Fluxo de Potência Sem Solução Real: Restauração de Solução Usando Autovetores

Fluxo de Potência Sem Solução Real: Restauração de Solução Usando Autovetores Luciano V. Barboza Engenharia Elétrica, UCPel 96010-000, Pelotas, RS E-mail: luciano@ucpel.tche.br Lúcio A. Hecktheuer CEFET/RS 96015-360, Pelotas, RS E-mail: lucio@cefetrs.tche.br Resumo: Casos sem solução real em estudos de fluxo de potência freqüentemente ocorrem quando o sistema está muito carregado ou sofreu uma contingência muita severa (perda de uma linha ou de um gerador importante). Este estudo propõe uma abordagem para este problema baseada em análise e informações contidas no autovetor à esquerda da matriz Jacobiana singular do fluxo de carga. As equações não-lineares que descrevem o comportamento estático da rede elétrica são representadas em sua forma polar. Uma das principais vantagens desta modelagem é a ausência de resíduos relacionados à magnitude de tensão nas barras de geração nas equações da rede elétrica, situação comum quando o sistema elétrico é modelado em coordenadas retangulares. O método de Newton-Raphson com fator de passo é utilizado para prevenir a divergência do processo iterativo e atingir à superfície limite entre as regiões com e sem solução do sistema de equações não-lineares. As correções nas demandas de potência nas barras são baseadas nas informações do autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana. O método proposto é aplicado a um sistema-teste do IEEE e a um sistema real equivalente da região Sul-Sudeste do Brasil. 1 Introdução Nas últimas décadas, uma atenção maior têm sido dedicada à análise dos problemas de fluxo de potência sem solução real. A tendência de se operar os sistemas elétricos cada vez mais próximos de seus limites tornou-se um fato bem conhecido dos engenheiros da área de sistemas de energia. Isso freqüentemente tem conduzido os sistemas de potência a situações onde a determinação de solução para as equações da rede elétrica em regime permanente é inviabilizada [3]. Além disso, contingências severas, como saídas de linhas de transmissão ou de geradores importantes, também impossibilitam a obtenção das soluções reais e, portanto, do atendimento das demandas programadas. No seu limite de carregamento estático, o sistema elétrico fica sujeito ao fenômeno conhecido como instabilidade de tensão [10, 15], no qual as soluções do fluxo de carga situamse em uma bifurcação sela-nó [14]. O espaço paramétrico das soluções das equações da rede elétrica em regime permanente pode ser dividido em duas regiões [11]: região das soluções viáveis: na qual as equações do fluxo de potência possuem duas soluções reais, uma das quais é utilizada para fins de operação da rede elétrica [8]. Nesta região, se o sistema opera sem violações de limites, ele é dito estar em estado de segurança. Se algum limite for violado, diz-se que o sistema está em estado de emergência. Naturalmente, é desejável que o sistema opere em condições de segurança; entretanto, durante intervalos de tempo reduzidos a operação pode ser eventualmente realizada em estado de emergência. região sem soluções reais: na qual as equações do fluxo de potência não possuem nenhuma solução real. Demandas de potência elevadas e/ou contingências severas podem conduzir a rede elétrica para

esta situação. Nesses casos, é importante dispor-se de uma ferramenta matemáticocomputacional que forneça ações capazes de restaurar a operação normal do sistema. A Figura 1 apresenta graficamente as regiões das soluções do fluxo de potência. A superfície limite entre as regiões das soluções viáveis e sem soluções reais é denotada por Σ. Nesta superfície, as equações do fluxo de carga apresentam apenas uma solução e a matriz Jacobiana do fluxo de potência convencional é singular [5]. Observa-se que, à medida que a demanda do sistema aumenta, as soluções do fluxo de carga se aproximam uma da outra até que ambas coexistem em uma bifurcação sela-nó [13]. Nesta situação, em geral, a rede elétrica apresenta problemas de instabilidade de tensão [1]. Figura 1: Regiões das soluções do fluxo de carga. Nos casos em que o fluxo de potência