Estudo Tridimensional da Propagação Eletromagnética em Canais Outdoor Através do Método de Implementação B-FDTD com Processamento Paralelo Rodrigo Melo e Silva de Oliveira 4 de Outubro de 2004
Nada é permanente, além da mudança. Herodotus (484-425 a.c.) i
Dedicatória Aos meus pais, Roselucie e Jacob. ii
Agradecimentos Agradeço a todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuiram para a realização deste trabalho. Um agradecimento especial deve ser dado ao Professor Leonidas, que sempre, sem hesitar, esteve à disposição para me apoiar e, principalmente, por acreditar e dar valor ao meu trabalho. Sem dúvida, é um excelente e competente orientador e uma ótima pessoa. Agradeço a todos os professores do PPGEE, em especial ao Rubem e ao João. Agradeço a todos os amigos do LANE (Laboratório de Análises Numericas em Eletromagnetismo), sem exceção. Uma gratidão especial tenho por Ronaldo e Felipe, pessoas que me ensinaram muitas coisas relacionadas à implementação do método FDTD durante a minha fase de graduação, complementando o trabalho de orientação do professor Leonidas. Agradeço ao Johnny pelos conhecimentos mais profundos sobre o cluster. Sou muito grato à minha família, que me deu a base necessária para que eu pudesse enfrentar os desafios da vida. Sem dúvida, é um elemento essencial para o desenvolvimento deste trabalho. Roselucie, Jacob, Renata e meu tio, José Jacob, obrigado! Agradeço também à Victoria por tudo. Devo agradecer à Ericsson, Amazônia Celular e à UFPa pela infra-estrutura computacional disponibilizada: o cluster Amazonia, sem o qual o desenvolvimento deste trabalho estaria comprometido. Gostaria de agradecer a toda a comunidade do software livre e de ressaltar que tudo neste trabalho foi realizado com esses softwares: Linux, gcc, g77, LAM-MPI, octave, Grace, OpenOffice.org Draw e L A TEX. Por fim, agradeço à banca examinadora por suas preciosas contribuições para a versão final deste trabalho. iii
Lista de Símbolos E H D B ɛ o Vetor Intensidade de Campo Elétrico Vetor Intensidade de Campo Magnético Vetor Densidade de Fluxo Elétrico Vetor Densidade de Fluxo Magnético Permissividade Elétrica do Vácuo µ o Permeabilidade Magnética do Vácuo ɛ Permissividade Elétrica µ Permeabilidade Magnética σ σ α t Condutividade Elétrica Condutividades para UPML Tempo x, y e z Coordenadas do Sistema Cartesiano E x, E y e E z H x, H y e H z D x, D y e D z B x, B y e B z df dα f α (i, j, k) n x, y e z t A n α (i,j,k) Componentes do Campo Elétrico Componentes do Campo Magnético Componentes de D Componentes de B Derivada de f em relação a α Derivada Parcial de f em relação a α Endereçamento no Espaço Discretizado Índice Temporal Incrementos Espacias Incremento Temporal Componente α de A discretizada no instante n iv
A τ Γ Operador Rotacional de A Coeficiente de Transmissão Coeficiente de Reflexão v
Lista de Símbolos para os Programas nx ny nz dt, dx, dy, dz ex, ey, ez hx, hy, hz bx, by, bz ddx, ddy, ddz ami0 eps0 sigx_hx,sigx_hy,sigx_hz sigy_hx,sigy_hy,sigy_hz sigz_hx,sigz_hy,sigz_hz sigx_ex,sigx_ey,sigx_ez sigy_ex,sigy_ey,sigy_ez sigz_ex,sigz_ey,sigz_ez nc io, jo e ko Total de Células na Direção x Total de Células na Direção y Total de Células na Direção z t, x, y, z E x, E y, E z H x, H y, H z B x, B y, B z D x, D y, D z µ o ɛ o σ x Hx, σ x Hy, σ x Hz σ y Hx, σ y Hy, σ y Hz σ z Hx, σ z Hy,σ z Hz σ x Ex, σ x Ey, σ x Ez σ y Ex, σ y Ey, σ y Ez σ z Ex, σ z Ey,σ z Ez Número de Camadas da UPML Limites internos da Região de Análise i1, j1 e k1 Limites externos da Região de Análise itx, jtx, ktx bxko,byko,bzko bxk1,byk1,bzk1 bxjo,byjo,bzjo Coordenadas do Trasmissor (gap) B na camada inferior de UPML, normal a z B na camada superior de UPML, normal a z B na primeira camada de UPML normal a y vi
bxj1,byj1,bzj1 bxio,byio,bzio bxi1,byi1,bzi1 B na segunda camada de UPML normal a y B na primeira camada de UPML normal a z B na segunda camada de UPML normal a z ex1,ey1,ez1 E na região 1 hx1,hy1,hz1 H na região 1 ex2,ey2,ez2 E na região 2 hx2,hy2,hz2 H na região 2 epss ip1, ip2,ip3,ip4 jp1, jp2,jp3,jp4 kp1, kp2 ɛ do solo Limites dos prédios em x Limites dos prédios em y Limites dos prédios em z vii
Sumário 1 Introdução 2 2 Teoria 6 2.1 Uma visão geral................................. 6 2.2 O algorítimo de Yee............................... 7 2.2.1 Obtenção das Equações FDTD para E e H............. 12 2.2.2 Precisão e Estabilidade......................... 15 2.3 Truncagem do Método FDTD por UPML................... 16 2.3.1 Análise Física do Problema...................... 18 2.3.2 Obtenção das Equações em Diferenças Finitas............ 27 2.4 Representação de estruturas metálicas finas por FDTD.......... 33 2.4.1 A Formulação de Noda Yokoyama.................. 35 2.5 Implementação Computacional do Método FDTD.............. 37 2.5.1 As Equações de Atualização...................... 39 2.5.2 Paralelização do Método FDTD.................... 42 2.6 Implementação computacional de fio fino para um dipolo de λ utilizando 2 a formulação de Noda-Yokoyama....................... 45 3 O Método de implementação B-FDTD 51 3.1 Definição..................................... 51 viii
3.2 Propagação Outdoor em três Dimensões: o Problema Analisado...... 52 3.2.1 Fonte de Excitação........................... 55 3.2.2 Discretização.............................. 55 3.2.3 Passagem de Informação entre regiões e subdomínios........ 56 4 Resultados 59 4.1 Prédios Infinitos................................. 60 4.2 Contribuições do Solo.............................. 70 4.3 Contribuição das Quinas Superiores...................... 76 4.4 Resultado Combinado das Contribuições do Solo e das Quinas Superiores. 84 4.4.1 Antena transmissora deslocada para 7,3 metros do solo....... 91 5 Conclusões e propostas para trabalhos futuros 103 Appendices 106 A Implementação otimizada da UPML para o campo H 107 B Código de Atualização do Campo Elétrico na Máquina 3 113 C Paralelização Automática do Código FDTD 137 ix
Lista de Figuras 2.1 Distribuição espacial das componentes dos campos E e H para a célula de Yee (i, j, k)................................... 10 2.2 Evidência das leis de Faraday e Ampère.................... 11 2.3 Leapfrog: distribuição intercalada no tempo e no espaço das componentes de E e H para um caso unidimensional do algorítimo de Yee........ 13 2.4 Modelo convensional de simulador FDTD tridimensional truncado por UPML 17 2.5 Interface entre um meio isotrópico (Meio 1) e um meio uniaxialmente anisotrópico (Meio 2) para o modo TE (TMy).................. 21 2.6 Distribuição das funções de condutividade σ em um domínio trimensional truncado por UPML.............................. 34 2.7 Componentes dos campos elétrico e magnético adjacentes ao fio fino.... 38 2.8 Interface entre dois sub-domínios....................... 44 2.9 Exemplo de passagem de informação entre dois processadores usando empacotamento................................... 46 3.1 Corte bidimensional paralelo ao plano x-y da região urbana analisada... 53 3.2 Corte bidimensional paralelo ao plano y-z da região urbana analisada... 54 3.3 Trocas de Informação no sub-domínio 3.................... 57 x
