GEOMETRIA GRÁFICA TRIDIMENSIONAL

Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Expressão Gráfica Apostila Volume Teórico GEOMETRIA GRÁFICA TRIDIMENSIONAL Autoras: Profª Andiara Lopes Profª Mariana Gusmão 2017

APRESENTAÇÃO e AGRADECIMENTOS Caro(a) Aluno(a), Esta é uma apostila desenvolvida especialmente para os alunos da disciplina Geometria Gráfica Tridimensional, ministrada no Ciclo Básico do Curso de Engenharias da Universidade Federal de Pernambuco. Essa apostila surgiu da necessidade de registrar soluções didáticas encontradas em sala de aula e discussões posteriores realizadas periodicamente por uma equipe de professores que ministram essa disciplina desde 2009. Vale salientar que essa equipe de professores não é fixa e, portanto, não há como registrar nominalmente cada um dos membros que contribuiu com as discussões. Essa apostila aborda três tipos de projeções bastante utilizadas em desenho técnico: Cavaleira, Desenho Isométrico e Sistema Mongeano. Além disso, aborda temas como Vistas Auxiliares, Verdadeira Grandeza e o estudo da Seção Plana nos sólidos básicos. A apostila está dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo é introdutório e aborda algumas noções básicas sobre desenho, representação, projeção e perspectiva, bem como materiais de desenho e sua utilização. O segundo capítulo trata da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. O terceiro capítulo aborda o Desenho Isométrico, que é uma simplificação da Perspectiva Cilíndrica Isométrica. O quarto capítulo tem como tema o Sistema Mongeano de Representação. Finalmente, o quinto e sexto capítulos tratam dos estudos de Verdadeira Grandeza e Seção Plana, respectivamente. Os exercícios foram retirados, em parte, de livros e apostilas, especialmente do livro do professor Mário Duarte e da apostila anterior da disciplina, do professor João Duarte. Outra parte dos exercícios foi retirada de provas anteriores elaboradas pela equipe de professores já citada acima.

SUMÁRIO CAPÍTULO 1 Noções Básicas 1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 4 1.2. Instrumentos de Desenho 4 1.3. Elementos Básicos do Desenho 6 1.4. O Desenho como Linguagem 7 1.5. Ortoedro de Referência 9 1.6. Sistema de Projeção 11 1.7. Tipos de Projeção 12 1.7.1. Projeção Cônica 13 1.7.2. Projeção Cilíndrica 15 1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 16 CAPÍTULO 2 Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 19 2.2. Eixos Coordenados 19 2.3. O Eixo y 21 2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 22 2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) 22 2.4.2. Fator de Deformação (K) 23 2.5. Rotação da Peça 24 2.5.1. Diferença entre Rotação e Variação do Quadrante de Projeção do Eixo y 25 2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 26 2.6. Cilindros e Cones 26 2.6.1. Cilindros 28 2.6.2. Cones 29 2.6.3. O Desenho da Elipse 29 CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico 3.1. Caracterização da Axonometria 34 3.2. Caracterização do Desenho Isométrico 35 3.3. Desenho Isométrico na Prática 36 3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência 37 3.4. 1. A Visualização de Todas as Faces 37 3.4.2. Rotação da Peça 38 3.5. Cilindros e Cones 38 3.5.1. O Desenho da Elipse e da Oval 40

CAPÍTULO 4 A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 4.1. Introdução 45 4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 46 4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção 48 4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros 49 4.3.2. Segundo e Quarto Diedros 50 4.3.3. Sistemas Alemão e Americano 50 4.4. As Seis Vistas 51 4.5. Os Eixos Coordenados 55 4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça 56 4.7. A Escolha das Vistas 57 4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano 58 4.9. Os Sólidos Básicos: Prismas, Pirâmides, Cilindros, Cones e Esferas 61 4.9.1. Prisma 61 4.9.2. Pirâmides 63 4.9.3. Cilindros 64 4.9.4. Cones 67 4.9.5. Esferas 69 CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza 5.1. Definições e Usos 72 5.1.1. Compreendendo as Três Posições Básicas: Paralela, Perpendicular e Oblíqua 72 5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar 74 5.3. Mudança de Plano 77 5.4. Caso 1 77 5.5. Caso 2 79 5.6. Caso 3 81 CAPÍTULO 6 Seção Plana 6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e Interseção 84 6.1.1. Superfície e Sólido 84 6.1.2. Interseção e Seção 85 6.2. Seção Plana de Sólidos Geométricos Básicos 87 6.2.1. Seção Plana de Prismas 87 6.2.2. Seção Plana de Pirâmides 89 6.2.3. Seção Plana de Cilindros 92 6.2.4. Seção Plana de Cones 96

CAPÍTULO 1 Noções Básicas UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 Noções Básicas 1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho O conteúdo dessa disciplina é importante para os estudantes de engenharia porque a prática profissional inclui a resolução de problemas que envolvem a visualização e representação de objetos e construções em diversas escalas nos projetos de engenharia. O principal objetivo da disciplina Introdução ao Desenho é desenvolver as habilidades de visualização espacial, expressão e interpretação gráficas. Isso quer dizer que ao final do semestre, se espera que os alunos possam visualizar sólidos geométricos, se expressar graficamente e representar objetos em cavaleira, desenho isométrico e no sistema mongeano. Para tanto, a metodologia utilizada na disciplina inclui aulas expositivas e resolução de exercícios em sala. No entanto, para atingir um nível satisfatório na disciplina é necessário que o aluno reserve tempo extra-aula para complementar com resolução de exercícios. A disciplina será divida em três unidades: I) cavaleira e desenho isométrico; II) sistema mongeano e; III) verdadeira grandeza e seção plana. Ao final de cada unidade será realizada uma prova. O assunto é cumulativo. O calendário do curso é fixo, portanto as datas das provas são definidas no início do semestre. As informações e materiais trocados entre professor e aluno deverão ser feitas em sala de aula e através de e-mail. 1.2. Instrumentos de Desenho É muito importante que os alunos das disciplinas de desenho tenham total domínio do uso dos instrumentos básicos de desenho. 1. Lapiseira: recomenda-se o uso de lapiseira com grafite do tipo HB com espessura de 0,5 mm, para evitar perda de tempo e imprecisão. 2. Borracha: recomenda-se o uso de borracha branca macia, se possível borracha específica para desenho técnico. 3. Régua: recomenda-se o uso de régua transparente de plástico ou acrílico, com 15 ou 20 cm. 4. Compasso de Metal: recomenda-se o uso de compasso de metal. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar arcos e circunferências, mas ele também pode ser usado para transportar medidas e ângulos. 5. Par de Esquadros: recomenda-se o uso de um par de esquadros que não tenham marcação de escala. No par, um deve ter dois ângulos de 45ᵒ e o outro um ângulo de 60ᵒ e um de 30ᵒ. Veja as figuras 1.1 e 1.2. O tamanho dos esquadros é medido pelo lado maior, a hipotenusa do triângulo formado pelo esquadro de 45ᵒ e o lado de tamanho médio, cateto maior, do esquadro de 60ᵒ. 4

CAPÍTULO 1 Noções Básicas Fig. 1..1 Fig. 1.2 Os esquadros são vendidos em pares por duas razões: primeiro porque um serve de apoio para o outro no traçado de linhas paralelas e perpendiculares e segundo, porque quando usados em conjunto com a régua T ou a régua paralela, seus ângulos permitem a formação de diversos outros ângulos. Ver figura 1.3. Fig. 1.3 6. Papel: recomenda-se o uso de papel branco com formato A4. A quantidade a ser utilizada é de aproximadamente meia resma. O formato básico de papel designado de A0 (A zero) considera um retângulo de 841 mm (altura a ) por 1.189 mm (largura l ) correspondente a 1 m² de área. Deste formato derivam-se os demais formatos na relação l = a 2, conforme figura 1.4. Fig. 1.4 http://blog.creativecopias.com.br/simplificando-o-tamanho-e-formato-dos-papeis/ 5

1.3. Elementos Básicos do Desenho UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 Noções Básicas O desenho possui quatro elementos básicos por meio dos quais podemos expressar ideias. São eles: o ponto, a linha, a superfície e o volume. Esses elementos são conceitos ou ideias, portanto são abstratos. Quando desenhamos um ponto, uma linha, uma superfície ou um volume esses conceitos deixam de ser conceitos e passam a ser formas ou representações. 1. O Ponto: É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele indica uma posição, não possui formato ou dimensão, não ocupa um lugar no espaço. É também o lugar do cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. É representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino (A, B, D, K) ). Observe as figuras 1.5, 1.6 e 1.7. Fig. 1.5 Fig. 1.6 Fig. 1.7 2. A linha: À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma linha. Assim, a linha é o enfileiramento de pontos unidos. Possui apenas uma dimensão (comprimento); mas possui posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, conforme veremos. É representada por uma letra minúscula do alfabeto latino (a, b, c, r, p, q, v, x). A linha define os limites de uma superfície e podem ser classificadas de acordo com o Formato e de acordo com o Traço. Nessa disciplina utilizaremos, com relação ao formato, linhas retilíneas e linhas curvas. Com relação ao tipo de traço, utilizaremos três tipos de linhas, conforme o quadro abaixo. TIPO DE LINHA Linha fina contínua Linha grossa contínua DESENHO FUNÇÃO Representar linhas auxiliares de construçãoo ou arestas não visíveis no desenho da cavaleira e do desenho isométrico Representar arestas visíveis Linha grossa tracejada Representar arestas não visíveis no sistema mongeano 6

CAPÍTULO 1 Noções Básicas 3. A superfície: Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção intrínseca, se torna uma superfície. Assim, a superfície é o enfileiramento de linhas unidas. As superfícies possuem apenas duas dimensões, profundidade e largura. A superfície define os limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, conforme veremos. É representada por uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ, λ, π, φ). 4. O Volume: A trajetória de uma superfície em uma direção, que não seja a sua direção intrínseca, se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três dimensões: largura, altura e profundidade. No espaço o volume é limitado por planos. Ver figura 1.8. Fig. 1.8 1.4. O Desenho como Linguagem De maneira geral, o desenho é uma forma de linguagem. Em outras palavras, pode-se dizer que um dos interlocutores usa-o paraa representar uma ideia e, assim, transmiti-laa para o outro. No campo das engenharias, ele adquire um caráter específico, uma vez que precisa representar a forma, dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada projeto. Para os desenhos dessa natureza dá-se o nome de Desenho Técnico. Nas engenharias, como em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de se criar formas, desde um parafuso até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de criação, sendo seu produto um projeto. Esse último consiste na representação daquilo que está no plano das ideias, para que essas sejam compreendidas e executadas pelos outros profissionais envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer maneira, deve obedecer a alguns padrões e procedimentos que visem sua universalização. Dessa maneira, o desenho técnico cumpre sua função, que é a de estabelecer a comunicação entre as partes envolvidas no processo de criação e execução de objetos. Em um desenho artístico a representação é uma escolha do artista, este não tem compromisso com o que é real, sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e quanto mais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho artístico, o desenho técnico é comprometido com a representação da realidade. Essa sua característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no processo de produção de um 7

CAPÍTULO 1 Noções Básicas objeto através da linguagem universal. Observe as figuras abaixo e reflita um pouco sobre as diferenças entre o desenho artístico, à esquerda, e o desenho técnico, à direita. Kandinsky, Arch and Point, 1923 http://www.invisiblebooks.com/kandinsky.htm Fig. 1.9 http://aordemsinequanonoide.blogspot.com.br/2010/12/desenhotecnico-mecanico.html Fig. 1.10 Para representar um objeto é importante perceber que todos os objetos que estão a nossa volta possuem três dimensões: largura, altura e profundidade. Quando vamos fazer a representação desse objeto, as dimensões precisam ser desenhadas em uma superfície com apenas duas dimensões, como é o caso do papel ou da superfície da tela do computador. Como fazer essa representação é exatamente o objetivo dessa disciplina. É importante salientar, mais uma vez, que a representação para o desenho técnico, não pode ser feita de maneira aleatória, ela deve obedecer a normas específicas para garantir a universalidade da linguagem. Tanto quem desenha como quem lê o desenho precisa falar a mesma língua, ou seja, dominem a representação na qual o desenho foi feito. Visando padronizar as possíveis representações de um objeto foram criados sistemas de representação. Os sistemas de representação são como linguagens a qual os profissionais da área dominam. Quem desenha e que lê o desenho sabem em qual sistema de representação o objeto foi desenhado, sabe retirar/interpretar do próprio desenho as informações necessárias para a sua construção. As representações dentro dos Sistemas de Representação são chamadas de perspectivas. O principal objetivo perspectivas é representar em uma superfície bidimensional as três dimensões de um objeto. Existem duas etapas nessa representação. A primeira diz respeito ao processo cognitivo de transpor a imagem do objeto real para a representação do mesmo no papel. A outra etapa é, exatamente, percorrer o caminho inverso, o qual consiste em perceber a tridimensionalidade do objeto quando ele está representado em duas dimensões, ou seja, no papel. Ambos os processos requerem o domínio das regras que diferenciam asperspectivas. A palavra perspectiva possui origem grega e deriva da palavra Perspicere, que significa ver através de. A maneira mais simples de definir perspectiva é: Perspectiva é a representação de um objeto ou paisagem que possui três dimensões em desenho, ou pintura, ou outra forma de 8

CAPÍTULO 1 Noções Básicas representação gráfica, em duas dimensões. Ou ainda, a representação de três dimensões em duas dimensões. PERSPECTIVA = 3D 2D Abaixo estão diferentes representações de um mesmo objeto utilizadas no desenho técnico, figuras 1.11, 1.12, 1.13 e 1.14. Axonometria Cônica Fig. 1.11 Isometria Fig. 1.12 Cavaleira Fig. 1.13 Mongeano Fig. 1.14 Essas representações se diferenciam em função de dois aspectos: 1 ) Posicionamento do ORTOEDRO DE REFERÊNCIA, que imaginariamente envolve o objeto, em relação ao plano de projeção e; 2 ) Tipo de projeção. A seguir será explicado o significado de cada um desses termos. 1.5. Ortoedro de Referência A utilização do ortoedro de referência é uma técnica muito útil quando se trabalha com representações em geral. Ela consiste em imaginarmos o objeto que queremos desenhar dentro de uma caixa, mas não de uma caixa qualquer. Essa caixa também pode ser chamada de ortoedro auxiliar, ortoedro envolvente, ou ainda, de paralelepípedo de referência. Ver figura 1.15. O ortoedro de referência possui características que facilitam a visualização espacial do objeto, são elas: 1. Todas as suas arestas são paralelas a algum dos três eixos coordenados x, y e z, largura, profundidade e altura, respectivamente; 2. Possui faces retangulares; 3. As faces formam ângulos retos umas com as outras; 4. As faces opostas são iguais entre si. 9

CAPÍTULO 1 Noções Básicas Fig. 1.15 As figuras 1.16 e 1.17 mostram um mesmo objeto inserido em dois ortoedros de referência diferentes. Esse exemplo nos mostra como o mesmo objeto pode ter interpretações diferentes, dependendo da colocação do ortoedro. Na figura 1.16 a face ABC está perpendicular ao chão, colada com a face frontal do ortoedro. Já na figura 1.17 a face ABC está inclinada, ou oblíqua ao chão, como uma rampa. Figura 1.16 Figura 1.17 A técnica do ortoedro de referência é um artifício que utilizamos para desenhar objetos quaisquer. É muito importante que ortoedro envolva o objeto completamente e, além disso, que fique bem colada ao objeto, de modo que possibilite a coincidência de faces e arestas do objeto com faces do ortoedro. Dessa maneira, o ortoedro de referência seria a MENOR CAIXA POSSÍVEL capaz de conter o objeto que queremos desenhar. Muitas vantagens podem ser vistas quando usamos o ortoedro de referência: 1. O ortoedro é um objeto simples de ser desenhado; 2. O uso do ortoedro faz com que possamos controlar quais faces queremos mostrar, porque primeiro decidimos como fica o desenho do ortoedro e só então colocamos o objeto dentro dele; 3. Como o ortoedro possui todas as suas arestas paralelas a um dos três eixos coordenados, é fácil fazer uma correlação entre as medidas do objeto e as medidas do ortoedro; 4. Qualquer objeto pode ser colocado, ou imaginado, dentro de um ortoedro, especialmente os objetos com faces curvas ou muito detalhadas. Quando mais detalhado é o objeto mais precisamos do ortoedro de referência. A figura 1.18 mostra um objeto qualquer e a figura 1.19 mostra o mesmo objeto inserido no Ortoedro. 10

CAPÍTULO 1 Noções Básicas Fig. 1.18 Fig. 1.19 1.6. Sistema de Projeção As representações têm em seu arcabouço sistemas de projeção. Para entender como funciona um sistema de projeção o exemplo mais comumente utilizado é o da sombra. Ver figura 1.20. http://well31.comunidades.net/index.php?pagina=1305455344 Fig. 1.20 Na figura 1.18, da fonte de luz (F) saem os raios luminosos que iluminam o objeto e a parede atrás do objeto. A sombra acontece porque os raios que iluminam o objeto não chegam até a parede, deixando a projeção da imagem do objeto na superfície bidimensional da parede. Um sistema de projeção funciona de forma semelhante. Para representar um objeto primeiramente é necessário projetá-lo. O processo de projeção funciona como uma cena, para compreendê-la precisamos conhecer alguns elementos básicos que a compõe. São eles: a. Observador: centro de projeção; b. Objeto: o objeto é o que queremos representar; c. Projetantes: raios visuais que partem dos olhos do observador; d. Plano de Projeção: é o plano onde será desenhada a projeção. A cena funciona da seguinte maneira: o observador observa o objeto. Para perceber o objeto, dos olhos do observador partem raios visuais, ou projetantes, que conectam os olhos do observador aos limites do objeto, projetando o objeto no plano de projeção. Os pontos, onde as projetantes passam ou tocam no plano de projeção definem o desenho da projeção do objeto, que consiste em uma imagem bidimensional proporcional ao objeto tridimensional. 11

CAPÍTULO 1 Noções Básicas Na figura 1.21 abaixo o centro de projeção está representado pela lanterna, os raios de luz que saem da lanterna (projetantes) incidem sobre o objeto projetando-o no plano do quadro (plano de projeção). http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html Fig. 1.21 Na situação anterior o exemplo foi dado a partir de um objeto real, porém, podemos imaginar uma situação na qual o objeto é virtual, ou seja, existente apenas como uma ideia. Sendo assim, é necessário um grau de abstração relativamente maior para imaginar toda essa cena primeiramente em nossa mente, para, só então, representar no papel a projeção final do processo. 1.7. Tipos de Projeção Existem dois tipos de projeção bastante conhecidos e utilizados, a PROJEÇÃO CÔNICA e a PROJEÇÃO CILÍNDRICA. Nessa disciplina serão abordadas as projeções Cilíndricas: cavaleira, isometria e sistema mongeano. Observe abaixo um quadro síntese que mostra o mesmo objeto sendo representado em cada um dos tipos de projeção. 12

CAPÍTULO 1 Noções Básicas 1 FUGA PROJEÇÃO CÔNICA 2 FUGAS 3 FUGAS TIPOS DE PROJEÇÃO CAVALEIRA PROJEÇÃO CILÍNDRICA AXONOMETRIA ISOMETRIA DIMETRIA TRIMETRIA SISTEMA MONGEANO 1.7.1 Projeção Cônica Na projeção Cônica o centro de projeção é chamado de PRÓPRIO, isso porque ele está a uma distância finita do objeto. Esse sistema é bem semelhante ao exemplo dado anteriormente, que comparou o centro de projeção com uma lanterna. No exemplo da figura 1.22 é fácil perceber que as projetantes que partem dos olhos do observador formam um feixe cônico. Por essa razão o sistema é chamado de Cônico. Esse feixe projeta o objeto, a esfera, no plano de projeção, ficando a imagem projetada em forma de circunferência. 13

