Rotação de Espelhos Planos Introdução Um assunto que costuma aparecer em provas, isoladamente ou como parte de um exercício envolvendo outros tópicos, é a rotação de espelhos planos. Neste artigo, exploraremos os aspectos teóricos, resolveremos um exercício do IE usando o conceito apresentado e serão deixadas algumas questões de vestibulares como trabalho do aluno. Nos espelhos planos, temos que p = p'. Só por este fato, já podemos perceber que a rotação do espelho implicará na rotação da imagem de um objeto fixo. Vejamos a seguir: A B p Espelho p E F A B Figura 2 - Formação de Imagem Observe que tanto o objeto AB como a imagem A B são horizontais. Agora, girando o espelho de um ângulo α, podemos perceber que a imagem girará de um ângulo β. Isto ocorre porque A = A' e BN = NB'. Queremos encontrar uma relação entre α e β. O A B A β N α B Espelho Figura 2 - Rotação do Espelho Para facilitar nosso trabalho, traçamos uma reta paralela ao espelho, passando por A.
r s O A B A β N α T B Espelho Figura 3 Como r e s são paralelas, podemos concluir que o ângulo α da figura é igual ao ângulo NÂ T. N Aˆ ' T Além disso, como AB é horizontal, o ângulo AÔ também vale α. AO ˆ Porém, como os segmentos A e A são iguais, podemos concluir que os triângulos OA e OA são congruentes (caso Lado-Ângulo-Lado). Logo, o ângulo A Ô é igual ao AÔ, ou seja, igual a α. ΔOA ΔOA' A' O ˆ = AOˆ Novamente, pelo fato de as retas r e s serem paralelas, podemos perceber que A Ô é igual a B Â T. Pela figura, vemos que B' Aˆ' T β = B ' Aˆ' T + NAˆ ' T + α. = A' Oˆ Provamos, então, que a imagem gira o dobro do ângulo de giro do espelho. Os giros ocorrem no mesmo sentido. Observação importante: Tudo o que foi discutido acima é válido quando o espelho gira de forma a se aproximar ou se afastar do objeto. Repare na figura 1. Imagine o espelho girando em um plano que é perpendicular ao plano da folha, passando por EF. Este giro não mudaria a posição do espelho em relação ao objeto. Logo, nada aconteceria com a imagem. Tente fazer em casa Segure um espelho plano com os braços esticados, de frente para seu rosto. Agora gire as mãos lateralmente, como se girasse o volante de um carro. Perceba que nada ocorre com sua imagem.
A partir desta conclusão, muitas questões podem ser resolvidas mais facilmente usando a rotação de espelhos planos. A seguir, vamos resolver uma questão bastante trabalhosa, que caiu no IE em 1997, utilizando a rotação do espelho. Exercício Resolvido (IE 1997_1998) Um objeto é lançado da superfície de um espelho, segundo um ângulo de com a horizontal, com velocidade inicial. Sabendo que o espelho está inclinado de, conforme a figura, determine: a) o tempo gasto para que o objeto atinja o espelho. b) As componentes vertical e horizontal, em função do tempo, do vetor velocidade da imagem do objeto lançado. Dados: aceleração da gravidade: g Solução Na letra (a), a solução não depende do assunto tratado neste estudo. Para a letra (b), vamos supor que o espelho estivesse inicialmente na horizontal. Vamos analisar como são os vetores velocidade e aceleração da imagem para o espelho horizontal. A componente horizontal da velocidade do objeto é a mesma para a imagem, uma vez que a imagem anda para a direita com a mesma velocidade que o objeto. A componente vertical da velocidade do objeto é para cima. Logo, a componente vertical da velocidade da imagem é para baixo, já que quando o objeto sobe, a imagem desce ( p = p' ). A aceleração da gravidade da imagem é para cima, pelo mesmo argumento da componente vertical da velocidade. Logo, para a imagem, os vetores são assim: IAGE
