UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA EUCLIDIANA UTILIZANDO TRIANGULAÇÃO DE DELAUNAY

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1 UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA EUCLIDIANA UTILIZANDO TRIANGULAÇÃO DE DELAUNAY Daniel R. Trindade Eduardo Zambon Maria Claudia S. Boeres Flávio M. Varejão UFES Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática Av. Fernando Ferrari, s/n Goiabeiras Vitória ES Brasil {danielrt, zambon, boeres, fvarejao}@inf.ufes.br RESUMO Este trabalho trata do problema da Árvore Geradora Mínima Euclidiana, por meio de um método de solução que combina um algoritmo clássico de Teoria dos Grafos (algoritmo de Prim) com um estrutura de dados empregada na área de Geometria Computacional, a triangulação de Delaunay. Inicialmente o algoritmo de Prim, em sua forma original, é apresentado e discutido. Em seguida, um método para se determinar a triangulação de Delaunay é fornecido. Ao final, uma versão do algoritmo de Prim com o uso da triangulação de Delaunay é proposta, e então é feita uma comparação entre essa solução e a clássica. Nos testes realizados, o uso da triangulação de Delaunay permitiu reduzir consideravelmente o tempo de execução do algoritmo de Prim, demonstrando assim as vantagens de seu uso no problema abordado nesse artigo. PALAVRAS CHAVE. Árvore geradora mínima euclidiana, algoritmo de Prim, triangulação de Delaunay. Área de classificação principal: TG - Teoria dos Grafos. ABSTRACT This work deals with the Euclidean Minimum Spanning Tree problem, with a solution method that merges a classical Graph Theory algorithm (Prim algorithm) with a data structure usually employed on the Computational Geometry area, the Delaunay Triangulation. Initially, Prim algorithm, in its original form, is presented and discussed. After that, a method to find the Delaunay triangulation of a set of points is given. Finally, we present a different version of Prim algorithm that uses the Delaunay triangulation, and we compare this algorithm with the original one. In our tests, the use of the Delaunay triangulation lead to a considerable reduction of the execution time of Prim algorithm, showing the advantages of use of the triangulation in the problem here presented. KEYWORDS. Euclidean minimum spanning tree, Prim algorithm, Delaunay triangulation. Main area: Graph Theory. 614

2 1. Introdução O problema da árvore geradora mínima euclidiana (AGME) está presente em diversas situações. Segundo Preparata & Shamos (1985), AGMEs têm sido usadas em aplicações que vão desde a área de reconhecimento de padrões até algoritmos que fornecem soluções aproximadas para o problema do caixeiro viajante. Ainda, Augustson & Minker (1970) tratam de métodos de clustering baseados em grafos que se utilizam de AGMEs. Preparata & Shamos (1985) definem o problema da seguinte maneira: dado um conjunto de pontos em R, deseja-se determinar a árvore de menor peso que liga esses pontos. Este caso é um pouco diferente do problema geralmente abordado pela literatura de Teoria dos Grafos, onde se deseja determinar a árvore de menor peso de um grafo G(V, E), não direcionado e conexo. Para esse último, existem procedimentos clássicos que fornecem bom desempenho, como os algoritmos de Prim (1957), Kruskal (1956) e Borůvka, cujo trabalho foi traduzido por Nesetril et al. (001). Como solução inicial para o problema da AGME pode-se, por exemplo, gerar um grafo G(V,E) completo a partir do conjunto de pontos e então usá-lo como entrada para um dos algoritmos citados. Os pontos correspondem diretamente ao conjunto de vértices V. O conjunto E de arestas é formado pela combinação desses pontos, num total de n(n 1) arestas, onde n é o número de pontos. Apesar de simples, esta solução não apresenta desempenho satisfatório para um conjunto grande de pontos. Segundo Eisner (1997), o tempo de execução para os algoritmos citados anteriormente depende basicamente do tamanho do conjunto de arestas do grafo de entrada. Considerando que para o problema de geração de AGMEs existem n(n 1) arestas, então o tempo de execução acaba sendo proporcional a O(n ). Para contornar essa situação, é preciso