CAPÍTULO 1 Noções Básicas Na figura 1.23 temos um exemplo da uma projeção cônica de um objeto bidimensional, o triângulo ABC, o qual projetado segundo um centro de projeção O, forma a imagem A B C. Projeção cônica Fig. 1.22 http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 Projeção cônica Fig. 1.23 Nesse curso nós não estudaremos esse tipo de projeção. Mas é importante sabermos que a projeção cônica imita a visão humana. Por isso, seu desenho é mais facilmente percebido, mesmo por pessoas que não conhecem o desenho. Nas figuras 1.24 e 1.25 temos a mesma cena vista de ângulos diferentes. A cena mostra uma projeção cônica com o plano de projeção localizado entre o observador e o objeto. Ao observarmos as duas imagens, podemos perceber claramente a relação entre observador, projetantes, objeto e sua imagem. http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html Fig. 1.24 14

CAPÍTULO 1 Noções Básicas http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html Fig. 1.25 1.7.2. Projeção Cilíndrica Na projeção Cilíndrica o observador está uma distância infinita do objeto. Nesse caso o centro çde projeção é IMPRÓPRIO, ver figura 1.26. As projetantes ao invés de serem concorrentes (num ponto que é o centro de projeção), como ocorre no sistema cônico de projeção, elas são paralelas. Isto é, as projetantes partem do centro de projeção num feixe em forma de cilindro, é por essa razão que esse sistema de projeção é chamado de cilíndrico. Um exemplo que ilustra bem a mecânica desse sistema de projeção é o dos raios luminosos que partem do sol. O sol está a uma distância tão grande da terra que ao chegar à sua superfície os raios luminosos estão quase paralelos entre si e aí projetam a sobra dos objetos sobre a superfície terrestre de forma cilíndrica. http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoesconicas.html Fig. 1.26 15

CAPÍTULO 1 Noções Básicas No sistema cilíndrico de projeção podemos ter as projeções cilíndricas oblíquas (figura 1.27) e as projeções cilíndricas ortogonais (figura 1.28). O que diferencia uma da outra é exatamente o ângulo de incidência das retas projetantes no plano de projeção. Nas projeções cilíndricas oblíquas o ângulo é diferente de 90 e nas projeções cilíndricas ortogonais esse ângulo é igual a 90. Reparem a diferença: http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 Projeção Cilíndrica Oblíqua Fig. 1.27 http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 Projeção Cilíndrica Ortogonal Fig. 1.28 1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica Uma coisa muito importante e motivadora para aprender um novo assunto é saber sobre a aplicabilidade do que se está aprendendo. Uma pergunta sempre válida diante de um novo conhecimento é Que usos esse assunto possui?. No caso dessa disciplina a pergunta seria? Que usos a representação de objetos tridimensionais em duas dimensões pode ter para um futuro engenheiro? A primeira aplicação seria a representação de objetos que muitas vezes estão apenas no plano das ideias. Quando é necessário comunicar uma ideia para outros, apenas palavras não explicam tudo, especialmente quando as ideias tratam de formas. 16

CAPÍTULO 1 Noções Básicas As Perspectivas Cilíndricas são indispensáveis para todas as áreas do conhecimento que trabalham ou estudam a FORMA: Arquitetura, Engenharia, Arte, Design, Expressão Gráfica, entre outras. Tal tipo de representação é a base do desenho técnico. Outra aplicação das Perspectivas Cilíndricas está presente em manuais de equipamentos sejam de móveis, de máquinas e até de brinquedos. Esses se utilizam das perspectivas cilíndricas tipo cavaleira ou axonometria (usualmente o desenho isométrico) para representar peças e equipamentos. Veja a figura 1.29 de um manual virtual para montagem de um brinquedo. Observe que desde as peças do menu até a representação da peça a ser montada estão em desenho isométrico. http://www.baixaki.com.br/download/lego-digital-designer.htm Fig. 1.29 Uma terceira forma de aplicação das perspectivas está nos ambientes virtuais de jogos e manuais. Nesse ambiente a visão isométrica é um recurso amplamente utilizado, como mostra a figura 1.30. http://www.tecmundo.com.br/1085-o-que-e-visao-isometrica-.htm Fig. 1.30 17

CAPÍTULO 1 Noções Básicas Na área das Engenharias a aplicabilidade das perspectivas em geral é quase uma obrigatoriedade, porque não há como falar de objetos, sejam reais ou virtuais, sem lançar mão do uso de algum tipo de representação da forma (ver figura 1.31). As perspectivas nesse caso são o recursos que estabelecem a comunicação na área. Nesse caso é possível utilizar tanto as perspectivas feitas à mão livre, quanto as feitas com esquadros e compasso, até mesmo as feitas com o auxílio de softwares especializados. Independentemente de como as perspectivas são elaboradas, para desenhá-las são necessários conhecimentos específicos sobre o assunto. HTTP://WWW.NAVAL.COM.BR/BLOG/2012/03/09/AVISOS-HIDROCEANOGRAFICOS-FLUVIAIS-AVHOFLU-RIO-SOLIMOES-E-RIO- NEGRO/ Fig. 1.31 Muitos acreditam que com o amplo uso do computador não será mais necessário aprender certos conceitos, essas pessoas esquecem que o computador não realiza procedimentos sozinho. Para que o desenho seja feito com softwares é preciso efetuar comandos, caso contrário, mesmo com os mais avançados softwares disponíveis no mercado, o desenho pode findar incorreto ou incompleto. 18

CAPÍTULO 2 PERSPECTIVA CILÍNDRICA CAVALEIRA 2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira Conforme visto no item 1.4 do capítulo anterior, as representações de objetos em perspectiva se diferenciam em função de dois aspectos: 1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 2. Tipo de projeção. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, que está representada na figura 2.1, a posição característica ortoedro de referência é tal que sua face frontal SEMPRE ficará paralela ao plano de projeção. Já a projeção é do tipo CILÍNDRICA OBLÍQUA, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre si, porque o observador está em um ponto impróprio, e essas encontram o plano de projeção de forma oblíqua, fazendo, portanto, um ângulo diferente de 90ᵒ, como aparece na figura 2.1. Fig. 2.1 Fonte: DUARTE, 2008. Fig. 2.2 A análise da figura 2.2, que traz a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do objeto da figura 2.1, mostra que os ângulos retos existentes na face frontal são mantidos em sua verdadeira grandeza, ou seja, a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira mantém a VG das medidas angulares, bem como lineares na face frontal da peça. Lembrando que isso ocorre porque a face frontal encontra-se paralela ao plano de projeção. Além disso, as arestas referentes às profundidades e às alturas são paralelas entre si. 2.2. Eixos Coordenados A visualização de objetos tridimensionais se dá com mais facilidade quando se utilizam os eixos coordenados, uma vez que eles funcionam como uma estrutura que dá suporte a todo o desenho. A figura 2.3 traz um desenho esquemático dos três eixos coordenados. Nele está o eixo x, que é o eixo referente às larguras; o eixo y que é o eixo referente às profundidades, e o eixo z, que é o eixo referente às alturas. Dessa forma, todas as larguras da peça ficarão paralelas ao eixo x, todas as profundidades ficarão paralelas ao eixo y e todas as alturas ficarão paralelas ao eixo z. 19

CAPÍTULO 2 - Cavaleira Fig. 2.3 Fig. 2.4 Posicionamento das Faces A figura 2.4 mostra um dado desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado é a FACE SUPERIOR do objeto, a face que contém o número dois é a FACE FRONTAL e a face que contém o número três é a FACE LATERAL DIREITA. A face oposta à face frontal é a FACE POSTERIOR, já a face oposta à face superior é a FACE INFERIOR e, finalmente, a face oposta à face lateral direita é a FACE LATERAL ESQUERDA. ATENÇÃO! É muito comum confundir a denominação das faces laterais, esquerda e direita. A face lateral esquerda fica do lado esquerdo de quem observa. Consequentemente, a face lateral direita fica do lado direito. Lembrem-se de que desenhos são inanimados, eles não possuem consciência e referência próprias. O observador é quem denomina as partes, direções e demais elementos do desenho. Portanto, é o referencial de quem observa que é levado em consideração. Quando os eixos coordenados são desenhados, como na figura 2.3, é possível perceber alguns aspectos particulares desse tipo de Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. O primeiro deles é a manutenção da ortogonalidade entre os eixos x e z. Se considerarmos o espaço tridimensional, é possível afirmar que todos os eixos fazem 90ᵒ entre si. No entanto, se considerarmos a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira só enxergamos 90ᵒ de fato entre os eixos x e z. Essa característica confere à Perspectiva Cilíndrica Cavaleira um aspecto importante que é o fato dos ângulos e medidas contidas na face frontal e posterior do ortoedro de referência manterem suas verdadeiras grandezas (VG), isto é, as medidas do desenho são iguais às medidas do objeto real. É por essa razão que se diz que na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira as faces paralelas ao plano de projeção estão em VG. Já as outras faces sofrem algum tipo de deformação, fato que será estudado com mais detalhes adiante. Dessa maneira, quando se desenha uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira os eixos x e z SEMPRE fazem 90ᵒ entre si, ou seja, eles ficam fixos nessa posição, já o eixo y não tem uma posição fixa. A variação da direção do eixo y e as implicações dela serão estudadas no próximo item. 20

2.3. O Eixo y UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira As perspectivas sempre mostram três faces. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira a face frontal, que fica paralela ao plano de projeção, SEMPRE é mostrada. Esta é, em geral, a principal face da peça. Usualmente, são mostradas as três faces que contêm mais detalhes ou as três que melhor definem o objeto. Sendo assim, podemos ter apenas as seguintes combinações: Frontal, lateral direita e superior; Frontal, lateral esquerda e superior; Frontal, lateral direita e inferior, e; Frontal, lateral esquerda e inferior. A representação de um ou de outro conjunto de faces, acima listados, depende da direção escolhida para projetar o eixo coordenado y, pois, como foi mencionado, os eixos x e z ficam fixos, fazendo 90 entre si. Assim, caso a direção escolhida para o eixo y seja como a que está na figura 2.5, as faces mostradas são a FRONTAL, a LATERAL ESQUERDA e a SUPERIOR. Já se a direção de y for como na figura 2.6 as faces mostradas são FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. Fig. 2.5 Fig. 2.6 A figura 2.7 traz a síntese das quatro possíveis direções que o eixo y pode assumir, bem como as faces que são mostradas em cada caso. Quando a direção escolhida para a projeção do eixo y é a que está no quadrante 1, são mostradas as faces: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e INFERIOR. No quadrante 2 são as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. No quadrante 3, as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR; e, finalmente, no quadrante 4, as faces mostradas são: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e SUPERIOR. 2 1 3 4 Fig. 2.7 21

2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira Para que uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira possa ser elaborada dois parâmetros precisam ser previamente definidos: a direção da Cavaleira (α) e o fator de deformação (k). A figura 2.8 apresenta a projeção de um objeto em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. Nessa representação podemos perceber que as arestas referentes à largura (ex.: AC) e à altura (ex.: AD) são paralelas ao plano de projeção e quando projetadas aparecem nesse plano exatamente com a mesma medida que possuem no real. Isso significa que na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira elas estão em VG. No entanto, as arestas referentes à profundidade (ex.: AB), que no espaço estão perpendiculares ao plano de projeção, quando projetadas, aparecem de maneira deformada. Essa deformação vai depender da direção tomada pelas retas projetantes (ex.: AA ). Tal direção pode ser determinada por dois ângulos (α e β). No próximo item tais ângulos e as relações que eles têm com os parâmetros determinantes da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira serão estudados. Fig. 2.8 Fonte: DUARTE, J., 2008. 2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) DEFINIÇÃO: O ângulo α pode ser definido como sendo o ângulo formado pela horizontal da projeção (ex.: A C ) e pela projeção da profundidade do objeto (ex.: A B ), como podemos ver na figura 2.8. Não existe uma medida definida para α, ou seja, uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira pode ser desenhada com α medindo qualquer ângulo entre 0ᵒ e 90ᵒ. No entanto, a medida de α vai influir na porção vista das faces. Na prática, os ângulos existentes nos esquadros (30ᵒ, 45ᵒ e 60ᵒ) acabam sendo, pela praticidade, os ângulos mais utilizados na elaboração de Perspectivas Cilíndrica Cavaleira, mas nada impede que outras medidas sejam adotadas. Veja nas três figuras abaixo uma comparação mostrando o que acontece quando variamos os valores de α. Fig. 2.9 Fig. 2.10 Fig. 2.11 22

CAPÍTULO 2 - Cavaleira O que podemos concluir após a análise das figuras acima é que mesmo que estejam sendo mostradas as mesmas faces (FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR), quando o ângulo α varia, porções diferentes das faces FRONTAL e LATERAL DIREITA são mostradas. No entanto, o mesmo não ocorre com a face FRONTAL, a qual aparece da mesma forma nas três figuras. Isso acontece porque ela está paralela ao plano de projeção e, consequentemente, em VG. Dessa forma, suas medidas lineares e angulares são resguardadas mesmo depois da sua projeção. Na figura 2.9, α mede 30, e a face LATERAL DIREITA aparece com bem mais destaque do que a face SUPERIOR. Já na figura 2.10, onde α mede 45ᵒ, ambas as faces aparecem com o mesmo destaque. Finalmente, na figura 2.11, que tem α medindo 60, vemos uma porção bem menor da face LATERAL DIREITA do que da face SUPERIOR. O mesmo pode ser feito com as outras combinações de faces. ATENÇÃO! Ao escolher a medida de α, evite os ângulos 90ᵒ e 180ᵒ, porque com esses valores só é possível mostrar duas das faces do ortoedro. Fig. 2.12 Fonte: DUARTE, J., 2008. 2.4.2. Fator de Deformação (K) DEFINIÇÃO: O fator de deformação (K) consiste na relação constante entre o comprimento real de um segmento (ex.: AB, da figura 2.13) e o comprimento dele depois de projetado (ex.: A B ). Essa relação também é dada pela tangente do ângulo β, o qual está contido no triângulo AOA da figura 2.13. DEMONSTRAÇÃO: K = tg (β) tg (β) = cateto oposto = A O = A B cateto adjacente AO AB Assim: K = A B AB A B = K x AB Se K = 1; A B = AB Se K = 0,5; A B = 0,5 x AB Fig. 2.13 23

CAPÍTULO 2 - Cavaleira ATENÇÃO! O fator de deformação (K) atua apenas nas projeções das arestas que são paralelas ao eixo coordenado Y, ou seja, aquelas que no espaço, são ortogonais ao plano de projeção. As projeções das arestas paralelas ao plano de projeção permanecem com o tamanho real. O fator de deformação (K) é utilizado nos casos em que se quer mostrar uma face em detalhes. Muitas vezes o desenho da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira sem deformação (K=1), ou seja, com as medidas iguais às do objeto real faz com que porções de uma determinada face não apareçam, ver figura 2.14. Se uma face não estiver sendo vista completamente é possível aplicar o fator de deformação (K) de forma que essa face seja mostrada completamente, ver exemplo das figuras 2.14 e 2.15. Na primeira figura K = 1 e na segunda k = 0,4. Fig. 2.14 Fonte: DUARTE, J., 2008. Fig. 2.15 Fonte: DUARTE, J., 2008. ATENÇÃO! A prática mostrou que se o fator de deformação (K) variar entre 0,5 e 1 a representação da peça se assemelha bastante ao aspecto real da mesma. Portanto, para que a perspectiva se assemelhe à peça real utilize esses valores. 2.5. Rotação da Peça A rotação é uma operação gráfica utilizada no aprendizado da visualização espacial. Uma maneira de realizar essa rotação ainda no plano das ideias é utilizar os eixos coordenados como referência e imaginar o objeto sendo rotacionado em torno de um dos eixos, ver figura 2.16. Dessa forma, a rotação depende: 1. do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 2. do sentido da rotação, se horário ou antihorário, e; 3. da extensão da rotação, ou seja, com quantos graus deverá ser feito o giro. Fig. 2.16 24

CAPÍTULO 2 - Cavaleira As figuras 2.17 e 2.18 mostram um exemplo de rotação. Na primeira figura tem-se a peça na posição original, já a figura 2.18 mostra a representação da mesma peça após uma rotação de 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário. Figura 2.17 Figura 2.18 2.5.1. Diferença entre ROTAÇÃO e VARIAÇÃO DA DIREÇÃO DA PROJEÇÃO DO EIXO Y É importante não confundir a ROTAÇÃO, discutida no item 2.5, com a VARIAÇÃO DA DIREÇÃO DA PROJEÇÃO DO EIXO Y, discutido no item 2.3. Tais procedimentos podem ocorrer em comandos distintos, ou num mesmo comando. Se esse for o caso, a rotação ocorrerá primeiro e somente no plano das ideias (mentalmente), ou seja, o objeto será rotacionado em torno de um dos eixos e, em seguida, serão escolhidas as faces que serão mostradas após a rotação. Essa escolha dependerá da direção tomada pela projeção do eixo y. A peça da figura 2.17 após rotacionada 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário, pode ser representada de quatro maneiras, conforme mostra a figura 2.19. É possível perceber na figura abaixo que os quatro desenhos mostram a peça na mesma posição, porém as faces mostradas variam. Fig. 2.19 25

2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas Existe uma diferença entre FACES e VISTAS. A face pertence ao objeto, enquanto que a vista é própria do ortoedro de referência. As vistas do ortoedro de referência se configuram num referencial fixo de posicionamento. Por exemplo, na figura 2.20, a face do objeto que contém o número um corresponde à vista SUPERIOR do ortoedro de referência. Da mesma maneira, a face do objeto que contém o número dois corresponde à vista FRONTAL do ortoedro. Já a face do objeto que contém o número três corresponde à vista LATERAL DIREITA do ortoedro. UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira Fig. 2.20 2.6. Cilindros e Cones Cilindros e cones são sólidos geométricos gerados segundo algumas leis de geração. Pode-se dizer, por exemplo, que o cilindro é uma superfície gerada por uma reta (geratriz) paralela a um eixo, a qual se desloca em torno de uma circunferência (diretriz), como aparece na figura 2.21. Outra forma de gerar uma superfície cilíndrica é quando uma circunferência (geratriz) se desloca ao longo de um eixo. Esse movimento, também, gera uma superfície cilíndrica. Portanto, um cilindro possui geratrizes retas (primeiro exemplo), bem como geratrizes curvas (segundo exemplo). Fig. 2.21 26

Superfícies cônicas podem ser geradas de forma semelhante à descrita acima. No primeiro caso, tem-se uma reta g (geratriz) apoiada num eixo Hh que se desloca em torno de uma circunferência (diretriz). Outra forma de gerar um cone é quando uma circunferência (geratriz) se desloca ao longo de um eixo, e na medida em que se desloca tem seu raio diminuído até chegar ao vértice, onde o raio é igual a zero. Ver figura 2.22. UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira Fig. 2.22 http://www.solucaomatematica.com.br/?p=1873 Nesta disciplina trataremos apenas de Cilindros e de Cones de Revolução. Eles são casos particulares dos cilindros e cones uma vez que possuem uma propriedade específica que diz que todo plano perpendicular ao eixo desses sólidos cortará a superfície desse sólido segundo uma circunferência. Na representação de objetos em forma de cilindros e cones de revolução em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira são utilizados segmentos curvos (circunferências e elipses) para representar as faces planas, e segmentos retos para representar a superfície curva. Tais segmentos retos são chamados de geratrizes de limite de visibilidade. Elas, em geral, estão paralelas a um dos eixos coordenados. Na figura 2.23 as geratrizes de limite de visibilidade estão paralelas ao eixo z, enquanto que na figura 2.24 elas estão paralelas ao eixo x, já na figura 2.25 elas estão paralelas ao eixo y. geratrizes de limite de visibilidade Fig. 2.23 Fig. 2.24 Fig. 2.25 No caso da representação de objetos em forma de cones de revolução as geratrizes de limite de visibilidade concorrem em um ponto chamado vértice. Tais elementos serão estudados mais adiante. geratriz de limite de visibilidade Fig. 2.26 27

