Seção 31-1 Capacitância CAPACITÂNCIA 1. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é colocada nas armaduras de um capacitar e após isto medimos a diferença.de potencial entre elas. Qual a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50 pf e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V? 2. Os dois objetos metálicos na Fig. 21 estão carregados com +73,0 pc e -73,0 pc, e isto resulta numa diferença de potencial entre eles de 19,2 V. (a) Qual a capacitância do sistema? (b) Se as cargas forem alteradas para + 210 pc e -210 pc, qual a nova capacitância? (c) Qual a nova diferença de potencial? 3. O capacitor na Fig. 22 tem capacitância igual a 26,0 jjf e está inicialmente descarregado. A bateria fornece 125 V. Depois que a chave S ficar fechada por um tempo bem longo, quanta carga terá passado através da bateria B? Fig. 21 Problema 2. S. Seção 31-2 Cálculo da Capacitância 4. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio de 8,22 cm e 1,31 mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas? 5. A placa e o cátodo de uma válvula diodo a vácuo têm a forma de dois cilindros concêntricos, sendo o cátodo o cilindro interno. O diâmetro do cátodo é de 1,62 mm e o da placa de 18,3 mm, sendo o comprimento de ambos de 2,38 cm. Calcule a capacitância do diodo. 6. Duas folhas de alumínio paralelas separadas por 1,20 mm têm uma capacitância de 9,70 pf, e estão carregadas de tal modo que a diferença de potencial entre elas é 13,0 V. (a) Calcule a área de uma das folhas. (b) Diminuímos agora a distância entre elas para 0,10 mm, mantendo a carga constante. Calcule a nova capacitância. (c) Qual a variação na diferença de potencial? Explique como poderíamos construir um microfone usando este sistema. 7. As armaduras de um capacitor esférico têm raios iguais de 38,0 mm e 40,0 mm, respectivamente, (a) Calcule a capacitância. (b) Qual deve ser a área das armaduras paralelas de um capacitor, separadas pela mesma distância e de mesma capacitância? 8. Suponha que as armaduras de um capacitor esférico tenham raios aproximadamente iguais. Sob que condições este capacitor se comporta aproximadamente como um de armaduras paralelas com d = b- al Mostre que a Eq. 13 se reduz à Eq. 7 neste caso. 9. Na Seção 31.2 calculamos a capacitância de um capacitor cilíndrico. Usando a aproximação ln(l + x)~ x (veja o Apêndice H), quando 1, mostre que a capacitância tende para a de um capacitor de armaduras paralelas à medida que o espaçamento entre os cilindros diminui. 10. Um capacitor é projetado para operar, mantendo a capacitância constante, em um ambiente com flutuações de temperatura. Como mostra a Fig. 23, ele é do tipo de armaduras paralelas com "espaçadores" plásticos que mantêm as armaduras alinhadas. (a) Mostre que a taxa de variação da capacitância C com a temperatura Té dada por Fig. 22 Problema 3. dt \AdT x dtj ' onde A é a área das armaduras e x, a distância entre elas. (b) Se as armaduras forem de alumínio, qual deve ser o coeficiente de dilatação térmica dos espaçadores para que a capacitância não varie com a temperatura? (Ignore o efeito dos espaçadores sobre a capacitância.) Espaçadores
