÓÑ Ö Ó Ú ØÓÖ Ø ÓÑ Ö ÒØÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú ØÓÖº Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÑ Ó Ú ØÓÖ Ó R 4 (,, /4, 2/3)+( 2, 2, 3/4, 5/3) = ( 2, + 2, /4 + 3/4, 2/3 + 5/3) = (,,, )º Ç ÖÚ Ó ÆÓØ ÕÙ Ó Ò Ð + Ñ µ Ñ u+v (u +v,...,u n +v n ) ÔÓ Ù Ò Ó Ø ÒØÓ Ñ ÜÔÖ Ó ÓÑ Ú ØÓÖ ÒÙÑ Ó ÓÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ö µ ÒÓ ÓÙØÖÓº Ò Ó ÓÖ Ñ ÓÙ ÓÙ Ú ØÓÖ ÒÙÐÓµ Ò ÑÓ ÓÑÓ ÓÖ Ñ ÓÙ Ú ØÓÖ ÒÙÐÓ ÒÓ¹ Ø Ó ÔÓÖ Ó Ú ØÓÖ = (,..., ) ØÓ ÒØÖ Ó ÒÙÐ µº ÆÓØ ÕÙ Ø Ú ØÓÖ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ ÓÑ Ú ØÓÖ ÔÓ v + = + v = v Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö v R n º

20 È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê Ç Ô Ó Ú ØÓÖ Ð R n ÔÓ Ù ÙÑ ÓÙØÖ ÓÔ Ö Ó Ñ Ò Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ð Ö ÓÙ ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö¹Ú ØÓÖ Ù ÒØÖ Ó ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ Ð Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓµ ÙÑ ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖº Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ð Ö ÓÙ ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö¹Ú ØÓÖµ Ó Ó Ú ØÓÖ u = (u, u 2,...,u n ) Ó Ð Ö k Ò ÑÓ Ó Ú ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ó k ÔÓÖ u ÒÓØ Ó ÔÓÖ ku ÔÓÖ ku = (ku, ku 2,...,ku n ). Ñ Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ö k Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÒØÖ Ó Ú ØÓÖ Ô ÐÓ Ð Ö kº Ü ÑÔÐÓ Ë u = (, 3,, 2, 3/2) ÒØÓ 2u = 2(, 3,, 2, 3/2)= ( 2, 6, 2, 4, 3)º ÓÒ Ö w = ( 4, 6,, 3)º ÒØÓ /2w = /2( 4, 6,, 3) = (2, 3, /2, 3/2)º Ç ÖÚ Ó Æ Ú Ó ÓÑ ØÖ Ú ØÓÖ ÓÑ Ò Ô Ð Ö Ö Ó Ô Ö Ð ¹ ÐÓ Ö ÑÓº Þ Ö ØÓ Ñ Ñ Ò Ó Ñ ÓÖ ÕÙ ØÖ ÒÓ ÒØÙ Ø ÚÓº Ñ ÓÒØÖ Ø Ò Ó Ñ Ø ÓÖÑ Ð Ö ÒÓ Ô Ò Ú Ù Ð Þ Ó ÓÑ ØÖ ÑÙ ØÓ ÑÔÐ º Ø Ñ Ñ Ó ÖÚ Ó Ú Ð Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓÖ ÙÑ Ð Öº Ô Ö Ó Ø Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ó Ú ØÓÖ ÓÔ Ö ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ô Óº Ç Ú ØÓÖ ÓÔ Ö ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ô Ö Ú ØÓÖ Ñ R n ÓÑ n 3º Á ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ ÔÐ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ Ô Ö ÒÚÓÐÚ Ö ÒØÙ Ó Ú Ù Ð Þ Ó ÒØ ÖÒ Ô Ö Ú ØÓÖ Ñ Ô Ó Ñ Ò Ñ ÓÖ º È Ö ØÓ ÒØ ÑÓ Ñ Ò Ö Ù Ù Ð ÙÑ Ö Ø ÓÑ R ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÓÑ R 2 Ó Ô Ó ÓÑ R 3 ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò ÓÑ ÜÓ ÓÖØÓ ÓÒ ÒØÖ ½ º Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Ú ØÓÖ ÓÑÓ Ø Ò ÕÙ ÔÓÖ ÒØ Ñ Ô ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ ÒÒ ÑÓ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÒØ Ó µ Ò ÙÖ º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ò ÙÖ ½º½ Ó Ú ØÓÖ (3, 2) R 2 (, 3, 2) R 3 º 2 3 (3, 2) 2 (, 3, 2) 3 ÙÖ ½º½ Î ØÓÖ ÒÓ ÈÐ ÒÓ ÒÓ Ô Ó Ù Ø Ò u v ÔÓ Ñ Ø Ö ÔÓÒØÓ Ò Ð Ø ÒØÓµ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ Ø Ò ¹ Ñ ÒØ Ó ÕÙ ÔÓÐ ÒØ ØÓ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÒØ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ µ ÕÙ Ò Ó ÐÓ ÖÑÓ Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ u v Ô Ö ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó Ò Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ð ÔÓÒØ Ø Ò µ u v Ø Ñ Ñ Ó Ò º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ØÓ Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½º¾ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ (3, 2) R 2 º ÓÑ Ó Ú ØÓÖ ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÒÓ Ô Ó ÔÓ Ö Ø ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ØÖ Ú Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÙ Ö Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÓÒ Ö ÙÖ ½º ÒÓ Ð Ó ÕÙ Ö Ó ÓÒ Ó Ú ØÓÖ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÑ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÓ ÜÓ¹x yº È Ð Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ú ØÓÖ ÓÑ ÔÓÒØÓ Ò Ð Ò ÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ó ÓÑ ÔÓÒØÓ ½ ÒÓØ ÕÙ Ñ ÓÖ Ñ Ø Ô Ö ÒØÙ Ó Ò Ó ÕÙ Þ ÑÓ Ô Ò Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ

21 ½º½º Î ÌÇÊ Ë ÇÈ Ê Ë ýëá Ë 2 (3, 2) 3 ÙÖ ½º¾ Î ØÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÖ ½º Ê Ö Ó ÌÖ Ò ÙÐÓ Ó È Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ò Ð Ò ÔÓÒØ Ø Ó ÔÖ Ñ ÖÓº Ç Ú ØÓÖ Ö ÙÐØ ÒØ ÙÒ Ò Ó ÓÖ Ñ Ø ÔÓÒØ Ø Ó ÙÒ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÑ º È Ð Ö Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÔÐ ÑÓ Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÒ ÓÖÑ ÔÖ ÒØ Ó Ò Ø Ñ Ñ ÙÖ º ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ Ð Ö Ô Ò Ó Ñ ÙÐÓ Ó Ò Ð Ó Ð Öº ÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÒØ ÖÓ Ó ÖÚ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ ÔÖ ÖÚ ÑÓ Ó Ú ØÓÖ Ó Ø Ñ Ò Óµ ÔÓÖ 2 ÙÔÐ ÑÓ Ù Ø Ñ Ò Ó ÔÓÖ 3 ØÖ ÔÐ ÑÓ Ù Ø Ñ Ò Óº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ /2 Ö ÙÞ ÑÓ Ù Ø Ñ Ò Ó Ô Ð Ñ Ø º ÓÖÑ Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÑ Ñ ÙÐÓ Ñ ÓÖ ÕÙ Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ú ØÓÖ ÓÑ Ñ ÑÓ ÒØ Ó Ñ ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÑ Ñ ÙÐÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ú ØÓÖ ÓÑ Ñ ÑÓ ÒØ Ó Ñ ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ñ ÒÓÖº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ Ó Ø ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑ ÒØ Ó Ö Ú ÖØ Ó ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ñ ÓÖ ÓÙ Ñ ÒÓÖ ÓÖ Ó ÓÑ Ñ ÙÐÓ Ö Ñ ÓÖ ÓÙ Ñ ÒÓÖ ÕÙ º Î Ó Ú ØÓÖ v = (3, 2) Ö ÔÖ ÒØ Ó, 5v,, 5v v ÙÖ ½º º ÙÖ ½º Î ØÓÖ v 3 2 v, 2 v v ÈÓÖØ ÒØÓ Ú Ö Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Ó Ð Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó¹Ó ÔÓÖ ÙÑ Ú ØÓÖ ÜÓ v Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº Ñ {kv k R} ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº ÕÙ Ó kv Ñ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ø ÕÙ Ô Ô Ð ÓÖ Ñº ÑÓØ Ú Ó ÓÑ ØÖ Ú Ñ ÕÙ Ò Ó v R 2 ÓÙ R 3 Ñ ÓÒØ ÒÙ ÑÓ Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑ v R n º Ë ÓÑ ÖÑÓ ÙÑ Ú ØÓÖ ÜÓ Ó Ø Ö ÑÓ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ð ÙÑ Ö Ø u + kvº Ò Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓµ Þ ÑÓ ÕÙ v Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓ µ w Ü Ø ÙÑ Ð Ö k Ø Ð ÕÙ v = kwº Ü ÑÔÐÓ ËÓ Ô Ö Ð ÐÓ ÒØÖ ( 2, 4, 6, ) (, 2, 3, /2) ÔÓ ( 2, 4, 6, ) = 2(, 2, 3, /2) (, 2, 3, /2) = /2( 2, 4, 6, )º Ü ÑÔÐÓ Ñ Ñ Ö Ø ÔÓ Ö Ö ÔÓÖ Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ Ø ÕÙ Ð Ñ Ô Ö Ð ¹ ÐÓ ÒØÖ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {k(,, ) k R} {m(4, 4, 4) m R} Ö ÔÖ ÒØ Ñ