2.6.1. Cilindros UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira No espaço, um objeto em forma de cilindro possui duas faces planas e uma superfície curva. O desenho das faces planas em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira é composto por circunferências e arcos de circunferência. É preciso chamar a atenção para o fato de que as faces planas do cilindro possuem forma de circunferência quando estão no espaço. No entanto, quando são representadas em duas dimensões, elas podem permanecer com forma de circunferência ou tomar forma de elipse, dependendo da posição dessas faces em relação aos eixos coordenados, como mostram as figura 2.27 e 2.28. Fig. 2.27 Fig. 2.28 A figura 2.29 traz a representação de um cilindro cujas faces planas são paralelas aos eixos x e y. Nessa situação, as curvas assumem a forma de elipse. Situação semelhante ocorre com o cilindro da figura 2.30, onde as curvas aparecem como elipses. Nessa figura, as faces planas são paralelas aos eixos y e z. Já na figura 2.31, as faces planas aparecem como circunferências, nesse caso, elas estão paralelas aos eixos x e z. É importante destacar que as faces que aparecem como circunferências estão paralelas ao plano de projeção, portanto em VG. Quando estão perpendiculares a este plano, elas aparecem como elipse, uma vez que sofrem deformação causada pelo eixo y. Fig. 2.29 Fig. 2.30 Fig. 2.31 28

2.6.2. Cones UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira Situações semelhantes ocorrem na representação de objetos em forma de cone. As figuras 2.32, 2.33 e 2.34, mostram que a face plana do cone pode aparecer em forma de circunferência ou de elipse pelas mesmas razões explicadas acima para o cilindro. Fig. 2.32 Fig. 2.33 Fig. 2.34 Na figura 2.32 a face plana do cone aparece como uma circunferência porque ela está paralela ao plano de projeção, portanto em VG. Já os cones das figuras 2.33 e 2.34 têm suas faces planas representadas em forma de elipses. Essas faces estão perpendiculares ao plano de projeção, portanto sofrem deformação. 2.6.3. O Desenho da Elipse Existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. A seguir serão apresentados dois deles para a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira: o procedimento dos 8 pontos, também chamado de procedimento das diagonais, e o procedimento dos n pontos. Procedimento dos 8 Pontos Para desenhar uma elipse parte-se de parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um quadrilátero, ou seja: a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em quatro pontos, os pontos 1, 2, 3 e 4 da figura 2.35. Esses quatro pontos são os pontos médios dos lados do quadrado. As diagonais do quadrado interceptam a circunferência inscrita nele em outros quatro pontos, que são os pontos 5, 6, 7 e 8 da figura 2.36. Fig. 2.35 Fig. 2.36 29

CAPÍTULO 2 - Cavaleira Colocados os parâmetros que valem para a circunferência, é possível transpô-los para a representação da circunferência em perspectiva, ou seja, da elipse. Ver figura 2.37. Vamos começar pelo desenho do quadrado em perspectiva, que será um paralelogramo posicionado de forma perpendicular ao plano de projeção, ou seja, paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo, desenhamse os mesmos parâmetros vistos acima para o quadrado, ou seja, as retas que ligam os pontos médios dos lados e as diagonais. Dessa maneira, encontram-se os primeiros quatro pontos, que são os pontos de tangência da elipse no paralelogramo: pontos 1, 2, 3 e 4 da figura 2.37. Esses pontos estão localizados nos pontos médios de cada lado do paralelogramo e correspondem aos pontos 1, 2, 3 e 4 do quadrado. Fig. 2.37 Fig. 2.38 Para encontrar os pontos correspondentes aos pontos 5, 6, 7 e 8 do quadrado, é necessário levá-los para o paralelogramo por meio de duas linhas, uma paralela ao eixo z, que liga os pontos 6 e 7 e outra paralela ao eixo y, que ao cruzar com as diagonais do paralelogramo, liga os pontos 6 e 7, como aparece na figura 2.38. O mesmo procedimento é feito para encontrar os pontos 5 e 8. Fig. 2.39 Fig. 2.40 Para determinar a elipse traçamos a mão livre uma linha curva que passe pelos oito pontos encontrados anteriormente, ver figura 2.39. Para desenhar uma elipse na face lateral direita do objeto procede-se de maneira análoga, como mostra a figura 2.40. 30

CAPÍTULO 2 - Cavaleira Um exercício muito interessante, que pode ser realizado tanto com o procedimento que acabou de ser apresentado, quanto com o procedimento que será apresentado a seguir, consiste em desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro de referência. DICA IMPORTANTE! É possível determinar os pontos correspondentes aos pontos 5, 6, 7 e 8 do exemplo anterior sem que seja necessário desenhar um quadrado com uma circunferência circunscrita previamente. Para isso encontra-se o segmento AB, da figura 2.41, através da fórmula: AB = r x 0,3. A justificativa desse procedimento se baseia no fato de que: AB = OB OA = r r cos (45 o ) AB = r (1 - cos (45 o )) = r (1-0,707) AB = 0,293 x r, ou seja, AB = r x 0,3 O ponto D do paralelogramo corresponde ao ponto C do quadrado. Fig. 2.41 Fonte: DUARTE, J. 2008. Procedimento dos n Pontos Existe outro procedimento que determina pontos da elipse, auxiliando a construção dessa curva, o chamado procedimento dos n pontos. Com esse procedimento é possível determinar quantos pontos se desejar, ou seja, n pontos. Enquanto que o procedimento anterior determina no máximo oito pontos da elipse. Quanto mais pontos da elipse forem conhecidos, mais precisa será a construção da mesma, sobretudo se o desenho for feito à mão livre. Portanto, a vantagem desse procedimento é o desenho mais preciso da circunferência em perspectiva. Partimos do paralelogramo que circunscreve a elipse que se quer construir. Em seguida, determinam-se os quatro pontos médios dos lados do paralelogramo: M 1, M 2, M 3 e M 4. A partir desses pontos, divide-se o paralelogramo em quatro quadrantes. Fig. 2.42 Fig. 2.43 31

CAPÍTULO 2 - Cavaleira Dividem-se os segmentos destacados na figura 2.44 em qualquer quantidade de partes iguais. Nesse exemplo, os segmentos foram divididos em três partes iguais. É muito importante que os segmentos sejam divididos no mesmo número de partes. Ver na página seguinte como se divide um segmento em partes iguais. Não importa que largura, altura ou profundidade, tenha o paralelogramo que envolve a elipse, os dois segmentos que formam cada quadrante devem ser divididos no mesmo número de partes. Depois, enumeram-se os segmentos destacados da mesma forma como aparece na figura 2.44 e 2.45. Fig. 2.44 Fig. 2.45 Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1 quadrante (fig. 2.46) e, depois, repeti-lo nos demais quadrantes. Liga-se o ponto A ao ponto 1 do segmento oblíquo e o ponto B ao ponto 1 do segmento horizontal. O cruzamento dos segmentos A1 e B1 é um dos pontos da elipse, o ponto C. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, repita a operação anterior ligando o ponto A ao ponto 2 do segmento oblíquo e o ponto B ao ponto 2 do segmento horizontal, o cruzamento dos segmentos A2 e B2, resulta no ponto D, figura 2.47. Fig. 2.46 Fig. 2.47 Já é possível traçar à mão livre a elipse nesse quadrante. Para isso, inicia-se o traçado no ponto B (que é um dos ponto de tangência da elipse com o quadrilátero que a circunscreve), e seguese traçando o arco de elipse até o ponto D, em seguida, segue-se ao ponto C e finaliza-se o arco de elipse no ponto O (que é outro ponto de tangência da elipse com quadrilátero que a circunscreve), ver a figura 2.49. Figura 2.49 Fig. 2.50 32

CAPÍTULO 2 - Cavaleira Para traçar a elipse nos outros quadrantes, inicia-se o traçado em um dos pontos de tangência da elipse e procede-se analogamente, como mostra a figura 2.49. A elipse completa fica como na figura 2.50. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS Tomamos como exemplo o segmento AB (figura 2.51), que será dividido em n partes iguais. Fig. 2.51 Fig. 2.52 O primeiro procedimento consiste na construção de uma linha auxiliar partindo de uma das extremidades do segmento AB, formando um ângulo qualquer com o segmento AB, figura 2.52. Em seguida, divide-se a linha auxiliar no número de partes que queremos dividir o segmento AB (nesse exemplo dividiremos em três partes iguais). Essa divisão pode ser feita com escala ou utilizando uma mesma abertura no compasso, como mostra a figura 2.52. Em seguida, liga-se a extremidade da última divisão à extremidade do segmento, nesse caso o ponto A, traçando assim o segmento 3A, como mostra a figura 2.53. Para finalizar deve-se traçar segmentos paralelos ao segmento 3A passando pelos pontos 1 e 2. Dessa maneira, os segmentos traçados irão interceptar o segmento AB dividindo-o em 3 partes iguais, como se vê na figura 2.54. Fig. 2.53 Fig. 2.54 33

CAPÍTULO 3 DESENHO ISOMÉTRICO UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico 3.1. Caracterização da Axonometria A isometria faz parte de um sistema de representação chamado AXONOMETRIA. Conforme foi explicitado no capítulo 1, os sistemas de representação se diferenciam por duas características: 1. Posição de ortoedro de referência com relação ao plano de projeção; 2. Tipo de projeção. Na axonometria a projeção é CILINDRICA ORTOGONAL, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre si e formam um ângulo de 90 com o plano de projeção. Fig. 3.1 Fig. 3.2 Fonte: Duarte, 2008 No caso da axonometria o ortoedro de referência está posicionado de tal maneira com relação ao plano de projeção que se as três arestas que partem de um mesmo vértice A forem prolongadas todas elas encontrarão o plano de projeção nos pontos E, F e G (ver figura 3.1). Diferente da cavaleira, na qual apenas uma das três arestas encontraria o plano de projeção caso fossem prolongadas. Quando todas as faces do objeto são projetadas obtém-se uma imagem como mostra a figura 3.2. Como não existem faces paralelas ao plano de projeção, pois estão todas oblíquas em relação a ele, não existe nenhuma face em VG, ou seja, as três faces sofrem deformação ao serem projetadas. Como cada face, ao ser projetada, faz com o plano do desenho um determinado ângulo podem ocorrer três situações: (1) se os três ângulos são diferentes entre si, temos a TRIMETRIA, onde as faces que têm maiores ângulos têm menos destaque, ver figura 3.3; (2) se dois dos ângulos são iguais e apenas um deles é diferente, temos a DIMETRIA, onde duas faces terão mais destaque do que a outra, ver figura 3.4; (3) se os três ângulos são iguais, temos a ISOMETRIA, onde as três faces sofrem a mesma deformação. O ângulo que as faces fazem com o plano de projeção é igual a 120 (pois 360 /3 = 120, ver figura 3.5). 34

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Fig. 3.3 Fig. 3.4 Fig. 3.5 3.2. Caracterização do Desenho Isométrico Dentre as projeções axonométricas, a isometria é a mais utilizada. Principalmente a perspectiva isométrica na sua forma simplificada, o DESENHO ISOMÉTRICO ou ISOMETRIA SIMPLIFICADA, que não carece de coeficientes de redução. O termo isométrico significa igual medida. Nos desenhos de perspectiva isométrica, o objeto está oblíquo em relação ao plano de projeção, conforme mostra a figura 3.5. Essa obliquidade em relação ao plano de projeção faz com que a projeção das dimensões do objeto no plano de projeção seja reduzida igualmente em cada direção dos eixos. Dessa maneira, na isometria, todas as arestas da peça que possuem direção igual a uma das direções das arestas de um ortoedro envolvente (AB, AC ou AD) têm a mesma inclinação em relação ao plano de projeção. Portanto as projeções ortogonais dessas arestas têm a mesma deformação (nesse caso, uma redução): A B = 0,816 x AB A C = 0,816 x AC A D = 0,816 x AD Veja a demonstração na figura 3.6: Os pontos E, F e G são as interseções dos prolongamentos das arestas AB, AC e AD com o plano de projeção. Traçando por A e B perpendiculares a EG determina-se o segmento A B. A B = AB x cos(45 o ) = A B x cos(30 o ) A B = cos(45 o ) / cos(30 o ) x AB = 0,816 x AB Fig. 3.6 Fonte: Duarte, J. 2008 Sendo assim, o desenho da projeção fica como a figura 3.6 Com todas as arestas reduzidas com relação à peça real. Observe abaixo a diferença entre a perspectiva isométrica e o desenho isométrico feito para a mesma peça. O DESENHO ISOMÉTRICO, figura 3.7 é maior porque não há redução das arestas. O Desenho Isométrico é muito utilizado para o ensino de disciplinas introdutórias de desenho e para o desenho em softwares. 35

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Isometria Exata Desenho Isométrico Fig. 3.7 Fonte: Duarte, J. 2008 Fig. 3.8 Fonte: Duarte, J. 2008 Repetindo: No Desenho Isométrico as projeções das arestas não são reduzidas (A B = AB, A C = AC e A D = AD). Os desenhos feitos com esquadros nessa disciplina serão executados adotando o Desenho Isométrico. 3.3. Desenho Isométrico na prática Na prática, a construção do ortoedro envolvente em desenho isométrico começa com o desenho de uma linha horizontal de referência. Em seguida é escolhido um ponto nessa linha para a partir dele desenharmos duas linhas formando 30 o com a linha horizontal (ver figura 3.9). Fig. 3.9 Para desenhar as linhas com 30 comece desenhando uma reta vertical e posicione os esquadros como indicado na fig. 3.10 Desloque o esquadro de 30 o na direção da seta e desenhe a reta destacada. Em seguida posicione os esquadros como indicado na fig. 3.11 e desenhe a reta destacada nessa figura. Fig. 3.10 Fig. 3.11 36

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Determine a altura, a largura e a espessura da peça de acordo com os eixos coordenados e complete o ortoedro traçando as paralelas indicadas, conforme veremos no próximo item. 3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência Da mesma forma como foi demonstrado para a perspectiva cavaleira, podemos visualizar as peças desenhadas com mais facilidade quando relacionamos suas dimensões com os eixos coordenados. Ao pensarmos que tudo a nossa volta possui três dimensões facilitamos a transposição do objeto real para o objeto desenhado no papel. Dessa maneira, teremos o eixo das larguras, o eixo x; o eixo das profundidades, o eixo y e o eixo das alturas, o eixo z. Observe o exemplo abaixo. As figura 3.12 mostra como fica a posição dos eixos coordenados no desenho isométrico. Na literatura o eixo z sempre aparece localizado verticalmente, porém, não há um consenso com relação ao posicionamento dos eixos coordenados x e y. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) adota o eixo x posicionado à esquerda e o eixo y à direita. No entanto, muito autores da área (Duarte, M. 1996; Duarte, J., 2008 e Bortolucci) adotam o eixo x posicionado à direita e o eixo y à esquerda. Nessa disciplina adotaremos esse último posicionamento, conforme mostra a figura 3.12. A representação padrão exibe o objeto como na figura 3.13, que mostra um dado desenhado em isometria e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado corresponde à vista superior do ortoedro de referência; a face que contém o número dois do dado corresponde à vista frontal do ortoedro de referência e, consequentemente, a face que contém o número três do dado corresponde à vista lateral direita do ortoedro de referência. Todas as peças desenhadas em desenho isométrico seguirão essa mesma convenção. Fig. 3.12 3.13 3.4.1. Visualização de Todas as Faces A exemplo da Perspectiva Cavaleira, no Desenho Isométrico são sempre mostradas três faces do ortoedro envolvente. Na figura 3.13 foram mostradas as faces frontal, lateral direita e superior. Para mostrar as outras faces do objeto podemos ter as seguintes combinações: Frontal, lateral direita e superior; Frontal, lateral esquerda e superior; Frontal, lateral direita e inferior, e; Frontal, lateral esquerda e inferior. 37

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Dada a peça da figura 3.14, desenhada em Desenho Isométrico, que mostra as vistas: frontal, superior e lateral direita do ortoedro de referência, podemos representá-la de forma a mostrar as outras faces da peça, conforme mostram as peças da figura 3.15. Nesse caso, tem-se que rotacionar a peça em torno de algum dos eixos coordenados ou variar a posição do eixo y, como foi visto para a Perspectiva Cavaleira. z z z z x y x y x Fig. 3.14 y Fig. 3.15 x y 3.4.2. Rotação da Peça Fig. 3.16 No Desenho Isométrico a rotação de uma peça pode ocorrer da mesma maneira como vimos na Perspectiva Cavaleira. Porém, deve ser observada a posição dos eixos coordenados. Observe a figura 3.16 ao lado e veja como fica a rotação para cada um dos eixos coordenados. Dessa forma, a rotação depende: 1. Do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 2. Do sentido da rotação, se horário ou anti-horário; 3. Da extensão, em graus, da rotação. 3.5. Cilindros e Cones As propriedades geométricas dos cilindros e cones não se alteram em funcão do tipo de representação escolhida. Assim, a conceituação para leis de geração e geratrizes de limite de visibilidade se aplicam para o Desenho Isométrico da mesma forma como foi visto para o desenho da Perspectiva Cavaleira. Na representação do cilindro e do cone em Desenho Isométrico as faces que têm forma de circunferência, quando são representadas em duas dimensões sempre irão tomar forma de elipse, porque no caso do Desenho Isométrico nenhuma das faces do ortoedro de referência está paralela ao plano de projeção. Fig. 3.17 Fig. 3.18 38

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico O cilindro pode assumir três posições básicas no desenho isométrico, com relação aos eixos coordenados. Fig. 3.19 Fig. 3.20 Fig. 3.21 Na figura 3.19, a face plana do cilíndro, que possui forma de circunferência quando está no espaço, está representada paralela aos eixos y e x, tomando forma de uma elipse. Atenção ao ortoedro envolvente para facilitar a visualização. Na figura 3.20 quando a face plana do cilíndro fica, na representação, paralela aos eixos x e z toma a forma de uma elipse. Nesse caso, diferentemente da cavaleira, na qual a face em forma de circunferência do cilindro fica na forma de circunferência. Por último, na figura 3.21 a face plana do cilíndro, está representada paralela aos eixos y e z e, também, toma forma de elipse. Em Isometria e também em Desenho Isométrico a circunferência sempre toma forma de elipse, não importa a que eixos a face em forma de circunferência ou arco de circunferência esteja paralela. Isso ocorre porque em Isometria todos ou eixos estão oblíquos com relação ao plano de projeção. Pode-se aplicar para o caso do cone o mesmo que foi visto para o cilindro, uma vez que as situações são semelhantes. Na primeira figura, 3.22, a face plana do cone está paralela aos eixos x e y. Vai acontecer o mesmo que aconteceu com o cilindro, ou seja, a face em forma de circunferência vai aparecer na perspectiva como uma elipse. Fig. 3.22 Fig. 3.23 Fig. 3.24 39

