MODELAGEM MATEMÁTICA: APONTANDO CAMINHOS PARA INSERÇÃO DE PESQUISADORES JUNIORES NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA: APONTANDO CAMINHOS PARA INSERÇÃO DE PESQUISADORES JUNIORES NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Vanessa Sena Tomaz Faculdade de Educação UFMG vanessatomaz@ufmg.br Andre Augusto Deodato Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais UFMG andre_deodato@yahoo.com.br Diego dos Santos Pinheiro Escola Estadual Djanira Rodrigues de Oliveira diegosantos.vo@hotmail.com Isabela Silva Costa Escola Estadual Juscelino Kubitschek de Oliveira isabelas.costa@yahoo.com.br Resumo: Este artigo tem o objetivo de socializar o processo de inserção de estudantes do ensino médio, participantes do Programa de Iniciação Científica Junior Provoc da UFMG, no campo de pesquisa em Educação Matemática. Descrevemos a investigação realizada pelo grupo de pesquisa, cujo objetivo era discutir problemas de interesse dos estudantes, visando identificar como a modelagem matemática pode contribuir na formação do pesquisador júnior e na aprendizagem matemática, em um ambiente de pesquisa. Apresentamos o processo de escolha do problema de pesquisa que recaiu no cálculo da Taxa Metabólica de Repouso (TMR) de um grupo de adolescentes e de alguns atletas de ponta. Foram coletados dados de dois grupos de adolescentes, calculou-se a TMR deles por meio das equações de Harris-Benedict (1919) e compararam-se os resultados com a TMR de atletas de ponta. Para compreensão da TMR, o grupo considerou que se envolveu em investigações com características que podem ser identificadas com diferentes perspectivas teóricas sobre modelagem matemática. Por fim, o grupo considerou que o estudo contribuiu para a inserção dos estudantes juniores no campo de pesquisa porque os aproximou de metodologias e perspectivas teóricas que compõem as linhas de pesquisa em Educação Matemática. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Iniciação Científica Júnior; Formação de Pesquisadores; Taxa Metabólica de Repouso. Apresentação Este texto relata o trabalho realizado por um grupo de pesquisa composto por uma pesquisadora em Educação Matemática da Faculdade de Educação da UFMG 1, um 1 A pesquisa do grupo do Provoc da UFMG está vinculada à pesquisa O currículo de Formação Profissional de nível médio: práticas escolares e a aprendizagem matemática, com financiamento da PRPq/UFMG e à pesquisa A atividade de aprendizagem matemática no Ensino Médio estruturada na perspectiva da contextualização e interdisciplinaridade. 1

mestrando em Educação, também da UFMG e dois alunos do ensino médio de escolas estaduais de Belo Horizonte - MG, uma estudante e um estudante 2. Esse grupo desenvolveu um estudo que envolveu a Modelagem Matemática como atividade de pesquisa no Programa de Iniciação Científica Junior Provoc/UFMG. O Provoc da UFMG 3 é um programa de iniciação científica júnior para alunos do ensino médio, implantado na UFMG em 1998. Atualmente, esse programa conta com a parceria da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e do Ministério da Ciência e Tecnologia/CAPES, o que possibilita a distribuição de 134 bolsas para estudantes do ensino médio de 12 escolas públicas da capital mineira. Neste programa, ainda estão envolvidos 73 pesquisadores incumbidos de orientar os estudantes, além de 31 co-orientadores de diferentes áreas do conhecimento. O Provoc da UFMG tem como objetivos: despertar no estudante do ensino médio o interesse pela investigação científica, afim de que este possa identificar linhas de pesquisa de seu interesse; permitir um contato com o trabalho de pesquisa em grupo e, finalmente, contribuir para uma escolha profissional mais consciente. O grupo de pesquisa em Educação Matemática integrante do Provoc da UFMG iniciou os trabalhos em maio de 2009 com encontros semanais. O objetivo era de promover uma iniciação à pesquisa