Módulo de Progressões Aritméticas Soma dos termos de uma PA 1 a série EM Professores Tiago Miranda e Cleber Assis
Progressões Aritméticas Soma dos termos de uma PA 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Um cometa vista a Terra a cada 76 anos Sua última passagem foi em 186 Em que ano foi sua primeira passagem na era cristã? Exercício Argumentos visuais são excelentes para despertar ideias e fórmulas interessantes em matemática, seguem dois exemplos: i) a soma dos primeiros n números ímpares pode ser ilustrada com a figura abaixo: ii) a soma dos n primeiros números naturais pode ser vista como: Exercícios de Fixação Exercício 5 Numa PA na qual a 17 e a 1 87, qual o valor da soma dos seus 1 primeiros termos? Exercício 6 Numa progressão aritmética com 1 termos, temos que a 11 4 Qual o valor de S 1? Exercício 7 Se, em uma progressão aritmética, a soma dos três primeiros termos é igual a zero, e a soma dos dez primeiros termos é igual a 70, então qual a razão dessa progressão? Exercício 8 Qual a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 1 e 100? Exercício A soma dos n primeiros termos de uma PA infinita é dada por: S n 4n 6n, para todo n Z Determine o primeiro termo e a razão dessa PA Exercício 10 Considere a sequência (a n ), n 1 definida como indicado abaixo: a 1 1 a a 4 5 6 a 4 7 8 10 a) O termo a 10 é a soma de 10 inteiros consecutivos Qual é o menor e o qual é o maior desses inteiros? b) Calcule a 10 c) Forneça uma expressão geral para o termo a n Sobre sequências com dígitos repetidos, res- Exercício 11 ponda: A partir das imagens, conclua: a) qual a fórmula da soma dos n primeiros números ímpares? b) qual a fórmula da soma dos n primeiros números naturais? Exercício Prove que: a) a 1 a n a a n 1 a a n b) a 1 a a a n (a 1 a n ) n Exercício 4 Calcule o valor das somas a seguir: a) S 5 8 11 0 b) S 10 18 570 c) S 0 1 6 1 50 a) A sequência 11, 11, 11, contém todos os números da forma 1 1 A quantidade de dígitos indica a n dígitos posição do número na sequência Por exemplo, o número 11 é o sétimo termo da sequência i) Dentre os 00 primeiros termos da sequência, quantos são divisíveis por? ii) Qual é o menor número múltiplo de 1001 da sequência? b) Considere o número X 1, 01001000100001 (O padrão se mantém, ou seja, a quantidade de zeros entre números uns consecutivos sempre aumenta exatamente uma unidade) i) Qual é a sua 5 a casa decimal após a vírgula? ii) Qual é a sua 500 a casa decimal após a vírgula? iii) O número X é racional ou irracional? http://matematicaobmeporgbr/ 1 matematica@obmeporgbr
Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 1 Qual deve ser o número mínimo de termos consecutivos que devemos somar, a partir do primeiro, da sequência ( 1, 16, 11, 11, ) para que a soma seja positiva? Exercício 1 Para cada número natural n, seja S n a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n Por exemplo, S 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Quanto é S 1 S S S 10? Exercício 14 A fórmula de Polignac enuncia que sendo n! o produto dos n primeiros inteiros positivos e p um primo, então o expoente de p na fatoração em primos de n! é n n n p p p, onde x denota o maior inteiro que é menor ou igual a x Para n inteiro positivo, o fatorial de n é n! 1 n Não existe n para o qual n! termina em 015 zeros, mas existe n para o qual n termina em 016 zeros Qual o menor valor de n para o qual isso ocorre? Exercício 15 É possível encontrar 017 números inteiros positivos distintos, cada um deles um quadrado perfeito, tal que a soma seja também um quadrado perfeito? Exercício 16 O termo Repunit (número composto apenas por algarismos iguais a 1) deriva da expressão repeated unit e fui cunhado, em 166, por Albert H Beiler no seu livro Recreations in the Theory of Numbers [Fonte: Wikipédia] a) Demonstre que para cada termo da sequência A 111 111 e B 444 444, a soma A B 1 é m m um quadrado perfeito b) Prove que 111 111 ( ) 408 014 014 c) Considere o número de 408 dígitos Calcule X X 111 111 888 888 6 01 01 http://matematicaobmeporgbr/ matematica@obmeporgbr
Respostas e Soluções 1 (Extraído da videoaula) Podemos escrever a sequência (186, 110, 184, ) na qual se tem a diferença comum d 76 Deseja-se saber qual o maior n tal que a n > 0 Temos 06 76n > 0 a n a 1 (n 1) d a n 186 (n 1) ( 76) a n 186 76n 76 a n 06 76n 76n < 06 e para n 7, chegamos a n < 7, 11578 a 7 06 76 7 10 E obtermos como resposta o ano 10 Outra forma: a Usando a divisão euclideana chegamos 186 76 176 6 10 E obtemos o ano 10 na resposta (Imagens retiradas do site Art of Problem Solving) a) Analisando a figura, concluímos que a soma dos n primeiros números ímpares é numericamente igual à quantidade de pontinhos internos (área) do quadrado reticulado resultante, ou seja, igual a n b) Podemos supor que a soma dos n primeiros números naturais é numericamente igual à metade da quantidade de pontinhos internos (área) do retângulo resultante, ou seja, igual a (n 1) n n n Comentário para professores: As soluções utilizadas para a próxima questão não obedecem o rigor matemático necessário, mas são suficientes para a compreensão do conteúdo por estudantes do ensino médio Partindo da fórmula geral temos que a) cada membro fica igual a a n a 1 (n 1)d, a 1 a n a 1 a 1 (n 1)d a 1 nd d a a n 1 a 1 d a 1 (n )d a 1 nd d a a n a 1 d a 1 (n )d a 1 nd d b) Agora, faça S a 1 a a a n e perceba que podemos escrever S a 1 a a n S a n a n 1 a 1 S a 1 a n a a n 1 a n a 1 S a 1 a n a 1 a n a 1 a n S (a 1 a n ) n S (a 1 a n ) n 4 Observe a padrão de cada sequência destacando o primeiro termo e a diferença comum (razão), assim será possível calcular o número de termo n e aplica a fórmula S n (a 1 a n ) n a) Sendo a 1 5, d e a n 0, temos 5 1 8 11 0 100 Assim, o quociente destacado disfarça uma contagem de 1 até 100, ou seja, nessa soma há 100 parcelas, n 100 Portanto, aplicando a fórmula ficaremos com (5 0) 100 S 100 S 100 07 50 1550 b) Sendo a 1, d 8 e a n 570, temos 8 0 10 8 1 18 8 570 8 71 Assim, o quociente destacado disfarça uma contagem de 0 até 71, ou seja, nessa soma há 7 parcelas, n 7 Portanto, aplicando a fórmula ficaremos com ( 570) 7 S 7 S 7 57 6 05 c) Sendo a 1 0, d 7 e a n 50, temos 0 7 6 1 7 6 1 6 7 6 0 50 7 1 7 Assim, o quociente destacado disfarça uma contagem de até 7, ou seja, nessa soma há 10 parcelas, n 10 Portanto, aplicando a fórmula ficaremos com ( 0 50) 10 S 10 S 10 0 5 150 http://matematicaobmeporgbr/ matematica@obmeporgbr
5 Podemos escrever que a 1 a 10d 87 17 10d 70 10d d 7 Sendo assim, seguimos com e Por fim, chegamos a a a 1 d 17 a 1 7 a 1 a 1 a 1 18d a 1 18 7 1 ( 1) 1 S 1 S 1 66 1 154 6 Lembrando que a 1 a 1 0d, teremos que S 1 (a 1 a 1 ) 1 S 1 (a 1 a 1 0d) 1 S 1 (a 1 0d) 1 S 1 (a 1 10d) 1 S 1 (a 11 ) 1 S 1 4 1 84 7 (Adaptado do vestibular da UEFS (BA)) Do { enunciado, temos que a 1 a a 0 Assim, podemos escrever S 10 70 e a 1 a a 0 a 1 a 1 d a 1 d 0 a 1 d 0 a 1 d 0, S 10 70 (a 1 a 10 ) 10 70 (a 1 a 1 d) 5 70 a 1 d 14 E resolvendo esse sistema chegaremos a d 8 Observe que a 1 7, d 7 e que 100 7 14 a divisão de 100 por 7 deixa resto, assim a 14 8 Fazendo agora a soma, temos S 14 (a 1 a 14 ) 14 S 14 (7 8) 7 75 Perceba que S 1 a 1 e do enunciado e S a 1 a ou ainda S 1 4 1 6 1 S 4 6 4 O que permite concluir que a 6 e d 8 10 (PROFMAT) a) O primeiro inteiro da soma que define a n é igual ao número de inteiros utilizados nos termos anteriores mais um, isto é, Primeiro 1 n 1 1 (1 n 1)(n 1) n n 1 E cada a n possui n parcelas, com diferença de uma unidade entre elas, portanto o último inteiro é esse número mais n 1, que fica igual a Último (1 n 1)(n 1) 1 n 1 n n Portanto, para n 10, o primeiro inteiro é 46 e o último é 55 b) Observe que a 10 46 47 48 55 e podemos calculá-lo como a soma de 10 termos em uma PA, ou (46 55) 10 seja, a 10 505 c) Perceba que a n é a soma de n inteiros consecutivos começando em n n e terminando em n n Substituindo na fórmula da soma da PA ficamos com S n (a 1 a n )n ( n ) n n n n (n 1)n S n n n http://matematicaobmeporgbr/ 4 matematica@obmeporgbr
