OTIMIZAÇÃO EVOLUTIVA MULTIOBJETIVO APLICADA EM PROJETO DE TRANSFORMADOR A SECO DE BAIXA POTÊNCIA À FREQUÊNCIA INDUSTRIAL

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012. OTIMIZAÇÃO EVOLUTIVA MULTIOBJETIVO APLICADA EM PROJETO DE TRANSFORMADOR A SECO DE BAIXA POTÊNCIA À FREQUÊNCIA INDUSTRIAL ALEXANDRE P. SOHN1, CARLOS H. MARIANO2 1 Laboratório de Análise Computacional em Sistemas Elétricos de Potência, Departamento de Engenharia Elétrica Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo Av. Trabalhador São-carlense, 400, 13566-590, São Carlos, SP, Brasil E-mail: alexandresohn@usp.br 2 Departamento Acadêmico de Eletrotécnica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná Av. Sete de Setembro, 3165, 80230-910, Curitiba, PR, Brasil E-mail: mariano@utfpr.edu.br Abstract This paper presents an optimization process applied to the design of single-phase low power dry transformers at industrial frequency and proposes a different and unconventional calculation method, which allows many solutions in a very small space of time through numerous simulations, accelerating the process of choosing the best core to provide reduction of dimension, mass and volume. To make this possible, a genetic algorithm was chosen as the optimization technique, called NonDominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-II. Comparisons were made using deterministic methods which demonstrated that the genetic process is promising for improving the transformers design, replacing the methods that are usually performed by small businesses, that in most cases, performs these calculations considering tacit knowledge and coefficients from empirical tables as seen in the writings of deterministic methods studied. Keywords Optimization, genetic algorithm, NSGA-II, dry transformers, core, transformers design. Resumo Este artigo apresenta um processo de otimização aplicado ao projeto de transformadores a seco de baixa potência monofásicos à frequência industrial e propõe um método de cálculo diferente e não convencional, que possibilita muitas soluções em um espaço de tempo muito pequeno através de inúmeras simulações, acelerando o processo de escolha do melhor núcleo que apresente redução dimensional, massa e volume. Para tornar isto possível, um algoritmo genético foi escolhido como técnica de otimização, intitulado Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-II. Comparações foram feitas com métodos determinísticos onde se constatou que o processo genético é promissor para o aperfeiçoamento do projeto de transformadores, substituindo os métodos normalmente utilizados por empresas de pequeno porte, que na maioria dos casos, realizam estes cálculos considerando conhecimento tácito e coeficientes oriundos de tabelas com resultados empíricos, como observado nos textos dos métodos determinísticos estudados. Palavras-chave Otimização, algoritmo genético, NSGA-II, transformadores a seco, núcleo, projeto de transformadores. 1 Introdução O projeto de um transformador de baixa potência a seco normalmente é executado por empresas de pequeno porte que na maioria dos casos o realiza considerando conhecimento tácito e coeficientes oriundos de tabelas com resultados empíricos, como observado nos textos de (Martignoni, 1991) e (McLyman, 1982). Um dilema dos fabricantes de máquinas que utilizam tais transformadores consiste no fato de a massa e do volume de seus produtos serem de grande magnitude, devido principalmente à presença de um transformador projetado de acordo com as características mencionadas no parágrafo anterior e que consequentemente possuem maior dimensão, volume versus massa. Certamente o que se almeja com a otimização do projeto de um transformador desta classe é manter o desempenho elétrico do aparelho, porém, buscando sempre reduzir as dimensões do mesmo. Otimizar, de acordo com (Belegundu, et al., 1999), consiste na busca racional do melhor dentre todos os valores possíveis para as variáveis do problema, em função de um determinado objetivo e das limitações ou restrições existentes. Assim, o presente artigo demonstra as