Edital Pibid n 11 /2012 CAPES PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR) Tipo do produto: Plano de aula 1 IDENTIFICAÇÃO SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do Professor de Matemática COORDENADOR(A): Prof. supervisor: Alessandra Grizelini Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale Ensino Fundamental e Médio. Licenciandos Bolsitas Nome E-mail Curso de licenciatura Josias Correia Passos josias_cp@hotmail.com Matemática Julio Cezar Rodrigues de Oliveira julioeconomist@hotmail.com Matemática Oseas Pereira dos Santos menotyp@hotmail.com Matemática DATAS: 19/06/2013 26/06/2013 14/08/2013 21/08/2013 DURAÇÃO: 1 a 2 aulas. PARTICIPANTES: 6º e 7º anos 1 1. TEMA O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer. 1 O presente Plano de Aula foi adaptado a cada uma das turmas (6 e 7 anos) de acordo com os conteúdos que os alunos já haviam estudado. Alguns conteúdos conseguimos avançar com os alunos, pois eles estavam estimulados e conseguiram compreendê-los.
2. OBJETIVOS GERAIS Facilitar o entendimento de vários temas da matemática envolvendo a expressão de fatos genéricos e explorar as diversas estruturas algébricas fazendo com que o aluno generalize seu pensamento e simplifique questões.. 2.1 Objetivos específicos Utilizar a investigação matemática para: Identificar regularidades inferidas com base em padrões. Indicar uma lei de formação para a sequência algébrica. 3. CONTEÚDOS Números e Álgebra 4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS No desenvolvimento da aula utilizaremos investigação matemática para o encaminhamento metodológico, buscando uma participação ativa dos alunos, para que eles possam construir seu próprio conhecimento. Esta tendência para o ensino da matemática pode ser trabalhada sem grandes dificuldades e demanda de tempo. Na investigação matemática o sujeito pode se programar em como irá começar, porém jamais saberá como irá acabar. Pelo senso comum Investigar é procurar conhecer o que não se sabe. Nesta tendência as questões são mais abertas que em exercícios e problemas, as questões não estão bem definidas, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição, porém ela está muito mais ligada à postura do professor do que nos enunciados propriamente ditos. O sujeito é chamado a pensar matematicamente, tanto na elaboração de conjecturas e realização de provas, como também durante a discussão e formalização das ideias. Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes
funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a sintaxe (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1997). Para Ponte, Brocardo e Oliveira 2006: O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (p.23). Através das cópias que entregaremos aos alunos sobre generalizações, e com perguntas que faremos a eles, temos como objetivo que eles consigam construir suas ideias para chegarem de sua maneira aos resultados esperados. Esperamos que os alunos consigam generalizar as diferentes sequências que serão apresentadas, e com isso vamos propor exercícios diferentes, mas que tenham o mesmo objetivo. Conforme aparecerem as dificuldades dos alunos, iremos ajudá-los no que for necessário, mas deixando que eles apresentem os resultados encontrados. 5. RESULTADOS ESPERADOS O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de recreação matemática. Desde sequências muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer. Nossa intenção é que no final das atividades os alunos sejam capazes de estabelecer conexões entre alguns padrões e a Álgebra, possibilitando investigar uma lei de formação para continuar determinada sequência e chegar à generalização de todos os termos pertencentes a ela.
6. BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília MEC/SEF, 1997. PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 1ª edição; Belo Horizonte: Autêntica, 2006. SAAB, Maria Aparecida Cirino; NISHI, Simone Perpétuo; SOUZA, Angela Giseli. Matemática: Livro do professor, 7º ano. Curitiba: Positivo, 2007. VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal no currículo. Revista Educação e Matemática, Portugal, v. 85, p. 14-20, nov/dez, 2005. 7. CONTRIBUIÇÃO PARA A FORMAÇÃO DOCENTE O desenvolvimento dessas atividades nos possibilitou observar como os alunos ficaram motivados em realizar uma atividade de uma forma diferente. A maioria dos alunos conseguiu realizar as atividades com o auxilio dos bolsistas e os que tinham maior facilidade ajudavam aqueles que estavam com dificuldade, com isso foi possível mostrar que o trabalho em grupo facilitaria a resolução. O PIBID valoriza a formação docente, inserindo acadêmicos de licenciatura, que é o nosso caso, na realidade escolar, por meio da reflexão conjunta com professores, supervisores, bem como a observação e participação do ambiente escolar.
8. ANEXOS (FOTOS, VÍDEOS, ETC). 8.1 Tarefas propostas Tarefa 1 Observe a sequência de figuras abaixo: Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência e respondam os três itens a seguir. 1 2 3 a) Desenhe a 4ª figura; b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la; c) Complete a tabela referente a sequência dada. N DE ORDEM DA FIGURA 1 2 3 4 5 N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE
Tarefa 2 Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas: Sequência 1 1 2 3 N DE ORDEM DA FIGURA 1 2 3 4 5 N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE Sequência 2 1 2 3 N DE ORDEM DA FIGURA 1 2 3 4 5 N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE
Sequência 3 1 2 3 4 N DE ORDEM DA FIGURA 1 2 3 4 5 N N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE
Tarefa 3 Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção de bolinhas e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura: 1 2 3 Supondo que Lucas conseguiu formar 10 T seguindo o mesmo padrão. Considere esse padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência: Posição do T 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima Número de Bolinhas de gude a) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo T? b) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas necessárias para formar o n-ésimo T?
