O uso dos softwares GeoGebra e SimCalc para o enriquecimento da Imagem de Conceito de derivada Roberto Seidi Imafuku 1 GDn 4 Educação Matemática no Ensino Superior Apresenta-se neste artigo um projeto de pesquisa de Doutorado em Educação Matemática, que tem dois objetivos principais, quais sejam, enriquecer a Imagem de Conceito de derivada e a da relação entre os gráficos de uma função de uma variável real e de sua derivada, de um grupo de estudantes do Ensino Superior. Colocam-se como questões de pesquisa: Quais ampliações e\ ou modificações, no conjunto de concepções de derivada de uma função de uma variável real, de alunos que já a estudaram, são propiciadas por uma abordagem num ambiente informatizado? Com uma abordagem em um ambiente informatizado, quais relações esses alunos conseguem estabelecer entre os gráficos de uma função de uma variável real e de sua derivada? Escolheu-se como fundamentação teórica as ideias de Tall e Vinner (1981) de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito, que nortearão a elaboração e a análise de quatro instrumentos de pesquisa: um questionário diagnóstico dos conhecimentos já existentes; dois conjuntos de atividades, um para o enriquecimento e/ou modificação da Imagem do Conceito de derivada e o outro, para o da Imagem de Conceito da relação entre os gráficos de uma função e de sua derivada, ambos desenvolvidos num ambiente informático, com os softwares GeoGebra e SimCalc; e um questionário exploratório, para avaliar se houve o enriquecimento das e/ou modificação nas respectivas Imagens de Conceito. O desenvolvimento das atividades será acompanhado por um observador neutro e serão vídeo gravadas, num ambiente informatizado. Palavras-chave: derivada; gráficos; Tecnologia da Informação e Comunicação; Imagem de Conceito. Introdução O início de nossa trajetória docente, na área de Matemática, deu-se em 1999, ano de ingresso no curso Licenciatura em Matemática da Universidade Guarulhos. Nessa mesma época, começamos a lecionar a disciplina Matemática no Ensino Fundamental da Rede Pública do Estado de São Paulo e, a partir de 2004, ao final da Especialização em Educação Matemática, passamos a atuar, também, como professor no nível superior, com aulas no Curso Licenciatura em Matemática, que é a formação inicial de professores, na mesma instituição onde cursamos a graduação. Com uma inquietação muito grande em relação a como superar as dificuldades que surgem no estudo das funções de duas variáveis, de 2006 a 2008, cursamos o Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, na PUC-SP e, sob orientação do Professor Doutor Benedito Antônio da Silva, desenvolvemos a pesquisa Sobre a passagem do estudo de função de uma variável real para o caso de duas variáveis, com o objetivo de verificar 1 Universidade Anhanguera de São Paulo, e-mail: robertoseidi@yahoo.com.br, orientadora: Dra. Vera Helena Giusti de Souza
quais as dificuldade e saberes manifestados pelos estudantes, relativos à transição do estudo das funções de uma variável para o caso de duas variáveis, no que diz respeito às variáveis e à interdependência entre elas; ao domínio e ao gráfico; à relação entre o gráfico do domínio e o gráfico da função; e também quais manifestações dessas dificuldades são reveladas no estudo das derivadas parciais de primeira ordem. Para atingir o objetivo proposto, recorremos à Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), segundo a qual só se pode acessar um objeto matemático por meio de representações semióticas desse objeto e que são necessários ao menos dois registros, feitos em sistemas de representação diferentes, para que não se confunda um objeto com suas representações. Percebemos que o uso de diversos registros de representação semiótica auxilia o estudante na aquisição dos conceitos, mas que, em alguns casos, a forma estática da representação, feita com o giz na lousa, não é suficiente para explorar algumas propriedades, tais como: de que forma os parâmetros que aparecem na forma algébrica de uma função influenciam na representação gráfica; enxergar que a derivada é a inclinação da reta tangente, devido ao movimento da reta secante; conceber a derivada como a velocidade instantânea, quando a variável independente é o tempo; apreender a ideia da soma de Riemann, quando se particiona um intervalo do domínio de uma função; entre outros. Partimos, então, em busca de um programa de Doutorado, a fim de realizar uma pesquisa em que pudéssemos utilizar a tecnologia nos processos de ensino e de