PRODUÇÃO DE PROVAS EM ARITMÉTICA-ÁLGEBRA POR ALUNOS INICIANTES DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA José Luiz Magalhães de Freitas 1 Departamento de Matemática CCET UFMS Brasil jluiz@dmt.ufms.br Introdução Nesta pesquisa desenvolvemos um estudo, com alunos iniciantes do curso de Licenciatura em Matemática, sobre a produção de provas na resolução de um campo particular de problemas, situado na passagem da Aritmética para a Álgebra. Os dados experimentais da pesquisa foram coletados durante o ano 2002. Dentre os fatores que contribuíram para o desenvolvimento desta pesquisa destacamos os seguintes: - Estudos feitos durante o doutorado (Freitas, 1993) no qual foram estudados processos de prova na passagem da Aritmética para a Álgebra examinando produções de alunos franceses com idade variando entre 13 e 16 anos. - Os conteúdos das disciplinas do curso de Matemática, vêm quase sempre acompanhados de provas e demonstrações, as quais necessitam de freqüentemente do uso de letras, sendo a produção de provas e demonstrações de fundamental importância no aprendizado de conteúdos de Matemática em nível Universitário. - O índice de evasão nos cursos de Matemática, sobretudo na primeira série do curso é muito alto. Um dos fatores que provavelmente contribuem fortemente para esse alto índice de evasão é a deficiente bagagem matemática que os alunos trazem. Acreditamos que conhecendo estes fatores, com maior profundidade, poderemos contribuir significativamente na implementação de mecanismos que visam a melhoria dos cursos de Licenciatura em Matemática. 1 Doutor em Didática da Matemática pela Universidade de Montpellier II (França); Professor do Departamento de Matemática e do Mestrado em Educação da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), onde atua na linha de pesquisa Educação em Ciências, Matemática e Novas Tecnologias.
2 Diante desses fatos, optamos por desenvolver uma pesquisa sobre produções dos alunos, durante a resolução dessa categoria particular de problemas de validação, situados no campo de articulação entre a Aritmética e a Álgebra e concentrar nossa atenção sobre a tipologia de provas produzidas, bem como o tratamento e a conversão de registros de representação semiótica utilizados. Na primeira parte do trabalho realizamos estudos bibliográficos relativos à problemática da passagem da aritmética para a álgebra, no Ensino Fundamental e Médio, concernentes a pesquisas realizadas sobre o tema. Assim, fizemos uma reflexão de natureza epistemológica sobre a origem e evolução do cálculo algébrico; em seguida estudos de natureza teórica sobre o tema e finalizamos com um estudo sobre tipos de provas e registros de representação semiótica, a partir de dados relativos a produções de alunos. Evolução do cálculo algébrico Analisando trabalhos de historiadores e epistemólogos sobre a gênese e evolução do cálculo algébrico somos tentados a dividir em dois períodos antes de Viète (1540-1603) e depois de Viète, pois os trabalhos desse matemático francês e de seus contemporâneos é de fundamental importância, no que concerne ao uso operatório de registros algébricos. Egípcios e babilônios criaram regras para resolver alguns casos de equações, no entanto os documentos por eles deixados, papiros e tabletes, mostram que eles usavam como registro apenas a língua natural e símbolos numéricos, ou seja, uma linguagem essencialmente retórica. Diofante (séc. III d.c.), usou símbolo ς para representar a incógnita, e combinações de outros símbolos para escrever x 2, x 3, x 4,.... De modo geral os registros algébricos, usados por Diofante, eram para economizar e abreviar a escrita, pois não opera com eles. Na realidade, seu discurso não era muito diferente dos egípcios e babilônios. Os indus, apesar de possuírem um sistema de numeração posicional eficiente, operavam pouco com registros simbólicos, embora seja possível encontrar indícios de simbolização, uma gênese do cálculo algébrico, particularmente nas obras de Bhaskara e Brahmagupta. Árabes como Al Kwarizmi (séc. IX), Abu Kamil (séc. X) e Omar Kayyam (séc. XI), entre outros, trazem significativas contribuições para o avanço do cálculo algébrico abstrato. É importante observar que