características de um método não convencional de projeto de transformadores a seco de baixa potência à frequência industrial, utilizando um algoritmo genético multiobjetivo elitista de segunda geração, NSGA-II, com a finalidade de reduzir as dimensões do núcleo, minimizando, portanto, sua massa e volume. Em contraposição a este método estocástico, apresentam-se os resultados dos cálculos dos métodos determinísticos: produto versus área e geometria do núcleo, ambos referentes à literatura (McLyman, 1982) e o método proposto por (Martignoni, 1991). O transformador a seco é utilizado em máquinas de serigrafia industrial, para energizar uma lâmpada ultravioleta de 1000 V e possui as seguintes características: monofásico, tensão no primário de 230 V, tensão no secundário de 1000 V, núcleo envolvente composto por lâminas EI e potência de 10 kva. 1400

Em (Bertini, 2003), o núcleo composto por lâminas do tipo EI pode ser visualizado na Figura 1. A seção geométrica ou área do ferro, é obtida pelo produto entre a largura E, e quantidade de lâminas, que resulta na altura D. A Figura 2 ilustra as lâminas E, com as respectivas dimensões. Figura 1. Núcleo composto por lâminas EI fluxo magnético B m, a frequência f e o coeficiente de configuração do núcleo X. A Equação 1 parte dos dados elétricos a serem utilizados no projeto do transformador e em função dela se prossegue toda a sequência de cálculo. As constantes foram obtidas de forma empírica, realizadas em conjunto pelos fabricantes, de acordo com (McLyman, 1982). A densidade de fluxo magnético dependerá da qualidade das lâminas utilizadas para a confecção do núcleo do transformador. A frequência pode assumir uma grande variedade de magnitudes, porém, no presente estudo, os cálculos se limitarão às freqüências de 60 Hz e 50 Hz. O coeficiente de configuração do núcleo, X, assumirá valor específico conforme a geometria da lâmina a ser utilizada. No caso, para as lâminas de formato EI, utilizadas nos exemplos deste artigo, o valor assumido pelo autor é 1,14. Os passos para o cálculo podem ser encontrados na literatura referenciada, (McLyman, 1982), que resultam nas grandezas necessárias para a construção do transformador, tanto dimensionais quanto elétricas. Outra maneira de se obter a variável A P, dá-se pela expressão: A W A P a c (2) Figura 2. Lâminas E É dada ênfase aos dados dimensionais em todos os cálculos, visto que o objetivo principal da otimização sugerida é a redução do núcleo do transformador. Para isto, foram elaborados os desenhos de cada projeto, para assim efetuar-se a comparação entre as dimensões de cada núcleo. O estudo foi realizado para as frequências de 60 Hz e 50 Hz. 2 s de Cálculo Determinísticos A equação anterior representa a possibilidade de se obter A P pelo produto entre a área da janela, W a, e a área do ferro, A c. Diferentemente da Equação 1, parte-se agora dos dados dimensionais do transformador, previamente conhecidos. As configurações do núcleo utilizadas para os métodos mencionados neste artigo, considerando-se as lâminas EI, são mostradas nas Figuras 3 a 5. Figura 3. Dimensões em 2D para núcleo de lâminas EI 2.1 do Produto versus Área O método de cálculo do produto versus área consiste numa sequência de vinte e três passos, cuja principal variável é indicada por A P e a sua expressão correspondente é: P 10000 A ( t ) X P K K K B f f u j m (1) As grandezas envolvidas na expressão acima são: a potência total P t, o coeficiente para a forma de onda do sistema K f, o fator de utilização da janela K u, o coeficiente de perdas no cobre K j, a densidade de Figura 4. Dimensões em 3D para núcleos de lâminas EI 1401

