CEE Additional problems Part 1

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Ana da Silva
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1 CEE Additional problems Part P. The electric circuit of figure P- is connected to an antenna in order to filter a band of a radio signal induced at the input terminals. In this problem, ( ) is the radio signal captured by the antenna and ( ) is the output (that in a radio receiver is then rectified and amplified). Usually, the value of the capacitor can be adjusted manually in order to capture different ratio station emitters. + u(t) - R L C + y=x - Figure P- Series RL circuit used in an antenna of a radio receiver. a) Using general symbols for the components, write in matrix form the state equations when the state is the current across the coil,, and the tension across the capacitor,. b) Also using generic symbols for the components, compute the characteristic polynomial of the matrix of dynamics. Comparing this polynomial with a generic polynomial of a second order system, written as, compute the values of the damping coefficient and of the natural frequency Discuss what is the influence of, and. Take now and and compute the resulting value for the natural frequency In order to simplify the computations that are going to be made by hand, we use now values for, and that are completely unrealistic. For that sake, hereafter make, and. c) Write down the state equations using the state as before (the current across the coil,, and the tension across the capacitor, ) and compute the transfer function using the formula ( ) ( ). d) Compute again the transfer function by directly manipulating the state equations (do not use the matrix form. Of course, you should get the same result!). e) Obtain a new state realization with the state defined to be [ ]. f) Find the matrix that maps the state on, i. e. such that. g) Using now the state equations for, compute the transfer function (again, you should get the same result as in c) and d)). h) Draw a block diagram to represent the state equations in. Use only scalar integrators, algebraic sums and scalar gains. P. Consider a SISO LTI system with transfer function ( ). Prove that, if is a state realization of this transfer function, so is. CEE Part Supplementary problems J. Miranda Lemos Page

2 P3. Consider the transfer function ( ). a) Get a state-space realization using phase variables. b) Get a state-space realization observing that it can be written as ( ) ( ) and using the series of two first order systems. c) Get a state-space realization by writing ( ) as the sum of two first order transfer functions and making the parallel of the corresponding systems. P. Consider the nd system described by the state equation, in which [ ]. a) Using the modal decomposition, compute the solution of the state equation for any with the initial condition ( ) [ ]. b) Using the modal decomposition, compute the solution of the state equation for any with the initial condition ( ) [ ]. c) Compute using the Laplace transform. d) Compute using diagonalization. e) Use to compute ( ), knowing that ( ) [ ]. f) Describe the set of all the possible initial states such that the state converges to zero when time grows. P5. Consider the systems defined by the autonomous state equation for which [ ], [ ], [ ] [ ], [ ]. Consider also the phase portraits plotted in figures P5- till P5- and labelled A to D. Indicate the match between matrices and phase portraits. Justify your answer based on eigenvalalues, eigenvectors and derivative signs (when appropriate). CEE Part Supplementary problems J. Miranda Lemos Page

3 A B x x C D x x E x CEE Part Supplementary problems J. Miranda Lemos Page 3

P.A Teoria do Conflito de L. F. Richardson Bibliografia: Braun, M. (97). Differential Equations and Their Applications, Springer, 37-3.

4 P.A Teoria do Conflito de L. F. Richardson Bibliografia: Braun, M. (97). Differential Equations and Their Applications, Springer, Plekszy-Gladz square in Szohôd, the capital of Bordúria A Sildávia e a Bordúria são dois países dos Balcãs que, embora pouco conhecidos da generalidade dos portugueses, estão ligados a um capítulo notável da história da tecnologia. Com efeito, foi da Sildávia que partiu o primeiro foguetão que levou à Lua, e trouxe sãos e salvos de regresso, os primeiros seres humanos e um cão. Embora partilhem muitos traços comuns da sua cultura, em particular na alimentação, a história nem sempre registou relações pacíficas entre estes dois estados vizinhos. São estas relações, potencialmente conflituosas, que se pretendem analisar neste problema através de uma teoria devida a L. F. Richardson (que, tal como eu, nunca conheceu pessoalmente Plekszy-Gladz). Sejam x e x, respectivamente, a quantidade de armamento da Sildávia e da Bordúria. Richardson admitiu que a sua evolução no tempo se faz de acordo com o modelo: dx kx x g em que kx é o termo que traduz o medo do adversário (quanto mais armado estiver, mais nós nos vamos armar para nos defendermos), x é um termo que traduz uma redução da taxa de crescimento do armamento devido ao custo e g traduz o aumento da taxa de armamento pelas questões mal resolvidas do passado. Analogamente, a taxa de crescimento da Bordúria satisfaz: dx lx x h CEE Part Supplementary problems J. Miranda Lemos Page

5 a) Determine o ponto de equilíbrio do nível de armamentos; b) Considere a situação em que os termos de defesa predominam, tendo-se d dx kx lx Determine as soluções deste sistema de equações diferenciais e conclua o que acontece a longo prazo c) Dê condições para a a instabilidade do ponto de equilíbrio no caso geral. Intreprete. P7. Os modelos de combate de Lanchester Bibliografia: Braun, M. (97). Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, Durante as Guerras do Alecrim e Manjerona, a Brutópia enfrentou a República da Bananuela numa série de combates entre forças convencionais. A evolução do número de combatentes foi predita com notável precisão pelo modelo de Lanchester, depois aplicado na batalha de Iwo Jima, ocorrida na ª Guerra Mundial. Seja x o número de combatentes da Brutópia e x o número de combatentes da República da Bananuela. Num combate entre forças convencionais, admite-se que cada um dos elementos de cada uma das forças de combate está ao alcance da força inimiga. Quando um dos elementos é morto, o fogo é concentrado nos combatentes remanescentes. Deste modo, admite-se que a taxa de perdas de x é igual a ax para uma cosntante a. Se não houver reforços durante a batalha, o número de combatentes é então modelado por: dx dx ax bx em que a e b são constantes. Considera-se que uma força de combate vence a batalha se se atingir uma situação em que o número de combatentes da força oponente é zero e o da sua própria diferente de zero. Mostre que (sugestão: faça um esboço do que acontece no espaço de estados) b i) Se x ( ) x () então a força ganha; a CEE Part Supplementary problems J. Miranda Lemos Page 5

6 b ii) Se x( ) x () então a força ganha; a Estas condições permitem concluir que, para ganhar, uma força tem de concentrar inicialmente combatentes em número suficientemente elevado. CEE Part Supplementary problems J. Miranda Lemos Page

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