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico No segundo caso, figura 3.23, a face plana do cone está paralela aos eixos y e z e, a exemplo do cilindro, também se torna uma elipse. No último caso, figura 3.24, a face curva do cone agora está paralela aos eixos x e z, nesse caso a circunferência também tomará a forma de elipse. 3.5.1. Desenho da Elipse e da Oval A exemplo da Perspectiva Cavaleira existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. Veremos três deles para o Desenho Isométrico. Os dois primeiros tipos são semelhantes aos procedimentos já vistos para a Perspectiva Cavaleira: o traçado da elipse com 8 pontos, usando as diagonais e o traçado da elipse com n pontos, usando a divisão do quadrilátero em quadrantes. O terceiro procedimento não é utilizado na Perspectiva Cavaleira, ele é utilizado apenas na Isometria e no Desenho Isométrico, que é o desenho da oval regular de quatro centros. Procedimento dos 8 pontos Para desenhar a elipse em Desenho Isométrico, a exemplo do que aprendemos para a Perspectiva Cavaleira, serão utilizados parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um quadrilátero, ou seja: Na figura 3.25: 1) a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em 4 pontos: 1, 2, 3 e 4. Esses 4 pontos são os pontos médios dos lados do quadrado, e; 2) as diagonais do quadrado cruzam com a circunferência inscrita em mais 4 pontos: 5, 6, 7 e 8. Fig.3.25 Esse mesmos parâmetros são transpostos para realizar o desenho da elipse em Desenho Isométrico. O primeiro procedimento é o do desenho do quadrilátero em desenho isométrico, que será um paralelogramo paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo são desenhados os mesmos parâmetros do quadrado. Assim encontram-se os primeiros 4 pontos, que são os pontos de tangência da elipse no quadrilátero, pontos M1, M2, M3 e M4, como na figura 3.26. Esses pontos estão localizados nos pontos médios de cada lado do quadrilátero e equivalem aos pontos 1, 2, 3 e 4. O segundo procedimento, figura 3.27, é encontrar os equivalente dos pontos 5, 6, 7 e 8 para a elipse, através do traçado das diagonais. Observe que no desenho isométrico as diagonais ficam na vertical e na horizontal. 40

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Fig.3.26 Fig.3.27 Para determinar os pontos 5, 6, 7 e 8, não é necessário desenhar a circunferência. Basta utilizar o parâmetro: AB = r x 0.3, da mesma forma como vimos na Perspectiva Cavaleira, ou seja, mede-se o raio, multiplica-o por 0,3 e descobre-se o tamanho do segmento AB. Em seguida, posiciona-se o segmento AB em uma das arestas do ortoedro e, assim, determinam-se os pontos 5, 6, 7 e 8, conforme a figura 3.28. AB AB Fig.3.28 Fig.3.29 Para determinar a elipse traça-se uma curva à mão livre prestando bastante atenção para que essa passe por todos os pontos determinados, ver figura 3.29. Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro, como mostra a figura 3.30. Fig. 3.30 Procedimento dos n pontos O outro procedimento, demonstrado para a Perspectiva Cavaleira, também pode ser utilizado na Isometria. Ele permite determinar não apenas 8, mas sim inúmeros pontos da elipse. Essa é a vantagem da utilização desse procedimento, pois quanto mais pontos forem utilizados para dar suporte ao traçado da curva à mão livre, mais preciso fica o desenho da curva. 41

Parte-se de alguns princípios semelhantes ao procedimento anterior, ver figura 3.31: 1. A elipse será desenhada inscrita em um quadrilátero; 2. Determinam-se 4 pontos de tangência nesse quadrilátero, sendo as tangentes e seus pontos médios; 3. O quadrilátero é dividido em 4 quadrantes. UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Fig.3.31 Os quadrantes são trabalhados um a um, como mostram as figuras 3.32 e 3.33. No primeiro quadrante dividem-se suas laterais em um número de partes iguais. Nesse exemplo dividiu-se ambos os segmentos em 3 partes iguais. É muito importante que os dois segmentos que formam cada quadrante sejam divididos no mesmo número de partes, ou seja, se dividirmos um em duas partes, devemos dividir o outro também em duas partes. Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1 quadrante e depois repetí-lo nos demais quadrantes. Ligue o ponto A ao ponto 1 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 1 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A1 e B1 será um ponto da elipse, o ponto C. Observe na figura 3.32. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, ligue o ponto A ao ponto 2 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 2 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A2 e B2 será outro ponto da elipse, o ponto D. Observe na figura 3.32. Já é possível traçar, à mão livre, a elipse nesse quadrante. Para fazer isso inicie o traçado no ponto B (que é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero envolvente), siga traçando o arco de elipse até o ponto D e depois ao ponto C e finalize o arco de elipse no ponto 0 (que também é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero envolvente). Quando esse procedimento é repetido nos outros três quadrantes o resultado é como o da figura 3.33. Fig.3.32 Fig.3.33 Desenho da Oval No caso da Isometria e do Desenho Isométrico, o desenho da elipse pode ser realizado utilizando uma curva chamada de oval regular de quatro centros. Como a oval é muito semelhante a elipse, ela também é conhecida como falsa elipse. 42

CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Muitas pessoas preferem desenhar a oval a desenhar elipse, porque a oval pode ser desenhada totalmente com instrumentos (esquadros e compasso), eliminando assim a parte do traçado à mão livre que precisa ser feita quando se desenha uma elipse. Para desenhar a oval parte-se da mesma ideia inicial dos procedimentos anteriores, ou seja, da divisão do quadrilátero em 4 quadrantes. Sendo os pontos M1, M2, M3 e M4 os pontos médios de cada lado, como mostra a figura 3.34. Ao final do procedimento serão desenhados com o compasso quatro arcos de circunferências com quatro centros diferentes, um em cada quadrante. Fig. 3.34 O primeiro centro de arco, o ponto C1, é definido no vértice de maior ângulo do quadrilátero, desse primeiro centro C1 são traçados dois segmentos de reta ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M1 e M2, ver figura 3.35. Fig.3.35 O procedimento descrito acima é repetido no vértice oposto nomeando-o de C2. De C2 são traçados mais dois segmentos de reta ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M3 e M4, como mostra a figura 3.36. O cruzamento de C1M1 com C2M4 gera o ponto C3, que será o centro de um dos arcos que compõe a oval. Da mesma forma, o cruzamento de C1M2 com C2M3 gera o ponto C4, que será o centro de um dos arcos que compõe a oval, ver figura 3.36. Agora já é possível a traçar a oval. Resumindo: 1. C1 e C2 são centros de dois arcos maiores de mesmo raio; 2. C3 e C4 são centros de dois arcos menores de mesmo raio; 3. Todos os arcos começam e terminam nos pontos médios do quadrilátero. Para traçar a oval regular de quatro centros basta colocar a ponta seca do compasso em C1 e fazer uma abertura (raio) até M1, em seguida, traçar um arco até M2. De forma semelhante, mantendo a mesma abertura (raio), centrar a ponta seca do compasso em C2 e traçar um arco de M3 até M4, conforme a figura 3.37. Fig.3.36 Fig.3.37 43

Para concluir a oval, centra-se a ponta seca do compasso em C3, faz-se uma abertura (raio) até M1 e traça-se um arco até M4. De forma semelhante, mantendo a mesma abertura (raio) centra-se a ponta seca do compasso em C4 e traça-se um arco de M3 até M2 conforme a figura 3.38. UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 Desenho Isométrico Fig.3.38 Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é desenhar a oval regular de quatro centros em todas as faces do ortoedro, como na figura 3.39. Fig.3.39 44

Capítulo 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 4.1. Introdução UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é resultado da projeção de objetos tridimensionais segundo as regras do chamado Sistema Mongeano. Tal sistema tem como arcabouço teórico a Geometria Descritiva, que é considerada a parte da matemática que tem como finalidade representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com o auxílio da Geometria Plana, estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos às mesmas (MACHADO, 1976, p. 11). http://www.sciencephoto.com/ Fig. 4.1 Dessa maneira foi possível expressar, comunicar, antecipar e resolver problemas relativos aos objetos reais, de diversas áreas do saber que trabalham e estudam a forma através do desenho antes mesmo que esses objetos fossem construídos. Tal fato trouxe um significativo aumento na eficiência dos processos produtivos na Europa estimulando tanto a Engenharia Militar quanto a Revolução Industrial. Gaspard Monge, cuja foto aparece na figura 4.1, é considerado o criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica. Ele viveu na França entre os anos de 1746 e 1818, era uma pessoa que gostava das ciências exatas (física, matemática e geometria) e que possuía o que chamamos atualmente de inteligência espacial, ou seja, ele facilmente visualizava relações espaciais complexas. Foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e também lecionou na Escola Militar Meziéres, tornando-se um acadêmico de renome. Como também era um cidadão engajado politicamente, seu conhecimento também contribuiu para a Engenharia Militar. Como militar criou um método baseado na aritmética e em operações espaciais que tornou a artilharia francesa muito mais eficiente. A mudança foi tão significativa que seu método foi considerado segredo de Estado durante anos. Em seus estudos, Monge acabou por elaborar o arcabouço teórico que possibilitou o avanço bélico francês. Outro exemplo de sua contribuição foi durante a Revolução Francesa quando houve a necessidade de se produzir uma grande quantidade de canhões e de pólvora num curto espaço de tempo. Monge liderou a produção e acabou elaborando um boletim, chamado "A Arte da Fabricação do Canhão", o qual se tornou o manual das fábricas. Nesse boletim e ele traduziu seu raciocínio espacial do ambiente militar e estratégico para o ambiente da produção de produtos em larga escala. Hoje, podemos dizer que ele criou uma linguagem gráfica universal, a linguagem do desenho técnico. Essa linguagem possibilitou a transmissão de informação sobre objetos tridimensionais com a precisão necessária para a execução dos mesmos. De fato, a linguagem Mongeana permitiu que fábricas 45

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica fossem estruturadas não só na França, mas ao redor do mundo e que os produtos deixassem de ser fabricados nos quintais dos artesãos e passassem a ser produzidos em larga escala. 4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Nos capítulos anteriores vimos que as representações de objetos em perspectiva se diferenciam em função de dois aspectos: 1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 2. Tipo de projeção. No caso da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica, o objeto é projetado em pelo menos dois planos de projeção, diferentemente da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e do Desenho Isométrico, onde a projeção é realizada somente em um plano de projeção. Por essa razão o Método Mongeano também é chamado de Método da Dupla Projeção Ortogonal. É possível afirmar ainda que: a posição do ortoedro de referência em relação a cada um dos planos de projeção é a seguinte: pelo menos uma das faces do ortoedro de referência tem que estar paralela ao plano de projeção, e; o tipo de projeção da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é a CILÍNDRICA ORTOGONAL, o que significa que o observador está localizado a uma distância que tende ao infinito, o que, por sua vez, tem como consequência o fato das retas projetantes serem paralelas entre si. O método desenvolvido por Monge consiste, primeiramente, na divisão do espaço por meio de dois planos de projeção, um vertical e outro horizontal. Fazendo uma analogia às linhas imaginárias do Planeta Terra é como se o plano horizontal passasse exatamente na Linha do Equador dividindo o espaço em dois semiespaços, um meridional ou sul e outro setentrional ou norte, como aparece na figura 4.2. E da mesma maneira, o plano vertical passasse no meridiano de Greenwich. A figura 4.3 mostra este plano dividindo e o espaço em dois semiespaços, um oriental ou leste e outro ociental ou oeste. Fonte:http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/meridiano s-e-paralelos/meridianos-e-paralelos.php Fig. 4.2 Fonte:http://meioambiente.culturamix.com/noticias/his toria-do-meridiano-de-greenwich Fig. 4.3 46

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Os dois planos juntos dividem o espaço em quatro semiespaços, chamados de diedros ( di de dois e edros de planos) os quais são enumerados e organizados como mostra a figura 4.4. Cada diedro consiste no espaço existente entre dois semiplanos, cuja nomenclatura também está na figura 4.4. A linha de encontro ou interseção do Plano Horizontal com o Plano Vertical chama-se Linha de Terra ou, simplesmente, LT. Fonte: Fig. 4.4 Em seguida, Monge posicionou o objeto a ser representado num dos diedros geralmente sem tocar em nenhum dos planos de projeção e, assim, realizou a projeção ortogonal de todos os pontos desse objeto nos planos de Projeção Vertical e Horizontal, ver figura 4.5. Fig. 4.5 A figura 4.5 traz uma nova nomenclatura para os planos de projeção e para as distâncias entre o objeto e os planos de projeção, as quais também serão adotadas ao longo dessa apostila: (1) o plano de projeção horizontal será chamado de plano π 1 e o plano de projeção vertical será chamado de plano π 2, (2) já a distância entre qualquer ponto do objeto e o plano π 1, é chamada de cota, e a distância entre o objeto e o plano π 2, é chamada de afastamento. A figura também mostra que a cota fica registrada no plano de projeção vertical e que o afastamento fica registrado no plano de projeção horizontal. Tomando como exemplo a face frontal do objeto contido na figura 4.5, que é perpendicular ao plano de projeção horizontal é possível perceber (1) que as arestas AB e DC têm projeções em forma de segmento de reta no plano π 1, (2) que a aresta AD foi reduzida a um ponto também no 47

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica plano π 1, (3) que o mesmo ocorreu para a aresta BC. Resumindo, todos os pontos contidos nessa face foram projetados no plano π 1 sobre o mesmo segmento de reta, ou seja, por ter arestas paralelas ou perpendiculares à π 1, tal face aparece reduzida a um segmento de reta quando projetada. Analisando a mesma face, agora em relação ao plano π 2, é possível afirmar (1) que ela é paralela a tal plano de projeção, (2) que todas as arestas foram projetadas de forma que foram mantidas suas medidas lineares, (3) que os ângulos entre as arestas ao serem projetados também mantiveram suas grandezas e que, portanto, tal face foi projetada em VG. As outras faces do objeto também são projetadas de modo que todo o objeto seja representado nos planos de projeção. No exemplo acima o objeto tem forma de caixa, porém a Perspectiva Cilíndrica Ortográfica pode representar qualquer objeto, desde um parafuso até um arranha-céu. Dando continuidade ao raciocínio gráfico de Monge, cujo objetivo era obter a representação do objeto, que é tridimensional, em duas dimensões, foi necessário fazer o plano horizontal girar de modo que ele coincidisse com o plano vertical. Com essa operação, Monge criou o que ele chamou de Épura, definindo-a como sendo a representação de um objeto por suas projeções. Na épura é possível visualizar as três dimensões do objeto, utilizando-se apenas duas dimensões como mostra a figura 4.6. Fig. 4.6 4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção Como já foi dito, um objeto terá suas projeções horizontais e verticais, independente do diedro no qual está localizado. No primeiro capítulo dessa apostila, foram estudados os elementos que compõem um sistema de projeção. Abaixo estão relacionados os principais elementos de um sistema de projeção: 1) Observador: como se trata de um sistema cilíndrico o observador está no infinito; 2) Objeto: pode ser um objeto com quaisquer dimensões. É possível representar um objeto existente ou mesmo um objeto que está no plano das ideias; 48

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 3) Planos de projeção: os principais planos de projeção são o Vertical e o Horizontal, no entanto, mais adiante veremos que podemos utilizar outros planos para obter mais vistas do objeto. Tais elementos adquirem diferentes posições um em relação ao outro, considerando cada diedro, mas existe um princípio básico que é respeitado em todas as projeções: o objeto sempre deve estar entre o observador e o plano de projeção. 4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros No primeiro diedro, a face frontal do objeto, projeta-se no plano vertical superior e a face superior projeta-se no plano horizontal anterior, como mostra a figura 4.7. Dessa maneira, a ordem dos elementos da projeção é a seguinte: OBSERVADOR OBJETO PLANO DE PROJEÇÃO. Outra consequência do posicionamento do objeto no primeiro diedro é que cotas e afastamentos são positivos. É por essa razão que a maioria das representações se faz localizando-se o objeto no primeiro diedro. Em épura tem-se a face frontal representada acima da linha de terra e a face superior representada abaixo da mesma linha, resultando no que mostra a figura 4.8. Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.7 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.8 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.9 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.10 49

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Quando o objeto é localizado no terceiro diedro, como mostrado pela figura 4.9, ele passa a não mais estar entre o observador e o plano de projeção. A ordem dos elementos da projeção passa a ser a seguinte: OBSERVADOR PLANO DE PROJEÇÃO OBJETO. Essa mudança faz com que a face frontal do objeto, seja projetada no plano vertical inferior e a face superior é projetada no plano horizontal posterior. Quando se faz o rebatimento do plano horizontal sobre o vertical para obter a épura teremos agora diferente do que ocorre no primeiro diedro a face frontal abaixo e a face superior acima da Linha de Terra. 4.3.2. Segundo e Quarto Diedros No Desenho Técnico, o segundo e o quarto diedros não são utilizados para posicionar objetos porque quando ocorre a rotação do plano horizontal sobre o plano vertical para obter a épura, as projeções ficam sobrepostas, o que dificulta o entendimento da representação do objeto. Observe as figuras abaixo. Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.11 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.12 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.13 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ hypergeo/monge.htm Fig. 4.14 4.3.3. Sistemas Alemão e Americano A organização da apresentação das vistas apresentada estudada no item anterior é resultado do diedro escolhido para posicionar o objeto. No caso da organização trazida na figura 4.22, o objeto 50

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica está posicionado no primeiro diedro, ou seja, a ordem dos elementos da projeção é a seguinte: OBSERVADOR OBJETO PLANO DE PROJEÇÃO (ver itens 4.3.1 e 4.3.2). Quando isso acontece dizse que o sistema de apresentação das vistas adotado foi o Sistema Alemão ou Europeu. Esse sistema difere do Sistema Americano exatamente no que diz respeito ao diedro escolhido para posicionar o objeto. No Sistema Americano o objeto fica no terceiro diedro. Dessa forma, a ordem dos elementos da projeção é: OBSERVADOR PLANO DE PROJEÇÃO OBJETO. Tal fato resulta numa apresentação diferente para as vistas mongeanas, a qual está ilustrada na figura 4.24. É possível perceber que a vista (LD) está à direita da vista (F), a (LE) está à esquerda, a vista (S) está acima da (F) e a vista (I) está abaixo da vista (F). Fig. 4.24 No Brasil, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), que regula todo tipo de padronização não só para a área da Geometria e do Desenho Técnico, como também para outras as áreas do conhecimento, adota o Sistema Alemão, também chamado de Sistema Europeu. No entanto, ela admite a utilização do Sistema Americano em determinadas áreas do conhecimento. O Sistema Alemão tem maior abrangência se comparado ao Sistema Americano de apresentação das vistas. A representação do objeto no terceiro diedro é mais rara, sendo utilizada, sobretudo, na Inglaterra e nos Estados Unidos. 4.4. As Seis Vistas Uma única projeção ortogonal de um objeto não é suficiente para entender o objeto por completo. Comparando as figuras 4.15 e 4.16, se percebe que os objetos são diferentes, a primeira figura mostra um cubo, já a segunda um prisma. No entanto, as projeções das faces frontais das peças, ou seja, as projeções verticais são iguais. Fig. 4.15 Fig. 4.16 Caso somente a projeção vertical desses objetos estivesse disponível se teria somente as dimensões de altura e largura. Dessa maneira, não seria possível identificar a dimensão do comprimento. Consequentemente, não se teria o entendimento correto das peças. Na medida em 51

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica que outras faces da peça são projetadas é possível visualizar outras dimensões do objeto. As figuras 4.17 e 4.18 trazem a projeção da face superior das peças, o que por consequência fazem as dimensões de largura e de comprimento serem mostradas. Fig. 4.17 Fig. 4.18 Com as projeções das faces frontal e superior dos objetos se teriam visualizadas as três dimensões da peça (largura, altura na face frontal e largura e comprimento na face superior). Dessa maneira, muitas peças já podem ser definidas, como é o caso das peças das figuras 4.17 e 4.18. Por essa razão essas duas projeções, a frontal e a superior, são chamadas de projeções básicas do Sistema Mongeano. Entretanto, muitas vezes as duas projeções básicas não são suficientes para o entendimento de alguns objetos. Sendo necessárias outras projeções. A figura 4.19, mostra épuras de um mesmo objeto e os desenhos isométricos das possíveis interpretações dessas épuras. Na primeira linha da figura abaixo se percebe que apenas uma das vistas é conhecida. Nesse caso, são possíveis pelo menos três interpretações do objeto, como mostram as figuras da linha 1, colunas A, B e C. Todas essas figuras podem ser a figura dada na épura 1. Quando são fornecidas duas vistas, épura 2, a figura da coluna C é descartada, pois se vê que a vista superior não é compatível com a vista superior de um cilindro. Mesmo assim, ainda se tem duas possibilidades, os objetos das colunas A e da coluna B. Para que se possa ter certeza de que objeto se trata, mais uma vista tem que ser dada. Temse, então, a épura 3, que traz as vistas (F), (S) e (LD). Com tais informações é possível afirmar que o objeto tratado é o que está representado na coluna B. 52