O comprimento médio das espiras do transformador pode ser encontrado pela Equação 8. A variável J assume valores próprios para cada projeto. Seu valor pode ser calculado recorrendo-se às tabelas de dados dimensionais, referentes a cada núcleo, padronizadas pelos fabricantes de chapas magnéticas norteamericanos. MLT 2 ( D 2 J) 2 ( E 2 J) 3,14 F (8) Figura 5. Dimensões totais em 3D para núcleos de lâminas EI A dimensão D corresponde à altura do empilhamento de chapas, E é a largura da lâmina ou núcleo, F a largura da janela e G o comprimento da janela. Pode-se observar então que W a equivale ao produto entre F e G, ao passo que A c é igual ao produto entre D e E. O volume e a massa do transformador podem ser obtidos pelas Equações 3 e 4, respectivamente. Vol ( K A ) v 0,75 P W ( K A ) 0,75 t w P (3) (4) O coeficiente de volume K v e o coeficiente de massa K w também são obtidos empiricamente, em função da configuração do núcleo escolhida. Para as chapas do tipo EI, são utilizados os valores 19,7 e 68,2. 2.2 da Geometria do Núcleo O método sucessor ao método do produto versus área, proposto por (McLyman, 1982), apresenta melhores resultados de projeto. Ao todo, são 25 passos utilizados para a obtenção dos dados elétricos do transformador. A variável mais importante do método remete-se a Kg. Seu valor pode ser encontrado pelas Equações 5 e 6, respectivamente. K g Pt 2 K e (5) A configuração do núcleo apresenta as mesmas características das Figuras 3 a 5. O volume e a massa do transformador, considerando-se os dados dimensionais, da mesma forma como no método do produto versus área, podem ser obtidos pelas Equações 3 e 4, respectivamente. 2.3 proposto por Martignoni Este método de cálculo é usualmente utilizado nos projetos de baixa potência dos transformadores em questão, sendo amplamente utilizado no país. Apesar de sua grande popularização, possui muitas restrições que são determinantes para a construção de projetos de maior potência. Uma das limitações restringe o projeto para transformadores em até 800 VA. Para o projeto de transformadores de potências superiores, as limitações estão relacionadas às constantes utilizadas nos cálculos e à frequência, limitando-a unicamente em 50 Hz. A metodologia proposta ainda é composta de classificações que não se enquadram em projetos de transformadores a seco. Em tabelas fornecidas pelo autor, determinadas constantes referem-se somente a transformadores a óleo, evidenciando a incompatibilidade com projetos de transformadores a seco. Como exemplo de tais limitações é possível citar o fator de enchimento f cu, constante que representa a relação entre a seção total do cobre na janela e a área da mesma. Tal constante é restrita aos transformadores de núcleo envolvido resfriados a ar. Apesar da incompatibilidade entre os requisitos de projeto e dos dados fornecidos pelo método, os cálculos foram efetuados para a comparação com os demais. A configuração do núcleo considerada por este último método é mostrada na Figura 6. K 0,145 K f B 10 2 4 e f m (6) O coeficiente elétrico Ke é determinante para a obtenção de Kg. A variável α refere-se à regulação do transformador, dado de entrada para o método. Outra forma de se calcular Kg é partindo-se dos dados dimensionais previamente conhecidos, ao invés de se utilizar os dados elétricos, conforme a Equação 7: K A A K MLT P c u g (7) Figura 6. Núcleo envolvente monofásico 1402

A dimensão B refere-se à largura da janela, b n à largura do núcleo, H à altura da janela e C à constante para cálculo da seção do núcleo. Os valores das constantes mencionadas, assim como a sequência de cálculo, podem ser verificadas em (Martignoni, 1991). 3 de Cálculo Proposto Em oposição aos métodos determinísticos anteriormente expostos, o método de cálculo proposto é estocástico, regido pela imprevisibilidade e aleatoriedade no processo de busca por resultados, produzindo uma grande quantidade de soluções possíveis de uma só vez. O algoritmo genético utilizado neste trabalho foi desenvolvido pela equipe do KanGAL, Laboratório de Algoritmos Genéticos de Kanpur, do Instituto Indiano de Tecnologia de Kanpur. Tal algoritmo foi desenvolvido em linguagem C, para sistema operacional Windows e está disponível no site referenciado neste artigo. Posto que se deseja minimizar a massa e o volume do núcleo, mantendo-se as características elétricas do produto, o problema em questão é de natureza multiobjetivo, exigindo do algoritmo a capacidade de tratar mais de uma função objetivo simultaneamente, procurando soluções ótimas para cada