4.1 Componente E z do campo elétrico nas regiões 1, 2 e 3 em todo o domínio (plano x-y), nos instantes: a) 16,37ns, b) 42,48ns e c) 84,96ns. Amplitude em db....................................... 61 4.2 Componente E z do campo elétrico nas regiões 3,4 e 5 (plano x-z), nos instantes: a) 8,66ns, b) 33,7ns e c) 47,18ns. Amplitude em db........ 62 4.3 Componente E z recebida no ponto L1 para prédios infinitos........ 64 4.4 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L1 para prédios infinitos. 64 4.5 Componente E z recebida no ponto L2 para prédios infinitos........ 65 4.6 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L2 para prédios infinitos. 65 4.7 Componente E z recebida no ponto L3 para prédios infinitos........ 66 4.8 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L3 para prédios infinitos. 67 4.9 Componente E z recebida no ponto L4 para prédios infinitos........ 67 4.10 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L4 para prédios infinitos. 68 4.11 Componente E z recebida no ponto L5 para prédios infinitos........ 69 4.12 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L5 para prédios infinitos. 69 4.13 Componente E z recebida no ponto L1: influência do solo.......... 71 4.14 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L1: influência do solo... 71 4.15 Componente E z recebida no ponto L2: influência do solo.......... 72 4.16 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L2: influência do solo... 72 4.17 Componente E z recebida no ponto L3: influência do solo.......... 73 4.18 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L3: influência do solo... 73 4.19 Componente E z recebida no ponto L4: influência do solo.......... 74 4.20 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L4: influência do solo... 74 4.21 Componente E z recebida no ponto L5: influência do solo.......... 75 4.22 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L5: influência do solo... 75 4.23 Componente E z recebida no ponto L1: influência das quinas superiores.. 76 xi
4.24 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L1: influência das quinas superiores.................................... 77 4.25 Componente E z recebida no ponto L2: influência das quinas superiores.. 78 4.26 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L2: influência das quinas superiores.................................... 79 4.27 Componente E z recebida no ponto L3: influência das quinas superiores.. 80 4.28 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L3: influência das quinas superiores.................................... 81 4.29 Componente E z recebida no ponto L4: influência das quinas superiores.. 82 4.30 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L4: influência das quinas superiores.................................... 83 4.31 Componente E z recebida no ponto L5: influência das quinas superiores.. 84 4.32 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L5: influência das quinas superiores.................................... 85 4.33 Componente E z recebida no ponto L1: influência combinada........ 86 4.34 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L1: influência combinada. 87 4.35 Componente E z recebida no ponto L2: influência combinada........ 88 4.36 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L2: influência combinada. 88 4.37 Componente E z recebida no ponto L3: influência combinada........ 89 4.38 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L3: influência combinada. 89 4.39 Componente E z recebida no ponto L4: influência combinada........ 90 4.40 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L4: influência combinada. 90 4.41 Componente E z recebida no ponto L5: influência combinada........ 91 4.42 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L5: influência combinada. 92 4.43 Componente E z recebida no ponto L1: influência combinada + elevação da antena.................................... 93 xii
4.44 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L1: influência combinada + elevação da antena.............................. 94 4.45 Componente E z recebida no ponto L2: influência combinada + elevação da antena.................................... 95 4.46 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L2: influência combinada + elevação da antena.............................. 96 4.47 Componente E z recebida no ponto L3: influência combinada + elevação da antena.................................... 97 4.48 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L3: influência combinada + elevação da antena.............................. 98 4.49 Componente E z recebida no ponto L4: influência combinada + elevação da antena.................................... 99 4.50 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L4: influência combinada + elevação da antena.............................. 100 4.51 Componente E z recebida no ponto L5: influência combinada + elevação da antena.................................... 101 4.52 Espectro de potência do sinal recebido no ponto L5: influência combinada + elevação da antena.............................. 102 C.1 Domínio sob análise dividido em npc sub-domínios.............. 138 xiii
Resumo Neste trabalho foi desenvolvido um programa computacional para simular em três dimensões um canal de propagação eletromagnética outdoor através do método FDTD (Finite Difference Time Domain) paralelizado implementado por regioes ou blocos, com a intenção de reduzir ao máximo a quantidade de memória e capacidade de processamento necessários em relação a implementação tradicional. Tal modelo de implementação, que será discutido no decorrer deste texto, será denominado aqui de B-FDTD. Basicamente, pretende-se determinar o nível de influência que fatores tais como solo, quinas difratoras e paredes refletoras dos edifícios causam nos sinais observados nos pontos de recepção de maneira individual bem como em conjunto. O método é truncado por UPML (Uniaxial Perfectlly Matched Layers), implementada especificamente para cada região de maneira ótima. Palavras-chave: B-FDTD, Maxwell, Outdoor, Tridimensional