não possui solução real, é importante se dispor de uma ferramenta computacional que oriente o operador do sistema elétrico no sentido de quais ações podem ser tomadas de modo a restaurar a solução das equações da rede elétrica. As primeiras metodologias a proporem ações corretivas são simples extensões do método de Newton-Raphson. Entre elas, pode-se citar [2, 4, 9, 12]. Estas abordagens se baseiam no método de Newton-Raphson tradicional. A modificação básica consiste no uso de um fator de passo para atualizar as variáveis de estado. Nos casos onde a solução real não existe, a divergência é evitada com o fator de passo tendendo para zero. Na referência [11] é proposta uma técnica que alia a simplicidade de implementação do método de Newton-Raphson com fator de passo às informações fornecidas pelo autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana singular do fluxo de carga. As informações contidas no autovetor à esquerda indicam as correções a serem feitas em termos das demandas de potência de modo a fornecer uma solução operacional para a rede elétrica com mínimos ajustes. Este método baseia-se na referência [9] para evitar a divergência do método de Newton-Raphson. O fluxo de potência, portanto, é modelado em coordenadas retangulares e, assim, existem termos no autovetor à esquerda relacionados com resíduos em magnitudes de tensão. Na referência [7] é proposta uma metodologia utilizando técnicas de otimização baseada no método de Pontos Interiores. Esta abordagem inclui restrições de desigualdade relacionadas a limites operacionais e/ou de equipamentos da rede elétrica. Isso torna a modelagem matemática mais complexa e com um grau de dificuldade maior para a sua resolução numérica, aumentando em muito a dimensão do sistema não-linear a ser resolvido. Este trabalho propõe uma técnica baseada na referência [11] para obter ações corretivas para a restauração da solução das equações estáticas da rede elétrica. A diferença fundamental está na modelagem destas equações. Aqui, é proposto modelá-las em coordenadas polares, o que resulta na inexistência de resíduos de magnitudes de tensão nas informações contidas no autovetor à esquerda. Isto simplifica em muito a análise das informações contidas no autovetor à esquerda visto que este contém apenas componentes relacionadas às injeções de potências ativa e reativa. 2 O Método de Newton com Fator de Passo As equações estáticas do fluxo de potência podem, genericamente, ser expressas por onde f(x) = V i V i f(x) S = 0 (1) V k (G ik cosδ ik + B ik senδ ik ) k Ω i V k (G ik senδ ik B ik cosδ ik ) k Ω i G ik e B ik são elementos da matriz admitância de barras; V i e V k são as magnitudes de tensão nas barras i e k, respectivamente; δ ik = δ i δ k

é a abertura angular da linha i k, com δ i e δ k sendo os ângulos de fase das tensões complexas nas barras i e k, respectivamente; Ω i referese ao conjunto de barras que estão conectadas à barra i; e S é o vetor com as injeções de potências especificadas, ou seja, S = { PGi P di Q Gk Q dk com i = 1,..., nb e i folga e k = 1,..., npq, onde nb é o número de barras do sistema elétrico, npq é o número de barras P Q e folga corresponde à barra de folga. O uso do fator de passo no processo iterativo do método de Newton consiste em aplicar uma correção aos incrementos calculados como solução do sistema linear a cada iteração. O critério para a determinação do fator de passo µ está relacionado à redução dos desbalanços de potências em cada barra e deve ser tal que minimize a função F (x) = 1 2 [f(x + µ x) S]T [f(x + µ x) S] (2) Durante o processo iterativo, o valor da função F (x) é reduzido de modo que F (x k+1 ) sempre seja menor do que F (x k ). Se as injeções de potências especificadas resultam em solução real, o fator de passo tende à unidade. Caso contrário, µ tenderá para zero. A implementação deste controle requer esforço computacional reduzido e pode ser agregado a um programa de fluxo de potência convencional sem maiores dificuldades [2]. A correção nas variáveis de estado, com a inclusão do controle de passo, transforma-se em onde x k+1 = x k + µ x k (3) [ ] x k = J(x k ) 1 f(x k ) S (4) com J(x) sendo a matriz Jacobiana do fluxo de potência em coordenadas polares. 