reduzir o número de arestas a serem analisadas. Neste trabalho foi observado que isso pode ser feito através do uso de uma estrutura de dados da área de Geometria Computacional: a triangulação de Delaunay, como mostrada por de Berg et al. (000). Pelo fato dessa estrutura pertencer a uma área de pesquisa fora de Teoria de Grafos, seu uso no problema de obtenção de árvores geradoras mínimas não é muito discutido, o que torna conveniente a apresentação de um procedimento que envolva esse tipo de estrutura. O objetivo desse artigo é mostrar as vantagens do uso da triangulação de Delaunay na solução do problema de geração de AGMEs. Para isso, é feita uma comparação entre a aplicação de um dos algoritmos clássicos de Teoria dos Grafos, o algoritmo de Prim, com e sem a utilização desse tipo de estrutura. O restante do texto está organizado da seguinte forma. Inicialmente o algoritmo de Prim é discutido na seção. Em seguida, um procedimento para a determinação da triangulação de Delaunay de um conjunto de pontos é fornecido na seção 3. A seção 4 apresenta uma solução que combina os dois algoritmos anteriores. Finalmente, os resultados computacionais obtidos são mostrados na seção 5 e as conclusões na seção 6.. Algoritmo de Prim O algoritmo de Prim é uma solução clássica para o problema da geração de árvores geradoras mínimas. Sua entrada é um grafo G(V,E), onde cada aresta de E possui um peso associado. Esse procedimento é mostrado no algoritmo 1. O algoritmo começa (linha 1) com a criação de uma variável AGM, inicializada com a representação de uma árvore vazia e que ao fim da execução será igual a uma AGM do grafo G(V,E). Em seguida, um vértice arbitrário v de V é adicionado à AGM (linha ). No laço das linhas 5 9 são determinadas as arestas que irão compor a AGM. Primeiramente é feita a busca pela aresta e de menor peso que não pertence à AGM e que não gera ciclo em AGM (linha 6). Essa aresta é então adicionada em AGM e o contador i, que indica o número de arestas em AGM, é 615

3 Entrada: G(V, E) grafo ponderado Saída: AGM uma das árvores geradoras mínimas de G AGM árvore vazia v algum vértice arbitrário de V Adicione v à AGM i 0 Enquanto i < n 1 faça e a menor aresta de G que não gera ciclo e não pertença à AGM Adicione e à AGM i i + 1 Fim enquanto Retorne AGM Algoritmo 1: Prim incrementado. O laço termina quando o número de arestas em AGM é igual a n 1 (linha 5), onde n é o número de vértices de G(V,E). Nesse momento, AGM é igual a uma AGM de G(V,E) e o algoritmo termina. O tempo de execução do algoritmo de Prim é determinado pelo tempo gasto no processo de busca por uma aresta (linha 6). Segundo Eisner (1997), para se realizar essa tarefa, geralmente é utilizada uma estrutura de dados do tipo heap..1. Algoritmo de Prim com uso de heaps De forma geral, o heap é uma estrutura de dados do tipo árvore que segue a seguinte regra: para todo nó i que não seja a raiz, o pai de i possui uma chave menor que a de i. Essa característica faz com que o elemento de menor chave existente no heap esteja sempre na raiz, permitindo sua rápida localização. Para o problema tratado aqui, é importante citar três operações que podem ser realizadas sobre um heap: InserirElem, que permite a inserção de um novo elemento no heap; ExtrairMin, que extrai o elemento de menor chave do heap; e TentarDiminuirChave, que tenta diminuir o valor da chave de um elemento do heap. Por limitações de espaço, os algoritmos dessas operações não serão mostrados aqui. Para maiores detalhes sobre esse tipo de estrutura, veja Cormen et al. (1990). A versão do algoritmo de Prim com o uso da estrutura de dados heap, adaptado para o problema da AGME, é mostrado no algoritmo. Sua entrada consiste em um conjunto de pontos P em R, onde cada ponto p P possui, além de suas coordenadas, dois outros atributos: agm pai, que guarda o ponto pertencente à AGM mais próximo a p; e chave, que guarda a distância entre p e agm pai. O algoritmo começa com a criação do heap H vazio e a inicialização de AGM como uma árvore vazia (linhas 1 e ). Em seguida, no laço das linhas 3 6, todos os pontos do conjunto P são adicionados em H com o campo chave com o valor. Nas