22 È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê Ñ Ñ Ö Ø º ØÓ Ó Ú ØÓÖ (k, k, k) ÔÓ Ö Ö ØÓ ÓÑÓ k/4(4, 4, 4)º ÌÓÑ Ò Ó m = k/4 Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÓÖÑ Ñ Ó Ñ ÑÓ ÓÒ ÙÒØÓº Ü ÑÔÐÓ Ç Ú ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ ÔÓ = w Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö wº Ü ÑÔÐÓ ÈÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ Õ Ò Ô Ö Ó Ø Ö ÓÑ Ñ Ó Ú ØÓÖ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÕÙ ØÖÓ Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÒÓ Ð Ó ÕÙ Ö Ó ÙÖ ½º º ÓÒ Ø Ò Ò Ó ÓÖÑ Ù Ú Ó Ú ØÓÖ Ó Ø ÑÓ Ù ÓÑ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ ÙÖ ÒÓ Ð Ó Ö ØÓº w z u v u + v + w + z z u w v ÙÖ ½º ËÓÑ 4 Ú ØÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÍÑ ØÖÙÕÙ Ñ Ñ ÓÒ Ó Ù ÙÑ Ü ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ º Î ÑÓ Ú Ö ÓÑÓ ØÓ ÔÓ Ú Ð Ñ Ñ R 4 º ÆÓ ÔÐ ÒÓ ÑÔÓ Ú Ð Ù Ö ÒØÖÓ ÙÑ ÕÙ Ö Ó Ñ ØÖ Ú Ö ÙÑ Ö Ø º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ñ R 3 ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ó ÕÙ Ö Ó Ù Ò Ó Ò Ö Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ó ÕÙ Ö Óµ Ò Ò Ó Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ó ÕÙ Ö Ó Ô Ö ÓÖ Ð Ò Ó Ò Ö Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ó ÕÙ Ö Óµ Ö ØÓÖÒ Ò Ó Ó ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÕÙ Ö Ó Ñ ÒÓ Ð Ó ÓÖ Ð º Ø ÓÖÑ ÑÓ ÒØÖÓ Ó ÕÙ Ö Ó Ñ ØÖ Ú Ö Ò Ò ÙÑ Ö Ø º Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó Ø Ú ÖÑÓ ÒØÖÓ ÙÑ Ü Ñ R 4 ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ò Ö Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü Ò Ö Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÓÖ Ö ØÓÖÒ Ö Ó Ð Ó ÓÖ Ü Ñ ØÖ Ú Ö Ò Ò ÙÑ Ð Ø Ö Ü º Ø ØÓ Ö Ø ÒÙÑ ÖÓÑ Ò Ð Ó Ö Ú ØÓÖ Ò ÁÒ Ð Ø ÖÖ Ó ÙÐÓ Á Ð ØÐ Ò Û Ò º ÓØØ ÓÚ Ö ÈÙ º ½º¾ Ô Ó Ö Ó ½º¾º½ Ò ÙÑ Ú ØÓÖ Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓµ ÓÙØÖÓ Ò Ö Ð Þ Ô Ð Ò Ó ÜÓº Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ð Ò Öµ Þ ÑÓ ÕÙ v ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v,v 2,...,v p v ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ v = α v + α 2 v α p v p = p α i v i, i= ÓÒ α i ³ Ó Ð Ö º Ü ÑÔÐÓ Ç Ú ØÓÖ v = (2, 2) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö u = (, ) ÔÓ v = 2u ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓµº Ç Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó ÕÙ u v ØÓ Ò Ñ Ñ Ö Ø Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº

23 ½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË Ò Ö Ð Þ Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒÓ Ù ÒØ ÒØ Óº Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÓÒ Ö u = (,, ) v = (,, ) Ñ R 3 º ÉÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖ ÒÓ ÔÐ ÒÓ z = Ö ÓÑ Ò Ó Ø Ó ÔÓ (a, b, ) = a(,, )+b(,, )º ÇÙ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ú ØÓÖ w = (3, 2, ) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö u vº Ç Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó ÕÙ w Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ u vº Ü ÑÔÐÓ ½½ Ç Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö ÙÑ Ò Ò Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ (3, 3) = 3(, ) + ( 2, 2) = (, ) 2( 2, 2)º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ð ÙÒ Ú ØÓÖ ÒÓ ÔÓ Ñ Ö Ó Ø Ó ÓÑÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö ÖØÓ Ú ØÓÖ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ú ØÓÖ (3, 4) ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö (, ) (2, 2) ÔÓ (3, 4) α(, )+β(2, 2) Ô Ö ØÓ Ó α, β Rº ØÓ Ù Ð Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÑÓ Ó Ø Ñ { α + 2β = 3 α + 2β = 4 ÕÙ Ð Ö Ñ ÒØ ÓÑÓ α + 2β ÔÓ Ö 3 4 Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ µ Ñ ÓÐÙÓº Ü ÑÔÐÓ ½¾ Ø ÖÑ Ò u = (2, 3, 4) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v = (,, ) w = (,, )º ÈÖ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö α, β R Ø ÕÙ (2, 3, 4) = α(,, ) + β(,, )º È Ö ØÓ ÔÖ ¹ ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ñ α + β = 2 = 3. β = 4 ÓÑÓ Ó Ø Ñ Ð Ö Ñ ÒØ ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ Ø Ö = 3 µ Ñ ÓÐÙÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ u ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v wº Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò u = (, 3, 4) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v = (,, ) w = (,, )º ÈÖ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö α, β R Ø ÕÙ (, 3, 4) = α(,, ) + β(,, )º È Ö ØÓ ÔÖ ¹ ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ñ α + β = α = 3. β = 4 ÈÓÖ Ò Ô Ó Ó Ø Ñ ÔÓ Ù ÓÐÙÓ Ò ÓÑ α = 3 β = 4º ÈÓÖØ ÒØÓ u = 3v+4wº Ç Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ Ñ ÓÒ ÜÓ ÒØÖ ÓÑ Ò Ð Ò Ö Ø Ñ º È Ö Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖ ÓÙ ÒÓµ ÔÖ ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö ÙÑ Ø Ñ Ð Ò Öº Ò Ó Ô Ó Ö Óµ Ç Ô Ó Ö Ó Ô ÐÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ {v,v 2,...,v p } ÒÓØ Ó ÔÓÖ v,v 2,...,v p ÓÙ Ò Ñ Ò Ð Ñ Ú Ö Ó Ð ÚÖÓ µ ÔÓÖ span {v,v 2,...,v p } Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ ÓÑ Ò Ð Ò Ö v,v 2,...,v p º ÈÓÖØ ÒØÓ { p } v,v 2,...,v p = span {v,v 2,...,v p } = α i v i α i R, i =, 2,..., p. i= Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÓÖµ Ç ÓÒ ÙÒØÓ {v,v 2,...,v p } Ö ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÓÖ µ W W = v,v 2,...,v p º