3 eles utilizavam pouco simbolismo algébrico e apesar disso descobriam fórmulas e realizavam cálculos abstratos. Viète (séc. XVI), apoiando-se em trabalhos anteriores, em particular dos algebristas indus e árabes, dá um grande impulso na terminologia simbólica da Matemática, introduzindo as operações com símbolos e o cálculo algébrico. J. Robinet (1989, p. 9) 2 observa que:... o uso de letras em Álgebra era largamente difundido nessa época, entretanto, antes de Viète o uso de letras em Álgebra parece muito com o da Geometria do tempo dos gregos, isto é, elas servem para denotar objetos, mas não há em seguida, nem revisão, nem reenvio, nenhuma razão para construção, nem operação sobre essa escrita.... Com as notações de Viète aprimoradas por Harriot et Descartes, pode-se dizer o que o cálculo algébrico abstrato consegue seu pleno desenvolvimento; de fato, graças a essa nova escrita, Viète e sobretudo Harriot exprimiram as raízes em função dos coeficientes de uma equação, o que será fundamental para o desenvolvimento posterior da teoria das equações. Observa-se, a partir da análise da evolução histórica do cálculo algébrico, que o uso operatório e abstrato de registros algébricos levou séculos para ser construído e por isso é razoável esperar que a aprendizagem desses conceitos pelos alunos também não seja tarefa das mais fáceis. Tipologia de provas A terminologia usada aqui para explicação, provas, demontrações e raciocínio, será a mesma utilizada por Balacheff (1988). Assim, chamaremos de explicação todo discurso defendido por um indivíduo ou um grupo onde o objetivo é comunicar a outro o caráter de verdade de um enunciado matemático. Provas são explicações aceitas por um grupo dado, num momento dado. Assim uma explicação pode configurar numa prova para um grupo social e não para outro. Demonstrações são provas particulares que são aceitas pela comunidade dos matemáticos e que deve obedecer certas regras lógicas bem definidas. A palavra raciocínio é reservada para a atividade intelectual, a maior parte do tempo não explícita, de processamento de informações que, a partir de dados, produz novas informações. No que concerne à tipologia de provas, Balacheff (op. cit.), em seu trabalho de doutorado, trabalhando com Geometria Combinatória (na verdade, um problema de 2 Tradução feita pelo autor
4 Geometria envolvendo processos de contagem), identificou dois níveis e tipos de provas. A partir desses estudos ele propôs um modelo distinguindo diversos tipos de provas entre aquelas produzidas pelos alunos: empirismo ingênuo, experiência crucial, exemplo genérico e experiência mental (cf. Balacheff op. cit., p. 56-58). Esses quatro tipos de provas, assim hierarquisados, foram redistribuídos por Balacheff segundo duas categorias: provas pragmáticas e provas intelectuais. As provas pragmáticas são aquelas que se baseiam na ação efetiva sobre representações de objetos matemáticos. Por outro lado as provas intelectuais são caracterizadas por se destacarem da ação, se manifestam por meio da linguagem expressa sobre os objetos, suas propriedades e relações. Os quatro tipos de provas foram idenficados a partir dos raciocínios utilisados pelos alunos. No empirismo ingênuo a validade de um enunciado é assegurada após sua verificação sobre alguns casos particulares. A experiência crucial consiste numa experimentação que permite decidir se uma hipótese é verdadeira ou falsa. No exemplo genérico as razões da validade de uma afirmação são explicitadas pela realização de operações ou transformações sobre um objeto examinado, não por ele mesmo, mas enquanto um representante característico de uma classe. A experiência mental caracteriza-se por evocar a ação interiorizando-a e destacando de sua realização sobre um representante particular. Neste trabalho investigamos a reprodução de uma tipologia de provas semelhante à de Balacheff, para o campo de articulação entre a aritmética e a álgebra, por alunos iniciantes do curso de Licenciatura em Matemática. Outro aspecto que analisamos em nossa pesquisa é concernente aos registros de representação semiótica utilizados pelos alunos durante o processo de produção de provas. Registros de representação em problemas de Aritmética-Álgebra Nas produções dos alunos identificamos a presença de registros monofuncionais e multifuncionais. Lembramos que, segundo Duval (2001), registros monofuncionais são os que possuem algoritmos próprios em sua estrutura e multifuncionais aqueles cujos tratamentos não são algoritmizáveis. Em nosso caso os registros multifuncionais têm como representação discursiva a linguagem natural. Eles se manifestam através de associações verbais entre conceitos, ou seja, por meio de raciocínios, que podem ser argumentativos ou dedutivos. Classificamos como
