Espectros atômicos e o modelo de Bohr

Capítulo 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr Em 1912, Niels Bohr (1885-1962) transferiu-se para o laboratório de Rutherford, que nessa época se encontrava em Manchester. Bohr, como veremos, procurou interpretar os resultados obtidos por Rutherford construindo um modelo para o átomo que continha as idéias de Einstein e Planck referentes à quantização. Sabendo dos argumentos que demos no capítulo anterior sobre a estabilidade do átomo, Bohr resolveu postular essa estabilidade da seguinte maneira: existem estados estacionários para os elétrons e nesses estados privilegiados não há emissão de radiação. Mas antes de formularmos o modelo de Bohr para o átomo vamos começar discutindo outros fatos experimentais que foram importantes para o coroamento desse modelo. 4.1 Fatos experimentais sobre os espectros atômicos Muitas décadas antes de Planck ter deduzido a fórmula para a radiação de corpo negro, sabia-se que os átomos possuem espectros de emissão de radiação discretos. Na realidade, a espectroscopia atômica começou com Isaac Newton (1643-1727) e seus experimentos usando luz e prismas, mas só se tornou uma ferramenta para explorar a matéria no século XIX. Em 1853, Anders J. Ångström (1814-1874) usou um tubo com descargas elétricas preenchido com vários gases para estudar o espectro de luz desses 83

84 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr gases. A luz proveniente de uma dada espécie passava através de uma fenda numa tela e depois atravessava um prisma, que separava o feixe estreito em seus constituintes de cores, as linhas espectrais. Quando um gás é excitado, ele emite radiação com comprimentos de onda específicos e o que se vê são linhas coloridas numa tela negra como mostra a Fig. 26. Este fenômeno é conhecido como o espectro de emissão. O inverso também ocorre e é chamado de espectro de absorção quando a luz atravessa um gás, os átomos absorvem em comprimentos de onda específicos. Neste caso, observamos linhas escuras num fundo luminoso. A partir do espectro solar, também foi observado que a intensidade é suprimida em alguns comprimentos de onda. Além das linhas intensas, notou-se a existência ou inexistência de outras linhas correspondendo à ausência de alguns comprimentos de onda. Em 1814, Joseph Fraunhofer (1787-1826) conseguiu identificar algumas dessas linhas escuras no espectro solar, linhas estas que são chamadas linhas de Fraunhofer, com comprimentos de onda característicos de certos átomos. Em 1861, uma descoberta importante foi feita por Robert W. Bunsen (1811-1899) e Gustav R. Kirchhoff (1824-1897) quando conseguiram observar linhas de Fraunhofer no laboratório. Kirchhoff e Bunsen demonstraram que as linhas de Fraunhofer eram causadas pela absorção de luz pelos átomos em comprimentos de onda específicos. Assim, pode-se concluir que os átomos tanto emitem quanto absorvem radiação em comprimentos de onda específicos associados com cada elemento. Dezenas de milhares de comprimentos de onda emitidos pelos átomos foram medidos e catalogados. Por exemplo, o espectro da radiação emitida pelo mercúrio 198 ( 198 Hg) está mostrado na Fig. 27. Esses comprimentos de onda são característicos do mercúrio. Note que as linhas não aparecem com a mesma intensidade. Para o mercúrio, a linha mais intensa tem comprimento de onda de λ Hg = 253, 6506 nm. Essa linha nos fornece uma impressão digital do mercúrio. Se olharmos o espectro do ferro, por exemplo, os comprimentos de onda com maior intensidade são outros, λ Fe = 253, 5607 e 253, 6792 nm, um pouco diferente do mercúrio. Esta é a técnica usada para descobrir a quantidade de uma espécie atômica em diferentes corpos.