24 È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê Ü ÑÔÐÓ ½ Ç ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó ÔÓÖ (, ) (, ) Ó ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ R 2 ÔÓ Ó (a, b) R 2 (a, b) = a(, ) + b(, )º Ö Ú ÑÓ ÕÙ (, ), (, ) = R 2 º Ü ÑÔÐÓ ½ Ç ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó ÔÓÖ (,, ) (,, ) Ù Ð Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó ÔÓÖ (,, ) Ö Ø Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ ÓÑ Ö Ó (,, )º Æ Ø Ó Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ (,, ) Ö ÙÒ ÒØ ÒÓ Ö ÒØ Ò µ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÓÖ {(,, ), (,, )}º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó Ø ÑÓ ÕÙ (,, ), (,, ) = (,, ) = (,, ) º Ç ÖÚ Ó Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ó R n ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ô Ó Ú ØÓÖ Ð R n º Ø ÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Þ Ö ÕÙ Ó Ô Ó Ö Ó ÙÑ Ù Ô Ó Ó R n º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ ÓÑÓ ÒÒ ÑÓ Ò Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ø ÖÑÓ Ô Ó Ù Ô Óº Ò Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ» Ò Ô Ò ÒØ µ ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ¹ ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ö Ú ÑÓ ÔÓÖ Ä µ ÙÑ Ó Ú ØÓÖ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ñ º Þ ÑÓ Ò ÓÖÑ ÐÑ ÒØ µ ÕÙ Ø Ú ØÓÖ Ö ÙÒ ÒØ ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓº Ó ÓÒØÖ Ö Ó Þ ÑÓ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ú ÑÓ ÔÓÖ ÄÁµº Ë ÙÑ Ú ØÓÖ v S ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ñ Ú ØÓÖ S ÒØÓ Ó Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ S ÔÓÖ S {v} ÓÒ ÙÒØÓ S Ñ Ó Ú ØÓÖ vµ Ó Ñ ÑÓº ÇÙ Ó Ú ØÓÖ v Ö ÙÒ ÒØ Ñ S ÔÓ ÒÓ Ö ÒØ Ò Sº Þ ÑÓ Ò Ø Ó ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ S Ä º Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ S = {(, 2, ), (,, ), (,, )}º Ç Ú ØÓÖ (, 2, ) Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ÓÙ Ö ÙÒ ÒØ µ Ñ S ÔÓ (, 2, ) = 3(,, ) 2(,, )º Ø ÓÖÑ (, 2, ), (,, ), (,, ) = (,, ), (,, ) º Æ Ø Ñ ÑÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ú ØÓÖ (,, ) Ö ÙÒ ÒØ ÔÓ (,, ) = /2(, 2, ) + 3/2(,, )º ÈÓÖØ ÒØÓ (, 2, ), (,, ), (,, ) = (, 2, ), (,, ) º Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ Ö Ü Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ó Ú ØÓÖ u,v,w,x,y,z Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ½º º ËÓ ÄÁ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {u,v,w} {w,z} {v,y,z} {v,z}º ËÓ Ä Ó ÓÒ ÙÒØÓ {u,y} ÔÓ u = 2y {v,x,y} ÔÓ x + v = 2y {v,w,z} ÔÓ w + 2z = v {u,v,y} ÔÓ u = 2y {u,v,w,x} ÔÓ v + u + x = º u z y x v w ÙÖ ½º Î ØÓÖ Ñ ÙÑ Ù Ó

25 ½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË Ò Ó ½¼ Ô Ó Ñµ Þ ÑÓ ÕÙ H ÙÑ Ô Ó Ñ ÓÙ Ù Ô Ó Ñ H ÓÖ ØÖ Ò Ð Ó Ó Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ º Å ÔÖ Ñ ÒØ Ó Ó Ú ØÓÖ ØÖ Ò Ð Ó w Ú ØÓÖ v,v 2,...,v p H = w + v,v 2,...,v p. Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ö Ø ÔÐ ÒÓ Ò Ö Ð ¹ Þ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº Ç Ô Ó Ñ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ö Ø ÔÐ ÒÓ Ò Ö Ð Þ Ô Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº ÜÔÐÓÖ ÑÓ Ø Ò Õ Ò Ø Óº Ò Ó ½½ Ñ Ò Óµ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ H = w + v,v 2,...,v p ÔÓ Ù Ñ Ò Ó p Ó ÓÒ ÙÒØÓ {v,v 2,...,v p } ÄÁº Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ p Ú ØÓÖ ÔÓ Ù Ñ Ò Ó p Ø p Ú ØÓÖ ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÄÁº ½º¾º¾ Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ½ Î ØÓÖ ÍÑ Ö Ø r ÔÓ Ö Ò ÓÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ù Ö Ò Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ w ÓÖÑ ÙÑ Ú ØÓÖ Ô Ö Ð ÐÓ Ö Ó Ü uº Ø Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÖ w + tu ÓÒ t R ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ Ú Ö Ú Ð Ø Ð ÕÙ Ð ÑÓ ØÖ Ó Ò ÙÖ ½º º Á ØÓ Ò ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ r = {w+tu; t R} Ó Ø Ó ÕÙ Ò Ó Ú Ö t Ù Ð Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø rº w + 2u r w + u 2u w + u = w u w u w 2u u 2u ÙÖ ½º Ê Ø r = {w + tu; t R} ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó Ô Ó Ö Ó ÙÑ Ö Ø ÙÑ Ù Ô Ó Ñ ÓÖÑ w+ u º ÓÑÓ Ø ÙÑ Ú ØÓÖ ÒÓ¹ÒÙÐÓµ ÒÓ Ô Ó Ö Ó Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ö Ø ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ñ Ò Ó ½º ÉÙ Ò Ó w = Ö Ø Ô Ô Ð ÓÖ Ñ Ù Ð Ó Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ uº Þ ÑÓ ÕÙ Ö Ø Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó ½º Ç ÖÚ Ó ÉÙ Ò Ó Ó Ú ØÓÖ u = Ó Ú ØÓÖ ÒÙÐÓµ Ó Ù Ô Ó Ñ w + u = w + {} = w ÙÑ ÔÓÒØÓº Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó ¼º ÉÙ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ w = Ó Ô Ó Ñ Ù Ð ÓÖ Ñ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó ¼º Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ Ö Ø r Ù ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ (, 2) + t(4, 6)º ÓÐÓ Ò Ó t = Ó Ø ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ (, 2) rº ÓÐÓ Ò Ó t = Ó Ø ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ (, 2) +

26 ½¼ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê (4, 6) = (5, 8) rº ÓÐÓ Ò Ó t =, 5 Ó Ø ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ (, 2) +, 5(4, 6) = (3, 5) rº ÓÐÓ Ò Ó t = Ó Ø ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ (, 2) (4, 6) = ( 3, 4) rº ÓÐÓ Ò Ó t =, 5 Ó Ø ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ (, 2), 5(4, 6) = (, ) rº Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 4 µ µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (2, 3, 4, 5) Ô Ö Ð Ð Ó Ú ØÓÖ (,,, ) Ö Ø (2, 3, 4, 5) + t(,,, )º µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (, 2,, 2) (3, 4, 3, 4) ÐÙÐ Ò Ó u = (3, 4, 3, 4) (, 2,, 2) = (2, 2, 2, 2) Ô Ö Ð ÐÓ Ö Ø º Ñ Ö Ø (, 2,, 2) + t(2, 2, 2, 2)º ÆÓØ ÕÙ ÔÓ Ö ÑÓ Ø Ö ÐÙÐ Ó u = (, 2,, 2) (3, 4, 3, 4) = ( 2, 2, 2, 2) Ó Ø Ö ÑÓ Ñ Ñ Ö Ø Ñ ÓÖ ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ø ÒØ (, 2,, 2) + t( 2, 2, 2, 2)º ÍØ Ð Þ ÑÓ w = (, 2,, 2) Ñ ÔÓ Ö ÑÓ Ø Ö ØÓÑ Ó (3, 4, 3, 4)º Ñ Þ Ò Ó ØÓ ÓÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ò Ñ Ñ Ö Ø (3, 4, 3, 4)+ t( 2, 2, 2, 2) (3, 4, 3, 4) + t(2, 2, 2, 2)º Ü ÑÔÐÓ ¾¼ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ (,,, 2) Ô ÖØ Ò Ö Ø (,,, ) + (2,, 2, ) º ÉÙ Ö ÑÓ Ö Ü Ø t R Ø Ð ÕÙ (,,, 2) = (,,, )+t(2,, 2, )º Á ØÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ø Ñ + 2t = t =. + 2t = t = 2 ÓÑÓ Ð ÒÓ ÔÓ Ù ÓÐÙÓ t = t = 2 µ Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ö Ø º Ü ÑÔÐÓ ¾½ Ø ÖÑ Ò Ó Ô Ó Ò (, 2, )+ (2, 6, 4) (, 5, )+ (, 3, 2) Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ñ Ñ Ö Ø º ÉÙ Ö ÑÓ Ö Ô Ö s Ó Ü Ø t Ø Ð ÕÙ (, 2, ) + s(2, 6, 4) = (, 5, ) + t(, 3, 2)º Á ØÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ø Ñ Ð Ò Ö t = + 2s 3t = 3 6s 2t = 2 + 4s ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ t = 2sº Î Ö ÕÙ ÕÙ ØÓ Ø Þ ÓÙØÖ Ù ÕÙ º ÈÓÖØ ÒØÓ Ñ Ñ Ö Ø º ÍÑ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÔÓ Ù ÓÑÓ ÕÙ Ó Ö Ð ax + by + c = º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ô ÖØ Ò Ó ÕÙ Ó ÖØ Ò Ø ÓÐÓ Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ø ÖÑÓ Ø Ñ Ñ ÙØ Ð Þ Ó Ñ ýð Ö Ä Ò Ö Ò Ò Ø µ ÓÑÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ ÓÙØÖ Ú Ö Ú Ð Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓº Ü ÑÔÐÓ ¾¾ Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 2 2x 3y = 6º ÓÐÓÕÙ y = tº ÓÖ x = 3 + 3/2y = 3 + 3/2tº ÄÓ Ó (x, y) = (3, ) + t(3/2, )º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ø Ñ R 2 y = 7º ÓÐÓÕÙ x = t y = 7º ÄÓ Ó (x, y) = (, 7) + t(, )º Ç ÖÚ Ó Ë ÓÐÓ ÖÑÓ y = t ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ö ÑÓ ÕÙ t = 7 ÒÓ Ø Ö ÑÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö x ÓÐ ÕÙ Ñ Ú Ö Ó Ô ÖÑ ØÖÓ ÑÔÓÖØ ÒØ º ÔÖ Ò Ö ÑÓ Þ Ö ÓÐ ÖØ ÓÖÑ Ø Ñ Ø ÒÓ ÔÖ Ü ÑÓµ Ô ØÙÐÓ Ë Ø Ñ Ä Ò Ö º Î Ç ÖÚ Ó º.