5 raciocínios dedutivos aqueles que se baseiam em definições, propriedades, teoremas..., e respeitam regras básicas da organização do discurso matemático. Os discursos argumentativos se apóiam em concepções e sua estruturação segue os mesmos princípios da linguagem natural. Embora os registros de representação multifuncionais se apresentem também em formas não-discursivas, tais como configurações geométricas e gráficos cartesianos, nos centramos nos discursivos, por serem os únicos dessa natureza presentes em nosso contexto. Como registros monofuncionais temos os sistemas numérico e algébrico. O numérico é concernente às representações numéricas dos inteiros, decimais e fracionárias, enquanto que o algébrico é relativo às expressões literais e equações. A aritmética pode ser considerada como a parte da matemática elementar que trata da resolução de problemas numéricos e que utiliza fundamentalmente números naturais ou números racionais positivos. Os registros aritméticos são constituídos essencialmente da linguagem natural acrescentada de registros envolvendo símbolos e cálculos numéricos. Por esse fato, o conhecimento aritmético é basicamente um conhecimento oral pois a resolução aritmética de problemas é expressa por algumas frases e operações com números. A álgebra pode ser definida uma linguagem que permite escrever relações entre quantidades conhecidas e desconhecidas e para isso se faz uso de expressões literais e do cálculo algébrico. Enquanto na aritmética se trabalha com quantidades conhecidas, caminhando do conhecido para o desconhecido, na álgebra se busca encontrar relações entre quantidades, sejam elas conhecidas ou não e nela a linguagem natural cede espaço para a linguagem algébrica. Embora existam símbolos que sejam comuns, tanto na aritmética quanto na álgebra, é possível identificar rupturas na passagem da aritmética para a álgebra, tais como: - prioridade ao uso da linguagem formal em detrimento da linguagem natural, onde os problemas deixam de ser tratados intuitivamente. - introdução de conceitos matemáticos novos como equações, incógnitas, variáveis ou as funções. - a forma de raciocinar sobre os objetos da aritmética e os da álgebra possuem um outro nível de generalidade. Nos registros algébricos, as letras podem ter estatutos diferentes dependendo da forma como é utilizada. Na classe de problemas, situados na passagem da Aritmética para a Álgebra, retomamos classificações feitas por Lombard (1991) e por Kücherman
6 (in Azarquiel, 1993). Considerando as possibilidades de utilisação de letras na nossa classe de problemas nós consideramos quatro estatutos para a letra: etiqueta, incógnita, indeterminada e variável. - Etiqueta: A letra é empregada como etiqueta quando ela denota algum objeto. É um pouco como se utilisa em Geometria para representar, por exemplo, os vértices de um polígono. - Incógnita: A letra é representante de um número desconhecido, por exemplo, durante a fase de colocação na forma de equação a letra é pensada como um número fixo e preciso. Esse número é designado provisoriamente por uma letra porque não se conhece o seu valor. - Indeterminada: Neste caso, a letra poderia representar vários números. A partir do momento em que a equação é escrita, a letra adquire autonomia com relação ao enunciado, ela adquire então o status de indeterminada. - Variável: Assume valores num conjunto específico e estabelece uma relação entre dois conjuntos. Nesse caso, o cálculo não tem mais um fim em si - ele está a serviço de uma função. Neste trabalho nos apoiamos no modelo teórico de Duval (2001) para analisar dois tipos diferentes de transformações de representações semióticas, denominadas por ele de tratamento e conversão. Lembramos que um tratamento é uma transformação que permanece no mesmo sistema, isto é, no interior do mesmo registro. Em nosso caso os dois principais tipos de tratamentos que encontramos são a realização de cálculos sem mudar o sistema de representação numérica e também os cálculos literais no sistema de representação algébrico. Uma conversão ocorre quando há mudança de registro, mas permanece a referência aos mesmos objetos. Nas provas produzidas ela se manifesta na passagem de um enunciado na linguagem natural para uma escrita literal ou algébrica ou também entre os registros algébrico e numérico. Duval (2001) observa que, embora do ponto de vista matemático a conversão não desempenhe papel tão importante, do ponto de vista cognitivo a atividade de conversão é fundamental e conduz a mecanismos subjacentes de compreensão. A originalidade da atividade matemática está na possibilidade de mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo ou de mudar, a cada momento, de registro de representação. No que concerne à organização do discurso Duval identifica diferenças na forma de estruturação entre o discurso argumentativo e o dedutivo. Ele observa que, no