3 Estratégia Restaurativa com a Utilização de Autovetores O problema do fluxo de potência consiste basicamente na solução de um conjunto de equações não-lineares que, de uma forma genérica, podem ser expresas matematicamente como mostrado na equação (1). Para este tipo de solução, considerando que existam valores de x que satifaçam a equação (1), o método de Newton-Raphson apresenta uma convergência muito boa. Entretanto, caso esta solução real não exista, o método irá divergir. Neste trabalho é proposta a utilização de um fator de passo para evitar a divergência do processo iterativo, como sugerido na referência [2]. Com base nesta estratégia, as seguintes observações podem ser feitas: 1. Se a equação (1) não possui solução real, então as equações elétricas da rede convergem para um ponto x onde a função Jacobiana de f(x ) é singular. Este ponto repousa sobre a superfície limite das regiões com e sem solução do problema do fluxo de potência. Isto pode ser concluído primeiro recordando que, da equação (4), a direção de busca a cada iteração é dada por [ ] x k = J(x k ) 1 f(x k ) S (5) e que o fator de passo µ é determinado de modo a minimizar a função custo, equação (2), na direção x k. Por outro lado, a única maneira da função custo não ser reduzida, seria se ela estivesse no plano tangente de F (x) = cte, ou de forma equivalente, se o gradiente de F (x k ) F (x k ) = [f(x k ) S] T J(x k ) (6) fosse perpendicular a x k. Isto conduz a F (x k ) x k = = [f(x k ) S] T J(x k )J(x k ) 1 [f(x k ) S] (7) Como durante as iterações, a matriz Jacobiana não é singular, tem-se que J(x k )J(x k ) 1 = U e, portanto, F (x k ) x k = [f(x k ) S] T [f(x k ) S] (8)

que é diferente de zero, pois [f(x k ) S] será zero somente quando as equações da rede elétrica possuirem solução real. 2. Se a equação (8) for dividida por x k F (x k ) x k x k = = [f(xk ) S] T [f(x k ) S] x k (9) pode ser visto que, quando J(x k ) se aproxima da singularidade, a equação (7) tende a zero observando que x k. 3. Das observações anteriores, conclui-se que f(x ) está localizada na superfície Σ no espaço paramétrico. Como o desbalanço de potências é f(x) S, em x o valor de f(x ) é simplesmente S mais o desbalanço final. Isto não é sempre necessariamente verdadeiro. Se admitir-se que x m seja a melhor solução para o fluxo de potência sem solução real, x = x m nem sempre será a solução mais próxima, ou seja, f(x ) S m, visto que na equação (2) o fator de passo µ é determinado para minimizar F (x) somente na direção dada por x. Note também que, quando as equações não-lineares convergem para x, o fator de passo µ tende para zero. Assim, o ponto x é, na verdade, uma aproximação para o ponto ótimo x m. 4. Na referência [6] é demonstrado que o autovetor à esquerda w associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana J(x ) é perpendicular ao hiperplano Σ em f(x ). A Figura 2 apresenta as relações discutidas acima. Em função do exposto, propõe-se a utilização do algoritmo denominado Mínima Distância (MD) para a obtenção de um ponto de operação da rede elétrica o qual apresente o mínimo corte nas demandas de potências especificadas. De acordo com a referência [6], a melhor direção para se efetuar o alívio de carga é aquela fornecida pelo autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana em x. Desse modo, o algoritmo MD pode ser escrito como: 1. Sejam k = 0 e S k = S. Figura 2: Relações no espaço paramétrico. 2. Resolver as equações do fluxo de carga f(x k ) S k = 0 via método de Newton- Raphson com fator de passo. 3. Se o processo convergir com µ 1, a solução foi obtida. Ir para o Passo 5. Caso contrário, determinar a matriz Jacobiana singular J(x k+1 ) e o seu correspondente autovetor à esquerda w k+1 associado ao seu autovalor nulo. 4. Estimar as novas injeções de potências S k+1 = S + {[f(x k+1 ) S] w k+1 }w k+1 e retornar ao Passo 2. 5. Determinar as míminas alterações a serem efetivadas nas demandas de potências especififcadas a fim de restaurar a solução para as equações estáticas da rede elétrica. A análise do algoritmo mostra a existência de duas malhas principais. A primeira, interior, visa a conduzir a solução das equações da rede elétrica à superfície de fronteira entre as regiões com e sem solução Σ. A segunda tem por objetivo estimar o mínimo corte de carga necessário para fornecer uma solução real, de modo a satisfazer o máximo possível as injeções de potências ativa e reativa originalmente especificadas. 4 Resultados Numéricos Para analisar o desempenho da metodologia proposta, serão apresentados resultados obtidos da aplicação desta a dois sistemas elétricos: um do IEEE e um sistema real equivalente da

