Unesp Universidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA

Unesp Universidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ MBA-PRO ESTATÍSTICA PARA A TOMADA DE DECISÃO Prof. Dr. Messias Borges Silva e Prof. M.Sc. Leandro Valim de Freitas GUARATINGUETÁ, SP Setembro de 2013

Prof. Dr. Messias Borges Silva Engenheiro Industrial Químico (EEL-USP-FAENQUIL) Certified Quality Engineer (American Society for Quality-USA) Pós-graduado em Ciências Térmicas (ITA) Pós-graduado em Qualidade (USJT) Mestre em Engenharia Mecânica (UNESP) Doutor em Engenharia Química (UNICAMP) Livre Docente em Engenharia da Qualidade (UNESP) Esp. em Design of Experiments, Lean Enterprise, Lean Product Development (Massachusetts Institute of Technology-MIT-USA) Editor Chefe do livro Design of Experiments: Applications Pesquisador Visitante da Harvard University (HARVARD-USA) Professor da UNESP, USP e Ex-Diretor Geral da EEL-USP-FAENQUIL Coordenador do Curso de Pós-graduação em Engenharia da Qualidade da EEL-USP Consultor de empresas Prof. M.Sc. Leandro Valim de Freitas Engenheiro Químico (EEL-USP) Esp. em Design of Experiments (Massachusetts Institute of Technology-MIT-USA) Pós-graduado em MBA Gestão da Produção (UNESP) Mestre em Engenharia de Produção (UNESP) Doutorando em Engenharia de Produção (UNNESP) Editor Chefe do livro Multivariate Analysis in Management, Engineering and the Sciences Um dos autores dos livros Fuel Injection in Automotive Engineering e Design of Experiments: Applications Membro do Conselho Editorial do International Journal of Engineering Business Management, International Journal of Manufacturing, Materials and Mechanical Engineering, International Journal of Applied Management Sciences and Engineering e Independent Journal of Management & Production Concursado na PETROBRAS há 7 anos onde tem atuado como Supervisor de Otimização e Desenvolvimento de Produtos, Auditor Interno e Fiscal de Contratos Professor Convidado de MBA da UNESP e Instituto de Pós-graduação IPOG Instrutor de empresas na área de DOE 2

Capítulo 1: Uma breve revisão de Estatística Descritiva Fonte: Pedro Paulo Balestrassi (UNIFEI) A essência da ciência é a observação. A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais é denominada de Estatística, um ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status. 1.1 Grandes Áreas O diagrama seguinte mostra o contexto em que se situa o estudo da Estatística, aqui subdividido em Estatística Descritiva e Estatística Indutiva (ou Inferencial). A Estatística Descritiva está relacionada com a organização e descrição de dados associada a cálculos de médias, variâncias, estudo de gráficos, tabelas, etc. É a parte mais conhecida. A Estatística Indutiva é o objetivo básico da ciência. A ela está associada, Estimação de Parâmetros, Testes de Hipóteses, Modelamento, etc. No Cálculo de Probabilidades, está a essência dos modelos Não-Determinísticos e a corroboração de que toda inferência estatística está sujeita a erros. A Amostragem é o ponto de partida (na prática) para todo um Estudo Estatístico. Aqui pode se ter origem um problema bastante comum em Engenharia: Análise profunda sobre dados superficiais! 1.2 Medidas Estatísticas As principais medidas estatísticas (ou simplesmente estatísticas) referem-se às medidas de posição (locação ou tendência central) ou às medidas de dispersão (ou variabilidade): 3

1.2.1 Medidas de Posição Mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a agrupar-se com maior ou menor freqüência. * Média Aritmética simples (x ) x x x x n x i n 1 2 n 1 n i Usada em dados não agrupados em classes. * Média Aritmética ponderada (também x ) x x1 p1 x2 p2 xn p p p p 1 2 n n n i 1 n i1 x p i p i i onde, p i = peso da amostra x i Agora, para dados agrupados em classes, temos: n xi ni n i1 1 x n xi ni n i n i1 i n 1 i1 A média aritmética simples pode ser vista como a média ponderada com todos os pesos iguais. Para efeito de nomenclatura sempre trataremos a média aritmética simples ou ponderada simplesmente por média (x ). * Mediana (~ x ) É o valor do meio de um conjunto de dados, quando os dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. Para dados não agrupados em classes: x f i i Se n é ímpar ~ x n 1 termo 2 o 4

Se n é par ~ x nn o termo 1 termo 2 2 2 o Ex.: * Média Mediana 35, 36, 37, 38, 40, 40, 41, 43, 46 x~ 40 15 16 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 ~ x 15, 5 2 A média é muito sensível a valores extremos de um conjunto de observações, enquanto a mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos ou muito baixos. A mediana é mais robusta do que a média. Devemos preferir a mediana como medida sintetizadora quando o histograma do conjunto de valores é assimétrico, isto é, quando há predominância de valores elevados em uma das caudas. Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 } x 345, 7 ~ x 300 Tanto x como ~ x são boas medidas de posição. Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 } x = 601 ~ x = 300 Devido ao valor 2300, ~ x é preferível a x. * A Média Aparada É obtida eliminando do conjunto as m maiores e as m menores observações. Geralmente, 2,5% m 5% dos dados. Esta eliminação corresponde, na realidade, à supressão dos valores extremos - muito altos ou muito baixos. Tal média representa um valor entre x e ~ x. Ex.: {200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300} 250 250 300 450 460 x( m 1) 342 5 * A moda e a classe modal (m o ) 5

