ELETROMAGNETISMO
AULA 07 CORRENTE ELÉTRICA E LEI DE OHM
A corrente elétrica pode ser definida como o movimento ordenado de cargas elétricas. O caminho feito pelas cargas elétricas é chamado de circuito. Abaixo temos um circuito condutor fechado. Sabemos que, por se tratar de um condutor, o campo elétrico é nulo em seu interior. Se o campo é zero, então a força sobre as cargas é zero, o que implica que elas estão paradas. Logo, a corrente elétrica é zero. Porém, se ligarmos uma bateria no circuito então um campo elétrico será gerado dentro do condutor. Esse campo fará com que as cargas elétricas se movam ordenadamente, gerando uma corrente.
Por definição, a corrente elétrica é dada no sentido do deslocamento de cargas positivas (embora, hoje saibamos que os verdadeiros portadores de carga de uma corrente sejam negativos). Portanto, num circuito elétrico temos elétrons livres se movendo. Tomemos um fio feito de cobre à temperatura ambiente de 300 K. A velocidade média com que os elétrons se movem no fio é de v e = 10 6 m/s. Quando não há um campo elétrico gerado por uma bateria, os elétrons no condutor se movem em várias direções, de modo que eles colidam entre si e com os íons do cobre. O tempo de colisão é dado por τ = 3 10 14 s. Para o caso do cobre, o número de elétrons livres por m³ é de N = 10 29. Quando ligamos uma bateria ao fio, surge uma corrente, fazendo com que os elétrons passem a se mover para um mesmo sentido (embora as direções aleatórias e as colisões continuem). A velocidade que os elétrons adquirem nesse mesmo sentido é chamado de velocidade de deriva.
Partindo da força elétrica atuando sobre o elétron: F = ee Temos que a aceleração que essa partícula sofre é dada por: a = F m e Que nada mais é do que a segunda lei de Newton. A velocidade de deriva é dada pelo produto da aceleração do elétron com o tempo médio de colisões, logo: v d = aτ Assim, a velocidade de deriva se torna: v d = ee τ m e Supondo que nosso fio tenha 10 metros de comprimento e que a tensão fornecida seja de 10 V, então o campo elétrico terá intensidade de 1 V/m. Logo, a velocidade de deriva será: v d = 1,6 10 19 1 10 30 3 10 14 = 5 10 3 m/s
LEIS DE OHM Definimos matematicamente a corrente elétrica como: i = dq dt Sua unidade de medida é o coulomb/segundo ou ampère (A). Suponha um fio que possui uma área da secção transversal dada por A. A corrente elétrica passando por esse fio é dada por: i = v d NeA Onde N é o número de elétrons. Como já encontramos uma expressão para a velocidade de deriva, podemos substituir na equação acima, obtendo: i = e2 Nτ AE m e
Vamos substituir alguns valores. O termo: e 2 Nτ m e Será chamado de condutividade, e a representamos por σ. A condutividade depende do material. Portanto, nossa equação se torna: i = σae Escrevendo o campo como a tensão sobre o comprimento do fio (E = V/l): i = σav l Isolando a tensão nessa nova equação: V = li σa O termo l/σa é chamado de resistência (R). Assim: V = Ri Esse resultado é conhecido como primeira lei de Ohm. A unidade de medida da resistência é o volt/ampère, ou então ohm (Ω).
Se tomarmos o inverso da condutividade, obteremos a resistividade ρ: ρ = 1 σ Assim, podemos reescrever a resistência como: R = ρl A Essa é a segunda lei de Ohm. Essas leis nos dizem que a resistência dificulta a passagem da corrente elétrica e que, quanto maior for o diâmetro do fio (maior sua área) menor será a resistência. O seguinte desenho ilustra bem essa ideia.
A tensão fornecida pela bateria gera a corrente elétrica. A resistência, por sua vez, dificulta a passagem da corrente. Podemos escrever a velocidade de deriva em termos da densidade de corrente. A densidade de corrente é definida como: J = i A Sua unidade é o ampère/metro². Partindo da relação da corrente com a velocidade de deriva: i = v d NeA Em termos da densidade de corrente: i A = J = v dne Em termos vetoriais: J = Ne v d
DEPENDÊNCIA DA TEMPERATURA Não é somente a área do fio, ou o material de que é feito, que influência na resistência. A temperatura também é um fator importante. A lei de Ohm nos diz que a relação da tensão com a corrente é linear. Para os metais em geral, a resistividade varia com a temperatura também de forma linear, de modo que: ρ ρ 0 = ρ 0 α T T 0 Nessa equação, T 0 é uma temperatura de referência e ρ 0 é a resistividade nessa temperatura. O termo α é chamado de coeficiente de resistividade de temperatura. Se a temperatura aumenta então os elétrons ficarão mais agitados, diminuindo o tempo de colisões. Portanto, aumentando a temperatura, a resistência aumenta. Se a temperatura se tornar muito alta, a relação entre a tensão e corrente deixa de ser linear (temos um resistor não ôhmico).
Em azul temos os materiais condutores. Em verde temos os materiais semicondutores e em vermelho os materiais isolantes. Note a diferença de resistividade entre um condutor e um isolante.
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES Assim como fizemos com os capacitores, podemos associar resistores em série e em paralelo. Para resistores em série, temos que a mesma corrente passa pelos dois resistores. Supondo que estamos trabalhando com apenas dois resistores R 1 e R 2, a lei de Ohm nos fornecerá: V = i R 1 + R 2 V 1 = ir 1 V 2 = ir 2 Portanto, podemos substituir os dois resistores por um equivalente. Se tivermos n resistores: R eq = n i=1 R i
Para resistores em paralelo, a corrente encontrará mais de um percurso para fazer. Porém, as tensões serão as mesmas. Assim, para dois resistores: V = i 1 R 1 V = i 2 R 2 A corrente total será: i = i 1 + i 2 E sendo i = V/R, teremos: i = i 1 + i 2 = V 1 + 1 R 1 R 2 Para n resistores em paralelo, o resistor equivalente é: 1 R eq = n 1 R i i=1
A TEORIA DE BANDAS Para compreender melhor como ocorre a movimentação de partículas num material, é preciso estudar a chamada teoria de bandas. Infelizmente essa teoria não será tratada nesse curso, mas podemos ter uma ideia. Os elétrons de cada átomo em um sólido estão sujeitos à interação com os átomos vizinhos. Ao aproximarmos um átomo do outro, os níveis de energia de cada um serão perturbados pela presença do átomo vizinho, de acordo com o princípio da exclusão de Pauli. Ao aproximarmos um grande número de átomos, teremos um grande número de níveis de energia próximos, formando uma banda. O espaço entre as bandas é chamado de gap e é ele, basicamente, que determinará a diferença entre um condutor, semicondutor e isolante. Mas para estudar melhor a teoria de bandas será necessário estudar a teoria quântica, e isso deixaremos para outro curso.