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Épuras A B C 1 2 3 Fig. 4.19 Para realizar a projeção de todas as seis possíveis faces do ortoedro de referência que envolve um objeto no espaço, se faz uso de outra técnica que é a da caixa imaginária de projeção. Diferente do já conhecido ortoedro de referência, a caixa imaginária de projeção não fica totalmente ajustada ou colada ao objeto, de forma que seja o menor ortoedro que envolva todas as faces do objeto. Pelo contrário, o objeto é posicionado no interior da caixa imaginária de projeção de maneira que haja certo afastamento entre suas faces e as faces da caixa como aparece na figura 4.20. Após o posicionamento do objeto dentro da caixa imaginária de projeção se procede com a representação de cada uma das faces do objeto em cada uma das faces da caixa, ou seja, as faces da caixa imaginária de projeção funcionam como planos de projeção, e duas a duas funcionam como diedros, observar a figura 4.20. 53

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Fonte: DUARTE, 2008. Fig. 4.20 Fonte: DUARTE, 2008. Fig. 4.21 Após as projeções, a caixa imaginária de projeção é aberta, como mostra a figura 4.21. Esse movimento é o mesmo que Gaspard Monge fez ao fazer o plano horizontal coincidir com o plano vertical, para assim criar a épura mongeana. No caso da figura analisada, após a abertura da caixa, todos os planos envolvidos coincidiram com o plano vertical e, assim, tem-se as vistas mongeana de todas as faces do objeto, ver figura 4.22. É possível perceber que as vistas ficam organizadas segundo certa ordem, como mostra a figura 4.22. Esta ordem não é aleatória, ela é o resultado do processo de obtenção das vistas como foi visto nas figuras 4.20, 4.21 e 4.22. Essa organização também deixa clara uma característica das vistas mongeanas, a relação projetiva entre as faces, a qual se dá por meio das linhas de chamada, como mostra a figura 4.23. A relação projetiva possibilita que as informações dimensionais de uma face auxiliem a construção de outras. É exatamente essa relação que possibilita que operações gráficas sejam realizadas na épura, isso porque elas registram as medidas lineares e angulares do objeto, bem como das distâncias entre as arestas e os planos de projeção. Fonte: DUARTE, 2008. Fig. 4.22 Fig. 4.23 54

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica A vista FRONTAL (F) é considerada a principal vista da peça. É nela que, geralmente, ficam as informações mais importantes. Tal vista representa a projeção obtida no plano vertical de projeção. A figura 4.22 mostra que a esta face fica localizada aproximadamente no centro da épura. Esses dois fatores, juntamente com a relação projetiva existente entre as faces, fazem com que ela seja referência para a construção ou localização das outras. A vista SUPERIOR (S) se localiza abaixo da vista frontal e a vista INFERIOR (I), se localiza acima. Seguindo o mesmo raciocínio a vista LATERAL DIREITA (LD) fica à esquerda da vista frontal e a vista LATERAL ESQUERDA (LE) fica à direita da vista frontal. A vista POSTERIOR (P) pode ficar ao lado das vistas laterais ou acima da vista inferior ou ainda abaixo da vista superior. No exemplo dado na figura 4.22, a vista posterior está localizada ao lado da vista lateral esquerda. 4.5. Os Eixos Coordenados É interessante perceber que a interpretação ou leitura das informações trazidas pelo Sistema Mongeano exige um pouco mais de abstração e de conhecimento gráfico, uma vez que diferentemente do Desenho Isométrico ou da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, as informações sobre as dimensões do objeto vêm separadas. Cada vista traz duas das três dimensões do objeto. A vista FRONTAL, por exemplo, traz as medidas de largura (x) e de altura (z), já a vista SUPERIOR traz as medidas de largura (x) e profundidade (y). Da mesma maneira acontece com as outras vistas, ou seja, cada uma dela mostra apenas uma combinação de duas dimensões: As vistas laterais mostram profundidades (y) e alturas (z); As vistas superior e inferior mostram profundidade (y) e largura (x); As vistas frontal e posterior mostram largura (x) e altura (z). A figura 4.25 traz ilustrados os eixos coordenados com todas as combinações de dimensões por face. Para visualizar uma peça representada no Sistema Mongeano é preciso estabelecer um diálogo entre todas as vistas mostradas. Somente assim, é possível ter uma ideia da totalidade da peça. Fig. 4.25 55

4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica MUDANÇA DE PLANO Fig. 4.26 A figura 4.26 mostra a representação de duas superfícies distintas, identificadas pelos números 1 e 2. Nela é possível concluir que são duas superfícies devido à presença da reta destacada. Tal reta representa uma mudança de plano, a qual pode ser: 1. uma reta de interseção entre as superfícies 1 e 2, ou; 2. uma terceira superfície perpendicular à superfície 1 e à 2. Essas duas possibilidades geram uma série de possíveis interpretações para a peça, como mostra figura 4.27. O fato é que a existência da linha na vista significa que há uma mudança de plano na peça. Fig. 4.27 Para saber se a peça traz uma interseção entre superfícies ou uma terceira superfície é necessário que mais vistas sejam fornecidas, como foi discutido no item 4.4 dessa Apostila. Dessa forma, é possível fazer uma associação entre as vistas, bem como utilizar a relação projetiva existente entre elas, para definir a volumetria da peça. A figura 4.28 traz a segunda vista a ser fornecida, nela estão indicadas por setas as superfícies 1 e 2, que estão reduzidas a uma reta. Com essa vista já se tem mais informações sobre a peça. Sabese, por exemplo, que não há superfícies curvas, o que descartaria algumas das possíveis interpretações da peça presentes na figura 4.27. Já a figura 4.29 traz as duas vistas associadas, tal fato facilita a interpretação das informações, inclusive porque pelo próprio posicionamento das vistas já é possível afirmar que a vista da figura 4.26 é a vista (F), enquanto que a vista da figura 4.28 é a vista (S) ou ainda que a primeira é a vista (I) e a segunda é a vista (F). O mais comum é que sejam fornecidas as vistas (F), (S), visto que essas são as vistas que mostram as faces com mais detalhes da peça. 56

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 3 3 Fig. 4.28 3 2 1 Fig. 4.30 Fig. 4.29 A análise feita a seguir parte da interpretação de que a figura 4.29 traz as vistas (F) e (S). Tal figura mostra a superfície número 1 em vista (F) e reduzida a uma reta na vista (S). Isso ocorre porque essa superfície está posicionada de modo paralelo ao plano vertical e de modo perpendicular ao plano horizontal (ver figura 4.30). O resultado desse posicionamento é que a superfície aparece em VG na vista (F) e como uma reta paralela à linha de terra (LT) na vista (S). A superfície número 2 aparece do mesmo modo que a primeira superfície analisada, ou seja, em vista na vista (F) e como uma reta na vista (S). No entanto, seu posicionamento em relação aos planos de projeção é diferente. Ela está perpendicular ao plano horizontal, mas é oblíqua ao plano vertical (ver fig. 4.30). É por essa razão que ela aparece inclinada em relação à LT na vista (S). No caso da superfície número 3, é possível afirmar que ela está posicionada de maneira semelhante à superfície 1, porém nas vistas contrárias, ou seja, ela é paralela ao plano horizontal e perpendicular ao plano vertical (ver fig. 4.30). A interpretação de vistas mongeanas ocorre dessa maneira, ou seja, por meio da análise das superfícies da peça em relação aos planos de projeção e da relação que elas estabelecem entre si. Parece mais complicado do que é na realidade. O treino da visualização das vistas mongeanas e da interpretação das peças ocorre através da resolução dos exercícios. Após a resolução de um bom número deles, a análise acima se torna automática. 4.7. A Escolha das Vistas Quando utilizamos o Sistema Mongeano para representar um objeto, muitas vezes não precisamos desenhar as seis vistas. O desenho de três vistas, usualmente as vistas (F), (S) e uma das laterais, é suficiente para o entendimento de um objeto. Isso porque nessas três vistas podemos ver a combinação dos três eixos coordenados, dois a dois. No entanto, a escolha dessas três vistas é muito importante, pois elas devem mostrar o máximo de detalhes existentes no objeto. Se a escolha 57

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica das faces a serem mostradas não for eficiente, pode haver tanto a dúvida quanto à volumetria da peça ou mesmo a interpretação incorreta da mesma. Vejamos o exemplo abaixo: dadas as duas vistas mongeanas da figura 4.31 há várias possibilidades de interpretação do objeto, como mostram as figuras 4.32 e 4.33. Se forem fornecidas somente tais vistas, não será possível definir qual a volumetria do objeto. Dessa maneira, deve-se sempre procurar representar as vistas do objeto que mais claramente caracterizem-no. De forma que não deixe margens para dúvidas na interpretação. Fig. 4.31 Fig. 4.32 Fig. 4.33 Como já foi mencionado nessa Apostila, geralmente são desenhadas três vistas de uma peça, porém, há situações em que a interpretação continua indefinida, como mostram as figuras 4.34 e 4.35. Fig. 4.34 Fig. 4.35 No caso das figuras acima, ter representado as vistas LD e LE não ajudou a interpretação da volumetria da peça porque ambas são equivalentes, ou seja, não mostram nada diferente uma da outra. Para resolver tal situação seria necessário representar outro conjunto de vistas. 4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano O primeiro passo para desenhar é conhecer a convenção utilizada no Sistema Mongeano. Leia atentamente o quadro abaixo com os tipos mais usados de linhas, suas representações e suas funções no desenho técnico: 58

Fig. 4.36 UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica TIPO DE LINHA REPRESENTAÇÃO FUNÇÃO Contínua Grossa Contínua Fina Tracejada Grossa contornos visíveis e arestas visíveis linhas de interseção imaginárias, linhas de cotas, linhas de construção, linhas de chamada, hachuras e linhas de centro contornos não visíveis e arestas não visíveis Em seguida, é necessário identificar as medidas dos segmentos da peça nas direções das arestas do ortoedro de referência utilizando os conhecimentos já adquiridos sobre perspectiva cilíndrica cavaleira e desenho isométrico, como sugere a figura 4.37. Dando continuidade à representação da peça, são desenhadas as Linhas de Terra (LT), as quais são representadas por duas linhas ortogonais entre si. As LTs criam quadrantes dentro dos quais as vistas serão organizadas, como aparece na figura 4.38. Fig. 4.37 Fig. 4.38 O próximo procedimento consiste na escolha das vistas que serão projetadas. Em geral, são desenhadas no Sistema Mongeano as mesmas faces que aparecem na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira ou no Desenho Isométrico, uma vez que se tem informações sobre elas, ou seja, não é preciso presumir informações. No entanto, essa prática não é regra. É possível ter que projetar faces que não estão sendo vistas. No exemplo mostrado as vistas escolhidas foram: (F), (S) e (LD), justamente as que aparecem no desenho isométrico dado, ver figura 4.39. Na sequência, as vistas são organizadas nos quadrantes formados pelas LTs, de acordo com a ordem mostrada na figura 4.22, ver resultado da organização das vistas na figura 4.40. LATERAL DIREITA z FRONTAL x Fig. 4.39 Fig. 4.40 y SUPERIOR 59

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Procede-se então para o desenho das vistas mongeanas da peça, deixando um espaço entre as vistas e as LTs. Esse espaço deve ter, de preferência, entre 0,5 e 1 cm. Uma vez escolhida, essa distância terá que se respeitada no desenho das outras vistas, tal fato mantém a relação projetiva entre as vistas. É possível começar o desenho por qualquer uma das vistas, no exemplo da figura 4.41, o desenho começa pela vista (F). De acordo com que já foi estudado, a vista (F) como qualquer outra vista, mostra duas das três coordenadas: a coordenada x (largura) e coordenada z (altura). O ponto A da figura possui, então, as seguintes coordenadas [x; z] = [ 1; 1]. Em todas as outras vistas o ponto A deve aparecer com as mesmas coordenadas. Fig. 4.41 Fig. 4.42 Na figura 4.42, que traz também a vista (S), é possível observar mais uma coordenada do ponto A, a coordenadas de y, que é [5]. Dessa forma, as três coordenadas são disponibilizadas, são elas [ x; y; z] = [ 1; 5; 1]. Com essa informação e a relação projetiva entre as faces, dada pelas linhas de chamada, é possível construir qualquer uma das outras vistas. A figura 4.43 mostra o ponto A sendo transportado pelas linhas de chamada para o quadrante onde será construída a vista (LD). As linhas de chamada são linhas de apoio, desenhadas com traço contínuo fino, que quando traçadas: verticalmente, transportam medidas de largura (x); horizontalmente transportam medidas de altura (z); com o compasso ou o esquadro de 45 transportam medidas de profundidade (y). 60

Fig. 4.43 UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica É importante observar que: as medidas de profundidade são transportadas primeiro até o eixo y e só então são levadas com o compasso ou com o esquadro de 45 para o eixo x (que representa o rebatimento do eixo y na épura). Se as medidas de profundidades forem transportadas com o compasso, a ponta seca deve ser centrada na origem, dos eixos coordenados; as linhas tracejadas são utilizadas para representar existentes, porém não visíveis; as linhas de chamada são traços contínuos finos; que as linhas de terra e as arestas de peça devem ser traços contínuos grossos. 4.9. Os Sólidos Básicos: prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas Nessa disciplina, o aluno terá que redesenhar figuras que são fornecidas ora em perspectiva cilíndrica cavaleira, ora em desenho isométrico, no Sistema Mongeano. Ou, ainda, realizar o caminho inverso, ou seja, redesenhar figuras que são dadas em vistas mongeanas, em perspectiva cilíndrica cavaleira ou desenho isométrico. Para iniciar o desenho de um sólido seja qual for o sistema escolhido é preciso reconhecer suas propriedades geométricas. Além disso, é necessário que a figura dada seja compreendida, para isso é crucial reconhecer o tipo de representação em que a figura foi elaborada, ou seja, se a peça dada está representada em perspectiva cavaleira ou em desenho isométrico. Como cada um desses sistemas possui regras próprias de representação, já estudadas nos capítulos anteriores dessa Apostila, é possível extrair do desenho, com precisão, as grandezas lineares e angulares necessárias para a construção da peça no sistema pedido. 4.9.1. Prisma Para desenhar prismas, é preciso saber que eles são sólidos geométricos delimitados por faces planas, que suas bases pertencem a planos paralelos entre si e que suas faces laterais serão quadriláteros. Dado o objeto da figura 4.44, o primeiro procedimento é reconhecer em que sistema de representação ele foi desenhado. Dessa forma é possível extrair as informações, especialmente com relação às medidas de largura, comprimento e altura. No caso da figura, o objeto está desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e possui k = 0,5, isso significa que quando a peça for desenhada em Desenho Isométrico ou em Mongeano, as medidas relativas ao eixo y serão aumentadas, uma vez que nesses sistemas de representação o K sempre é igual a 1. Feito isso é necessário identificar as faces que estão sendo mostradas, no caso do exemplo são as (F), (S) e (LD), como mostra a figura 4.44. 61

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica z LATERAL DIREITA FRONTAL x k = 0,5 SUPERIOR y Fig. 4.44 Fig. 4.45 Em seguida, as vistas já identificadas, são organizadas nos quadrantes resultantes do encontro das Linhas de Terra, ver figura 4.45. É importante lembrar que é preciso definir a distância do objeto até os planos de projeção, bem como que essa distância deve ser respeitada em todos os quadrantes. A épura do objeto é iniciada com a representação da vista (F), a qual guarda as medidas de largura e altura, extraídas a figura dada em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, ver figura 4.46. Fig. 4.46 O próximo procedimento consiste na representação da vista (S) através do traçado das linhas de chamada (no sentido vertical), o que mais parece o prolongamento das arestas que representam as alturas, como pode ser visto na figura 4.47. Em seguida, as medidas de comprimento, extraídas da Cavaleira são introduzidas na épura no quadrante da vista (S), como aparece na figura 4.48. Após o desenho dessa vista, procede-se com o traçado das linhas de chamada horizontais. Estas vão partir da vista (F) levando as medidas de altura para a construção da vista (LD), bem como vão partir da vista (S) levando as medidas de comprimento para a construção da mesma vista. No caso da vista (S), as linhas de chamada vão até o eixo y, como está mostrado na figura 4.48. 62

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Fig. 4.47 Fig. 4.48 Fig. 4.49 Com o compasso, ou com o esquadro de 45, transportam-se as medidas de comprimento da vista (S) até o quadrante da vista (LD). O compasso deve ser centrado na origem dos eixos coordenados e devem partir de um eixo e chegar até o outro eixo como mostra a figura 4.49. Em seguida, as linhas de chamada são levantadas a partir do eixo para cruzarem-se com as linhas que partiram da vista (F). Dessa forma, a vista (LD) é definida, ver resultado final da épura na figura 4.49. 4.9.2. Pirâmides Pirâmide é um sólido geométrico delimitado por faces planas, sendo sua base um polígono qualquer e suas faces laterais triângulos que possuem um ponto em comum chamado de vértice. Fig. 4.50 Dada a pirâmide da figura 4.50, os primeiros procedimentos para sua representação em Mongeano é, como foi dito para Prismas, a identificação do sistema em que a figura dada foi desenhada, e depois sua compreensão. No caso do exemplo, a figura foi desenhada em Perspectiva Cavaleira. Um recurso que auxilia o entendimento de uma peça é, como foi discutido no primeiro capítulo da apostila, o uso da técnica do ortoedro de referência, ver figura 4.50. Em razão do desenho do ortoedro é possível afirmar que trata-se de uma pirâmide de base quadrangular reta, ou seja, todas as faces são iguais e o vértice se projeta no centro da base. O traçado em épura da pirâmide em estudo teve início com vista (S), que guarda as medidas de largura e de profundidade. O próximo procedimento é o desenho da vista (F). Para isso estendemos as linhas de chamada no sentido vertical, incluindo a linha de chamada que contém as 63

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica informações sobre o vértice. Em seguida, são traçadas linhas de construção, com as medidas de altura, trazidas da Perspectiva Cavaleira, ver figura 4.51. Na figura 4.52 é possível verificar que conhecendo a localização do vértice, facilmente são traçadas as duas arestas que representam as duas faces laterais da pirâmide, e por consequência, a face frontal é definida. As linhas de construção e de chamada podem ser deixadas no desenho, porém devem ser diferenciadas das arestas definitivas por meio da espessura do traço. Fig. 4.51 Fig. 4.52 Para desenhar a vista (LD), procede-se como foi explicado para os prismas, ou seja, as medidas de altura e de comprimento são transportadas para o quadrante em que a vista será desenhada por meio das linhas de chamada. Ao se cruzarem, elas criam uma malha com linhas e pontos, que definem tanto as arestas definitivas quanto as não visíveis da peça. É importante perceber que os pontos sempre estarão sobre a mesma linha de chamada. Isso ocorre devido à existência da relação projetiva entre as faces, estabelecida pelas linhas de chamada. Fig. 4.53 O ponto que define o vértice da pirâmide, por exemplo, percorre todos os quadrantes, ou seja, está em todas as vistas, sempre sobre a mesma linha de chamada, ver figura 4.53. 4.9.3. Cilindros Como já foi discutido no item 2.6 dessa Apostila, o cilindro é um sólido que, de acordo com uma de suas leis de geração, possui um eixo, uma diretriz e várias geratrizes. As geratrizes são retas paralelas entre si e todas são paralelas a um eixo, cuja visualização e entendimento são imprescindíveis para a representação desses sólidos em épura. 64