É o valor que representa a maior freqüência em um conjunto de observações individuais. Para dados agrupados temos a classe modal. Em alguns casos pode haver mais de uma moda. Assim temos uma distribuição bimodal, trimodal, etc. Ex.: m o x X x i n i 10 20 15 2 20 30 25 4 30 40 35 10 Classe Modal 40 50 45 6 50 60 55 2 Distribuição Bimodal m o I m o II x Obs.: A moda geralmente não é fornecida em calculadoras. 1.2.2 Medidas de Dispersão ou Variabilidade Quase nunca uma única medida é suficiente para descrever de modo satisfatório um conjunto de dados. Torna-se então necessário estabelecer medidas que indiquem o grau de dispersão em relação ao valor central. Nos seguintes conjuntos de dados, por exemplo: A = { 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 5, 5, 5, 5 } D = { 3, 5, 5, 7 } E = { 3.5, 5, 6.5 } 6

Temos em todos eles a mesma média. A identificação de cada um desses conjuntos de dados pela sua média nada informa sobre as diferentes variabilidades dos mesmas. Algumas medidas que sintetizam essa variabilidade são: * Amplitude (R): Como anteriormente definida, R tem o inconveniente de levar em conta somente os dois valores extremos, o maior e o menor deles. * Desvio Médio (DM(x)), Variância (S 2,Var(X) ou 2 ) e Desvio Padrão (S,DP(X) ou ): Aqui o princípio básico é analisar os desvios das observações em relação à média das observações. Em A = {3, 4, 5, 6, 7}, por exemplo, os desvios x i - x são: -2, -1, 0, 1, 2. É fácil ver que a soma dos desvios, é identicamente nula e que portanto não serve como medida de dispersão: n i 1 n ( x x) x x n x n x 0 1 i 1 1 n i 1 Duas opções para analisar os desvios das observações são: a) considerar o total dos desvios em valor absoluto ou; b) considerar o total dos quadrados dos desvios. Assim, para o conjunto A, teríamos, respectivamente: 5 i 1 x i x 2 1 0 1 2 6 e 5 i 1 x i 2 x 4 1 0 1 4 10 Associando estas medidas à média, temos: DM(x)= n i 1 x i n x que é o desvio médio. n xi x S 2 = i 1 n 2 que é a variância ( Var(x)) 7

Sendo a variância uma medida que expressa um desvio quadrático médio, é conveniente usar uma medida que expresse a mesma unidade dos dados originais. Tal medida é o desvio padrão S (ou DP(x)), dada por: S S 2 O uso do DM(x) pode causar dificuldades quando comparamos conjuntos de dados com número diferentes de observações. Ex.: Em A = { 3, 4, 5, 6, 7 } temos: DM(x) = 6/5 = 1.2 e S 2 = 10/5 = 2 Em D = { 3, 5, 5, 7 } temos: DM(x) = 1,0 S 2 = 2,0 e Assim, podemos dizer que, segundo o Desvio Médio, o Grupo D é mais homogêneo (tem menor dispersão) do que A, enquanto que ambos tem a mesma homogeneidade segundo a variância. O desvio médio possui pequena utilização em estatística e em geral vale 0.8 vezes o desvio padrão O cálculo do desvio padrão exige o cálculo prévio da variância e uma fórmula alternativa para S 2 é dada por: S 2 n i 1 x i n x 2 n 2 xi i 1 2 n x Relacionados à inferência estatística, alguns autores usam (n - 1) como divisor para a variância: S 2 n i 1 x i x 2, e isto será visto adiante (tendenciosidade). n 1 Obs.: Muitas calculadoras científicas possuem duas medidas para desvio padrão. Uma associada à divisão por n (simbolizada geralmente por ou n ) e outra associada à divisão por n - 1 (simbolizada geralmente por S ou n-1 ). Verifique a simbologia usada pela sua calculadora, caso você possua uma! Para dados agrupados em classes, a variância é dada por: 8

S 2 K x x n i i i 1 2 n 2 ou K S x x f i 1 i 2 i É intuitivamente claro que a multiplicação de cada parcela (x i - x ) 2 por n i significa a repetição dos desvios quadrados (x i - x ) 2, n i vezes. 1.3 Histogramas Fonte: Messias Borges Silva Os dados obtidos de uma amostra servem como base para a decisão sobre uma população. Quanto maior for o tamanho da amostra maior será a informação sobre a população. Mas à medida que aumenta o tamanho da amostra fica difícil o entendimento da população, se estes dados estiverem dispostos apenas em uma tabela. Para facilitar então o entendimento, construímos o histograma, que permitirá entender a população de forma objetiva. 1.3.1 Como construir Histogramas a) Construção da Tabela de Freqüências. Exemplo: A Tabela 1 mostra as medidas de ph de 90 amostras de uma solução ácida. Construir o histograma desses dados. 9