Abstract This work shows simulations of an outdoor wireless channel in three dimensions by employing the FDTD (Finite Difference Time Domain) method implemented with regions (or blocks), through a software specially developed, aiming at maximum memory savings and the minimization of processing overhead when compared to usual FDTD implementations. Such a model of implementation, which is discussed in this text, will be referred here by B-FDTD. Basically, it is intended to determine the influences caused by factors such as ground and the buildings diffracting corners (and reflective walls) in signals observed at the receiving points (individual and combined effects). The method is truncated by UPML (Uniaxial Perfectlly Matched Layers), implemented for each region bounds. Keywords: B-FDTD, Maxwell, Outdoor, Three-dimensional
Capítulo 1 Introdução Nos últimos anos, muitos estudos têm sido realizados com a intenção de se determinar o comportamento eletromagnético de canais de rádio urbanos outdoor, devido à grande demanda gerada pela expansão dos sistemas móveis de comunicação. Esses sistemas, além de proporcionarem mobilidade aos usuários, são convenientes às empresas de telefonia pelo fato de serem altamente flexiveis à adaptação dos serviços por elas prestados. Na realidade, a telefonia tende a ser apenas mais um dos serviços disponíveis, já que essas imensas redes sem fio podem transferir qualquer tipo de informação digital, como texto, vídeo, arquivos em geral, além de voz. Tecnicamente, o que se busca é o maior nível de reutilização do espectro desse tipo de canal, possibilitando cada vez maiores taxas de transferência de dados, necessárias a esses tipos de serviço. Dentre as classes de modelagem existentes para estudo desses canais, podem ser destacadas: modelagem clássica [1], os modelos semi-empíricos [2], modelos determinísticos [3] e os modelos numéricos [4]. Os três primeiros envolvem muitas simplificações e resultam, portanto, em aproximações. O método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD), que está na classe dos modelos numéricos, é uma solução que, pelas suas características peculiares de robustez e facilidade de implementação computacional, pode ser usado na solução numérica das equações rotacionais de Maxwell (no domínio do tempo) e, 2
portanto, apresenta uma solução de onda completa. Tal método foi proposto inicialmente por Yee [5] em 1966 e é baseado na representação das referidas equações diferenciais por diferenças centradas, cuja solução se dá de modo iterativo. Inicialmente, o principal problema associado ao método era a grande demanda computacional requerida, o que ocasionou inicial desinteresse por parte da comunidade científica. Todavia, a contínua redução dos custos dos computadores impulsionou fortemente as pesquisas com este método, especialmente a partir de 1980 [6]. Um segundo problema relativo ao método FDTD era sua aplicação a problemas abertos (espalhamento eletromagnético), pois não havia formulações de truncagem para o método. A primeira técnica usada para modelar paredes absorventes com o método FDTD foi publicado em 1981 por Mür [7]. Todavia, essa técnica é limitada por pouca eficiência de absorção para incidências oblíquas das ondas e, principalmente, pelas regiões de canto. Somente em 1994, foi publicada uma técnica de absorção extremanente eficiente por Berenger [8], conhecida por PML (perffectly matched layer). No campo do estudo de canais de rádio, o método FDTD tem sido utilizado em três dimensões para caracterizar ambientes indoor [9]. Todavia, para ambientes outdoor, apenas a formulação bidimensional (2-D) tem sido aplicada, principalmente pela inadequada capacidade de processamento dos microcomputadores atuais. Um dos trabalhos pioneiros nesse tipo de estudo envolvendo o método FDTD foi publicado em 1994 por A. Lauer, A.Bahr e I.Wolff [10], envolvia um estudo bidimensional com o método FDTD e propunha uma técnica de conversão dos resultados para três dimensões baseada na teoria das imagens. Edificações foram consideradas construídas por concreto estruturado, o qual pode ser modelado por condutores perfeitos com boa aproximação. Em 1996, Joseph Schuster e Raymond Lubbers publicaram um trabalho [11] baseado em FDTD em duas dimensões no qual quatro quadras de um centro urbano foram modeladas, de forma que as contruções eram dielétricos que revestiam metais, caracterizando, assim, perdas. Em 1998, Y.Miyazaki e P. Selormey publicaram um trabalho [12], no qual foi simulada uma malha 3
bidimensional de 30 30 metros composta por seis edificações em duas colunas, utilizando o método FDTD, de forma a prever o nível de potência em pontos estratégicos daquele domínio. A partir daí, outros ambientes foram simulados, mas sempre utilizando-se a formulação bidimensional. Como pode-se observar, o método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) apesar de ser relativamente simples, facilmente paralelizavel e, principalmente, extremamente preciso, não tem sido usado para avaliar canais de propagação eletromagnética outdoor em três dimensões. Isso vem acontecendo aparentemente pelo fato de o método demandar altíssimas quantidades de memória para esse tipo de simulação, inviabilizando sua aplicação em pesquisas nesse setor mesmo em centros que possuem recursos computacionais considerados poderosos. Apesar da atual tendência dos sistemas de telefonia móvel serem projetados para atender picocélulas, ainda sim o método é inviável para muitos centros de pesquisa. Neste contexto, visando viabilizar a implementação tridimensional do método FDTD e avaliar com bastante segurança canais de propagação deste tipo (outdoor), é apresentada uma técnica de implementação do método na qual se analisa o canal em regiões em torno das construções. Desta maneira, é nessário um conjunto de arrays representando cada componente dos campos elétrico e magnético para cada região analisada, nas quais são aplicadas as devidas condições de contorno e são implementados interfaceamentos de campo de maneira que cada região possa sofrer as influências eletromagnéticas das regiões vizinhas. Isso deve ocorrer de forma que o ambiente simulado se comporte exatamente como na implementação usual (contínua). Este método foi desenvolvido neste trabalho e será aqui denominado Block-FDTD (B-FDTD). Assim, o ambiente analisado originalmente por [13] foi implementado por B-FDTD inicialmente em duas dimensões, utilizando-se oito processadores, obtendo-se exatamente no mesmo resultado mostrado em [13] usando processamento seqüêncial e em [14] usando implementação paralela. Dessa maneira, o principal objetivo deste trabalho é desenvolver um software capaz de simular tridimensionalmente o ambiente implementado por blocos (B-FDTD) e deter- 4