região Sul-Sudeste do Brasil. As principais características destas redes elétricas estão apresentadas na Tabela 1. Sistema nb nc ng nbd dim IEEE-30 30 41 6 18 53 SSB-340 340 684 53 184 626 Tabela 1: Características dos sistemas-teste. Nesta tabela, as colunas nb, nc, ng e nbd referem-se, respectivamente, aos números de barras da rede elética, de circuitos, de geradores e de barras com demanda de potências ativa e reativa. A última coluna dim refere-se à dimensão do sistema linear resolvido a cada iteração do método de Newton-Raphson. Conforme o algoritmo descrito na seção anterior, cada laço principal (solução do fluxo de potência usando o método de Newton-Raphson com fator de passo) pode ser encerrado de duas formas: pelos desbalanços de potências ativa e reativa (situação na qual o processo estará convergido); ou pelo valor do fator de passo µ (situação na qual se deve avaliar o autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana singular). Nas simulações aqui apresentadas, as tolerâncias utilizadas foram de 10 3 para os desbalanços de potências ativa e reativa e de 10 2 para o fator de passo µ. 4.1 IEEE-30 Barras Para o sistema de 30 barras do IEEE foram realizados três testes: o primeiro em uma condição base de carregamento de 708,5 MW e 315,5 MVAr (Caso A); no segundo, a sua demanda total foi acrescida em 12% (Caso B) e, no terceiro, acresceu-se sua demanda total em 20% (Caso C). Os acréscimos efetuados foram em relação ao caso base. As Tabelas 2 e 3 sumarizam os resultados obtidos. Na Tabela 2, as colunas P esp e P f estão em MW e correspondem, respectivamente, ao carregamento inicialmente especificado de potência ativa e ao carregamento máximo capaz de ser suprido pela rede elétrica. As colunas Q esp e Q tot estão em MVAr e têm o mesmo significado das colunas anteriores, somente que para a demanda de potência reativa. Caso P esp Q esp P tot Q tot A 708,5 315,5 708,5 315,5 B 793,5 353,4 788,9 348,2 C 850,2 378,6 838,8 367,0 Tabela 2: Corte de carga - IEEE-30. Na Tabela 3, a coluna IP refere-se ao número de iterações do laço principal do algoritmo; INR é o número de iterações do método de Newton com fator de passo em cada iteração do laço principal; Res corresponde ao máximo desbalanço de potências na última iteração de Newton e µ é o valor do fator de passo na última iteração de Newton. Caso IP IN R Res µ A 1 4 3, 99.10 5 1,0214 B 2 4 4, 02.10 2 1, 18.10 5 1 4, 37.10 4 0,9864 6 7, 63.10 2 2, 06.10 3 C 3 4 1, 23.10 3 2, 33.10 3 1 1, 22.10 5 1,0031 Tabela 3: Processo iterativo - IEEE-30. Das Tabelas 2 e 3, observa-se que, no Caso A, a totalidade da demanda especificada será suprida pela rede elétrica. Note que o laço principal do algoritmo é realizado uma única vez, pois os desbalanços de potências ativa e reativa são satisfeitos e o fator de passo µ tende para a unidade. Neste caso, não há necessidade do cálculo do autovetor à esquerda para definir a direção do corte de carga visto que este não é necessário. Entretanto, nos Casos B e C, há necessidade de se efetuar um alívio de carga. Observe que são realizadas 2 e 3 iterações do laço principal, respectivamente, ou seja, o autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana é determinado uma vez no Caso B e duas vezes no Caso C. Observe que no Caso B, no primeiro laço principal, o processo iterativo é finalizado baseado no valor do fator de passo que está tendendo para zero. Por outro lado, no Caso C, as duas primeiras iterações do laço principal são finalizadas com base no valor do fator de passo.

