MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 1o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como o ponto P pertence ao gráfico de f, substituindo as suas coordenadas na expressão algébrica da função, temos que. Resposta: Opção C 8 = e a ln 8 = ( e ln ) a 8 = a a = log 8 a = 3.1. Calculando as imagens dos objetos 0 e 10, temos N(0) = 00 1 + 50e 0,5 0 = 00 149, 60 1 + 50e 5 00 N(10) = 1 + 50e 0,5 10 = 00 39, 18 1 + 50e,5 Exame 015, Ép. especial E assim, calculando a taxa média de variação da função N no intervalo [10, 0] e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos T V M [10,0] = N(0) N(10) 0 10 149, 60 39, 18 10 107, 4 10 10, 74 11 No contexto da situação descrita, o valor da taxa média de variação significa que entre os anos de 1900 e 000 o número de habitantes, da região do globo em causa, cresceu em média aproximadamente 11 milhões em cada década... Resolvendo em ordem a t, temos: 00 N = 1 + 50e 0,5t 1 + 50e 0,5t = 00 N 50e 0,5t = 00 N 1 50e 0,5t = 00 N N N ( ) 00 N 50e 0,5t = 00 N e 0,5t = 00 N ( ) ln 00 N 50N 0, 5t = ln t = N 50N 50N 0, 5 t = 1 ( ) 00 N 0, 5 ln t = 1 ( ) 00 N ln t = 100 ( ) 00 N 50N 5 50N 5 ln 50N 100 ( ) ( ) 4 ( ) 4 00 N 00 N 50N t = 4 ln t = ln t = ln 50N 50N 00 N Exame 015, Ép. especial Página 1 de 30

3. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que Resposta: Opção D log a ( a b ) = log a (a ) + log a b = log a a + log b b log b a = 1 + 1 1 3 = + 3 = 5 Exame 015, a Fase 4. Para x ], 3], f(x) = 1 + xe x, logo, vem que f(x) x > 1 1 + xe x x > 1 xe x x > 0 x(e x ) > 0 Determinando as soluções da equação x(e x ) = 0, temos: x(e x ) = 0 x = 0 e x = 0 x = 0 e x = x = 0 x = ln Estudando a variação do sinal de x(e x ), em ], 3], vem: x 0 ln 3 x - 0 + + + + e x - - - 0 + + x(e x ) + 0-0 + + Assim, como f(x) x > 1 x(e x ) > 0, temos que o conjunto solução de f(x) x > 1 é C.S. =], 0[ ] ln, 3] Exame 015, a Fase 5. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que ( ) 3 k log 3 = log 9 3 (3 k ) log 3 9 = k log 3 3 = k Resposta: Opção B Exame 015, 1 a Fase 6. A distância do centro da esfera ao ponto P, no momento em que se inicia o movimento, em centímetros, é P d(0) = 10 + (5 0)e 0,05 0 = 10 + (5)e 0 = 10 + 5 1 = 15 Como, no momento em que se inicia o movimento, o ponto da esfera mais afastado do ponto P está a 16 cm (do ponto P ), o raio da esfera, em centímetros, é r = 16 d(0) = 16 15 = 1 Pelo que, calculando o volume da esfera em cm 3, e arredondado o resultado às centésimas, temos d(t) 16 V = 4 3 πr3 = 4 3 π 13 = 4π 3 4, 19 Exame 015, 1 a Fase 7. Como 10 = 100 log 10 100 =, usando as propriedades dos logaritmos, temos que log(100b) = log 100 + log b = + 014 = 016 Resposta: Opção A Teste Intermédio 1 o ano 30.04.014 Página de 30

8. Simplificando a condição ln(e x a) 0, como a função logarítmica tem imagens não positivas para x ]0, 1], temos: ln(e x a) 0 0 < e x a 1 e x a > 0 e x a 1 e x > a e x 1 + a x > ln(a) x ln(1 + a) x < ln(a) x ln(1 + a) Assim, S = [ ln(1 + a), ln(a)[ Resposta: Opção B 9. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que log a (a 5 3 ) b + a log a b ( = log a a 5 ) + log ( 3 a b + b = 5 + log a b 1 3 Exame 013, Ép. especial ) + b = Resposta: Opção A = 5 + 1 3 log a b + b = 5 + 1 3 3 + b = 5 + 1 + b = 6 + b 10. Usando as propriedades dos logaritmos, e sabendo que log a b =, temos que 11. Resposta: Opção D log log b a + log a b = a a ( ) log a b + log a b 1 = 1 + 1 log a b = 1 + 1 = 1 3 = 3 Exame 013, a Fase Teste Intermédio 1 o ano 8.0.013 11.1. Designando por A o centro do balão A, por B o centro do balão B e por P um ponto com a mesma altura do balão A, situado na perpendicular ao solo em que está o balão B, temos que o triângulo [ABP ] é retângulo em P, e pretendemos calcular AB Assim, temos que AP = 7 e BP = b(5) a(5) Calculado b(5) e a(5), temos b(5) = 6e 0,06 5 0, 0 5 + = 6e 0,3 0, 1 + 6, 345 a(5) = e 0,03 5 0, 0 5 + 3 = e 0,15 0, 1 + 3 3, 761 E assim, vem que A B P BP = b(5) a(5), 584 7 m E assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, vem AB = AP + BP : AB = 7 +, 584 AB = 55, 677 AB = 55, 677 AB 7, 5 m Página 3 de 30

11.. Calculando o tempo decorrido entre o instante inicial e o instante em que os centros dos dois balões estavam à mesma distância do solo, em segundos, temos: a(t) = b(t) e 0,03t 0, 0t + 3 = 6e 0,06t 0, 0t + e 0,03t + 3 = 6e 0,06t + e 0,03t 6e 0,06t + 3 = 0 e 0,03t 6e ( 0,03t) + 1 = 0 e 0,03t 6 ( e 0,03t) + 1 = 0 6 ( e 0,03t ) + e 0,03t + 1 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e 0,03t, e usando a fórmula resolvente, vem: 6y + y + 1 = 0 y = 1 ± (1) 4( 6)(1) ( 6) Como y = e 0,03t, temos que: y = 1 ± 5 1 y = 1 ± 1 + 4 1 y = 6 1 y = 4 1 y = 1 y = 1 3 y = 1 ± 5 1 E como a equação e 0,03t = 1 3 e 0,03t = 1 0, 03t = ln ( 1 e 0,03t = 1 e 0,03t = 1 3 é impossível, podemos determinar única solução da equação: ) t = ln 1 ln 0, 03 Assim, arredondado o resultado às unidades, temos t 3 s t = 0 ln 0, 03 t = ln 0, 03 1. Como log a c = 3 loga (c) 1 1 = 3 log a c = 3 log a c = 6 e log a b = c, usando as propriedades dos logaritmos, temos que Teste Intermédio 1 o ano 8.0.013 log a b c = loga (b c) 1 1 = log a(b c) = 1 (log a b + log a c) = 1 c + 6 (c + 6) = = c + 3 Resposta: Opção C 13. Resolvendo a equação f(x) = 0, temos que e x 4e x + 4 e Exame 01, Ép. especial = 0 e e x e 4e x + 4 e = 0 e e x e 4e x + 4 e = 0 ex e 4e x + 4 e = 0 ex e 4e x + 4 e = 0 ex 4e x 4 e = 0 ex 4e x 4 = 0 e 0 e x 4 1 e x 4 = 0 ex e x e x 4 e x 4ex e x = 0 e x 0 (ex ) 4e x 4 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e x, e usando a fórmula resolvente, vem: y 4y 4 = 0 y = 4 ± ( 4) 4(1)( 4) Como y = e x, temos que: y = 4 ± 4 y = 4 ± 16 + 16 y = + y = e x = + e x = y = 4 ± 3 E como < 0, a equação e x = é impossível, pelo que podemos determinar o valor do único zero da função f: e x = + x = ln( + ) Exame 01, 1 a Fase Página 4 de 30