Tabela 1. Medidas de ph de 90 amostras de solução ácida Nº amostra ph medido 1 10 2,510 2,517 2,522 2,522 2,510 2,511 2,519 2,532 2,543 2,525 11 20 2,527 2,536 2,506 2,541 2,512 2,515 2,521 2,536 2,529 2,524 21 30 2,529 2,523 2,523 2,523 2,519 2,528 2,543 2,538 2,518 2,534 31 40 2,520 2,514 2,512 2,534 2,526 2,530 2,532 2,526 2,523 2,520 41 50 2,535 2,523 2,526 2,525 2,532 2,522 2,502 2,530 2,522 2,514 51 60 2,533 2,510 2,542 2,524 2,530 2,521 2,522 2,535 2,540 2,528 61 70 2,525 2,515 2,520 2,519 2,526 2,527 2,522 2,542 2,540 2,528 71 80 2,531 2,545 2,524 2,522 2,520 2,519 2,519 2,529 2,522 2,513 81 90 2,518 2,527 2,511 2,519 2,531 2,527 2,529 2,528 2,519 2,521 10

Nº amostra ph medido Máximo Valor Linha Mínimo Valor da Linha 1 10 2,510 2,517 2,522 2,522 2,510 2,511 2,519 2,532 2,543 2,525 2,543 2,510 11 20 2,527 2,536 2,506 2,541 2,512 2,515 2,521 2,536 2,529 2,524 2,541 2,506 21 30 2,529 2,523 2,523 2,523 2,519 2,528 2,543 2,538 2,518 2,534 2,543 2,518 31 40 2,520 2,514 2,512 2,534 2,526 2,530 2,532 2,526 2,523 2,520 2,534 2,512 41 50 2,535 2,523 2,526 2,525 2,532 2,522 2,502 2,530 2,522 2,514 2,535 2,502 51 60 2,533 2,510 2,542 2,524 2,530 2,521 2,522 2,535 2,540 2,528 2,542 2,510 61 70 2,525 2,515 2,520 2,519 2,526 2,527 2,522 2,542 2,540 2,528 2,542 2,515 71 80 2,531 2,545 2,524 2,522 2,520 2,519 2,519 2,529 2,522 2,513 2,485 2,513 81 90 2,518 2,527 2,511 2,519 2,531 2,527 2,529 2,528 2,519 2,521 2,531 2,511 Maior Valor 2,545 Menor Valor 2,502 11

Passo 1: Calcular a Amplitude de R. R = Maior valor Menor valor R = 2,545-2.502 R = 0,043 Passo 2: Determinação dos intervalos de classe: No exemplo: 0,043 + 0,002 = 21,5 22 intervalos 0,043 + 0,005 = 8,6 9 intervalos 0,043 + 0,01 = 4,3 4 intervalos Portanto o intervalo de classe determinado é 0,005 Passo 3 : Preparação da tabela de freqüência Nesta tabela teremos as classes, ponto médio, nº de observações, freqüência, etc. 12

Passo 4: Determinação dos Extremos de cada classe. Primeiro determine o menor valor da 1ª classe e adicione o valor calculado do intervalo de classe(no exemplo 0,005). Então o intervalo da 1ª classe fica entre 2,5005 e 2,5055 de forma que a classe inclui o menor valor 2,502. O intervalo da 2ª classe fica entre 2,5055 e 2,5105 e assim por diante. Registrar esses intervalos na tabela. Passo 5: Cálculo do ponto médio da classe. Ponto médio = Soma do valor superior e inferior da classe 2 Ponto médio 1ª classe = 2,5005 + 2,5055 = 2,503 2 Ponto médio 2ª classe = 2,5055 + 2,5105 = 2,508 2 Passo 6: Obtenção da Freqüência Verificar os valores observados dentro dos intervalos registrando o número de vezes em que este valor apareceu. Registrar os valores na tabela (vide tabela anterior). 1.3.2 Como construir graficamente o Histograma Passo 1: Numa tabela quadrada, marcar no eixo vertical do lado esquerdo, a freqüência de observações e do lado direito a porcentagem. No eixo horizontal os intervalos de classes. Passo 2: Em cada intervalo de classe, levantar um retângulo (barra) correspondente à freqüência de classes. Passo 3: Nos espaços em branco, registrar dados informativos: tamanho de amostra, média, desvio padrão. 13

14

1.3.3 Tipos de Histogramas a) Geral (simétrico) b) Combinado (Multi-modal) c) Positivamente desviado d) Precipício à esquerda e) Platô f) 2 Picos (Bimodal) 15

g) Pico Isolado 1.3.4 Interpretação do Histograma a) Geral (simétrico): O valor médio do histograma está enquadrado no centro da amplitude dos dados. A freqüência é maior no centro e torna-se gradualmente menor à medida que nos aproximamos dos extremos. Obs. Este tipo é o que aparece na maior parte dos casos. b) Combinado (multi-modal): Muitas classes possuem uma freqüência baixa. Obs. Este tipo ocorre quando o número de unidades de dados incluídos nas classes varia de classe ou quando existe uma tendência particular em função do arredondamento dos dados. c) Positivamente Desviada (Negativamente Desviada): O valor médio histograma está localizado do lado esquerdo (direito) do centro da amplitude. A freqüência diminui um tanto abruptamente em direção ao lado esquerdo (direito). É assimétrica. d) Precipício à esquerda (Precipício à direita): O valor médio de histograma está localizado longe do lado esquerda (direito) do centro da amplitude. A freqüência diminui abruptamente do lado esquerdo e brandamente segue em direção ao lado direito (esquerdo). É assimétrica. Obs. Este tipo ocorre frequentemente quando 100% da classificação é feita com dados de processo de baixa capabilidade. e) Platô: A freqüência em cada classe forma um platô pelo fato das classes possuirem mais ou menos a mesma freqüência exceto para aqueles que estão no final. Obs. Este tipo ocorre com mistura de diversas distribuições possuindo valores diferentes de médias. f) Dois Picos (Bimodal): A freqüência é baixa no centro da amplitude dos dados e existe um pico de cada lado. Obs. Este tipo ocorre quando duas distribuições com diferentes valores de médias são misturados. g) Pico Isolado: Existe um pequeno pico isolado em adição ao tipo geral. Obs. Este caso aparece quando existem pequenas inclusões de dados oriundos de diferentes distribuições, 16