as o espelho da questão não é horizontal. Para transformarmos nosso diagrama atual no diagrama proposto pela questão, precisamos girar o espelho de com a horizontal. Porém, já vimos que o giro do espelho causa, na imagem, um giro com o dobro do ângulo. Logo, todos os vetores da imagem precisam ser girados de 60º. IAGE ANTES y x IAGE 60º 60º DEPOIS Como a aceleração é constante, temos dois ovimentos Uniformemente Variados: horizontal e vertical. V0 = 0 V0 = V0 UV Horizontal UV Vertical a = g x = g. sen60 a = g y = g.cos 60
Como V = V a. t, temos as componentes a seguir: 0 + Imagem V V vertical = g. sen60. t = V + g.cos 60. t horizontal 0 Exercícios Propostos 1. (ITA 1993) Um raio luminoso incide com um ângulo θ em relação à normal, sobre um espelho plano refletor. Se esse espelho girar de um ângulo igual a θ em torno de um eixo que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano da figura, qual o ângulo de rotação do raio refletido? (A) θ. (B) 3,5θ. (C) 2,1θ. (D) 2,0θ. (E) 4,0θ. 2. (UFRJ 2005) Um experimento muito simples pode ser realizado para ilustrar as leis da reflexão da luz. Inicialmente, um monitor posiciona uma pessoa num ponto A de um pátio, de forma que, por meio de um espelho plano vertical E, a pessoa possa ver um pequeno objeto luminoso O. Em seguida, o monitor faz um giro de 15 o, horizontalmente, no objeto, em torno do ponto de incidência P, como mostra a figura. Todos os raios luminosos considerados estão em um mesmo plano horizontal. Calcule quantos graus se deve girar o espelho, em torno do ponto P, para que o objeto possa ser novamente visualizado pela pessoa que permanece fixa no ponto A, olhando na mesma direção. 3. (ITA 2001 - Adaptada) Considere as seguintes afirmações: I. Se um espelho plano transladar de uma distância d ao longo da direção perpendicular a seu plano, a imagem de um objeto fixo transladará de 2d. II. Se um espelho plano girar de um ângulo α em torno de um eixo fixo perpendicular à direção de incidência da luz, o raio refletido girará de um ângulo 2α. III. Para que uma pessoa de altura h possa observar seu corpo inteiro em um espelho plano, a altura deste deve ser de no mínimo 2 h/3. Então, podemos dizer que (A) apenas I e II são verdadeiras. (B) apenas I e III são verdadeiras. (C) apenas II e III são verdadeiras. (D) todas são verdadeiras. (E) todas são falsas.
4. (IE 2002_2003) Um espelho plano, de superfície infinita,desloca-se na horizontal com velocidade constante v. Um objeto puntiforme se desloca na vertical também com velocidade constante v e, no instante t = 0, as posições do espelho e do objeto estão em conformidade com a figura. Considerando que no instante t ocorre o choque do objeto com o espelho, determine: a) As componentes vertical e horizontal da velocidade da imagem do objeto refletida no espelho. b) O instante α em que o objeto e o espelho se chocam. 5. (IE 2007_2008) Um radar Doppler foi projetado para detectar, simultaneamente, diversos alvos com suas correspondentes velocidades radiais de aproximação. Para isso, ele emite uma onda eletromagnética, uniformemente distribuída em todas as direções e, em seguida, capta os ecos refletidos que retornam ao radar. Num experimento, o radar é deslocado com velocidade constante v em direção a um par de espelhos, conforme ilustra a figura abaixo. Calcule os vetores de velocidade relativa (módulo e direção) de aproximação dos quatro alvos simulados que serão detectados pelo radar após as reflexões no conjunto de espelhos, esboçando para cada um dos alvos a trajetória do raio eletromagnético no processo de detecção. π π Dado: < θ <. 4 3 Sugestão SEI: Encontre as velocidades das quatro imagens formadas pela associação de espelhos. Depois, faça a velocidade relativa entre cada uma delas e o objeto.
Respostas 1. D 2. 7º30 3. A 4. a) Imagem V V horizontal vertical V = 2 V = 2 d (3 3) b) α =. v 2 5. Primeiras imagens: V rel = 2v. senθ Segundas imagens: V rel = 2v. sen2 ( 3 + 3) ( 3 1) θ