minar as influências causadas pelos agentes solo e quinas, além daquelas causadas por sua combinação sobre a propagação das ondas eletromagnéticas. Além disso, foi desenvolvido um software para a geração automática de código FDTD paralelizado. O texto deste trabalho está organizado da seguinte maneira: Capítulo 2 traz a abordagem teórica relacionada ao método FDTD, às condições de fronteira absorvente, às fontes e a como as implementações computacionais foram realizadas ; Capítulo 3 trata do desenvolvimento da técnica B-FDTD ; Capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos para um cenário outdoor em três dimensões ; Capítulo 5 as conclusões e propostas de trabalhos futuros. Fazem também parte desta dissertação apêndices que descrevem detalhadamente procedimentos adicionais para aqueles interessados em se aprofundar no assunto. A organização deste conteúdo foi feita da seguinte maneira: Apêndice A contém o código da implementação otimizado da UPML para o campo magnético ; Capítulo B código completo da atualização do campo elétrico por B-FDTD para um dos processadores ; Capítulo C trata da automação dos procedimentos de paralelização do método FDTD e traz a implementação completa em duas dimensões do software de automação. 5
Capítulo 2 Teoria 2.1 Uma visão geral O clássico artigo [5] publicado em 1966 por Kane Yee introduz uma técnica capaz de solucionar numericamente as equações (acopladas) de Maxwell, de maneira direta, simples e elegante, no domínio do tempo. O método é baseado em uma distribuição geométrica discretizada das componentes do campo elétrico E e do campo magnético H de maneira a satisfazer tanto a forma rotacional quanto integral dessas equações. Além disso, as componentes do campo elétrico são sempre deslocadas no tempo em meio passo temporal das componentes vizinhas do campo magnético, de maneira a satisfazer as derivadas temporais associadas à distribuição espacial citada anteriormente (além de evitar problemas relacionados à inversão de matrizes). Dessa maneira, um método bastante robusto surgia. Todavia, como não existiam naquela época técnicas capazes de truncar o domínio computacional sob análise, muitas formulações para truncagem foram desenvolvidas, como, por exemplo, as baseadas nos operadores de Bayliss-Turkel [15], Mür primeira e segunda ordens [7], a técnica de Higdon [16] e a técnica de Liao [17]. Essas técnicas são conhecidas por ABCs (Absorbing Boundary Conditions), e têm como principal objetivo absorver ondas que incidem sobre as superfícies que limitam as regiões de análise de maneira a simular 6
progação para o infinito. Isso é necessário para a viabilização de simulações de ambientes abertos (problemas de espalhamento), já que o método sem essas fronteiras absorventes requereria malhas com quantidade infinita de células e um número infinito de iterações. A formulação utilizada para truncar o domínio é, portanto, decisiva para determinar a precisão do método. As mais recentes e mais eficientes técnicas ABCs são, sem dúvida, as baseadas na idéia de camadas perfeitamente casadas com a região sob análise (PML), originalmente implementada por Berenger [8]. Neste trabalho, será explorada e aplicada a técnica de truncagem UPML (Uniaxial Perffectly Matched Layers) [18], a qual deu ao modelo matemático de Berenger uma interpretação física. Outras técnicas importantes são as que modelam estruturas metálicas cujas dimensões são menores que os incrementos espaciais utilizados. A técnica conhecida por Fio Fino (Thin Wire) [19], é aplicada aqui para modelar adequadamente a fonte de excitação (dipolo), de modo a evitar maior nível de discretização da região. Dessa maneira, este capítulo procurará mostrar de forma bastante objetiva o embasamento teórico necessário à compreensão do método FDTD clássico (algorítimo de Yee), da aplicação das condições de contorno, da técnica de truncagem UPML e, por fim, do método criado para modelagem de estruturas finas ou Thin Wire. 2.2 O algorítimo de Yee As equações de Maxwell que governam a propagação eletromagnética em meios isotrópicos, não-dispersivos, e com fonte elétrica, em sua forma diferencial no domínio do tempo, são dadas por: e E = µ H t (2.1) H = ɛ E t + J, (2.2) 7
nas quais E é o vetor intensidade de campo elétrico (V/m), H é o vetor intensidade de campo magnético (A/m), ɛ e µ são, respectivamente, permissividade elétrica (farads/m) e permeabilidade magnética (henrys/m) e J o vetor densidade de corrente elétrica de condução (A/m 2 ). As equações (2.1) e (2.2), quando expandidas, geram as respectivas equações escalares e E x t E y t E z t H x t H y t H z t = 1 ( Ey µ z E ) z, (2.3) y = 1 ( Ez µ x E ) x, (2.4) z = 1 ( Ex µ y E ) y, (2.5) x = 1 ( Hz ɛ y H ) y z σe x, (2.6) = 1 ( Hx ɛ z H ) z x σe y, (2.7) = 1 ( Hy ɛ x H ) x y σe z, (2.8) sendo E x, E y, E z e H x, H y, H z as componentes dos campos elétrico E e magnético H, respectivamente. Essas componentes são, de uma forma geral, funções do tempo t e das três coordenadas cartesianas x, y e z. A equação (2.1), lei de Faraday, mostra que quando há variação no tempo do vetor B = µ H (vetor densidade de fluxo magnético), surgem componentes de campo elétrico circulando em torno da direção desta variação. Dualmente, a lei de Ampère mostra que quando há variação no tempo do vetor D = ɛ E uma certa direção, estas causam circulação de campo magnético em torno da mesma direção. Essas duas observações sobre as equações (2.1) e (2.2) são os pilares de toda a teoria de propagação de ondas eletromagnéticas no universo macroscópico [20], nas quais Yee se baseou ao definir seu esquema de distribuição espacial e temporal das componentes de campo de seu algorítimo 8