uma, considerando a importância de todas. O NSGA-II esta baseado no conceito de dominância, que caracteriza a divisão da população em diferentes níveis, cujo indivíduo do nível n é superior ao do nível n + 1. Juntamente à dominância é agregado o conceito de elitismo, que consiste na classificação da população total em diferentes categorias de qualidade, podendo então avaliar-se cada grupo individualmente. Segundo (Deb, et al., 2002), o algoritmo aplicado compõe-se de duas ferramentas de seleção, denominadas Fast Non-Dominated Sorting e Crowding Distance. O diagrama de blocos deste algoritmo pode ser visualizado na Figura 7, conforme (Marinho, 2009). É atribuído a cada indivíduo da população inicial um grau de dominância em relação a cada indivíduo da população total. Esse processo advém da comparação entre cada indivíduo ao critério de dominância do algoritmo. Depois de realizada a separação em diferentes níveis, em todos os indivíduos, é aplicada a ferramenta de seleção. O NSGA-II é composto por quatro partes, a rotina principal, as sub-rotinas, o programa executável e os arquivos de saída. A rotina principal requisitará as sub-rotinas e também nela são definidos os parâmetros do algoritmo, como a população máxima, o comprimento máximo do cromossomo, o número máximo de variáveis, o número máximo de funções objetivo e o número máximo de restrições. Implementou-se no algoritmo as variáveis globais, as funções objetivo e as restrições do processo. Ao todo, foram utilizadas cinco variáveis globais, x[0], x[1], x[2], x[3] e x[4], correspondendo respectivamente às dimensões D, E, F, G e N s, sendo a última variável o número de espiras do secundário. As funções objetivo são no total de quatro, f[0], f[1], f[2] e f[3], referindo-se nesta ordem, ao volume, à massa, ao número de espiras do primário N p e à densidade de corrente J. Os valores limites de cada variável global, visualizadas na Tabela 1, foram estabelecidos por estudos realizados pelos autores do artigo a fim de se encontrar valores coerentes e que atendessem aos requisitos elétricos do transformador objeto de estudo. Variável global Tabela 1. Limites das Variáveis Globais. Variável respectiva Limite inferior Limite superior x[0] D 7 31 x[1] E 2 11 x[2] F 1 6 x[3] G 3 17 x[4] N s 10 500 As funções objetivo devem ser minimizadas pelo algoritmo. As duas primeiras funções, f[0] e f[1] são os objetivos principais da otimização em questão. As outras duas funções, f[2] e f[3], correspondem aos dados elétricos e foram implementadas para estabelecer a congruência entre os dados dimensionais e os dados elétricos do transformador. Elas são especificadas pelas Equações 9 a 12, na ordem que são representadas no algoritmo. Vol ( K A ) (9) v 0,75 P W ( K A ) 0,75 t w P (10) N P VP 104 ( ) K B f A f m c (11) Figura 7. Diagrama de blocos da etapa de seleção NSGA-II 1403

Pt 10000 J ( ) K K f B A f u m P (12) As restrições estabelecem o equilíbrio entre as variáveis globais e as funções objetivo. Elas são fundamentais para a obtenção de resultados coerentes e que satisfaçam, portanto, aos requisitos elétricos do projeto. No algoritmo foram aplicadas dez restrições. As duas primeiras estabelecem a relação entre as variáveis x[0] e x[1], terceira e quarta restrições entre as variáveis x[3] e x[2], quinta e sexta entre as variáveis x[0] e x[2], sétima e oitava entre f[2] e x[4] e a nona e décima restrições aos limites de f[3]. Observando-se a padronização das chapas dos projetos, (McLyman, 1982) e (Martignoni, 1991), a relação entre x[0] e x[1] mostra que x[0] pode assumir magnitudes entre uma e três vezes superiores a x[1], x[3] pode ser de duas a três vezes superior a x[2] e x[0] pode ser de duas a seis vezes superior a x[2]. Da Equação 13 a 18, mostram-se as restrições estabelecidas. 3 x[1] restrição1 ( 1) (13) x[0] x[0] restrição2 ( 1) x[1] (14) 3 x[2] restrição3 ( 1) (15) x[3] x[3] restrição4 ( 2) x[2] (16) coerência com os possíveis valores que tal grandeza assumiria no projeto em questão, dado que a densidade se relaciona diretamente com a bitola do fio de cobre empregado na construção dos enrolamentos. Estes limites podem ser observados nas restrições nove e dez, representadas pela Equação 21 e 22, respectivamente. 