27 ½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË ½½ ÍÑ Ø Ñ ÓÑ Ù ÕÙ Ð Ò Ö Ñ R 3 Ø ÖÑ Ò ÓÖÑ Ö Ð ÙÑ Ö Ø Ñ R 3 ÔÓ Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ö Ó Ó ÔÐ ÒÓ º È Ö Ó Ø Ö ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ ÑÔÐ ÓÐÓÕÙ ÙÑ Ú Ö Ú ÓÑÓ Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ú ÓÙØÖ Ñ ÙÒÓ Ø º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò { ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 3 µ ÓÑ ÕÙ ÖØ ¹ 2z y = Ò ÔÓÖ x + y + z = ÓÐÓÕÙ z = t Ò ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó Ó Ø Ò Ó y = 2t º ËÙ Ø ØÙ z = t y = 2t Ò Ø Ö Ö Ó Ø Ò Ó x + (2t ) + t = º ÄÓ Ó x = 3t + º ÈÓÖØ ÒØÓ (x, y, z) = t( 3, 2, ) + (,, )º ÇÙØÖ ÓÐÙÓ ÓÑ Ö ÓÑ y = t Ó Ø Ò Ó z = t/2 + /2 ÔÖ Ñ Ö º ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ò ÙÒ Ó Ø ÑÓ x = 3/2t /2º ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÙØÖ Ö ÔÓ Ø (x, y, z) = t( 3/2,, /2) + ( /2,, /2)º Ç ÖÚ Ó ÔÓ Ú Ð ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÐÓ Ö x = sº Ç Ø Ö ÑÓ ÙÑ Ø Ñ Ñ y z ÕÙ ÔÓ Ö Ö ÓÐÚ Ó ÓÒÚ Ó Ð ØÓÖ Ö ÓÐÚ ¹ÐÓ z = ( s)/3 y = ( 2s )/3µ Ñ ÓÖ ÓÑ Ñ ØÖ Ð Ó ÕÙ ÒÓ Ü ÑÔÐÓº Ö ÔÓ Ø Ò Ð Ô Ö Ö ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ñ Ñ ÓÖÖ Ø (x, y, z) = (, 2/3, /3)s + (, /3, /3)º Ñ Ñ Ö Ø ÔÓ Ó Ú ØÓÖ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ñ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ ( 3, 2, ) ( 3/2, 2, /2) (, 2/3, /3)µ Ó Ô Ö Ð ÐÓ ÒØÖ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÔÓÒØÓ (, /3, /3) ÔÓ Ö Ó Ø Ó ØÓÑ Ò Ó t = /3 Ò ÐØ Ñ ÕÙ Ó Ó Ü ÑÔÐÓº ÕÙ Ó ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò { ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 3 µ ÓÑ ÕÙ ÖØ ¹ z = Ò ÔÓÖ y + z = ÓÑÓ z = Ù ØØ ØÙ Ò Ó Ò ÙÒ ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ ÕÙ y + = º ÄÓ Ó y = º ÆÓØ ÕÙ x ÔÓ ÙÑ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖº ÈÓÖØ ÒØÓ x = t y = z = º ÄÓ Ó (x, y, z) = t(,, ) + (,, )º Ç ÖÚ Ó Ë ÓÐÓ ÖÑÓ z = t ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ ÓÒ Ù Ö ÑÓ ÕÙ Ñ ÙÒÓ tµ Ô Ö x Ø ÒØ Þ Ö Ó µº Î Ç ÖÚ Ó º Ç ÖÚ Ó ½¼ ÆÓØ ÕÙ Ö Ø Ö Þ Ó Ö Ø ØÖ Ú ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò¹ Ô Ò Ñ Ò Ó Ó Ô Ó Ñ ÒØ º Ø ÓÖÑ ÙÑ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÓÙ Ô Ó ÓÖÑ w + tvº ÈÓÖ ÓÒØÖ Ø ÕÙ Ó ÖØ Ò ÙÑ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø Ñ ÕÙ Ö Ù Ø ØÙ ÔÓÖ ÙÑ Ø Ñ Ù ÕÙ Ô Ö Ö Ø Ö Þ Ö ÙÑ Ö Ø ÒÓ Ô Óº Ç ÖÚ Ó ½½ ÆÓØ ÕÙ ÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÒÓ Ò º Ñ Ö Ø r = {w + tu; t R} ÔÓ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ö u ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒÓ¹ÒÙÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö v = 3u ÓÙ v = 6u Ó Ø Ö Ñ Ñ Ö Ø r = {w + sv; s R}º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ó z r ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÑÓ z w Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ u ÙÑ Ò Óµ r = {z + tu; t R} ÔÓ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ö w r ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ Ô ÖØ Ò Ö Ø º

28 ½¾ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê ½º¾º Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ¾ Î ØÓÖ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ ÄÁ ÒÓ¹Ô Ö Ð ÐÓ µ u v Ö ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ ÓÖ Ó ÓÑ Ö Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÓÒ Ò Ó ÙÑ Ú ØÓÖ w Ø ÔÐ ÒÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ð ÙÑ ÔÐ ÒÓº Ø ÔÐ ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÖ w+tu+sv ÓÒ s, t R Ó Ó ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ Ú Ö Ú Ò Ô Ò ÒØ Ó Ú ØÓÖ u,v ÒÓ Ó Ô Ö Ð ÐÓ ÒØÖ º Á ØÓ Ò ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Π = {w+tu+sv; s, t R} Ó Ø Ó ÕÙ Ò Ó Ú Ö t s Ù Ð Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÙÑ ÔÐ ÒÓº w + tu + sv w Π tu tu + sv u v sv ÙÖ ½º ÈÐ ÒÓ Π = {w + tu + sv; s, t R} ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó Ô Ó Ö Ó ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ ÓÖÑ w+ u,v º ÓÑÓ Ø Ñ Ó Ú ØÓÖ ÄÁ ÒÓ Ô Ó Ö Ó Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ñ Ò Ó ¾º ÉÙ Ò Ó w = Ó ÔÐ ÒÓ Ô Ô Ð ÓÖ Ñ Ù Ð Ó Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ {u,v}º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó ¾º Æ ÙÖ ½º ÑÓ ØÖ ÑÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ô Ò Ó Ò ÓÖ Ñ u,v ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÑ Ù Ô Óµ Ù ØÖ Ò Ð Ó w + u,v º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ù ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ (,, 2, ) + t(, 2,, ) + s(,,, )º ÓÐÓ ÑÓ t = s = Ô Ö Ó Ø Ö Ó ÔÓÒØÓ (,, 2, )º ÓÐÓ Ò Ó t = s = Ó Ø ¹ ÑÓ (,, 2, ) + (,,, ) = (2, 2, 3, )º ÓÐÓ Ò Ó t = s = Ó Ø ÑÓ (,, 2, ) + (, 2,, ) = (, 3,, )º ÓÐÓ Ò Ó t = s = Ó Ø ÑÓ (,, 2, )+ (, 2,, ) (,,, ) = (, 2,, )º Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö u = (, 2,,, ),v = (2, 2,,, ). Ç Ù Ô Ó Ñ (, 2, 3, 4, 5) + u,v ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ñ R 5 ÔÓ {u,v} ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÄÁ ÙÑ ÒÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ Ó ÓÙØÖÓµº ÈÓ ÑÓ Ú Ö Ö ØÓ ÓÑÔ Ö Ò Ó ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ Ó Ú ØÓÖ u v ÙÑ Ø Ö ÕÙ Ö Ó Ó ÖÓ Ó ÓÙØÖÓº Å ÓÙØÖ ÒØÖ ÒÓ Ó Ó Ó ÖÓ ÒØÖ º ÄÓ Ó Ð Ó ÄÁ º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ (,,, ) Ô ÖØ Ò Ó ÔÐ ÒÓ (2, 2, 2, 2) + (,,, ), (,,, ) º

