ENSINO-APRENDIZAGEM-AVALIAÇÃO DE PROPORCIONALIDADE ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA MUDANÇA NO PENSAR SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA G1 Formação de Professores Manoel dos Santos Costa (DO)/ manolopromat@hotmail.com Norma Suely G. Allevato/norma.allevato@cruzeirodosul.edu.br Resumo Este artigo retrata parte dos resultados de uma pesquisa mais ampla cujo objetivo é discutir e analisar como (futuros) professores de Matemática, em formação inicial, exploraram o conceito de proporcionalidade através da resolução de problemas. O trabalho descreve e analisa o ocorrido com os licenciandos durante a vivência da metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, em que utilizamos um dos problemas discutidos em um dos encontros que realizamos para a coleta dos dados da pesquisa que envolveu a Resolução de Problemas como metodologia de ensino. Nessa metodologia, os problemas são propostos aos alunos antes de lhes ter sido apresentado formalmente o conteúdo matemático mais apropriado à resolução do problema, que deve, no entanto, estar de acordo com o ano escolar a ser atendido e com os objetivos pretendidos pelo professor. O trabalho permitiu concluir que houve mudanças no pensar desses licenciandos sobre o ensino de proporcionalidade. Revelou também que os (futuros) professores superaram algumas dificuldades e construíram conhecimento com relação ao conteúdo estudado, principalmente às conexões com outras áreas da Matemática. E não apenas com relação aos conteúdos; eles também puderam discutir aspectos relacionados a quando e como devem ensinar proporcionalidade. Palavras-chave: Formação Inicial, Proporcionalidade, Resolução de Problemas. Introdução Nos ambientes de ensino e de formação de professores, temos percebido as dificuldades dos professores de Matemática em desenvolver conteúdos utilizando a resolução de problemas. Assim, resolvemos realizar um trabalho com (futuros) professores para que pudéssemos conceber reflexões relativas a essa temática. Este trabalho descreve e analisa um dos problemas que foi aplicado e realizado com os (futuros) professores de Matemática, estudantes de uma universidade pública do Maranhão. Ele está organizado em cinco seções, iniciando pelas abordagens de Resolução de Problemas para o ensino de Matemática. A segunda seção trata da Resolução de Problemas como fixação dos conteúdos matemáticos. Em seguida, apresentamos a Resolução de Problemas como metodologia de ensino-aprendizagem- 1
avaliação nas aulas de Matemática. A quarta seção aborda o contexto e a metodologia da pesquisa empregada, bem como os instrumentos utilizados. Na quinta seção, intitulada ensino-aprendizagem-avaliação de proporcionalidade através da resolução de problemas, apresentamos e analisamos um dos problemas em que os (futuros) professores de Matemática vivenciaram essa metodologia de ensino. Então, apresentamos nossas considerações finais. Resolução de Problemas e suas Concepções no Ensino de Matemática Educadores matemáticos do Brasil e do mundo têm demonstrado preocupação em adequar o trabalho escolar às novas tendências que podem levar a melhores formas de ensinar e aprender Matemática (ALLEVATO, 2009). Para Hatfield (1978); Schroeder e Lester (1989); Onuchic (1999); Allevato (2005) e Nunes (2010), uma alternativa seria fortalecer e aprimorar o trabalho com resolução de problemas em sala de aula, conferindo-lhe sua principal função que é desenvolver a compreensão matemática dos alunos, e considerando que a compreensão ou não de determinadas ideias aparece quando se resolve um problema. Os autores destacam três formas de conceber a resolução de problemas: ensinar sobre, ensinar para e ensinar através da resolução de problemas. Ensinar sobre a resolução de problemas significa teorizar a resolução de problemas, isto é, explicar estratégias e métodos para se obter a solução. Ao ensinar para a resolução de problemas, o professor apresenta a Matemática formal para depois oferecer aos alunos um problema, para aplicação e fixação de um conteúdo. Essa é a prática mais usual nas aulas de Matemática e fortemente presente nos livros didáticos. Mas para Onuchic (1999) e Allevato (2005), um bom caminho para o trabalho com Matemática é utilizar a metodologia de ensino através da resolução de problemas. Assim, apresentaremos nas próximas seções aspectos de quando a resolução de problemas aparece como fixação dos conteúdos ou como uma metodologia de ensino. Resolução de Problemas como Fixação dos Conteúdos nas Aulas de Matemática Ainda hoje encontramos com frequência, apesar de tantas alternativas para um trabalho diferenciado, professores que ensinam Matemática considerando que os alunos aprendem por meio da repetição. A concepção de ensinar para resolução de problemas, citada na seção anterior, não raro apresenta essa característica. Nela, o professor ensina o conteúdo, exemplifica 2
