MAPAS DE KARNAUGH A.B A.B A. B A. B A.B C. D C.D

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva MAPAS DE KARNAUGH Os Mapas de Karnaugh são uma representação gráfica de uma tabela verdade de modo a tornar mais visível a soma dos produtos e o produto das somas obtido. Por se tratar de uma representação visual, os Mapas de Karnaugh proporcionam uma simplificação de expressões lógicas mais rápida e simples na maioria dos casos, principalmente quando a tabela verdade envolve mais de três variáveis. Graficamente, o Mapa de Karnaugh consiste em uma tabela em que as células representam uma linha da tabela verdade, sendo preenchida pelo valor da variável lógica dependente. ada coluna e cada linha representam uma variável lógica (no caso do Mapa para duas variáveis), ou a combinação do produto lógico entre variáveis. A designação de Mapa provém do fato de que as células periféricas de um lado do Mapa são adjacentes às células do lado oposto. Exemplo: No Mapa abaixo para quatro variáveis A,,, D; as células da coluna de A. são vizinhas ás células da coluna A, e as células da linha D são vizinhas às células da linha. D. A. A. A. A. A. A. A. A. A. D.D D D D. D.D.D.D Assim, é possível deslocar para a esquerda ou direita o posicionamento das colunas e para cima ou para baixo as linhas, sem alterar o Mapa. Observe que é possível deslocar o posicionamento de todas as colunas e linhas, mas não é aconselhável trocar de posição uma coluna com outra ou uma linha com outra. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A..D. D.D. D.D.D.D. D.D.D.D.D É possível trocar o posicionamento entre linhas e colunas, desde que entre colunas e linhas adjacentes exista a diferença de somente uma variável. Esta regra deve ser seguida para que exista ao menos uma variável comum entre duas linhas ou colunas adjacentes, para que os produtos lógicos representados por duplas, quadras, octetos,... possuam pelo menos uma variável comum e outras duas complementares. UTFPR ornélio Procópio 1

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva Simplifica as variáveis e (resta somente A) Simplifica as variáveis e (resta somente A ) Simplifica as variáveis e (resta somente D) Simplifica as variáveis e (resta somente D ) D D D D A. A. A. A. Simplifica as variáveis D e D (resta somente ) Simplifica as variáveis D e D (resta somente ) Elimina as variáveis A e A (resta somente ) Elimina as variáveis A e A (resta somente ) 1. Tipos: Os tipos dos Mapas de Karnaugh são dados pelo número de variáveis que representa. 1.1. Duas variáveis: A Y 0 0 0 1 1 0 Y A A ou A 1 0 1 0 1 1 1.2. Três variáveis: 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Y ou A. 11 10 00 01 1 0 1.3. Quatro variáveis: UTFPR ornélio Procópio 2

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A D Y 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 D Y D D D D ou A 11 10 00 01 11 10 00 01 A construção e a simplificação de Mapas de Karnaugh de cinco, seis,... ou mais variáveis é análoga aos de três e quatro variáveis. MÉTODO DE QUINE-McLUSKEY O algoritmo de Quine Mcluskey, também chamado de método dos implicantes primos ou método da tabulação, é utilizado para a minimização de funções booleanas e foi desenvolvido por W.V. Quine e Edward J. Mcluskey em 1956. onsiste em um método gráfico como os Mapas de Karnaugh, mas na forma tabular, o que o torna mais eficiente para uso em algoritmos de computador, e também fornece um modo determinístico para se determinar quando a forma mínima (a mais simplificada) de uma função booleana é encontrada. Este método consiste na determinação dos implicantes primos que fornecem os pares complementares para a simplificação de uma variável lógica. Implicantes primos são os mintermos que possuem uma variável complementada em comum. O princípio fundamental do Mapa de Karnaugh e do método de Quine-Mcluskey é a seguinte identidade: A. + A. = A.( + ) = A Nesta expressão, A é o termo comum e A. e A. são os mintermos. Mantendo-se a ordem das variáveis na expressão, os mintermos são representados como números binários: A. = 11 2 ; A. = 10 2 UTFPR ornélio Procópio 3

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva O valor decimal equivalente é utilizado na identificação do mintermo: m3 = 11 2 ; m2 = 10 2 Os mintermos são colocados na forma tabular: Expressão lógica Mintermo Representação binária A. m2 10 A. m3 11 Na representação binária, o bit 1 que permanece constante nas duas expressões lógicas representa o termo comum A. A variação de apenas um bit entre duas expressões representa uma simplificação de uma variável, no caso a variável e. Na segunda parte do método, esta simplificação é representada por um traço: Expressão lógica Mintermo Representação binária A. m2 10 A. m3 11 A (m2,m3) 1- Para funções lógicas com mais de uma simplificação, o processo repete-se nas etapas seguintes. omo exemplo, a simplificação da seguinte expressão lógica: Y = A...D + A...D + A...D + A...D Y = m0 + m1 + m4 + m5 Expressão lógica Mintermo Representação binária A...D m0 0000 A...D m1 0001 A...D m4 0100 A...D m5 0101 A.. (m0,m1) 000- A..D (m0,m4) 0-00 A..D (m1,m5) 0-01 A.. (m4,m5) 010- As novas expressões lógicas simplificadas passam pelo mesmo processo de eliminação das variáveis, considerando os novos mintermos: Expressão lógica Mintermo Representação binária A...D m0 0000 A...D m1 0001 A...D m4 0100 A...D m5 0101 A.. (m0,m1) 000- A..D (m0,m4) 0-00 A..D (m1,m5) 0-01 A.. (m4,m5) 010- A. (m0,m1, m4,m5) 0-0- A. (m0,m4, m1,m5) 0-0- UTFPR ornélio Procópio 4