4.1 Fatos experimentais sobre os espectros atômicos 85 fonte térmica de luz êmbolo com gás espectro contínuo PSfrag replacements espectro de absorção espectro de emissão FIGURA 26 - Diferentes espectros de uma fonte de luz térmica e de um gás aquecido. O espectro da fonte térmica é contínuo, porém quando a luz dessa fonte atravessa um gás, observam-se linhas escuras no espectro (linhas de Fraunhofer), indicando que fótons de determinados comprimentos de onda foram absorvidos pelo gás. Este mesmo gás quando aquecido emite fótons com esses mesmos comprimentos de onda, e neste caso o espectro observado é discreto.

86 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr 5000 15000 Intensidade (u.a.) 4000 3000 2000 1000 0 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 Comprimento de onda (Å) FIGURA 27 - Principais linhas do gráfico do espectro de emissão do mercúrio 198. A linha mais intensa corresponde ao comprimento de onda de 2536,506 Å. 4.2 A experiência de Franck e Hertz Em 1914, James Franck (1882-1964) e Gustav Hertz (1887-1975) fizeram uma experiência que revelou mais um aspecto importante da estrutura da matéria. O objetivo desse experimento era determinar a interação dos elétrons com átomos num gás. O aparelho utilizado está mostrado na Fig. 28. Franck e Hertz construíram um tubo a vácuo com vapor de mercúrio. A fonte de elétrons era a emissão térmica a partir de um cátodo. Os elétrons eram acelerados por uma diferença de potencial V 1 variável entre o cátodo e a grade. Se não houvesse interação entre os elétrons e o mercúrio, ao atingir a grade, a energia cinética dos elétrons corresponderia a ev 1. Chegando à grade, os elétrons passavam a ser desacelerados por uma diferença de potencial V 2, de sinal oposto a V 1, mantida constante entre a grade e o ânodo (Fig. 28). A energia cinética dos elétrons no ânodo, supondo que não tenha havido interação com os átomos de mercúrio, seria K = e(v 1 V 2 ). Se houvesse interação com os átomos de mercúrio, haveria uma perda de energia E por parte dos elétrons e sua energia no ânodo seria K = e(v 1 V 2 ) E.

4.2 A experiência de Franck e Hertz 87 cátodo grade ânodo PSfrag replacements V 1 V 2 FIGURA 28 - Tubo usado num experimento de Franck-Hertz. O experimento media a corrente no ânodo como função de V 1. O resultado dessa experiência está mostrado na Fig. 29. Como vemos na figura, quanto maior a voltagem, maior a corrente. Isso era de se esperar. No entanto, algo completamente inusitado acontece perto da voltagem 4,9 V : a corrente decresce! Isso só pode ser explicado pela interação dos elétrons com o mercúrio a uma energia correspondente a ev 1. Quando a energia volta a crescer, nota-se outra vez o mesmo fenômeno: a corrente cresce até um valor que é o dobro de ev 1, isto é, 2eV 1, e então decresce subitamente. E outra vez, em 3eV 1. É possível observar 10 picos seqüenciais com espaçamento de 4,9 V. Esses dados mostram claramente um limiar quântico: ou o elétron não perde energia, ou perde em múltiplos inteiros de 4,9 ev, ou seja, os níveis de energia do mercúrio são quantizados. O segundo (terceiro) pico corresponde à interação do elétron com 2 (3) átomos de mercúrio. Depois da interação com o elétron, o mercúrio fica num estado excitado. Volta para o seu estado fundamental emitindo um fóton com energia de 4,9 ev. O comprimento de onda associado a este fóton é λ = hc E = 1240 ev nm 4, 9 ev = 253 nm. Como já comentamos, esse é o comprimento de onda principal (o mais intenso) emitido pelo mercúrio.