numérico. A disposição espacial dessas componentes está ilustrada na Figura 2.1: a célula ortogonal de Yee. Quando se realizam simulações da propagação de onda em determinada estrutura, a célula mostrada na Figura 2.1 é aplicada em toda a região de interesse (região de análise) para amostrar as componentes dos campos E e H. Cada ponto da malha formada, assim como as componentes mostradas na Figura 2.1, é referenciado pelos índices discretos i, j, k. Isso significa que uma determinada posição x, y, z (em metros) é endereçada no espaço discreto por i, j, k (número da célula correspondente), de forma que x = i x, y = j y e z = k z, onde x, y e z são as dimensões das células de Yee. A distribuição espacial mostrada pela Figura 2.1 é uma representação geométrica discretizada das leis equacionadas em (2.1) e (2.2). Isso fica claro ao observar a Figura 2.2. Nela é mostrado didaticamente, através da regra da mão direita, que variação positiva no tempo da componente E z (derivada maior que zero) gera circulação de campo magnético em torno desta direção, de forma que, para atualizar esta componente (equação 2.8), deve-se levar em conta as componentes do campo magnético H x (i, j 1/2, k + 1/2) e H x (i, j + 1/2, k + 1/2) (caracterizando a derivada de H x na direção y) e as componentes H y (i+1/2, j, k +1/2) e H y (i 1/2, j, k +1/2) (caracterizando a derivada de H y na direção x). O mesmo pode ser observado para o cálculo das componentes do campo H. Observando as Figuras 2.1 e 2.2, nota-se, portanto, que as componentes do campo elétrico estão sempre centralizadas em relação a quatro componentes do campo magnético e vice-versa. Obviamente que essa distância entre as componentes dos campos E e H (metade da aresta da célula de Yee) também se traduz em intercalação temporal entre elas (o intervalo de amostragem é t ). Essa intercalação no tempo é comumente chamada de leapfrog, e funciona da seguinte maneira: após a atualização de todas as componentes do campo elétrico em um instante t = t 1, a atualização das componentes do campo magnético é realizada, baseando-se nas componentes de E que acabaram de ser atualizadas, para o instante t = t 1 + t. A subsequente atualização das componentes do campo elétrico é 2 9
Figura 2.1: Distribuição espacial das componentes dos campos E e H para a célula de Yee (i, j, k) 10
Figura 2.2: Evidência das leis de Faraday e Ampère 11
realizada para o instante t = t 1 + t e é baseada nas componentes do campo magnético em t = t 1 + t, previamente armazenadas em memória. O processo se repete até que o 2 intervalo de tempo necessário para completar a simulação, previamente estabelecido, seja completado. O processo está ilustrado na Figura 2.3,para o caso unidimensional. 2.2.1 Obtenção das Equações FDTD para E e H Baseando-se nas considerações realizadas anteriormente sobre o método FDTD, podese facilmente notar que as derivadas que aparecem nas equações (2.3)-(2.8) podem ser aproximadas por derivadas centradas, tanto em relação ao tempo, quanto em relação ao espaço (veja as Figuras 2.1 e 2.3). A equação f(x) x f(x + x) f(x x ) 2 x (2.9) obtida a partir da truncagem de segunda ordem da série de Taylor, define o conceito de derivada centrada unidimensional. A derivada no ponto x da função f em relação a x é obtida a partir do valor da função nas posições x + x e x x. Teoricamente quanto menor o valor de x, melhor a aproximação da derivada. Computacionalmente, esse valor é limitado pela precisão da máquina ou do compilador. Dessa maneira, uma função F que dependa das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo t é aproximada por uma função amostrada F d, ou seja F (t, x, y, z) Fd n (i, j, k) (2.10) sendo i, j e k os índices dos incrementos espaciais e n o índice temporal. Assim, aplicando-se o conceito de derivada centrada (equação (2.9)) para as equações (2.3)-(2.8), obtêm-se as seguintes equações de atualização FDTD: + t µ En y (i,j+ 1 2,k+1) En y (i,j+ 1 2,k) z H n+ 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) = Hn 1 2 + x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) En z (i,j+1,k+ 1 2 ) En z (i,j,k+ 1 2 ) y 12, (2.11)
Figura 2.3: Leapfrog: distribuição intercalada no tempo e no espaço das componentes de E e H para um caso unidimensional do algorítimo de Yee 13
+ t µ En z (i+1,j,k+ 1 2 ) En z (i,j,k+ 1 2 ) x H n+ 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) = Hn 1 2 + y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) En x (i+ 1 2,j,k+1) En x (i+ 1 2,j,k) z, (2.12) + t µ En x (i+ 1 2,j+1,k) En x (i+ 1 2,j,k) y H n+ 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) = Hn 1 2 + z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) En y (i+1,j+ 1 2,k) En y (i,j+ 1 2,k) x, (2.13) + + + E n+1 = x (i+ 1 2,j,k) En x (i+ 1 2,j,k) t ɛ ( 1 + σ t 2ɛ t ɛ ( 1 + σ t 2ɛ t ɛ ( 1 + σ t 2ɛ t ɛ ( 1 + σ t 2ɛ ) ) H n+ 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) Hn+ 1 2 y H n+ 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) Hn+ 1 2 z E n+1 = y (i,j+ 1 2,k) En y (i,j+ 1 2,k) t ɛ ( 1 + σ t 2ɛ t ɛ ( 1 + σ t 2ɛ ) ) H n+ 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) Hn+ 1 2 z H n+ 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) Hn+ 1 2 x E n+1 = z (i,j,k+ 1 2 ) En z (i,j,k+ 1 2 ) ) ) H n+ 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) Hn+ 1 2 x H n+ 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) Hn+ 1 2 y ( ) 1 σ t 2ɛ 1 + σ t 2ɛ + z (i+ 1 2,j 1 2,k) y (i+ 1 2,j,k 1 2 ) ( ) 1 σ t 2ɛ + 1 + σ t 2ɛ x (i,j+ 1 2,k 1 2 ) z (i 1 2,j+ 1 2,k) ( ) 1 σ t 2ɛ 1 + σ t 2ɛ, (2.14), (2.15) + y (i 1 2,j,k+ 1 2 ) x (i,j 1 2,k+ 1 2 ) (2.16) 14
2.2.2 Precisão e Estabilidade As equações (2.11) a (2.16) satisfazem todos os requerimentos discutidos anteriormente, atendendo às condições circulatórias do rotacional associadas às variações temporais de cada componente. Todavia, numericamente falando, é necessário descrever critérios que garantam que o processo iterativo venha a convergir para a solução exata. Essa condição está intimamente ligada aos incrementos espaciais x, y e z e suas associações com o incremento temporal t. O algorítimo descrito pelas equações (2.11) a (2.16), obtido a partir da aproximação (2.9), por ser intrinsicamente não exato, causa efeitos numéricos (não físicos), como a dispersão (velocidade de fase diferente de C no vácuo, por exemplo). Isso se deve ao fato de que as aproximações nos cálculos geram erros que são propagados, acumulação desvios de fase que fazem com que fenômenos não físicos se manifestem. Intuitivamente, isso se verifica de forma mais acentuada em malhas eletricamente grandes. Para reduzir esses fenômenos, são adotados os seguintes critérios [4] x,y,z λ min 10, (2.17) ou seja, um comprimento de onda deve ser representado por, no mínimo, dez células, e, associada a essa condição, t 1 v max 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2, (2.18) que limita o incremento t de acordo com a máxima distância que a onda deve percorrer dentro da célula: a diagonal. A condição (2.18) é conhecida como condição de Courant. Se as células forem cúbicas, a equação (2.18) se torna t v max 3. (2.19) Muitos estudos têm sido realizados para avaliar e melhorar o desempenho númerico do método FDTD. Um maior aprofundamento no assunto pode ser encontrado em [4]. 15