como no caso de anormalidade no processo, erro de medida ou inclusão de dados oriundos de diferentes processos. 1.3.5 Comparando Histogramas com Limites de Especificação Se existe uma especificação devemos levantar linhas dos limites superior e inferior de especificação (LSE) e (LIE) no histograma para comparar a distribuição com a especificação. A partir daí verificar se o histograma está bem localizado dentro dos limites. Casos típicos: 1) Histograma satisfaz as especificações a) Manter a presente situação, desde que o histograma satisfaça amplamente as especificações. b) A especificação é satisfeita, mas não há margem de segurança. Portanto, é melhor reduzir a variação. 17

2) Histograma não satisfaz as especificações c) É necessário tomar as medidas para trazer a média para o centro da especificação. d) Este requer ação para reduzir a variação. e) Tomar as medidas descritas em c e d. 18

Capítulo 2: Projeto de Experimentos Projeto de Experimentos (DOE, Design of Experiments), ferramenta que vem sendo utilizada para verificar o funcionamento de sistemas ou processos produtivos, permitindo melhoria destes, redução na variabilidade, e conformidade próxima do resultado desejado, além de redução no tempo de processo e, consequentemente, nos custos operacionais. Podemos, brevemente, citar alguns benefícios do DOE: Larga aplicação em todas as áreas; Mostra as variáveis mais importantes do processo; Permite otimização; Requer menor número de experimentos que os métodos convencionais; Maior controle dos processos; Redução significante dos custos; Redução no tempo de desenvolvimento de um produto; Redução na variabilidade dos produtos e maior aproximação com os requisitos exigidos pelos clientes; As etapas do DOE são divididas em: Planejamento; Execução dos experimentos; Análise dos dados; Experimento de confirmação; Conclusão. 2.1 Definições Experimento: Um conjunto planejado de operações com o objetivo de descobrir novos fatos ou confirmar ou negar resultados de investigações anteriores. 19

Fator: (Variável independente) Um fator é uma das variáveis controladas ou não, que exercem influência sobre a resposta que está sendo estudada no experimento. Um fator pode ser quantitativo, isto é, a temperatura em graus, o tempo em segundos. Um fator pode, também, por exemplo, ser qualitativo, ter diferentes máquinas, diferentes operadores, interruptor ligado ou desligado, catalisador A ou B. Nível: Os Níveis de um fator são os valores do fator examinado no experimento. Para os fatores quantitativos, cada valor escolhido constituiu um nível, isto é, se o experimento deve ser conduzido em quatro temperaturas diferentes, então o fator temperatura possuiu quatro níveis. No caso dos fatores qualitativos, o interruptor ligado ou desligado representa dois níveis para o fator interruptor; caso estejam sendo utilizadas seis máquinas por três operadores, então o fator máquina tem seis níveis, enquanto o fator operador tem três níveis. Tratamento: Um Tratamento é um nível atribuído a um fator único durante um experimento, por exemplo, a temperatura a 800 graus. Uma combinação de tratamento é o conjunto de níveis para todos os fatores num dado experimento. Por exemplo, um experimento utilizando temperatura de 800 graus, máquina 3, operador A, e interruptor desligado constituir-se-ia numa combinação de tratamento. Unidades Experimentais: As Unidades Experimentais consistem em objetos, materiais ou unidades aos quais se aplicam os tratamentos. Podem ser entidades biológicas, materiais naturais, produtos manufaturados etc. Ambiente Experimental: O Ambiente Experimental compreende as condições ambientais que podem vir a influenciar os resultados do experimento de modo conhecido ou desconhecido. Delineamento de Experimento: O plano formal para a condução do experimento é chamado delineamento de experimento ou modelo experimental. Ele inclui a escolha de respostas, fatores, níveis, blocos e tratamentos, além da utilização de determinadas ferramentas chamadas agrupamento planejado, aleatorização e replicação. Aleatorização: A seqüência de experimentos e/ou a atribuição de amostras a diferentes combinações de tratamento de maneira puramente casual é denominada Aleatorização. Tal atribuição aumenta a probabilidade de que o feito de variáveis incontroláveis seja eliminado. 20