em Educação Matemática, na perspectiva da modelagem matemática. Para isso, discutiram problemas de interesse dos alunos do ensino médio, membros do grupo. Com esse estudo procuravam verificar também como a modelagem matemática pode contribuir na formação do pesquisador júnior e na aprendizagem matemática em um ambiente de pesquisa. Descreveremos a seguir a dinâmica de trabalho adotada pelo grupo e o processo de escolha dos problemas, o detalhamento de um problema para mostrar como foram definidas as questões de investigação e como chegamos à conclusão da necessidade de aprofundamento teórico sobre modelagem matemática. com financiamento da Fapemig edital nº 021/2008 Programa primeiros projetos PPP, ambas coordenadas pela pesquisadora 2 A pesquisadora participou como orientadora e o mestrando, que em 2009 era concluinte da licenciatura em Matemática, como co-orientador dos alunos do ensino médio. 3 http://www.coltec.ufmg.br/provoc 2

A escolha dos problemas Durante o desenvolvimento da pesquisa, o grupo estudou dois problemas: o primeiro proposto pela pesquisadora sobre planos de aluguel de carro de uma locadora de Belo Horizonte e o segundo sobre gasto metabólico. Como parte da discussão do primeiro problema, discutimos o artigo de Dale Bean (2001) que objetivava distinguir a modelagem matemática da aprendizagem matemática baseada em problemas. Esse autor afirma que a essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, representadas em termos matemáticos (o modelo) (...) sempre abertas à critica ou ao aperfeiçoamento.(bean, 2001,p.53) Após o estudo desse artigo, o grupo concluiu que somente um de seus membros considerava ter participado, de fato, de uma atividade de modelagem matemática. Apesar de nenhum dos dois estudantes terem experiência com aluguel de carro, tornando a situação totalmente nova para eles, o estudante que já possuía familiaridade com o conceito de função matemática, da forma como é trabalhado nas escolas básicas, identificou o modelo que descreveria as propostas de aluguel, sem precisar levantar hipóteses ou fazer aproximações simplificadoras. O estudante considerou que não fez investigações sobre esse modelo e muito menos se sentiu instigado a criticar o modelo por ele adotado, a função do 1º grau. Entretanto, a estudante, que ainda não havia estudado, sistematicamente, o conceito de função na escola, criou estratégias não-convencionais para chegar a uma possível expressão matemática que pudesse indicar como calcular o aluguel dos carros, quando se alterava o tipo de carro ou o tempo do aluguel. A estudante fazia várias conjecturas sobre as vantagens e desvantagens de um plano de aluguel ou sobre a marca de carro cujo aluguel parecia mais atrativo. Essas conjecturas surgiam das manipulações das expressões matemáticas que ela ia criando para descrever os planos de aluguel de carros. A reflexão sobre o envolvimento ou não em uma atividade de modelagem matemática foi importante porque todo o grupo pode perceber que era necessário aprofundar um pouco mais na busca de uma referência teórica sobre modelagem matemática. Nesta busca, tivemos contato com outras idéias sobre modelagem matemática 3

e consideramos que aquelas que descreviam a modelagem como um ambiente de aprendizagem partindo de um problema real em que os alunos são convidados a indagar e/ou investigar por meio da matemática (BARBOSA, 2001, citado por TOMAZ, 2004) se identificava melhor com o que estávamos fazendo. Após o estudo do artigo de Tomaz (2004), as posições dos dois estudantes foram reiteradas. Um manteve a ideia de que não resolveu o problema em um ambiente de modelagem matemática e a outra confirmou que ao resolver o problema se sentiu convidada a compreendeu melhor o problema à medida que trabalhava na tentativa de descrever por meio de expressões matemáticas os diferentes planos de pagamento do aluguel, portanto em um ambiente de aprendizagem. Após