Conceito de Simetria em Livros Didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental Resumo Cláudio Roberto Cavalcanti da Fonseca 1 O propósito deste trabalho é apresentar o projeto de pesquisa de mestrado cujo tema está ligado ao conceito de simetria. A investigação deste conceito dar-se-á nos livros didáticos de matemática aprovados no Programa Nacional do Livro Didático 2010, do 1º ao 5º ano do ensino fundamental, pelo fato de o livro didático ser uma importante fonte de consulta para professores e muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos. Será considerado o conceito matemático e discussão do significado atribuído nos textos dos livros didáticos que serão investigados. O percurso metodológico utilizado está de acordo com Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornecendo subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas: preparação das informações; categorização e análise. Palavras chave: matemática, conceito, simetria, livro didático. Justificativa Este trabalho trata de alguns aspectos relativos ao conteúdo simetria nos livros didáticos de matemática. Algumas questões são abordadas, tais como: se o conceito de simetria ocupa um lugar privilegiado no conhecimento científico; se as recomendações curriculares nacionais referem-se ao conceito de simetria e de que modo; se as matrizes de avaliações institucionais, como o ENEM, o SAEB, a Prova Brasil ou o PISA, referem-se ao conceito de simetria e que papel os livros didáticos ocupam no ensino escolar atual. Na Matemática, como se sabe, é reservado um lugar de inegável importância à geometria e não se concebe um bom ensino sem que se dedique uma atenção privilegiada a esse campo do saber matemático (Carvalho & Lima, 2010). Ainda com a preocupação de contribuir para a melhoria do ensino da geometria na educação básica, por ser fundamental na construção dos saberes matemáticos. E considerando também que estamos inseridos num mundo de formas, as ideias geométricas aparecem ao nosso redor, seja na natureza, arquitetura, artes e em diversas áreas do conhecimento. A partir dessas considerações gerou-se um norte para o problema seguinte: 1 Mestrando em Educação Matemática e Tecnológica pela UFPE, Recife PE. e-mail: claudiorcf@yahoo.com.br ou claudiorcf@hotmail.com 1
Problema Como é abordado o conceito de simetria nos livros didáticos de matemática para o ensino fundamental aprovados no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano do ensino fundamental. Objetivos: Objetivo Geral Investigar, nos livros didáticos de Matemática aprovados no PNLD 2010, a abordagem do conceito de simetria. Objetivos Específicos Identificar que tipos de simetria são abordados nos livros citados. Investigar quais são e como são tratados os elementos constitutivos do conceito matemático de simetria. Investigar como se distribuem, em cada livro e ao longo das coleções, os textos que tratam do conceito de simetria. Algumas ideias sobre livros didáticos Considerando que o livro didático é uma importante fonte de consulta para muitos professores e, muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos, diversos pesquisadores, especialmente os que trabalham com instrumentos de ensino e aprendizagem, apontam várias concepções sobre esses recursos didáticos. Segundo Molina (1988, p. 17), um livro didático é uma obra escrita (ou organizada, como acontece tantas vezes), com a finalidade específica de ser utilizada numa situação didática, o que a torna, em geral, anômala em outras situações. Parece que para esse pesquisador, o livro didático é um material único e exclusivamente usado em sala de aula. Segundo Rojo (2005, p. 3), o conceito de livro didático proposto por Molina implica uma sala de aula regida basicamente pelo manual, pelo livro didático. Goldberg (1983, p. 7) considera que o livro didático tem a intenção de fazer com que o aluno aprenda, razão pela qual apresenta conteúdos selecionados, simplificados e sequenciados. Esses estudos, assim, apontam para a relevância do livro didático no ensino escolar, considerando evidentemente que a referência do Guia do Programa Nacional do Livro 2