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva Y = A. Exemplos: 1) 2) A Y 0 0 0 0 1 1 A. 1 0 1 A. 1 1 1 A. A Y 0 0 0 0 1 1 A. 1 0 0 1 1 1 A. Mapa de Karnaugh Y A A 1 1 1 0 Y A Y A. A. A. Y A. A.( ) Y A. A.(1) Y A A. m1 01 m2 10 A. A. m3 11 (m1,m3) -1 A (m2,m3) 1- Y = A + Mapa de Karnaugh Y A A 1 1 0 0 Y Y A. A. Y.(A A) Y.(1) Y m1 01 A. A. m3 11 (m1,m3) -1 Y = 3) UTFPR ornélio Procópio 5

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A Y 0 0 1 A. 0 1 1 A. 1 0 1 A. 1 1 1 A. A. A. A. Mapa de Karnaugh Y A A 1 1 1 1 Y=1 Y A. A. A. A. Y A.( ) A.( ) Y A.(1) A.(1) Y A A Y 1 m0 00 m1 01 m2 10 A. m3 11 A (m0,m1) 0- (m0,m2) -0 (m1,m3) -1 A (m2,m3) 1-1 (m0,m1,m2,m3) -- 1 (m0,m2,m1,m3) -- Y 1 4) A Y 0 0 0 0 1 1 A. 1 0 1 A. 1 1 0 A. A. Mapa de Karnaugh: Y A A 0 1 1 0 Y A. A. m1 01 m2 10 Y A. A. UTFPR ornélio Procópio 6

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva 5) 1 0 1 0 1 1 0 1 A.. 1 1 1 1 A.. Mapa de Karnaugh: Y A. Y A.. A.. Y A..( ) Y A..(1) Y A. m6 110 A.. A.. m7 111 A. (m6,m7) 11- Y A. 6) 1 0 1 1 A.. 1 1 1 1 A.. Y=A. Y A.. A.. Y A..( ) Y A..(1) Y A. A.. A.. m7 111 A. (m5,m7) 1-1 Y A. 7) UTFPR ornélio Procópio 7

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva 0 0 1 1 0 1 1 1 A.. 1 0 1 0 1 1 1 1 A.. 1 0 0 1 Y. Y A.. A.. Y..(A. A) Y..1 Y. m3 011 A.. A.. m7 111 A. (m3,m7) -11 Y. 8) 1 0 0 1 A.. 1 0 1 0 1 1 1 1 A.. Y A.. A.. Y A.(..) A... m4 100 A. m7 111 Y A.(..) 9) UTFPR ornélio Procópio 8

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey 0 1 1 1 A.. 1 0 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 1 0 0 1 0 1 Y A.. A. Y A.. A.. A.. Y A.. A..( ) Y A.. A..(1) Y A.. A. Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A.. m3* 011 m4 100 A.. A.. A. (m4,m5) 10- Y A.. A. 10) 0 1 0 1 A.. 0 1 1 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 0 1 A.. 1 1 1 0 A.. A.. A.. A.. A.. 0 1 0 1 1 0 0 1 Y A.. A.. A. Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A.. A.. Y A. A.. A.. Y.(A A.) A.. Y.(A ) A.. m2 010 m4 011 m5* 101 m6 110 (m2,m4) 01- (m2,m6) -10 Y A.. A.. 11) UTFPR ornélio Procópio 9

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva 0 1 1 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 1 1 A.. 1 1 0 1 Y A. A.. Y A.. A.. A.. Y.[A.( ) A.] Y.(A A.) Y.(A ) A.. A... m3 011 A. m7 111. (m3,m7) -11 A. (m5,m7) 1-1 Y. A. 12) 0 0 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 0 1 A.. 1 1 1 1 A.. 1 1 0 1 Y A. A. A.. Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A.. A.. Y A. A.. A.. Y A.(.) A.. Y A.( ) A.. Y A. A. A.. Y A..(A A.) Y A..(A ) A.. A.. m3 011 m6 110 A.. A.. m7 111. (m3,m7) -11 A. (m5,m7) 1-1 UTFPR ornélio Procópio 10

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A. (m6,m7) 11- Y. A. A. 12) 0 0 0 1 A.. 0 1 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 1 1 A.. 0 0 1 1 Y A. A. Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A..( ) Y A..( 1) A..( 1) Y A. A. A.. A.. A... m0 000 m2 010 A. m7 111 (m0,m2) 0-0 A. A. (m5,m7) 1-1 Y A. A. 13) 0 1 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 0 1 A.. 1 1 1 1 A.. A.. A.. 1 0 0 1 Y A. A.. Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A.. A.. Y A. A.. A.. Y A.(.) A.. Y A.( ) A.. Y A. A. A.. Y.(A A.) A. Y.(A ) A. m2 010 UTFPR ornélio Procópio 11