7 discurso argumentativo, há um encadeamento semântico no qual as afirmações vão sendo agrupadas, sem a necessidade de seguir regras fixas predefinidas. No entanto, no discurso dedutivo, não se pode passar de uma afirmação para outra sem fazer referência às regras (definições, teoremas etc.). Cada passagem da seqüência dedutiva deve ser justificada. Parte Experimental A população: 45 alunos do primeiro e segundo ano do curso de Licenciatura em Matemática. Os problemas: Constituiu-se do conjunto constituído pelas três atividades seguintes: ATIVIDADE 1 Para cada uma das afirmações abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e apresentar justificativa detalhada para cada resposta: - A soma de um número inteiro para com um n úmero inteiro ímpar é sempre um número inteiro ímpar. - Se o quociente de dois números naturais é igual a 1 (um) então a diferença entre eles é igual a 0 (zero). ATIVIDADE 2 Se a e b são números inteiros dizemos que a é múltiplo de b se existir um inteiro k tal que a = kb. Nesse caso diz-se também que b é divisor de a ou que b divide a. A partir da definição acima dizer se cada uma das questões abaixo é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta. - Se m é um inteiro múltiplo de 6 então m é múltiplo de 3. - Se m é um inteiro múltiplo de 3 então m é múltiplo de 6. - A soma de três números inteiros consecutivos é sempre um múltiplo de 3. ATIVIDADE 3 Para cada uma das afirmações abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e apresentar justificativa para cada resposta: - É possível encontrar cinco números inteiros ímpares cuja soma seja igual a 20.
8 - É possível encontrar três números inteiros consecutivos de tal forma que o quadrado do segundo seja igual ao produto dos outros dois. - Se um número inteiro é da forma 6k + 5, onde k é um número inteiro, então ele sempre pode ser escrito na forma 12m + 11, onde m é um número inteiro. O desenvolvimento experimental: A execução do experimento foi realizada em classe, fora do horário normal de aula. As atividades foram desenvolvidas individualmente pelos alunos que dispunham de um tempo de aproximadamente duas horas. Eles foram orientados a não utilizar rascunho e a explicitar por escrito os cálculos e os passos utilizados na resolução de cada atividade, nos espaços deixado nas folhas que lhes foram entregues pelo pesquisador. Resultados encontrados Devemos mencionar que nós observamos a produção dos dois níveis de provas encontrados por Balacheff: pragmático e intelectual. No entanto, a tipologia mais refinada desses níveis de prova, propostos por esse autor, não é adequada à nossa situação. A tipologia de prova encontrada é, de modo geral, próxima daquela identificada pelo autor, em seu trabalho de doutorado (Freitas, 1993), no qual foram estudados processos de prova na passagem da Aritmética para a Álgebra examinando produções de alunos franceses com idade variando entre 13 e 16 anos. De maneira mais precisa, ao contrário de Balacheff, nós encontramos um só tipo de prova pragmática, enquanto que as provas de nível intelectual são mais diversificadas que a do modelo proposto pelo autor citado. A partir de nossos dados experimentais nós observamos uma tipologia segundo três classes: a primeira remetendo ao nível pragmático e as duas outras de nível intelectual. Na categoria pragmática, encontramos um só tipo, que classificamos como empirismo ingênuo. Por outro lado, nós fomos levados a distinguir dois tipos de provas intelectuais relativamente ao campo da Aritmética-Álgebra: a prova por enunciados e a prova algébrica. Esta distinção foi feita levando em conta de um lado a linguagem empregada (linguagem natural versus linguagem algébrica), de outro o funcionamento mental empregado: num primeiro modo, na prova por enunciados, organização dedutiva das proposições, n outro, na prova algébrica, o emprego de códigos simbólicos visando atingir relações gerais.