Didático (PNLD) é de suma importância, pois atendem a uma rigorosa avaliação para sua adequação como instrumento de ensino e aprendizagem. De acordo Guia do PNLD: O livro didático é um importante material de apoio ao processo de ensino e aprendizagem, pois contribui, ao mesmo tempo, para o trabalho do professor e para o estudo do aluno. Embora a prática pedagógica do professor envolva diversas dimensões, como sua pesquisa constante para o aprimoramento de seu trabalho em sala de aula, um livro didático com textos adequados, ilustrações pertinentes e informações atualizadas auxilia no planejamento de ensino. Para que suas possibilidades sejam aproveitadas ao máximo, o livro didático deve estar adequado às necessidades da escola, do aluno e do professor. Convém acrescentar que no ensino fundamental em nosso país, em especial, a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (Brasil, 1997 e 1998), ganhou corpo a ideia de que os conceitos matemáticos são adquiridos ao longo de um extenso período de aprendizagem. Decorre dessa concepção, entre outras consequências, a de que o ensino deve adotar o que se convencionou chamar de abordagem em espiral, em que muitos tópicos matemáticos são estudados desde o início da escolaridade e retomados, nos anos seguintes, em graus crescentes de abrangência e de complexidade. Conforme os PCN os conteúdos de natureza conceitual, que envolvem a abordagem de conceitos, fatos e princípios, referem-se à construção ativa das capacidades intelectuais para operar com símbolos, signos, ideias, imagens que permitem representar a realidade. O Conceito de Simetria A simetria é um dos princípios básicos na formulação de modelos matemáticos para os fenômenos naturais, além de sua ligação com as artes. A sua ideia é uma das mais ricas na matemática e está associada às transformações geométricas, designadamente às isometrias 2, fato que justifica o seu estudo já no ensino fundamental. No ensino escolar atual o termo simetria, na maioria das vezes, é tomado como sinônimo de simetria de reflexão. Contudo, no plano há quatro tipos de transformações que preservam distâncias, isto é, há quatro tipos de isometrias: reflexão, translação, rotação e reflexão seguida de translação. Cada uma dessas isometrias gera figuras simétricas a outras figuras e também figuras simétricas a si mesmo. 2 Uma isometria entre os planos e é uma função T: que preserva distâncias. Isto significa que, para quaisquer pontos,, pondo e, tem-se (Lima, E.L., 1996, p. 13) 3
Podemos demonstrar que toda isometria é uma bijeção, cuja inversa é ainda uma isometria 3. Vejamos alguns exemplos de isometrias: Reflexão em torno de uma reta Seja uma reta no plano. A reflexão em torno da reta é a função assim definida: para todo e,, é tal que a mediatriz do segmento é a reta. ( é o pé da perpendicular baixada de sobre ) Translação Sejam e pontos distintos do plano. A translação é a função assim definida: dado, sua imagem é o quarto vértice do paralelogramo que tem e como lados. Esta definição de se aplica apenas quando, e não são colineares. Pois, caso contrário, teremos uma isometria na reta. Rotação Sejam um ponto tomado no plano e um ângulo de vértice. A rotação do ângulo em torno do ponto é a função assim definida: e, para todo em, é o ponto do plano tal que 4, e o sentido de rotação de para é o mesmo para. ( ) 3 A prova encontra-se em Lima, E.L., 1996, p. 15. 4 Distância euclidiana. 4
Reflexão seguida de translação (ou reflexão com deslizamento) Sejam vetor não-nulo uma reta paralela a no plano. um A reflexão com deslizamento, determinada pelo vetor e pela reta, é a isometria, obtida fazendo a translação seguida da reflexão. A reflexão com deslizamento, como a translação não possui ponto fixo. Tanto faz transladarmos e depois refletirmos a figura como refletirmos e depois transladarmos. O quadro a seguir resume de forma mais simples as isometrias: Pontos Orientação Isometria Figura Fixos do Plano 5 Reflexão em torno de uma reta (produzir sua imagem no espelho ) Translação (mover sem girar ou refletir) Infinitos Nenhum Inverte Preserva 5 Para cada ponto da figura original existe um correspondente ponto na figura transformada. Considere que o ponto se movimente sobre a figura original. À medida que o ponto percorre a figura original, o seu correspondente, percorre a figura transformada. Dizemos que uma isometria preserva a orientação do plano quando o ponto percorre a figura transformada mantendo o mesmo sentido de percurso determinado pelo ponto, ao percorrer a figura original. 5
