. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE PRÓ-REITORIA DE ASSUNTOS ACADÊMICOS COSEAC-COORDENADORIA DE SELEÇÃO TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 007 e 1 o semestre letivo de 008 CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA e PRODUÇÃO) VOLTA REDONDA - Gabarito INSTRUÇÕES AO CANDIDATO Verifique se este caderno contém: PROVA DE REDAÇÃO enunciadas duas propostas; PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS enunciadas questões discursivas, totalizando dez pontos. Se este caderno não contiver integralmente o descrito no item anterior, notifique imediatamente ao fiscal. No espaço reservado à identificação do candidato, além de assinar, preencha o campo respectivo com seu nome. Não é permitido fazer uso de instrumentos auxiliares para o cálculo e o desenho, portar material que sirva para consulta nem equipamento destinado à comunicação. Na avaliação do desenvolvimento das questões será considerado somente o que estiver escrito a caneta, com tinta azul ou preta, nos espaços apropriados. O tempo disponível para realizar estas provas é de quatro horas. Ao terminar, entregue ao fiscal este caderno devidamente assinado. Tanto a falta de assinatura quanto a assinatura fora do local apropriado poderá invalidar sua prova. Certifique-se de ter assinado a lista de presença. Colabore com o fiscal, caso este o convide a comprovar sua identidade por impressão digital. Você deverá permanecer no local de realização das provas por, no mínimo, noventa minutos. AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVA RESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO RESERVADO AOS AVALIADORES REDAÇÃO rubrica: C. ESPECÍFICOS rubrica:
PROAC / COSEAC
Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,5 ponto) O sistema abaixo não tem solução para quais valores de a? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? x + y 3z = 4 3x y + 5z = 4x + y + (a 14)z = a + Temos a seguinte matriz ampliada: 1 3 4 3 1 5 + 4 1 ( a 14) a Aplicamos agora o Método de Eliminação de Gauss: Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos à segunda linha; multiplicamos a primeira linha por 4 e somamos à terceira linha. Obtemos, assim: 1 3 4 0 7 14 10 0 7 ( a ) a 14 Agora multiplicamos a segunda linha por 1, obtendo: 7 1 3 4 0 1 10/7 0 7 ( ) 14 a a Multiplicamos então a segunda linha por 7 e somamos à terceira linha, obtendo: 1 3 4 0 1 10/7 0 0 ( 16) 14 a a 3
Agora devemos analisar três possíveis situações na terceira linha: 1. a 16 = 0 e a 4 = 0. Se isso acontecer, o sistema linear possuirá infinitas soluções.. a 16 = 0 e a 4 0. Se isso acontecer, o sistema linear não possuirá solução. 3. a 16 0 e a 4 = 0. Se isso acontecer, o sistema linear possuirá uma única solução. Logo, temos que: a deve ser igual 4 para que tenhamos infinitas soluções; a deve ser igual a 4 para o sistema linear não possuir solução; e a deve ser diferente de ±4 para o sistema linear possuir uma única solução. 4
a QUESTÃO: (1,5 ponto) Sejam u, v e w vetores do R 3. Se v e w forem vetores perpendiculares a u, mostre que qualquer combinação linear de v e w ainda é perpendicular a u. Sejam v R 3 e w R 3 vetores perpendiculares a u R 3. Então < u,v > = 0 e < u,w > = 0. Seja p R 3 uma combinação linear de v e w dada por p = av + bw, onde a R e b R. Temos: < u,p >=< u,av + bw >=< u,av > + < u,bw >=a < u,v > + b < u,w >= a0 + b0 = 0 como queríamos demonstrar. 5
3 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F(x + y,y ), onde F(u,v) é suposta diferenciável. Expresse dy em termos de x, y e dx das derivadas parciais de f. u = x + y, v = y F(x + y,y ) x = 0. Derivando-se os dois lados desta expressão em relação a x tem-se: d F(u,v) u(x, y) + F(u,v) u(x, y) y(x) u x u y dx d d + F(u,v) v(y) y(x) 1 = 0 v dy dx d d F(u,v) x+ F(u,v) y(x) + F(u,v) y y(x) 1= 0 u u dx v dx F(u,v) x 1 dy u = dx F(u,v) + F(u,v) y u v 6
4 a QUESTÃO: (1,5 ponto) As coordenadas (x,y) do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e tendo função densidade ρ(x,y) são: 1 x = x ρ(x,y)da m D 1 y = y(x,y)da ρ m D onde a massa m é dada por: m = x ρ(x,y)da D Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,) se a função densidade é ρ(x,y) = 1 + 3x + y. 1 x+ 1 ( x+ ) m: = 1+ 3x+ y dy dx, m : = x 3x( x ) dx 0 0 + + + + 0 8 m: = 3 Centro de Massa Chamando x de xx e y de yy tem-se: 3 1 x 3 1x( x ) 3 8 0 0 8 0 8 + + xx : = x(1+ 3x + y)dy dx, xx : = + x(1+ 3x)( x + )dx, xx : = 3 3 1 x 3 1( x ) (1 3x)( x ) 11 8 0 0 8 0 3 16 + + + + yy : = y(1+ 3x + y)dy dx, yy : = + dx, yy : = Centro de Massa = 3 11, 816 7