Tarefa 4 Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões: Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na sequência: Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Quantidade de Latinhas a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição? b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula. Tarefa 5 Observe esta sequência de números em forma de retângulo. R 1 = 2 R 2 = 6 R 3 = 12 a) Escreva os próximos dois números da sequência. b) Qual o valor de R 20? c) Descubra a fórmula que dá o valor de R n.
Tarefa 6 Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se numa sequência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? 1 2 3 Tarefa 7 As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e outra com 10 pessoas e 4 pizzas. a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas? b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa? c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57 pessoas. Quantas pizzas terá de encomendar para a sua mesa?
8.2 Resolução das Tarefas Propostas Tarefa 1 Observe a sequência de figuras abaixo: 1 2 3 Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência e respondam os três itens a seguir. a) Desenhe a 4ª figura; b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la; A décima figura terá N quadradinhos escuros, sendo N o número de ordem da figura, e como N=10, a figura apresentará 10 quadradinhos escuros. c) Complete a tabela referente a sequência dada. N DE ORDEM DA FIGURA N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE 1 1 8 9 2 2 10 12 3 3 12 15 4 4 14 18 5 5 16 21 N N 2.N + 6 3.(N + 2) = 3.N + 6
Tarefa 2 Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas: Sequência 1 1 N DE ORDEM DA FIGURA 2 N DE PRETOS 3 Nº DE BRANCOS TOTAL DE 1 1 8 9 2 4 12 16 3 9 16 25 4 16 20 36 5 25 24 49 N N 2 N 2 + 4.N + 4 N 2 4.N + 4 (N + 2) N 2 4.(N + 1) (N + 2) 2 N 2 + 4.N + 4 Sequência 2 1 N DE ORDEM DA FIGURA 2 N DE PRETOS 3 Nº DE BRANCOS TOTAL DE 1 5 4 9 2 8 8 16 3 13 12 25 4 20 16 36 5 29 20 49 N N 2 + 4 (N + 2) 2 N 2 4 N 2 + 4.N + 4 N 2 4 4.N (N + 2) 2 N 2 + 4.N + 4
Sequência 3 1 2 3 4 N DE ORDEM DA FIGURA N DE PRETOS Nº DE BRANCOS TOTAL DE 1 1 2 3 2 2 3 5 3 3 4 7 4 4 5 9 5 5 6 11 N N N + 1 2.N + 1
Tarefa 3 Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção de bolinhas e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura: 1 2 3 Supondo que Lucas conseguiu formar 10 T seguindo o mesmo padrão. Considere esse padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência: Posição do T 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima Número de Bolinhas de gude 5 9 13 17 4.N + 1 a) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas necessárias para formar o n-ésimo T? A expressão que calcula o número de bolinhas do n-ésimo T é: 4.N + 1. b) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo T? Sendo N = 10, temos: 4.10 + 1 = 41 bolinhas.
Tarefa 4 Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões: Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na sequência: Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Quantidade de Latinhas 1 3 6 10 15 a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição? Na sexta posição adicionaremos 6 latinhas para formar a base da figura, então teremos 15 + 6 = 21 latinhas. b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula. Para encontrar o número de latinhas da n-ésima ordem, temos que analisar como a sequência foi construída: Posição Quantidade de Latinhas 1 1 2 1 + 2 3 1 + 2 + 3 4 1 + 2 + 3 + 4 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 N 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... + N i Uma possível solução para encontrar a fórmula que representa i 1, ou seja, o somatório de 1 até n, seria utilizar a mesma ideia de Carl Friedrich Gauss, generalizando-a: n
1 + 2 +... + N-1 + N Sabemos que essa soma admite um valor S, que igualamos a expressão acima, obtendo: 1 + 2 +... + N-1 + N = S Somamos a mesma sequência, mudando apenas a ordem das parcelas, começando por N e terminando em 1, veja: 1 + 2 +... + N-1 + N = S N + N-1 +... + 2 + 1 = S Somando as duas igualdades, obteremos: (1 + N) + (2 + N 1) +... + (N 1 + 2) + (N + 1) = 2.S (N + 1) + (N + 1) +... + (N+ 1) + (N + 1) = 2.S A parcela N + 1 se repete N vezes, logo podemos reescrevê-la como N.(N + 1). N.(N + 1) = 2.S Lembrando que o nosso objetivo é encontrar o valor de S, podemos então dividir ambos os lados da equação por 2, obtendo: N.( N 1) S 2 N.( N 1) 2. S 2 2
