Nível SBM. Ensino Médio 2ª FASE 5 de novembro de Nome completo do aluno. Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento.

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1 ole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Nível nsino Médio ª S 5 de novembro de 0 Nome completo do aluno ndereço completo do aluno (Rua, v., nº) omplemento airro idade U P ndereço eletrônico ( ) Telefone ssinatura Telefone (outro) Parabéns pelo seu desempenho na ª ase da OMP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na ª ase. esejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da quipe da OMP! Preencha e confi ra os dados acima com muita atenção! INSTRUÇÕS. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. aso as informa ções não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre cada palavra.. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença.. prova pode ser feita a lápis ou a caneta. 5. duração da prova é de horas. Você só poderá deixar a sala de prova 5 minutos após o início da prova. o terminar a prova, entregue-a ao aplicador. 6. solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira organizada e legível. vite escrever as soluções na folha de rascunho. 7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas as questões. 8. Respostas sem justifi cativas não serão consideradas na correção. 9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta. 0. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.. Não escreva nos espaços sombreados. 5 6 Total 5 6 Total SM

2 NÍVL Respostas sem justifi cativa não serão consideradas. m cada casa de um quadriculado deve ser colocado um dos números,, 7 e 8, de modo que em cada linha, coluna ou diagonal apareçam os quatro números. a) Qual é a soma dos números nos quatro quadradinhos centrais quando o quadriculado é preenchido de acordo com o enunciado? b) Suponha que,, 7 e 8 sejam colocados na diagonal, como na fi gura. e quantas maneiras é possível completar o quadriculado de acordo com o enunciado? 7 8 c) Qual é o maior valor possível para a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas quando o quadriculado é preenchido de acordo com o enunciado?

3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas NÍVL. omeçando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em, seguindo repetidamente as instruções abaixo: se o número for ímpar, soma-se ; se o número for par, divide-se por. Por exemplo, começando com o número, forma-se a seguinte sequência: 6 Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. lém disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar. a) screva a sequência que começa com 7. b) xistem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. screva essas sequências. c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? de comprimento 7? d) xistem ao todo 77 sequências de comprimento 5, sendo pares e ímpares. Quantas são as sequências de comprimento 6? essas, quantas são pares? Não se esqueça de justifi car sua resposta.

4 NÍVL Respostas sem justifi cativa não serão consideradas. linha poligonal da fi gura parte da origem e passa por todos os pontos do plano que têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. unidade de comprimento nos eixos é cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a,b) é chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (,) é 5 cm. a) etermine a lonjura dos pontos (,) e (0,) b) Quantos pontos de coordenadas inteiras estão contidos no interior e nos lados do quadrado cujos vértices são (0,0), (n,0), (n,n) e (0,n)? c) xplique por que a lonjura do ponto (n,n) é n + n. d) Qual é o ponto cuja lonjura é 5?

5 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas NÍVL 5. Na fi gura, os lados do triângulo são paralelos aos lados do triângulo retângulo. Os pontos,, e estão alinhados e 0 x 5. a) alcule o comprimento de em função de x. 5 cm 5 cm x cm x cm x cm 0 cm 5x b) Mostre que = = cm. c) aça o gráfi co da área do triângulo em função de x. (cm²) x(cm)

6 6 NÍVL Respostas sem justifi cativa não serão consideradas 5. m uma caixa há 0 bolas idênticas, numeradas de a 0. O número de cada bola corresponde a um dos pontos da fi gura, os quais dividem a circunferência em 0 partes iguais. Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição. a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência? b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo retângulo? Um ângulo inscrito em uma circunferência é reto se e somente se o arco correspondente é uma semicircunferência. c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um retângulo?

7 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas NÍVL 7 6. m todas as fi guras desta questão, vemos um triângulo dividido em quatro partes; nesses triângulos, é ponto médio de, é ponto médio de e mede. I a) Os quadriláteros JM e LN são obtidos girando de 80º os quadriláteros e I em torno de e, respectivamente. xplique por que os pontos M, e N estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MN ^ é igual a 80º. M N J I L b) Na fi gura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. xplique por que os triângulos I e MNK são congruentes. K M N J I L Os itens acima mostram que JKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo foi dividido. c) Mostre que L =. d) Na fi gura o triângulo tem área 9 e JKL é um quadrado. alcule o comprimento de. K M N J I L

8 RSUNO RSUNO Operacionalização: