Sudokus quase mágicos

Seminário Brasileiro de Análise - SBA Instituto de Matemática e Estatatística - US Edição N 0 68 Novembro 2008 Sudokus quase mágicos a. barone & e. oda Resumo Nesta nota provamos uma surpreendente unicidade de um certo tipo de Sudoku. Quadrados Mágicos Um quadrado mágico é cada matriz quadrada, M n n, cujas entradas sejam injetoras no conjunto V n = {, 2,..., n 2 } e arranjadas de modo que a soma das entradas das linhas, colunas e diagonais, principal e secundária, sejam iguais. Neste texto vamos nos interessar apenas pelo caso n = 3. Às linhas e colunas chamaremos de triminós e às diagonais principal e secundária chamaremos apenas de diagonais. É possível obter um novo quadrado mágico a partir de um quadrado mágico conhecido. or exemplo, se M é um quadrado mágico então a transposta de M também é um quadrado mágico. Então, é natural que procuremos o grupo das operações que levam um quadrado mágico em outro e considerar o quociente do conjunto de todos os quadrados mágicos por este grupo. Definição Dois quadrados mágicos são equivalentes se um for imagem do outro por uma composição qualquer da transposição e da permutação de triminós paralelos não adjacentes. A soma dos elementos de V 3 é 4, logo a soma dos triminós e das diagonais deve ser. Além disso, do fato da média aritimética dos elementos do conjunto V 3 ser, a entrada central, intersecção das diagonais, deve ser. Com a soma deve ser ímpar, se um triminó ou uma diagonal contiver um algarismo ímpar, os outros dois algarismos deverão ter a mesma paridade. De maneira análoga, se um dos algarismos for par, os demais não terão a mesma paridade. Suponha que uma das células dos cantos é ímpar. Então, como a célula central é, o canto oposto também deve ser ímpar. Os demais cantos deverão Mathematics Subject Classifications: A, 00A08 Key words: Sudoku, quadrado mágico, Sudoku quase mágico. IME-US, S, Brasil, barone@ime.usp.br IME-US, S, Brasil, oda@ime.usp.br

2 68 0 SBA ter a mesma paridade, mas é fácil perceber que eles não podem ser pares nem ímpares, o que nos leva a concluir que os cantos devem ser pares. Com isso já conhecemos a paridade de cada célula do quadrado mágico. Veja Figura. I I I I I I I I I I I I I I I I I I Figura : aridade das entradas do quadrado mágico odemos escolher qualquer ímpar para colocar na entrada central do triminó superior, por exemplo. Neste 2 7 6 caso, a entrada central do triminó inferior deve ser 9. Novamente 9 podemos escolher o algarismo ímpar a colocar na 4 3 8 entrada central do triminó da esquerda. Escolhendo 3 a Figura 2 entrada central do triminó da direita deve ser 7. Agora o quadrado mágico já está determinado. De fato, o triminó que contém o 3 e o triminó que contém o não podem conter o 2. ortanto o 2 deve estar na intersecção do triminó inferior com o triminó direito e as posições do 4, 6 e 8 ficam trivialmente determinadas. Veja Figura 3. Note que este é um representante da única classe de equivalência dos quadrados mágicos de ordem 3. E, considerando a ordem lexicográfica das entradas, o menor elemento desta classe é aquele da Figura 2. 2 Sudokus Um tabuleiro de Sudoku é cada matriz 9 9. Às linhas e colunas chamamos de filas horizontais e filas verticais, respectivamente. À reunião das três primeiras linhas chamamos de banda superior. À reunião das três linhas centrais chamamos de banda média. À reunião das três últimas linhas chamamos de banda inferior. À reunião das três primeiras colunas chamamos de banda

68 0 SBA Ângelo Barone Netto & Eduardo Oda 3 9 8 6 3 7 3 7 3 7 4 9 2 9 2 9 Figura 3: Encontrando um quadrado mágico esquerda. À reunião das três colunas centrais chamamos de banda central. À reunião das três últimas colunas chamamos de banda direita. Veja Figura 4. À intersecção de duas bandas chamamos de bloco. À intersecção de uma fila com um bloco chamamos de triminó. Uma solução de Sudoku é uma aplicação do tabuleiro de Sudoku em V 3, injetora, nas filas e nos blocos. Uma primeira tentativa de relacionar Sudokus com quadrados mágicos é procurar por uma solução de Sudoku cujos blocos são quadrados mágicos. esquerda central Figura 4 direita superior média inferior Mas vimos na seção anterior que todos os quadrados mágicos de ordem 3 tem o algarismo na entrada central, logo não é possível manter a injetividade nas filas. Isso nos leva à definição dos quadrados semi mágicos. 3 Quadrados semi mágicos 9 Um quadrado semi mágico é um quadrado mágico, mas cujas diagonais podem ter qualquer soma. 6 8 As operações que preservam quadrados semi mágicos são as mesmas que preservam os quadrados mágicos, com a diferença Figura que podemos permutar também triminós parelelos adjacentes. Como consequência todas as classes de equivalência contém um representante cuja primeira entrada é. E como os dois únicos

4 68 0 SBA triminós que contém o são o {,,9} e o {,6,8}, então em toda classe de equivalência o menor representante entradas como na Figura. Como 7 não pode estar no mesmo triminó que contém 8 ou 9, então necessariamente está na entrada central, e isso determina as demais entradas. Fica claro então que existe uma única classe de 9 equivalência de quadrados semi mágicos e o menor representante é o da Figura 6. É fácil ver que, dado um 6 7 2 8 3 4 algarismo, só existem dois triminós que contém este algarismo e que podem estar no quadrado semi mágico. Figura 6 Assim, a classe de equivalência tem 9.4.2 = 72 elementos, todos diferentes. 4 Sudokus quase mágicos Considere que cada entrada o tabuleiro de Sudoku é um cubo cujas faces tem todas o mesmo valor. Separando e empilhando as bandas verticais obtemos novos conjuntos de três entradas que chamaremos de pilares horizontais. Veja Figura 7. De maneira semelhante construímos os pilares verticais. Veja Figura 8. Figura 7: ilares horizontais Note que um pilar tem uma estrutura semelhante à de um triminó e por isso é natural associarmos aos pilares um objeto semelhante a um bloco que chamaremos de estrato. Na Figura 9 estão destacados dois estrados, um representado por e o outro por. Dizemos que uma solução de Sudoku é um Sudoku quase mágico quando todos os triminós e todos os pilares tiverem a mesma soma.

68 0 SBA Ângelo Barone Netto & Eduardo Oda Figura 8: ilares verticais Definição 2 Dois Sudokus quase mágicos são elementarmente equivalentes quando um se obtém do outro por:. transposição 2. permutação de duas bandas paralelas 3. permutação de duas triplas de linhas correspondentes em bandas paralelas Note que o grupo de simetria gerado por essas operações tem 288 elementos. Finalmente podemos enunciar e demonstrar o resultado principal deste trabalho. Teorema Existem 288 Sudokus quase mágicos, todos equivalentes. Figura 9: Estratos Demonstração: A estratégia da demonstração é, dado um Sudoku quase mágico, encontrar o menor representante de sua classe de equivalência. O resultado seguirá do fato de sempre obtermos o mesmo Sudoku quase mágico como o menor representante e de todos os elementos da classe de equivalência serem diferentes. Observe que dado qualquer Sudoku quase mágico 6 existe um outro, na mesma classe de equivalência, cuja 6 primeira entrada é. Como deve estar nos triminós e pilares {,,9} e {,6,8} e como a solução de Sudoku deve ser injetora nas linhas e colunas, já sabemos que o menor Figura 0

6 68 0 SBA elemento tem a forma da Figura 0. Afirmamos que neste ponto o Sudoku quase mágico já está completamente determinado. Antes de provar a afirmação, note no lugar de procurar o menor Sudoku quase mágico poderíamos ter procurado um representante que tivesse qualquer outro algarismo na primeira entrada. Todo o raciocínio seria análogo, pois, como visto na discussão sobre os quadrados semi mágicos, dado um algarismo determinamos dois triminós. odemos obter assim 9.4.2.2.2 = 288 Sudokus quase mágicos, os quais resultam dois a dois distintos. rovamos agora a afirmação. Seguindo exatamente os mesmo passos do para encontrar o menor quadrado semi mágico, completamos o primeiro bloco como na Figura (a). Usando o mesmo raciocínio mas com a restrição da injetividade das linhas e colunas, completamos um estrato como na Figura (b). 9 6 6 7 2 8 3 4 9 6 8 6 7 2 8 3 4 7 3 9 2 4 (a) (b) Figura Vejamos como fica o bloco na intersecção da banda esquerda com a banda média. O 6 só pode figurar nos 9 pilares {,6,8} e {2,6,7}, mas da injetividade das filas, 7 2 6 sabemos que na primeira coluna o pilar que contém o 6 3 4 8 é {2,6,7}. Como o 7 e o 9 não podem estar no mesmo triminó, sabemos que triminó da esquerda é {3,,7}. Veja Figura 2. 9 2 O triminó horizontal que contém o 3 deste bloco é Figura 2 {3,4,8}, pois o outro triminó que contém o 3 também contém e há injetividade no bloco. De maneira análoga, o triminó horizontal do 7 é {2,6,7}. Completando trivialmente o restante do bloco ele fica como na Figura 2. Aplicando este mesmo procedimento a cada um dos blocos, finalmente encontramos o menor Sudoku quase mágico na Figura 3. Escólio Sudokus quase mágicos são injetores nos estratos.

68 0 SBA Ângelo Barone Netto & Eduardo Oda 7 9 6 7 2 8 3 4 6 7 2 8 3 4 9 8 3 4 9 6 7 2 9 7 2 6 3 4 8 7 2 6 3 4 8 9 3 4 8 9 7 2 6 9 2 6 7 4 8 3 2 6 7 4 8 3 9 4 8 3 9 2 6 7 Figura 3: Menor Sudoku quase mágico Referências [] BAILEY, R. A.; CAMERON,. J.; CONNELLY, R. Sudoku, gerechte designs, resolutions, affine space, spreads, reguli, and Hamming codes. American Mathematical Monthly, v.(), p.383-404,2008. [2] BARONE, A. Sobre Sudoku. Seminário Brasileiro de Análise, v.67, 2008.