2.3 Truncagem do Método FDTD por UPML O método FDTD aplicado às equações de Maxwell é uma poderosa ferramenta para análise e síntese de problemas em eletromagnetismo, pois, de maneira rigorosa, representa fenômenos e caracteriza os mais diversos tipos de meios, com ou sem anisotropia, de maneira natural quando aplicadas as devidas condições de contorno e definidos adequadamente os parâmetros eletromagnéticos (ɛ, σ e µ) para o problema. As equações (2.11)-(2.16) podem ser aplicadas diretamente a problemas fechados (truncados, como um guia de onda metálico, por exemplo), nos quais há confinamento das ondas eletromagnéticas na região. Todavia, equações auxiliares são necessárias à simulação por FDTD de problemas abertos, pois, nesses casos, a aplicação apenas das equações (2.11)-(2.16) exigiria malhas com quantidade infinita de células e um número infinito de iterações, pois a onda deverá se propagar para distâncias infinitas da região de interesse. Muitas técnicas de truncagem foram propostas, como, por exemplo, as baseadas nos operadores de Bayliss-Turkel [15], Mür primeira e segunda ordens [7], a técnica de Higdon [16] e a técnica de Liao [17]. Essas técnicas são conhecidas por ABCs (Absorbing Boundary Conditions), e têm como principal objetivo absorver ondas que chegam aos limites da região de análise de maneira a simular sua progação para o infinito, sem reflexões que alterem a propagação na região de interesse. A formulação utilizada para truncar o domínio é de grande importância para a precisão do método FDTD nesses casos. Essa idéia de se criar uma câmara anecóica virtual é ilustrada pela Figura 2.4. As mais recentes e mais eficientes técnicas ABCs são, sem dúvida, as baseadas na idéia de camadas perfeitamente casadas com a região sob análise (PML), originalmente desenvolvida e implementada por Berenger [8], cujo trabalho parte da tentativa anterior de Holand [21] de gerar um meio absorvente casado com a região de análise. Segundo Holand, se a condição σ e ɛ = σ m µ, (2.20) 16
Figura 2.4: Modelo convensional de simulador FDTD tridimensional truncado por UPML 17
for satisfeita, há o pleno casamento de impedâncias e a onda é totalmente transmitida, truncando o método (σ e representa condutividade elétrica e σ m é a correspondente condutividade magnética). Porém, a condição (2.20) só é valida para ondas planas incidindo normalmente na interface com o meio truncador, o que limita a aplicação da formulação. De fato, a formulação de Berenger publicada em 1993 foi o primeiro grande avanço obtido no sentido de se obter uma técnica de aborsorção independente de fatores como ângulo de incidência, polarização e freqüência da onda incidente na região de truncagem. Isso foi alcançado com a modelagem de um meio composto por camadas paralelas com aumentos graduais em suas condutividades nas direções que apontam para fora do domínio. Além disso, cada componente de campo foi decomposta em outras duas ortogonais, fundamentando a conhecida técnica do split-field. A principal desvantagem desta técnica é a necessidade de calcular doze componentes de campo, requerendo, portanto uma quantidade consideravel de memória e de tempo de processamento. O trabalho publicado por Gedney [22] segue linha semelhante, porém é mais eficiente computacionalmente, fisicamente mais real e matematicamente mais elegante, mantendo a mesma eficiência de absorção da formulação de Berenger. A formulação de Gedney, a Uniaxial Perffectly Matched Layers UPML, na qual há a necessidade de atualizar apenas as seis componentes usuais sem a necessidade de aplicar o split-field, é apresentada, de maneira completa, a seguir. 2.3.1 Análise Física do Problema Considere a Figura 2.5, na qual há um meio isotrópico na região z > 0 (meio 1) e na região z < 0 há um meio uniaxialmente anisotrópico (meio 2), sobre o qual incide uma onda plana monocromática vinda do meio 1. O objetivo aqui é estudar as condições de propagação de maneira que a onda seja totalmente transmitida para o meio 2 e, ao mesmo tempo, atenuada por ele. A disposição dos campos mostrada na Figura 2.5, sugere 18
a denominação de modo TMy, pois o campo magnético não tem componente na direção y. Como está sendo considerada a incidência de uma onda plana, pode-se analisar este caso e combinar os resultados encontrados com os relativos ao modo TEy, obtendo-se assim a solução completa para uma incidência qualquer. Meio Isotrópico (Meio 1) No domínio da freqüência, as equações de Maxwell (2.1) e (2.2) são experssas por E = jωµ H (2.21) e H = jωɛe, (2.22) nas quais ω define a freqüência da onda plana, E e H são, respectivamente as transformadas de Fourier dos vetores intensidade de campo elétrico E e intensidade de campo magnético H. Para a região z > 0 (Figura 2.5), da qual parte a onda plana incidente, há duas contribuições a considerar: a de incidência e a de reflexão. Assim, para o campo elétrico, pode-se escrever: E i = ŷe o e jβi x x+jβi z z (2.23) e E r = ŷγe o e jβr xx jβ zz r, (2.24) onde Γ é o coeficiente de reflexão e E o é a magnitude do campo elétrico incidente E i. Como uma onda plana monocromática (uma componente de freqüência ω) está sendo considerada, na interface entre os meios (z = 0) deve ser satisfeita a condição de contorno β i x,z = βr x,z (velocidade de fase igual em ambos os casos), pode-se dizer, então, que o campo elétrico total no meio 1 é dado por E 1 = ŷe o (1 + Γe 2jβi zz )e jβi xx+jβ i zz. (2.25) 19
Substituindo a equação (2.25) em (2.21), encontra-se o vetor intensidade de campo magnético para esta região, ou seja H 1 = [ˆxβ i z ( 1 Γe 2jβ i z z) + ẑβ i x ( 1 + Γe 2jβ i z z)] E o ωµ 1 e jβi x x+jβi z z. (2.26) Desta forma, as equações (2.25) e (2.26) caracterizam a propagação do modo TMy na região 1. Meio Anisotrópico (Meio 2) Considerando-se o meio 2 como anisotrópico, a relação entre o vetor densidade de fluxo elétrico D a e o vetor intensidade de campo elétrico E a e a relação entre o vetor densidade de fluxo magnético B a e o vetor intensidade de campo magnético H a são dadas agora, respectivamente, em função do tensor permissividade elétrica [ɛ] e do tensor permeabilidade magnética [µ]. Assim, D a = [ɛ] E a (2.27) e B a = [µ] H a. (2.28) Ou seja, para meios materiais anisotrópicos, as equações de Maxwell no domínio da freqüência devem ser escritas na forma E a = jω[µ] H a (2.29) e H a = jω[ɛ] E a, (2.30) Os tensores [ɛ] e [µ] são dados, para o caso geral de anisotropia biaxial, para o caso no qual os eixos ópticos coincidem com os eixos do sistema de coordenadas retangulares, por 20