Também aprimora a validade das estimativas da variância dos erros experimentais e torna possível a aplicação de testes estatístico de significância, além de construção de intervalos de confiança. Sempre que possível, a aleatorização deve fazer parte do experimento. Replicação: A Replicação é a repetição de uma observação ou medição de forma a aumentar a precisão ou fornecer os meios para medir a precisão. Uma replicação única consiste de uma única observação ou realização do experimento. Proporciona uma oportunidade para que se eliminem os efeitos de fatores incontroláveis ou de fatores desconhecidos pelo experimentador e assim, com a aleatorização, atua como ferramenta diminuidora de tendências. A replicação também ajuda a detectar erros graves nas medições. Nas replicações de grupos de experimentos, diferentes aleatorização devem ser aplicadas a cada grupo. 2.2 Experimentos Fatoriais (convencionais) No passado, na realização de experimentos que envolviam mais de um fator, e cada fator com mais de um nível, adotava-se o seguinte procedimento: Escolhia-se um fator, o qual era experimentado variando o seu nível, enquanto os outros fatores tinham seus níveis fixados. Terminada a experimentação com o primeiro fator escolhido, assumia-se para o mesmo o melhor valor desejado (máximo, mínimo, etc) e repetia-se o procedimento com os outros fatores, um de cada vez. Este processo não leva em consideração as eventuais interações existentes entre os fatores. Para tentar suprir esta lacuna foram usados os Experimentos Fatoriais, que passamos a detalhar. 2.2.1 Experimentos Fatoriais com K Fatores (cada fator com dois níveis) Os delineamentos fatoriais 2 k possuem ampla aplicação industrial. Tais delineamentos permitem a avaliação em separado dos efeitos individuais e dos efeitos de interação dos fatores num experimento no qual todos os fatores variam simultaneamente num padrão de tentativas cuidadosamente organizado. 21

Um experimento fatorial com fatores, cada um com dois níveis, é conhecido como o experimento fatorial 2 k. O experimento consiste de 2 k tentativas, uma tentativa em cada combinação dos dois níveis dos fatores. Para identificar as tentativas individuais é utilizada, dentre outras, a seguinte notação: - Os fatores são representados por letras - Os níveis pelos sinais de mais (+) e de (-) - O sinal de mais (+) representa o nível inferior, a condição ou a ausência de fator. Obs.: Os japoneses costumam utilizar o número 1 ao invés de (-) e o número 2 ao invés de (+). 2.2.1.1 Experimentos Fatoriais com K Completos 2 3 Assim, se há 3 fatores a serem experimentados, teremos um fatorial de 2 3 com 8 experimentos, os fatores representados pelas letras A,B e C, e o planejamento do experimento será representado conforme a Tabela 1. Tabela 1. Matriz Experimental 2 3 ENSAIO FATORES Resposta A B C 1 - - - 2 + - - 3 - + - 4 + + - 5 - - + 6 + - + 7 - + + 8 + + + 22

2.2.2 Estimativa dos Efeitos Principais e Interações Os experimentos fatoriais 2 k permitem a estimativa de todos os K efeitos principais (efeitos de primeira ordem) de todas as interações de dois fatores, de todas as interações de três fatores, etc. Cada efeito estimado é uma estatística da forma (+) - (-), ou seja, é expresso pela diferença entre as duas médias, cada uma contendo 2 k-1 observações. Em um experimento 2 4 o analista seria, assim, capaz de estimar, além da média geral, quatro efeitos principais, seis interações de dois fatores, quatro interações de três fatores, e uma interação de quatro fatores, totalizando um total de 16 estatísticas. Notavelmente, todas estas estatísticas são distintas (ortogonais) umas das outras, isto é, as magnitudes e sinais de cada estatística não são de maneira alguma influenciadas pelas magnitudes e sinais das demais. Para o exemplo de 2 3 temos: Exp. A B C Resposta 1 - - - Y1 2 + - - Y2 3 - + - Y3 4 + + - Y4 5 - - + Y5 6 + - + Y6 7 - + + Y7 8 + + + Y8 2.2.2.1 Estimativa dos Efeitos Principais E = R (+) + R (-) O maior resultado tem o maior efeito. 23

2.2.2.2 Estimativa dos Efeitos das Interações Lembrar que: - e + é igual a - 1 Então, o modelo matemático pode ser escrito como: 24

Variável reduzida: Variância (S 2 ): Desvio Padrão (S): Variância Global (Sp 2 ): i número de graus de liberdade = n 1 ( n número de repetições ) 2.2.2 Teste t Testará a significância de cada efeito calculado; Critério: t calc > t tab ; o efeito é significante 25

2.3 Cases 2.3.1 Experimento do Helicóptero Fonte: Fernando Branco Costa Fatores Nível Baixo ( - ) Nível Alto ( + ) A-Comprimento da Asa 80mm 130mm B- Comprimento da Haste 80mm 130mm C-Largura da haste 20mm 40mm D-Clip de papel sem com Experimentos Fatores Tempo de vôo (segundos) 1 A B C D.. 16 Tempo Médio S i 2 26

2.3.2 Otimização do Alcance utilizando o Projeto Experimental Fatorial Completo 2 k Processo: Arremesso de uma bola com o uso de uma catapulta. Fator Nível (-) (+) A Posição do dispositivo de arremesso Baixo Alto B Ângulo 150 180 C Posição do dispositivo de tensão Baixo Alto D Turno A B Resposta: Distância (cm) Experimento Fatores Distância (cm) A B C D 1ª 2ª 3ª Média S 2 i 1 - - - - 487 460 529 492 1209 2 + - - - 590 566 550 552 172 3 - + - - 455 563 454 491 3924 4 + + - - 561 520 511 511 90 5 - - + - 595 613 598 595 306 6 + - + - 502 578 538 539 1445 7 - + + - 550 598 554 567 709 8 + + + - 641 600 601 614 577 9 - - - + 525 474 456 485 1281 10 + - - + 447 514 490 484 1152 11 - + - + 456 460 438 451 137 12 + + - + 425 496 448 476 632 13 - - + + 618 520 614 584 3076 14 + - + + 588 609 595 597 114 15 - + + + 566 657 560 561 21 16 + + + + 613 610 612 612 2 27