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica A representação de cilindros em vistas mongeanas ocorre como a representação de qualquer sólido geométrico estudado até o momento. Primeiramente, há a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a identificação do sistema de representação utilizado na figura dada. Depois, se dá a compreensão da volumetria da peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada. Em seguida, são identificadas as faces que irão ser mostradas no desenho, assim, é feita a organização da localização dessas faces na épura. No caso da figura 4.54 estão sendo mostradas as faces (F), (S) e (LD). Por uma escolha didática as vistas a serem representadas em Mongeano serão as mesmas. Fig. 4.54 A figura 4.54 mostra uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do cilindro que será desenhado em Mongeano. Nessa figura, o cilindro está envolvido pelo ortoedro de referência e quatro das suas geratrizes foram destacadas. As geratrizes em destaque são as chamadas Geratrizes de Limite de Visibilidade (GLVs). As GLVs são retas que estão presentes em qualquer representação de sólidos que possuem superfícies curvas. Isso porque superfícies dessa natureza não possuem arestas. Portanto, as GLVs servem para marcar os limites de visibilidade do observador. Tais limites variam de acordo com a vista mongeana elaborada. Quando um cilindro é representado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, como é o caso da figura 4.54, sua superfície curva aparece na forma de dois traços verticais, indicados na figura como g5 e g6. Esses dois traços são as GLVs da Perspectiva Cavaleira. Tais geratrizes sempre tangenciam as circunferências das faces planas do cilindro. Quando esse mesmo cilindro é representado em Desenho Isométrico, o desenho mostra outro par de GLVs. O mesmo ocorre na representação do cilindro em vistas mongeanas. Quando se trata da vista (F) um par de GLVs aparece, o par g1 e g2, comparar as figuras 4.55 e 4.54. Já na vista (LD), o par mostrado é o g3 e g4. 65

Fig. 4.55 UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Como também já foi colocado, a representação no Sistema Mongeano pode começar a ser elaborada por qualquer uma das vistas. Na figura 4.55, a vista (S), que possui a forma de uma circunferência, foi a primeira a ser elaborada. Para isso foi definida uma medida de afastamento do sólido para os planos de projeção e desenhado um quadrilátero que representa a vista (S) do ortoedro de referência. Em seu interior desenha-se uma circunferência circunscrita que já é a vista (S) do cilindro. A vista (F) é composta por duas faces planas e por uma face curva. As faces planas aparecem reduzidas a retas no topo e na base da vista. A construção dessa face exige uma análise sobre como construir faces com essa natureza, pois elas não possuem arestas de onde partiriam linhas de chamada. Para desenhar as duas faces planas do cilindro, deve-se marcar a medida da altura desse objeto, a qual é trazida da Perspectiva Cavaleira e marcadas na vista (F) por meio de linhas de chamada paralelas ao eixo x, respeitando-se a medida de afastamento para os planos de projeção, como mostra a figura 4.55. Já para desenhar a face curva, o que deve ser observado é a extensão de visibilidade do observador, a qual compreende o arco 142, da figura 4.55, ou seja, a face curva do cilindro é vista pelo observador somente do ponto 1 até o ponto 2, o arco 132 fica não visível para o observador. Portanto, as linhas de chamada que partem dos pontos 1 e 2, e sobem na direção do quadrante da vista (F), marcam os limites laterais do sólido, sendo portanto, quando escurecidas, as GLVs. Essas retas representam os limites da extensão da face curva quando visualizada pelo observador na vista (F). A figura 4.56 traz a vista (LD), cuja construção obedece a mesma lógica utilizada para na construção da vista (F), ou seja, a utilização das GLVs como limites da extensão da visualização do sólido, só que nesse caso, as linhas de chamada partem dos pontos 3 e 4, porque é o arco 413 que está sendo visto pelo observador. Fig. 4.56 66

4.9.4. Cones UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Fig. 4.57 Cones, assim como cilindros, possuem superfícies de diferentes naturezas, uma é plana e outra que é curva. Consequentemente, os procedimentos para a representação de cones no Sistema Mongeano se assemelham aos procedimentos da representação do cilindro nesse sistema, estudados no item acima. No entanto, os cones possuem um elemento que os cilindros não possuem, o vértice. Tal ente geométrico é o ponto de convergência de todas as geratrizes do cone, inclusive das GLVs, como pode ser observado na figura 4.57. Sua localização é muito importante na determinação das vistas mongeanas desse sólido. No caso da figura 4.57 estão sendo mostradas as faces (F), (S) e (LD). Por uma escolha didática, as vistas a serem representadas em Mongeano serão as mesmas. Em seguida, é feita a organização da localização dessas faces na épura. A representação de um cone segue a mesma lógica da representação de qualquer sólido geométrico. Primeiramente, há a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a identificação do sistema de representação utilizado. Depois, se dá a compreensão da volumetria da peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada, ver figura 4.57. No caso do exemplo tratado nesse item, a representação em Mongeano vai ter início com a vista (S), pois a representação dessa vista consiste somente na construção de uma circunferência (circunscrita por um quadrado que é a vista superior do ortoedro de referência) e na localização do vértice do cone no centro dela, como mostra a figura 4.58. As GLVs não aparecem na vista (S), pois quando o observador está acima do objeto, ele não enxerga mudanças de plano. Em seguida, são localizados, na mesma vista, os limites laterais do cone, os pontos 1 e 2, ver figura 4.59. 67

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica Fig. 4.58 Fig. 4.59 Desses pontos partem as linhas de chamada que sobem na direção do quadrante da vista (F). Quando, nesse quadrante, há o cruzamento entre as linhas de chamada e a linha horizontal que marca o afastamento do plano até o sólido, são encontrados os pontos 1 e 2. Desses dois pontos partem as duas GLVs, que no caso do cone concorrem no vértice. As duas GLVs marcam a extensão da visibilidade do observador que no caso da figura 4.59 vai compreender tudo que é visto no arco 1 2. A altura onde o vértice fica na vista (F) é trazida da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e posta na vista (F) sobre a linha de chamada que parte da projeção do vértice na vista (S). A figura 4.60 traz a construção da vista (LD). A representação dessa vista é o resultado do cruzamento das linhas de chamada que partem da vista (S), com as linhas de chamada que partem da vista (F). É possível observar que na vista (LD) aparecem as GLVs que partem dos pontos 3 e 4 presentes na vista (S). Fig. 4.60 68

4.9.5. Esferas UFPE Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica A esfera é um sólido geométrico que possui uma característica marcante em relação aos outros sólidos, uma única superfície curva. Consequentemente, a esfera só possui geratrizes curvas e são de dois tipos: meridianos ou paralelos, como aparece na figura 4.61. Tendo a esfera uma superfície curva não há arestas ou vértices. http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php Fig. 4.61 A representação da esfera é feita usualmente em Vistas Mongeanas e em Isometria, ou ainda em Desenho Isométrico. Não é usual representar a esfera em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira porque a esfera fica tão deformada que deixa de parecer uma esfera. Conforme vimos no capítulo 3, na Isometria (exata) as medidas paralelas aos eixos coordenados sofrem uma deformação natural de 0,816, tanto na altura, como na largura e na profundidade, ou seja, em todas as suas medidas. No entanto, o desenho do contorno aparente da esfera não sofre deformação, como mostra a figura 4.62, isso ocorre porque todas as medidas já foram deformadas. Para representar a esfera em Desenho Isométrico vai ocorrer o contrário, ou seja, como as medidas que estão paralelas aos eixos coordenados sofrem deformação, a qual é desconsiderada, o desenho do contorno aparente da esfera que na Isometria Exata não sofre deformação será deformado em 0,816, como mostra a figura 4.63. Fig. 4.62 Fig. 4.63 Na prática, para desenhar a esfera em Desenho Isométrico utilizamos o Ortoedro de Referência desenhado em medidas reais. Em sequência, para desenhar o contorno aparente da 69

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica esfera centramos o compasso no vértice central que pertence simultaneamente as vistas frontal, superior e lateral direita. A abertura do compasso será igual ao raio da esfera, mas atenção! O raio real deve ser dividido pelo fator de deformação 0,816 para que o contorno aparente da esfera fique proporcional ao Desenho Isométrico. Observe atentamente o exemplo da figura 4.64, para desenhar uma esfera de raio 2cm. Desenha-se um ortoedro de referência, em medidas reais, ou seja, com 4cm em todos os lados. Em seguida, se desenha o contorno aparente da esfera, centrando o compasso no centro e com raio, dessa vez deformado, isto é, 2cm (raio real) dividido por 0,816 (fator de deformação). Para dividir a esfera ao meio, desenhamos um plano que divide o Ortoedro, também em medidas reais, procedemos então o desenho da elipse inscrita ao plano desenhado anteriormente, também em medidas reais. 4,0 4,0 4,0 elipse que divide a esfera em meias esferas Fig. 4.64 Uma curiosidade importante é que quando se está trabalhando com a meia esfera, é possível construir o ortoedro de referência, depois a elipse que dividirá a esfera ao meio e para desenhar o contorno aparente da esfera podemos simplesmente observar os raios ao invés de calcular. Os raios paralelos aos eixos coordenados estão em medida real, ou seja, 2cm, mas o raio no sentido horizontal (que não está paralelo a nenhum eixo) já está desenhado com a deformação desejada, como mostra a figura 4.64. Os procedimentos para a representação de esferas em épura são os mesmos procedimentos utilizados para representar qualquer outro sólido geométrico. Portanto, primeiramente, há a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a 70

CAPÍTULO 4 Perspectiva Cilíndrica Ortográfica identificação do sistema de representação utilizado. Depois, se dá a compreensão da volumetria da peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada, ver figura 4.64. Quando o observador vê uma esfera, seja na vista (F), (S), (LD) ou qualquer outra, a linha que ele enxerga são meridianos, como mostra as figura 4.61. A representação da esfera no mongeano se assemelha de certa forma à representação do cone e do cilindro. Isso ocorre porque no caso da esfera também teremos geratrizes de limite de visibilidade. Ao iniciarmos o desenho pela vista (S), por exemplo, o observador vê apenas uma circunferência. A linha da circunferência é uma das GLVs da esfera, g2, um paralelo equivalente ao equador da terra. Dando continuidade ao desenho, parte-se para a vista (F), e traça-se duas tangentes à g2 da vista (S). No sentido da largura, é traçada então uma nova GLV, g1, que corresponde à vista (F) da esfera, composta por dois meridianos. Para finalizar, procede-se o desenho da vista (LD), por meio de linhas de chamadas tangentes à g2 da vista (S) no sentido da profundidade e linhas de chamada tangentes à g1 da vista (F) no sentido da altura. É traçada então uma nova GLV, g3, que corresponde a dois meridianos. Observe atentamente a figura 4.65. Observe que para efeitos didáticos foram indicadas as posições de todas as GLVs em todas as vistas. Fig. 4.65 Fig. 4.66 Conclui-se assim que as linhas de chamada são retas tangentes às GLVs de cada projeção da esfera, ou seja, a circunferência vista pelo observador em cada vista. É importante destacar também que em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e Desenho Isométrico, a linha que representa a esfera é chamada de Contorno Aparente da esfera. 71

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza CAPÍTULO 5 - Verdadeira Grandeza 5.1. Definições e Usos Verdadeira Grandeza (VG) são as medidas angulares e lineares reais de uma das arestas ou faces de um objeto - como altura, largura e profundidade. Na área de conhecimento das Engenharias é imprescindível o conhecimento das medidas reais, ou verdadeiras grandezas, de um objeto, seja ele um parafuso ou um telhado. Geralmente, o uso das verdadeiras grandezas de um objeto está atrelado ao cálculo de áreas, e realmente, sem o conhecimento da real medida do perímetro de uma superfície, por exemplo, é impossível realizar o cálculo de sua área com precisão. No entanto, saber ler ou, mais ainda, saber extrair as verdadeiras grandezas de um objeto que está representado no Sistema Mongeano é importante não somente no cálculo de áreas, mas também em diversas atividades da prática profissional da engenharia, como, por exemplo, análise de projetos e pareceres técnicos. Nem sempre as características geométricas do objeto representado possibilitam a extração direta de suas verdadeiras grandezas, ou seja, algumas vezes mesmo a representação de todas as vistas de um objeto não mostram todas as partes deste objeto em VG. Para lidar com situações dessa natureza, deve-se dominar o uso de operações gráficas para determinar a VG de superfícies ou de arestas. Existem, na Geometria Descritiva, algumas operações gráficas, as principais são: Mudança de Plano; Rotação; e Rebatimento. Todas as operações citadas possuem o mesmo objetivo, que é o de determinar a VG de objetos geométricos. No entanto, nessa disciplina optou-se por trabalhar com a operação da Mudança de Plano para determinar a VG de faces e arestas. Essa opção foi feita porque essa operação é a mais versátil, ou seja, com ela se resolve qualquer caso de obtenção de VG. 5.1.1. Compreendendo as três posições básicas: paralela, perpendicular e oblíqua Para compreender o conceito de Verdadeira Grandeza é imprescindível conhecer as três posições básicas de referência posicional entre os elementos geométricos que compõem um objeto (arestas ou faces) e, principalmente, de referência posicional entre os elementos desse objeto e os planos de projeção. São três as posições básicas que um ente geométrico pode assumir: paralela, perpendicular e oblíqua. Em outras palavras, arestas e faces podem estar paralelas, perpendiculares ou oblíquas entre si ou entre si e os planos de projeção. No capítulo 4, onde estudou-se o Sistema Mongeano, essas três posições foram trabalhadas, no entanto, o que será feito agora é compreender como cada uma dessas posições pode interferir na visualização da VG de arestas e superfícies. 72

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Tomando como exemplo a situação da casa da figura 5.1, observa-se a superfície ABCD que compõe a coberta. Atenção para a aresta AD e suas projeções nas vistas frontal, superior e nas laterais. Na vista superior, a aresta AD está sendo representada por um segmento de reta. Na vista frontal, AD está representada por um único ponto e, finalmente, nas vistas laterais, AD aparece novamente sendo representada por um segmento de reta. Analisando as quatro vistas conjuntamente percebe-se que a aresta AD está perpendicular ao plano de projeção da vista frontal e por isso aparece representada por um ponto nessa vista. Todas as vezes que um elemento está perpendicular ao plano de projeção, diz-se que ele está em vista básica (VB) nesse plano. Dessa maneira, a aresta AD está em VB. Já com relação aos outros três planos de projeção, a aresta AD está paralela a esses planos, aparecendo com as mesmas dimensões, que são exatamente as suas dimensões reais. Portanto, na vista superior e nas laterais a aresta AD está em verdadeira grandeza. É importante ressaltar que a única posição que um objeto pode tomar para que ele esteja em VG é quando ele está paralelo a um plano no qual se fará a projeção ortogonal. Na mesma figura, a 5.1, a aresta AB está representada por um segmento de reta em todas as vistas. No entanto, ela não está na mesma posição com relação a todos os planos de projeção. Na vista frontal a aresta AB está em VG, porque está paralela ao plano vertical. Já nas outras três vistas, a aresta AB aparece com dimensões reduzidas em relação à suas medidas reais. Isso ocorre porque ela está oblíqua aos planos de projeção horizontal e verticais. Casa esquemática representada em vistas ortográficas Figura 5.1 73

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Portanto, podemos concluir que dependendo da posição da aresta com relação aos planos de projeção, podemos ter essa aresta em verdadeira grandeza (VG), em vista básica (VB) ou com dimensões reduzidas. Veja o quadro síntese abaixo: objeto paralelo ao plano de projeção = objeto em verdadeira grandeza (VG) objeto perpendicular ao plano de projeção = objeto em vista básica (VB) objeto oblíquo ao plano de projeção = objeto com dimensões reduzidas O mesmo raciocínio utilizado para compreender as posições relativas de uma aresta com relação aos planos de projeção deve ser aplicado para as faces do objeto. Como será visto no próximo item. 5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar Tomando como exemplo uma situação na qual é solicitado o cálculo da área da superfície da coberta da casa representada em épura na figura 5.2, para que se possa fazer o cálculo do quantitativo de telhas para cobrir o telhado, percebe-se que nem a vista superior da casa (projeção no plano horizontal), nem na vista frontal (projeção no plano vertical) as medidas da superfície da coberta são as medidas reais. Casa com épura Figura 5.2 74

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Quatro vistas ortográficas Figura 5.3 Na figura 5.3 é possível notar que a superfície ABCD (que corresponde à metade da superfície da coberta) aparece nas projeções, porém com medidas deformadas. Na vista superior, e nas duas laterais, a face aparece com suas medidas reduzidas, já na vista frontal, ela aparece em VB. Dessa forma, nenhuma das quatro vistas ortográficas fornece as medidas reais da face ABCD. Isso ocorre porque o plano em que a superfície da coberta se apoia é oblíquo tanto ao plano de projeção horizontal (π1), quanto aos planos verticais - principal (π2) e auxiliares (π3, π4). Para que o plano ABCD fosse mostrado em VG seria necessário que estivesse representado paralelo a um dos planos mongeanos. No entanto, embora o plano ABCD não apareça em VG em nenhuma das projeções mongeanas, algumas arestas do plano estão representadas em VG em algumas das vistas. E é exatamente a noção da união das partes que estão em VG que irá nos auxiliar na aplicação do método da Mudança de Plano para a extração da VG de ABCD. Observe que na vista frontal a coberta ABCD está representada em VB. Lembrando que a VB ocorre quando o objeto representado está perpendicular ao plano de projeção. Consequentemente, se o objeto for um segmento de reta, sua representação em VB será um ponto, e se o objeto for um plano, sua representação em VB será uma reta, como é o caso do plano ABCD. Observe também que os segmentos AB e CD estão paralelos ao plano vertical de projeção (π2), portanto estando em VG nessa vista. Os segmentos AD e BC estão paralelos tanto ao plano horizontal (π1), como aos planos verticais de projeção (π3 e π4), consequentemente estando em VG nessas vistas. Se pudéssemos unir essas partes que estão em VG do plano ABCD teríamos a VG desse 75

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza plano. Contudo, esse raciocínio, embora útil, é difícil de ser aplicado para o caso de uma face com muitas arestas, ou aresta com medidas diferentes por exemplo. Para isso existe a operação da Mudança de Plano, com ela podemos reunir as partes da face, da qual se quer a VG, que estão com suas medidas reais representadas em planos mongeanos diferentes. Para que se conheçam as medidas reais da coberta é necessário se produzir mais uma projeção. Vale ressaltar que a condição essencial para se trabalhar no Sistema Mongeano é operar dentro de diedros. Portanto, o primeiro passo de uma operação de mudança de plano é criar um novo diedro. Um novo diedro terá que ser criado porque nenhum dos diedros já conhecidos (os que fornecem as seis vistas mongeanas) colocam o plano que apoia a face da qual se quer a VG na posião necessária para se obter suas VGs. Em outras palavras, é preciso criar um diedro, no qual o novo plano seja perpendicular a um dos planos mongeanos e ao mesmo tempo seja paralelo à face ABCD, como mostra a figura 5.4, visto que somente essa posição fornecerá a VG da face ABCD. No caso do exemplo da figura, o novo diedro é composto pelo plano π2 e por um novo plano, também chamado de Plano Auxiliar (PA). Por isso é que se dá o nome de Mudança de Plano para essa operação descritiva. Criado o novo diedro, projeta-se a face ABCD ortogonalmente no PA. Casa esquemática para mostrar a projeção do telhado no plano auxiliar Figura 5.4 No entanto, temos que realizar a projeção no PA trabalhando de forma bidimensional, ou seja, em épura. Para isso o PA deve ser inserido perpendicularmente (ortogonalmente ou em VB), com relação a um dos seis planos mongeanos para criar um novo diedro. Como mostra a figura 5.4, observe que o PA criou um novo diedro com o plano vertical π2. 76