como resolver exercícios e problemas utilizando aquele conteúdo, enquanto o aluno fica atento à maneira como o professor os resolve. No final da aula, o professor propõe uma lista de problemas que o aluno deve resolver repetindo os caminhos ensinados pelo professor. Assim, a Matemática ensinada será útil e necessária para resolver os problemas propostos. Essa concepção de ensino é encontrada fortemente também nos livros didáticos, principal material de apoio dos professores em sala de aula. Estabelecendo um paralelo entre a construção do conhecimento científico e a resolução de problemas no ensino, Brasil (1964) afirma: Tradicionalmente o problema é empregado, pelos professores, na verificação e na fixação da aprendizagem. Atentando, porém para a história das ciências, notamos que o problema antecede invariavelmente as descobertas, é o provocador dos estudos e orientador das construções teóricas. Por que no ensino da matemática especialmente, invertemos a ordem natural das coisas? (BRASIL, 1964, p. 22). Concordamos que as ideias matemáticas são resultados de experiências com resolução de problemas, e não elementos fornecidos antes dela. Portanto, ensinar utilizando a resolução de problemas deve começar com as ideias que os alunos já possuem e que serão utilizadas para criar novas ideias. Os professores devem envolver seus alunos em atividades fundamentadas em problemas que requerem pensamentos ativos, pois os estudantes aprendem Matemática com a resolução dos problemas (ONUCHIC; ALLEVATO, 2009; VAN DE WALLE, 2009). Essas ideias sinalizam para uma nova maneira de se conceber a resolução de problemas como metodologia de ensino de Matemática. Resolução de Problemas como Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação nas aulas de Matemática Pesquisas sobre formação de professores têm destacado a preocupação em conhecer de que maneira se realizam os processos de aprender a ensinar Matemática. Também vêm mostrando a necessidade de investir na formação de professores, especialmente quanto ao uso de novas metodologias de ensino. Passos (2000) e Curi (2005) consideram que é necessário rever os conteúdos e buscar metodologias fundamentadas em ações pedagógicas que promovam a busca por informação, investigação, experimentação e renovação do interesse e motivação dos alunos; devem permitir a interação entre aluno e professor, e ter em vista as concepções sobre a natureza da Matemática, o ato de fazê-la e de aprendê-la. 3
Discussões no campo da Educação Matemática buscam melhores formas de ensinar e aprender Matemática. Nos Estados Unidos, o NCTM 1 recomenda que resolver problemas deve ser o foco da Matemática escolar para os anos 80 (NCTM, 1980, p.1). A partir daí, muitos estudos e elaboradores de orientações curriculares têm recomendado a resolução de problemas como metodologia de ensino. Alguns referenciais recomendam práticas para o ensino de Matemática; uma delas é a resolução de problemas como metodologia voltada para a utilização e construção de conceitos matemáticos pelo educando. Por meio de problemas, estimulase a curiosidade, a investigação, a descoberta, a elaboração e (re)elaboração de conceitos que foram usados na resolução do problema (MARANHÃO, 2007). Como podem os professores ajudar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver problemas? A resolução de problemas pode ajudar os alunos a aprenderem Matemática? O ensino através da resolução de problemas seria uma alternativa? E afinal, o que é um problema matemático? Na literatura, encontramos diferentes concepções sobre o que é um problema. Optamos pela de Onuchic (1999): um problema [...] é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver. A autora esclarece que o problema não é um exercício no qual o aluno aplica de forma quase mecânica uma fórmula ou uma determinada técnica operatória (ONUCHIC, 1999, p. 215). Portanto, para ensinar Matemática utilizando a resolução de problemas