essa discussão, o grupo resolveu levantar problemas dentro da área de interesse profissional dos dois estudantes do ensino médio, com a finalidade de ajudá-los a conhecer melhor às áreas profissionais que julgavam mais atrativas e encontrarmos problemas em que pudéssemos trabalhar na perspectiva da modelagem matemática. Duas áreas profissionais foram apontadas por eles como potenciais para buscar esses problemas: nutrição e engenharia. Escolhemos discutir primeiro um problema sobre nutrição. O Problema da Taxa de Metabólica de Repouso (TMR) Para encontrar um problema sobre nutrição, fizemos uma pesquisa em sites e revistas sobre temas correlatos. Após discutir um artigo sobre Michael Phelps e César Cielo, considerados atletas de ponta, uma pergunta instigava todos do grupo: Qual seria a diferença entre a dieta dos atletas de ponta e a dieta das pessoas comuns?. Essa pergunta acabou nos conduzindo a uma discussão sobre o metabolismo dos atletas, sobre o consumo energético deles e sobre a taxa metabólica de repouso. Começamos a pesquisar o assunto e verificamos que havia muitos termos desconhecidos para todos do grupo, inclusive o termo Taxa Metabólica de Repouso (TMR). Diferentes formas de calcular o gasto metabólico apareciam nas revistas de divulgação e nos sites, muitas expressas por equações matemáticas. Decidimos então pesquisar sobre o cálculo da taxa metabólica de repouso, na perspectiva da modelagem matemática para entender a TMR de uma pessoa comum quando comparada com a dos atletas. 4

Para compreender as equações, procuramos trabalhos acadêmicos na área de fisiologia e encontramos a dissertação de mestrado Validação de equações de predição da taxa metabólica de repouso em adolescentes, de autoria de Paulo Henrique Santos da Fonseca defendida no programa de pós-graduação UFSC. Com a leitura desse trabalho, aprendemos que Taxa Metabólica de Repouso é a quantidade de energia necessária para o corpo humano manter os processos fisiológicos normais durante o repouso, em situação pósabsortiva (6 horas após a última refeição, (...)), compreende aproximadamente 70% do gasto energético diário em humanos e representa o principal componente do gasto energético, especialmente quando são determinadas as necessidades diárias de energia em pessoas sedentárias. (FONSECA, 2007, p.27) Nesse trabalho encontramos várias equações para o cálculo da TMR. O autor usou a equação de Weir (1949) para calcular a TMR de um grupo de adolescentes pesquisados e analisou a validade de outras equações, entre elas, a equação de Harris-Benedict (1919). Esta equação nos chamou atenção porque ela aparecia nos sites de divulgação que havíamos pesquisado. Masculino : kcal/d = 66,4730 + 13,7516x(MC) + 5,0033x(ET) 6,7550x (ID) Feminino: kcal/d = 655,0955 + 9,5634x(MC) + 1,8496x(ET) 4,6756x (ID) Kcal/d = quilocaloria por dia, MC = massa corporal, ET = estatura e ID = idade A equação de Harris-Benedict (1919) segundo Fonseca (2007), foi a primeira equação desenvolvida para cálculo da TMR, montada a partir de dados de adultos e adolescentes de ambos os sexos. O autor alerta que apesar desta equação ser utilizada por organizações nutricionais de todo o mundo, sua validade para algumas populações é questionada. Nosso objetivo era entender como se chegava às equações do cálculo da TMR, principalmente aos coeficientes. A partir desse estudo esperávamos criar equações para calcular a TMR dos colegas de turma dos dois estudantes do ensino médio. Infelizmente, não conseguimos encontrar claramente na dissertação estudada essa explicação. Resolvemos então, fazer um contato com o autor para que ele pudesse nos dar mais orientações ou indicações de referências bibliográficas, já que não havia ninguém no grupo com conhecimento na área. Por meio desse contato, o autor nos enviou vários artigos, em inglês e em português, que nos esclareceu a origem dos coeficientes das equações. 5