Figura 2.5: Interface entre um meio isotrópico (Meio 1) e um meio uniaxialmente anisotrópico (Meio 2) para o modo TE (TMy) 21
[8] e a 0 0 [ɛ] = ɛ 0 b 0 0 0 c d 0 0 [µ] = µ 0 e 0 0 0 f = ɛ[ξ 1 ] (2.31) = µ[ξ 2 ], (2.32) nas quais os elementos das matrizes [ξ 1 ] (a, b e c) e [ξ 2 ] (d, e e f) são complexos e adimensionais e determinam as características de propagação eletromagnética no material anisotrópico. As equações (2.29) e (2.30) podem ser escritas em termos do vetor β a (Figura 2.5), que determina a direção de propagação no meio anisotrópico, pois uma onda plana está sendo admitida. Dessa maneira, tais equações ficam, respectivamente, na forma β a E a = ωµ[ξ 2 ] H a (2.33) e β a H a = ωɛ[ξ 1 ] E a. (2.34) O desacoplamento dessas equações em termos do campo elétrico E leva à equação de onda β a ( [µ] 1 β a E a) + ω 2 [ɛ] E a = 0, (2.35) na qual β a = ˆxβ a x + ẑβa z para o caso ilustrado pela Figura 2.5. Sem perda de generalidade, é considerado o caso da anisotropia uniaxial que a região de UPML (representada pelo meio 2 da Figura 2.5) deve apresentar na direção z. Neste 22
caso, os tensores [ɛ] e [µ] das equações (2.32) e (2.31) devem ser definidos por [ɛ] = ɛ a 0 0 0 a 0 0 0 b (2.36) e [µ] = µ c 0 0 0 c 0 0 0 d. (2.37) Para se determinar o vetor campo elétrico nesta região, a equação (2.35) deve ser solucionada. A maneira mais simples é o uso de notação matricial β a x 0 β a z 1 µ 1/c 0 0 0 1/c 0 0 0 1/d β a z E a y β a z Ea x βa x Ea z β a x Ea y +ω 2 ɛ a 0 0 0 a 0 0 0 b E a x E a y E a z = 0 0 0. (2.38) Realizando-se todos os cálculos envolvidos em (2.38) e evidenciando-se as componentes E x, E y e E z, obtém-se k 2 a (β a z )2 /c 0 β a x βa z /c 0 k 2 a (β a x) 2 /d (β a z ) 2 /c 0 β a x βa z /c 0 k2 b (β a x )2 /c E a x E a y E a z = 0 0 0, (2.39) na qual k = ω µɛ. Para o modo sob análise (TMy), tem-se, a partir de (2.39) k 2 a (β a z ) 2 /c 0 β a xβ a z /c 0 k 2 a (β a x )2 /d (β a z )2 /c 0 β a xβ a z /c 0 k 2 b (β a x) 2 /c 0 E a y 0 = 0 0 0, (2.40) 23
de onde vem a equação de dispersão k 2 a (βx) a 2 /d (βz a ) 2 /c = 0. (2.41) Seguindo a mesma estratégia para o modo TEy, obtém-se, a partir da equação de onda para o campo magnético β a ( [ɛ] 1 β a H a) + ω 2 [µ] H a (2.42) a equação k 2 c (βz a )2 /a 0 βx aβa z /a 0 k 2 c (βx a)2 /b (βz a)2 /a 0 βxβ a z a /a 0 k 2 d (βx) a 2 /a 0 H a y 0 = 0 0 0, (2.43) da qual chega-se, de forma similar, à equação de dispersão k 2 c (β a x )2 /b (β a z )2 /a = 0. (2.44) Para eliminar reflexões na interface entre o meio isotrópico correspondente à região de análise (meio 1) e o meio absorvente usado para truncagem do método FDTD (meio 2), calcula-se a seguir o coeficiente de reflexão e, a partir dele, avaliam-se as condições que garantam tal propriedade. Como a onda transmitida ao meio 2 também é TMy [4], pode-se escrever E a = ŷτe o e jβa x x+jβa z z, (2.45) na qual τ é o coeficiente de transmissão. A partir das equações (2.33) e (2.45), determinase o vetor intensidade de campo magnético ( H a ) H a = ˆx βa xτe o ωµ 2 c e jβa x x+jβa z z + ẑ βa z τe o ωµ 2 d e jβa x x+jβa z z. (2.46) Na interface entre os meios 1 e 2 (z = 0), é necessário que as componentes tangenciais tanto do campo elétrico quanto do campo magnético sejam contínuas (mesma posição no espaço). Para o campo elétrico, tem-se E a y = E i y + E r y, (2.47) 24
resultando, a partir das equações (2.23), (2.24) e (2.45), em τe jβa x x = e jβi x x + Γe jβr x x. (2.48) Como ao longo da interface entre os meios (z = 0) as ondas dos meios 1 e 2 se propagam com a mesma velocidade, βx i = βr x = βa x, (2.49) o que resulta na seguinte equação τ = 1 + Γ. (2.50) Procedendo de maneira idêntica para a componente x do campo magnético (tangencial ao plano z = 0), chega-se, a partir de (2.26) e (2.46), a βz i (1 Γ) = βa z τ. (2.51) µ 1 µ 2 c Observando que, para haver transmissão total de potência para o meio 2, as impedâncias dos meios devem ser iguais, então ɛ 1 = ɛ 2 (2.52) e µ 1 = µ 2 (2.53) devem ser satisfeitas. Assim, partindo das equações (2.51), (2.50) e (2.53), obtêm-se Γ = βi z βa z /c β i z + β a z /c (2.54) e τ = Portanto, nota-se de (2.54), que para haver transmissão total, 2β i z β i z + β a z /c. (2.55) β a z = cβi z. (2.56) 25
Substituindo as equações (2.49) e (2.56) em (2.41), obtém-se k 2 = ([βi z] 2 c + [β i x] 2 /d) a (2.57) e notando que k 2 = (β i x )2 + (β i z )2 (2.58) chega-se à condição a = c = 1/d. (2.59) Partindo da equação (2.44) e trabalhando de maneira idêntica para o modo TEy, obtém-se a condição a = c = 1/b. (2.60) Dessa maneira, para assegurar transmissão total, sem dependência da polarização, do ângulo de incidência e da freqüência da onda, o tensor [ξ] z, que determina a anisotropia uniaxial na direção z, deve ter, portanto, a forma c 0 0 [ξ] z = 0 c 0 0 0 1/c. (2.61) A composição da anisotropia uniaxial nas direções x, y e z, caracterizando o caso geral das equações (2.31) e (2.32), é obtida [4] a partir do produto [S] = [ξ] x [ξ] y [ξ] z. Na forma expandida, tem-se 1 s x 0 0 s y 0 0 s z 0 0 [S] = 0 s x 0 1 0 s y 0 0 s z 0, (2.62) 1 0 0 s x 0 0 s y 0 0 s z da qual resulta [S] = 1 s x s y s z 0 0 0 1 s y s x s z 0 0 0 1 s z s x s y 26. (2.63)
De acordo com o trabalho de Berenger [8], a ausência de reflexão na interface entre o meio isotrópico e a UPML (assim como no interior da região absorvente) é garantida para qualquer s α (α = x, y ou z). Para solucionar o problema apresentado no Tópico 3.2, foram adotadas as seguintes equações: s α = 1 + σ α 1 + jωɛ o, (2.64) que foram originalmente apresentadas em [8], onde σ α representa a condutividade do meio para as direções x, y e z. 2.3.2 Obtenção das Equações em Diferenças Finitas O próximo passo é transformar as equações e E a = jωµ[s] H a (2.65) H a = jωɛ[s] E a (2.66) para o domínio do tempo. Isso pode ser feito definindo-se as seguintes relações constitutivas [4] ( ) B a sy x = µ H a x, (2.67) s x ) ( sz B a y = µ H a y, (2.68) s y ( ) B a sx z = µ H a z, (2.69) s ( z ) D a sy x = ɛ E a x, (2.70) s x ) ( sz D a y = ɛ E a y, (2.71) s y ( ) D a sx z = ɛ E a z. (2.72) s z A utilização dessas relações permite expressar as equações (2.65) e (2.66) diretamente no domínio temporal em diferenças finitas e, portanto, extingue a necessidade da realização 27