400 restrição9 ( 1) f [3] f [3] restrição10 ( 1) 100 (21) (22) Para a frequência de 60 Hz as restrições nove e dez equivalem à Equação 21 e 22. Para a frequência de 50 Hz, a restrição 10 deve assumir a seguinte alteração, conforme a Equação 23. f [3] restrição10 ( 1) 120 (23) O algoritmo descartará qualquer valor que seja negativo, ou que não atenda ao intervalo de restrição. Os parâmetros associados ao algoritmo genético são: tamanho da população, número de gerações, probabilidade de cruzamento, índice de distribuição para a mutação, limites das variáveis globais, rigidez dos limites, semente randômica, probabilidade de mutação e índice de distribuição para o cruzamento. Na Figura 8, é possível visualizar as funções objetivo e as restrições, na forma como foram implementadas no algoritmo. 6 x[2] restrição5 ( 1) x[0] x[0] restrição6 ( 2) x[2] (17) (18) Para garantir que os dados elétricos do transformador sejam atendidos, a relação de transformação deve ser mantida conforme os requisitos do projeto. Para tanto foram estabelecidas duas restrições para manter a relação entre os limites 0,22 e 0,24, visto que a relação de transformação em estudo é de 0,23. As Equações 19 e 20 representam a sétima e oitava restrições. 0, 24 x[4] restrição7 ( 1) f [2] f [2] restrição8 ( 1) x[4] 0, 24 (19) (20) Foram estabelecidos também limites para os valores de densidade de corrente que apresentassem Figura 8. Implementação das funções objetivo e restrições para a frequência de 50 Hz Para ambas as freqüências, os sete parâmetros iniciais assumiram, para as simulações efetuadas, os valores de 20 para o tamanho da população, 50, 100 e 150 para o número de gerações, 70% para a proba- 1404

bilidade de cruzamento, 300 para o índice de distribuição para a mutação, limites das variáveis globais conforme Tabela 1, limites considerados rígidos e 70% para a semente randômica. Para a probabilidade de mutação, adotou-se 10% e 14% e para o índice de distribuição para o cruzamento, os valores de 60% e 70%, para as freqüências de 60 Hz e 50 Hz, respectivamente. 4 Resultados Ao todo, foram realizadas 6 simulações com o método de cálculo proposto, correspondendo a 50, 100 e 150 gerações, para as freqüências de 60 Hz e 50 Hz. Para os métodos determinísticos estudados foram realizados quatro projetos, correspondendo ao método produto versus área e geometria do núcleo, também para as duas freqüências. O método proposto por (Martignoni, 1991) apresentou resultados incompatíveis à execução do projeto, impossibilitando a montagem do transformador. Os resultados para o volume e massa são mostrados nas Tabelas 2 a 4 para a frequência de 60 Hz e Tabelas 5 a 7 para 50 Hz. Tabela 2. Análise comparativa da redução de massa dos métodos para a frequência de 60 Hz. Massa (g) à A P à K g Determinístico A p 96946,9 - - Determinístico K g 75137,1 - - AG 50 gerações 71616,2 26,12% 4,68% AG 100 gerações 68722 29,11% 8,53% AG 150 gerações 65924,44 32% 12,26% Tabela 3. Análise comparativa da redução de volume dos métodos para a frequência de 60 Hz. Volume (cm 3 ) à A P à K g Determinístico A p 28003,72 - - Determinístico K g 21703,73 - - AG 50 gerações 20686,8 26,12% 4,68% AG 100 gerações 19865,22 29,11% 8,53% AG 150 gerações 19042,69 32% 12,26% Tabela 4. Dados elétricos para a frequência de 60 Hz. Densidade de corrente (A/cm 2 ) Seção do fio do primário (cm 2 ) Seção do fio do secundário (cm 2 ) Determinístico A p 114,41 0,3999 0,0874 Determinístico K g 144,68 0,2368 0,0365 AG 50 gerações 138,83 0,2667 0,0663 AG 100 gerações 146,53 0,2667 0,0663 AG 150 gerações 155,03 0,2667 0,0663 Tabela 5. Análise comparativa da redução de massa dos métodos para a frequência de 50 Hz. Massa à A P à K g Determinístico A p 96946,9 - - Determinístico K g 75137,13 - - AG 50 gerações 65476,16 32,46% 12,85% AG 100 gerações 61165,35 36,90% 18,59% AG 150 gerações 57490 40,69% 23,48% Tabela 6. Análise comparativa da redução de volume dos métodos para a frequência de 50 Hz. Volume de