FUNÇÃO EXPONENCIAL E AS PRAXEOLOGIAS MATEMATICAS NO ENSINO MEDIO Luis Eduardo Reyes Perez 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio Resumo Este trabalho é o resultado da pesquisa sobre as praxeologias matemáticas realizadas por alunos do Ensino Médio, sobre o conceito matemático de função exponencial, na Institucion Educativa Tecnico de Tunia, no estado de Cauca, Colômbia. Neste trabalho, as reflexões foram direcionadas para adolescentes colombianos do ensino médio e a proposta foi de pesquisar que tipos de praxeologias pontuais surgem quando lhes foram solicitados a realizar atividades relacionadas à função exponencial. Buscando desenvolver esta pesquisa, recorreuse à metodologia da Engenharia Didática de Michele Artigue, com o intuito de direcionar o trabalho do pesquisador. Nesse sentido, contou também com os procedimentos metodológicos, os quais permitiram avaliar se, a partir da intenção de conhecer e identificar as potencialidades das praxeologias pontuais de modo a transformá-las em praxeologias contextualizadas, em uma instituição de ensino I, desenvolvida pelo professor titular e que, consequentemente, esteja apropriada e aprofundada, tornando-se uma ferramenta potencialmente válida para o professor. Portanto, surgem perguntas no contexto educativo, sobre a maneira e construção do que se ensina, em particular, o conceito de função exponencial. A construção dessas praxeologias pontuais, assim como a sua formulação, será norteada pela Teoria Antropológica do Didático (TAD) que, além de identificar, ajudará a orientar a construção de sequências didáticas, por parte do professor. Palavras-chave: Educação Matemática; praxeologías matemáticas; teoría antropológica do didático; Função exponencial; engenharía didática. Introdução A prática pedagógica e o saber pedagógico são de suma importância para o desenvolvimento de uma comunidade pensante, reflexiva e crítica da sociedade, pelo que nós devemos como mestres da disciplina de matemáticas, forjar uma boa formação docente, permitindo o desenvolvimento de um pensamento re-contextualizado, ou seja, descrever um determinado processo mental matemático particular em que as pessoas reorientar a sua 1 Universidade Federal de Juiz de Fora, e-mail: luchoedo1@gmail.com, orientadora: Dra. Chang Kuo Rodrigues
concentração de um canal de informação para outro o mais rápido possível, ou alterar o curso de ação, mantendo um desempenho preciso. A prática deve ser autodescoberta pessoal, o tomar consciência por si mesmo, ou seja, trata-se do desenvolvimento da personalidade mediada por um contexto. Por isso, o conceito matemático de função exponencial permite, entre outras coisas, organizar informação que obtemos através de dados numéricos tomados de algum fenómeno e estudar a maneira que esses relacionam-se entre sim. Valorizando a aprendizagem eficaz no estudante, o objetivo principal desta investigação é achar que tipos de praxeologias pontuais surgem quando lhes foram solicitados a realizar atividades relacionadas à função exponencial. A noção principal do referente teórico é a praxeología, noção que faz parte da Teoria Antropológica do Didático (TAD), baseada em sua construção conceptual na ação humana do sujeito, nela reconhece de fato que toda atividade humana regularmente realizada pode se descrever com um modelo único que é chamada praxeología. Desta forma, o trabalho estabelecerá esta composição praxeológica, que identificará os blocos da praxeología tanto o saber-fazer como o saber sábio que permitirá ter uma relevância no trabalho e práxis do professor, assim como o estudante e no seu pensamento. Portanto, a partir da intenção de conhecer e identificar as praxeologías e através da metodologia de engenheira didática é conveniente potencializá-las e transformá-las em praxeologías contextualizadas para uma instituição de ensino I desenvolvida pelo professor titular e em consequência esta praxeología seja apropriada e interiorizada ademais de se converter em uma ferramenta cotidiana para o professor, alcançando assim uma melhora da educação matemática. Convém sublinhar que essa investigação de campo foi realizada na Instituição Educativa Técnica de Tunía, cidade de Piendamó que encontra-se localizado no Estado de Cauca, Colômbia. A Engenharia Didática A noção de Engenharia Didática foi introduzida na didática da matemática francesa no início da década dos 80 para descrever una maneira de abordar o trabalho didático comparável o trabalho do engenheiro.