linhas seguintes (7, 8) um elemento é extraído de H e é adicionado na árvore. Observe que nesse momento, como todos os elementos do heap têm o campo chave de mesmo valor, essa operação de extração corresponde a escolher aleatoriamente um ponto de P para adicionar na AGM. No laço das linhas 9 17 ocorre a construção da AGM. Nele, as distâncias entre todos os pontos existentes em H e o último ponto adicionado na AGM são calculadas no laço mais interno (linhas 10 13). O procedimento TentarDiminuirChave é usado nesse momento para guardar as distâncias calculadas quando necessário (linha 1). Sendo agm elem o último ponto adicionado em AGM, heap elem um ponto de H e d a distância entre esses, o procedimento TentarDiminuirChave verifica se d é menor que o valor armazenado no campo chave de heap elem. Se isso ocorre, então chave é atualizada para d e agm pai passa a apontar para agm elem. Em seguida o menor elemento de H, agm elem, é extraído e adicionado 616

4 Entrada: P conjunto de pontos em R Saída: AGM uma árvore geradora mínima que liga os pontos de P H heap vazio AGM árvore vazia Para todo p P faça p.chave InserirElem(H, p) Fim para todo agm elem ExtrairMin(H) Adicione agm elem à AGM Enquanto H.tam > 0 faça Para todo heap elem H faça d distância entre agm elem e heap elem TentarDiminuirChave(H, heap elem, d) Fim para todo agm elem ExtrairMin(H) Adicione agm elem à AGM Adicione a aresta formada pelo nós agm elem e agm elem.agm pai à AGM Fim enquanto Retorne AGM Algoritmo : Prim Heap em AGM (linhas 14 e 15). O campo agm pai de agm elem aponta para o ponto de AGM do qual ele está mais próximo. Isso permite identificar a aresta que deverá ser adicionada em AGM, que é dada pelos pontos agm elem e agm pai. O laço das linhas 9 17 é repetido até que H seja vazio, ou seja, quando AGM contiver todos o pontos de P. Nesse momento, AGM corresponde a uma AGM de P. O tempo necessário para a execução do procedimento Prim Heap é obtido através da soma das contribuições dos procedimentos InserirElem, ExtrairMin e TentarDiminuirChave. Segundo Cormen et al. (1990), o heap de Fibonacci, criado por Fredman & Tarjan (1987), apresenta o melhor desempenho com relação a outros tipos de heap, para essas operações. Seus tempos de execução são proporcionais a Θ(1), O(lg n) e Θ(1), respectivamente. No laço das linhas 3 6, a operação InserirElem é executada n vezes, onde n é o número de pontos em P. Com isso, a contribuição total de InserirElem no tempo total de execução é Θ(n). A operação ExtrairMin também é executada n vezes. Logo, sua contribuição para o tempo de execução de Prim Heap é O(nlg n). Por último, TentarDiminuirChave contribui com O(n ). Isso ocorre pois, considerando o pior caso, quando sempre é necessário alterar o valor da chave, esse procedimento é executado n(n 1) vezes (número total de arestas). Apesar dessa situação dificilmente acontecer, continua sendo necessário calcular a distância para todas as arestas a fim de testá-las, o que ainda é custoso para conjuntos grandes de pontos. Ou seja, o tempo de execução do algoritmo permanece dependente do número de arestas a serem analisadas. Para contornar esse problema, é preciso diminuir o número de arestas candidatas a fazerem parte da AGM. Como mencionado anteriormente, isso é possível com o uso de uma outra estrutura de dados: a triangulação de Delaunay. 3. Triangulação de Delaunay Sendo P um conjunto de pontos no plano, uma triangulação de P consiste na subdivisão T no plano onde não é possível adicionar qualquer aresta conectando dois pontos de P sem que essa intercepte uma das arestas já existentes. A figura 1 mostra duas triangulações distintas para um 617