88 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr 400 Corrente coletada (ma) 300 200 100 0 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 Potencial acelerador V 1 (V) FIGURA 29 - Dados obtidos num experimento típico de Franck-Hertz para o mercúrio. 4.3 A série de Balmer No final do século XIX, Ångström mediu quatro das linhas visíveis emitidas pelo hidrogênio, com uma precisão de 10 11 m. Em 1885, Johann Balmer (1825-1890) escreveu um trabalho que dava uma fórmula simples para as linhas visíveis do espectro do hidrogênio, medidas por Ångström. A fórmula de Balmer era λ = C n2 n 2 4, (4.1) onde n é um inteiro maior ou igual a 3 e C uma constante obtida a partir da inclinação do gráfico da Fig. 30. A fórmula de Balmer prevê linhas correspondentes a n = 7, 8,... cujos comprimentos de onda não estão na região do visível n = 7 está no limiar. Todas essas linhas foram descobertas posteriormente. Balmer generalizou a sua fórmula da seguinte forma λ = C m n 2 n 2 m 2, (4.2) onde m e n são dois inteiros tal que n > m e m > 0, e C m é um parâmetro que só depende de m.

4.3 A série de Balmer 89 7000 Comprimento de onda, λ (Å) 6000 5000 4000 3000 Linha prevista (n = 7) 1 1,5 2 n 2 /(n 2 4) FIGURA 30 - Dados da série de Balmer do hidrogênio obtidas com um espectrômetro de difração. A inclinação da reta é C = 3643, 6 Å, valor muito próximo ao valor teórico esperado de 3647 Å. Essa fórmula generalizada prevê que o hidrogênio emitiria um número infinito de séries de linhas, uma para cada valor de m, e cada série teria um número igualmente infinito de linhas, num padrão regular. O resultado de Balmer prevê ainda que os comprimentos de onda da luz emitida pelo átomo de hidrogênio eram inversamente proporcionais às diferenças de quadrados de números inteiros. Embora Balmer não tenha percebido a física ou a importância de seu resultado, ele representou um marco na compreensão do átomo de hidrogênio. Por outro lado, a observação de Balmer revolucionou a espectroscopia. Walter Ritz (1878-1909) e Johannes R. Rydberg (1854-1919) generalizaram a fórmula de Balmer e conseguiram prever algumas linhas presentes em todos os elementos com a expressão 1 λ = R ( 1 m 1 ). (4.3) 2 n 2 A constante R varia suavemente de elemento para elemento. A razão pela qual esta fórmula é mais geral que a de Balmer é porque R é a mesma para qualquer série de um dado elemento. Para o hidrogênio, por exemplo, temos R H = 1, 09677576 10 7 m 1.

90 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr 0 500 1000 1500 2000 λ (nm) FIGURA 31 - Linhas espectrais do hidrogênio das três primeiras séries (m = 1, 2, 3). As séries para o hidrogênio têm os nomes de seus descobridores: Lyman (m = 1), Balmer (m = 2), Paschen (m = 3), Brackett (m = 4) e Pfund (m = 5). Devemos observar que nem todas as linhas observadas eram compreendidas à luz da fórmula de Rydberg-Ritz. O importante era a regularidade dessas séries e sua dependência com os quadrados de números inteiros. 4.4 O modelo de Bohr Em 1913, conhecendo todos os resultados que acabamos de apresentar, Bohr construiu o primeiro modelo que fornecia uma explicação quantitativa para esses fenômenos. Suas três fontes de inspiração foram os trabalhos de Balmer, Planck e Rutherford. O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio supunha que o núcleo, constituído de um próton, ficava imóvel o que é justificável pela diferença de massas entre o elétron e o próton e o elétron orbitava numa trajetória clássica em torno do mesmo. A força que mantinha o elétron na órbita, e portanto responsável pela sua aceleração centrípeta, era a força coulombiana ke 2 r = m ev 2. (2 a lei de Newton) (4.4) 2 r A energia, nessa situação, é constante e dada por E = 1 2 m ev 2 ke2 r = ke2 2r, (4.5)