Massa em Relação à A P à K g Determinístico A p 28003,7 - - Determinístico K g 21703,7 - - AG 50 gerações 18913,2 32,46% 12,85% AG 100 gerações 17667,0 36,90% 18,59% AG 150 gerações 16606,3 40,69% 23,48% Tabela 7. Dados elétricos para a frequência de 50 Hz. Densidade de corrente (A/cm 2 ) Seção do fio do primário (cm 2 ) Seção do fio do secundário (cm 2 ) Determinístico A p 111,525 0,4103 0,0896 Determinístico K g 173,627 0,2772 0,0428 AG 50 gerações 187,739 0,2115 0,0526 AG 100 gerações 205,585 0,2115 0,0526 AG 150 gerações 223,294 0,2115 0,0417 Todas as simulações realizadas pelo processo genético satisfizeram o objetivo de reduzir o núcleo, mostrando que o algoritmo minimizou o volume e a massa do mesmo, atendendo aos requisitos elétricos do transformador e ao mesmo tempo sendo factível de execução, visto que há coerência entre a montagem do enrolamento e a área da janela, conforme verifica-se nas Figuras 11 a 14. Para a disposição dos enrolamentos em cada janela do núcleo foi considerada uma separação de 0,5 mm entre espiras e entre espiras e núcleo. Em seguida, são apresentados os desenhos para uma das otimizações realizadas, possibilitando a comparação das dimensões. Escolheu-se o método produto versus área e a simulação para 150 gerações do algoritmo genético para comparação, em ambas as frequências, com o objetivo de evidenciar a redução da massa e volume do núcleo. O projeto para o método produto versus área é igual para as duas frequências, conforme Figuras 9 e 10. 1405

Figura 9. Núcleo obtido pelo método determinístico produto versus área, 2D, para a frequência de 60 Hz Figura 13. Núcleo obtido pelo método estocástico, 2D, para a frequência de 50 Hz Figura 14. Núcleo obtido pelo método estocástico, 3D, para a frequência de 50 Hz Figura 10. Núcleo obtido pelo método determinístico produto versus área, 3D, para a frequência de 60 Hz Figura 11. Núcleo obtido pelo método estocástico, 2D, para a frequência de 60 Hz 5 Conclusão Os resultados provenientes do algoritmo genético proposto mostraram-se melhores em relação aos métodos determinísticos estudados, reduzindo-se a quantidade de material necessário à construção do transformador. Ainda que os projetos apresentem dados dimensionais diferentes dos padrões de chapas existentes no mercado brasileiro, o algoritmo genético implementado possibilita uma grande variabilidade de projetos com economia de tempo e que podem, portanto, fornecer resultados que se adaptem à realidade comercial ou sugerir mudanças na padronização de chapas que objetivem o melhor uso de material, obtendo-se assim transformadores otimizados. Agradecimentos Os autores agradecem a USP (Universidade de São Paulo), à UTFPR (Universidade Tecnológica Federal do Paraná) e ao KanGAL (Laboratório de Algoritmos Genéticos do Instituto Indiano de Tecnologia de Kanpur). Referências Bibliográficas Figura 12. Núcleo obtido pelo método estocástico, 3D, para a frequência de 60 Hz Belegundu, A.D e Chandruptala, T.R (1999). Optimization Concepts and Aplications in Engineering. Prentice Hall, Nova Jersey. 1406

Bertini, Luiz Antonio (2003). Transformadores Teorias, Práticas e Dicas. Eltec, São Paulo. Deb, Kalyanmoy.; Pratap, Amrit.; Agarwal, Sameer.; Meyaryvan, T (2002). A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA-II. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol.6, No.2; pp. 182-197. Kampur Genetic Algorithms Laboratory. Disponível em http://www.iitk.ac.in/kangal/index.shtml>. Acesso em: 05 dez. 2011. Kampur Genetic Algorithms Laboratory. NSGA-II in C. Original Implementation. Arquivo eletrônico: nsga2code.rar. Disponível em < http://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml >. Acesso em: 05 dez. 2011. Marinho, Davi (2009). Uma aplicação do Algoritmo Genético Multiobjetivo NSGA-II para Seleção de Imagens de Satélite de Trechos de Mata Atlântica. 2009. 38p. Universidade de Pernambuco, Pernambuco. Martignoni, Alfonso (1991). Transformadores. Editora Globo, São Paulo. McLyman, Colonel William T (1982). Magnetic Core Selection for Transformers and Inductors. Marcel Dekker, Nova Iorque. 1407