Tarefa: Executar os experimentos, calcular os efeitos principais e de interação, fazer o teste t para testar a significância dos efeitos dos fatores, propor um modelo matemático e testá-lo. Lembrando-se que: Abaixo, os efeitos principais e das interações: EP A = 20 E AB = 16 E BC = 15 E ABC = 19 EP B = -55 E AC = -6 E BD = -6,5 E ABD = 0 EP C = 91 E AD = 2 E CD = 23,5 E ACD = 16 EP D = -14 E BCD = -7 E ABCD = -16,5 = 3-1 = 2 S 2 p = 2 (1209+ +2) / 2 (16) = 926 S p = S 2 p = 30,4 Teste t : Agora testaremos a significância de cada efeito calculado; Critério: t calc > t tab ; o efeito é significante 28

32! Da tabela de estatística T, para o nível de significância de 95% e grau de liberdade t A = 0,66 < 2,04 Não é significante t B = 0,18 < 2,04 Não é significante t C = 2,99 > 2,04 Significante t D = 0,46 < 2,04 Não é significante t tabelado 95% = 2,04 Para todos os t s das interações => não significantes! Ajuste sugerido da Catapulta: A + B - C + D - Em relação ao turno (D), pode se utilizar os dois na prática, entretanto tomando-se medidas para minimizar EP(D). Entretanto, no experimento a maior média foi obtida com: A + B + C + D -! Efeito CD 650 Alcance 600 550 500 450 ( - ) ( + ) nível baixo 511 579 nível alto 474 588 C 29

650 Efeito AB Alcance 600 550 500 450 ( - ) ( + ) nível baixo 539 534 nível alto 517 553 B 650 Efeito BC Alcance 600 550 500 450 ( - ) ( + ) nível baixo 503 578 nível alto 482 588 C Os gráficos de interações levam a: A + B + C + D + 30

2.3.3 Atividade 1 em Grupo Fatorial 2 5 Reactor Example Variable Low (-) High (+) 1-A Feed Rate (liters/min) 10 15 2-B Catalyst (%) 1 2 3-C Agitation Rate (rpm) 100 120 4-D Temperature ( C) 140 180 5-E Concentration (%) 3 6 Calcular os efeitos principais e de interação e discutir os resultados. Gerar um relatório Variable % Reacted 1 2 3 4 5 - - - - - 61 + - - - - 53 - + - - - 63 + + - - - 61 - - + - - 53 + - + - - 56 - + + - - 54 + + + - - 61 - - - + - 69 + - - + - 61 - + - + - 94 + + - + - 93 - - + + - 66 + - + + - 60 - + + + - 95 + + + + - 98 - - - - + 56 + - - - + 63 - + - - + 70 + + - - + 65 - - + - + 59 + - + - + 55 - + + - + 67 + + + - + 65 - - - + + 44 + - - + + 45 - + - + + 78 + + - + + 77 - - + + + 49 + - + + + 42 - + + + + 81 + + + + + 82 31

2.4 Fatoriais Fracionados 2 k-p São frações de um fatorial completo 2 K. São muito úteis em etapas investigatórias (exploratórias) quando se inicia o estudo do processo. Requerem um menor número de experimentos, se comparados com os fatoriais completos. Usualmente utilizados quando se tem muitos fatores para investigar e poucos recursos para a execução dos experimentos. Ex.: Fatorial Fracionado 2 5-1! p => grau de redução do fatorial! *5 => fatores *1 => grau de redução 2 5-1 ~ 2 4 => 16 experimentos Como montar a matriz fracionada?! 32

2.4.1 Atividade 2 em Grupo Fatorial Fracionado 2 7-4 Bottleneck at the Filtration Stage of na Industrial Plant Várias plantas químicas operaram com sucesso por vários anos em diferentes localidades. Nas plantas antigas o tempo para completar um ciclo particular de filtração foi 40 min, mas numa planta nova este ciclo demorou duas vezes mais, causando prejuízos. Qual foi a causa desta demora? Uma reunião com técnicos foi feita para tentar determinar as causas do problema. Possibilidades: 1) Engenheiro da planta suspeitou da fonte de água Planta nova - reserva da cidade Plantas velhas poços particulares (Conteúdo mineral de água pode afetar a filtração) 2) Superintendente do processo suspeitou da origem da matéria prima Fonte deste material na planta nova era diferente do que as fontes das plantas antigas. 3) Químico suspeitou do nível de temperatura de filtração. Temperatura na planta nova era um pouco mais baixa do que nas outras plantas. 4) Presença de um dispositivo de reciclagem na planta nova que não existe nas plantas antigas. 5) Velocidade de adição de soda cáustica. Estava mais alta na planta nova. O chefe dos operadores sugeriu que esta velocidade seja diminuída para resolver o problema. 6) Tipo de pano de filtro. Um novo tipo foi usado na planta nova. O superintendente do processo falou que seria relativamente simples de substituir este pano. 7) holdup time. Este tempo foi mais baixo na planta nova. O engenheiro de controle de qualidade sugeriu que talvez este tempo fosse a causa do problema. A pessoa responsável por este estudo achou que provavelmente somente uma ou duas destas condições foram responsáveis pelo problema. A chance de que mais do que duas variáveis sejam significantes foi considerada remota. 33