4.4 O modelo de Bohr 91 onde usamos a Eq. (4.4) na última passagem. O sinal negativo significa que o elétron está ligado. Para conseguir arrancá-lo da ação da força eletrostática é necessário fornecer energia até E = 0 (r ). Quando o átomo emite luz, sua energia deve diminuir, e observando a expressão acima que fornece a energia do elétron numa órbita qualquer, somos levados a concluir que uma diminuição na energia implica necessariamente numa diminuição do raio: E i f = ke2 2r i ( ke2 2r f ) = ke2 2 ( 1 r f 1 r i ). (4.6) O próximo passo é associar essa diferença de energia com o comprimento de onda (ou freqüência). Para fazer isso, Bohr usou a teoria de Einstein sobre o efeito fotoelétrico E i f = hν = hc λ. (4.7) Inserindo essa expressão em (4.6), temos 1 λ = ke2 2hc ( 1 r f 1 r i ). (4.8) Repare que essa expressão já contém uma diferença entre dois termos espectrais, como na fórmula de Balmer. De fato, se identificarmos ke 2 2hcr i (r f ) R H n 2 (m 2 ), teremos precisamente a fórmula de Balmer. A introdução de um número inteiro só poder ser feita através do raio da órbita do elétron, isto é, se fizermos a hipótese que os raios atômicos são quantizados e os elétrons só podem, então, existir nesses estados, chamados estados estacionários. Esses estados são especiais não apenas por obedecerem uma regra de quantização, mas também pelo postulado introduzido por Bohr de que nessas órbitas, os elétrons não irradiam. 4.4.1 Como justificar e obter uma expressão para r n? Aqui, o trabalho de Planck foi importante, como veremos. Uma outra constante de movimento que Bohr ainda não havia usado era o momento angular note que a constante de Planck h tem unidades de momento angular. Então, Bohr deu um passo fundamental: quantizou o momento angular das órbitas. m e vr = n h 2π, (4.9)

92 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr isto é, as órbitas permitidas para o elétron têm necessariamente momentos angulares múltiplos de h/2π. Essa expressão vai nos conduzir, como veremos, à quantização dos raios das órbitas. Isolando a velocidade na Eq. (4.9) e substituindo na Eq. (4.4), encontramos ke 2 r = m e ( ) 2 nh, (4.10) 2πm e r que fornece imediatamente, r n = a 0 n 2, a 0 = h 2 4π 2 ke 2 m e = 0, 529 Å. (4.11) A constante a 0 é conhecida como raio de Bohr e corresponde à primeira órbita acessível ao elétron estado fundamental do átomo do hidrogênio. A velocidade do elétron também fica quantizada e é dada por v n = 2πke2 nh. (4.12) Note que r n é proporcional ao quadrado de um número inteiro e que ao ser substituído na Eq. (4.8) reproduzirá exatamente a expressão obtida empiricamente ( 1 λ = ke2 1 2hca 0 m 1 ), (4.13) 2 n 2 ou em termos das energias dos níveis E n E m = hν n m = ke2 2a 0 ( 1 m 1 ). (4.14) 2 n 2 Podemos identificar diretamente do modelo uma expressão analítica para a constante de Rydberg para o átomo de hidrogênio R H = ke2 2hca 0 = 1, 09737315 10 7 m 1, que concorda bastante com o resultado experimental uma diferença de cerca de 0,05 %. A concordância melhora se levarmos em conta que o próton não está parado, e trabalharmos no centro de massa do sistema. Isto equivale a substituir a massa do elétron em todas as equações, pela massa reduzida µ = m em p m e + m p. Neste caso, a discordância é menor do que 10 5 %!