5 (a) (b) Figura 1: Exemplos de triangulações mesmo conjunto de pontos. Segundo de Berg et al. (000), todas as triangulações de um conjunto de pontos possuem em comum as seguintes características: Cada triangulação tem em comum as arestas que compõem as faces do polígono convexo formado por P ; e Todas as triangulações de P possuem n k triângulos e 3n 3 k arestas, onde n é número de pontos em P e k o número de pontos que fazem parte das faces do polígono convexo formado por P. A triangulação de Delaunay de um conjunto de pontos P é uma triangulação T onde nenhuma de suas arestas é ilegal. Uma aresta pode ser classificada como legal ou ilegal, de acordo com o seguinte critério: seja a aresta {a, b} adjacente aos triângulos t1 e t formados respectivamente pelos pontos a, b e c, e a, b e d. A aresta {a,b} é uma aresta legal se e somente se o ponto d está localizado fora da circunferência definida pelos pontos a, b e c. Caso contrário, {a, b} é ilegal. Ainda, se os pontos a, b, c e d formam um quadrilátero convexo, então exatamente uma das arestas {a,b} e {c,d} é legal. Para mais detalhes sobre essas classificação das arestas, veja a seção Um uso comum para esse tipo de estrutura de dados ocorre na modelagem e visualização em perspectiva de superfícies terrestres. Entretanto, nesse artigo, a aplicabilidade dessa estrutura baseia-se na seguinte propriedade, demonstrada por Preparata & Shamos (1985): se T é a triangulação de Delaunay do conjunto de pontos P, então as arestas que compõem a AGME de P também fazem parte de T. Isso significa que para determinar a AGME de P, é suficiente analisar somente as arestas que fazem parte de T. Dessa forma, o número de arestas candidatas a fazerem parte da AGME é reduzido significativamente, passando de n(n 1) para 3n 3 k arestas Algoritmo para obtenção da triangulação de Delaunay O algoritmo 3, retirado de de Berg et al. (000), é usado para determinar a triangulação de Delaunay de um conjunto de pontos P. Nele, os pontos são adicionados um a um na triangulação de forma aleatória, e busca-se manter a triangulação de Delaunay do conjunto atual de pontos. O parâmetro de entrada para o procedimento Triangulação Delaunay é um conjunto P de pontos, organizado na forma de um vetor indexado de 0 a n 1, onde n é o número de pontos existentes em P. O processo de triangulação começa com a adição dos pontos P[n],P[n + 1] e P[n + ] em P. Esses pontos devem ser escolhidos de forma que o triângulo formado por eles contenha todos os pontos do conjunto. Segundo de Berg et al. (000), se P é um conjunto de pontos em R, os pontos P[n] = (0,3M), P[n + 1] = (3M,0) e P[n + ] = ( 3M, 3M), onde M é o máximo valor absoluto dentre as coordenadas de P, podem ser usados. Esse é o primeiro triângulo a compor a triangulação T. No laço das linhas 4 0 os pontos de P são adicionados em T. Primeiramente o ponto P[i] é inserido em T. Em seguida, é feita uma busca pelo triângulo de T que contém P[i]. Uma vez que o triângulo (P[n],P[n + 1],P[n + ]) contém todos os pontos de P, então é garantido que P[i] pertence a pelo menos um dos triângulos existentes em T. Seja t o triângulo que contém P[i]. Duas situações podem acontecer: (1) P[i] está localizado no interior de t; ou () P[i] está localizado em uma das arestas de t. 618

6 Entrada: P conjunto de pontos em R Saída: T a triangulação de Delaunay de P Acrescente os pontos P[n],P[n + 1] e P[n + ] a P, de maneira que o triângulo (P[n],P[n + 1],P[n + ]) contenha todos os pontos originais de P Inicialize T com (P[n],P[n + 1],P[n + ]) i 0 Enquanto i < n faça Insira P[i] em T Ache o triângulo (P[a], P[b], P[c]) que contém P[i] // veja seção Se P[i] pertence ao interior de (P[a],P[b],P[c]) então Adicione arestas ligando P[i] aos vértices de (P[a],P[b],P[c]) LegalizaAresta(P[i], {P[a],P[b]}, T ) LegalizaAresta(P[i], {P[a],P[c]}, T ) LegalizaAresta(P[i], {P[b],P[c]}, T ) Senão // P[i] está localizado sobre uma das arestas de (P[a], P[b], P[c]), por exemplo, sobre a aresta (P[b], P[c]) Retire a aresta {P[b], P[c]} de T Adicione arestas ligando P[i] aos vértices de (P[a],P[b],P[c]) e ao vértice P[d] do triângulo (P[d],P[b],P[c]) também incidente a aresta {P[b],P[c]} LegalizaAresta(P[i], {P[b],P[a]}, T ) LegalizaAresta(P[i], {P[c],P[a]}, T ) LegalizaAresta(P[i], {P[b],P[d]}, T ) LegalizaAresta(P[i], {P[c],P[d]}, T ) Fim se Fim enquanto Retire os pontos P[n], P[n + 1] e P[n + ] e as arestas incidentes a esses pontos de T Retorne T LegalizaAresta(P[i], {P[a],P[b]}, T ): Se {P[a], P[b]} é uma aresta ilegal então Seja o triângulo (P[a],P[b],P[d]) adjacente ao triângulo (P[a],P[b],P[i]) ao longo da aresta {P[a],P[b]} Substitua {P[a],P[b]} pela aresta {P[i],P[d]} LegalizaAresta(P[i], {P[a],P[d]}, T ) LegalizaAresta(P[i], {P[b],P[d]}, T ) Fim se Algoritmo 3: Procedimento Triangulação Delaunay Se a situação (1) ocorre, então são traçadas arestas que ligam P[i] aos vértices de t (figura (a)). Se a situação () ocorre, a aresta e, na qual P[i] se encontra, é excluída e quatro novas arestas são então criadas ligando P[i] aos pontos do quadrilátero formado pela exclusão de e (figura (b)). Procedendo dessa forma, T continua sendo uma triangulação após a inserção de P[i]. Entretanto não é garantido que T continue sendo uma triangulação de Delaunay, uma vez que a adição de P[i] pode fazer com que algumas das antigas arestas se tornem ilegais. Para identificar quais arestas devem ser analisadas, observe que uma aresta que antes era legal só pode se tornar ilegal se um de seus triângulos incidentes for alterado. Dessa forma, as possíveis arestas ilegais são as do antigo triângulo t no qual P[i] foi inserido. Considerando por exemplo a figura (a), a inserção de P[i] pode fazer com que as arestas {P[a],P[b]}, {P[a],P[c]} 619

7 (a) (b) Figura : Efeito da inserção de um ponto na triangulação e {P[c], P[b]} se tornem ilegais. Para solucionar esse problema, o procedimento LegalizaAresta, definido nas linhas 3 9 do algoritmo 3, é executado para cada aresta potencialmente ilegal. Seus parâmetros de entrada são o ponto inserido P[i], a aresta {P[a],P[b]} que se deseja verificar e a triangulação T. Se {P[a],P[b]} é ilegal, então ela é trocada pela aresta {P[i],P[d]} onde P[d] é o ponto do triângulo (P[a],P[b],P[d]) adjacente a (P[a],P[b],P[i]) ao longo da aresta {P[a],P[b]}. Essa troca pode fazer com que outras arestas se tornem ilegais e LegalizaAresta é então executado recursivamente para essas arestas. Ao final do laço das linhas 4 0, T é uma triangulação de Delaunay. Na linha 1, os pontos P[n],P[n + 1] e P[n + ] e todas as arestas que incidem sobre eles são retirados de T, pois não fazem parte do conjunto original de pontos, e o algoritmo termina Busca por um triângulo Para se realizar a busca por um triângulo, referente à linha 6 do algoritmo 3, um grafo D direcionado e sem ciclos pode ser usado como estrutura de busca. Nele, cada nó que não pertence às folhas representa um triângulo que já existiu em T, mas que foi excluído. As folhas representam os triângulos atuais de T. Como exemplo, considere a figura 3. A figura 3(a) mostra parte de uma triangulação, composta pelos triângulos t1 e t. A estrutura D correspondente tem nesse momento dois nós, cada um representante de seu respectivo triângulo. A figura seguinte, 3(b), mostra o efeito em D da inserção de um ponto P[i]: são criados três nós, na estrutura de busca, correspondentes aos novos triângulos t3, t4 e t5. Esses nós são filhos do nó t1, uma vez que P[i] se encontra no interior do triângulo t1. A estrutura D representa, portanto, a relação entre a posição dos novos triângulos com os antigos. A figura 3(c) mostra o efeito do procedimento LegalizaAresta sobre D: na figura, os triângulos t5 e t foram substituídos pelos triângulos t6 e t7. Para refletir essa mudança em D, os nós t5 e t são ligados a cada um dos nós correspondentes a t6 e t7. Por fim, a figura 3(d) mostra como D trata o caso em que P[i] está localizado sobre umas das arestas de T. Usando a estrutura D, o triângulo que contém o ponto p pode ser encontrado da seguinte forma: a busca começa na raiz t0 de D, que corresponde ao triângulo (P[n],P[n + 1],P[n + ]). Em seguida, são verificados os nós t1, t e t3, filhos de t0. Como o triângulo t0 contém p e os triângulos t1, t e t3 são resultantes da subdivisão de t0, então é garantido que pelo menos um dentre os triângulos t1, t e t3 contém p. Suponha que p esteja localizado em t3. Os nós filhos de t3 são então verificados. Esse processo é repetido até que se chegue a um nó folha, o qual corresponde ao triângulo existente atualmente em T e que contém p. Como cada nó pode possuir no máximo três filhos, então a busca é feita em tempo linear em relação ao número de nós do caminho de busca Determinando se uma aresta é legal ou ilegal Resta ainda discutir como se deve verificar se uma aresta é ilegal ou não. Seja e = {P[b],P[c]} a aresta que se deseja testar, e os triângulos (P[a],P[b],P[c]) e (P[b],P[c],P[d]) adjacentes à e. Se P[d] está localizado no interior da circunferência definida pelos pontos P[a], P[b] e P[c], então e é ilegal. As equações (1) e () permitem determinar rapidamente os parâmetros 60