Seção 31-3 Capacitores em Série e em Paralelo 11. Quantos capacitores de 1,00 jif devem ser ligados em paralelo para armazenar uma carga de 1,00 C, aplicando-se uma diferença de 110 V à associação? 12. Calcule a capacitância equivalente à associação da Fig. 24. Suponha que C, = 10,3 uf, C 2 = 4,80 fifec 3 = 3,90 jdf. V 13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C, = 10,3 fif, C 2 = 4,80 fifec 3 = 3,90 fjf. Fig. 24 Problemas 12, 19 e 36. 14. Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 26 tem capacitância igual a 25,0 \lf. Quando a chave S é fechada, uma diferença de potencial de 4.200 V é estabelecida. Qual a quantidade de carga que atravessará então o amperímetro A? 15. Um capacitor de 6,0 jif é ligado em série a um outro de 4,0 jif, aplica-se ao par uma diferença de potencial de 200 V. (a) Qual a carga em cada capacitor? (b) Qual a diferença de potencial entre as armaduras de cada capacitor? 16. Repita o problema anterior para os mesmos capacitores ligados em paralelo. 17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série. 18. A Fig. 27 mostra um capacitor variável, que usa o ar como dielétrico, do tipo empregado na sintonia dos aparelhos de rádio. As armaduras são ligadas alternadamente, um grupo delas estando fixo e o outro podendo girar em torno de um eixo. Considere um conjunto de n armaduras de polaridade alternada, cada uma de área A e separadas pela distância d. Mostre que o valor máximo da capacitância é Fig. 25 Problema 13. _ f a \ Fig. 26 Problema 14. C- (n 1 )e 0 vá 19. 20. Suponha que o capacitor C 3 da Fig. 24 sofre ruptura dielétrica, de modo que suas armaduras se tornam equivalentes a um único condutor. Qual a variação observada (a) na carga e (b) na diferença de potencial do capacitor C,? Suponha V= 115 V. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 fif, capazes de suportar, sem ruptura dielétrica, a diferença de potencial de 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 jj.f e (b) 1,2 flf? A Fig. 28 mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida, de comprimento b, que pode se mover verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente a esta associação independe da posição da seção central, sendo dada por Fig. 27 Problema 18. C = oa a
22. Um capacitor de 108 pf é carregado até atingir uma diferença de potencial de 52,4 V; a bateria que fomece a carga é então desligada. Ligamos então este capacitor em paralelo com um outro capacitor inicialmente descarregado. Ao medirmos a diferença de potencia! da associação em paralelo obtemos 35,8 V. Qual a capacitância do segundo capacitor? 23. Os capacitores C, = 1,16 fif e C 2 = 3,22 pf são ambos carregados a um potencial V (100 V), mas com polaridades opostas, de tal modo que os pontos ate correspondam às respectivas armaduras positivas de C, e C 2, e os pontos b e d correspondam às suas armaduras negativas (veja a Fig. 29). As chaves 5, e S 2 são então ligadas, (a) Qual é a diferença de potencial entre os pontos e e /? Qual é a car^a (b) em C,? (c) Em C 2? ++ ++ / c 2 : ++ ++ Fig. 29 Problema 23. 24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de capacitância C, adquirem uma diferença de potencial V Q. Inicialmente, C, e C 3 estão descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores dascargas finais q q, e <7, sobre os capacitores correspondentes? Y S o- c 2 =í= ~=Fv 0 C 3 : 26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas que formam entre si um ângulo 6, conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre que a capacitância deste capacitor, para valores de 6 muito pequenos, é Fig. 30 Problema 24. C = û d V 2d) (.Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em paralelo.) Fig. 32 Problema 26. 27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga em cada capacitor após ter sido fechada a chave S,. (b) Idem, quando também estiver fechada a chave S,. Suponha C, - 1 flf, C 2 = 2 pif, C 3 = 3 fifec 4 = 4 f.if.