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza 5.3. Mudança de Plano Em resumo, na operação da Mudança de Plano utilizamos um novo plano, um plano auxiliar (PA) que deve ser paralelo à face da qual se quer a VG. Sabemos também que esse PA deve criar um novo diedro com um dos planos mongeanos, portanto ele é inserido em VB em um dos seis planos mongeanos. Concluímos, portanto, que para se extrair a VG de uma aresta ou face utilizando a Mudança de Plano devemos ter duas premissas em mente: 1. Para visualizar uma face ou aresta em VG, essa face ou aresta precisa ser projetada num PA paralelo a ela; 2. O PA é sempre inserido perpendicularmente (em vista básica) a um dos seis planos mongeanos. Essa condição de perpendicularidade ocorre porque é necessário que criar um novo diedro. Se o PA deve, simultaneamente, ser inserido em VB em um dos seis planos mongeanos e estar paralelo à face da qual irá se extrair a VG, logo a face tem que estar em VB em pelo menos uma das vistas. Dentro da lógica da mudança de plano existem três situações possíveis de posicionamento entre os entes geométricos e os planos de projeção. Tais situações serão estudadas a seguir. Cada uma das três situações são chamadas de Casos, temos assim: caso 1; caso 2 e caso 3. Essa divisão não existe na literatura, ela é resultado de uma opção didática elaborada pelos professores dessa disciplina ao longo dos semestres. Elas reúnem todas as possibilidades de posicionamento de uma aresta ou face em relação aos planos de projeção. No caso 1, a face da qual se quer a VG aparece em VB em pelo menos uma das seis vistas mongeanas. No caso 2, a face da qual se quer a VG não está em VB em nenhuma das seis vistas mongeanas, mas pelo menos uma de suas arestas aparece em VG em pelo menos uma das seis vistas mongeanas. Finalmente, no Caso 3, a face da qual se quer a VG não está em VB em nenhuma das seis vistas mongeanas, e também nenhuma de suas arestas aparece representada em VG em nenhuma das seis vistas mongeanas. 5.4. Caso 1 Identificamos que a situação está no Caso 1, quando a face da qual se quer a VG já aparece em vista básica, ou seja, ela aparece reduzida a um segmento de reta em pelo menos um dos seis planos mongeanos. Nas situações do caso 1 é necessário apenas um único procedimento para extrair a VG da face. 77

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Qual é a VG da face 122 1? 1. Localizar se há algum plano no qual a face 122 1 esteja representada em VB. 2. No plano da vista superior (π 1 ) a face 122 1 está com as arestas 1 2 e 12 em medidas reduzidas. Mas as arestas 11 e 22 estão em VG. 3. No plano da vista lateral (π 3 ) direita a face 122 1 também está com as arestas 1 2 e 12 em medidas reduzidas. Mas as arestas 11 e 22 estão em VG. 4. Na vista frontal (π 2 ) as arestas 12 e 1 2 estão em VG. 5. A face 122 1 está em VB no plano da vista frontal, pois está reduzida a um segmento de reta. Identificando a posição da face que se quer a VG Figura 5.5 Procedimento 1: determinar a VG da face 122 1 1. A face 122 1 está em vista básica no plano π 2. Pois está reduzida a um segmento de reta. 2. Inserimos o plano auxiliar, π 4, em VB com relação ao plano π 2 e paralelo a VB da face 122 1, que também está em VB. 3. Cria-se o diedro entre π 2 e π 4. 4. As arestas 12 e 1 2 que estavam em VG em π 2 têm suas medidas projetadas em π 4, isso é feito através das linhas de chamada. 5. Rebatemos π 4 para que ele apareça na representação. 6. Transportamos as medidas com o compasso a partir da linha de terra π 1 π 2 até os pontos 1, 1, 2 e 2 para o PA. Com o cuidado de, no momento do transporte, centrar na linha de terra π 2 π 4 (ver quadro síntese na próxima página). 7. Após o transporte das medidas fechamos a linha poligonal unindo os vértices. Se houver dúvidas no fechamento da linha poligonal, podemos observar a face da qual estamos Determinando a VG da face 121 2 com um procedimento Figura 5.6 extraindo a VG em alguma das projeções mongeanas. 78

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza IMPORTANTE: Um aspecto relevante sobre as linhas de chamada é o fato de que estas estabelecem uma relação de ortogonalidade dentro do diedro. As linhas de chamada transportam medidas de um plano a outro dentro do diedro formado por ambos. Portanto, as linhas de chamada sempre estão perpendiculares à linha de terra do diedro ao qual pertence. Outro aspecto que merece atenção é o transporte das medidas para o PA. Há uma dúvida recorrente com relação ao transporte de medidas no momento de rebater o Plano Auxiliar. Existem duas maneiras de visualizar de que lugar devemos extrair as medidas para o transporte: 1) Observar os eixos coordenados. Se por exemplo o PA foi inserido em π 2, estamos trabalhando com larguras (x) e alturas (z), portanto quando rebatermos o PA as medidas que aparecerão serão as profundidades (y). 2) Observar a relação do diedro. Se fecharmos os diedros do desenho, voltando a relação em 3D, podemos, facilmente, observar de onde deveremos extrair as medidas que queremos. É importante lembrar que esse transporte deve ser feito com o compasso e utilizando as distâncias de plano a ponto, para evitar erros. 5.5. Caso 2 Identificamos que a situação está no Caso 2, quando a face da qual se quer a VG não aparece em vista básica. No entanto, existe pelo menos uma aresta, pertencente à face, em VG. Esse será nosso ponto de partida. Nas situações do Caso 2 são necessários dois procedimentos para extrair a VG da face. Isso ocorre porque para extrair a VG da face precisamos que ela esteja em VB, só assim podemos inserir o PA, também em VB, paralelo a face da qual se quer a VG. Como a face não está em VB, precisamos realizar um procedimento anterior ao que realizamos para o Caso 1. Esse procedimento anterior consiste em fazer uma vista auxiliar (utilizando um plano auxiliar) para reduzir a face para a VB. Após esse procedimento inicial teremos a face em VB, voltando assim para uma situação de Caso 1. Observe a figura. 79

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Qual é a VG da face 122 1? 1. Localizar se há algum plano no qual 122 1 esteja representada em VB. Nesse caso não há. 2. Precisamos fazer uma vista auxiliar, utilizando um plano auxiliar para reduzir a face 122 1 à VB. 3. Para que um PA visualize a face 122 1 em VB esse plano precisa estar perpendicular à face. Para simplificar: se o PA estiver perpendicular a qualquer aresta pertencente a face 122 1 irá reduzir essa aresta à VB (que é um ponto), consequentemente irá reduzir toda a face 122 1 à VB (que é um segmento de reta). 4. Mas para fazer isso, precisamos trabalhar com a VG de uma aresta pertencente à face 122 1 que está em VG. 5. Em π 2, identificamos que as arestas 1 2 e 12 estão paralelas à π 1, portanto, em π 1 essas arestas estão em VG. 6. Faremos o procedimento com base na VG do segmento. Identificando a posição da face que se quer a VG Figura 5.7 Procedimento 1: determinar a VB da face 122 1 1. Para o PA visualizar a face 122 1 em VB ele precisa estar perpendicular a VG de uma aresta dessa face. 2. Em π 2, identificamos que as arestas 1 2 e 12 estão paralelas à π 1, portanto, em π 1 essas arestas estão em VG. 3. Inserimos o PA perpendicular à VG da aresta 1 2 (nesse caso, também poderia ser a aresta 12). 4. Projetamos a face no PA. 5. Rebatemos o PA, transportando de compasso as medidas a partir da linha de terra π 1 PA até os pontos 1, 1, 2 e 2 para o PA. Com o cuidado de, no momento do transportar, centrar na linha de terra π 1 PA. (observar o texto relativo ao transporte de medidas). 6. A face 122 1 aparece projetada em VB no PA. 7. Voltamos a ter a condição do Caso 1, na qual temos a face da qual queremos a VG em VB. Determinando a VB da face 121 2 com o primeiro procedimento Figura 5.8 80

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Procedimento 2: determinar a VG da face 122 1 1. A face 122 1 está em VB no plano auxiliar π 4, pois está reduzida a um segmento de reta. 2. Inserimos um plano auxiliar, π 5, em VB com relação a π 4 e paralelo à VB da face 122 1. 3. Cria-se o diedro entre π 4 e π 5. 4. Projeta-se a face 122 1 em π 5. 5. Rebatemos π 5, transportando as medidas com o compasso a partir da linha de terra π 1 π 4 até os pontos 1, 1, 2 e 2 para π 5. Com o cuidado de, no momento do transporte, centrar na linha de terra π 4 π 5 (para esse transporte, perdemos a referência dos eixos coordenados, devemos utilizar a relação do diedro). 6. Após o transporte das medidas fechamos a linha poligonal unindo os vértices 1, 2, 1 e 2. Determinando a VG da face 121 2 com o segundo procedimento Figura 5.9 5.6. Caso 3 Identificamos que a situação está no Caso 3, quando a face da qual se quer a VG não aparece em vista básica e nenhuma aresta pertencente à face está em VG em nenhum dos seis planos mongeanos. Nas situações do Caso 3, a exemplo do que ocorreu nas situações do Caso 2, também são necessários dois procedimentos para extrair a VG da face. Isso ocorre porque para extrair a VG da face precisamos que ela esteja em VB, só assim podemos inserir o PA, também em VB, paralelo à face da qual se quer a VG. Como a face não está em VB, precisamos realizar um procedimento anterior ao que realizamos para o Caso 1. Esse procedimento anterior consiste em fazer uma vista auxiliar (utilizando um plano auxiliar) para reduzir a face para a VB. Após esse procedimento inicial teremos a face em VB, voltando assim para uma situação de Caso 1. Observe a figura. 81

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza PROCEDIMENTO INICIAL: destacar a VG de segmento da face 123 1. Precisamos projetar a VB da face 123 para extrair sua VG. 2. Para projetar a face 123 em VB precisamos de uma aresta em VG. Porém, nenhuma aresta pertencente a face 123 está em VG. 3. A partir de um vértice da face, no caso da figura, o vértice 2, traçamos o segmento de reta 2P, paralelo à π 1. Se P pertence a aresta 31, irá, consequentemente, pertencer a todas as projeções de 31. Sendo assim, descemos uma linha de chamada a partir de P até a sua projeção em π 1. 4. Em π 1, o segmento de reta 2P está em VG. Dessa forma, voltamos a uma situação semelhante ao caso 2. Identificando a posição da face que se quer a VG Figura 5.10 Procedimento 1: determinar a VB da face 123 1. Posicionar π 4 perpendicular ao segmento 2P. 2. Projetamos a face 123 em π 4. 3. Rebatemos π 4, transportando de compasso as medidas a partir da linha de terra π 1 π 2 até os pontos 1, 2 e 3 para π 4. Com o cuidado de, no momento de transportar, centrar na linha de terra π 1 π 4. 4. A face 123 aparece projetada em VB em π 4. 5. Voltamos a ter uma condição do Caso 1, na qual temos a face da qual queremos a VG em VB. Determinando a VB da face 123 com o primeiro procedimento Figura 5.11 82

CAPÍTULO 5 Verdadeira Grandeza Determinando a VG da face 123 com o segundo procedimento Figura 5.12 Procedimento 2: determinar a VG da face 123 1. A face 123 está em vista básica no Plano auxiliar π 4. Pois está reduzida a um segmento de reta. 2. Inserimos um plano auxiliar π 5, em VB com relação a π 4 e paralelo a VB da face 123. 3. Cria-se o diedro entre π 4 e π 5. 4. Projeta-se a face 123 em π 5. 5. Rebatemos π 5, transportando as medidas com o compasso a partir da linha de terra π 1 π 4 até os pontos 1, 2 e 3 para π 5. Com o cuidado de, no momento do transportar, centrar na linha de terra π 4 π 5. (para esse transporte, perdemos a referência dos eixos coordenados, devemos utilizar a relação do diedro). 6. Após o transporte das medidas fechamos a linha poligonal unindo os vértices 1, 2 e 3. Se houver dúvidas no fechamento da linha poligonal, podemos observar a face da qual estamos extraindo a VG em alguma das projeções mongeanas. 83

CAPÍTULO 6 Seção Plana CAPÍTULO 6 SEÇÃO PLANA 6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e Interseção 6.1.1. Superfície e Sólido Superfície é uma região que possui dois comprimentos. Segundo Rangel (1979) a definição mais básica e abrangente para qualquer superfície é a definição de Gaspar Monge: Superfície é o limite da extensão a três dimensões. Porém, no intuito de ampliar o entendimento de superfícies Rangel apresenta mais três definições: a) Superfície é a película sem espessura que separa duas regiões no espaço tridimensional; b) É o lugar geométrico dos pontos comuns a duas regiões tridimensionais e; c) É todo lugar bidimensional (Rangel, 1979, p. 97). Portando, as superfícies podem possuir diferentes formas. As figuras abaixo mostram diferentes exemplos de superfícies. As figuras 6.1, 6.2 e 6.3 mostram uma superfície cilíndrica, uma superfície cônica e uma superfície esférica, respectivamente, as três possuem leis de geração, sendo assim consideradas superfícies geométricas: Toda superfície geométrica pode ser gerada por uma linha que se move segundo uma lei dada (Chaput, 1949, p. 193). As figuras 6.4 e 6.5 trazem exemplos de superfícies não geométricas, porque possuem uma forma irregular que não estão submetida a nenhuma lei de geração. A figura 6.6 é um caso particular de superfície, pois trata-se de uma superfície plana. A superfície plana também é um exemplo de superfície geométrica. Superfície Cilíndrica Figura 6.1 http://www.mat.ufmg.br/ Superfície Cônica Figura 6.2 http://www.professores.uff.br/ Superfície Esférica Figura 6.3 http://www.professores.uff.br/ Superfície curva qualquer Figura 6.4 http://knowledge.autodesk.com/support/autoc ad/ Superfície de um bule Figura 6.5 http://knowledge.autodesk.com/support/autoc ad/ Superfície plana Figura 6.6 http://7dasartes.blogspot.com.br/ 84

CAPÍTULO 6 Seção Plana As superfícies fechadas, a exemplo da superfície esférica, figura 6.3, admitem interior e exterior. O espaço interior à superfície é o seu volume e todo o restante é o espaço exterior. A soma da superfície com o espaço interior chama-se sólido (Rangel, 1982:3). Por exemplo, a esfera é um sólido composto pela superfície esférica somada a toda região compreendida por essa superfície. Os sólidos podem ser classificados em dois grandes grupos: os poliedros e os sólidos de revolução. A esfera é um exemplo de sólido de revolução (figura 6.7). Já os sólidos da figura 6.8, são exemplos de poliedros. Esfera Figura 6.7 http://geometriaespacial-3g.blogspot.com.br/ Poliedros Figura 6.8 http://www.reidaverdade.net/o-que-sao-poliedros.html Nessa apostila serão trabalhados sólidos geométricos básicos, são eles: prisma, cone, pirâmide e cilindro, como mostra a figura 6.9. Prisma Cone Figura 6.9 Pirâmide Cilindro 6.1.2. Interseção e Seção O conceito de interseção na Geometria é o mesmo da Matemática, isto é, os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. Na geometria uma interseção ocorre entre entes geométricos: retas, sólidos e superfícies. A figura 6.10 mostra a interseção (I) entre a porção de uma superfície esférica (E) e um cone (C). Interseção entre superfícies Figura 6.10 http://www.mat.uel.br/geometrica/ 85

CAPÍTULO 6 Seção Plana A interseção mais simples e mais facilmente percebida é da figura 6.11, que ilustra a interseção entre duas retas, marcada por um ponto comum às duas retas. A interseção entre uma reta é uma superfície também é marcada por um ponto (figura 6.12) ou por mais pontos (figura 6.13). A interseção entre um plano e uma reta, não pertencente a este, é marcada por um ponto (A), como ilustra a figura 6.14. A interseção entre dois planos é marcada por um reta. No caso da figura 6.15, onde os planos são perpendiculares entre si, a interseção entre é chamada de Linha de Terra, ou, simplesmente, LT, como vimos no estudo do sistema mongeano. Interseção entre duas retas Figura 6.11 Interseção entre superfície e reta (um ponto) Figura 6.12 Interseção entre superfície e reta (vários pontos) Figura 6.13 Interseção entre reta e plano Figura 6.14 Interseção entre planos perpendiculares entre si. Interseção = Linha de Terra Figura 6.15 Foram vistos alguns exemplos de interseções, porém não foram esgotadas todas as possibilidades, podem existir interseções entre superfícies, entre superfícies e sólidos ou ainda entre sólidos. A definição de seção em geometria também pode ser encontrada nos dicionários: Seção: 1 Ato ou efeito de seccionar. 2 Lugar onde uma coisa está cortada. 3 Cada uma das partes em que um todo foi seccionado ou separado; segmento. (...) 6 Desenho da figura que resultaria do corte de qualquer coisa por um plano, geralmente vertical. (...) 8 Geom Figura proveniente da interseção de um sólido ou superfície por um plano. (...). (http://michaelis.uol.com.br/) O conceito de seção está incluso no conceito de interseção porque para realizar o estudo da seção, por exemplo, entre um plano de seção, também chamado de plano setor, e um objeto, temos que determinar pontos e arestas em comum entre ambos, ou seja, temos que determinar as 86

CAPÍTULO 6 Seção Plana interseções entre o plano da seção e os elementos do objeto que está sendo seccionado. Dessa forma, podemos afirmar que toda seção é uma interseção. 6.2. Seção plana de sólidos geométricos básicos A seção plana envolve um plano e um sólido ou superfície. O plano corta o sólido ou superfície. No caso da seção plana de uma superfície, a seção será a linha de interseção entre o plano e esta superfície. No caso da seção plana de um sólido, a seção resultante será uma figura plana, que compreende toda a região de interseção entre o plano e o sólido. As possibilidades de posição de plano setor são infinitas. Nessa apostila, por uma opção didática, o plano setor será sempre fornecido em vista básica em uma das vistas mongeanas. Além disso, serão exploradas algumas posições que melhor representam essa variedade de possibilidades e que, consequentemente, ilustram grande parte das situações encontradas na atividade profissional de um engenheiro. Dessa forma, serão exemplificadas várias posições de plano setor para cada sólido geométrico. Para facilitar o entendimento, o plano horizontal (também chamado de plano do chão, ou ainda π 1 ) sempre será a referência para a posição do plano setor. 6.2.1 Seção Plana de Prismas Para trabalhar com a seção de prismas, será usado como exemplo um prisma reto de base quadrangular. Estudaremos as seções de prismas em três situações, que são: 1) Plano de Seção Paralelo ao Plano Horizontal (PH): no caso do prisma de base quadrangular da figura 6.16, a seção produzida é um polígono igual ao polígono da base, como mostra a figura 6.17. Prisma seccionado por um plano paralelo ao PH Figura 6.16 Prisma truncado após a seção Figura 6.17 87

CAPÍTULO 6 Seção Plana A figura 6.18 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano paralelo ao PH em um prisma de base quadrangular (o Sistema Mongeano de representação foi estudado no capítulo 4). Observe que plano setor α está dado na vista frontal, e nela ele aparece em vista básica. A seção propriamente dita também aparece em vista básica nessa vista. O mesmo ocorre na vista lateral, onde a área seccionada está reduzida a um segmento de reta. Na vista superior a área seccionada, representada por uma hachura, é uma região igual a da base. Vistas mongeanas de um prisma seccionado por um plano paralelo ao PH Figura 6.18 2) Plano de Seção Oblíquo ao Plano Horizontal (PH): no caso da figura 6.19, a seção produzida é um polígono diferente do polígono da base, conforme mostra a figura 6.20. Prisma seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.19 Prisma truncado após a seção Figura 6.20 A figura 6.21 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo ao PH em um prisma de base quadrangular. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, em vista básica. A área seccionada também aparece em vista básica nessa vista. Nas vistas superior e lateral, as áreas seccionadas estão representadas por hachuras, ambas são regiões quadrangulares com dimensões diferentes das dimensões da base e do topo. 88