9 As provas pragmáticas: São aquelas que se apóiam sobre tentativas numéricas que nós assimilamos, de qualquer modo, à realização de experiências. Todas aquelas que nós observamos se enquadram no empirismo ingênuo, pois o aluno fundamenta sua convicção após a verificação de alguns casos. A título de exemplo, para o problema: ( ) É possível encontrar três números inteiros consecutivos de tal forma que o quadrado do segundo seja igual ao produto dos outros dois. Solução apresentada por um aluno: Não, porque sempre vai faltar uma unidade para que o produto do primeiro e do terceiro número seja igual ao quadro do segundo. Por exemplo: 9, 10, 11 10 2 = 100 9x11 = 99 Enquanto que para certos alunos o empirismo tem valor de prova (e somente neste caso nós falamos de prova pragmática), para outros este tipo de procedimento constitui somente um meio de descoberta da conjectura. É claramente o caso de alunos que, após uma fase de tentativas empíricas (ensaios numéricos sucessivos), elaboram uma prova por enunciados. As provas por enunciados: Nós designamos assim as provas de nível intelectual que consistem em organizar diversas proposições em linguagem natural, cada uma dessas proposições elementares sendo consideradas como verdadeiras pelo sujeito. São construções intelectuais fundamentais em teorias, em geral não formalizadas e algumas vezes não completamente explicitadas. Na operação que consiste em organizar enunciados em linguagem natural, o raciocínio do aluno se apóia em proposições que podem ter status e valores epistêmicos diferentes. Como ilustração, apresentamos abaixo uma prova desse tipo produzida por um aluno: Problema: ( ) É possível encontrar cinco números inteiros ímpares cuja soma seja igual a 20. Resposta do aluno:... A soma de ímpar com ímpar é par, a soma de par com ímpar é ímpar, a soma de ímpar com ímpar é par e a soma de par com ímpar é ímpar. O resultado da soma seria um número ímpar e como 20 é par, então fica justificado a impossibilidade da afirmação.
10 Nesse caso não foram apresentados registros numéricos, embora o aluno possa ter feito mentalmente antes da produção dessa prova. Por isso, neste caso não foi possível identificar a conversão de registros numéricos para a linguagem natural. Nessa prova as propriedades necessárias para a conclusão foram explicitadas e por isso, nessa variante de prova por enunciados, encontramos uma seqüência dedutiva sem enunciados implícitos. As provas algébricas: São as provas de nível intelectual que consistem em validar as proposições pela utilização da linguagem algébrica. Para produzir esse tipo de prova, os alunos utilizam o cálculo literal e suas propriedades, atribuindo freqüentemente à letra seu status o mais geral, aquele de variável. Apresentamos a seguir um exemplo de uma prova desse tipo, produzida por um aluno: Problema: É possível encontrar três números inteiros consecutivos de tal forma que o quadrado do segundo seja igual ao produto dos outros dois. Solução de um aluno: Observe que se fosse possível teríamos que ter (n+1) 2 = n.(n+2). Resolvendo a equação: n 2 + 2n + 1 = n 2 + 2n n 2 + 2n - n 2 2n + 1 = 0 0 + 1 = 0 1 = 0 O que é absurdo. Logo a afirmação é falsa. Nessa prova podemos perceber que o aluno, além de possuir um bom domínio desse tipo de linguagem algébrica, mostrou também ter conhecimento sobre prova indireta, também chamada de prova por absurdo. Nossa experimentação mostrou que, de modo geral, a produção de uma prova algébrica é precedida de cálculos mentais, escritos e da formulação de enunciados. Observamos ainda que vários alunos, mesmo após terem produzido uma prova por enunciados, continuavam procurando provar (algebricamente). Esse tipo de procedimento sinalisa que, para esses alunos, a prova algébrica é mais valorizada.