31. Um capacitor plano de armaduras paralelas possui área A = 42 cm 2 e a distância entre elas vale d = 1,30 mm. O capacitor é ligado a uma bateria cuja tensão é de 625 V; entre as armaduras do capacitor existe ar seco. Determine: (a) a capacitância C, (b) a carga q, (c) a energia U, (d) o campo elétrico entre as armaduras e (e) a densidade de energia entre elas. 32. Dois capacitores, um de 2,12 fife outro de 3,88 fif são ligados em série, com uma diferença de potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcule a energia total armazenada nos capacitores. 33. Uma esfera, metálica isolada de 12,6 cm de diâmetro tem potencial de 8.150 V. Qual a densidade de energia elétrica na sua superfície? 34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 /jf cada, é usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 55 kv, supondo um custo de 3 centavos por kwh? 35. Um capacitor é carregado até que armazene uma energia igual a 4,0 J, após o que a bateria é desligada. Ligamos então, em paralelo a este capacitor, um outro descarregado, (a) Se a carga se distribui igualmente entre os dois capacitores, qual é agora a energia total armazenada nos campos elétricos? (b) O que acontece com a diferença de energias? 36. Na Fig. 24 calcule (a) a carga, (ti) a diferença de potencial e (c) a energia armazenada em cada capacitor. Suponha os mesmos valores numéricos do Problema 12, com V= 112 V. 37. Um capacitor plano tem armaduras de área A e separação d, estando submetido a uma diferença de potencial V, devido à bateria que o carregou. Desliga-se, então, a bateria e aumenta-se a separação para 2d. Obtenha expressões, em função de,4, de Vpara (a) o novo valor da diferença de potencial, (b) a energia, antes e depois do aumento da separação e (c) o trabalho necessário para separar as armaduras. Seção 31-5 Capacitores com Dielétricos 43. Um capacitor de armaduras paralelas, cujo dielétrico é o ar, tem uma capacitância de 1,32 pf. A separação entre as armaduras é aumentada por um fator 2 e o espaço entre elas é preenchido por cera. A nova capacitância é de 2,57 pf. Ache a constante dielétrica da cera. 44. E dado um capacitor de 7,40 pf com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um capacitor que armazene até 6,61 /jj com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor, suponda que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero? 45. Para construir um capacitor, temos disponíveis duas chapas de cobre, uma lâmina de mica (espessura = 0,10 mm, k s = 5,4), outra de vidro (espessura = 0,2 mm, k s = 7,0) e uma placa de parafina (espessura = 1,0 cm, K e = 2,0). Qual (ou quais) dessas peças deve ser colocada entre as chapas de cobre para obter a maior capacitância possível? 46. Um capacitor de armaduras paralelas, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pf. (a) Se as armaduras têm área de 0,350 m 2, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a capacitância? 47. Um cabo coaxial usado numa linha de transmissão se comporta como uma capacitância "distribuída" em relação ao circuito que o alimenta. Calcule a capacitância de 1,00 km de cabo que tenha raio interno de 0,110 mm e raio externo de 0,588 mm. Suponha que o espaço entre os condutores seja preenchido com polistireno.
48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2.80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é usada como dielétrico em um capaeitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das armaduras para que a capacitância seja 68,4 nfeo capacitar possa resistir a uma diferença de ootencial de 4.13 kv? 51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um capacitar plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da capacitância. depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa, (c) Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do capacitar ou você tem que empurrá-la? 52. Refaça o Problema 51 supondo agora que a diferença de potencial Vseja mantida constante, em vez da carga. 53. Uma câmara de ionização cilíndrica tem como ânodo central um fio de raio de 0,180 mm e um cátodo coaxial cilíndrico de raio de 11,0 mm. A câmara está cheia de gás com rigidez dielétrica 2,20 MV/m. Ache a maior diferença de potencial que pode ser aplicada entre o ânodo e o cátodo se quisermos evitar a ruptura elétrica do gás antes que a radiação penetre pela janela da câmara. 54. Um capacitar de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36. Mostre que o valor de sua capacitância é dado por 55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre que o valor de sua capacitância é dado por 1 b T A A d l Fig. 35 Problema 51. Fig. 36 Problema 54. Fig. 37 Problema 55.
j) s f V j c is) ^ - i ^ ^ g z) a) C ^ f E b) C - pf o) V = 550V V j ^ M T d;, a/ d* ^ m. = H 1 v^fr} 2,4) aewîw 35) ^ ^ T >5) a) W u C % ) Oi^^puC 9 ov) C ^ pp b) kv = y b) 22. 50 pp v ^ z r f c = o>5% ff 2.3) 03T G) a) f^ Ip\5- Jx) -m 1 b) c f r ^ e MC b) G» \%}\ fr' c) V= J,0ôV 9 mo U-zfKHT 2H) = T) b) ÎU o,oig» ^ qc^t q ^ C G jo) y X dr HB AO li) 3.030 chpa^wr CIGLQ» = ÎÊuC 2d 2d b) ^ÔJMjoC uc ^ 45) tfich ^ B) Ç ^ R - j a F JX# ulc IM) ^ 3)5-mC JH,4 uc <*) ç> f- b/oîsrçf b) S ^ P ^ C M^oeßjöHF M - ^ V c) \J= 5,93 uj V,, )20"V do e = Hô\ KV/rfi 7 bj u;/u -