aprendizagem de conceitos matemáticos e optamos pelo curso oferecido pela Universidade Anhanguera de São Paulo, no qual ingressamos no 1 o semestre de 2014 e esta proposta de pesquisa é resultado de nossa trajetória até o momento, como aluno regularmente matriculado no Doutorado. Justificativa Pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral vêm apontando, ao longo dos anos, que os índices de reprovação e desistência nessa disciplina são altos, como destacam pesquisadores como Barufi (1999), Dall'Anese (2000) e Rezende ( 2003). Barufi (1999) aponta que, ao examinar os resultados entre os anos de 1990 e 1995, os índices de aprovação em cursos oferecidos pela Universidade de São Paulo eram baixos, nas áreas de ciências exatas, ciências humanas e ciências biológicas. Para o ano de 1995, Barufi (1999) traz os índices de reprovação no Instituto de Matemática e Estatística da
Universidade de São Paulo (IMEUSP) em Cálculo para Função de uma Variável Real, que foi de 66,9% e em Cálculo Diferencial e Integral, 43,8% (BARUFI, 1999, p. 3) Rezende (2003) afirma que os índices de não aprovação encontrados na Universidade Federal Fluminense (UFF), entre os anos 1996 e 2000, foram mais catastróficos que os apresentados por Barufi na USP em 1995: (...) a variação do índice de não-aprovação se encontra na faixa de 45% a 95%, sendo que, para o curso de Matemática, este não é inferior a 65%. (REZENDE, 2003, p. 2) Dall'Anese (2000) destaca os altos índices de reprovação na disciplina Cálculo e diz que esse fato sinaliza para a existência de problemas no ensino e na aprendizagem. Com relação ao ensino, critica a abordagem do conteúdo por meio de aulas expositivas, em que o professor apresenta as definições, propriedades e exemplos e pede que os estudantes resolvam listas de exercícios, pensando com isso ter dado conta de cumprir os objetivos. Em seu boletim informativo nº 6 de 1995, a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), segundo Reis (2001, p. 20), destacava a necessidade de se aprofundar a discussão sobre o ensino de Cálculo, em busca de transformações o ensino de Cálculo realmente deve se transformar num sério objeto de investigação por parte dos pesquisadores em Educação Matemática, que terão pela frente um enorme desafio no âmbito do ensino superior. (REIS, 2001, p. 20). Ao longo de nossa carreira docente, as disciplinas que abordam o Cálculo Diferencial e Integral também nos despertaram preocupação, em relação ao ensino e à aprendizagem, pois nos deparamos com várias situações que nos deixaram angustiados e nos fizeram buscar alternativas, sugeridas nas pesquisas em Educação Matemática ou desenvolvidas por nós, com o intuito de alavancar a aprendizagem por parte dos estudantes, tais como a construção de maquetes, o uso de sequências de atividades didáticas, entre outras. No Programa de Doutorado, tivemos contato com o texto de Thurston (1994), em que o autor apresenta sete concepções de derivada: infinitesimal, simbólica, lógica, geométrica, taxa, aproximação e microscópica, o que nos deixou com uma preocupação em relação ao significado que os estudantes atribuem às derivadas, pois em nossa prática como professor de Cálculo, constatamos que grande parte deles simplesmente aplica as regras de derivação. Também nos inquietou uma discussão que tivemos sobre a relação entre o
gráfico da função e o da derivada pois, em nossa prática, não dávamos atenção a isso e utilizávamos a derivada apenas como uma ferramenta para resolver alguns problemas. Assim, partimos em busca de pesquisas que nos ajudassem a elaborar abordagens para superar as dificuldades dos estudantes, tanto no significado que atribuem à derivada, como na relação entre o gráfico da função e o de sua derivada. Deparamo-nos com muitos trabalhos que utilizaram as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) para o ensino de Matemática, como os de Ramalho (2013), Richt (2005) e Martins (2009), dentre outros, que destacam a importância da utilização de recursos didáticos que possam motivar os estudantes. Martins (2009) salienta que (...) alunos e professores procuram novos recursos e encontram na tecnologia uma ligação entre a Matemática e a vida real no mundo atual. Enquanto professores de Matemática, o nosso contributo pode passar por tentar trazer para a sala de aula elementos motivadores, capazes de quebrar monotonias há muito instaladas e de facilitar as aprendizagens (MARTINS, 2009, p.27). Em relação às disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, pensamos