A Engenharia Didática aborda estudos de casos distinguindo-se as seguintes fases (ARTIGUE, Bogotá, 1995): Análises preliminares Concepção e análises a priori de situações didáticas Experimentação Análises a posteriori e avaliação Para trabalhar em uma engenharia Didática são necessários Análises Preliminares respeito o quadro teórico didático geral e sobre os conhecimentos didáticos adquiridos e relacionados com o tema. Os Análises Preliminares segundo Artigue (1995) mais frequentes são: As análises epistemológico dos conteúdos contemplados no ensino, as análises do ensino tradicional e seus efeitos, as análises das concepções dos estudantes, das dificuldades e obstáculos que determinam sua evolução, as análises do campo de restrições onde vamos colocar a realização da Engenheira Didática. Todo isso é feito tendo em conta os objetivos específicos da pesquisa. Tradicionalmente, esta análise a priori compreende uma parte descritiva e uma preditiva; incide sobre as características de uma situação a-didática que foi concebida e será proposto para os alunos: Ademais nesta fase deve-se levar em consideração as variáveis micro didáticas e macro didáticas envolvidos na pesquisa. Ambas variáveis podem ser gerais ou dependente do conteúdo didático no que se concentra o ensino. É importante ressaltar que as eleições globais, embora são apresentadas separadamente das seleções locais não são independentes dela. A experimentação é a fase de realização da engenharia com alguma população de estudantes. Esta fase começa no momento que se faz o contato pesquisador/ professor/ observador junto com a população estudantil objeto da pesquisa. À fase de experimentação segue a de análises a posteriori baseada no conjunto de dados coletados durante a experimentação, incluindo observações das sequências de ensino e produções dos alunos em sala de aula ou fora dela.
A Teoria Antropológica do Didático A noção de praxeología, resulta da junção dos dois términos praxis e logos. Tipos de tarefas, técnicas, tecnologia e teoria, são, pois, as quatro categorias de elementos que compõem uma organização ou praxeología matemática. Cerca de um tipo de tarefas, T, encontra-se, em princípio, uma tripla formada por uma técnica (ao menos), τ, por uma tecnologia de τ, θ, e por uma teoría de θ, Θ. 0 total, indicado por [T/τ/θ/Θ], constitui uma praxeología pontual, donde este último qualificativo significa que trata-se de una praxeología relativa a um único tipo de tarefas, T. Uma tal praxeología ou organização praxeológica está constituída por um bloco prático-técnico, [T/ τ], e por um bloco tecnológico-teórico, [θ / Θ]. O bloco [θ / Θ]. Identifica-se habitualmente como um saber, entanto que o bloco [T/ τ], constitui um saber-fazer. Designamos corrientemente como saber a praxeología [T/τ/θ/Θ], completa, mesmo qualquer parte dela. Mas esta maneira de falar estimula uma diminução do saber-fazer, sobre tudo na produção e difussão das praxeologías: Tipos de Tarefa Tendo em conta as noções principais da praxeología, começaremos por um capítulo muito importante que envolve a noção principal desta. Encontram-se as noções solidarias de tarefa t, e de tipo de tarefas, T. Quando uma tarefa t forma parte de um tipo de tarefas T, deve ser escrito t T. Na maioria de casos, uma tarefa (e o tipo de tarefas associado) expressa-se por um verbo: limpar o quarto, desenvolver a expressão literal dada, dividir um inteiro entre outro, saudar a um vizinho, ler um manual de emprego, subir uma escada, integrar a função, etc (CHEVALLARD, 1999, p 223) Trata-se de uma posta em prática particularmente simples do princípio antropológico evocado anteriormente. A seguir, a noção de tarefa ou, melhor, de tipo de tarefas, supõe um objeto relativamente preciso. Subir uma escada é um tipo de tarefa, mas subir, simplesmente, não é. Dela mesma maneira, calcular o valor de uma função em um ponto é um tipo de tarefas, mas calcular, simplesmente, é o que se chamará um gênero de tarefas, que pede um determinativo.