Foi decidido usar um planejamento fatorial fracionado 2 7-4 que tem resolução III (efeitos principais e de interação de 2ª ordem são misturados). Fatores Níveis (-) (+) A Fonte de Água Reserva Poço B Matéria Prima Nova Velha C Temperatura Baixa Alta D Reciclagem Sim Não E Soda Cáustica Rápida Devagar F- Pano de Filtro Novo Velho G Hold up tima Baixo Alto Exp A B C AB AC BC ABC Tempo de Filtração (min) D E F G 1 68.4 2 77.7 3 66.4 4 81.0 5 78.6 6 41.2 7 68.7 8 38.7 Pedem-se : a) calcular os efeitos dos fatores b) discutir os resultado e fazer uma primeira proposta de ajuste do processo, com as decisões necessárias 34

2.4 Método de Plackett-Burman São experimentos fatoriais fracionados saturados. N = 8 + + + + N = 12 + + - + + + + N = 20 + + + + + + + + + + N = 24 + + + + + + + + + + + + Permite investigar (N-1) fatores! Matriz N = 12 Exp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Resposta 1 + + - + + + - - - + - 85 2 + - + + + - - - + - + 114 3 - + + + - - - + - + + 67 4 + + + - - - + - + + - 64 5 + + - - - + - + + - + 56 6 + - - - + - + + - + + 68 7 - - - + - + + - + + + 13 8 - - + - + + - + + + - 108 9 - + - + + - + + + - - 90 10 + - + + - + + + - - - 22 11 - + + - + + + - - - + 130 12 - - - - - - - - - - - 23 Resultado com 6 variáveis reais e 5 variáveis (fantasmas) ou inertes. - a experiência 1 sempre traz os sinais da matriz inicial - e a última experiência sempre teremos - para todos os fatores 35

2.4.1 Atividade 3 em Grupo Variável resposta: dureza de um material Coluna Fator Variável Nível - + 1 A Controle de Tensão Manual Automático 2 B Máqina 1 2 3 C Vazão (gal/min) 10 20 4 D Mistura Simples dupla 5 E Temperatura ( o C) 200 250 6 F Umidade (%) 20 80 7 G Fantasma 8 H Fantasma 9 I Fantasma 10 J Fantasma 11 K Fantasma 36

2.4.2 Atividade 4 em Grupo Junta de Vedação Num problema industrial, deseja-se verificar exploratoriamente, a influência de 6 variáveis de processo (fatores) nas variáveis resposta de uma Junta de Fibra (produto). Para tal, optou-se por um Planejamento Plackett-Burman com N=12, sendo 6 variáveis reais e 5 variáveis inertes (fantasmas). As variáveis estão descritas na tabela a seguir: Fatores Níveis (+) (-) A Teor de Ligante Alto Baixo B Fantasma * * C Teor total de Fibras (%) Alto Baixo D Cargas A B E Teor de Fibras Orgânicas Alto Baixo F Fibras Orgânicas A B G Fantasma * * H Fantasma * * I Fantasma * * J Fibras Inorgânicas A B K Fantasmas * * Variáveis Respostas 1 Espessura 2 Densidade 3 Resistência à Tração 4 Compressão 5000 psi 5 Relaxação 5000 psi 6 Compressão 1000 psi 8 Flexibilidade 9 Retenção 10 Creep 37

Os resultados estão na tabela a seguir Exp Fatores Variáveis Resposta A B C D E F G H I J K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1-1 1 1 1-1 -1-1 1-1 1,07 1,07 62 30 29 25 43 3,2 86 54 2 1-1 1 1 1-1 -1-1 1-1 1 1,2 0,95 41 42 26 29 47 4,8 86 50 3-1 1 1 1-1 -1-1 1-1 1 1 1,12 0,95 6 37 20 35 39 25,4 80 51 4 1 1 1-1 -1-1 1-1 1 1-1 1,23 0,91 12 44 31 44 50 9,6 84 74 5 1 1-1 -1-1 1-1 1 1-1 1 0,87 1,21 31 40 24 27 49 8 79 52 6 1-1 -1-1 1-1 1 1-1 1 1 1,1 1,14 52 37 33 32 46 8 95 73 7-1 -1-1 1-1 1 1-1 1 1 1 0,97 1,02 9 38 16 30 35 25,4 75 36 8-1 -1 1-1 1 1-1 1 1 1-1 1,11 1,05 42 39 25 31 47 6,4 88 48 9-1 1-1 1 1-1 1 1 1-1 -1 0,83 1,2 19 30 17 21 32 22,4 75 36 10 1-1 1 1-1 1 1 1-1 -1-1 1,02 1,05 28 33 28 29 47 8 80 45 11-1 1 1-1 1 1 1-1 -1-1 1 0,93 1,15 32 37 21 25 43 3,2 80 43 12-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 0,71 1,39 12 41 15 25 39 9,6 75 49 Pedem-se : a) Efeitos principais do fatores sobre as 10 respostas b) Testar a significância dos efeitos ( teste t usar fantasmas para estimar S 2 p ) c) Propor uma condição de ajuste do processo que atenda à maior parte das necessidades das variáveis resposta. Deseja-se minimizar a variável resposta 1 e maximizar as demais.