14. Usando as propriedades dos logaritmos, e como b = a π log a b = π, temos que 15. log a ( a 1 b 100) = log a ( a 1 ) +log a ( b 100 ) = 1 log a (a)+100 log a (b) = 1 1+100 π = 1+100π 36 Resposta: Opção B 15.1. Como f(x) = + log 3 x, então Teste Intermédio 1 o ano 4.05.01 f(x) 4 + log 3 (x 8) + log 3 x 4 + log 3 (x 8) log 3 x 4 + log 3 (x 8) log 3 x + log 3 (x 8) log 3 x log 3 9 + log 3 (x 8) log 3 x log 3 ( 9 (x 8) ) x 9 (x 8) x 9x 7 x 9x 7 8x 7 8x 7 x 9 Mas como log 3 (x) só está definido para x > 0, então a expressão + log 3 x 4 + log 3 (x 8) só está definida se x > 0 x 8 > 0, ou seja, se x > 0 x > 8 Pelo que a condição f(x) 4 + log 3 (x 8) é verdadeira para os valores de x tais que x 9 x > 8, ou seja, no intervalo ], 9] ]8, + [=]8, 9] 15.. Calculando o valor de f(36 1000 ) f(4 1000 ), temos que f(36 1000 ) f(4 1000 ( ) = + log 3 36 1000 ) ( ( + log 3 4 1000 ) ) = + 1000 log 3 (36) 1000 log 3 (4) = ( ) 36 = 1000 log 3 (36) 1000 log 3 (4) = 1000 log 3 (36) log 3 (4) = 1000 log 3 4 = = 1000 log 3 9 = 1000 = 000 Teste Intermédio 1 o ano 13.03.01 16. Calculando o número de frangos infetados no instante em que o vírus foi detetado (x = 0), temos: f(0) = 00 1 + 3 = 00 3 0,1(0) 1 + 3 3 = 00 1 + 3 8 = 00 1 + 4 = 00 5 = 8 O número de dias passados, em que o número de frangos infetados era dez vezes maior (10 8 = 80), é a solução da equação f(x) = 80: f(x) = 80 00 00 = 80 1 + 3 3 0,1x 80 = 1 + 3 3 0,1x, 5 1 = 3 3 0,1x 1, 5 3 = 3 0,1x 0, 5 = 3 0,1x 1 log 0, 5 = 3 0, 1x log = 3 0, 1x log 1 = 3 0, 1x 1 3 = 0, 1x 4 = 1 10 x 40 = x Ou seja, desde que o vírus foi detetado, até que o número de frangos infetados fosse dez vezes maior, passaram 40 dias. Teste Intermédio 1 o ano 13.03.01 Página 5 de 30

17. 17.1. Sabendo que M = 7, 1, podemos calcular a energia sísmica irradiada, substituindo o valor dado em M = 3 log 10(E), 9 : 7, 1 = 3 log 10(E), 9 (7, 1 +, 9) 3 = log 10 (E) log 10 (E) = 15 E = 10 15 Como a relação entre o momento sísmico e a energia libertada é E = M 0 1, 6 10 5, substituindo o valor de E nesta expressão, vem: 10 15 = M 0 1, 6 10 5 10 15 1, 6 10 5 = M 0 M 0 = 0, 65 10 15 10 5 17.. Sabemos que M 1 M = 3. M 0 = 6, 5 10 1 10 0 M 0 = 6, 5 10 19 Sejam E 1 a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M 1 e E a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M. Assim, temos que M 1 = 3 log 10(E 1 ), 9 e M = 3 log 10(E ), 9, pelo que M 1 M = ( ) 3 log 10(E 1 ), 9 3 log 10(E ), 9 Logo: 3 log 10(E 1 ), 9 ( ) 3 log 10(E ), 9 = 3 3 log 10(E 1 ), 9 3 log 10(E ) +, 9 = 3 3 log 10(E 1 ) 3 log 10(E ) = 3 ( ) log 3 10 (E 1 ) log 10 (E ) = 3 log 10(E 1 ) log 10 (E ) = 1 ( ) E1 log 10 = 1 E 1 = 10 1 E 1 = 10 E E E Assim, a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M 1 é dez vezes superior à energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M. Exame 011, Prova especial 18. Como a máquina agrícola funcionou durante 0 minutos e, nesse período de tempo, consumiu litros de combustível, logo a quantidade de combustível que existia no depósito no momento inicial era a quantidade medida ao fim de 0 minutos acrescida dos litros consumidos, ou seja, Logo, determinando o valor de k, temos que Q(0) = Q(0) + Q(0) Q(0) = Q(0) Q(0) = 1 + log 3 (81 k 0 ) ( 1 + log 3 (81 k 0 ) ) = 1 + log 3 (81 0) 1 log 3 (81 400k) = log 3 (81) log 3 (81 400k) = 4 log 3 (81 400k) = log 3 (81 400k) = 4 log 3 (81 400k) = 3 = 81 400k 400k = 81 3 k = 7 400 k = 9 50 Exame 011, Ép. especial Página 6 de 30