8 (a) (b) (c) (d) Figura 3: Construção da estrutura de busca D da circunferência formada por três pontos: y centro = {(x c x a) + (yc ya)}(x b x a ) + (x a x c ){(yb y a) + (x b x a)}, (1) (y c y a )(x b x a ) + (x c x a )(y a y b ) x centro = (y b y a ) + (x b x a ) + (y a y b )y centro. () (x b x a ) O teste acima funciona corretamente para a maioria dos casos, mas não pode ser usado quando os pontos P[n], P[n+1] e P[n+] estão envolvidos. Se e, por exemplo, for uma das arestas do triângulo (P[n],P[n+1],P[n+]), então ela não deve ser excluída antes que o algoritmo chegue ao fim. Dessa forma, para testar se uma aresta é ilegal, é necessário considerar também a existência do triângulo (P[n],P[n + 1],P[n + ]). Isso é feito da seguinte maneira: Se b e c são índices maiores ou iguais a n, então significa que {P[b],P[c]} é uma aresta pertencente ao triângulo (P[n],P[n + 1],P[n + ]). Nesse caso, decide-se que a aresta é legal pois o triângulo (P[n],P[n + 1],P[n + ]) deve ser mantido. Se os índices a, b, c e d são todos menores que n, então esse é o caso normal e o teste da circunferência deve ser realizado para determinar se a aresta é ilegal ou não. Se exatamente um dentre a, b, c e d é maior ou igual a n, então podem ocorrer os seguintes casos: b ou c é maior do que n. Nesse caso, se o quadrilátero formado pelos pontos P[a], P[b], P[c] e P[d] é convexo, então a aresta {P[b],P[c]} deve ser substituída por {P[a],P[d]}, uma vez que essa última pode pertencer à triangulação final. Logo, decide-se que a aresta é ilegal. Caso contrário, decide-se que a aresta é legal. a ou d é maior ou igual a n. Nesse caso decide-se que a aresta é legal uma vez que não é correto substituir {P[b],P[c]} por {P[a],P[d]}. Se dois dos índices a, b, c e d são maiores ou iguais a n, então um dentre a e b, e um dentre c e d são maiores ou iguais a n. Não pode ocorrer de b e c serem ambos maiores ou iguais a n pois isso já foi tratado anteriormente. Nesse caso, se o quadrilátero formado pelos pontos P[a], P[b], P[c] e P[d] é convexo, então o teste da circunferência é utilizado para determinar se a aresta é legal ou não. Caso contrário, decide-se que a aresta é legal. O procedimento Triangulação Delaunay tem tempo de execução proporcional a O(nlg n). Sua análise de complexidade pode ser encontrada em de Berg et al. (000). 61

9 4. Algoritmo de Prim com uso da triangulação de Delaunay Como visto anteriormente, somente o uso da estrutura de dados heap não é suficiente para garantir uma solução com um bom tempo de execução para a tarefa de se determinar a AGME de um grande conjunto de pontos. Isso ocorre devido ao elevado número de arestas que ainda precisam ser analisadas pelo algoritmo. Para contornar esse problema, a estrutura de dados triangulação de Delaunay é utilizada juntamente com o heap, como mostra o algoritmo 4. Esse procedimento tem como entrada um conjunto de pontos P e sua idéia principal consiste em obter a triangulação de Delaunay de P a fim de reduzir o conjunto de arestas a serem analisadas pelo algoritmo. Da mesma forma que Prim Heap, Prim HD inicia com a criação de um heap vazio H e uma árvore vazia AGM (linhas 1 e ). Em seguida, a triangulação de Delaunay T dos pontos P é obtida (linha 3). A construção da AGM começa na linha 4. Nesse momento, um ponto p qualquer de P é adicionado em AGM. A partir desse ponto a árvore é expandida até que a AGME seja obtida. O próximo passo é encontrar o ponto que se situa mais próximo de p. No algoritmo Prim Heap, é preciso calcular as distâncias entre p e todos os outros pontos do conjunto a fim de se encontrar o ponto desejado. Com o uso da triangulação de Delaunay isso não é mais necessário, uma vez que essa permite a rápida obtenção dos pontos vizinhos mais próximos de p. Considere, por exemplo, a figura 4, que mostra a triangulação de Delaunay para um conjunto de pontos. O