que a utilização do computador pode motivar e favorecer os processos de ensino e de aprendizagem e também, de acordo com Villareal (1999), o computador pode ser tanto um reorganizador quanto um suplemento nas atividades dos estudantes para aprender Matemática, dependendo da abordagem que eles desenvolvam nesse ambiente computacional. Do tipo de atividades propostas, das relações que for estabelecida com o computador, da frequência no uso e da familiaridade no uso e da familiaridade que se tenha com ele (VILLAREAL, 1999, p. 362). Nesse sentido, buscaremos a utilização das TIC tanto como um reorganizador quanto como um suplemento nas atividades, pois concordamos com Ponte (1995, p.2), quando diz que elas colocam desafios irrecusáveis à atividade educativa dada a sua possibilidade de proporcionar poder ao pensamento matemático e estender o alcance e a profundidade das aplicações desta ciência. Também nos ajudou a decidir pela utilização das TIC a constatação de Araújo (2002, p.161): a imprevisibilidade dos acontecimentos, quando se trabalha em ambientes informatizados, abre possibilidades para que investigações aconteçam. Mas a escolha da TIC que será utilizada deve ser feita com muito cuidado pois, de acordo com Escher (2011)
(...) quando nos propomos a introduzir as TIC na educação, faz-se necessário pensarmos cuidadosamente sobre a escolha da tecnologia e, consequentemente, do software a ser utilizado na sala de aula, devendo também esta escolha atender e contemplar os objetivos projetados pelo professor ao mediar o processo educativo.(escher,2011, p.30) Tendo em vista que a escolha do software a ser utilizado deve atender e possibilitar os objetivos do processo educativo, e também de nossa pesquisa, optamos pelo uso de dois deles: o GeoGebra, pois de acordo com Amorim e Souza (2012) "além de ser livre e de fácil familiarização por parte de alunos e professores, é possível realizar testes sucessivos, o que facilita o poder de investigação pelo dinamismo"; e, para a abordagem da concepção de derivada como taxa, onde a variável independente é o tempo, optamos pelo SimCalc Math Worlds, que é um software que foi desenvolvido no Centro de Pesquisa e Inovação em Educação Kaput Center da Universidade de Massauchusetts, nos Estados Unidos, com o propósito de democratizar o acesso ao trabalho matemático que lida com as variações de um objeto,no SimCalc denominado ator, em relação à variável tempo o que, acreditamos, facilitará a compreensão da derivada como velocidade instantânea. De acordo com Paranhos (2009), na aprendizagem e na resolução de problemas de Matemática é fundamental o desenho de esboços, figuras, diagramas e a construção de modelos, para que se possa entender conceitos e discutir resultados. Essa visão, com a qual concordamos, reforça nossa ideia do uso dos dois softwares, pois ambos permitem as abordagens algébrica, gráfica e numérica, além de possibilitar a relação entre elas. Nossa Revisão de Literatura está em fase inicial e será estruturada porpesquisas que abordam: o Ensino e a Aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral; as derivadas de funções de uma variável real; o uso das tecnologias de informação e comunicação no ensino e na aprendizagem das derivadas; as contribuições do software Geogebra no ensino e na aprendizagem; o uso do software SimCalc no ensino e na aprendizagem de conceitos matemáticos; apresentaremos, também, algumas pesquisas que utilizaram como aporte teórico as ideias de Tall e Vinner (1981) de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito. Com as inquietações com a construção do conceito de derivada e com a relação entre o gráfico da função e o de sua derivada, e acreditando que o uso das TIC pode auxiliar nos processos de ensino e de aprendizagem, decidimos realizar esta pesquisa, com base nas ideias de Tall e Vinner (1981) de Imagem de Conceito e Definição de Conceito, a princípio