TMR TMR X Encontro Nacional de Educação Matemática Na verdade, ao estudar os artigos vimos que essas equações são montadas a partir de testes de calorimetria indireta que medem as trocas gasosas do organismo com o meio ambiente. A calorimetria indireta estima a produção de energia a partir do consumo de oxigênio (O 2 ), da produção de gás carbônico (CO 2 ), da excreção de nitrogênio (N 2 ), obtidos por meio do calorímetro e posteriormente aplicados à equação matemática (LACERDA; SCHIEFERDECKER; RADOMINSKI, 2006). Concluímos que não seria possível construir novas equações específicas para a TMR dos colegas dos estudantes porque não dispúnhamos de equipamentos apropriados para essa coleta. Para dar continuidade ao estudo, resolvemos trabalhar um pouco mais com a equação de Harris-Benedict (1919) aplicando-a ao cálculo da TMR dos colegas de turma dos estudantes do ensino médio e compararmos com a TMR de alguns atletas de ponta. Nossa expectativa era de que a equação nos desse uma melhor compreensão sobre a TMR e nos ajudasse a fazer a comparação desejada. A TMR dos adolescentes das turmas de IC e DS Para realizar tal análise, cada estudante coletou dados sobre a massa corporal, a estatura e a idade de seus colegas e montou uma planilha para que pudéssemos calcular a TMR de cada um. Foram coletados dados de 49 adolescentes do sexo feminino e 26 do sexo masculino. Os conjuntos de dados coletados receberam os nomes de Turma IC e de Turma DS. Usando as equações calculamos a TMR dos 75 adolescentes e a média da TMR por turma, por sexo. Expressamos esses resultados em gráficos que passamos a discutir. 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 ESTUDANTES DE 14 A 15 ANOS FEMININO MASCULINO GRÁFICO 1 Taxa Metabólica de Repouso da Turma IC. Foram entrevistados 8 adolescentes do sexo masculino 27 do sexo feminino em 2009. 2500 2300 2100 1900 1700 1500 1300 1100 900 700 500 300 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ADOLESCENTES DE 14 A 15 ANOS FEMININO MASCULINO GRÁFICO 2: Taxa Metabólica de Repouso da Turma DS. Foram entrevistados 18 adolescentes do sexo masculino 22 do sexo feminino em 2009. 6

Analisando os gráficos e verificando a variação da TMR em torno da média não encontramos variação significativa tanto nos grupos do sexo masculino quanto do sexo feminino 4. Observamos que a massa corporal foi a variável com maior amplitude no conjunto dos dados 5, de modo que a TMR média do grupo masculino foi maior que a do grupo feminino nas duas turmas, IC e DS, respectivamente. Passamos a investigar melhor os dados usando as equações para entender essa diferença. Vimos que se tomássemos dois entrevistados da Turma IC sendo um do sexo feminino com massa corporal 51 kg, estatura 168 cm, idade 15 anos e um do sexo masculino com 50 kg, 168 cm de estatura e também com 15 anos, a TMR do sexo feminino seria 1383,42, enquanto a TMR do sexo masculino 1493,28. Percebe-se que a diferença de 1 kg entre os dois adolescentes acarretou uma diferença de mais de 100 pontos na TMR. Aplicando a equação para comparar esses dois casos, vimos que o adolescente do sexo masculino somente teria a mesma TMR da adolescente do sexo feminino, se ele passasse a ter massa corporal igual a 42,01 kg. Trabalhando um pouco mais as equações verificamos outras situações em que se pode ter a mesma TMR para dois adolescentes de sexo diferente. Fixamos sempre duas variáveis e verificamos qual deveria ser o valor da terceira para que ocorresse a igualdade das TMR. Por exemplo, fixamos a idade, 15 anos e massa corporal 50 kg e verificamos que os dois adolescentes teriam de medir 131,56 cm, altura não esperada para o grupo pesquisado. Da mesma forma, se fixarmos idade 15 anos e altura, 168 cm, eles deveriam ter massa muscular de 39 kg, que também não é normal para uma pessoal que não é portadora de doenças. Quando fixamos a estatura, 168 cm e a massa corporal, 50 