Tarefa 5 Observe esta sequência de números em forma de retângulo. R 1 = 2 R 2 = 6 R 3 = 12 a) Escreva os próximos dois números da sequência. Vamos construir uma tabela para tentar descobrir a regra dessa sequência: Número de Ordem da Figura Quantidade de Triângulos 1 1.(1+1) = 1.2 = 2 2 2.(2+1) =2.3 = 6 3 3.(3+1) = 3.4 = 12 4 4.(4+1) = 4.5 = 20 5 5.(5+1) = 5.6 = 30 b) Qual o valor de R 20? Para R 20, o número de triângulos será: 20.(20+1) = 20.21 = 420 triângulos que compõem a figura em formato de retângulo. c) Descubra a fórmula que dá o valor de R n. Se tivéssemos uma figura de ordem n, a fórmula que descreveria a quantidade de triângulos necessária para compor o retângulo será: R n = n.(n+1) = n 2 + n
Tarefa 6 Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se em um dos quadrados formado nessa sequência de mosaicos de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? 1 2 Uma possível solução 3 Para responder a essa questão, precisamos analisar qual é a relação entre o número de azulejos brancos, pretos e a soma deles. Vamos construir uma tabela para facilitar a visualização: Número de Ordem da Sequência Quantidade de Azulejos Brancos Quantidade de Azulejos Pretos Quantidade Total de Azulejos 1 1 (1 + 2) 2 1 2 = 8 9 2 4 (2 + 2) 2 2 2 = 12 16 3 9 (3 + 2) 2 3 2 = 16 25 N N 2 N 2 + 4.N + 4 N 2 4.N + 4 (N + 2) N 2 4.(N + 1) (N + 2) 2 Como foram usados 80 azulejos pretos, então podemos igualar a regra que determina a quantidade de azulejos pretos a 80, com o objetivo de descobrir o número de ordem da figura. 4.( N 1) 80 N 1 20 N 19 Logo, para encontrar a quantidade de azulejos brancos, basta substituir o valor de N na regra que determina o número de azulejos brancos: N 2 19 2 361 Assim, temos 361 azulejos brancos na 19ª figura, que contém 80 azulejos pretos.
Tarefa 7 As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e outra com 10 pessoas e 4 pizzas. a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas? Podemos pensar do seguinte modo: nas laterais das pizzas há duas pessoas para cada pizza, que nesse caso seriam 2.10 = 20 pessoas, e somamos com as duas pessoas da das extremidades da mesa, obtendo assim 22 pessoas, considerando que todas os lugares estariam ocupados. b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa? Pensando do mesmo modo, teríamos duas pessoas para cada lateral das mesas, ou seja, 2.31 = 62 pessoas, mais as duas pessoas das extremidades das mesas, obtendo assim 64 pessoas. c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57 pessoas. Quantas pizzas ele terá de encomendar para a sua mesa? Ainda sim podemos utilizar o mesmo raciocínio, mas nesse caso primeiro descontamos as 2 pessoas das extremidades da mesa, obtendo 57-2 = 55, e em seguida dividimos o total de pessoas por 2, já que para cada duas pessoas nas laterais há uma pizza. Ao efetuar a divisão de 55 por 2, obtemos 27,5, então João deve pedir 28 pizzas. Se contarmos o número de lugares na mesa, teremos: 2.28 + 2 = 58. Logo, a mesa que João reservar terá um lugar vago, pois ele convidou 57 pessoas.
Tabelas com o Resumo dos Planos Indicador de atividade 1. Objetivo da atividade Facilitar o entendimento de vários temas da matemática envolvendo a expressão de fatos genéricos e explorar as diversas estruturas algébricas fazendo com que o aluno generalize seu pensamento e simplifique questões. Descrição atividade (como esta será realizada - metodologia) A tendência metodológica que norteia o direcionamento da aula é a Investigação Matemática. Indicador da atividade 1. Resultados esperados Com essa sequência de tarefas esperamos que os alunos adquiram mais confiança em seu raciocínio, tornando-se mais criativos, e consigam compreender padrões e construir expressões algébricas que determinam as regras que esses padrões seguem, assim como resolver equações e descobrir os valores de uma sequência para qualquer um de seus termos. Indicador da atividade 1. Contribuição para a Formação Docente Essa sequência de tarefas com aos alunos nos possibilitou observar as dificuldades encontradas durante uma aula e alguns caminhos que podemos utilizar para superá-las, tanto por parte dos bolsistas como dos alunos participantes da oficina. Essa sequência foi gratificante, pois notamos o quanto os alunos ficavam satisfeitos quando conseguiam resolver as tarefas propostas, e sentiam-se estimulados a tentar novos desafios.
Indicador da atividade 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. PLANO DE ATIVIDADES DO COORDENADOR (Reuniões Semanais) PROFESSOR FÁBIO Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos coordenadores. CRONOGRAMA 2013 Atividade Mês de Início Mês de Término 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Agosto Agosto Apucarana, de de 2013. Professor Supervisor Coordenador Subprojeto