11 Conclusões Observamos que, embora a população de alunos e a metodologia de pesquisa empregada fossem diferentes daqueles pesquisados no trabalho de doutorado, os resultados encontrados no que concerne à tipologia de provas e registro de representação semiótica utilisados (Freitas, 2003) são bastante parecidos. Nas produções dos alunos iniciantes do curso de licenciatura, observamos tanto provas do tipo pragmáticas quanto intelectual; entretanto, nós pudemos constatar que na produção dessas provas, as conversões de registros foram freqüentes. Essas conversões estiveram associadas a oscilações entre momentos de pesquisa e de validação e também a mudanças entre níveis de prova. Relativamente ao campo da Aritmética-Álgebra nós distinguimos dois tipos de provas intelectuais: a prova por enunciados e a prova algébrica. A distinção foi feita levando em conta de um lado os tipos de registros de representação empregados pelos alunos (linguagem natural versus linguagem algébrica e linguagem numérica versus linguagem algébrica). Nessa identificação consideramos também as transformações de registros realizadas: num primeiro momento, na prova por enunciados, visando organizar a forma dedutiva das proposições, em outro, na prova algébrica, procurando por meio do emprego de códigos simbólicos atingir relações gerais. Nas duas categorias de provas, pragmáticas e intelectuais, produzidas pelos alunos, observamos tanto tratamentos de registros, quanto conversões entre três tipos de registros de representação: linguagem natural, numérica e algébrica. Percebemos que a atividade de validação é indissociável do registro utilizado, ou seja, que as provas produzidas pelo aluno dependem tanto do seu domínio sobre o registro de representação quanto do nível de conhecimento sobre o conteúdo representado. Observamos que, de modo geral, os alunos iniciam a resolução do problema operando registros numéricos. Após alguma descoberta tentam validar por meio de algum tratamento mais elaborado, seja em linguagem natural ou usando registros algébricos. Nesse caso as conversões de registros são formas de buscar instrumentos para validar conjecturas que eles identificam e que consideram plausíveis. A experimentação mostrou que a produção de prova algébrica é, em geral, precedida de provas por enunciados. Nossas observações mostraram que esse tipo de prova não apresenta as qualidades de prova suficientes para serem aceitas como tais
12 pelos alunos, pois os mesmos continuavam procurando provar algebricamente mesmo após terem produzido uma prova por enunciados. Como continuidade desta pesquisa estamos elaborando outras experimentações a serem aplicadas em alunos do Ensino Médio e de início de Licenciatura em Matemática, com o objetivo de investigar com maior profundidade concepções empregadas na resolução dessa classe de problemas situados na passagem da Aritmética para a Álgebra. Esta previsto também a elboração de seqüências didáticas para a aprendizagem de conceitos algébricos. Essa ampliação dos estudos, sobre processos de validação na aprendizagem de álgebra, está sendo desenvolvida juntamente com a equipe Did@TIC IMAG França, com o auxílio de ambientes informatisados, em particular do software educacional Aplusix. Palavras-chave: Provas, Registros de Representação, Aritmética-Álgebra
13 Referências bibliográficas AZARQUIEL, Grupo. Ideas y actividades para enseñar algebra. Madrid : Editorial Syntesis S.A, 1993. BALACHEFF, N. Une étude des processus de preuve en mathématique chez des élèves de collège. Thèse, Université J. Fourier, Grenoble, França, 1988. DUVAL R., EGRET M. A. L organisation déductive du discours, Annales de didactique et de Sciences Cognitives, 2, pp. 25-49, França : publicação do IREM de Strasbourg, 1989. DUVAL, R. Registres de représentations sémiotiques et fonctionnement cognitif de la compréhension en Mathématiques, Strasbourg, França : texto mimeo, 2001. LOMBARD P. A propos des nouveaux programmes. REPÈRES-IREM No. 2 Grenoble: Topiques Editions, 1991. FREITAS, J.L.M. L activité de validation lors du passage de l arithmétique à l algèbre : Une étude des types de preuves produits par des élèves de collège et lycée. Tese de doutorado. Universidade Montpellier II, França, 1993. FREITAS, J. L. M. Registros de representação na produção de provas na passagem da aritmética para a álgebra. In : Aprendizagem em Matemática : registros de representação semiótica. Silvia Dias Alcântara Machado (org.). São Paulo: Papirus, 2003. ROBINET J. Cahiers DIDIREM Didactique des Mathématiques. Université Paris VII. Paris, França, 1989.