5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Considere uma partícula de massa m cujo vetor velocidade é dado por, v(t)=(ti + 3e- tj)(m/s) onde t é o tempo. Calcule os vetores posição, r(t), e aceleração, a(t), da partícula sendo r(0)=i(m). Sabemos que a aceleração é a derivada dv a = dt portanto, = ˆ t a(t) (zi 3e j)(m / s ) ˆ o vetor posição pode ser obtido através da integral r(t) v(t) dt o que resulta em ˆ t r(t) = t i 3e ˆj + c impondo a condição inicial r(0) = ˆi obtemos c = ˆi + 3j ˆ o que resulta em ˆ t r(t) = (1+ t )i + 3(1 e )j ˆ (m) 8
6 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Uma barra uniforme de comprimento L e massa m repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito. A barra possui um pivô, de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo passando por uma das extremidades. Um projétil se deslocando com velocidade v ortogonal à barra e paralela à superfície atinge o centro da barra e permanece retida em seu interior. Sendo a massa do projétil um quarto da massa da barra, (a) calcule a velocidade angular final da barra e (b) a razão entre a energia cinética do sistema depois da colisão e a energia cinética do projétil antes da colisão. Dado: - o momento de inércia da barra é I = ml /3 Seja a origem no ponto fixo da barra Como não há... externos di δ = = 0 EAT dt Logo, O momento angular de conserva. L m mlv Li = Lf Li = rp =..v = (1) 4 8 o momento angular final é L F ml m L = Iw = + ω 3 4 () igualando (1) e ( temos 6v ω= (3) 19L b) A energia cinética no início é K 1 Enquanto que no final K KF Iω 4I ω 4I 6 = 8 = = K mv m v m 19L I i 1m = v 4 F = Iω. Usando (3) 9
Como I = ml m L +. Obtemos 3 4 4 KF 3 = K 19 I 10
7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Duas cargas puntiformes positivas iguais, +q, e duas cargas puntiformes negativas iguais, q, se encontram fixas nos vértices de um quadrado de lado a = 0 cm. As cargas de mesmo sinal se localizam em vértices opostos. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura, cuja origem está no centro do quadrado e q = 5,0µC. Dado: q +q 0 = 8,85 x 10 1 C /N. m ) Calcule: a) o potencial elétrico no ponto P; b) o vetor campo elétrico no ponto P. +q q P (X,0,0) x q +q y 10cm 10cm P (X,0,0) x 10cm 10cm +q q a) V(P)= onde r, é a distância entre P e a carga q; Como para cada carga q i a uma distância r i, existe uma carga de sinal contrário a mesma distância, o potencial será nulo. V(P) = 0 1 qi b) E = rˆ i 4πε0 ri As cargas distantes d1contribuem com campo na direção -y E 1 q +q +q q d 1 θ θ 1 11
q q 10 + = θ = 10 (x 10) E1 cos 1 4πε0d1 4πε0d1 d1 d1= 5q 1 E1 = πε 0 10 + (x + 0) As cargas distantes d contribuem com campo E na dir +y q cosθ q 10 10 + (x 10) E = = 4 d d 4 d πε0 πε0 d = 5q 1 E1 = πε 0 10 + (x + 0) E(P) = (E E )j ˆ 1 5q 1 1 E(P) = ˆ j πε 0 10 + (x + 0) 10 + (x + 0) 1
8 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Um cilindro condutor de raio a tem uma densidade superficial de carga σ. Um segundo cilindro condutor neutro, de raio r = b (b > a), é posicionado com seu eixo coincidente com o eixo do primeiro cilindro. Determine: a) o campo elétrico E na região a < r < b; b) a diferença de potencial entre as posições r = a e r = b; c) a capacitância do sistema; d) a densidade de carga nas superfícies interna e externa do segundo cilindro. a) Tomando a superfície gaussiano S G cilíndrica da a<ρb Qinα E.dA = ε 0 0 σπa πρ E = ε SG b a da q = 0 da E E p σa σa E = E = ρ ˆ ρε ρε 0 0 b) V V b = E.d b a a b σa1 σa b V V = dρ V V = n a b a a b a ε0 ρ ε0 c) Q σπah C = Q = σπah C = ε V σa nb/a C = πh ε / nb/a 0 0 13
d) Como E = 0 no interior do cilindro condutor externo, pela Lei de Gauss, para uma sup. cilíndrica com ρ no interior do cilindro externo: q E.di = 0 = ε 0 q supint + q a = 0 q supint = q a = σπah b σπah a σ supint = σ supint = σ πbh b a Como o condutor é neutro, a carga total é nula e na sup externa há uma carga a q supext = - q supint σ sup ext = +σ b ext 14
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