Matemática Aplicada II Ficha prática nº1 ------------------------------------------------------------------------------- 1. Calcule a taxa de variação média da função no intervalo [2, 4]. 2. Se uma bola de bilhar cair de uma altura de 100 cm, a função posição s que dá a sua altura, em cm, em função do tempo t, em segundos, é: Calcule a velocidade média nos intervalos abaixo: a) [1,2] b) [1,1.5] c) [1,1.1] 3. A evolução da cotação das acções de uma empresa durante 12 meses é dada pela expressão onde Calcule e C em euros. e interprete o resultado no contexto apresentado. 4. A quantidade de litros N de gasolina comum vendida por um posto de gasolina a um preço de p euros por litro é dada por a) Qual o significado de? b) O valor de normalmente é maior ou menor do que zero? Justifique. 5. O António vai de férias fazendo a viagem no seu automóvel. No início da viagem, que decorreu sem paragens durante 5 horas, o António colocou o conta-quilómetros (marcador da distância percorrida) a 0. Admita que a distância percorrida, em quilómetros, t horas após a partida, é dada por
a) Quantos quilómetros percorreu até chegar ao destino? b) Calcule Interprete o valor encontrado no contexto apresentado. c) Considere a seguinte afirmação: A velocidade média nas duas últimas horas de percurso foi superior à velocidade média com que foi feito todo o percurso. chegou. Averigue se a afirmação é verdadeira, fundamentando a conclusão a que d) Calcule a taxa média de variação da função d no intervalo [1,4]. e) Calcule os seguintes limites: e No contexto apresentado, indique o significado dos resultados obtidos para os limites propostos. f) No momento em que se completaram duas horas de viagem, qual a velocidade indicada pelo velocímetro do automóvel? g) Em que instante a distância percorrida foi de 200 quilómetros? 6. Numa fábrica de produção de motores, a linha de montagem contempla a medição dos níveis de ruído quando os motores estão a funcionar. O nível de ruído é dado pelo seguinte modelo matemático: D decibéis (db) r centenas de rotações por minuto. a) Determine a variação do nível de ruído quando o motor passa de 4000 rotações por minuto para 5000 rotações por minuto. b) Qual a variação média do nível de ruído quando o funcionamento do motor passa de 5000 rotações por minuto para 7500 rotações por minuto?
c) Determine a taxa de variação do nível de ruído no instante em que o motor funciona a 4000 rotações por minuto. d) Determine a limitação que deve ser imposta ao número de rotações por minuto de modo que o nível de ruído não ultrapasse os 80 db. Dê como resposta a maior solução que seja múltiplo de 10. 7. No instante t = 0, um mergulhador pula de uma plataforma de mergulho de uma altura de 32 pés acima do nível da água. A posição do mergulhador é dada pela função: onde s é medido em pés e t é medido em segundos. a) Em que instante o mergulhador atinge a superfície da água? b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 8. O custo associado ao pedido e à produção de componentes usados no fabrico de um determinado produto é dado pela função onde C é medido em milhares de euros e x é o número de unidades do pedido, medido em centenas. Calcule a taxa de variação de C em relação a x, quando: a) b) c) O que implicam estas taxas sobre o aumento no número de unidades do pedido? 9. A ausência de atmosfera na Lua implica que um objecto em queda livre não sofrerá resistência do ar. Em 1971, o astronauta David Scott mostrou experimentalmente que, na Lua, um martelo e uma pena caem com a mesma velocidade. A função posição de ambos os objectos é dada por onde s(t) é a altura, medida em metros, e t é o tempo medido em segundos. Calcule a aceleração da gravidade lunar. 10. A velocidade de um objecto, medida em metros por segundo, é dada pela função
Calcule a velocidade e a aceleração do objecto no instante t = 3. O que se pode dizer sobre a velocidade e a aceleração do objecto quando a velocidade e a aceleração têm sinais opostos? 11. Calcule o diferencial das funções: a) b) c) d) e) f) 12. Considere a função. a) Calcule o diferencial b) Supondo que e, calcule e. 13. Considere a função e o ponto inicial. a) Determine o acréscimo correspondente ao acréscimo da variável x. b) Calcule para. c) Esboce o gráfico de e assinale no gráfico e. 14. Seja. Determine e se x varia de 2 para 2,1. 15. Seja. Determine e para e. 16. Seja. Determine quando e. Compare este valor com para e. 17. O custo total de uma viagem de 800 km de um camião, se a média é de v km/h, é dado por:
Calcule uma aproximação à variação do custo total quando a velocidade média é aumentada de 80 para 90 km/h. 18. Seja e. Estime: a) b) c) d) 19. Use diferenciais para determinar uma estimativa para o aumento do volume de um cubo de aresta igual a 10 cm, quando esta aumenta em 0,1 cm. 20. Obtenha, com o auxílio de diferenciais uma estimativa para onde. (Sugestão: Considere e ). 21. Supondo que e, estime o valor de 22. Use diferenciais para estimar onde. 23. Determine o diferencial das seguintes funções: a) b) c) d)
e) 24. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de quando varia de (-2,3) a (-2,02; 3,01). 25. Considere a função custo. a) Determine. b) Calcule uma estimativa para a variação do custo quando passa de (1,2) para (0,99; 2,02).