com dois objetivos:enriquecer e/ou modificar a Imagems de Conceito de derivada; e analogamente para a da relação entre os gráficos de uma função de uma variável real e de sua derivada, de um grupo de estudantes do Ensino Superior, que já passou pelo estudo de derivada. Com esses objetivos, colocamos nossas questões de pesquisa. Quais ampliações e\ou modificações, no conjunto de concepções de derivada de uma função de uma variável real, de alunos que já a estudaram, são propiciadas por uma abordagem num ambiente informatizado? Com uma abordagem em um ambiente informatizado, quais relações esses alunos conseguem estabelecer entre os gráficos de uma função de uma variável real e de sua derivada? No que segue, colocamos algumas considerações teóricas sobre as ideias de Definição de Conceito e de Imagem de Conceito de Tall e Vinner (1981), que nortearão a elaboração dos instrumentos de pesquisa e a análise dos dados obtidoscom a aplicação desses instrumentos. Considerações Teóricas Nesta seção, apresentamos os aspectos mais relevantes da Teoria na qual nos apoiaremos para desenvolver nossa pesquisa, tanto no que diz respeito à formulação das atividades de nosso estudo, quanto na análise dos dados resultantes dessas atividades. Escolhemos enriquecer e/ou modificar a Imagem de Conceito (TALL E VINNER, 1981) de um grupo de estudantes, pois julgamos possível elaborar abordagens que possam ser utilizadas no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, para ajudar na ampliação do conjunto de concepções de estudantes acerca de derivada e da relação entre os gráficos da função e de sua derivada. Imagem de Conceito e Definição de Conceito As ideias de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito foram desenvolvidas por David Tall e Shlomo Vinner, em 1981. Segundo eles, devemos distinguir entre os conceitos matemáticos definidos formalmente e os processos cognitivos pelos quais estes são desenvolvidos (TALL; VINNER, 1981), o que significa que a abordagem de um novo conceito não deve se dar apenas por sua definição formal, mas também de forma a
possibilitar o reconhecimento desse conceito em situações reais e sua utilização em contextos apropriados. Isso requer um conjunto de ideias sobre esse novo conceito, para que se possa formar o que esses pesquisadores chamam de Imagem de Conceito, que é a estrutura cognitiva total associada a um conceito, que inclui todas as imagens mentais, propriedades e processos associados. Ela é construída ao longo dos anos por meio de experiências de todos os tipos, mudando à medida que o indivíduo encontra novos estímulos e amadurece (TALL e VINNER, 1981, p. 152, tradução nossa)2. Segundo Tall e Vinner (1981), a Imagem de Conceito não precisa ser coerente o tempo todo pois, dependendo do estímulo que é dado, um indivíduo pode ativar diferentes partes dessa Imagem, desenvolvendo-a de forma não coerente. Quando se trata de função, os alunos podem ter na Imagem de Conceito apenas aquelas que associam um número real do conjunto domínio a um número real do conjunto contra domínio; quando passam a trabalhar com as derivadas dessas funções, os estudantes, em geral, têm como concepção de derivada apenas a inclinação da reta tangente, chegando, por vezes, a conceber a derivada como a própria reta tangente; e a concepção simbólica (regras de derivação), o que, em termos das concepções de derivada, não constitui uma Imagem de Conceito suficientemente rica, o que pode dificultar a compreensão do conceito de derivada. Este é um momento em que a Imagem de conceito original precisa ser enriquecida e/ou modificada. De acordo com Tall e Vinner (1981), por esta razão, todos atributos mentais associados a um conceito, sejam eles conscientes ou inconscientes, devem ser incluídos na Imagem de Conceito (tradução nossa) 3. Ao nos depararmos com uma situação em que temos que resolver um problema que envolve um conceito matemático, precisamos ativar uma porção de nossa Imagem de Conceito associada a esse objeto matemático. A essa porção da Imagem de Conceito, Tall e Vinner (1981) chamam de Imagem de Conceito Evocada. Outro conceito importante que vamos utilizar é o de Definição de Conceito e, a respeito dela, Tall e Vinner (1981) afirmam A definição de um conceito (se houver uma) é uma questão completamente diferente. Iremos considerar a definição do conceito como um conjunto de 2 the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and processes. It is built up over the years through experiences of all kinds, changing as the individual meets new stimuli and matures. 3 For this reason all mental attributes associated with a concept, whether they be conscious or unconscious, should be included in the concept image