11 (OBM) a) i) Um número divisível por tem a soma de seus algarismos como múltiplo de Assim, o primeiro termo múltiplo de é 11, pois 1 1 6 O próximo precisará de mais três algarismos Então, para saber quantos múltiplos de escritos dessa n forma existem até n, fazemos: 1 Sendo n 00, fica: 00 1 670 ii) Vejamos inicialmente que 1001 divide 1001 100 1001 10 1001 11 1, seis uns logo, dividirá também 111111 10 111111 11 Calculando o resto dos termos anteriores por 1001, podemos concluir que ele é o menor múltiplo procurado b) i) Basta somarmos os blocos 0 01, ficando com 4 5 6 0 casas decimais, daí teremos um bloco de seis zeros e a 5 a casa decimal é ocupado com um zero ii) Um grupo de k zeros é separado de um grupo seguinte de k 1 zeros por exatamente um número 1 Assim, contando até o dígito 1 que sucede um grupo de k zeros, temos: 1 k algarismos zeros k algarismos uns k(k ) Se k 0, já teremos 0() 45 Consequentemente a 500 a casa decimal vale zero, pois está no grupo com 1 zeros iii) O número X não é racional porque sua representação decimal não é periódica uma vez que a quantidade de algarismos zeros entre dois 1 s consecutivos sempre está aumentando 1 Temos que a 1 e d 7 Assim, S n (a 1 a n ) n S n (a 1 a 1 (n 1) d) n ( ( 1) 7n 7) n) n S n ( 5 7n) n S n > 0 7n 5n > 0 E o mínimo n para que essa inequação tenha solução com n inteiro não-negativo é n 40 1 Vamos calcular todos elementos da sequência proposta: Logo, S 1 1 10 S 1 55; 14 (Adaptado da OBM) S 4 6 0 (1 10) S 1 ; S 6 0 (1 10) S 1 S 10 10 0 0 100 10(1 10) 10S 1 S 1 S S S 10 S 1 S S 1 10S 1 (1 10)S 1 S 1 S 1 55 05 Ao escrevermos n! α 1 α 5 α, sempre teremos α 1 > α, e assim, para determinarmos a quantidade de zeros com que termina n! só precisamos calcular α Agora, perceba que para n! terminar em exatos 016 zeros, pela fórmula de Polignac, devemos ter n 5 Como x x, temos n 5 n p n 5 016 n n n p p p n p n p n p 1 1 p 016 n 5 1 e n 8064 Para n 8064, temos novamente pela fórmula de Polignac, 8064 8064 8064 8064 8064 n, e nesse caso, p 5 e p 1 5 5 5 5 4 5 5 01, 8064 Podemos parar em 5 5, pois 0, para n natural maior 5 n do que ou igual a 6 A soma aumenta uma unidade, quando n é múltiplo de 5, mas não de 5, e aumenta duas unidades quando n é múltiplo de 5, mas não de 15 e assim sucessivamente Assim, para n 8065, a soma valerá 01 Para n 8070, a soma valerá 014 Por outro lado, como 8075 é múltiplo de 5, a soma saltará de 014 para 016 Com isso, o menor valor de n para o qual n! termina em 016 zeros é 8075 http://matematicaobmeporgbr/ 5 matematica@obmeporgbr
15 (Baltic Way) Basta iniciarmos pelo Terno Pitagórico (, 4, 5) e a identidade 4 5 Agora, multipliquemos a equação toda por 5 ficando com 5 4 5 5 5, que é o mesmo que ( 4 ) 4 5 5 5 ou 4 4 5 5 5, repitamos o procedimento da multiplicação por 5 para obtermos 5 4 5 4 5 5 5 5 5 que é o mesmo ( 4 ) 4 5 4 5 5 5 5 5 ou 4 4 5 4 5 5 5 5 5, podemos reiterar esse raciocínio por outras 01 vezes ( 01 015 no total) para obtermos no membro da esquerda 017 parcelas (quadrados perfeitos), cuja soma será 5 016 ( 5 016), um quadrado perfeito 16 a) (Adaptado da Olimpíada da Rússia) Observe que 1111 10m 1, pois m Assim, temos O que gera 11 11 k 10 k 10 k 1 10 1 10 0 44 44 m 4 11 11 4 m 10k 1 ( 10 m 1 ) A B 1 (10 m 1)(10 m 1) 4 (10m 1) 10 m 1 4 10 m 4 (10 m ) 10 m ( 10 m ) c) (Adaptado do IME) X 111 111 888 888 6 01 01 1 1 10 015 10 014 8 8 8 01 014 1001 1 10 015 10 014 8 10014 1 8 10408 10 015 18 10 014 8 10 014 8 8 10408 16 10 014 64 ( 10 014 ) 8 Portanto, 10 014 8 X 10014 1 014 6 01 Como o número 10 m é múltiplo de, pois a soma dos algarismo é um múltiplo de (verifique!), a expressão é um quadrado perfeito b) Veja que ( 10014 1 18(10 014 1) 81 (10408 1) 81 ( ) 014 ) 014 ( 10014 1 10408 18 10 014 81 10408 1 ) 111 111 408 Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedescom http://matematicaobmeporgbr/ 6 matematica@obmeporgbr