29 ½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË ½ ÉÙ Ö ÑÓ Ö Ü Ø s, t R Ø Ð ÕÙ (, 3,, 3) = (2, 2, 2, 2)+s(,,, )+t(,,, )º Á ØÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ø Ñ 2 + s = 2 + t = s = 2 + t = 3 ÈÓÖ Ò Ô Ó Ú ÑÓ ÕÙ ÓÐÙÓ s = t = º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ò Ó ÔÐ ÒÓº Ü ÑÔÐÓ ¾ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ {(,, ), (,, )} Ó ÔÐ ÒÓ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ô Ö ¹ Ð ÐÓ Ó ÜÓ y z Ó ÔÐ ÒÓ x = º Á ØÓ Ú Ö ÔÓ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÔÐ ÒÓ (, a, b) Ø ÑÓ ÕÙ (, a, b) = a(,, ) + b(,, ) Ü ÑÔÐÓ ¼ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (,, ) (,, ) Ó ÔÐ ÒÓ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ó ÜÓ y zº Á ØÓ Ú Ö ÔÓ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÔÐ ÒÓ (, a, b) Ø ÑÓ ÕÙ (, a, b) = a(,, ) + (b a)(,, )º Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R 4 µ µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (, 2, 3, 4) ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ (2, 3, 5, 7) (,,, ) º Ç ÔÐ ÒÓ (, 2, 3, 4) + t(2, 3, 5, 7) + s(,,, )º µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (2, 2, 2, 2) (3, 3, 3, 3) (4,, 4, )º ÌÓÑ Ò Ó w = (2, 2, 2, 2) v = (3, 3, 3, 3) w = (,,, ) w = (4,, 4, ) w = (, 2,, 2)º ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ w + tu + svº µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (,,, ) (2, 3, 4, 5) Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ (2, 3, 4, 5)º ÌÓÑ Ò Ó w = (,,, ) v = (2, 3, 4, 5) w = (, 4, 3, 6) w = (2, 3, 4, 5)º ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ w + tu + svº ÍÑ ÔÐ ÒÓ Ñ R 3 ÔÓ Ù ÓÑÓ ÕÙ Ó Ö Ð ax + by + cz = dº È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ô ÖØ Ò Ó ÕÙ Ó ÖØ Ò Ø ÓÐÓ Ö Ù Ú Ö Ú ÓÑÓ Ó Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ Ø Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ º Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R 3 2x 3y + z = 6º ÓÐÓÕÙ y = s z = tº ÒØÓ x = 8 + 3/2y 5z = 8 + 3/2s 5tº ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ (x, y, z) = (8,, ) + s(3/2,, ) + t( 5,, )º Á ØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Ù Ô Ó Ñ (8,, ) + (3/2,, ), ( 5,, ) º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R 3 3y + 2z = 6º ÓÑÓ x ÒÓ Ô Ö Ò ÕÙ Ó ÓÐÓ ÑÓ x = s ÙÑ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ µº Ü Ò Ó ÓÐÓ Ò Ó y = t Ó Ø ÑÓ ÕÙ z = 3 3/2y = 3 3/2tº ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ (x, y, z) = (,, 3) + s(,, ) + t(,, 3/2)º Á ØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Ù Ô Ó Ñ (,, 3) + (,, ), (,, 3/2) º Ç ÖÚ Ó ½¾ Ô Ñ ÕÙ ÖØ Ò Ô Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ö ÓÐÚ Ò Ó¹ ÙÑ Ø Ñ Ð Ò Öº Ò Ö Ð Þ Ó Ø Ô Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÖ ÕÙ Ú Ö Ú Ñ ÓÑÓ ÒÚ Ø Ó Ø Ñ Ø Ò Ö Ó Ù Ó Ò Õ Ò ÓÔ Ö Ö Ð Þ Ò ÕÙ ÙÑ Ø Ñ µ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ¹ ÓÐÙÓ ÙÑ Ø Ñ Ð Ò Ö Ø Ñ ÒØÖ Ð Ó Ò Ó Ó ÙÖ Ó ýð Ö Ä Ò Ö ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ö ÑÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ë Ø Ñ Ä Ò Ö º

30 ½ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ú ØÓÖ ÔÓ Ö Ö ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÓÙ ÒÓ Ô Ò Ò Ó Ð Ó Ô Ö Ð ÐÓ ÒØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ä µ ÓÙ ÒÓº Ü ÑÔÐÓ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ {(/2, 2, ), (, 4, 2)} Ö Ø Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ ¹ Ñ Ô Ö Ð Ð Ó Ú ØÓÖ (/2, 2, ) ÓÙ (, 4, 2) ÕÙ Ñ Ñ Ö Ø µº Æ Ø Ó Ó Ô Ó Ö Ó ÔÓ Ù Ñ Ò Ó º ÈÓÖØ ÒØÓ (/2, 2, ), (, 4, 2) = (/2, 2, ) = (, 4, 2). ½º¾º Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÓÙ Å Î ØÓÖ Ç ÕÙ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ø ÕÙ Ò Ö Ð Þ Ô Ö 3 ÓÙ Ñ Ú ØÓÖ º ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö p Ú ØÓÖ ÄÁ u,u 2,...,u p Ö ÙÑ Ù Ô Ó Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº ÓÒ Ò Ó ÙÑ Ú ØÓÖ w Ø Ù Ô Ó Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÓÖÑ w+t u +t 2 u 2 + +t p v p ÓÒ t i R ÓÑ i =,..., p Ó p Ô ÖÑ ØÖÓ Ú Ö Ú Ò Ô Ò ÒØ Ó Ú ØÓÖ u,u 2,...,u p Ó ÄÁ º ÓÑÓ Ó p Ú ØÓÖ ÄÁ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ñ Ò Ó pº ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó Ô Ó Ö Ó ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ w + u,u 2,...,u p º ÉÙ Ò Ó w = Ó Ù Ô Ó Ñ Ô Ô Ð ÓÖ Ñ Ù Ð Ó Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ {u,u 2,...,u p }º Þ ÑÓ Ò Ø Ó Ù Ô Ó Ñ Ô Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñµ ÕÙ ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó pº Ü ÑÔÐÓ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (,, ) (,, ) (,, ) Ñ Ò Ó 3 Ù Ð ØÓ Ó Ó R 3 ÔÓ Ó (a, b, c) R 3 (a, b, c) = a(,, ) + b(,, ) + c(,, )º Ü ÑÔÐÓ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (,, ) (,, ) (,, ) ÔÓ Ù Ñ Ò Ó 2 ÔÓ (,, ) = (,, )+ (,, )º Ø ÓÖÑ (,, ), (,, ), (,, ) = (,, ), (,, ) º Ü ÑÔÐÓ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (,,, ) (,,, ) (,,, ) Ñ Ò Ó 3 Ù Ð ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó 3 Ó R 4 Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ó ÜÓ xº È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ñ Ò Ó Ó Ô Ó Ö Ó Ú ¹ Ð Ñ Ò Ö Ó Ú ØÓÖ Ô Ò ÒØ Ö ÙÒ ÒØ µ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö ØÖ Ú ØÓÖ u,v,w ÒÓ R 3 º Ë Ð ÓÖ Ñ ÄÁ Ð Ö ÖÓ ÙÑ Ù ¹ Ô Ó Ñ Ò Ó 3 ÕÙ Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ù Ð ØÓ Ó Ó R 3 º Ë ÙÑ ÓÖ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ä µ Ó ÓÙØÖÓ ÑÓ ÕÙ w = αu + βv Ð Ö Ö ÙÒ ÒØ Ø ÓÖÑ u,v,w Ö Ù Ð u,v º ÓÖ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ Ó Ô Ó Ö Ó Ö Ö ÙÞ Ó ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓº Ü ÑÔÐÓ Ç Ù Ô Ó Ñ (2, 3, 5, 7) + (,,, ), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4) ÙÑ Ö Ø Ñ R 4 Ñ ÓÖ ÔÓ Ù 4 Ú ØÓÖ º Á ØÓ ÔÓÖÕÙ (2, 2, 2, 2) = 2(,,, ) (3, 3, 3, 3) = 3(,,, ) (4, 4, 4, 4) = 4(,,, )º Ø ÓÖÑ (,,, ), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4) = (,,, ) º Ü ÑÔÐÓ ¼ Ç Ù Ô Ó Ñ (, 2, 3, 4, 5) + (,,,, ), (,,,, ) ÙÑ ÔÓÒØÓº ÈÓÖØ ÒØÓ Ö Ø Ö Þ Ó ÓÑ ØÖ S = w + u,u 2,...,u p Ô Ò ÒÓ Ó Ú ÐÓÖ p Ñ ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓÖ Ó ÄÁ º Ñ p = S ÙÑ ÔÓÒØÓ