Rotação (girar ao redor de um ponto) Um Preserva Reflexão seguida de translação (combinar uma reflexão com uma translação) Nenhum Inverte A ação de uma isometria T sobre uma figura produz uma figura, que se diz isométrica a (ou simétrica a ). Por exemplo: Translação Quando a figura obtida pela ação da isometria T sobre é igual a dizemos que é simétrica a si mesma em relação à isometria. Por exemplo: Rotação em torno de um ponto., e. E considerando que a figura, temos que é invariante pela rotação de 90 em torno do ponto. Obtemos então uma simetria de rotação. Verificamos também que a figura tem simetria relativa às rotações de 6
Se considerarmos, analogamente, a rotação no sentido horário, representado pelo ângulo, a figura terá então, simetria em relação às rotações de Concluímos que o conceito de simetria se fundamenta no conceito de: Isometria; Invariância de uma figura por isometrias. Então, podemos dizer que uma figura isométrica, se a figura tem como imagem a própria figura. é simétrica relativamente a uma transformação é invariante por, isto é, a transformação aplicada à figura O conceito matemático de simetria aqui discutido será utilizado na investigação do significado atribuído nos textos dos livros que serão investigados. Devemos tratar com cautela as atividades que apresentam inadequações conceituais e que podem dificultar a aprendizagem dos alunos. Considerando as orientações sobre o ensino de simetria, destacamos nos PCN que: Os estudos das transformações isométricas (transformações do plano euclidiano que conservam comprimento, ângulos e ordem de pontos alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções de congruência. As principais isometrias são: reflexão numa reta (ou simetria axial), translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria central), identidade. Desse modo as transformações que conservam propriedades métricas podem servir de apoio não apenas para o desenvolvimento do conceito de congruências de figuras planas, mas também para a compreensão das propriedades destas. E, de acordo com Carvalho & Lima, (2011): No ensino da simetria de reflexão nos anos iniciais da escolaridade tem sido propostas atividades apropriadas para a introdução do conceito de simetria. Elas incluem, entre outras: Produzir figuras simétricas por meio de dobraduras em papel. Uma das modalidades é dobrar uma folha, uma ou mais vezes, e efetuar cortes de papel dobrado. Ao desdobrá-lo teremos no papel uma figura, vazada, com simetria de reflexão em torno do eixo constituído pelo vinco no papel. Outra maneira é espalhar tinta num papel e dobrá-lo em dois. Ao desdobrá-lo teremos uma figura simétrica em relação ao vinco no papel; Fornecer uma parte de uma figura e um eixo de simetria em malha quadriculada e solicitar do aluno completar a figura por simetria; Identificar um ou mais eixos de simetria em figuras geométricas desenhadas. Algumas vezes, escolhem-se letras do alfabeto para estas atividades. Percurso Metodológico A metodologia descrita por Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornece subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas: 7
preparação das informações Na preparação das informações, irei utilizar as coleções aprovadas no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano, como se segue: Título Autoria Editora A escola é nossa Vieira, F. & Pessoa K. Scipione Projeto Buriti Gastaldi, M. R. & Gay, M. R. G. Moderna Ler o Mundo Aidar, M. Scipione Hoje é dia de Matemática Tosatto, C. M. & Peracchi, E. F. & Tosatto, C. C. Positivo Projeto Conviver Milani, E. & Imenes, L. M & Lellis, M. Moderna Ponto de partida Cerullo, M. I. & Shirahige, M. T. & Chacur, R. Sarandi Asas para voar Souza, M. H. & Spinelli, W. Ática Pode contar comigo Bonjorno, J. R. & Azenha, R. & Gusmão, T. FTD Fazendo e compreendendo Linguagens da Matemática Sanchez, L. B. & Liberman, M. P. Reame, E. & Montenegro, P. Saraiva Saraiva Projeto Pitanguá Barroso, J. M. & Corá, A. Moderna Pendendo Sempre Luiz Roberto Dante Ática Porta aberta Centurión, M. & Rodrigues, A & Neto, M. FTD categorização ou escolha das categorias de análise dos dados As categorias de análise a serem obtidas se originarão pelo processo dinâmico entre o quadro teórico adotado na pesquisa e as coletas de dados nos livros didáticos. análise Referências ALBUQUERQUE, A. G. A ideia de semelhança nas associações da geometria em livros didáticos de matemática para o ensino fundamental, 2011. 8
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