4.4 O modelo de Bohr 93 4.4.2 Observações sobre o modelo de Bohr A expressão para o raio de Bohr em termos da constante de Planck e da carga e massa do elétron foi um marco na história da Física, definindo a escala atômica de tamanho. Por que os estados com n = 2, 3,... são chamados também de estacionários, uma vez que a tendência dos mesmos é decair para o estado fundamental, com emissão de fótons cujos comprimentos de onda pertencem à série de Lyman? O período de revolução numa órbita é da ordem de grandeza do período correspondente à luz visível ( 10 14 s). Como o tempo típico de emissão de radiação é 10 8 s, o elétron descreve um número grande de revoluções antes de decair. Então, faz sentido pensar na sua órbita como sendo estacionária. Quanta energia é necessária para ionizar o átomo de hidrogênio? Escolhendo o nível zero de energia com referência, a energia correspondente ao primeiro nível no átomo de hidrogênio é E 1 = ke2 2a 0 = hcr H = 13, 6 ev. Observe que para remover o elétron de sua órbita não é necessário fornecer exatamente essa energia. O resto será transformado em energia cinética. No entanto, para promover o elétron para qualquer outra órbita ligada é necessário uma quantidade quantizada de energia. O princípio da Correspondência Observe que a constante de Planck (h) tem unidades de energia vezes tempo, ou equivalentemente, de momento angular. (energia)(tempo) = (massa)(velocidade) 2 (tempo) = (massa)(velocidade)(comprimento) = (mom. angular) A constante = h/2π corresponde à variação mínima possível do momento angular de uma partícula. Isto é difícil de perceber numa escala macroscópica, pois é muito pequeno e a variação do momento angular nos parece contínua. No átomo, no entanto, notamos que o momento angular é quantizado. Para valores grandes do número quântico n, deve-se haver concordância com os resultados clássicos. Isto é chamado o princípio da correspondência. Por exemplo, no contexto clássico, sabemos que a freqüência da radiação emitida

94 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr por uma carga acelerada é igual à sua freqüência de oscilação; não há quantização nessa emissão, e muitos experimentos comprovam esse fato. Como explicá-lo dentro do modelo de Bohr? Vamos considerar um elétron que faz uma transição entre duas órbitas vizinhas (n n 1). A diferença de energia entre essas órbitas é E = E n E n 1 = m ec 2 α 2 2n 2 + m ec 2 α 2 2(n 1) 2, onde α ke 2 / c = 1/137 é chamada constante de estrutura fina, e caracteriza processos de interação da radiação com a matéria. E = m [ ec 2 α 2 1 2 (n 1) 1 ] = m [ ] ec 2 α 2 2n 1. 2 n 2 2 n 2 (n 1) 2 Por outro lado, a freqüência emitida devida ao movimento orbital (movimento acelerado) é f orb = v n = αc 2πr n n m e c 2 α 2πn 2 c = m ec 2 α 2. hn 3 Note que as duas fórmulas coincidem se n 1. Então a Física Clássica é obtida a partir do modelo de Bohr como um limite de grandes números quânticos. Esse resultado é conhecido como o Princípio da Correspondência. Números quânticos no domínio macroscópico Vamos agora usar um modelo realmente macroscópico e calcular o número quântico correspondente a ele: a órbita da Terra em torno do Sol. Fazendo um raciocínio inteiramente análogo ao que fizemos para o elétron e o próton, mas agora usando a força gravitacional, teremos Colapso do átomo n = M T r n = n2 2 GMT 2M S rn GM S 2 10 72 Vamos calcular agora quanto tempo duraria o átomo de Rutherford, não fosse o postulado de que essas órbitas são estacionárias.

4.5 Como funciona o laser? 95 Diretamente das equações de Maxwell, sabemos que a potência irradiada por uma carga acelerada é dada por P = 2ke2 a 2 3c 3, onde a é a aceleração da partícula. Neste caso, a aceleração é centrípeta e igual a v 2 /r. Logo, temos P = 2ke2 v 4 3c 3 r 2. A potência irradiada é função do tempo porque o raio da órbita diminiu à medida que o elétron irradia. Vejamos então como a potência irradiada depende da energia do elétron. Temos que o raio da órbita é r = ke2 2E (o sinal negativo vem de que a energia é negativa por definição) e a velocidade dada por v 2 = 2E m e, de onde concluímos que P = de dt = 32E4. 3c 3 ke 2 m 2 e Vamos tomar a energia inicial como sendo aproximadamente a energia de ligação do elétron, 14,0 ev. Então, integrando a equação anterior, encontramos 14 ev 1 E de = 32 T dt = 4 3c 3 ke 2 m 2 e o 32T 3c 3 ke 2 m e, onde T é o tempo para o colapso, ou seja, ( ) [ ] c 3 ke 2 m 1, 44 ev nm (0, 51 MeV) 2 T = = 32E 3 32 3 10 8 m/s (14 ev) 3 10 11 s E=14 ev 4.5 Como funciona o laser? O funcionamento do laser está intimamente relacionado à quantização dos níveis de energia atômicos. Imagine uma situação na qual átomos, por algum