CAPÍTULO 6 Seção Plana Vistas mongeanas de um prisma seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.21 3) Plano de Seção Perpendicular ao Plano Horizontal (PH): nesse exemplo, o plano setor está perpendicular ao plano do chão e está paralelo à face frontal do prisma (ver figura 6.22). Nesse caso, a seção produzida é um polígono igual à face frontal, conforme mostra a figura 6.23. Prisma seccionado por um plano perpendicular ao PH Figura 6.22 Prisma truncado após a seção Figura 6.23 A figura 6.24 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano perpendicular ao PH em um prisma de base quadrangular. Observe que plano setor α está dado na vista superior, portanto nessa vista ele aparece em vista básica. A seção também está em vista básica nessa vista mongeana. O mesmo ocorre na vista lateral, onde a seção também está em vista básica. Já na vista frontal, a área seccionada, representada por uma hachura, é um polígono igual à face frontal, uma vez que o plano está paralelo a essa face. Vistas mongeanas de um prisma seccionado por um plano perpendicular ao PH Figura 6.24 6.2.2 Seção Plana de Pirâmides Para trabalhar com a seção de pirâmides, será usada como exemplo uma pirâmide reta de base quadrangular. Serão estudadas quatro posições básicas para o plano de seção, são elas: 1) Plano Paralelo ao PH: no caso da pirâmide de base quadrangular da figura 6.25, a seção produzida é um polígono semelhante ao polígono da base, como mostra a figura 6.26. Nas pirâmides, a seção 89

CAPÍTULO 6 Seção Plana resultante de um plano setor paralelo ao chão é diferente da do prisma porque nas pirâmides as faces laterais concorrem no vértice, ou seja, as arestas laterais não são paralelas entre si, como nos prismas, e por isso, não mantêm as distâncias entre si. Pirâmide seccionada por um plano paralelo ao PH Figura 6.25 Pirâmide truncada após a seção Figura 6.26 A figura 6.27 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano paralelo ao PH em uma pirâmide de base quadrangular. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto em vista básica. A área seccionada, também está em vista básica nessa vista. O mesmo ocorre na vista lateral, onde a seção está reduzida a um segmento de reta, pois também está em vista básica. Já na vista superior, a área seccionada, representada por uma hachura, é uma região semelhante, porém menor que a da base da pirâmide. Vistas mongeanas de uma pirâmide seccionada por um plano paralelo ao PH. Figura 6.27 2) Plano de Seção Oblíquo ao PH: no caso da figura 6.28, a seção produzida é um polígono diferente do polígono da base, conforme mostra a figura 6.29. Pirâmide seccionada por um plano oblíquo Figura 6.28 Pirâmide truncada após a seção Figura 6.29 90

CAPÍTULO 6 Seção Plana Vistas mongeanas de uma pirâmide seccionada Por um plano oblíquo ao PH Figura 6.30 A figura 6.30 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo ao PH em uma pirâmide de base quadrangular. Observe que plano setor α está dado na vista frontal em vista básica, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do plano, ou seja, também está em vista básica. Nas vistas superior e lateral as áreas seccionadas estão representadas por hachuras, ambas são regiões quadrangulares de dimensões diferentes das da base, observe que a base é um quadrado e as seções das vistas superior e lateral são trapézios, isso ocorre por conta da obliquidade do plano setor α. 3) Plano de Seção Perpendicular ao PH: no caso da pirâmide, como mostra a figura 6.31, a seção produzida é um polígono diferente do polígono da face frontal, conforme mostra a figura 6.32. Pirâmide seccionada por um plano perpendicular ao PH Figura 6.31 Vistas mongeanas de pirâmide seccionada por um plano perpendicular ao PH Figura 6.33 Pirâmide truncada após a seção Figura 6.32 A figura 6.33 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano perpendicular ao PH em uma pirâmide de base quadrangular. Observe que plano setor α está dado na vista superior, portanto, nessa vista, tanto o plano de seção quanto a área seccionada aparecem em vista básica. Na vista lateral, a área seccionada também está em vista básica, portanto, reduzida a um segmento de reta. Já na vista frontal, área seccionada representada por uma hachura, é um polígono diferente do polígono da face frontal. 91

CAPÍTULO 6 Seção Plana 4) Plano de Seção Perpendicular ao PH Passando pelo Vértice: no caso da pirâmide como mostra a figura 6.34, a seção produzida é um triângulo semelhante à face frontal, conforme mostra a figura 6.35. Pirâmide seccionada por um plano perpendicular ao PH que passa pelo vértice Figura 6.34 Pirâmide truncada após a seção Figura 6.35 Vistas mongeanas de pirâmide seccionada Por um plano perpendicular ao PH que passa pelo vértice Figura 6.36 A figura 6.36 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano perpendicular ao PH, passando pelo vértice, em uma pirâmide de base quadrangular. Observe que plano setor α está dado na vista superior, portanto, nessa vista, tanto p plano de seção quanto a seção propriamente dita aparecem em vista básica. Na vista lateral a área seccionada também está reduzida a um segmento de reta, portanto em vista básica. Já na vista frontal área seccionada, representada por uma hachura, é um triângulo semelhante ao da face frontal, observe que as medidas do triângulo da seção são um pouco menores do que as medidas das arestas da face. 6.2.3 Seção Plana de Cilindros Para trabalhar com a seção de sólidos curvos, como o cone e o cilindro, é necessário utilizar os conceitos de lei de geração e de geratrizes de limite de visibilidade. Para realizar qualquer seção em um cilindro, ou um cone, serão utilizadas suas geratrizes retas e suas geratrizes curvas, conforme mostram as figuras 6.37 e 6.38. 92

CAPÍTULO 6 Seção Plana As geratrizes retas e curvas de um cilindro reto Figura 6.37 As geratrizes retas e curvas de um cone reto Figura 6.38 Para o estudo da seção plana de cilindros será utilizado como exemplo um cilindro reto. A exemplo da pirâmide, estudaremos quatro posições básicas: 1) Plano de Seção Paralelo ao PH: no caso do cilindro reto da figura 6.39, a seção produzida é uma circunferência igual à circunferência da base, como mostra a figura 6.40. Cilindro seccionado por um plano paralelo Figura 6.39 Cilindro truncado após a seção Figura 6.40 A figura 6.41 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano paralelo ao PH em um cilindro reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto em vista básica. Do mesmo modo, a área seccionada aparece reduzida a uma reta nessa vista. Na vista lateral, a área seccionada também aparece em vista básica. Na vista superior, a área seccionada, representada por uma hachura, é uma região igual a da base, ou seja, uma circunferência. Como o cilindro é um sólido redondo, para determinar os pontos da seção que cortam a face curva deve-se trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano paralelo ao PH - Figura 6.41 Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, como mostra a figura 6.41. A partir delas determinamos os pontos 1 e 2 em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face 93

CAPÍTULO 6 Seção Plana curva do cilindro. Na vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. A partir delas foram determinados os pontos 3 e 4 em todas as vistas. 2) Plano de Seção Oblíquo sem Cortar a Base: no caso da figura 6.42, o plano setor está oblíquo ao PH e corta as geratrizes retas e curvas da face curva do cilindro. A seção produzida é uma elipse, conforme mostra a figura 6.43. Cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.42 Cilindro truncado após a seção Figura 6.43 A figura 6.44 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo ao Ph em um cilindro reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto tanto o próprio plano de seção quanto a seção aparecem em vista básica. Na vista superior a área seccionada, que está hachurada, tem sua representação igual a da circunferência da base, no entanto a curva da seção é uma elipse. Isso ocorre porque quando a elipse é projetada na vista superior ela fica aparentemente com as mesmas dimensões da base. Na vista lateral a área seccionada, que está representada por hachura, corresponde a uma elipse com dimensões reduzidas no sentido do eixo menor por conta do plano setor que está oblíquo à vista lateral. Para determinar os pontos da seção que cortam o cilindro deve-se trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 1 e 2, em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face curva do cilindro. Na vista lateral os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.44 94

CAPÍTULO 6 Seção Plana 3) Plano de Seção Oblíquo ao PH Cortando uma das Superfícies Planas do Cilindro: no caso da figura 6.45, o plano setor está oblíquo cortando a face curva do cilindro, mas também corta a face plana, que tem forma de circunferência. Nesse caso, a seção produzida é um arco de elipse somado a um segmento de reta, conforme mostra a figura 6.46. Cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.45 Cilindro truncado após a seção Figura 6.46 A figura 6.47 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo ao PH, que passa por uma das suas superfícies planas, em um cilindro reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, em vista básica, portanto nessa vista a área seccionada coincide com a representação do plano. Na vista superior, a área seccionada, que está representada por hachura, é limitada por um arco de circunferência somado a um segmento de reta. O arco de circunferência corresponde ao arco de elipse projetado na vista superior, o segmento de reta corresponde à região na qual o plano setor corta a base. Na vista lateral a área seccionada, que está representada por hachura, corresponde a um arco de elipse somado a um segmento de reta. O arco de elipse apresenta um tamanho reduzido no sentido do eixo maior. Para determinar os pontos da seção que cortam o cilindro deve-se trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, porém a seção não passa pela geratriz g1. A partir de g2 determinamos o ponto 2, em todas as vistas. Tal ponto pertence tanto à seção como a face curva do cilindro. Ainda na vista frontal, determinamos os pontos 1 e 1 que estão no topo do cilindro, que é a face plana do cilindro em forma de circunferência. Na vista lateral direita, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH que passa pela superfície plana superior Figura 6.47 95

CAPÍTULO 6 Seção Plana 4) Plano de Seção Perpendicular ao PH: no caso da figura 6.48, o plano setor está perpendicular cortando as geratrizes curvas da face curva. A seção produzida é um quadrilátero (nesse caso um retângulo), sendo dois dos lados iguais às geratrizes retas e os outros dois lados secantes às circunferências da base e do topo do cilindro, conforme mostra a figura 6.49. Cilindro seccionado por um plano perpendicular ao PH Figura 6.48 Cilindro truncado após a seção Figura 6.49 A figura 6.50 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano perpendicular ao PH em um cilindro reto. Observe que plano setor α está dado na vista superior, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do plano, ou seja, também está em vista básica. Na vista frontal, a área seccionada, que está representada por hachura, corresponde a um quadrilátero, sendo os segmentos 13 e 24 iguais às geratrizes retas do cilindro. Os segmentos 12 e 34 são secantes à face plana do cilindro que tem forma de circunferência. Na vista lateral, a área seccionada, está representada por um segmento de reta, uma vez que o plano setor se encontra em vista básica. Observe que o plano setor não interceptou as geratrizes de limite de visibilidade. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH que passa pelo topo do cilindro Figura 6.50 6.2.4 Seção Plana de Cones O estudo de seções planas nos cones poderia ser um capítulo a parte. Isso porque elas geram as quatro curvas cônicas, conforme mostra a figura 6.51: circunferência (a), parábola (b), elipse (c) e hipérbole (d). Cada curva cônica possui propriedades geométricas específicas. O tipo de curva cônica depende da posição que o plano de seção toma em relação ao PH quando está cortando a superfície cônica. 96

CAPÍTULO 6 Seção Plana As quatro curvas cônicas: circunferência (a), parábola (b), elipse (c) e hipérbole (d) Figura 6.51 Conforme foi dito anteriormente, para trabalhar com a seção de sólidos redondos, como o cone e o cilindro, é necessário utilizar os conceitos de lei de geração e de geratrizes de limite de visibilidade. Para realizar qualquer seção em cones serão utilizadas suas geratrizes curvas e suas geratrizes retas, as quais são mostradas nas figuras 6.52 e 6.53. Será tomado como referência o cone esquemático da figura 6.54. As geratrizes retas do cone Figura 6.52 As geratrizes curvas do cone Figura 6.53 Vista esquemática do cone com seus elementos formadores Figura 6.54 Para o estudo da seção plana do cone será utilizado como exemplo um cilindro reto. Diferentemente dos outros sólidos estudados, estudaremos cinco posições básicas para o plano de seção, são elas: 97

CAPÍTULO 6 Seção Plana 1) Plano de Seção Paralelo ao PH - circunferência: caso do cone reto da figura 6.55, a seção produzida é uma circunferência semelhante à circunferência da base, como mostra a figura 6.56. Cone seccionado por um plano paralelo Figura 6.55 Cone truncado após a seção Figura 6.56 A figura 6.57 mostra um cone esquemático sendo cortado pelo plano setor α. Quando o plano setor está paralelo ao PH ou ainda, perpendicular ao eixo gerador e irá produzir uma seção em forma de circunferência. Importante: a circunferência é um caso particular que acontece apenas quando o plano setor está perpendicular ao eixo e. Vistas mongeanas de um cone seccionado por um plano paralelo ao PH Figura 6.58 Cone esquemático mostrando a posição do plano de seção paralelo ao PH Figura 6.57 A figura 6.58 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano paralelo ao PH em um cone reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do plano, ou seja, está em vista básica. Na vista lateral, a área seccionada está reduzida a um segmento de reta, porque também está em vista básica. Na vista superior, a área seccionada, representada por uma hachura, é uma região semelhante à da base, ou seja, uma circunferência com diâmetro menor do que a circunferência da base. Como o cone é um sólido redondo, para determinar os pontos da seção que cortam a face curva deve-se trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. 98

CAPÍTULO 6 Seção Plana Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 1 e 2 em todas as vistas, os quais pertencem tanto à seção como à face curva do cilindro. Na vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. 2) Plano de Seção Oblíquo ao PH - elipse: no caso da figura 6.59, o plano setor está oblíquo ao PH, ou seja, cortando as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é uma elipse, conforme mostra a figura 6.60. Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH. Figura 6.59 Cone truncado após a seção Figura 6.60 A figura 6.61 mostra um cone esquemático sendo cortado por um plano setor oblíquo ao PH. Quando o plano setor forma um ângulo Ɵ com o PH, irá produzir uma seção em forma de elipse. β é o ângulo que a geratriz do cone forma com o PH. Enquanto Ɵ for menor do que β teremos vários casos de elipse. Resumindo: diferentemente da seção em forma de circunferência, que é um caso particular, ou seja, o caso em que o plano setor é paralelo ao PH, com o plano setor oblíquo podemos ter vários casos de elipse, desde que Ɵ < β. Cone esquemático mostrando a posição do plano oblíquo ao PH Figura 6.61 99

CAPÍTULO 6 Seção Plana Vistas mongeanas de um cone seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.62 A figura 6.62 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo ao PH em um cilindro reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do próprio plano de seção, ou seja, também está em vista básica. Na vista superior, a área seccionada corresponde a uma elipse, que está representada por hachura. Na vista lateral, a área seccionada, também está representada por hachura, e também corresponde a uma elipse. Esta possui dimensões reduzidas no sentido do eixo menor por conta do plano setor que está oblíquo à vista lateral. Para determinar os pontos da seção que cortam o cone devese trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 1 e 2, em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face curva do cone. Na vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. 3) Plano de Seção Oblíquo ao PH e Paralelo à Geratriz do Cone - parábola: no caso da figura 6.63, o plano setor está cortando as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é uma parábola, conforme mostra a figura 6.64. Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.63 Cone truncado após a seção Figura 6.64 100

CAPÍTULO 6 Seção Plana A figura 6.65 mostra um cone esquemático sendo cortado pelo plano setor. Quando o plano setor está oblíquo ao PH e paralelo à geratriz do cone, ele forma um ângulo Ɵ com a base do cone. A seção resultante tem a forma de uma parábola. Se o plano setor é paralelo à geratriz do cone, os ângulos Ɵ e β, que é o ângulo que a geratriz do cone forma com o plano do chão, são iguais. Importante: a parábola é um caso particular que acontece apenas quando o ângulo que o plano setor forma com o chão Ɵ for igual ao ângulo que a geratriz do cone forma como chão β. Vistas mongeanas de um cone seccionado por um plano oblíquo ao PH e paralelo a uma de suas geratrizes - Figura 6.66 Cone esquemático mostrando a posição do plano paralelo à geratriz Figura 6.65 A figura 6.66 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo ao PH e paralelo à geratriz de um cone reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do plano, ou seja, está em vista básica. Na vista lateral, a área seccionada, que está hachurada, corresponde a uma parábola. Na vista superior, a área seccionada também corresponde a uma parábola. No entanto, esta possui dimensões reduzidas no sentido vertical devido ao plano setor estar oblíquo à vista lateral. Para determinar os pontos da seção que cortam o cone deve-se trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Na vista frontal é possível identificar as geratrizes são g1 e g2. A partir de g1 determinamos o vértice da parábola, o ponto 1. Ainda na mesma vista, a base do cone, está em vista básica, portanto, representada por um segmento de reta, neste determinamos os pontos 2 e 2. Deve-se determinar os pontos 1, 2 e 2 em todas as vistas. Na vista lateral os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. 4) Plano oblíquo ao PH hipérbole qualquer: quando o plano setor está oblíquo ao plano do chão. No caso da figura 6.67, o plano setor está oblíquo cortando as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é uma hipérbole qualquer, conforme mostra a figura 6.68. 101

CAPÍTULO 6 Seção Plana Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH Figura 6.67 Cone truncado após a seção Figura 6.68 A figura 6.69 mostra um cone esquemático sendo cortado por um plano de seção. Quando este plano está oblíquo ao plano horizontal, formando um ângulo Ɵ com este, o resultado é uma seção em forma de hipérbole. β é o ângulo que a geratriz do cone forma com o plano do chão. Enquanto Ɵ for maior do que β teremos vários casos de hipérbole. Resumindo: com o plano setor oblíquo ao PH podemos ter vários casos de hipérbole, desde que Ɵ > β. Cone esquemático mostrando a posição do plano oblíquo ao PH Figura 6.69 A figura 6.70 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano oblíquo em um cone reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do plano, ou seja, também está em vista básica. Na vista superior, a área seccionada corresponde a uma hipérbole, representada por hachura, com dimensões reduzidas no sentido vertical por conta do plano setor que está oblíquo à vista lateral. Na vista lateral, a área seccionada, que também está representada por hachura, corresponde a uma hipérbole. Para determinar os pontos da seção que cortam o cone devese trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2. A partir delas determinamos os pontos 2 e 3, em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face curva do cone. Na 102

CAPÍTULO 6 Seção Plana Vistas mongeanas cone seccionado por plano oblíquo Figura 6.70 vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. A partir delas foram determinados os pontos t e t, em todas as vistas. Nas bases foram determinados dois pares de pontos, que são: 1, 1 e 4, 4. 5) Plano de Seção Perpendicular ao PH hipérbole equilátera: no caso da figura 6.71, o plano setor está perpendicular ao PH, cortando as geratrizes curvas e passando pelas geratrizes retas da face curva do cone. A seção produzida é uma hipérbole equilátera, conforme mostra a figura 6.72. Uma hipérbole dessa natureza possui seus dois ramos com iguais características geométricas. Cone seccionado por um plano oblíquo Figura 6.71 Cone truncado após a seção Figura 6.72 A figura 6.73 mostra um cone esquemático sendo cortado pelo plano setor. Quando o plano setor está perpendicular ao plano horizontal, ou seja, quando ele for paralelo ao eixo e, a seção resultante tem a forma de uma hipérbole equilátera. Resumindo: a hipérbole equilátera é um caso particular que acontece apenas quando o plano setor está perpendicular ao chão, ou ainda, quando o plano setor é paralelo ao eixo e. Cone esquemático mostrando a posição do plano setor perpendicular ao PH Figura 6.73 103

CAPÍTULO 6 Seção Plana Vistas mongeanas de um cone seccionado por um plano perpendicular ao PH Figura 6.74 A figura 6.74 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano perpendicular ao PH em um cone reto. Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto a área seccionada nesta vista coincide com a representação do plano, ou seja, também está em vista básica. Na vista superior, a área seccionada também está em vista básica, correspondendo a um segmento de reta. Na vista lateral, a área seccionada, que está representada por hachura, corresponde a uma hipérbole com dimensões em verdadeira grandeza porque o plano setor está paralelo à vista lateral. Para determinar os pontos da seção que cortam o cone deve-se trabalhar com as geratrizes de limite de visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2. A partir delas determinamos os pontos 2 e 3, em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face curva do cone. Na vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. Observe que não há pontos que tangenciam essas geratrizes. Nas bases foram determinados dois pares de pontos, que são: 1, 1 e 4, 4, em todas as vistas. 104