19. 19.1. Começamos por calcular o número de nenúfares, às zero horas do dia 1 de Março de 010, no lago A, ou seja, aos zero dias: N A (0) = 10 1 + 7 e 0, 0 = 10 1 + 7 e 0 = 10 1 + 7 1 = 10 8 = 15 Calculando o número aproximado de nenúfares, no lago A, 7 dias depois, temos: N A (7) = 10 1 + 7 e 0, 7 = 10 44, 0 1 + 7 e 1,4 Assim temos que o aumento do número de nenúfares, no lago A, nos primeiros 7 dias, arredondado às unidades é N A (7) N A (0) 44, 0 15 9 nenúfares 19.. O número de dias necessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 010, para que o número de nenúfares existentes no lago A seja igual ao número de nenúfares existentes no lago B é a solução da equação N A (t) = N B (t): N A (t) = N B (t) 10 1 + 7 e 0,t = 150 1 + 50 e 0,4t 10 ( 1 + 50 e 0,4t) = 150 ( 1 + 7 e 0,t) 10 + 6000 e 0,4t = 150 + 1050 e 0,t 6000 e 0,4t 1050 e 0,t + 10 150 = 0 6000 ( e 0,t) 1050 e 0,t 30 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e 0,t, e usando a fórmula resolvente, vem: 6000y 1050y 30 = 0 y = 1050 ± ( 1050) 4(6000)( 30) (6000) y = 1050 ± 1350 1 000 Como y = e 0,t, temos que: E como a equação e 0,t = 1 40 e 0,t = 1 5 0, t = ln ( 1 5 y = 1 40 y = 1 5 e 0,t = 1 40 e 0,t = 1 5 é impossível, podemos determinar única solução da equação: ) t = ln 1 ln 5 0, Assim, arredondando o resultado às unidades, temos t 8 dias t = 0 ln 5 0, t = ln 5 0, Exame 011, a Fase Página 7 de 30

0. Resolvendo a equação f(x) x = ex, no intervalo [1, + [, temos que 3 f(x) x = ex 3 xe x + x x = e x 3 x(e x + ) x = e x 3 x>1 e x + = e x 3 1 e x ex + + 3 = 0 1 e x ex + 6 3 + 3 = 0 1 e x ex + 8 3 = 0 3 3e x 3ex e x 3e x + 8ex 3e x = 0 3 3(e x ) + 8e x = 0 3(e x ) + 8e x + 3 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e x, e usando a fórmula resolvente, vem: 3e x 0 3y + 8y + 3 = 0 y = 8 ± 8 4( 3)(3) ( 3) y = 8 ± 64 + 36 6 y = 8 ± 100 6 Como y = e x, temos que: y = 8 ± 10 6 y = 6 y = 18 6 e x = 1 e x = 3 x = ln 3 }{{ 3 } Eq. Imp. Assim, a única solução da equação, em [1, + [, é ln 3 y = 1 3 y = 3 Teste Intermédio 1 o ano 6.05.011 1. Como o ponto P pertence ao gráfico da função f e tem ordenada 1, então podemos calcular a sua abcissa recorrendo à expressão algébrica da função f: Resposta: Opção C. Resolvendo a inequação, temos f(x) = 1 log 9(x) = 1 x = 9 1 x = 9 x = 3 Teste Intermédio 1 o ano 19.01.011 log 3 (7x + 6) + log 3 (x) log 3 (7x + 6) log 3 9 + log 3 (x) log 3 (7x + 6) log 3 (9 x) 7x + 6 9x 7x 9x 6 x 6 x 6 x 6 x 3 Mas como log 3 (x) só está definido para x > 0, então a expressão log 3 (7x+6) +log 3 (x) só está definida se x > 0 7x + 6 > 0, ou seja, se x > 0 x > 6, ou mais simplesmente, se x > 0 7 Pelo que a condição é verdadeira log 3 (7x + 6) + log 3 (x) para os valores de x tais que x 3 x > 0, ou seja, no intervalo ], 3] ]0, + [=]0, 3] Teste Intermédio 1 o ano 19.01.011 Página 8 de 30

3. 3.1. Como k = 1 e p = 1, o número, em milhares, de pessoas que estavam infetadas com a doença, nesta região, t anos após o início de 1960 é t 3e 1 t I(t) = 1 + 1 e = 3e 1 t 1 + e t E o ano em que o número de pessoas infetadas, nesta região atingiu os 500, ou seja, os,5 milhares é a solução da equação I(t) =, 5 Assim, resolvendo a equação, temos 3e t I(t) =, 5 3e t 1 + e t ) =, 5 3e t =, 5 (1 + e t 1+e t >0 3e t =, 5 +, 5e t t t t, 5, 5e =, 5 0, 5e =, 5 e = 0, 5 e t t = 5 = ln 5 t = ln 5 Logo, como ln 5 3, 19 e 1960 + 3, 19 1963, temos que o número de pessoas infetadas, nesta região, atingiu os 500 no ano de 1963 3.. Como, nesta região, em 1961, ou seja 1 ano após o início de 1960 (t = 1), se constatou que havia um milhar de pessoas infetadas (I = 1), então temos que I(1) = 1 Logo, substituindo na expressão da função I, resolvendo em ordem a k e escrevendo o resultado na forma k = ln(a + pb), vem que I(1) = 1 1 = 3ek 1 3ek 1 = 1 + pek 1 1 + pe k 1 + pe k = 3e k 1 = 3e k pe k 1+pe k 0 1 = e k (3 p) 1 ( ) 1 3 p = ek k = ln k = ln 1 ln (3 p) 3 p k = 0 ln (3 p) k = ln (3 p) Teste Intermédio 1 o ano 19.01.011 4. Resolvendo a equação, temos: Resposta: Opção C f(x) = ln( 3x) = 3x = e x = e 3 x = 1 3 e Exame 010, Ép. especial Página 9 de 30

5. Temos que h( 4) = ln ( ( 4) + 1 ) = ln(16 + 1) = ln(17) Assim, resolvendo a inequação, em ], 0], temos : y 16 x h(x) > h( 4) ln ( x + 1 ) > ln(17) x + 1 > 17 x > 17 1 x > 16 x < 4 x > 4 4 O 4 x Como o domínio de valência da inequação é ], 0], o conjunto solução é ( ) ], 0] ], 4[ ]4, + [ =], 4[ Exame 010, Ép. especial 6. Como o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da função g com o eixo das abcissas, podemos determinar a sua abcissa, calculando o zero da função g: y 5 A g(x) = 0 ln(x + ) = 0 x + = e 0 x = 1 x = 1 E assim, considerando o lado [OB] do triângulo como a base, a altura será a ordenada do ponto A, (independentemente da sua abcissa), pelo que a área do triângulo é: A [OAB] = OB y A = x B y A = 1 5 = 5 B base O altura g x Resposta: Opção A Exame 010, 1 a Fase 7. 7.1. Aplicando as regras operatórias dos logaritmos, vem que, para qualquer valor de t [0, 5]: N(t) = 8 log 4 (3t + 1) 3 8 log 4 (3t + 1) = 8 3 log 4 (3t + 1) 8 log 4 (3t + 1) = = 4 log 4 (3t + 1) 8 log 4 (3t + 1) = 16 log 4 (3t + 1) 7.. Como N(t) é o número de bilhetes vendidos, em centenas, t horas após o início da venda, e 400 bilhetes são 4 centenas de bilhetes, o tempo necessário para vender 400 bilhetes é a solução da equação N(t) = 4: N(t) = 4 16 log 4 (3t + 1) = 4 log 4 (3t + 1) = 4 16 log 4(3t + 1) = 3 3t + 1 = 4 3 3t + 1 = 4 3 3t + 1 = 64 3t + 1 = 8 3t = 8 1 t = 7 3 Escrevendo o resultado em horas e minutos, temos que t = 7 3 = + 1 3, e como 1 de hora são 0 3 minutos, temos que serão necessárias horas e 0 minutos para que sejam vendidos 400 bilhetes. Exame 010, 1 a Fase Página 10 de 30