As últimas iterações do laço principal, nos Casos B e C, são finalizadas pela convergência dos desbalanços de potências ativa e reativa para o valor especificado de tolerância. Note que, nestes caso, o fator de passo µ tende para a unidade. Ainda da Tabela 2, observa-se que, nos Casos B e C, o alívio de carga necessário para restaurar a solução real das equações da rede elétrica é da ordem de 0,59% e 1,34%, respectivamente. Chama-se a atenção para o fato de que, conforme o nível de carregamento aumenta, aumenta também o número de avaliações do autovetor à esquerda, tornando o processo iterativo mais complexo. 4.2 SSB-340 Barras Os dados deste sistema correspondem a uma redução equivalente do sistema elétrico real da região Sul-Sudeste do Brasil. Foram realizados dois testes com esta rede. As Tabelas 4 e 5 resumem os testes efetuados. As colunas apresentadas referem-se às mesmas grandezas discutidas nas Tabelas 2 e 3. O Caso D foi considerado como base e no Caso E foi efetuado um acréscimo de carga de 10%. Caso P esp Q esp P tot Q tot D 42.407,5 657,3 42.407,5 657,3 E 46.648,2 723,1 45.418,2 433,4 Tabela 4: Corte de carga - SSB-340. Caso IP IN R Res µ D 1 5 3, 04.10 5 1,0055 6 2, 64.10 0 6, 21.10 6 6 5, 95.10 1 3, 42.10 5 5 3, 67.10 2 1, 38.10 4 E 8 6 1, 76.10 2 7, 67.10 4 4 6, 24.10 3 1, 51.10 3 5 3, 48.10 3 3, 63.10 6 4 1, 57.10 3 7, 55.10 3 3 8, 89.10 4 1,1099 Tabela 5: Processo iterativo - SSB-340. Os resultados obtidos para este sistema real são equivalentes aos obtidos para o sistema do IEEE. Observa-se a convergência lenta do processo iterativo no Caso E. São necessárias 8 iterações do laço principal e sete avaliações do autovetor à esquerda de modo a se possibilitar a restauração da solução real das equações da rede. Nas primerias 7 iterações principais, o processo iterativo é encerrado com base no valor do fator de passo µ. Na última iteração principal, conforme esperado, o processo converge através dos desbalanços de potências (note, novamente, que o fator de passo, nesta última iteração, também tende para a unidade). Em relação ao corte de carga (Tabela 4, observa-se que, para o caso base, é possível atender integralmente as demandas de potências, não havendo, portanto, necessidade de alívio de carga. Por outro lado, no Caso E, no qual a demanda total de potência foi incrementada em 10%, há necessidade de se efetuar um corte de carga. O alívio de demanda é da ordem de 2,64%. Do total da demanda de potência ativa de 46.648,2 MW, a rede elétrica é capaz de suprir 45.418,2 MW. 5 Conclusões Neste estudo, apresentou-se uma proposta de metodologia destinada a restaurar a solução real das equações da rede elétrica para uma situação de fluxo de potência sem solução. Estes casos, normalmente, acontecem quando há a perda de equipamentos ou circuitos importantes no sistema de potência. A abordagem proposta baseia-se nas informações contidas no autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana singular. Uma das principais contribuições do estudo é que a implementação do método proposto é uma simples extensão do fluxo de carga convencional solucionado via método de Newton- Raphson. A implementação resulta em um segundo laço iterativo destinado à avaliação do autovetor à esquerda nos casos em que o método de Newton é abortado devido ao valor do fator de passo µ tender para zero. Isto, evidentemente, aumenta o esforço computacional para a sua solução. Quanto às características da metodologia proposta, pode-se salientar os seguintes pontos: a abordagem proposta mostrou-se eficaz para os sistemas-teste analisados;