não basta apresentar um problema e ficar sentado, esperando que alguma mágica aconteça. O professor precisa criar e manter um ambiente motivador e estimulante nas aulas. Essa nova visão de ensino-aprendizagem se apoia, especialmente, na publicação dos Standards 2000 (NCTM, 2000), em que o ensino de Matemática através da Resolução de Problemas é fortemente recomendado. No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) apontam o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles como um dos propósitos do ensino de Matemática; indicam a resolução de problemas como ponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para se fazer Matemática na sala de aula. 1 NCTM National Council of Teachers of Mathematics (Conselho Nacional de Professores de Matemática) organização profissional para professores de Matemática nos EUA sem fins lucrativos. 4
A opção por utilizar a palavra composta ensino-aprendizagem-avaliação tem o intuito de expressar que o ensino, a aprendizagem e a avaliação devem ocorrer simultaneamente, durante a construção do conhecimento dos alunos através da resolução de um problema. Assim, essa metodologia de ensino consegue integrar a avaliação ao processo, ou seja, o professor acompanha os avanços dos estudantes, e (re)planeja sua prática docente quando necessário (ONUCHIC; ALLEVATO, 2009). Não há formas rígidas para colocar em prática essa metodologia, porém as autoras sugerem organizar as atividades seguindo as seguintes etapas: Preparação do problema Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito; Leitura individual Entregar o problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura; Leitura em conjunto - Solicitar nova leitura do problema, agora em pequenos grupos de alunos; Resolução do problema Não havendo dúvidas quanto ao enunciado do problema, os alunos, em seus grupos, buscam resolvê-lo; Observar e incentivar Enquanto os alunos tentam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento deles e estimula o trabalho colaborativo; Registro das resoluções na lousa Representantes dos grupos são convidados a registrar na lousa suas resoluções; Plenária Todos os alunos são convidados a discutir as diferentes resoluções registradas na lousa, defender seus pontos de vista e esclarecer suas dúvidas; Busca do consenso Sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto; Formalização do conteúdo o professor registra na lousa uma apresentação formal do conteúdo matemático, em linguagem matemática, padronizando conceitos e procedimentos construídos através da resolução do problema. Assim, nessa metodologia, os problemas são propostos aos alunos antes de lhes ter sido apresentado formalmente o conteúdo matemático, de acordo com o programa da disciplina para o ano de escolaridade em que eles se encontram e que seja mais apropriado à resolução do problema proposto. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com um problema que expressa aspectos desse tópico, técnicas matemáticas são desenvolvidas na busca de soluções do problema, e a avaliação é feita continuamente durante a sua resolução (ONUCHIC; ALLEVATO, 2009). Contexto e Metodologia da Pesquisa Os dados aqui analisados foram coletados em um dos encontros realizados com 5
(futuros) professores em formação inicial de uma universidade pública do Maranhão. A metodologia de pesquisa é de natureza qualitativa. O pesquisador foi o principal instrumento responsável pela organização e condução das atividades desenvolvidas. A atenção foi colocada nas estratégias utilizadas pelos participantes para resolução do problema, e não nos resultados obtidos (GOLDENBERG, 2007). As atividades desenvolvidas foram leituras e discussões de textos sobre formação de professores, resolução de problemas e proporcionalidade, assim como a prática de resolução de problemas envolvendo esse conteúdo. Nesses momentos, utilizamos a observação participante, buscando identificar aspectos relevantes que demonstrassem superação frente a dificuldades para com a resolução do problema apresentado nesse conteúdo. As observações foram registradas em um diário de campo. Ensino-aprendizagem-avaliação de proporcionalidade através da resolução de problemas Nesta seção, descreveremos e analisaremos um dos problemas aplicados durante a vivência dos (futuros) professores com a Metodologia de Ensino-Aprendizagem- Avaliação através de Resolução de Problemas, cujo objetivo foi verificar como os (futuros) professores de Matemática exploram o conceito de proporcionalidade. O problema utilizado nessa atividade foi: Qual a altura da árvore, de acordo com a figura? Fonte: Adaptação Andrini e Vasconcellos, 2006 Solicitamos aos (futuros) professores que resolvessem o problema individualmente. Durante as observações, mudamos nossa ação e pedimos, após todos terem encontrado uma solução, que, em duplas, discutissem o que haviam feito. O objetivo foi dar a cada dupla a oportunidade de encontrar uma nova solução ou permanecer com a encontrada individualmente. A seguir apresentamos duas resoluções: 6