Técnicas Apesar do indicado previamente, não consideramos em primeiro lugar, nesta primeira parte, mais que a estática das praxeologías, ignorando, pois, provisoriamente, a questão da sua dinâmica, e em particular do seu gênesis. Seja pois, T um tipo de tarefas determinado. Uma praxeología relativa a T requer (em princípio) uma maneira de realizar as tarefas: a uma determinada maneira de fazer, é dada aqui o nome de técnica τ(do grego tekhnê, saber fazer). Uma praxeología relativa ao tipo de tarefas contém, pois, em princípio, uma técnica relativa a T. Contém assim um bloco designado por [T τ], que é chamada bloco prático-técnico e que será identificado genericamente com o que comumente se denomina um saber-fazer Tecnologias Compreende-se por tecnologia θ, e se indica geralmente por, um discurso racional -o logos- sobre a técnica -a tekhnê-, discurso cujo primeiro objetivo é justificar racionalmente a técnica, para garantir que permite realizar as tarefas do tipo T, ou seja, realizar o que pretendese. O estilo de racionalidade posto em jogo varia no espaço institucional e, em uma instituição dada, ao longo da história desta instituição, de maneira que uma racionalidade institucionalmente dada poderá aparecer como pouco racional em outra instituição. Teorías Ao mesmo tempo, o discurso tecnológico contém declarações, mais ou menos explícitas, das que podem-se pedir razão, então passamos para um nível superior de justificação-explicação-produção chamada teoria, Θ, que incorpora, em termos de tecnologia, o papel que este último tem em conta a técnica. Análisis a Priori Para a análise a priori, o aluno é levado em conta em níveis de descrição e predição, enquanto que professor não intervém mas em um nível descritivo. Assim, o aluno é o ator principal do sistema e o professor está pouco envolvido na análise a priori, exceto durante as situações de devolução e institucionalização. Foram necessárias quatro sessões de aula para terminar a atividade proposto; em um princípio nos propusemos sete pontos porem devido ao tempo e ao espaço dado pela instituição, foram reduzidos a cinco pontos, que ficaram satisfatoriamente cumpridos por
todos os alunos; as sessões foram individuais que misturamos com a definição, conceito, gráfica e características da função exponencial. Na experimentação realizada em Colômbia, executamos a seguinte atividade 1) ATIVIDADE 1: A sequência de figuras (Figura 1) apresenta vários níveis na composição de um fractal. Usando uma malha quadriculada, construa a figura correspondente ao próximo nível dessa sequência. a) Escreva uma função que expressa o número de quadrinhos existentes na figura A de um nível qualquer dessa sequência. Figura 1: composição de um fractal FIGUR Para a primeira atividade esperamos que os alunos alcancem a identificar o padrão que existe na proposição deste primeiro ponto, e por meio da visualização do exercício e sua construção possam conjeturar a sequência existente, podemos pensar no caso que eles não entendem o formulação da pergunta, porque em nosso entorno educativo as perguntas ou problemas de natureza conjetural não são compreendidos pelo aluno, apresentando um problema de natureza didática. Experimentação Considerando os registros coletados nas tarefas propostas serão identificadas as diferentes técnicas respectivas e as suas diferentes tecnologias, estes visualizaram-se no diagrama a seguir. Convém sublinhar que a tarefa estarão designadas da seguinte maneira tarefa 1 ( T 1 ), assim como as técnicas, t x onde x pode ser 1. A tarefa serão organizadas da seguinte maneira: T 1 (TAREA 1): INTERPRETAR UMA SITUAÇÃO PROBLEMA A PARTIR DE UMA SEQUÊNCIA DE FIGURAS
No seguinte diagrama será classificadas as diferentes tarefas e as respectivas técnicas de cada estudante. Nos tomaremos a seguinte convenção para designar estes diagramas [Tx: Tarefa x / ty : técnicas / Ez : Estudante z] onde é x = 1; y = 1; z = 1. No diagrama 1, podemos ver as diferentes técnicas utilizadas pelo estudante 1 na realização da tarefa 1, em que a característica principal desta tarefa é interpretar uma situação dado um contexto. Diagrama 1: [T 1 / t y / E 1] Estudiante 1 Tarea 1: interpretar una situación problema a partir de una secuencia de figuras Técnica 1: A partir de la identificación del contexto del problema el estudiante conjetura que en el tercer nivel la figura debe tener y = 5 3 cuadritos y por lo tanto este plantea la ecuación general y = 5 x Técnica 2: El estudiante argumenta que cada vez que aumenta su nivel, aumenta su exponente Fuente: datos de pesquisa Diagrama 1 indica que o estudante 1, a partir da tarefa 1, cuja ação é interpretar uma situação problema a partir de uma sequência de figuras obtém duas técnicas que identificam o caráter conjectural além de obter uma equação canônica geral, assim como o aspecto proporcional exponencial da variável independente em relação à variável dependente. Tecnologias: Fazendo um uso das técnicas e tarefas correspondentes consideradas anteriormente, em seguida vamos mostrar neste trabalho as tecnologias correspondentes que têm um caráter justificativo das técnicas coletadas na instituição educativa. El Diagrama 2 mostra as tecnologias obtidas a partir da técnica estabelecida no desenvolvimento do tipo de tarefa 1 no Estudante 1. TAREFA 1: interpretar uma situação problema a partir de uma figura correspondente ESTUDANTE 1 Diagrama 2: Tecnologías de tarefa 1 no Estudante 1 TÉCNICA TECNOLOGÍA Técnica 1: A partir da identificação do contexto do problema o estudante conjetura θ 1 : Potências com exponente zero 5 0 = 1 θ 2 : Potências com exponente 1