nos casos em que as demandas de potências especificadas podem ser integralmente atendidas pela topologia da rede elétrica, o método não interfere na solução do método de Newton, e o fator de passo µ tende para a unidade; quando as demandas de potências especificadas não podem ser integralmente atendidas pela rede, o algoritmo conduz a um ponto de operação no qual um valor máximo de carga pode ser satisfeito, ou seja, reduzindo ao máximo o corte de carga; a implementação do método não aumenta em muito a complexidade computacional, sendo, em verdade, uma extensão do algoritmo convencional de Newton-Raphson. Os resultados obtidos mostram que é possível obter soluções corretivas utilizando o algoritmo da Mínima Distância. Esta solução é a melhor possível do ponto de vista de ser uma solução que está o mais próxima da demanda inicialmente especificada (caso não possa ser integralmente atendida). A interpretação física dessa solução é a de prover um mínimo corte de carga na rede elétrica, caso necessário. Referências [1] V. Ajjarapu e C. Christy, The Continuation Power Flow: A Tool for Steady-State Voltage Stability Analysis, IEEE Trans. on Power Systems, 7(1) (1992) 416-423. [2] C. A. Castro e L. M. C. Braz, Uma Nova Abordagem para a Solução do Problema de Fluxo de Carga pelo Método de Newton com Otimização de Passo, Revista Controle & Automação, 8(3) (1997) 121-133. [3] T. V. Cutsem, A Method to Compute Reactive Power Margins with Respect to Voltage Collapse, IEEE Trans. on Power Systems, 6(1) (1991) 145-156. [4] M. Dehnel e H. W. Dommel, A Method for Identifying Weak Nodes in Nonconvergent Load Flows, IEEE Trans. on Power Systems, 4(2) (1989) 801-807. [5] I. Dobson, L. LU e Y. Hu, A Direct Methoor Computing a Closest Saddle Node Bifurcation in the Load Power Parameter Space of an Electric Power System, Proceedings of International Symposium on Circuits and Systems, vol. 5, 3019-3022, 1991. [6] I. Dobson, Observations on the Geometry of Saddle Node Bifurcation and Voltage Collapse in Electrical Power Systems, IEEE Trans. on Circuits and Systems, 39 (1992) 240-243. [7] S. Granville, J. C. O. Mello e A. C. G. Melo, Application of Interior Point Methods to Power Flow Unsolvability, IEEE Trans. on Power Systems, 11(2) (1996) 1096-1103. [8] K. Iba, H. Suzuki, M. Egawa e T. Watanabe, A Methoor Finding a Pair of Multiple Load Flow Solutions in Bulk Power Systems, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, 5(2) (1990) 824-830. [9] S. Iwamoto e Y. Tamura, A Load Flow Calculation Methoor Ill-Conditioned Power Systems, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, 100(4) (1981) 1736-1743. [10] F. Mercede, J. C. Chow, H. Yan e R. Fischl, A Framework to Predict Voltage Collapse in Power Systems, IEEE Trans. on Power Systems, 3(4) (1988) 1807-1813. [11] T. J. Overbye, A Power Flow Measure for Unsolvable Cases, IEEE Trans. on Power Systems, 9(3) (1994) 1359-1365. [12] A. M. Sasson, C. Treviño e F. Aboytes, Improved Newton s Load Flow Through a Minimization Technique, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, 10(1) (1971) 1974-1981. [13] Y. Tamura, H. Mori e S. Iwamoto, Relationship Between Voltage Instability and Multiple Load Flow Solutions in Electric Power Systems, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, 102(5) (1983) 1115-1125.

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