Prova de Habilitação para Professores e Licenciandos em Matemática

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1 Prova de Habilitação para Professores e Licenciandos em Matemática 10 de setembro de 016 INStRUÇÕES 1. Verifi que se os seus dados informados no quadro abaixo estão corretos. Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro ao aplicador imediatamente.. Este caderno de provas contém 6 (seis) questões e um espaço destinado a rascunho. Caso o caderno esteja incompleto ou apresente algum defeito que impeça a leitura das questões, dirija-se ao aplicador para que ele faça a troca do caderno. 3. Após realizada a conferência dos dados, assine seu nome no quadro abaixo com caneta esferográfi ca azul ou preta. É obrigatório assinar, também, a lista de presença em posse do aplicador. 4. A prova deverá ser feita preferencialmente a caneta esferográfi ca azul ou preta. Provas feitas a lápis não terão direito à revisão de prova. 5. A duração da prova é de 3 horas. Somente será permitido deixar a sala 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador. 6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada a ela, de maneira organizada e legível. Soluções escritas nos espaços reservados ao rascunho ou a outras questões não serão consideradas para correção. 7. Respostas sem justifi cativa não serão consideradas na correção. 8. Não escreva nos espaços sombreados destinados à correção. 9. Não é permitido: a. perturbar a ordem no local de aplicação, ou agir com incorreção ou descortesia com qualquer candidato ou com os aplicadores de provas; b. ausentar-se da sala de provas sem a devida autorização do aplicador e sem o acompanhamento do fi scal de corredor; c. ausentar-se da sala de provas levando consigo o caderno de questões, em qualquer momento; d. usar instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta; e. comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador de provas; f. portar quaisquer aparelhos eletrônicos (celulares, tablets, relógios com calculadora, máquinas fotográfi cas, etc.). Informe-se com o aplicador sobre a maneira correta de guardar esses aparelhos; g. utilizar ou tentar utilizar meio fraudulento para obter aprovação ou informação privilegiada. O não cumprimento de qualquer dessas regras resultará em sua eliminação do processo de habilitação. Boa prova! NoME CPF CENtRo DE aplicação Nº Sala MUNICÍPIo UF assinatura Nota fi nal

2 1. O polígono da Figura 1 é formado por nove quadrados de lado 1. A B P Figura 1 a) Os segmentos PA e PB dividem o polígono em três regiões. Calcule as áreas dessas regiões. b) O segmento PC da Figura divide o polígono em duas regiões de mesma área. Calcule a distância de B a C. A C B P Figura

3 . Um número natural n é (1)-perfeito se a soma dos seus divisores positivos for igual a n + 1. Por exemplo, 30 é (1)-perfeito, pois = 7 = Já o número 10 não é (1)-perfeito, pois = 18 3 = a) Verifique que 304 é (1)-perfeito. b) Mostre que todo número n da forma n = 6p, com p primo e maior do que 3, é (1)-perfeito. c) Enuncie a recíproca da afirmação do item b). Essa recíproca é verdadeira? Justifique sua resposta. 3

4 3. Na noite passada, as médicas Eva e Fabiana atenderam cinco pacientes que chegaram ao prontosocorro da cidade de Quixajuba entre 0 e 3 horas. O primeiro paciente que chegou foi atendido por Eva, o segundo, por Fabiana, e os seguintes foram atendidos por ordem de chegada e pela médica que ficou livre primeiro. Paciente Horário da Chegada Tempo de Atendimento (min) 1 0h00min 44 0h15min 0 3 0h0min h30min h50min 0 a) Qual foi o tempo médio que os cinco pacientes esperaram pelo atendimento? b) Qual foi a médica que atendeu o último paciente? Justifique sua resposta Tempo de atendimento acumulado (min) c) Seja f(t) o tempo de atendimento acumulado das duas médicas até o instante t, isto é, o tempo de trabalho em atendimento realizado por elas até t minutos após as 0h. Por exemplo, f (0) = = 5 minutos. Faça o gráfico de f(t) Tempo após as 0h (min) 4

5 4. O retângulo ABCD da figura tem dimensões AB = 8 e BC = 9. Considere dois círculos, de mesmo raio r, internos ao retângulo e tangentes aos lados dos ângulos com vértices em B e D, respectivamente. D r C a) Calcule a distância d entre os centros dos círculos para r =. d r A B b) Expresse a distância d entre os centros dos círculos em função do raio r. c) Qual deve ser o valor de r para que os círculos sejam tangentes? 5

6 5. As coordenadas ( x, y ) do vértice V da parábola de equação y v v v b 4ac =, sendo a, b e c números reais com a 0. 4a y = ax + bx + c são x v b = e a a) Qual é a equação da reta à qual pertencem os vértices das parábolas de equação quando c percorre o conjunto dos números reais? y = x + x+ c, b) Mostre que os vértices das parábolas de equação y = ax + x + 1 pertencem a uma mesma reta, quando a percorre o conjunto dos números reais não nulos. c) Qual é a equação da curva à qual pertencem os vértices das parábolas de equação quando b percorre o conjunto dos números reais? y x bx = + + 1, 6

7 6. Um número natural é setespalhado quando não tem dois algarismos 7 seguidos em sua representação decimal. Por exemplo, 345, 071 e 7347 são setespalhados, enquanto e 777 não são. a) Quantos são os números setespalhados de algarismos? b) Quantos são os números setespalhados de 3 algarismos? c) Quantos são os números setespalhados de 4 algarismos nos quais o algarismo das unidades não é 7? Quantos são os números setespalhados de 4 algarismos nos quais o algarismo das unidades é 7? d) Seja a n a quantidade de números setespalhados de n algarismos. Expresse a n em função de an 1 a, para n 3. e n 7

8 Operacionalização: o NÃO SERÃO CONSIDERADAS AS RESPOSTAS NESTE ESPAÇO.