Resolução apresentada por ADR1 Resolução apresentada por ADR2 Nas resoluções individuais, percebemos que ADR1 2 e ADR2 utilizaram estratégias diferentes. O primeiro resolveu o problema registrando a definição de proporção, enquanto que o segundo foi direto à regra de três apoiando-se na representação geométrica da situação, encontrando, assim, soluções diferentes. Mas nas resoluções apresentadas pela dupla, percebemos que houve uma discussão para chegar a um consenso de uma solução que satisfizesse o que foi solicitado. A dupla utilizou duas tentativas de resolução: Resolução apresentada pela dupla ADR1 e ADR2 Embora a dupla tenha resolvido corretamente em termos algébricos, a solução encontrada (32,5) não corresponde à solução correta do problema, que ficou inacabado. Acreditamos que por isso eles recorreram a uma nova tentativa: 2 Com o intuito de resguardar a identidade de cada um, utilizamos os pseudônimos ADR1, ADR2, ADR3, ADRn, para identificá-los. 7
Resolução apresentada pela dupla ADR1 e ADR2 Percebemos que os (futuros) professores registraram a definição de proporção, ou seja, a igualdade entre duas razões, transformando-a em uma equação de 1º grau para encontrar a solução, isto é, a dupla resolveu utilizando procedimentos algébricos. Dessa vez, de forma correta, eles fizeram o desenho de dois triângulos retângulos, utilizaram o conceito de proporcionalidade e, através da multiplicação dos extremos pelos meios, encontraram o valor desconhecido, x = 32,5m. Somando 5 ao valor de x, ou seja, fazendo (5 + x), encontraram a solução correta, que é 37,5m. ADR2 declarou que teve dificuldade para entender o problema, e só conseguiu perceber o que estava sendo solicitado depois de discutir com o colega. Consideraram que se tratava de dois triângulos semelhantes, por isso somaram a altura do primeiro com a altura do segundo utilizando propriedades das grandezas diretamente proporcionais. Outra dupla apresentou suas resoluções. Primeiramente, individualmente: Resolução de ADR6 8
Resolução apresentada por ADR3 Notamos nas resoluções individuais que os licenciandos utilizaram de estratégias diferentes. ADR6 utilizou o produto cruzado, enquanto ADR3 recorreu ao Teorema de Tales; desse modo, ambos empregaram uma proporcionalidade. Após terem solucionado individualmente o problema, a dupla chegou a um consenso sobre suas resoluções, conforme demonstram os protocolos a seguir: Justificativa e resolução apresentada pela dupla ADR3 e ADR6 Evidenciamos que os licenciandos de fato discutiram suas resoluções e que chegaram a um consenso. ADR3 afirma que analisou a resolução do colega (ADR6), mas que continuou com a sua. O colega confirma e concorda com a posição de ADR3, dizendo que ele estava mais coerente em sua resolução. Percebemos aqui a importância do trabalho em pequenos grupos, pois, com esse processo de ensino-aprendizagem, os licenciandos puderam expor suas ideias, discutilas e, assim, construir novo conhecimento antes mesmo de ser formalizado o conteúdo. Segundo os participantes, de imediato (individualmente) tiveram dificuldades para interpretar o problema, mas depois de algumas discussões entre eles chegaram à 9
conclusão de que para resolvê-lo deveriam utilizar o Teorema de Tales. Então, fizeram uso da proporcionalidade seguida da regra de três. Vejamos, a seguir, outras resoluções: Resolução apresentada por ADR4 O licenciando ADR4 afirma não ter encontrado dificuldade na interpretação do problema, pois observou pela ilustração que se tratava de triângulos semelhantes, por isso resolveu pela proporcionalidade. Porém, não resolveu corretamente o problema. Durante nossas observações notamos que ele estava com dúvidas; questionamos se ele havia entendido o problema e ele respondeu: ADR4: Apesar de ter percebido do que tratava o problema, não consegui fazer a montagem correta. Perguntamos: O que quer dizer com montagem correta? Ele respondeu: Não consegui fazer a relação correta entre os dois triângulos; talvez se tivesse separado, teria ficado mais fácil de enxergar. Outro licenciando apresentou a seguinte resolução: Resolução apresentada por ADR5 10