8. Os zeros da função g são as soluções da equação g(x) = 0, que pertencem ao domínio de g Assim, temos que: g(x) = 0 x + ln (f(x) 3) = 0 x + ln ( 3 + 4x e x 3 ) = 0 x + ln ( 4x e x) = 0 x + ln ( 4x ) + ln ( e x) = 0 x + ln ( 4x ) + ( x) = 0 ln ( 4x ) = 0 4x = e 0 4x = 1 x = 1 1 4 x = ± 4 x = 1 x = 1 { Como o domínio da função g é R \ {0}, então o conjunto dos zeros da função é 1, 1 } Teste Intermédio 1 o ano 19.05.010 9. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: ( ) 5 1000 ( log 5 = log 5 5 5 1000 ) ( log 5 5 = 1000 log 5 5 ) = 1000 = 998 30. Resposta: Opção D 30.1. Supondo que k = 10, temos que: f(t) = 10 3 e 0,13t Teste Intermédio 1 o ano 15.03.010 Assim, como f(t) é o número de coelhos, em milhares, t semanas após a deteção da doença, a solução da equação f(t) = 9 é o número t de semanas após a deteção da doença em que existiam 9 milhares de coelhos. Resolvendo a equação temos que: 10 10 f(t) = 9 = 9 3 e 0,13t 9 = 3 e 0,13t e 0,13t = 3 10 9 e 0,13t = 7 9 10 9 ( ) 17 e 0,13t = 17 9 e 0,13t = 17 ( ) ln 17 18 0, 13t = ln t = 18 18 0, 13 ( ) 17 ln 18 Logo, o número de coelhos existentes na região é igual a 9000 ao fim de 0, 4397 semanas. 0, 13 Como cada semana tem 7 dias, o número de coelhos existentes na região é igual a 9000 ao fim de 0, 4397 7 3 dias. Página 11 de 30

30.. O número de coelhos no início da primeira semana (t = 0), é dado por f(0) e no final da primeira semana (t = 1) é dado por f(1) Como durante a primeira semana, morreram dois mil coelhos ( milhares) e não nasceu nenhum, sabemos que f(1) = f(0) Como k f(0) = 3 e 0,13 0 = k 3 1 = k 1 = k k f(1) = 3 e 0,13 1 = k 3 e 0,13 Assim, resolvendo a equação para determinar o valor k, vem: f(1) = f(0) Considerando a aproximação 3 e 0,13 1, 438 vem: k 3 e 0,13 = k k = k k = 1, 438k 1, 438, 4876 = k(1, 438 1) 1, 438, 4876 = k(1, 438 1) Arredondando o valor de k às décimas, temos que k 10,, 4876 0, 438 = k 31. Temos que: b = a a = b a = b 1 a>1 Assim, usando as propriedades dos logaritmos, vem que: ) 1 + log b a = 1 + log b (b 1 = 1 + 1 = + 1 = 3 Resposta: Opção D Teste Intermédio 1 o ano 15.03.010 Exame 009, Ép. especial 3. Como a abcissa do ponto P é positiva, porque este se deslocar sobre o semieixo positivo das abcissas, então podemos considerar a base do triângulo o lado [OP ] e a sua medida é a abcissa do ponto P, pelo que OP = x Como relativamente à base [OP ], a altura é o lado [P A], e a medida da altura é a ordenada do ponto A, temos que P A = f(x) = e x Assim, a área do triângulo [OAP ] em função de x (abcissa do ponto P ) é: Resposta: Opção B A [OAP ] = OP P A = x f(x) = x.ex Exame 009, Ép. especial 33. 33.1. Como M 1 = 0, 67 log E 1 3, 5 e M = 0, 67 log E 3, 5, temos que M 1 M = 1 0, 67 log E 1 3, 5 (0, 67 log E 3, 5) = 1 0, 67 log E 1 3, 5 0, 67 log E + 3, 5 = 1 0, 67 log E 1 0, 67 log E = 1 0, 67(log E 1 log E ) = 1 log E 1 log E = 1 0, 67 log E 1 = 1 E 0, 67 E 1 = 10 1 0,67 E E assim temos que E 1 E 31 Página 1 de 30

33.. Como o sismo teve magnitude 4,7, na escala de Richter, vem que M = 4, 7 E assim, substituindo o valor de M na expressão M = 0, 67 log E 3, 5, e calculando o valor de E, vem: 4, 7 = 0, 67 log E 3, 5 4, 7 + 3, 5 = 0, 67 log E 7, 95 7,95 log E E = 10 0,67 0, 67 Assim, a energia libertada nesse sismo, em notação científica, foi de, aproximadamente 7 10 11 joules Exame 009, Ép. especial 34. Calculando as imagens das abcissas dos pontos indicados em cada uma das opções pela função f, temos: f( 1) = e 1+1 = e 0 = 1 f(ln ) = e ln +1 = e ln e 1 = e = e f(ln 5) = e ln 5+1 = e ln 5 e 1 = e = 5e f( ) = e +1 = e 1 = 1 e Pelo que podemos verificar que, de entre os pontos apresentados, o ponto de coordenadas (ln, e) é o único que pertence ao gráfico de f Resposta: Opção B Exame 009, a Fase 35. Calculando a área afetada quando a doença foi detetada (t = 0), e a área afetada uma semana depois (t = 1), temos: A(0) = 0 + 5 ln(0 + 1) = + 5 0 = A(1) = 1 + 5 ln(1 + 1) = 1 + 5 ln() Assim, o aumento da área afetada registado na primeira semana, em hectares, arredondado às centésimas é de A(1) A(0) = 1 + 5 ln() = 5 ln() 1, 47 ha 36. Usando as propriedades das potências e dos logaritmos, temos que: Resposta: Opção C e 4 ln x 10 log x = e ln x4 10 log x = x 4 x Exame 009, a Fase Exame 009, 1 a Fase 37. Como os domínios de f e g são, respetivamente ]1, + [ e ], [, então a condição f(x) 1 + h(x) está definida em ]1, + [ ], [=]1, [ Assim, vem que: f(x) 1 + h(x) log (x 1) 1 + log ( x) log (x 1) log + log ( x) (como log x é crescente no seu domínio) log (x 1) log ( ( x)) log (x 1) log (4 x) x 1 4 x x + x 4 + 1 3x 5 x 5 3 Como f(x) 1 + h(x) está definida em ]1, [, o conjunto solução é [ [ [ [ 5 5 3, + ]1, [ = 3, Exame 009, 1 a Fase Página 13 de 30

38. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: log a x = 1 + 5 log a y log a x = log a a + log a y 5 log a x = log a ( a y 5 ) x = ay 5 Resposta: Opção A Teste Intermédio 1 o ano 7.05.009 39. Como x 1 > 0 x > 1 13 x > 0 x > 13 x < 13 Então os valores de x para os quais a inequação está definida são: ]1, + [ ], 13[=]1, 13[ E, resolvendo a inequação, vem que: log (x 1) + log (13 x) 5 log ( (x 1) (13 x) ) log 5 (como log x é crescente no seu domínio) (x 1) (13 x) 5 13x x 13+x 3 x +14x 13 3 0 x +14x 45 0 (x 5)(x 9) 0 x 5 x 9 Cálculos auxiliares: y x + 14x 45 = 0 x = 14 ± 14 4( 1)( 45) ( 1) x = 14 ± 16 x = 14 + 4 x = 14 4 O 5 9 x x = 5 x = 9 Como a inequação está definida para x ]1, 13[, representando a interseção dos conjuntos, temos: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 + E assim, o conjunto solução da inequação é ]1, 5] [9, 13[ Teste Intermédio 1 o ano 11.03.009 Página 14 de 30

40. 40.1. Escrevendo os dados apresentados com recurso à função descrita, temos que: A massa de carbono-14 presente no fóssil, mil anos depois de um certo instante inicial, era de, 91g, significa que m(1) =, 91 A massa de carbono-14 presente no fóssil, dois mil anos depois do mesmo instante inicial, era de, 58g, significa que m() =, 58 Assim, temos que: ae b 1 =, 91 e que ae b =, 58 Como o valor de a é o mesmo (porque é a massa da substância no referido instante inicial), então como:, 91, 58 a = e b e como a = e b Calculando o valor de b e arredondando o resultado às centésimas, vem que:, 91, 58 e b = e b ( ) eb, 58 = eb, 91, 58 eb b =, 91, 58, 58 eb =, 91 b = ln, 91 b 0, 1 Utilizando o valor de b para determinar o valor de a, ou seja, a massa de carbono-14 que existia no fóssil, no referido instante inicial, e arredondando o resultado final às centésimas, temos: m(1) =, 91 ae b =, 91 ae 0,10, 91 a 0, 887, 91 a, 91 0, 887 a 3, 8 g 40.. Considerando b = 0, 43 temos que: m(t + 1, 6) m(t) = ae 0,43(t+1,6) ae 0,43t = e 0,43(t+1,6) e 0,43t = e 0,43(t+1,6) ( 0,43t) = e 0,43t 0,688+0,43t = e 0,688 Assim, temos que m(t + 1, 6) m(t) é constante e o valor dessa constante, arredondado às décimas, é e 0,688 0, 5 E assim temos que: m(t + 1, 6) m(t) 0, 5 m(t + 1, 6) 0, 5 m(t) o que significa que a passagem de 1,6 milhares de anos, ou seja, 1600 anos, implica uma diminuição da massa de radio-66 para metade. Teste Intermédio 1 o ano 11.03.009 41. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: x. ln (e e ) = x.e ln e = x.e 1 = ex Resposta: Opção A Exame 008, Ép. especial Página 15 de 30

4. Equacionado o problema e resolvendo a equação, vem: T (t) = 60 5 + 48e 0,05t = 60 48e 0,05t = 60 5 e 0,05t = 35 48 35 0, 05t = ln 35 ln 48 t = 48 t 6, 3171 0, 05 Assim temos que o tempo corresponde a 6,3171 minutos, aproximadamente. E como cada minuto tem 60 segundos, fazendo a conversão de 0,3171 minutos para segundos, vem 0, 3171 60 = 19, 060 19 s Pelo que se concluí que demorou 6 minutos e 19 segundos, após o início do arrefecimento, para que a temperatura da água atingisse os 36 o Celsius. Exame 008, Ép. especial 43. Como o ponto P (1, 3) pertence ao gráfico da função, substituindo as coordenadas na expressão algébrica da função, e resolvendo a equação, podemos determinar o valor de a: Resposta: Opção A 3 = a 1 1 3 + 1 = a 4 = a a = log 4 a = Exame 008, a Fase 44. Determinando a massa inicial da amostra da substância radioativa, ou seja a massa ao fim de zero horas (t = 0), vem que: M(0) = 15 e 0,0 0 = 15 e 0 = 15 1 = 15 Assim, equacionado o problema e resolvendo a equação vem: M(t) = 15 15 e 0,0t = 15 e 0,0t = 15 15 e 0,0t = 1 0, 0t = ln 1 ln 1 t = t 34, 657 0, 0 Assim temos que o tempo corresponde a 34,657 horas, aproximadamente. E como cada hora tem 60 minutos, fazendo a conversão de 0,657 horas para minutos, vem 0, 657 60 = 39, 40 39 min Pelo que se concluí ao fim de 34 horas e 39 minutos a massa inicial da amostra da substância radioativa se reduz a metade. 45. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: ) log a (a 1 3 = 1 3 log a a = 3 log a a = 3 1 = 3 Resposta: Opção D 46. Equacionado o problema e resolvendo a equação, vem: N(t) = 1000 Exame 008, a Fase Exame 008, 1 a Fase 000 000 = 1000 1 + 199e 0,01t 1000 = 1+199e 0,01t 1 = 199e 0,01t 1 199 = e 0,01t 1 0, 01t = ln 1 ln 199 t = 199 t 59, 330 0, 01 Assim, podemos observar que ao fim de 59 dias ainda a associação ainda não contava com 1000 associados e que este número foi atingido durante o 530 o dia. Exame 008, 1 a Fase Página 16 de 30

47. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: 48. Resposta: Opção C log a 3 + log a 5 = log a 3 + log a ( 5 ) = log a ( 3 5 ) = log a (3 5) = log a 75 48.1. Supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago, temos que: f(0) = 100 000 000 000 = 100 = 100 1 + ke 0,13 0 1 + ke0 1 + k 1 Teste Intermédio 1 o ano 9.04.008 = 100 000 = 100 (1 + k) 000 = 100 + 100k 000 100 = 100k 1900 100 = k 19 = k 48.. O número de anos que decorre até que o número de peixes no lago atinge o meio milhar (500), é a solução da equação f(t) = 500 Assim, considerando k = 4, resolvendo a equação e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos que: 000 f(t) = 500 1 + 4e 0,13t = 500 000 = 500 ( 1 + 4e 0,13t) 000 = 500 + 1000e 0,13t 000 500 = 1000e 0,13t 1500 1000 = e 0,13t 1 ( ) 1 8 = e 0,13t 0, 13t = ln 8 0, 13t = ln 1 ln 8 0, 13t = ln 8 t = ln 8 0, 13 t = ln 8 0, 13 t 16 49. Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: 50. Resposta: Opção C Teste Intermédio 1 o ano 9.04.008 log 5 (x) = π 1 x = 5 π 1 5 x = 5 5 π 1 5x = 5 1+π 1 5x = 5 π Teste Intermédio 1 o ano 17.01.008 50.1. Como o número de indivíduos que existiam no instante inicial é a, então r vezes o número de indivíduos que existiam no instante inicial é r a Por outro lado a população de indivíduos ao fim de n dias é P (n) = ae kn Assim, temos que: r a = ae kn r = aekn a r = e kn kn = ln(r) k = ln(r) n 50.. Como no instante inicial em cada colónia foram colocadas 500 bactérias temos que a = 500, e decorrido exatamente um dia, a estirpe A estava reduzida a 50 indivíduos, pelo que P (1) = 50 Assim, resolvendo a equação podemos calcular o valor de k A, com quatro casas decimais: P (1) = 50 500e k A 1 = 50 e k A = 50 500 ek A = 1 k A = ln ( 1 ) k A 0, 6931 Relativamente à estirpe B, como após seis dias a população era de 1000 indivíduos, temos que P (6) = 1000 Assim, resolvendo a equação podemos calcular o valor de k B, com quatro casas decimais: P (6) = 1000 500e k B 6 = 1000 e 6k B = 1000 500 e6k B = 6k B = ln() k B = ln() 6 k B 0, 1155 Teste Intermédio 1 o ano 17.01.008 Página 17 de 30