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A.. m6 110 A.. m7 111 (m2,m6) -10. A. (m5,m7) 1-1 A. (m6,m7) 11- Y. A. A. 14) 0 0 0 1 A.. A.. 0 1 1 1 1 0 0 1 A.. 1 0 1 0 1 1 1 1 A.. 1 0 1 0 0 1 0 1 Y A.. A.. A.. A.. Y A.. A.. A.. A.. Y A.(.. ) A.(..) A.. A.. A.. m1* 001 m2* 010 m4* 100 A.. m7* 111 Y A.. A.. A.. A.. Y A.(..) A.(..) 15) 1 0 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 0 1 A.. 1 1 1 1 A.. A.. A.. Y A Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A..( ) Y A..( 1 ) Y A.( ) Y A A..(1) m4 100 UTFPR ornélio Procópio 12

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva 16) A.. 0 0 0 1 A.. 0 0 1 1 A.. 1 0 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 1 0 A.. m6 110 A.. m7 111 A. (m4,m5) 10- (m4,m6) 1-0 A. A. (m5,m7) 1-1 A. (m6,m7) 11- A (m4,m5,m6,m7) 1-- A (m4,m6,m5,m7) 1-- Y A A.. A.. A.. m0 000 m1 001 m4 100 (m0,m1) 00- A.. (m0,m4) -00. (m1,m5) -01 A. (m4,m5) 10- (m0,m1,m4,m5) -0- (m0,m4,m1,m5) -0- Y Y Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A..( ) Y A..(1) A..(1) Y.(A A) Y 17) UTFPR ornélio Procópio 13

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva 0 0 0 1 A.. 0 0 1 1 A.. 0 1 0 1 A.. 0 1 1 1 A.. 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Y A Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A..( ) Y A. A. Y A.( ) Y A A.. A.. A.. A.. A.. A. A. m0 000 m1 001 m2 010 m3 011 (m0,m1) 00- (m0,m2) 0-0 (m1,m3) 0-1 (m2,m3) 01- (m0,m1,m2,m3) 0-- (m0,m2,m1,m3) 0-- Y A 18) 0 0 1 1 A.. 0 1 1 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 1 1 A.. 1 1 1 1 Y Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A..( ) Y A. A. Y.( A A) Y A.. m1 001 A.. m3 011 A.. A.. m7 111 A. (m1,m3) 0-1 UTFPR ornélio Procópio 14

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva (m1,m5) -01.. (m3,m7) -11 A. (m5,m7) 1-1 (m1,m3,m5,m7) --1 (m1,m5,m3,m7) --1 Y 19) 0 1 0 1 A.. 0 1 1 1 A.. 1 0 1 0 1 1 0 1 A.. 1 1 1 1 A.. A A A A 1 0 0 1 1 0 0 1 Y Y A.. A.. A.. A.. Y A..( ) A..( ) Y A. A. Y.( A A) Y 20) A.. 0 0 0 1 A.. A.. A.. 1 0 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 0 1 A.. 1 1 1 1 A.. m2 010 m3 011 m6 110 A.. m7 111 (m2,m3) 01- A.. (m2,m6) -10. (m3,m7) -11 A. (m6,m7) 11- (m2,m3,m6,m7) -1- (m2,m6,m3,m7) -1- Y 1 1 0 1 Y A. Y A.. A.. A.. A.. A.. Y A.. A..( ) A..( ) Y A.. A. A. Y A.. A.( ) Y A.. A Y. A UTFPR ornélio Procópio 15

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A.. A.. A.. A.. m2 010 m4 100 m6 110 A.. m7 111 (m2,m6)* -10. (m4,m5) 10- A. A. (m4,m6) 1-0 A. (m5,m7) 1-1 A. (m6,m7) 11- A (m4,m5,m6,m7) 1-- A (m4,m6,m5,m7) 1-- Y. A 21) 0 0 0 1 A.. 0 0 1 1 A.. 0 1 0 1 A.. 1 0 0 1 A.. 1 0 1 1 A.. 1 1 0 1 A.. 1 1 1 0 1 1 1 1 Y Y A.. A.. A.. A.. A.. A.. Y A..( )..(A A) A..( ) Y A..( 1)..(1) A..( 1) Y A.. A. Y.( A A). Y. Y A.. A.. A.. A.. m0 000 m1 001 m2 010 m4 100 A.. A.. m6 110 A. (m0,m1) 00- A. (m0,m2) 0-0. (m0,m4) -00. (m1,m5) -01. (m2,m6) -10 A. (m4,m5) 10- UTFPR ornélio Procópio 16

Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva A. (m4,m6) 1-0 (m0,m1,m4,m5) -0- (m0,m2,m4,m6) --0 (m0,m4,m1,m5) -0- (m0,m4,m2,m6) --0 Y UTFPR ornélio Procópio 17