palavras usadas para especificar aquele conceito. Ela pode ser aprendida por um indivíduo de uma forma mecânica ou compreendida e relacionada com um maior ou menor grau com o conceito como um todo. (TALL e VINNER, 1981, p.152, tradução nossa) 4 Com base nessas considerações teóricas e a partir de nossos objetivos e nossas questões de pesquisa, estruturamos nossa intervenção e descrevemos no que segue os procedimentos metodológicos que pretendemos adotar. Procedimentos metodológicos Nossa pesquisa será desenvolvida com estudantes de um Curso Licenciatura em Matemática de uma instituição pública federal, localizada no Estado de São Paulo, e que já tenham cursado a disciplina Cálculo Diferencial e Integral, em que se aborda o estudo das derivadas. Essa escolha se deu por ser um curso de formação de professores de Matemática para a Educação Básica e o conceito de derivada ser importante pois, com ele, podemos entender melhor as ideias de função, de gráfico de função, de velocidade instantânea, de problemas de otimização, entre outros e, após o término da graduação, esse estudantes atuarão nos diversos níveis de ensino. Os procedimentos que adotaremos em nossa pesquisa serão: análises preliminares; questionário diagnóstico; análise dos protocolos obtidos na aplicação do questionário diagnóstico; concepção, elaboração, análise didática e aplicação de dois conjuntos de atividades, um para o enriquecimento da Imagem do Conceito de derivada e o outro para o enriquecimento da Imagem de Conceito da relação entre os gráficos de uma função e de sua derivada, ambos desenvolvidos num ambiente informático, com os softwares GeoGebra e SimCalc; análise dos protocolos obtidos na aplicação dos conjuntos de atividades; questionário exploratório; e análise dos protocolos obtidos na aplicação do questionário exploratório. As análises preliminares abrangem, nesta ordem: uma revisão da literatura acerca do conceito de derivada; estudo das ideias de Tall e Vinner (1981); análise das concepções de derivada dadas por Thurston (1994), sob a luz das ideias de Tall e Vinner (1981); escolha das concepções de derivada que podem enriquecer a Imagem de Conceito dos estudantes; 4 The definition of a concept (if it has one) is quite a different matter. We shall regard the concept definition to be a form of words used to specify that concept. It may be learnt by an individual in a rote fashion or more meaningfully learnt and related to a greater or lesser degree to the concept as a whole. (TALL; VINNER, 1981, p. 152.)
estudo sobre o uso das TIC, para verificar a possibilidade de elaboração de um conjunto de atividades com o uso de softwares. O questionário diagnóstico será elaborado para verificar os conhecimentos que permaneceram após o estudo das derivadas, sendo que as questões que irão compor esse instrumento de coleta de dados serão elaboradas tendo em vista as concepções de derivada apresentadas por Thurston (1994) e que podem gerar conflitos cognitivos. A análise dos protocolos será feita com base em nosso quadro teórico. Nessa fase de nossa pesquisa, pretendemos, além de verificar os erros e acertos em relação às técnicas de derivação, verificar quais das concepções de derivada de Thurston (1994) foram menos compreendidas pelos estudantes, após terem passado pela disciplina Cálculo Diferencial e Integral, para que, tendo esses resultados em mãos, possamos elaborar os conjuntos de atividades, que serão desenvolvidos em um ambiente informatizado, com o auxílio dos softwares GeoGebra e SimCalc, para que os participantes da pesquisa ampliem suas respectivas Imagens de Conceito sobre as várias concepções de derivada e, também, sobre a relação entre o gráfico da função e o gráfico da derivada. Numa última etapa, aplicaremos um questionário exploratório, a fim de verificar se, após o desenvolvimento das atividades, houve o enriquecimento e/ou modificação da Imagem de Conceito dos participantes. O desenvolvimento das atividades será acompanhado por um observador neutro e as mesmas serão vídeo gravadas, num ambiente informatizado. Referências AMORIM, F.; SOUZA, G. Experiência de atividade sobre integral utilizando o experiência de atividade sobre integral utilizando o software geogeobra. In: II Congresso Internacional de Educação Cientifica e Tecnológica,2012, Santo Ângelo-RS. Disponível em: www.santoangelo.uri.br/ciecitec/anaisciecitec/2012/resumos/rel_exp_plenaria/ple_ exp6.pdf ARAÚJO, J. Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: As Discussões dos Alunos. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, - Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 2002. CORNU, B. Limits. In: TALL, D (Ed.). Advanced Mathematical Thinking, ed. Dordrecht: Kluwer, 1991. p. 153-166. DALL ANESE, C. Conceito de derivada: uma proposta para seu ensino e aprendizagem. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2000.
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