ponto a é vizinho dos pontos b, c, d, e, f e g. Figura 4: Vizinhos mais próximos de um ponto Uma vez obtidos os pontos vizinhos de p, esses são inseridos no heap H através do laço das linhas Para cada novo vizinho, é calculada a distância entre ele e o ponto p, e o resultado é armazenado no campo chave de vizinho. Além disso, o campo agm pai passa a apontar para p (linha 8). Dessa forma, o heap H corresponde a uma lista de vizinhos mais próximos da árvore AGM que está sendo formada. No laço das linhas 11 7 a AGME é construída. Na linha 1, o ponto p mais próximo da árvore parcial é obtido através da operação ExtrairMin. Observe que, diferente do que ocorre em Prim Heap, H não contém todos os pontos de P, mas somente os pontos vizinhos mais próximos de AGM. Isso reduz o tempo execução de ExtrairMin significativamente, assim como o tempo de todas as outras operações sobre H. O ponto p e a aresta que o liga à árvore parcial são então adicionados em AGM. Com a adição de p, AGM passa a ter novos vizinhos. Entretanto, nem todos os vizinhos de p devem ser inseridos. Sendo vizinho um dos vizinhos de p, três situações podem ocorrer: 1. vizinho já existe em AGM: nesse caso a inserção de vizinho em H provoca um ciclo, destruindo a árvore parcial AGM. Portanto, vizinho deve ser descartado;. vizinho não pertence a AGM e nem a H (linha 1): nesse caso, a distância d entre p e vizinho é calculada, e vizinho é inserido em H. Com isso, a lista de pontos vizinhos de AGM passa a conter mais um elemento; 3. vizinho não pertence à AGM, mas já se encontra em H: nessa situação, a distância d entre p e vizinho é calculada. Se d é menor que o valor existente no campo chave de vizinho, então é necessário atualizar seu valor para d, assim como o ponteiro agm pai para p. Isso é feito pela operação TentarDiminuirChave (linha 0). 6

10 Entrada: P conjunto de pontos em R Saída: AGM uma árvore geradora mínima que liga os pontos de P H heap vazio AGM árvore vazia T Triangulação Delaunay(P ) Adicione um ponto p qualquer de P em AGM vizinhos pontos vizinhos de p na triangulação T Para todo vizinho vizinhos faça d distância entre p e vizinho vizinho.agm pai p InserirElem(H, vizinho, d) Fim para todo Enquanto H.tam > 0 faça p ExtrairMin(H) Adicione p em AGM Adicione a aresta formada pelo pontos p e p.agm pai em AGM vizinhos pontos vizinhos de p na triangulação T Para todo vizinho vizinhos faça Se vizinho / AGM então d distância entre p e vizinho Se vizinho H então TentarDiminuirChave(H, vizinho, d) Senão vizinho.agm pai p InserirElem(H, vizinho, d) Fim se Fim se Fim para todo Fim enquanto Retorne AGM Algoritmo 4: Prim HD Quando não existirem mais elementos em H para serem extraídos (linha 11), a variável AGM é igual à AGME do conjunto de pontos P. Como H só contém os vizinhos mais próximos de AGM, o tempo de execução das operações sobre o heap diminui consideravelmente. Além disso, o fato de não ser necessário calcular todas as arestas também influencia positivamente para a redução do tempo de execução, uma vez que as operações de cálculo da distância e TentarDiminuirChave são executadas menos vezes do que acontece no procedimento Prim Heap. 5. Resultados Computacionais Os resultados dos testes realizados são mostrados na tabela 1. Nela, as colunas a 5 indicam os tempos de execução dos algoritmos implementados. As linhas referem-se a arquivos contendo conjunto de pontos no plano, utilizados como entrada. Esses arquivos foram retirados do repositório de dados TSPLIB (008) e o número de pontos contidos em cada um deles aparece em seu nome. Por exemplo, o arquivo pla7397 contém 7397 pontos. Os tempos de execução são dados em segundos. Para o algoritmo Prim Heap foram implementados três tipos de heap, retirados de Cormen et al. (1990): heap binário, heap binomial e heap de Fibonacci. Esses são indicados respecti- 63