51. As abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são as soluções da equação f(x) = 0. Resolvendo a equação, temos que: f(x) = 0 1 ln ( x ) = 0 1 = ln ( x ) x = e 1 x = e x = ± e Assim, temos que as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são: ( e, 0 ) e ( e, 0 ) Exame 007, a Fase 5. Resolvendo a inequação temos que: ( ) ln(x) ln e 1 3 ( ) > 0 ln(x) > ln e 1 3 x > e 1 3 x > 3 e Como 3 e 1, 4, temos que, de entre as opções apresentadas, o único valor possível para x é Resposta: Opção D Exame 007, 1 a fase 53. Calculando a intensidade da luz solar à superfície da água, ou seja a zero metros de profundidade temos: I(0) = ae b 0 = ae 0 = a 1 = a Como a 0 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua intensidade à superfície da água, temos que I(0) = I(0) Resolvendo a equação, e apresentando o resultado arredondado às centésimas, vem que: ( ) 1 I(0) = I(0) ae b 0 = a e 0b = a a a 0 e 0b = 1 ( ) ln 1 0b = ln b = b 0, 03 0 54. Resolvendo a inequação, temos que: (1) e x > 0, x R e x > 1 e 1 e x > 1 e (1) e > ex e 1 > e x () 1 > x x < 1 () e x é crescente no seu domínio Escrevendo as soluções na forma de intervalo de números reais temos: ], 1[ Resposta: Opção B 55. Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: Exame 007, 1 a Fase Teste Intermédio 1 o ano 15.03.007 ( log a a 3 a ) = log a a + log ) 3 a a = 1 + log a (a 1 3 = 1 + 1 3 log a a = 1 + 1 3 1 = 3 3 + 1 3 = 4 3 Resposta: Opção B Teste Intermédio 1 o ano 15.03.007 Página 18 de 30

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX EM CONSTRUÇÃO XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 56. A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu ph, que é dado por ph = log(x) onde x designa a concentração de iões H 3 O +, medida em mol/dm 3. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: 56.1. Admita que o ph do sangue arterial humano é 7,4. Qual é a concentração (em mol/dm 3 ) de iões H 3 O +, no sangue arterial humano? Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma a 10 b, com b inteiro e a entre 1 e 10. Apresente o valor de a arredondado às unidades. 56.. A concentração de iões H 3 O + no café é tripla da concentração de iões H 3 O + no leite. Qual é a diferença entre o ph do leite e o ph do café? Apresente o resultado arredondado às décimas. Sugestão: comece por designar por l a concentração de iões H 3 O + no leite e por exprimir, em função de l, a concentração de iões H 3 O + no café. Teste Intermédio 1 o ano 15.03.007 57. Seja c um número real maior do que 1. Na figura ao lado está representada uma parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e x c. Tal como a figura sugere A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox B é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy Mostre que: Se o declive da reta AB é c 1, então c = e 58. Sejam a e b dois números reais positivos. Na figura ao lado está parte do gráfico de uma função f, de domínio R, definida por f(x) = a x + b. Tal como a figura sugere, os pontos (0, ) e (1, 3) pertencem ao gráfico de f. Quais são os valores de a e de b? (A) a = e b = 1 (B) a = e b = 3 (C) a = 3 e b = (D) a = 3 e b = 1 59. Seja h a função, de domínio R, definida por h(x) = ln ( e x) (ln designa logaritmo de base e) Qual das seguintes expressões pode também definir h? Teste Intermédio 1 o ano 15.03.007 Exame 006, a Fase (A) x (B) x (C) x 4 (D) x Página 19 de 30

Exame 006, 1 a fase 60. Na figura ao lado estão representados: parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e x um triângulo isósceles [OP Q], ( P O = P Q ) em que: O é a origem do referencial; P é um ponto do gráfico de f; Q pertence ao eixo das abcissas. Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não incluídos), ao longo do gráfico de f. O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eixo das abcissas, de tal modo que P O permanece sempre igual a P Q. Seja A a função, de domínio R +, que faz corresponder, à abcissa x do ponto P, a área do triângulo [OP Q]. Mostre que, para cada x R +, se tem A(x) = xe x Exame 006, 1 a fase 61. Indique o número real que é solução da equação e x = 1 e (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 6. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 x) 1 (A) [, 1[ (B) [ 1, [ (C) ], ] (D) [, + [ 63. Na figura abaixo estão representadas, em referencial o. n. xoy: parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e x Teste Intermédio 1 o ano 17.03.006 Teste Intermédio 1 o ano 17.03.006 parte do gráfico da função g, de domínio R, definida por g(x) = ln x (ln designa logaritmo de base e) O ponto A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy e o ponto B é o ponto de interseção do gráfico de g com o eixo Ox. Na figura está também representado um triângulo [CDE]. O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao gráfico de f e o ponto E pertence ao gráfico de g. Sabe-se ainda que: Página 0 de 30