Notamos na resolução apresentada por ADR5 que ele inicialmente desmembrou os dois triângulos e, a partir daí, utilizou duas estratégias. Na primeira, ele resolveu direto pela proporcionalidade. Na segunda, ele utilizou novamente o aspecto figural, resolvendo pela igualdade entre duas razões, sendo uma algébrica, encontrando, assim, o valor de x. Para encontrar a solução somou o valor encontrado com o valor 5 expresso no problema. Percebemos que esse licenciando resolveu corretamente o problema nas duas estratégias utilizadas por ele. As resoluções individuais de ADR5, matematicamente mais elaboradas do que a de ADR4, foram discutidas, o que permitiu à dupla chegar à resolução correta elaborada em conjunto. A resolução apresentada pela dupla foi: Resolução apresentada pela dupla ADR4 e ADR5 Os licenciandos (ADR4 e ADR5) relatam que não tiveram dificuldade na interpretação do problema; acharam que por terem realizado individualmente e depois discutido em dupla, melhorou o entendimento e, assim, ficou fácil resolvê-lo. Após todos os licenciandos terem entregado as resoluções, perguntamos o que eles tinham achado do nosso procedimento em que solicitamos que primeiro resolvessem individualmente e, em seguida, em duplas. Um dos (futuros) professores disse: ADR2: Ajudou muito, pois pudemos discutir, e só depois disso, chegamos à conclusão de que a minha resolução estava incompleta. Outro licenciando acrescentou: ADR4: Resolver em dupla facilitou, pois fez eu perceber que não estava usando a estratégia correta, e somente após ter discutido com o colega, pude perceber onde havia errado. Logo após, iniciamos nossas discussões (plenária). Começamos com a apresentação das resoluções feitas individualmente, e depois discutimos as resoluções 11
apresentadas pelas duplas. Como se tratava de um conteúdo que já havíamos formalizado anteriormente, desta vez não fizemos a formalização, apenas discutimos cada resolução e chegamos à solução para o problema. Considerações Finais No início de nosso trabalho, trazíamos uma inquietação muito grande em relação à formação inicial de (futuros) professores de Matemática e ao ensino de proporcionalidade e suas conexões com outros ramos da Matemática. Em relação ao nosso objetivo inicial, que é discutir e analisar como (futuros) professores de Matemática, em formação inicial, exploraram o conceito de proporcionalidade através da resolução de problemas, nossa pesquisa revelou que o trabalho realizado em grupo ajudou os (futuros) professores a superarem as dificuldades e a construírem novos conhecimentos em relação ao conteúdo estudado, principalmente às conexões com outras áreas da Matemática. Além disso, Eles também puderam discutir, no momento da plenária, aspectos relacionados a quando e como devem ensinar proporcionalidade. Referências ALLEVATO, N. S. G. Associando o Computador à Resolução de Problemas Fechados: Análise de uma Experiência. 2005. 370 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2005.. Desenvolvendo Diferentes Habilidades do Pensamento por meio da Resolução de Problemas. Anais do XIII Encontro Baiano de Educação Matemática, Jequié, 2009. ANDRINI, A; VASCONCELLOS, M. J. Novo Praticando Matemática, v.4, 1.ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2006. BRASIL, L. A. S. Estudo Dirigido de Matemática no Ginásio. São Paulo: Fundo de Cultura, 1964. BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais- Matemática 1º e 2º ciclos: Matemática. Brasília, 1998. CURI, E. A matemática e os professores dos anos iniciais. São Paulo: Musa, 2005. GOLDENBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em ciências sociais. Rio de Janeiro: Record, 2007. HATIFIELD, L. L. Heuristical emphasis in the instruction of mathematical problem solving: Rationales and research. In: HATIFIELD, L. L.; BRADBARD, D. A. (Org.) Mathematical Problem Solving: papers from a research workshop. ERIC, 1978. MARANHÃO (Estado). Secretaria de Estado da Educação. Proposta Curricular do Estado do Maranhão Matemática: Ensino Fundamental 5ª a 8ª série, 2000. 12
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