96 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr antes: depois: absorção emissão espontânea emissão estimulada FIGURA 32 - Interações do fóton com o átomo. processo, são levados a ocupar um certo estado excitado. O que acontece depois disso não é nada óbvio. Em 1917, Einstein, analisando a radiação de corpo negro, concluiu que um átomo pode relaxar para o estado de menor energia por dois processos: a) o átomo emite um fóton espontaneamente; b) o átomo é estimulado a emitir devido a presença de um fóton com o comprimento de onda daquela transição. O primeiro processo se chama emissão espontânea e o outro, emissão estimulada. Suponhamos agora que a diferença de energia entre os dois níveis seja E mn = E m E n, tal que se a transição m n ocorrer, ela será acompanhada da emissão de um fóton com energia hν mn. Não vamos nos preocupar com os mecanismos que levaram o átomo ao estado excitado m por enquanto. O fato é que se ele estiver nesse estado excitado e nas cercanias estiver também um fóton de freqüência ν mn, esse átomo será imediatamente estimulado a emitir um fóton idêntico e voltar ao nível n. Uma característica notável do processo de emissão estimulada, fundamental para a produção do laser é que o fóton emitido estará em fase com, terá a mesma polarização de, e propagar-se-á na mesma direção da radiação que estimulou o processo. Esse fato é uma manifestação do caráter bosônico dos fótons os bósons tendem a acumular-se num mesmo estado. Por isso, a radiância da luz emitida vai aumentar. Numa situação comum, com a maior parte dos átomos nos seus estados fundamentais, é mais provável, se eles forem expostos à luz, que absorvam do que emitam radiação. A técnica para produzir luz monocromática altamente coerente é a seguinte: algum mecanismo (químico, óptico etc) produz o que

4.5 Como funciona o laser? 97 átomo de hélio colisão átomo de neônio estado metaestável transição laser (λ = 632, 8 nm) emissão espontânea colisão com elétron transição sem radiação estado fundamental FIGURA 33 - Processo de produção do laser de He-Ne se chama inversão de população, isto é, produz uma amostra com átomos ocupando o mesmo estado excitado; nessa condição, se enviarmos um fóton compatível com a transição desejada, vamos dar início a uma reação em cadeia; se a inversão de população puder ser mantida, teremos o LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). O laser de He-Ne (hélio-neônio) é um dos mais populares. Ele produz um feixe contínuo de alguns mw de luz vermelha com λ = 632, 8 nm. O meio ativo é uma mistura de neônio e hélio na proporção 1/10, colocada num tubo de descarga. A produção de átomos excitados é conseguida através de uma descarga elétrica produzida por uma voltagem alta. O que acontece com os gases pode ser compreendido usando o diagrama de energia da Fig. 33. Vários átomos de hélio começam a ocupar níveis de energia excitados devido à corrente. Após a descarga, a maioria deles se acumula num estado com meia vida longa, 20,61 ev acima do estado fundamental. Os átomos de hélio excitados colidem inelasticamente com átomos de neônio, transferem energia a eles, os quais também vão para um estado excitado com uma meia vida longa. Esse nível está 20,66 ev acima do fundamental. A diferença de energia de 0,05 ev é suprida pela energia cinética dos átomos. Então existe uma inversão de população nos átomos de neônio com relação ao estado fundamental. A radiação espontânea de um fóton inicia o processo de emissão estimulada. O resultado é a emissão de luz vermelha intensa.