31 ½º º Ë Ë ½ p = S ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓ p = 2 S ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ p = 3 S ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ñ Ò Ó 3 ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ p = k S ÙÑ Ù Ô Ó Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò Ó kº ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ Ú Ó ÕÙ Ñ R 2 ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ 3 Ú ØÓÖ Ö Ä ÔÓ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó 3º Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó Ñ R 3 ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ 4 ÓÙ Ñ Ú ØÓÖ Ä ÔÓ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ÙÑ Ù Ô Ó Ñ Ò Ó Ñ ÓÖ ÕÙ 4º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ô Ö ÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ö ØÓ Ó Ó R 2 Ú Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ 2 Ú ØÓÖ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ÓÑ ÒØ ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓº È Ö ÕÙ Ö ØÓ Ó Ó R 3 Ú Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ 3 Ú ØÓÖ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ÓÑ ÒØ ÔÐ ÒÓ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓº ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ñ R n ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ñ n Ú ØÓÖ Ä ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ñ ÒÓ n Ú ØÓÖ ÒÓ Ö R n ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ n Ú ØÓÖ Ö R n ÄÁº ½º ÍÑ ÒÓØ Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ö Ó Ù ÒØ Ú ØÓÖ R n e = (,,,...,, ) R n = (,,,...,, ) R n e 2 º = º e n = (,,,...,, ) R n ÆÓØ ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ØÓÖ Ó R n ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ò Ó Ú ØÓÖ e,e 2,...,e n º ÈÓÖ Ó Þ ÑÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ ÙÑ Ó R n º ÈÓÖ Ö Ô ÖÓ Þ ÑÓ ÕÙ ÒÒ Ó R n ÕÙ ÒÓØ ÔÓÖ ε = {e,e 2,...,e n }º Ò Ó ½¾ µ ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ò Ó S ØÓ Ó Ú ØÓÖ ÜÔÖ ÓÖÑ Ò ÓÑÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ Sº Ü ÑÔÐÓ ½ ÒÒ Ó R 4 e = (,,, ) e 2 = (,,, ) e 3 = (,,, ) e 4 = (,,, )º Á ØÓ Ú Ö ÔÓ Ó (a, b, c, d) R 4 (a, b, c, d) = ae +be 2 +ce 3 +de 4 Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ {(, ), (, ), (, )}º Ð Ö ØÓ Ó Ó R 2 ÔÓ Ó (a, b) R 2 (a, b) = a(, ) + (, ) + b(, ) Ñ ÒÓ R 2 ÔÓ ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÄÁ (, ) = (, ) + (, )º Ü ÑÔÐÓ Ç ÓÒ ÙÒØÓ {(, ), (, )} Ó R 2 º ØÓ Ð Ó ÄÁ ÙÑ ÒÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ Ó ÓÙØÖÓµ Ö Ñ Ó R 2 ÔÓ Ó (a, b) R 2 (a, b) = a(, ) + (b a)(, )º Ü ÑÔÐÓ β = {(,,, ), (,,, ), (,,, ),(,,, )} Ó R 4 º ØÓ Ó (a, b, c, d) R 4 (a, b, c, d) = a(,,, ) + (b a)(,,, ) + (c b a)(,,, ) + (d c b a)(,,, )º

32 ½ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê Ò Ó ½ ÓÓÖ Ò µ ÓÓÖ Ò Ó Ú ØÓÖ v Ò β = {b,b 2,...,b n } Ó Ó Ó ÒØ α i ³ Ò Ó Ô Ð Ò Ó µ Ù Ó Ô Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ò ÖÑ ÒØ Ó n Ú ØÓÖ b i ³ ÓÖÑ Ö Ö v ØÓ v = α i b i º ÒÓØ ÑÓ i= [v] β = Ø ÓÖÑ ÓÓÖ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÓÐÙÒ º Ü ÑÔÐÓ ÒÒ Ó R n ε = {e,e 2,...,e n } ÙÑ Ú ØÓÖ v = (v, v 2,...,v n ) v v 2 ÓÑÓ v = v e + v 2 e v n e n ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ [v] ε = º º Ü ÑÔÐÓ [ ÓÒ Ö ] Ó Ú ØÓÖ [ v ] = (2, 4) ε = {(, ), (, )} β = {(, ), (, )}º 2 2 ÒØÓ [v] ε = [v] 4 β = ÓÑÓ ÐÙ ØÖ ÑÓ Ò ÙÖ ½º º Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ñ ÑÓ 2 Ú ØÓÖ ÔÓ ÔÓ Ù Ö ÓÓÖ Ò Ø ÒØ Ñ Ø ÒØ º α α 2 º α n. v n ÙÖ ½º Î ØÓÖ v = (2, 4) Ñ Ø ÒØ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö β = {(,, ), (,, ), (,, )} Ó Ú ØÓÖ v = (, 2, 2)º ÒØÓ [v] ε = 2 Ñ [v]β = º 2 Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö β = {(,, ), (,, ), (,, )} Ó Ú ØÓÖ v = (, 2, 2) w = (,, )º ÒØÓ [w] ε = [v] β = º ÈÓÖØ ÒØÓ Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ ÔÓ Ñ ÔÓ Ù Ö Ñ Ñ ÓÓÖ Ò ¹ Ñ Ø ÒØ º

33 ½º º Ê ÁÇË ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê ½ Ñ ÓÖ ÓÓÖ Ò Ñ Ò Ó ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ Ü Ø ÙÑ ÓÒ¹ Ú ÒÓ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ù Ó ÒÓØ Ó ØÓ ÙÑ Ù Ó ÒÓØ Ó Ö ÒØ Ó ÓÒ¹ Ú Ò ÓÒ Óµ ÕÙ ÙÑ Ö ÕÙ ÒÒ º Ñ Ø ÑÓ ØÖ ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ v R n ÓÒ Ö Ó Ú ØÓÖ v = (α,...,α n ) Ù Ó ÓÖÖ ØÓµ ÓÒ Ö Ó Ú ØÓÖ [v] ε = ÓÒ Ö Ó Ú ØÓÖ v = α º α n α º α n Ù Ó ÓÖÖ ØÓµ Ù Ó ÒÓØ Óµ ØÓ Ó ÐØ ÑÓ Ù Ó ØÓ ÓÑÙÑ ÕÙ ÑÙ ØÓ Ð ÚÖÓ Ù Ñ ÓÑÓ Ò Ó Ú ØÓÖ Ó R n ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÑ ÙÑ ÓÐÙÒ n Ð Ò º ÆÓØ ÕÙ ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓ Ö Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ Ð Ò Ñ ÓÒÚ ÒÓ ÙØ Ð Þ Ñ ØÓ Ó Ó Ð ÚÖÓ ÓÑÓ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÐÙÒ º ½º Ü Ö Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ ýð Ö Ä Ò Ö ½º º½ Ü Ö Ó Ü Ó Ü Ö Ó ½º Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ Ö Ø ÓÙ ÔÐ ÒÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð µ ÕÙ ¹ Ó µ µ x = 4 Ñ R 2 µ x = Ñ R µ y = 3 Ñ R 3 µ { x + y = 2 Ñ R 2 x = 5 µ y = 2 Ñ R2 µ { x = 5 y = 2 Ñ R 3 Ü Ö Ó ¾º ÉÙ Ò Ó Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑÓ Ø Ò µ Ó Ú ØÓÖ Ù Ó Ò Ö Ñ ÒØ µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k > Ó Ø ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑ Ø Ñ Ò Ó ÓÑ Ñ ÑÓ ÒØ Ó ÒØ Ó ÓÔÓ ØÓµº µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k = Ó Ø ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑ Ø Ñ Ò Ó ÓÑ Ñ ÑÓ ÒØ Ó ÒØ Ó ÓÔÓ ØÓµº µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k < Ó Ø ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑ Ø Ñ Ò Ó ÓÑ Ñ ÑÓ ÒØ Ó ÒØ Ó ÓÔÓ ØÓµº µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k ÓÑ < k < Ó Ø ÑÓ Ú ØÓÖ ÓÑ Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖµ Ø Ñ Ò Ó ÓÑ µ { µ x y = Ñ R 3 x y = 5 y = 2 Ñ R3 Ó Ò ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ µ Ñ ÑÓ ÒØ Ó ÒØ Ó ÓÔÓ ØÓµº Ñ ÑÓ Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖµ Ñ ÑÓ Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖµ Ñ ÑÓ Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖµ Ñ ÑÓ Ü Ö Ó º Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ Ö Ø ÓÙ ÔÐ ÒÓ µ (, 2,, ), (2, 4,, ) + (2,, 2, 2) µ (, 2,, ), (,,, ) + (,,, ) µ (,,, ) + (,,, ) µ (,,, ) + (,,, ) Ü Ö Ó º Ë u ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v w ÒØÓ Ò Ö Ñ ÒØ u Ô ÖØ Ò µ Ö Ø Ö ÔÓÖ w µ Ó ÔÐ ÒÓ Ö Ó ÔÓÖ v w Ü Ö Ó º Ë S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ 5 Ú ØÓÖ Ñ R n º Ø ÖÑ Ò Î ÓÙ µ n = 3 ÒØÓ S ÑÔÖ Ä µ n = 4 ÒØÓ S ÑÔÖ Ö R 4 º ½ Î Ö Ó ½ ºÅ Öº¾¼¼ ½