ESTUDANTE 1 que no terceiro nível a figura 5 1 = 5 deve ter y = 5 3 quadrinhos e θ 3 :Proprorcionalidade exponencial portanto ele estabelece a equação geral y = 5 x direita estabelece uma relação entre duas quantidades a razão de Técnica 2: O estudante y = ka x com k 0 y a 0 argumenta que cada vez que aumenta o seu nível, aumenta o θ: Propriedades de potenciação e função exponencial seu exponente Fuente: datos de pesquisa O Diagrama 2 mostra que o Estudante 1, a partir da tarefa 1 chamada interpretar uma situação problema a partir de uma sequência de figuras, obtém as tecnologias correspondentes que justificam as técnicas usadas para resolver essa atividade, que estabelecem o caráter teórico referido à potenciação e à definição formal da função exponencial, assim como a proporcionalidade direita exponencial que constrói uma relação entre duas variáveis a razão de y = kax. Teorías A teoria é chamada, tecnologia da tecnologia e segundo Chevallard (1999) a teoria é o nível superior de justificação-explicação-produção e não sempre apresenta-se em uma atividade. Considerarmos presença de teoria nos exercícios quando um sujeito é capaz de identificar e generalizar situações já vivenciadas e têm um acionar no momento de utilizar os conceitos matemáticos no seu cotidianidade. Validação e Análises a Posteriori Essa fase apoia-se sobre os dados coletados na experimentação das observações feitas durante as sessões de ensino, como das produções dos alunos em sala de aula. Partindo de nossa experimentação e em confrontação com os dados e concepções esperadas pelos estudantes, nós damos conta que existe una verdadeira brecha entre a interpretação e mecanização de conceitos algébricos, na medida em que são trabalhados. Os estudantes algoritmizan um método de resolução de um tema matemático, para além dos processos interpretativos aprofundados nesses conceitos, ou seja o estudante só pretende o como resolver este problema?; que posteriormente converteremos em um impedimento que condicionará que o estudante não aprenda ou esqueça o conceito em um
corto lapso de tempo, já que não é uma aprendizagem com sentido do análises, mas uma aprendizagem imposto por uma certa instituição que neste caso pode ser o professor. Na atividade 1 chamada interpretar uma situação problema a partir de uma sequência de figuras, evidenciamos o carácter conjetural do estudante 1 precisa realizar procedimentos matemáticos a partir de conceitos prévios que lhe permitam desenvolver e solucionar esta tarefa, tendo em conta definições de potências com exponente zero e com exponente um, ademais do uso da definição de função exponencial tomando como base um número maior que 5. O uso de representações como construir uma tabela de valores que envolvem duas variáveis permite que o estudante atinge organizar ademais de visualizar as possíveis condições e padrões do problema incluindo dois tipos de variáveis independente e dependente como o número de quadros em relação com um nível de sequência. Portanto a praxeología pontual construída, é o produto, de uma análises empírico e de um discurso crítico, designamos, desde o princípio, uma reflexão prática sobre os princípios da ação humana e de suas técnicas, mas procura, de igual maneira, os princípios gerais e a metodologia adequada para uma ação eficaz. Os resultados confirmam que a atividade teórica dominante na matemática do ensino médio, caracterizada pela ideia de que o saber matemático é um conhecimento acabado e apenas é o resultado final desta atividade provoca uma desconexão crescente entre o bloco prático-técnico e o bloco tecnológico-teórico das organizações matemáticas. A relação entre eles é assimétrica, enquanto o tecnológico-teórico dita o conteúdo do bloco prático-técnico esse tem impacto nulo sobre a formação, o desenvolvimento e a estrutura do bloco tecnológico-teórico A conexão simétrica de blocos de práticos-técnico e tecnológico-teórico permitirá uma potenciação da praxeologia, tornando-se em uma praxeologia própria do estudante praxeologia; além que a praxeologia deve considerar a sua aplicação na sociedade, já que atingira uma aprendizagem eficaz da sua atividade e mudara suas ações e suas práticas educativas no aluno. Algumas considerações De nada vale que façamos um grande esforço para que os estudantes apropriem de instrumentos de conhecimento se não nós esforçamos também pelo desenvolvimento de suas
operações intelectuais. Estamos frente a uma grande verdade, um professor que promove a inteligência deve fortalecer as operações intelectuais, ou seja, ensinar a pensar. A educação tem a missão de permitir a todos sem exceção fazer desenvolver todos os seus talentos e todas as suas capacidades de criação, o que implica que cada um possa se responsabilizar de sim mesmo e realizar o seu projeto pessoal. REFERÊNCIAS ARTIGUE, Michelle. Ingeniería didáctica en educación matemática, impreso en México. Julio de 1995. CHEVALLARD, Yves. Análisis de las prácticas docentes. Recherches en Didactique des Mathématiques. Francia, 1999a. p. 221-266.. Aspectos básicos sobre la teoría antropológica de lo didáctico. Francia. 1999b... Informe antropológico de la relación entre conocimiento y la didáctica de las matemáticas. Francia: 1999c.