11 prim bna prim bno prim fib prim hd pla rl brd d pla pla Tabela 1: Tempos de execução para os algoritmos implementados vamente pelas colunas prim bna, prim bno e prim fib. A coluna prim hd refere-se ao algoritmo 4. Esses algoritmos foram implementados na linguagem Python. Apesar dessa ser uma linguagem interpretada e, por isso mais lenta, ela atende à tarefa de se realizar uma comparação entre diferentes soluções. Estima-se que seja possível reduzir o tempo total de execução em até dez vezes se uma linguagem compilada como C for utilizada. Os testes foram realizados em uma máquina com a seguinte configuração: Processador AMD Athlon(tm) 64 X Dual Core 3800+, Cache 51 KB; Placa mãe ASUS MNPV-VM; 1 GB de memória RAM DDR 533; HD SATA de 80 GB; Sistema operacional Debian GNU/LINUX 4.0; Kernel amd64; Python.4.4. A figura 5 mostra um gráfico construído a partir da tabela 1. Nele é possível visualizar melhor o comportamento dos algoritmos implementados. Como pode ser visto, o algoritmo Prim HD apresentou os melhores resultados dentre as soluções discutidas. Considerando o arquivo pla85900, que contém o maior conjunto de pontos existentes no TSPLIB, o algoritmo Prim HD foi 16 vezes mais rápido do que a pior solução, o Prim Heap com heap binomial, o que demonstra a vantagem do uso da estrutura triangulação de Delaunay no problema tratado nesse artigo. Uma observação especial deve ser feita com relação a um dos resultados obtidos com prim hd: para o conjunto de pontos rl11849, o tempo de execução foi menor do que para o conjunto pla7397, o que contraria a tendência de crescimento. Uma possível causa para esse comportamento é que os pontos do conjunto rl11849 estão dispostos de tal maneira que a estrutura de busca formada durante o procedimento de geração da triangulação de Delaunay torna a busca pelo triângulo que contém um determinado ponto mais rápida. Para finalizar, no gráfico 5 é possível ainda observar que as soluções que utilizam somente o heap possuem curvas semelhantes e com tendência de crescimento quadrático, o que era esperado. 6. Conclusões Este artigo mostra as vantagens do uso da estrutura de dados triangulação de Delaunay na solução do problema de obtenção de árvores geradoras mínimas euclidianas. Para isso é feita uma comparação entre a aplicação do algoritmo de Prim com e sem o uso desse tipo de estrutura. Nos testes realizados, o uso da triangulação de Delaunay permitiu reduzir o tempo de execução do algoritmo de Prim em até 16 vezes, para algumas instâncias do TSPLIB. Esses resultados confirmam a análise de complexidade computacional dos algoritmos estudados. Uma vez que a AGME pode ser empregada na solução de outros problemas importantes, como por exemplo, no Caixeiro Viajante e no projeto de redes, essa melhoria de desempenho também tem efeito positivo no tempo de execução destes algoritmos. No que diz respeito ao algoritmo de obtenção da triangulação de Delaunay, destaca-se como contribuição adicional deste trabalho, uma apresentação mais detalhada em relação ao que se encontra na literatura de Geometria Computacional, além de uma discussão mais aprofundada sobre aspectos de sua implementação. 64

12 tempo prim bna + prim bno prim fib prim hd número de pontos Figura 5: Gráfico de tempo de execução Referências Augustson, J. G. & Minker, J. (1970). An analysis of some graph theoretical cluster techniques. Journal of the ACM, 17(4): Cormen, T. H., Leiserson, C. E., & Rivest, R. L. (1990). Introduction to algorithms. McGraw-Hill, 3rd edition. de Berg, M., van Kreveld, M., Overmars, M., & Schwarzkopf, O. (000). Computational Geometry: Algorithms and Applications). Springer, rd edition. Eisner, J. (1997). State-of-the-art algorithms for minimum spanning trees: A tutorial discussion. jason/papers/ms97. Fredman, M. L. & Tarjan, R. E. (1987). Fibonacci heaps and their uses in improved network optimization algorithms. Journal of the Association for Computing Machinery, 34: Kruskal, J. B. (1956). On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem. Proceedings of the American Mathematical Society, 7: Nesetril, J., Milkova, E., & Nesetrilova, H. (001). Otakar boruvka on minimum spanning tree problem translation of both the 196 papers, comments, history. Discrete Mathematics, 33:3 36. Preparata, F. P. & Shamos, M. I. (1985). Computational Geometry: An Introduction. Springer. Prim, R. C. (1957). Shortest connection networks and some generalizations. Bell System Technical Journal, 36: TSPLIB (008). 65