a reta [BD] é paralela ao eixo Oy e a reta [CE] é paralela ao eixo Ox AC = OA Qual é a área do triângulo [CDE]? (A) (e 1) ln (B) (e 1) ln (C) e(e ) (D) e (e ) Teste Intermédio 1 o ano 17.03.006 64. Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares, concluiu que a quantidade de azeite Azeitona do Campo, vendida num mês por essa empresa, depende do preço de venda ao público, de acordo com a função V (x) = e 14 x sendo x o preço de venda ao público, em euros, de 1 litro desse azeite e V (x) a quantidade vendida num mês (medida em litros). A empresa tem um conjunto de despesas (compra ao produtor, empacotamento, publicidade, transportes, etc.) com a compra e a venda do azeite. Sabendo que cada litro de azeite vendido acarreta à empresa uma despesa total de 3 euros, justifique que o lucro mensal da empresa (em euros), resultante da venda do azeite, é dado por L(x) = (x 3)e 14 x Teste Intermédio 1 o ano 17.03.006 65. Considere a função f, de domínio ]0, + [, definida por f(x) = 1 ln x ( ) x 1 Sem recorrer à calculadora, mostre que f = ln ( 4e ) (ln designa logaritmo de base e). Teste Intermédio 1 o ano 17.03.006 66. Com o objectivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de água, durante cinco minutos; passado este tempo, apagou-se o lume e deixou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência. Admita que: neste laboratório, a temperatura ambiente é constante; a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiente; depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiente. Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro funções a, b, c e d, definidas a seguir: 4 t se 0 t 5 1(t + ) se 0 t 5 a(t) = b(t) = 4 10e 0,04(t 5) se t > 5 4 + 70e 0,04(t 5) se t > 5 14(t + 1) se 0 t 5 c(t) = 4 + 60e 0,04(t 5) se t > 5 1(t + ) se 0 t 5 d(t) = 4 + 60e 0,04(t 5) se t > 5 Qual das quatro funções é a correta? Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, explicando a sua inadequação, relativamente à situação descrita. Teste Intermédio 1 o ano 17.03.006 Página 1 de 30

67. O tempo t, medido em anos, que um planeta demora a realizar uma translação completa, em torno do Sol, está relacionado com a distância média, d, desse planeta ao Sol, medida em milhões de quilómetros, por meio da fórmula ln(t) = k + 3 ln(d) (k é uma constante real e ln designa o logaritmo de base e) Sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: 67.1. Sabe-se que: a distância média de Urano ao Sol é (aproximadamente) o dobro da distância média de Saturno ao Sol; o planeta Urano demora (aproximadamente) 84 anos a realizar uma translação completa em torno do Sol. Determine quanto tempo demora o planeta Saturno a realizar uma translação completa em torno do Sol. Apresente o resultado em anos, arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 67.. Sabendo que a distância média da Terra ao Sol é, aproximadamente, de 149,6 milhões de quilómetros, determine o valor de k (apresente o resultado arredondado às unidades). Exame 005, Ép. especial 68. Na figura ao lado está representada a trajetória de uma bola de futebol, depois de ter sido pontapeada por um jogador de da seleção portuguesa, durante um treino de preparação para o EURO-004. Designou-se por a a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontepeada e o ponto onde ela caiu. Considere a função h definida em [0, a] por h(x) = x + 10 ln(1 0, 1x) (ln designa logaritmo de base e) Admita que h(x) é a distância, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua projeção no solo se encontra a x metros do local onde foi pontapeada. Sem utilizar a calculadora, mostre que a taxa de variação média da função h, no intervalo [1, 3] é [ ) ] 5 ln e ( 7 9 Exame 005, a Fase Página de 30

69. Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função f, definida, em ] 1, + [, por f(x) = log (x + 1) Na mesma figura, está também representado um triângulo retângulo [ABO]. O ponto A tem abcissa 3 e pertence ao gráfico de f. O ponto B pertence ao eixo Oy. Qual é a área do triângulo [ABO]? (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 Exame 005, 1 a fase 70. Admita que o número de elementos de uma população de aves, anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por P (t) = 5, 10 7 e (N M)t, t 0, em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, por taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população. No início de 000, a população era metade da que existia no início de 1970. Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56, determine a taxa de mortalidade, sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos. Apresente o resultado arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 005, 1 a Fase 71. Na figura seguinte está parte da representação gráfica da função f, de domínio R +, definida por f(x) = log 3 x. Na figura está também representado um triângulo [P QR]. Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f e as suas abcissas são a e 9a, respetivamente (a designa um número real positivo). O ponto R pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à de Q. Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [P QR]? (A) 9a (B) 9a (C) 9a (D) 9a + 1 Exame 004, Ép. especial 7. Indique o valor de p para o qual se verifica a igualdade log p 16 = 4 (A) 4 (B) 4 (C) (D) Exame 004, a Fase Página 3 de 30

73. Sabe-se que log a = 1 5 Qual é o valor de log ( a 5 8 )? (A) -1 (B) - (C) -3 (D) -4 Exame 004, 1 a Fase 74. Para um certo valor de a e para um certo valor de b, o gráfico da função, de domínio R, definida por f(x) = a + be x, está parcialmente representado na figura ao lado. Tal como a figura sugere, a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f o gráfico de f interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 1 Quais são os valores de a e de b? (A) a = 1 e b = (B) a = 1 e b = 1 (C) a = 1 e b = 1 (D) a = 1 e b = Exame 003, Prova para militares 75. Seja g uma função de domínio A, definida por g(x) = ln(1 x ) Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A? (A) ] e + 1, e 1[ (B) ] 1, 1[ (C) ]0, + [ (D) ], 1[ Exame 003, a fase 76. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por p(t) = 3, 5 + 6, 8 1 + 1, 8e 0,036t (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano 1864). 76.1. De acordo com este modelo, qual foi a população de Portugal Continental no final do ano de 003? Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 76.. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes? Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 003, a Fase Página 4 de 30

77. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10 metros, como se mostra na figura ao lado. Considere a função h definida por A B h(x) = 15 4 ln( x + 10x + 11) (ln designa logaritmo de base e) Admita que h(x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado a x metros à direita da parede A. x h(x) 10 m 77.1. Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 77.. Mostre, analiticamente, que h(5 x) = h(5 + x) Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita. Exame 003, 1 a fase - a chamada 78. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em mg/l de ar, às t horas desse dia, pode ser dado por P (t) = 1 ln(t + 1) t + 1, t [0, 4] (ln designa logaritmo de base e) Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde? Apresente o resultado na unidade considerada, arredondado às décimas e sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 79. Sejam a e b dois números reais positivos. Qual das seguintes igualdades é equivalente a ln a = ln b? Exame 003, 1 a fase - 1 a chamada (A) a + b = 1 (B) a b = 1 (C) a b = 1 (D) a b = 1 Exame 00, Prova para militares 80. Considere as funções f e g de domínio R, definidas por f(x) = 1 3 + e1 x g(x) = sen x cos x Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva a equação f(x) = g(π), apresentando a solução na forma ln(ke), onde k representa um número real positivo. (ln designa logaritmo de base e) Exame 00, a Fase 81. O nível intensidade N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade N = 10 log 10 (10 1 I), para I > 0 Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes. Página 5 de 30