kg, os cálculos nos levaram a uma idade de 70 anos e, portanto, não seriam mais adolescentes. Assim, apesar de ambas as equações envolverem a massa corporal, estatura e idade, essas possuem coeficientes diferentes, resultantes dos métodos de calorimetria indireta em homens e mulheres. Dessa forma, a TMR dos homens foi maior do que das mulheres mesmo que os dados não apresentassem grande amplitude entre o menor e maior valor. Percebe-se que um homem necessita de mais energia que uma mulher para seu corpo 4 TMR média da Turma IC masculino (1665,074) com desvio padrão de 137,0815 (8,2%), feminino (1391,89) com desvio padrão 71,143 (5,1%); TMR média da Turma DS: masculino (1750,602) com desvio padrão 224,746 (12,8%); feminino (1469,85) com desvio padrão 95,972 (6,5%). 5 A idade dos adolescentes varia na Turma IC entre 14 e 15 anos, enquanto na Turma DS entre 16 a 20. Já a massa corporal variava na Turma IC entre 40 e 65 kg e na Turma DS entre 48 e 99 kg. 7

TMR MÉDIA TMR MÉDIA X Encontro Nacional de Educação Matemática manter os processos fisiológicos normais durante o repouso, independente das atividades diárias de um ou de outro. Observamos que o número de adolescentes em cada turma não influencia no cálculo da TMR de cada individuo porque esse cálculo só depende da idade, estatura e massa corporal do entrevistado. Na turma DS identificamos dois adolescentes que apresentam TMR bem acima dos demais, pois possuiam massa corporal mais elevada em relação aos outros entrevistados. Adolescentes x Atletas de Ponta Para fazer a comparação entre a TMR dos adolescentes e dos atletas de ponta, escolhemos do sexo masculino Michael Phelps, César Cielo, ambos da natação e Neymar Silva, do futebol (GRÁFICO 3). Quando comparamos a TMR dos atletas com os adolescentes pesquisados, ambos do sexo masculino fizemos outras análises. 2200 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 TURMA DS TURMA IC MICHAEL PHELPS CESAR CIELO NEYMAR SILVA 1500 1450 1400 1350 1300 1250 1200 1150 1100 TURMA IC TURMA DS JOANA MARANHAO MARTA VIEIRA DAYANE DOS SANTOS GRÁFICO 3: Correlação entre TMR média dos adolescentes entrevistados do sexo masculino e de atletas de ponta da natação e futebol. GRÁFICO 4: Correlação entre TMR média dos adolescentes entrevistados do sexo feminino e de atletas de ponta da natação, futebol e ginástica olímpica. Calculamos a TMR de Michael Phelps, um dos grandes fenômenos de natação, cujos dados são: idade 24, massa corporal 91 e altura 193 cm e obtivemos TMR igual a 2121,386. A TMR de Phelps, cuja alimentação diária é comparável ao equivalente a de 5 homens, é muito maior que a TMR média do grupo de adolescentes (1707,843). Fizemos o mesmo com os dados do outro nadador, César Cielo (23 anos, 80 kg e altura 195 cm), que possui uma TMR (1986,88) menor que a do Phelps. Curiosamente, comparando as TMR desses atletas com a TMR dos adolescentes, foi possível notar que a diferença entre as TMR não é tão grande quanto esperávamos. A TMR dos adolescentes é 19,5% menor que a do Phelps e 14,5% menor que a do Cielo. Como já afirmamos, o cálculo da TMR pela 8

equação de Harris-Benedict não depende de informações sobre atividades físicas da pessoa. Em nossas discussões, inferimos que o que os atletas consomem é queimado rapidamente em suas atividades esportivas e não altera sua massa corporal, mantendo a TMR próxima da de não-atletas na mesma faixa etária. Quando comparamos a TMR (1558,04) do atleta Neymar (18 anos, 54 kg e estatura 174 cm), vimos que corresponde a 75,84% da média dos nadadores (2054,133) e 91,22% da média geral dos adolescentes (1707,843), mesmo tendo o atleta atividade esportiva intensa. A idade e estatura do Neymar estão dentro da faixa dos adolescentes, mas seu peso está bem abaixo, o que acarreta uma TMR menor do que a dos adolescentes. No sexo feminino, a escolha de atletas recaiu em Joana Maranhão (natação), Marta Vieira (futebol) e