98 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr Tipo Substâncias λ (nm) Excimer Fluoreto de criptônio (KrF) 249 Cloreto de xenônio (XeF) 308 Nitrogênio (N 2 ) 337 Argônio (íon) 450 530 gás Hélio-Neônio 543; 632,8 ; 1150 Criptônio (íon) 335 800 Dióxido de carbono (CO 2 ) 9000 1100 líquido Corante orgânico (em solução) 300 1000 Família GaInP 670 680 semicondutor Família GaAlAs 750 900 Família InGaAsP 1300 1600 cristal Rubi 694 YAG Neodímio 1064 químico Fluoreto de hidrogênio (HF) 2600 3000 TABELA 4 - Diferentes tipos de lasers. Questões 4.1 Qual é o comprimento de onda do fóton menos energético no espectro de Balmer? Qual é o comprimento de onda do limite dessa série? 4.2 Quanta energia é necessária para ionizar o átomo de hidrogênio quando este está no estado n = 4? 4.3 Um átomo emite um fóton quando um dos seus elétrons (a) colide com outro de seus elétrons. (b) é removido do átomo. (c) faz uma transição para um estado de menor energia. (d) faz uma transição para um estado de maior energia. 4.4 Qual das seguintes transições num átomo de hidrogênio emite um fóton com maior freqüência? (a) n = 1 n = 2. (b) n = 2 n = 1.

Exercícios 99 (c) n = 2 n = 6. (d) n = 6 n = 2. 4.5 O tempo de vida de um elétron no estado n = 2 do hidrogênio é cerca de 10 ns. Qual a incerteza da energia neste estado? Compare com a energia deste estado. 4.6 Um nêutron com energia cinética de 6,0 ev colide com um átomo de hidrogênio em repouso no estado fundamental. Mostre que esta colisão deve ser elástica. O que poderia acontecer se a energia cinética do nêutron fosse maior? 4.7 O acelerador de elétrons de 32-GeV em Stanford, gera um feixe de elétrons de comprimento de onda pequeno, próprio para estudar os detalhes da estrutura nuclear em experimentos de espalhamento. Qual é este comprimento de onda e como ele se compara com o tamanho médio de um núcleo? 4.8 Considere um balão preenchido com gás hélio (monoatômico) a 18 C e pressão de 1,0 atm. Calcule (a) o comprimento de onda de de Broglie médio dos átomos de hélio e (b) a distância média entre os átomos. Podem os átomos serem tratados com partículas sob estas condições? Exercícios 4.1 No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron está em constante movimento. Como pode tal elétron ter uma quantidade de energia negativa? 4.2 Explique porque o espectro do hidrogênio tem tantas linhas, embora o átomo de hidrogênio possua apenas um elétron. 4.3 Relacione as diferentes séries do espectro do hidrogênio com as possíveis transições do elétron dentro do átomo (faça um desenho esquematizando estas transições). Explique então porque devemos ter a condição n > m na equação de Balmer-Rydberg-Ritz. 4.4 Um próton e um elétron, ambos inicialmente em repouso, se combinam para formar um átomo de hidrogênio no estado fundamental. Um único fóton é emitido neste processo. Qual é o seu comprimento de onda?

100 4 Espectros atômicos e o modelo de Bohr 4.5 Encontre o comprimento de onda da linha espectral que corresponde a uma transição no hidrogênio do estado n = 6 para n = 3. Em que parte do espectro se encontra esta linha? 4.6 Quanta energia é necessária para ionizar um átomo de hidrogênio quando ele está no estado n = 4? 4.7 No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, qual é a maior velocidade que um elétron pode ter? E qual a menor velocidade? 4.8 Compare a freqüência orbital de um elétron no estado n = 3 com as freqüências possíveis para ele irradiar. 4.9 Use o modelo de Bohr para calcular o tamanho do átomo se a força gravitacional fosse responsável por manter o elétron em órbita em torno do próton. Determine também a energia do estado fundamental e a velocidade do elétron neste estado. 4.10 Considere o modelo de Bohr aplicado ao dêuteron, um estado ligado de um próton e um nêutron. Estime a intensidade da força em cerca de 10 vezes a força eletromagnética, isto é, α s 0, 1 comparada com α = 1/137. (a) Estime a velocidade do próton e do nêutron. (b) Qual é o raio de Bohr nuclear? (c) Estime a energia de ligação do dêuteron.