81.1. Verifique que N = 10 + 10 log 10 I 81.. Admita que o nível de ruído de um avião a jato, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis. Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado. Exame 00, 1 a fase - a chamada 8. O gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = 0, 1 + 0, e 0,3x uma única assíntota. Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota? (A) y = 0 (B) y = 0, 1 (C) y = 0, (D) y = 0, 3 Exame 00, 1 a fase - 1 a chamada 83. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por A(t) = 4t 3 e t e C(t) = t 3 e 0,7t A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [0, 1]). Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes. 83.1. Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze depois minutos de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 83.. No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 00, 1 a fase - 1 a chamada 84. A Sofia preparou um pudim, para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confeccionado, a Sofia colocou o pudim a arrefecer, na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico, para ficar bem frio. Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, t minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, para um certo valor de A, por 0 + 80 0,05t, 0 t < 60 f(t) = 6 + A 0,05(t 60), t 60 Quanto tempo deverá o pudim estar no frigorífico, para que a sua temperatura fique igual a doze graus? Apresente o resultado em minutos e utilize métodos exclusivamente analíticos. 85. Considere a equação 3y = log x (x > 0) Qual das seguintes condições é equivalente a esta equação? ( x ) (A) x = 8 y (B) x = 3y (C) y = 9 x (D) y = 3 Exame 001, Prova para militares Exame 001, Ép. especial Página 6 de 30

86. Um petroleiro que navegava no Oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar crude. Admita que, às t horas do dia a seguir ao do acidente, a área, em Km, de crude espalhado pelo oceano é dada por A(t) = 16e 0,1t, (t [0, 4]) A(t + 1) 86.1. Verifique que, para qualquer valor de t, é constante. A(t) Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado às décimas) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita. 86.. Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a sete quilómetros da costa, determine a que horas, do dia seguinte ao do acidente, a mancha de crude atingirá a costa. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 001, a Fase 87. Considere as funções f e g, de domínio R, definidas por f(x) = x e g(x) = 3 x Qual é o conjunto solução da inequação f(x) > g(x)? (A) Conjunto vazio (B) R (C) R + (D) R Exame 001, 1 a fase - a chamada 88. Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso p (em quilogramas) por A(p) = 0, 5 + 0, 55 ln p (ln designa o logaritmo de base e) Recorrendo a métodos analíticos e usando a calculadora para fazer cálculos numéricos, resolva os dois itens seguintes. 88.1. O Ricardo tem 1, 4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 88.. Verifique que, para qualquer valor de p, a diferença A(p) A(p) é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais ) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita. Exame 001, 1 a fase - a chamada 89. Qual das expressões seguintes é, para qualquer número real positivo a, igual a e ln a? (ln designa o logaritmo de base e) (A) a (B) + a (C) a (D) a Exame 001, 1 a fase - 1 a chamada 90. A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra. Admita que a pressão atmosférica P (medida em quilopascal) é dada, em função de h em quilómetros, por P (h) = 101e 0,1h Página 7 de 30

90.1. A montanha mais alta de Portugal é o Pico, na ilha do Pico - Açores. A altitude do cume do Pico é 350 metros. Qual é o valor da pressão atmosférica nesse local? Apresente o resultado em quilopascal, arredondado às unidades. 90.. Determine x tal que, para qualquer h, P (h + x) = 1 P (h). Apresente o resultado arredondado às décimas. Interprete o valor obtido, no contexto do problema. Exame 000, a fase 91. Considere a função f, de domínio R \ {1}, definida por f(x) = ex x 1 Resolva a equação ln [f(x)] = x, recorrendo exclusivamente a processos analíticos (ln designa logaritmo de base e). Exame 000, 1 a fase - a chamada 9. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função f, de domínio R +, definida por f(x) = log 8 x y P é um ponto do gráfico de f que tem ordenada 1 3 Qual é a abcissa do ponto P? (A) 8 3 (B) 1 (C) ln ( ) 8 3 (D) 1 3 f 0 x Exame 000, 1 a fase - 1 a chamada 93. Sejam a, b e c três números reais tais que log a b = c Qual é o valor de log a (ab)? (A) 1 + c (B) a + c (C) ac (D) a + bc Exame 000, Prova modelo 94. Considere uma função f, de domínio R, definida por f(x) = e x+a, onde a designa um certo número real. O gráfico de f interseta o eixo Oy no ponto de ordenada Indique o valor de a. (A) ln (B) (C) e (D) e + ln Exame 000, Prova para militares (prog. antigo) 95. Ao ser lançado, um foguetão é impulsionado pela expulsão dos gases resultantes da queima de combustível numa câmara. Desde o arranque até se esgotar o combustível, a velocidade do foguetão, em quilómetros por segundo, é dada por v(t) = 3 ln(1 0, 005t) 0, 01t (ln designa logaritmo de base e). A variável t designa o tempo, em segundos, após o arranque. A massa inicial do foguetão é de 150 toneladas, das quais 80% correspondem à massa do combustível. Sabendo que o combustível é consumido à taxa de 0,75 toneladas por segundo, justifique que t [0, 160]. Exame 1999, 1 a fase - a chamada (prog. antigo) Página 8 de 30

96. Seja g a função, de domínio R +, definida por g(x) = log (. 3 x) Qual das expressões seguintes também pode definir a função g? (A) + log ( 3 x) (B). log ( 3 x) (C) 3 + log x 3 (D) 1 + log x Exame 1999, Prova modelo (prog. antigo) 97. Um pára-quedista salta de um helicóptero. Ao fim de algum tempo, o pára-quedas abre. Admita que a distância (em metros) a que o pára-quedista se encontra do solo, t segundos após a abertura do pára-quedas, é dada por d(t) = 840 6t + 5e 1,7t Sabendo que, no momento em que o pára-quedista salta do helicóptero, este se encontra a 1500 metros do solo, determine a distância percorrida em queda livre pelo pára-quedista (desde que salta do helicóptero até ao momento da abertura do pára-quedas). Exame 1998, Prova para militares (prog. antigo) 98. A magnitude M de um sismo e a energia total E libertada por esse sismo estão relacionadas pela equação log 10 E = 5, + 1, 44M (a energia E é medida em Joule). 98.1. Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 teve magnitude 8,6. Mostre que a energia total libertada nesse sismo foi aproximadamente 4, 10 17 Joule. 98.. A ponte Vasco da Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja cinco vezes a do terremoto de Lisboa de 1755. Qual é a magnitude de um sismo com essa característica? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas. 99. Seja f a função definida em R + por f(x) = log (8x ) log x 99.1. Mostre que f(x) = 3 + log x, para qualquer x R + Exame 1998, a fase (Prog. antigo) 99.. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação y = 8 Exame 1998, 1 a fase - 1 a chamada (Prog. antigo) 100. Considere a função f, de domínio R +, definida por f(x) = ln(3x) (ln designa logaritmo de base e). Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f? (A) (e, ln 3) (B) (e, 1 + ln 3) (C) (e, e + ln 3) (D) (e, e ln 3) 101. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros. Considere a função f, definida por f(x) = 5 ( e 1 0,1x + e 0,1x 1) x [0, 30] Exame 1998, Prova modelo (prog. antigo) Admita que f(x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita do primeiro poste. Determine a diferença de altura dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 1 o Poste x 30 m f(x) o Poste Página 9 de 30