de várias operações convolutivas (computacionalmente intensivas) entre o tensor [S] e os vetores de campo que surgem devido a substituição direta de (2.64) em (2.65) e em (2.66). Assim, para a obtenção das equações de atualização para a densidade de fluxo elétrico D a, no domínio do tempo, para a região de UPML, parte-se da equação de Ampère no domínio da freqüência (2.66), da equação do tensor [S] (2.63) e das relações auxiliares (2.70) a (2.72), obtendo-se por substituição H a z / y Ha y / z H a x/ z H a z/ x H a y / x Ha x / y = jω s z 0 0 0 s x 0 0 0 s y D a x D a y D a z. (2.73) Substituindo s x, s y e s z de (2.64) em (2.73) e retornando ao domínio do tempo aplicando-se a identidade de Fourier jωf(ω) f(t)/ t, verifica-se que H a z / y Ha y / z H a x / z Ha z / x H a y / x Ha x / y = jω 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Dx a Dy a Dz a + 1 ɛ σ z 0 0 0 σ x 0 0 0 σ y D a x D a y D a z. (2.74) As equações descritas por (2.74) podem ser discretizadas de maneira usual utilizando-se a equação (2.9), no padrão de distribuição espacial das componentes da célula de Yee (Figura 2.1) e da intercalação temporal leapfrog (Figura 2.3). Tal procedimento resulta nas equações de atualização para o vetor D a. As equações de atualização para o vetor E a são obtidas a partir das equações (2.70) a (2.72), uma vez conhecidas as componentes do vetor D a. Por exemplo, para encontrar a componente x do campo elétrico E a, basta substituir a equação (2.64) na equação (2.70), transformá-la para o domínio do tempo e encontar a componente E a x em função de D a x. Para este caso, encontra-se a equação ɛ [ E a x t ] + σ y ɛ Ea x = Da x t + σ x ɛ Da x (2.75) que também pode ser facilmente representada por diferenças finitas. 28
Procedimentos idênticos devem ser seguidos para encontar as demais equações de atualização para as componentes dos campos elétrico e magnético para a região de truncagem, o que resulta em + + t 1 + σz t 2ɛ o 1 µ o (1 + σy t 2ɛ o ) En y (i,j+ 1 2,k+1) E y (i,j+ 1 2,k)n z [ B n+ 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) ( B n+ 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) = Bn 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) 1 σz t 2ɛ o 1 + σz t 2ɛ o En z (i,j+1,k+ 1 2 ) En z (i,j,k+ 1 2 ) y H n+ 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) = Hn 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) 1 + σ ) x t 2ɛ o B n 1 2 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) ( 1 σy t 2ɛ o 1 + σy t 2ɛ o 1 σ x t 2ɛ o, (2.76) )], (2.77) + t 1 + σx t 2ɛ o En z (i+1,j,k+ 1 2 ) En z (i,j,k+ 1 2 ) x [ ( 1 + B n+ 1 2 1 + σ ) y t µ o (1 + σz t 2ɛ o ) y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) 2ɛ o B n+ 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) = Bn 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) 1 σx t 2ɛ o 1 + σx t 2ɛ o En x (i+ 1 2,j,k+1) En x (i+ 1 2,j,k) z H n+ 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) = Hn 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) B n 1 2 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) ( 1 σz t 2ɛ o 1 + σz t 2ɛ o 1 σ y t 2ɛ o, (2.78) )], (2.79) + t 1 + σy t 2ɛ o En y (i+ 1 2,j+1,k) En x (i+ 1 2,j,k) y B n+ 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) = Bn 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) 1 σy t 2ɛ o 1 + σy t 2ɛ o En y (i+1,j+ 1 2,k) En y (i,j+ 1 2,k) x, (2.80) 29
H n+ 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) = Hn 1 2 [ ( 1 + B n+ 1 2 1 + σ ) z t µ o (1 + σx t 2ɛ o ) z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) 2ɛ o z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) B n 1 2 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) ( 1 σx t 2ɛ o 1 + σx t 2ɛ o 1 σ z t 2ɛ o )], (2.81) + t 1 + σz t 2ɛ o + H n+ 1 2 1 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) Hn+ 2 H n+ 1 z (i+ 1 2,j 1 2 2,k) y 1 ɛ o ɛ r (1 + σy t 2ɛ o ) [ D n+ 1 2 x (i+ 1 2,j,k) ( D n+1 = x (i+ 1 2,j,k) Dn x (i+ 1 2,j,k) 1 σz t 2ɛ o 1 + σz t 2ɛ o 1 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) Hn+ 2 y (i+ 1 2,j,k 1 2 ) z E n+1 = x (i+ 1 En 1,j,k) 2 1 + σ ) x t 2ɛ o x (i+ 1 2,j,k) D n 1 2 x (i+ 1 2,j,k) ( 1 σy t 2ɛ o 1 + σy t 2ɛ o 1 σ x t 2ɛ o, (2.82) )], (2.83) + t 1 + σx t 2ɛ o H n+ 1 2 1 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) Hn+ 2 H n+ 1 x (i,j+ 1 2,k 1 2 2 ) z [ ( 1 + D n+ 1 2 1 + σ ) y t ɛ o ɛ r (1 + σz t 2ɛ o ) x i,j+ 1 2,k) 2ɛ o D n+1 y (i,j+ 1 2,k) = Dn y (i,j+ 1 2,k) 1 σx t 2ɛ o 1 + σx t 2ɛ o 1 z (i+ 1 2,j+ 1 2,k) Hn+ 2 z (i 1 2,j+ 1 2,k) x E n+1 = y (i,j+ 1 En 1,k) y (i,j+ 1 2 2,k) D n 1 2 x i,j+ 1 2,k) ( 1 σz t 2ɛ o 1 + σz t 2ɛ o 1 σ y t 2ɛ o, (2.84) )], (2.85) 30
+ t 1 + σy t 2ɛ o H n+ 1 2 1 y (i+ 1 2,j,k+ 1 2 ) Hn+ 2 H n+ 1 y (i 1 2,j,k+ 1 2 2 ) x [ ( 1 + D n+ 1 2 1 + σ ) z t ɛ o ɛ r (1 + σx t 2ɛ o ) z (i,j,k+ 1 2 ) 2ɛ o D n+1 z (i,j,k+ 1 2 ) = Dn z (i,j,k+ 1 2 ) 1 σy t 2ɛ o 1 + σy t 2ɛ o 1 x (i,j+ 1 2,k+ 1 2 ) Hn+ 2 x (i,j 1 2,k+ 1 2 ) y E n+1 z (i,j,k+ 1 2 ) = En 1 z (i,j,k+ 1 2 ) D n 1 2 z (i,j,k+ 1 2 ) ( 1 σx t 2ɛ o 1 + σx t 2ɛ o 1 σ z t 2ɛ o, (2.86) )]. (2.87) As equações de (2.77) a (2.87) podem ser aplicadas a todo domínio computacional, incluindo a região de análise, já que, neste caso, σ α = 0, o que recai nas equações de Maxwell (2.11) a (2.16), para meios isotrópicos sem perdas. Todavia, este procedimento não é indicado para malhas com um grande número de células porque requer aproximadamente o dobro da memória que seria necessária à implementação da UPML apenas nas regiões indicadas na Figura 2.6 (limites do domínio) e requer muito mais tempo de processamento. O detalhamento da implementação é dado no Tópico 2.5. Para concluir a formulação, devem ser conhecidas as funções σ α (α = x, y ou z) para cada componente dos campos E e H. São nessas funções que são introduzidas as características de anisotropia no meio absorverdor. Diferentemente da caracterização eletromagnética de meios isotrópicos, nos quais as equações (2.11) a (2.16) podem ser aplicadas sem qualquer preocupação com variações das características eletromagnéticas µ, ɛ ou σ dentro das células de Yee, a aplicação das equações (2.77) a (2.87) requer que sejam consideradas as características do meio para cada componente porque, na realidade, nenhuma dessas componentes está na posição (i, j, k). Isso fica claro ao observar a Figura 2.1. Por exemplo, a componente E z da célula (i, j, k) está posicionada em (i, j, k + 1). 2 Isso quer dizer que a atenuação na direção z, para esta componente, será obtida de forma diferente daquelas nas direções x (σ x ) e y (σ y ), para a mesma componente. Esta análise deve ser, portanto, realizada para cada uma das componentes dos campos E e H em 31