Daiane dos Santos (ginástica olímpica). Quando nos voltamos para o grupo feminino (GRÁFICO 4), e comparamos a TMR da nadadora Joana Maranhão (1447,867) de idade 22 anos, estatura 174 cm e de massa corporal 60 kg com a da jogadora de futebol Marta Vieira (1397,194) de idade 24 anos, estatura 162 cm e de massa corporal 58 kg, vemos que a TMR da Joana é somente 3,6% maior que a da Marta. Este quadro se altera quando comparamos as atletas e adolescentes com a ginasta Daiane dos Santos de 27 anos de idade com 144 cm de estatura e pesando 41 kg. Ela possui uma TMR 1187,296 que é 19,81% menor do que a média das outras atletas (1422,530) e 20,51% menor quando comparada com a média geral das adolescentes (1430, 872), mesmo tendo idade bem acima do grupo. Essa diferença pode ser explicada pela massa corporal da Daiane (41 kg) ser bem menor do que a massa corporal média (57,35 kg) do grupo de adolescentes. O próximo passo da pesquisa será calcular o gasto metabólico (GM) usando a TMR e o índice de atividade física dos adolescentes e comparar com o GM dos atletas de ponta. O que aprendemos sobre pesquisa no campo da Educação Matemática na perspectiva da Modelagem Matemática? Este trabalho trouxe importantes aprendizados a todos os integrantes do grupo de pesquisa. Aos estudantes de iniciação científica júnior foi possibilitado um primeiro contato com a leitura de artigos científicos, com as práticas de investigação na perspectiva da modelagem matemática, acesso a importantes fontes de consulta bibliográfica e a oportunidade de participar da produção de um texto acadêmico, concretizada neste artigo. 9

Houve um aprendizado sobre conceitos da área de fisiologia e metabolismo humano para todo o grupo. Destacamos o enriquecedor e desafiante processo de pesquisa no grupo, que reuniu pessoas de idades e níveis de formação tão heterogêneos. Nosso grupo considerou que foi possível aprender sobre Educação Matemática utilizando a modelagem como ambiente de aprendizagem porque a partir da produção deste texto, vislumbramos ampliar nosso estudo na busca de outras perspectivas teóricas sobre modelagem. De imediato, apontamos na necessidade de fazer um aprofundamento sobre modelagem matemática na direção apontada por Araújo (2009), pois parece ser a que melhor descreverá nossa experiência na direção desta pesquisa. Essa perspectiva considera modelagem matemática na educação como uma abordagem, por meio da matemática, de um problema nãomatemático da realidade, ou de uma situação não-matemática da realidade, escolhida pelos alunos reunidos em grupos, de tal forma que as questões da Educação Matemática Crítica embasem o desenvolvimento do trabalho. (ARAÚJO, 2009, p. 39) Concluímos que trabalhos como este podem contribuir tanto para a formação científica de estudantes, nos mais diversos níveis de ensino, quanto para a socialização das linhas de pesquisa acadêmicas, promovendo assim uma aproximação entre a Universidade e a Escola Básica. Referências ARAÚJO, J.L. Uma Abordagem Sócio-Crítica da Modelagem Matemática: a perspectiva da educação matemática crítica. Alexandria. Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.55-68, jul. 2009. BEAN, Dale. O Que é Modelagem matemática?. Educação Matemática em Revista. SBEM, n 9/10, ano 8, p. 49-57, 2001. FONSECA, P.H.S. Validação de equações de predição da taxa metabólica de repouso em adolescentes. 2007. 126 f. (Dissertação em Educação Física)- Programa de Pós-graduação em Educação Física,Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2007. LACERDA,K.R.C; SCHIEFERDECKER,M.E.M; RADOMINSKI, R.B. Avaliação do gasto metabólico na prática clínica. RUBS, Curitiba, v.2, n.2, p.15-23, abr./jun. 2006 TOMAZ, V.S. Uma Experiência de Modelagem Matemática em Sala de Aula. In: VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004, Recife. Anais. Recife: SBEM, 2004. http://www.coltec.ufmg.br/provoc <acesso em 15/03/2010> 10