34 ½ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê Ü Ö Ó º ÓÑÔÐ Ø Ð ÙÒ µ ÒÒ Ó R 5 ε = { } µ β = {w,w 2,w 3,w 4 } Ó R 4 u = w 4 + 2w 3 + 3w 2 + 4w [u] β = º Ü Ö Ó º ÓÒ Ö S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ò Ó Ú ØÓÖ º Ø ÖÑ Ò Î ÓÙ µ ØÓ Ó Ú ØÓÖ ÙÑ Ô Ó ÔÓ Ö Ö ØÓ ÓÑÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ S ÒØÓ S µ S ÒØÓ S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ú ØÓÖ µ ÓÓÖ Ò ÙÑ Ú ØÓÖ Ó ÑÔÖ Ñ Ñ Ò Ô Ò ÒØ º ½º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë Ò Ó ÕÙ u = (2, 3) v = (, 4) w = ( 2, ) Ø ÖÑ Ò µ u + 2v µ u v µ 3u 2v + w ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÐÙÐ µ (, 2, 3, 2, ) + (, 2, 3, 4, ) = µ 3(, 2, 3, 2, ) = ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 2 µ µ y 2x = 5 µ y = º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 3 µ ÓÑ ÕÙ ÖØ ¹ Ò { ÔÓÖ { { z x = x + y = x = y µ x + y + z = µ x y = µ z = º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ö Ø Ñ R 3 µ µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (2, 3, ) (, 2, ) µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (, 2, ) Ô Ö Ð Ð Ó Ú ØÓÖ (,, ) µ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ó ÔÐ ÒÓ x y = z Ó ÔÐ ÒÓ 3x y + = zº ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R 3 µ ÓÑ ÕÙ Ó ÖØ ¹ Ò ÔÓÖ µ x + y z = 2 µ y z = º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R 3 µ µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (,, ) (,, ) (,, )º µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (3,, ) ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ (2,, ) (,, ) º µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (, 3, 2) (, 2, ) Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ (,, )º x = t + µ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ ( 3,, ) Ö Ø ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ y = t º z = t ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö Ö Ø r = (, 2,, ) + t(, /2,, )º Ø ÖÑ Ò µ ØÖ ÔÓÒØÓ Ø ÒØÓ r µ (, 4, 4, 4) r µ (, 4, 3, 2) r µ r = (, 4, 3, 2) + s(, /2,, ); µ r = (, 4, 4, 4) + s(, 2, 4, 4). ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ Ö Ó ÔÐ ÒÓ Π = (,, 2, ) + t(, 2,, 2) + s(,,, ) Ñ R 4 º ¹ Ø ÖÑ Ò

35 ½º º Ê ÁÇË ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê ½ µ ÕÙ ØÖÓ ÔÓÒØÓ Ø ÒØÓ Π µ (2, 5, 3, 4) Π µ (,, 3, 3) Π µ Π = (,, 3, 3) + (, 2,, 2), (,,, ) º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ó Ù Ô Ó Ñ µ {(x, y, z, w) R 4 x y + 3z 2w = 4} µ {(x, y, z, w, u) R 5 z 3u = 5}º ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ò Ô Ó ÄÁ µ {(, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 5)} µ {(, 2,, 3), (3, 6, 3, 9} µ {(, 2), (2, ), (3, 3)} µ {(, 2, 3, 4, 5), (,,,, ), (5,4, 3, 2, )}º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ø ÖÑ Ò µ (, 2, 3, 5) (, 2, 3, 4) µ (,, 2) (2,, ), (3,, ) µ (2,, 2) = (2,, 2) º µ (,, ) (2,, ), (3,, ) µ R 3 = (,, ), (,, ), (,, ) ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÓÒ Ö v = (4,, ) β = {(,, ), (,, ), (,, )} µ Ö Ú v ÓÑÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ β µ Ø ÖÑ Ò [v] ε ÒÒ µ µ Ø ÖÑ Ò [v] β 2 µ Ò Ó ÕÙ [w] β = 3 Ø ÖÑ Ò [w] ε º 2 ½º º ÜØÖ ÜØÖ ½º Ë S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ 5 Ú ØÓÖ Ñ R n º Ø ÖÑ Ò Î ÓÙ µ n = 7 ÒØÓ S ÑÔÖ ÄÁ µ n = 3 ÒØÓ S ÔÓ Ö Ö Ó R 3 ÜØÖ ¾º Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ { 2x 3y + 5z = µ x = 3 Ñ R 2 µ x + y = Ñ R3 µ x 2y = Ñ R 3 µ 3x 2z 5 = Ñ R 3 ÜØÖ º Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ Ö Ø ÓÙ ÔÐ ÒÓ µ (, 2,, 2, ) + (,,,, ), (, 2,, 2, )) µ (, 2,, ) + (, 2,, 3), (, 2,, 4)) µ (, 2,, ) + (,,, ), (, 2,, 2), (, 3,, 3)) µ (2,, 2, ) + (, 2,, ), (,,, ), (,,, ) µ (,,, ) + (,,, )) µ v + u, u, 3u ÓÑ u º

36 ¾¼ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç ü ýä Ê ÄÁÆ Ê

37 Ô ØÙÐÓ ¾ Ë Ø Ñ Ä Ò Ö Ó ÐÓÒ Ó Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ó ÙÑ Ø Ñ ÔÓ Ù ÓÐÙÓ Ò Ò Ò Ø ÓÐÙ ÓÙ Ò Ò ÙÑ ÓÐÙÓº Å Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÓÐÙÓ Ò µ ÓÙ Ù ÖÑÙÐ Ö Ð Ò Ò Ø µº ËÓ Ó Ø ÚÓ Ø Ô ØÙÐÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö µ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ ÓÐÙÓ Ø Ñ Ñ ÓÖ ÖÚ Ñ Ô Ö ÑÓØ Ú Ó ÔÓ ÒÓ ÔÖ ÑÓ Ð Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ñ µ µ ÓÔ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ñ Ò Ó Ù ÓÖÑ ÐÓÒ µ Ù ¹ÂÓÖ Ò ÓÖÑ ØÓØ ÐÑ ÒØ ÐÓÒ µ µ ÒÓÚ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ØÖ Þ¹Ú ØÓÖ ÑÔÐ Ò Ó Ñ ÒÓÚ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÐÙ ÙÑ Ø Ñ Ð Ò Öº µ ÓÐÙÓ ÑÙÐØÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑ Ñ Ñ Ñ ØÖ Þ Ó ÒØ Ø Ó Ò Ð Ó Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ó Ù ÒØ Ø ÖÑÓ Ø Ò Ó Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ó ÒØ Ð Ó Ö ØÓ Ø Ñ Ð Ò Ö Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖµ Ø Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÔ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ô Ú ÓÖÑ ÐÓÒ ØÓØ ÐÑ ÒØ ÐÓÒ Ú Ö Ú Ô Ò ÒØ Ð ÚÖ Ð Ñ Ò Ó Ù Ù ¹ÂÓÖ Ò Ø Ñ ÓÑ ÓÐÙÓ Ò Ò Ò Ø ÓÐÙ Ò Ò ÙÑ ÓÐÙÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÓÙ ÒØ ÖÒÓ Ô ÖÔÐ ÒÓ ÓÐÙÓ ØÖ Ú Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ¹ ÓÐÙÓµ Ø Ñ Ð Ò Ö Ø Ñ ÓÑÓ ¹ Ò Óº ¼ Î Ö Ó ½ º Ùк¾¼¼ ¼ ¾½

