Pode a matemática descrever uma epidemia?

Pode a matemática descrever uma epidemia? César M. Silva csilva@ubi.pt Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior Portugal MPT2013, 14 de Dezembro de 2013 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 1 / 30

Porque é que é importante descrever uma epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 2 / 30

Porque é que é importante descrever uma epidemia? Porque a modelação matemática de uma epidemia pode: a) fornecer a compreenção dos mecanismos subjacentes à evolução da epidemia b) sugerir mecanismos de controlo da epidemia! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 2 / 30

Grande praga de Londres (1665) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 3 / 30

Grande praga de Londres (1665) Grande praga de peste bubónica (1665) & médico da praga César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 3 / 30

Grande praga de Londres (1665) Peste bubónica (1665) - registos de mortalidade César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 4 / 30

Grande praga de Londres (1665) Grande praga Londres (1665) & pragas de Londres no sec. XVII César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 5 / 30

Modelo SIR simples César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

Modelo SIR simples Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

Modelo SIR simples β Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados? taxa média de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia βn número médio de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia S N probabilidade de que o contacto entre um infectado e outro individuo da população seja com um susceptível César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

Modelo SIR simples β Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados? taxa média de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia βn número médio de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia S N probabilidade de que o contacto entre um infectado e outro individuo da população seja com um susceptível βn S N I = βsi César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção I = 0 (βs γ)i = 0 S = γ/β I = 0 βs γ = 1 I = 0 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção I = 0 (βs γ)i = 0 S = γ/β I = 0 βs γ = 1 I = 0 R 0 = βs(0) γ César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção I = 0 (βs γ)i = 0 S = γ/β I = 0 βs γ = 1 I = 0 R 0 = βs(0) γ R 0 corresponde ao número médio de infecções secundárias causadas por um único individuo infectado introduzido numa população de tamanho S(0) constituida apenas por susceptíveis César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

Modelo SIR simples 1.0 0.8 S 1.0 0.8 R 0.6 R 0.6 0.4 0.4 0.2 0 2 4 6 8 I 0.2 I S 0 5 10 15 20 25 30 R 0 < 1 R 0 > 1 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 8 / 30

Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S [ ln S 0 ln S = R 0 1 S ] K César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S [ ln S 0 ln S = R 0 1 S ] K S > 0 (lado direito finito lado esquerdo finito) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S S > 0 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S [ ln S 0 ln S = R 0 1 S ] K (lado direito finito lado esquerdo finito) S 0, S podem ser estimados experimentalmente (medições sobre as respostas imunulógicas em amostras de sangue antes e depois de uma epidemia) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

Malária César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 12 / 30

Malária S h = µ h + βr s I hs σi m S h µ h S h E h = σi ms h ηγe h (1 η)γe h µ h E h I hs = ηγe h + ησi m I ha βr S I hs (1 β)r S I hs µ h I hs I ha = (1 η)γe h + (1 β)r S I hs ησi m I ha ρi ha µ h I ha S m = µ m + λ m S m µ m S m E m = Λ ms m ψλ m (t τ)s m (t τ) µe m I m = ψλ m (t τ)s m (t τ)µ m I m César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 12 / 30

Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 13 / 30

Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 13 / 30

Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros locais (por exemplo Londres) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 13 / 30

Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros locais (por exemplo Londres) Além disso a quarentena fez muito pouco para evitar a propagação da peste uma vez que ratos e pulgas continuaram a viajar livremente... César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 13 / 30

Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros locais (por exemplo Londres) Além disso a quarentena fez muito pouco para evitar a propagação da peste uma vez que ratos e pulgas continuaram a viajar livremente... Não é muito prudente tomar decisões com base em maus modelos!!! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 13 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 15 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Epidemia de Sarampo - NY, 1962 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 15 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = 1, S(0) = 7781984 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 16 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = 1, S(0) = 7781984 Aspecto da curva epidemica é muito diferente da curva real! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 16 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = 123 5 30, S(0) = 7781984 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 17 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = 123 5 30, S(0) = 7781984 A curva epidemica assemelha-se muito mais! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 17 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR simples vs dados reais 1930-1960 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 18 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR simples vs dados reais 1930-1960 O modelo SIR simples não explica as oscilações! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 18 / 30

Modelo SIR com demografia César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 19 / 30

Modelo SIR com demografia S = ν βsi µs I = βsi γi µi R = γi µr César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 19 / 30

Modelo SIR com demografia S = ν βsi µs I = βsi γi µi R = γi µr ν taxa de natalidade (per capita) por dia µ taxa de mortalidade (per capita) por dia César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 19 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR com demografia César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 20 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR com demografia Surgem oscilações mas... atenuam-se com o tempo... César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 20 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 S = ν β 0 (1 + α cos(2πt))si µs I = β 0 (1 + α cos(2πt))si γi µi R = γi µr SIR com sazonalidade César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 21 / 30

Epidemia de sarampo NY 1962 S = ν β 0 (1 + α cos(2πt))si µs I = β 0 (1 + α cos(2πt))si γi µi R = γi µr SIR com sazonalidade Oscilações semelhantes às da situação real! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 21 / 30

Casos de sarampo nos Estados Unidos César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 22 / 30

Casos de sarampo nos Estados Unidos A vacina para o sarampo foi licenciada em 1963. César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 22 / 30

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Modelos de metapopulação β 1, β 2 incidência γ 1, γ 2 recuperação n 1, n 2 migração I m 1, m 2 migração S d 1, d 2 mortalidade ε 1, ε 2 mort. doença César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 24 / 30

Modelos de metapopulação β 1, β 2 incidência γ 1, γ 2 recuperação n 1, n 2 migração I m 1, m 2 migração S d 1, d 2 mortalidade ε 1, ε 2 mort. doença I S 1 = β 1I 1 1 N 1 + n 12 I 2 (n 21 + d 1 + ε 1 + γ 1 )I 1 I 2 = β 2 S2I2 N 2 + n 21 I 1 (n 12 + d 2 + ε 2 + γ 2 )I 2 S 1 = A S 1 β 1I 1 1 N (d 1 + m 21 )S 1 γ 1 I 1 + m 12 S 2 S 2 = A S 2 β 2I 2 2 N (d 2 + m 12 )S 2 γ 2 I 2 + m 21 S 1 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 24 / 30

Modelos de metapopulação R 0 = β 1 (a 2 + n 12 ) + β 2 (a 1 + n 21 ) + [β 1 (a 2 + n 12 ) β 2 (a 1 + n 21 )] 2 + 4β 1 β 2 n 12 n 21 2(a 1 a 2 + a 1 n 12 + a 2 n 21 ) a 1 = d 1 + ε 1 + γ 1 a 2 = d 2 + ε 2 + γ 2 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 25 / 30

Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, 000036, γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 26 / 30

Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, 000036, γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 26 / 30

Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, 000036, γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext End End César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 26 / 30

Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, 000036, γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext End End Ext Ext César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 26 / 30

Outros temas... César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 27 / 30

Pode a matemática descrever uma epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 28 / 30

Pode a matemática descrever uma epidemia? Pode a matemática ajudar-nos a compreender os mecanismos presentes numa epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 28 / 30

Pode a matemática descrever uma epidemia? Pode a matemática ajudar-nos a compreender os mecanismos presentes numa epidemia? Pode a matemática ajudar-nos a prevenir ou minimizar os efeitos de uma epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 28 / 30

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Muito obrigado pela vossa atenção! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 30 / 30