2.4 Método de Taguchi: Engenharia Robusta Ferramentas do Método: Arranjos Ortogonais (Matrizes Experimentais) Analise de Variância (ANAVA ou ANOVA) Razão Sinal/Ruído => S/N ou Condições Comuns: Maior-é-melhor => S/N = -10 log ( 1/y 2 )/n Menor-é-melhor => S/N = -10 log ( y 2 )/n Nominal-é-melhor => S/N = 10 log (y 2 )/(S 2 ) y => valor da resposta n => n de repetições S 2 => variância Arranjos Ortogonais (Matrizes Experimentais) matriz. Recebem a designação Ln, onde n representa o n de condições experimentais da

Matrizes Experimentais Arranjos Ortogonais Convencionais Nível Alto + 3 Nível Intermediário 0 2 Nível Baixo - 1 L 9 => até 4 fatores! 2.4.1 Case: Taguchi Efeitos dos fatores sobre (S/N) ou Column Number and Fator Assigned Exp. 1 2 3 4 Observation Temperature Pressure Setling Cleaning N (A) (B) (C) (D) (db) 1 1 1 1 1-20 2 1 2 2 2-10 3 1 3 3 3-30 4 2 1 2 3-25 5 2 2 3 1-45 6 2 3 1 2-65 7 3 1 3 3-45 8 3 2 1 3-65 9 3 3 2 1-70 Cálculo dos Efeitos : Fator A M A1 = -20-10 - 30 = -20 3

M A2 = -25-45 - 65 = -45 3 M A3 = -45-65 - 70 = -60 3 Fator B M B1 = -20-25 - 45 = -30 3 M B2 = -10-45 - 65 = -40 3 M B3 = -30-65 - 70 = -55 3 Fator C M C1 = -20-65 - 65 = -50 3 M C2 = -10-25 - 70 = -45 3 M C3 = -30-45 - 45 = -40 3 Fator D M D1 = -20-45 - 70 = -45 3 M D2 = -10-65 - 45 = -40 3 M D3 = -30-25 - 65 = -40 3 Média: -41,67 A e B influenciam mais!

Representação gráfica 0-10 -20-30 -40-50 -60-70 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A B C D A 1 B 1 C 2 D 3 ou 2 => menor variabilidade possível! Análise de Variância (ANOVA) de Variância. Usaremos o exercício anterior para mostrar como se monta uma Tabela de Análise Soma Total dos Quadrados (STQ): STQ = ( i - médio ) 2 médio = -41,67 STQ = (-20+41,67) 2 + (-30+41,67) 2 +... + (-70+41,67) 2 STQ = 3800 Soma dos Quadrados dos Fatores (SQF)

Fator A: SQF(A) = 3 (m A1 - médio ) 2 + 3 (m A2 - médio ) 2 + 3 (m A3 - médio ) 2 Onde: 3 => n de condições experimentais no nível i. Assim: SQF(A) SQF(B) SQF(C) SQF(D) 2450 950 350 50 Soma Quadrática do Erro (SQerro) SQ(Erro) = STQ - SQF SQ(Erro) = 3800 3800 = 0 (erro calculado) => deve-se estimar o erro! TABELA ANOVA Fonte de Variação SQF g.l SMQF F Fator A 2450 2 1225 12,25 Fator B 950 2 475 4,75 Fator C * 350 * 2 175 - Fator D * 50 * 2 25 - ERRO (*) 400 (*) 4 100 - Onde: SMQF = SQF/g.l e F = SMQF/SMQF ERRO => usados para estimar o erro! Se F >= 2,0 => efeito é significante!

Capítulo 4: Relatórios Gerenciais Fonte: Leandro Valim de Freitas A seguir serão apresentadas as principais etapas para geração de relatórios gerenciais no software empresarial Minitab. Cada etapa será explorada em detalhes na sala de aula. 1ª. Etapa: Criar um experimento: Stat / DOE / Factorial / Create Factorial Design Nessa etapa é possível escolher o número de níveis e fatores. Em seguida, entre na opção Designs para determinar se trata de um experimento fatorial completo ou fracionado e, se serão realizadas réplicas.

2ª. Etapa: Cálculo dos efeitos, coeficientes e ANOVA. Stat / DOE / Factorial / Analyse Factorial Design Os relatórios serão reportados na Session:

3ª. Etapa: Geração dos gráficos dos efeitos dos fatores. Stat / DOE / Factorial / Factorial Plots

4.1 Case: Célula de Manufatura Uma determinada célula de manufatura apresenta uma produção média diária de 197 engrenagens. Deseja-se aumentar essa produção com o menor custo possível de aquisição de equipamentos. As suas características atuais são apresentadas na tabela: Fluxo Tempo de Movimentação De Para Comando MOVE FOR Depósito de Matéria-Prima (dmp) torno 2 min torno estação de inspeção 2 min estação de inspeção esteira 1 min esteira Depósito de Produto Acabado (dpa) 1 min dpa Exit - Tempos de Operação Local Capacidade Comando WAIT Dmp 20 - torno 1 2 min estação de inspeção 1 5 min esteira inf - Dpa 20 1 hora

Para tal, foi proposta uma simulação utilizando um planejamento fatorial completo em ambiente Promodel Student Version. a) Estruturar os processos no software de simulação; b) Identificar as variáveis de entrada e de saída. c) Propor uma matriz experimental com intuito de maximizar a produção diária. d) Rodar as simulações. e) Identificar a operação gargalo via Minitab. f) Discutir a viabilidade econômica de aquisição de equipamentos. g) Elaborar um relatório gerencial.