38 ¾¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ¾º½ ÔÐ Ë Ø Ñ Ä Ò Ö Ë Ø Ñ Ð Ò Ö Ô Ö Ñ Ñ Ú Ö Ó Ø ÔÓ ÔÐ Ò ÉÙ Ñ Ò Ò Ö ÒØÖÓ Ú Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ ÔÖ Å Ø Ñ Ø º Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ú Ö Ó Ü ÑÔÐÓ ÕÙ ÖÚ Ñ ÑÓØ Ú Ó Ô Ö Ø ØÙ Óº Ç Ü ÑÔÐÓ Ø Ô Ó Ó Ò ÒÓ Ñ Ó ÒÓ Ù Ö Ò ÑÙ Ø Ñ Ð Ö µ Ú Ö Ú º Ó ÒÐÙ Ó ÓÑ ÒØ Ô Ö ÓÒØÖ Ø Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓ º Ü ÑÔÐÓ À Ó Ø ÔÓ ÑÓ Ò Ø Ò Ù Ú Ü ØÓ Ô ÐÓ Ô Óº Ñ Ø Ö Ð Ô Ñ ½¼ Ñ Ø Ö Ð ¾¼ º Ë ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ½¼¼ ÑÓ Ô ½º¾ à ÕÙ ÒØ Ó Ó Ñ Ø Ö Ð { x + y = x + 2y = 25. Ü ÑÔÐÓ ¼ ÓÑ Ù ØÓ Ó ÔÖÓÔ ÒÓ ÔÖÓ ÙÞ Ü Ó Ö ÓÒÓ Ù º ÒÓÒØÖ a b c d ÓÖÑ Ð Ò Ö ÕÙ Ó Ö Ó a 3 À 8 + b Ç 2 c Ç 2 + d À 2 Ǻ Ð ÒÓ 3a = c Ð ÒÓ À 8a = 2d Ð ÒÓ Ç 2b = 2c + d 3a +b c +d = 8a +b +c 2d = a +2b 2c d =. Ü ÑÔÐÓ ½ Ü Ø ÙÑ Ò Ô Ö ÓÐ γ ÓÖÑ y = ax 2 +bx+c Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (, ) (, 3) (2, 4) (3, 9) Ó ÒÓ Ü Ø ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÓÒØÓ (, ) γ = a( 2 ) + b() + c (, 3) γ 3 = a( 2 ) + b() + c (2, 4) γ 4 = a(2 2 ) + b(2) + c (3, 9) γ 9 = a(3 2 ) + b(3) + c Ç Ø ÑÓ ÙÑ Ø Ñ ÓÑ 4 ÕÙ Ú Ö Ú a, b, cµ a +b +c = a +b +c = 3 4a +2b +c = 4 9a +3b +c = 9 Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ ÓÖÑ f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ ÙÒÓ cos(x) ÒÓ ÔÓÒØÓ k i ÓÑ i =,..., N N ØÓ Ö Ò ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö µº Ç ÖÚ Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ø Ö ak 3 +bk 2 +ck +d = cos(k ) º º º º º. akn 3 +bk2 N +ck N +d = cos(k N ).

39 ¾º½º ÈÄÁ Ë ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ¾ Ü ÑÔÐÓ ÉÙ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ØÖ Ù Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÐ Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ¾º½ Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÚÓÐØ Ø ÔÐ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ó Ò ÙÖ º È Ö ØÓ Ú ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ ÔÖ Ò Ô Ó Ó ÕÙ Ö ÒØ ÓÖÑ ÔÖÓÜ Ñ µ ÕÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÙÑ Ú ÖØ Ù Ð Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ÕÙ ØÖÓ Ú ÖØ Ñ ÔÖ Ü ÑÓ º Ø ÑÓ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ a ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ð ( b + d)/4º ÈÖÓ¹ Ò Ó Ø ÓÖÑ Ú ÑÓ Ó Ø Ö ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ó ÙÑ Ú Ö Ú (a, b, c, d, e, f) 4a b d = 45 4b a c e = 5 4c b f = 25. 4d e a = 55 4e b d f = 2 4f c e = 35 5 o 2 o o c f 5 o 5 o b e 2 o 2 o a d 25 o 25 o 3 o ÙÖ ¾º½ ÈÐ ÕÙ Æ Ø ÐØ ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÔÓ Ö ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ó ÒÚ ÙÑ Ñ Ð 4 5 ÙÑ Ñ Ð Ñ ØÓÖÒÓ Ñ Ð Ú Ö Ú µº ÇÙ ÒØÓ ÓÒ Ö Ö ØÖ Ù Ó ÐÓÖ Ñ ÙÑ Ô Ð ÓÑ ØÖ Ñ Ò Ô º Æ Ø Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ñ Ð ÑÓ Ö Ñ Ð Ó Ú Ö Ú º Ø ÓÖÑ ÙÖ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÓÑ ÑÙ Ø ÕÙ Ó R n ÓÑ n Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò º Ñ Ò ÑÙ ØÓ Ö Ò ÙÖ Ñ Ô Ð Ñ Ñ Ö ÞÓ Ñ Ú Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ØÙ ÒØ Ñ ÙÑ Ô ÓÙ ÔÖ Ó ÙÜÓ Ù Ñ ÙÑ ÒÓ ÓÙ Ö Ó Øº Ñ ØÓ Ó Ø Ó Ó Ñ Ó ÓÒØ ÒÙÓ Ö Ø Þ Ó Ñ Ñ Ð ÓÙ ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Ö Ú ÐÑ ÒØ Ô Ö Þ Ò Ñ Ð Ö ÓÙ Ñ ÑÓ Ñ Ð Ú Ö Ú º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÙÜÓ ÖÖÓ Ñ ÖÙ Þ Ô ÖØ Ó ÔÐ Ò Ñ ÒØÓ ÙÖ ÒÓ ÙÑ º ÇÙØÖÓ ÙÜÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó Ù Ò Ö Ñ Ö ÓÖ ÓÙ ÝØ ÒØ ÖÒ Øµº Æ Ø Ñ Ü Ø Ñ Ú ÖÙ ÒÓ ØÖ ÓÙ Ó µ ÕÙ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ñ Ø ÙÜÓ ÕÙ Ú Ñ Ö ÔÐ Ò Ó ÓÖÑ ÙÔÓÖØ Ö Ô º Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ØÖ ÙÞ Ó Ñ Ø Ñ Ð Ò Ö ÕÙ Ú Ñ Ö Ö ÓÐÚ Ó º ÓÒ ÙÐØ Ð ÚÖÓ Ð Ö Ð Ò Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ä Ý ÓÙ Ä ÓÒ ÓÙ ÒØÓÒµ Ô Ö Ñ Ø Ð Ó Ö Ø ÑÓ ÐÓ º Ü ÑÔÐÓ ÓÖ Ñ Ö Ð Þ Ñ Ó Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ØÒ Ô ÖÓÖÖ ÓÒ ÙÑÓ ÓÑ Ù Ø Ú Ð ÙÑ ÙØÓÑ Ú Ðµ Ó Ø Ò Ó¹ N ÔÓÒØÓ (x i, y i ) ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ë Ò Ó¹ ÕÙ Ö Ð Ó Ú Ö Ð Ò Ö ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ö Ø ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ð Ó

40 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ÈÖ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö a, b R Ø Ð ÕÙ Ö Ø y = ax+b Ô Ó Ñ Ô ÖØÓ ÔÓ Ú Ð Ñ ÒØ Ó Ö ÔÖ Óµ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ (x i, y i ) ÓÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ ¾º¾º Ö ÔÓ Ø ØÖ Ú Ó Ñ Ó Ñ ØÓ Ó Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó ÕÙ Ù Ñ Ð ÓÖ ÓÐÙÓ ÓÑ Ñ ÒÓÖ ÖÖÓµ Ó Ø Ñ ÓÑ ¾ Ú Ö Ú a, bµ N ÕÙ ax + b = y º = º ax N + b = y N. y x ÙÖ ¾º¾ Ê Ø ÔÖÓÜ Ñ Ü ÑÔÐÓ Ç Ú ØÓÖ (, 6, ) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö (, 2, 3) (2,, ) (4,, 3) ÈÖ ÑÓ Ö Ü Ø Ñ α, β, γ Ø ÕÙ α +2β +4γ = 2α +β γ = 6 3α +β 3γ = α(, 2, 3) + β(2,, ) + γ(4,, 3) = (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ, γ, 3γ) = (α + 2β + 4γ, 2α + β γ, 3α + β 3γ) = (, 6, ). Ø ÓÖÑ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ø Ñ Ð Ò Ö ÑÓ Ð Ñ ÑÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ýð Ö Ä Ò Ö Ö Ñ Ò Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ Ð Ò Ö ÑÓ Ó ÕÙ Ø Ò Ô Ö Ö ÓÐÚ ¹ÐÓ ÒÓ ÓÑÔ Ò ÖÓ ÔÓÖ ØÓ Ó Ó ÙÖ Ó ÐÑ ÒØ Ó Ø Ñ ÔÓ Ñ Ø Ö Ñ Ð Ö Ú Ö Ú Ò Ø Ó Ø ÓÖ Ö ÙÒ¹ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÒØ Ò Ö ÓÐÙ ÕÙ ÖÓ Ö ÔÓÖ Ó ØÛ Ö ÓÑÔÙØ Ó ÒØ º ¾º¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ Î ÑÓ ÙØ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÐÙ Ø Ñ Ð Ò Ö Ñ R Ö Ø µ Ñ R 2 ÔÐ ÒÓµº Æ Ë Ó ¾º Ö ØÓÑ ÑÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ Ò Ö Ð Þ Ò Ó¹ Ô Ö R n º Ü ÑÓ Ô Ö Ó ÐÙÒÓ Ô Ö Ó Ü Ö Ó µ ÔÐ Ó Ñ R 3 Ô Óµ Ø º